机械振动（竞赛）

概览

高中已经知道弹簧振子与单摆"来回运动"，但竞赛要求回答三个更深的问题：凭什么说它是简谐运动、周期是多少、怎么快算相位。本笔记在高中基础上引入四大竞赛工具：动力学判据（$\ddot x+\omega^2 x=0$，由 02-微分方程初步 求解）、旋转矢量法（把振动翻译成圆周运动的投影，快定相位与相位差）、等效思想（等效劲度系数与等效重力场，把陌生系统化为标准振子）与能量视角（$E=\tfrac12 m\omega^2A^2$）。随后推广到阻尼振动、受迫振动与共振，并讨论振动的合成（拍与李萨如图形）。本笔记承接 04-功与机械能 的能量观点与 06-刚体动力学 的复摆，是 机械波 与大学 机械振动 的前置内容。

核心概念

一、简谐运动的动力学判据

凡是合外力满足线性回复力（与偏离平衡位置的位移成正比且反向）的系统，其动力学方程必可化为

$$ \boxed{\thinspace\ddot x+\omega^2 x=0\thinspace} $$

其中 $\omega$ 称为角频率（圆频率），只由系统自身决定，与振幅、初始条件无关。这是一个线性、齐次、二阶常系数微分方程（见 02-微分方程初步）。两个基本实例：

弹簧振子：$m\ddot x=-kx$，故 $\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$。

单摆（小角度）：$ml\ddot\theta=-mg\theta$（用了 $\sin\theta\approx\theta$），故 $\omega=\sqrt{\dfrac{g}{l}}$。

判据的两种用法

• 正用：已知系统满足 $\ddot x+\omega^2 x=0$，直接读出 $\omega$，周期 $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$；
• 反用：把合力写成"负常数乘偏离量"即判定简谐运动（若含常数项，先平移坐标到平衡位置）。

二、运动学方程与初始条件

方程 $\ddot x+\omega^2 x=0$ 的通解可写为振幅—相位形式

$$ \boxed{\thinspace{}x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\thinspace} $$

$x=A\cos(\omega t+\varphi)$与$x=A\sin(\omega t+\varphi')$ 完全等价（$\varphi'=\varphi+\dfrac{\pi}{2}$），只是相位参考点不同，竞赛中习惯用 $\cos$ 形式。速度与加速度：

$$ v=\dot x=-A\omega\sin(\omega t+\varphi), \qquad a=\ddot x=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi)=-\omega^2x $$

$A$与$\varphi$由$t=0$时的初始位移$x_0$、初始速度 $v_0$ 确定：

$$ \boxed{\thinspace{}A=\sqrt{x_0^2+\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2},\qquad \tan\varphi=-\frac{v_0}{\omega x_0}\ \left(\text{按 }x_0,\thinspace{}v_0\text{ 的符号定象限}\right)\thinspace} $$

周期与频率：$T=\dfrac{2\pi}{\omega}$，$f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{\omega}{2\pi}$（单位 Hz）。周期是固有性质——只要判据成立，$T$ 与振幅、初相无关（等时性）。

三、旋转矢量法

简谐运动与匀速圆周运动存在精确对应：一个以角速度 $\omega$逆时针旋转、长度$A$的矢量$\vec A$，在 $x$轴上的投影$x=A\cos(\omega t+\varphi)$恰是简谐运动。画图时横轴为$x$，矢量与 $x$轴正方向的夹角即相位$\omega t+\varphi$。

graph LR
    ROT[旋转矢量 A<br/>以角速度 ω 逆时针旋转] -->|投影到 x 轴| SHM[简谐运动<br/>x = A cos ωt+φ]
    ROT -->|端点速度沿切向<br/>大小 ωA| V[速度<br/>v = -ωA sinωt+φ]
    ROT -->|端点加速度指向圆心<br/>大小 ω²A| AC[加速度<br/>a = -ω²x]

用旋转矢量图可直接读出：

• 初相 $\varphi$：$t=0$时刻矢量与$x$轴正方向的夹角（由$x_0$的正负与$v_0$ 的方向确定夹角位于哪个半平面）；
• 相位差：两矢量之间的夹角即相位差，夹角 $0$ 为同相、$\pi$ 为反相、$\dfrac{\pi}{2}$ 为正交；
• 时间间隔：相位变化 $\Delta\varphi=\omega\thinspace\Delta t$，矢量转过多少角度，就过去了 $\dfrac{\Delta t}{T}=\dfrac{\Delta\varphi}{2\pi}$ 的比例。

快算相位差

质点从 $x=\dfrac{A}{2}$第一次运动到$x=A$：相位差 $\dfrac{\pi}{3}$，用时 $\Delta t=\dfrac{\pi/3}{\omega}=\dfrac{T}{6}$。这类"位置→时间"问题用矢量图一眼看出角度，比解三角方程快得多，也避免了多解取舍。

旋转矢量合成：两个同频率、同方向简谐运动的合成，等于两个旋转矢量按平行四边形法则相加。设 $x_1=A_1\cos(\omega t+\varphi_1)$、$x_2=A_2\cos(\omega t+\varphi_2)$，合成后仍为同频率简谐运动：

$$ A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\Delta\varphi}, \qquad \Delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1 $$

• 同相（$\Delta\varphi=2n\pi$）：$A=A_1+A_2$，加强；
• 反相（$\Delta\varphi=(2n+1)\pi$）：$A=|A_1-A_2|$，减弱。

四、简谐运动的能量

速度 $v=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)$，故动能与（以弹簧振子为例的）势能分别为

$$ E_k=\frac12 mv^2=\frac12 m\omega^2A^2\sin^2(\omega t+\varphi), \qquad E_p=\frac12 kx^2=\frac12 m\omega^2A^2\cos^2(\omega t+\varphi) $$

两者随时间此消彼长，总能量守恒：

$$ \boxed{\thinspace{}E=E_k+E_p=\frac12 m\omega^2A^2=\frac12 kA^2\thinspace} $$

关于"各占一半"的三个结论

1. 瞬时：$E_k=E_p$出现在$x=\pm\dfrac{A}{\sqrt2}$ 处，每周期 4 次；
2. 时间比例：$E_k>E_p$等价于$|x|<\dfrac{A}{\sqrt2}$，每周期恰好一半时间；
3. 平均：$\langle E_k\rangle=\langle E_p\rangle=\dfrac{E}{2}$。 三者都正确但含义不同，审题时区分"瞬时""时间比例""平均"。

五、等效单摆与等效劲度系数

竞赛中大量周期问题归结为找等效角频率 $\omega$：核心关系 $\omega=\sqrt{\dfrac{k_{\text{eff}}}{m_{\text{eff}}}}$。

单摆：$T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$；摆角较大（$\theta_0\gtrsim5^\circ$）时周期修正为

$$ \boxed{\thinspace{}T\approx T_0\left(1+\frac{\theta_0^2}{16}\right)\thinspace}\qquad (\theta_0\text{ 用弧度}) $$

大摆角使周期变长：$\theta_0=30^\circ\approx0.524\thinspace\text{rad}$时修正约$1.7\%$。竞赛中一般按小角度处理，但结论要记住，防选择题挖坑。

复摆（物理摆）：绕不过质心轴摆动的刚体

$$ \boxed{\thinspace{}T=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}\thinspace} $$

$d$ 为转轴到质心的距离，$I$为对转轴的转动惯量（求法见 06-刚体动力学）。定义等值摆长$l'=\dfrac{I}{md}$，则复摆与摆长 $l'$ 的单摆完全等价。

等效劲度系数：

情形	公式	直觉
串联	$\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{k_1}+\dfrac{1}{k_2}$	更"软"，$k<\min(k_1,k_2)$，周期变长
并联	$k=k_1+k_2$	更"硬"，周期变短
截成 $n$段	$k'=nk$	每段更"硬"，$T'=\dfrac{T}{\sqrt{n}}$

等效重力场：在匀加速参考系（见 02-牛顿运动定律与非惯性系）中引入惯性力，与重力合成为等效重力 $\vec g_{\text{eff}}=\vec g-\vec a$：

• 电梯竖直加速：$g_{\text{eff}}=g\pm a$；
• 水平加速车厢：$g_{\text{eff}}=\sqrt{g^2+a^2}$，新平衡位置偏离竖直方向 $\tan\alpha=\dfrac{a}{g}$；
• 带电摆球在匀强电场中：$g_{\text{eff}}=g\mp\dfrac{qE}{m}$（取合力方向为正）。

液柱振动：U 形管内液柱整体振荡，$\omega=\sqrt{\dfrac{2g}{L}}$，见"推导与原理·三"。

六、阻尼振动

考虑正比于速度的阻力 $f=-b\dot x$，运动方程为

$$ m\ddot x+b\dot x+kx=0 \quad\Longrightarrow\quad \ddot x+2\gamma\dot x+\omega_0^2x=0 $$

其中 $\gamma=\dfrac{b}{2m}$ 为衰减系数（阻尼系数），$\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$为固有角频率。按$\gamma$与$\omega_0$ 的相对大小分三种情形（解的来源见 02-微分方程初步）：

类型	条件	运动图像	回到平衡
欠阻尼	$\gamma<\omega_0$	振荡衰减，$x=A_0e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\varphi)$，$\omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}$	多次穿越平衡
临界阻尼	$\gamma=\omega_0$	单调返回，无振荡	最快回到平衡
过阻尼	$\gamma>\omega_0$	单调缓慢返回	很慢

常见误区

欠阻尼时 $\omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}<\omega_0$，即阻尼使振动变慢（周期变长）；衰减因子 $e^{-\gamma t}$只裹在振幅上。公式$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ 只对无阻尼振子成立。

对数减缩：相邻两个同向最大位移（振幅）之比的对数

$$ \Lambda=\ln\frac{A(t)}{A(t+T)}=\gamma T_d \qquad \left(\text{弱阻尼时 }\Lambda\approx\frac{\pi b}{\sqrt{km}}\right) $$

它由系统参数决定、与初始条件无关，是实验上测阻尼的常用量。

七、受迫振动与共振

在阻尼振子上外加周期驱动力 $F=F_0\cos\omega_d t$（$\omega_d$ 为驱动角频率）：

$$ m\ddot x+b\dot x+kx=F_0\cos\omega_d t $$

通解 = 自由振动的衰减解（暂态，随时间消失）+ 稳态解。稳态时系统以驱动频率 $\omega_d$ 振动（而非固有频率），稳态振幅与频率的关系为

$$ \boxed{\thinspace{}A(\omega_d)=\dfrac{F_0/m}{\sqrt{\left(\omega_0^2-\omega_d^2\right)^2+4\gamma^2\omega_d^2}}\thinspace} $$

共振：当 $\omega_d$接近$\omega_0$时振幅出现极大（弱阻尼下峰值$\approx\dfrac{F_0}{2m\gamma\omega_0}$），这就是共振。共振条件 $\omega_d\approx\omega_0$；阻尼越小，共振峰越高越尖（$\gamma\to0$ 时振幅发散），阻尼越大，峰越矮越宽。位移与驱动力之间还有相位滞后：$\omega_d\ll\omega_0$ 时同相，$\omega_d=\omega_0$时滞后$\dfrac{\pi}{2}$，$\omega_d\gg\omega_0$时滞后$\pi$。

利与弊：利——收音机调台（LC 谐振选频）、微波炉加热（水分子共振）、乐器共鸣箱放大声音；弊——塔科马海峡大桥风中共振坍塌、军队过桥步调一致引发共振、机器转轴共振损坏。工程上以加大阻尼、错开固有频率来防共振。

八、振动的合成

同方向、同频率（见"核心概念·三"）合成后仍为简谐运动；同方向、不同频率：设 $x_1=A\cos\omega_1 t$、$x_2=A\cos\omega_2 t$（$|\omega_1-\omega_2|\ll\omega_1$），和差化积得

$$ x=x_1+x_2=2A\cos\negthinspace\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)\cos\negthinspace\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right) $$

高频因子以平均频率 $\dfrac{\omega_1+\omega_2}{2}$ 振动，低频因子调制振幅，振幅时大时小、周期性起伏，称为拍。拍频（单位时间内"响—轻"循环次数）

$$ \boxed{\thinspace{}f_{\text{拍}}=|f_1-f_2|=\frac{|\omega_1-\omega_2|}{2\pi}\thinspace} $$

两个频率越接近，拍越慢——调音师正是利用"拍"来校准音叉。

互相垂直、同频率：$x=A\cos\omega t$，$y=B\cos(\omega t+\delta)$，轨迹一般为椭圆；相位差 $0$或$\pi$ 时退化为直线，$\delta=\dfrac{\pi}{2}$时退化为正椭圆。频率比为简单整数比时形成闭合的李萨如图形，其水平与竖直方向切点数之比等于$\dfrac{\omega_y}{\omega_x}$，竞赛了解结论即可。

推导与原理

一、动力学判据的建立（弹簧振子与单摆）

以弹簧振子（取平衡位置为原点，$F=-kx$）与单摆（小角度 $\sin\theta\approx\theta$）为例，由牛顿第二定律直接得

$$ m\ddot x=-kx \thickspace\Longrightarrow\thickspace \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad l\ddot\theta=-g\theta \thickspace\Longrightarrow\thickspace \omega=\sqrt{\frac{g}{l}} $$

要点：判据方程中 $\omega^2$前的系数恰为"回复力系数除以惯性质量"。任何把回复力写成$F=-k_{\text{eff}}\thinspace{}x_{\text{偏}}$的系统都有$\omega=\sqrt{\dfrac{k_{\text{eff}}}{m_{\text{eff}}}}$；而 $\sin\theta\approx\theta$ 是 04-泰勒展开与级数 的一阶截断，正是线性化的动机（见 02-微分方程初步）。

二、方程求解与初相确定

解 $\ddot x+\omega^2x=0$用特征方程$r^2+\omega^2=0$，特征根 $r=\pm i\omega$，通解 $x=C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega t$，再化为振幅—相位形式 $A=\sqrt{C_1^2+C_2^2}$、$\tan\varphi=-\dfrac{C_2}{C_1}$（细节见 02-微分方程初步）。由初始条件：

$$ x_0=A\cos\varphi,\qquad v_0=-A\omega\sin\varphi $$

两式平方相加消去 $\varphi$：$A^2=x_0^2+\dfrac{v_0^2}{\omega^2}$；两式相除：$\tan\varphi=-\dfrac{v_0}{\omega x_0}$。

象限判定法

只知道 $\tan\varphi$无法唯一确定$\varphi$（正切周期为 $\pi$）。象限由 $x_0,v_0$ 的符号定：$\cos\varphi$的符号与$x_0$ 相同，$\sin\varphi$的符号与$-v_0$相同；用旋转矢量图最直观：初位置矢量在$x_0$ 一侧，由运动方向定转向。

两个常用特例：由静止释放（$v_0=0$）：$A=x_0$、$\varphi=0$；从平衡位置以初速弹出（$x_0=0$）：$A=\dfrac{v_0}{\omega}$、$\varphi=-\dfrac{\pi}{2}$。建议亲手推导而非死记。

三、等效系统的周期推导

液柱振动（U 形管）：截面积 $S$、总长 $L$的液柱（密度$\rho$），平衡时两管液面等高。设某时刻左侧液面升高 $y$、右侧降低 $y$，两侧高度差 $2y$产生的压强差为$2\rho gy$，作用于截面上的恢复力 $F=-2\rho gSy$。液柱总质量 $m=\rho SL$，故

$$ \rho SL\thinspace\ddot y=-2\rho gSy \thickspace\Longrightarrow\thickspace \ddot y+\frac{2g}{L}y=0 \thickspace\Longrightarrow\thickspace \boxed{\thinspace{}T=2\pi\sqrt{\frac{L}{2g}}\thinspace} $$

液柱振动的关键

回复力来自液面高度差（只与两液面相对位置有关），而惯性质量是整个液柱 $m=\rho SL$（不是某一管中的液段）。因此周期与管径、液体密度都无关，只由液柱总长 $L$ 决定——这是竞赛常考点。若两管封闭接入气体弹簧，回复力为"液面差 + 气压差"之和，等效劲度相加，周期变短。

气体弹簧：截面积 $A$、体积 $V$的气缸内理想气体绝热压缩，活塞位移$x$时体积变化$\Delta V=-Ax$。由绝热方程 $pV^\gamma=\text{const}$ 微分：

$$ \frac{dp}{p}=-\gamma\frac{dV}{V} \thickspace\Longrightarrow\thickspace \Delta p=\frac{\gamma pAx}{V} $$

回复力 $F=-A\thinspace\Delta p=-\dfrac{\gamma pA^2}{V}x$，等效劲度 $k_{\text{eff}}=\dfrac{\gamma pA^2}{V}$，故

$$ \omega=\sqrt{\frac{\gamma pA^2}{mV}} $$

等温缓慢过程取 $\gamma\to1$；过程性质（绝热/等温）决定等效劲度。

四、大角度单摆与复摆

精确单摆方程 $\ddot\theta+\dfrac{g}{l}\sin\theta=0$是非线性的，把$\sin\theta=\theta-\dfrac{\theta^3}{6}+\cdots$ 展开逐级求解，得周期修正级数（本笔记只要求记住前两项结论）

$$ T=T_0\left(1+\frac{\theta_0^2}{16}+\frac{11\theta_0^4}{3072}+\cdots\right) $$

复摆推导：对转轴列转动定律 $\tau=I\ddot\theta$，重力矩 $-mgd\sin\theta\approx-mgd\thinspace\theta$，故

$$ I\ddot\theta=-mgd\thinspace\theta \thickspace\Longrightarrow\thickspace \ddot\theta+\frac{mgd}{I}\theta=0 \thickspace\Longrightarrow\thickspace T=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}} $$

与单摆 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$形式完全一致：复摆等价于摆长$l'=\dfrac{I}{md}$ 的单摆。

五、受迫振动稳态解

设稳态解 $x_p=A\cos(\omega_d t-\delta)$，代入受迫振动方程，用待定系数法（或用 05-复数与欧拉公式 的复数法，设 $x_p=\mathrm{Re}\left(\tilde A\thinspace{}e^{i\omega_d t}\right)$ 更简洁），可解得振幅公式

$$ A=\dfrac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_d^2)^2+4\gamma^2\omega_d^2}} $$

对 $\omega_d$求极值，得共振（峰值）频率$\omega_r=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}\approx\omega_0$（弱阻尼），峰值振幅 $A_{\max}\approx\dfrac{F_0}{2m\gamma\omega_0}$。定义品质因数

$$ Q=\frac{\omega_0}{2\gamma} $$

$Q$ 刻画共振峰的尖锐程度：$Q$越大峰越高越窄；物理上$Q$还等于共振放大倍数（共振振幅与低频极限振幅之比），也等于系统储能与每周期耗能之比的$2\pi$ 倍。阻尼越小，峰越尖。

典型实例与物理应用

实例 1：电梯与车厢中的单摆——等效重力场

电梯以 $a$匀加速上升：视重变为$m(g+a)$，等效 $g_{\text{eff}}=g+a$，$T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g+a}}$；匀加速下降则 $g_{\text{eff}}=g-a$，$a\to g$ 时失重，$T\to\infty$（"摆不动"）。水平向右加速 $a$ 的车厢中，$\vec g_{\text{eff}}=\vec g-\vec a$，大小 $\sqrt{g^2+a^2}$，方向后仰 $\tan\alpha=\dfrac{a}{g}$——摆的新平衡位置沿 $\vec g_{\text{eff}}$方向，周期$T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{\sqrt{g^2+a^2}}}$。

惯性力视角

这类题用 02-牛顿运动定律与非惯性系 的惯性力处理最快：在车厢系中，摆受"重力 + 惯性力"的合力作用，直接当作普通单摆做。注意平衡位置已经偏离竖直方向，不要仍以竖直线为振动中心。该技巧同样适用于匀强电场中的带电摆球。

实例 2：弹簧的截断与串并联

把劲度系数 $k$的弹簧截成$n$段：相同受力下每段形变量只有原来的$\dfrac1n$，故 $k'=nk$，$T'=\dfrac{T}{\sqrt{n}}$（弹簧秤分度变"密"）；串联 $k_{\text{eff}}=\dfrac{k_1k_2}{k_1+k_2}$，并联 $k_{\text{eff}}=k_1+k_2$。口诀：串软并硬，截断变硬。

实例 3：共振的应用与防范

• 收音机调台：LC 回路固有频率与电台载频共振，实现选频；微波炉：微波频率 2.45 GHz 与水分子共振，分子动能增大即"加热"；
• 乐器共鸣箱：箱体固有频率与弦振动频率共振，放大声音；
• 塔科马海峡大桥坍塌：风的涡旋脱落频率与桥的扭振固有频率接近，振幅不断增大直至破坏——现代桥梁用阻尼器与错频设计防范；军队过桥"便步走"则是步频避开固有频率的同一原理。

例题

例 1：旋转矢量法定初相与时间间隔

题目：质点做简谐运动，振幅 $A=10\thinspace\text{cm}$，周期 $T=4\thinspace\text{s}$。$t=0$时$x_0=5\thinspace\text{cm}$且向$x$负方向运动。求：（1）运动方程；（2）第一次到达$x=-5\thinspace\text{cm}$ 的时刻；（3）第一次到达负最大位移的时刻。

分析：已知 $A,T$ 与初状态，用旋转矢量定初相最快：$x_0=\dfrac{A}{2}$对应矢量与$x$轴夹角$\pm\dfrac{\pi}{3}$，向负方向运动说明矢量正向"相位增大"方向旋转，取 $\varphi=+\dfrac{\pi}{3}$。后续时刻由"相位差 $=\omega\thinspace\Delta t$"直接算出。

解答：$\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{\pi}{2}\thinspace\text{rad/s}$。（1）$x_0=\dfrac{A}{2}$且$v_0<0$时$\varphi=\dfrac{\pi}{3}$，故

$$ x=10\cos\negthinspace\left(\frac{\pi}{2}t+\frac{\pi}{3}\right)\ \text{cm} $$

（2）$x=-5\thinspace\text{cm}$即$\cos\Phi=-\dfrac12$，第一次到达对应相位 $\Phi=\dfrac{2\pi}{3}$，相位差 $\Delta\varphi=\dfrac{\pi}{3}$，故

$$ \Delta t=\frac{\Delta\varphi}{\omega}=\frac{\pi/3}{\pi/2}=\frac23\thinspace\text{s} $$

（3）负最大位移 $x=-A$对应相位$\Phi=\pi$，从 $\dfrac{\pi}{3}$转到$\pi$转过$\dfrac{2\pi}{3}$，故

$$ \Delta t=\frac{2\pi/3}{\pi/2}=\frac43\thinspace\text{s} $$

点评：旋转矢量法把三角方程化为"看角度"，先画图再算，天然避免多解。若用代数法 $5=10\cos\varphi$只能得$\varphi=\pm\dfrac{\pi}{3}$，必须靠 $v_0$ 的符号取舍——这正是"由初始条件定初相"的标准陷阱。多画图是这类题的第一道保险。

例 2：等效重力场——水平加速车厢中的单摆

题目：一车厢以加速度 $a=\dfrac34g$水平向右行驶，车顶用长$l$的细线悬挂小球。（1）求平衡位置与竖直方向的夹角；（2）求微扰后摆动的周期；（3）若同样的$a$ 改为竖直向上的电梯，周期又是多少？

分析：在车厢系中引入惯性力 $-m\vec a$，小球受重力与惯性力合成为等效重力 $\vec g_{\text{eff}}=\vec g-\vec a$；平衡位置沿 $\vec g_{\text{eff}}$方向，周期公式中的$g$换成$g_{\text{eff}}$。

解答：

（1）水平加速时 $\tan\alpha=\dfrac{a}{g}=\dfrac34$，$\alpha\approx36.9^\circ$（摆向车厢后壁偏离）。

（2）（3）车厢中 $g_{\text{eff}}=\sqrt{g^2+a^2}=\dfrac54g$，电梯中 $g_{\text{eff}}=g+a=\dfrac74g$，分别代入 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g_{\text{eff}}}}$：

$$ T_1=2\pi\sqrt{\frac{4l}{5g}}, \qquad T_2=2\pi\sqrt{\frac{4l}{7g}} $$

点评：等效重力场是竞赛高频模型。要点有三：惯性力方向与加速度相反（$a$向右则等效重力向后仰）、平衡位置随$\vec g_{\text{eff}}$移动（新平衡不再是竖直方向）、周期公式中的$g$一律换为$g_{\text{eff}}$。若车厢自由下落（$a=g$），$g_{\text{eff}}=0$，周期趋于无穷——"失重摆不动"。

例 3：阻尼与受迫振动的定性—半定量分析

题目：弹簧振子 $m=1\thinspace\text{kg}$，$k=100\thinspace\text{N/m}$，阻力系数 $b=1\thinspace\text{N·s/m}$，受驱动力 $F=F_0\cos\omega_d t$。（1）判断自由振动属哪种阻尼，并求振动频率；（2）求品质因数 $Q$与对数减缩$\Lambda$；（3）估算共振时稳态振幅与低频极限振幅之比；（4）若把 $b$增大到$b=20\thinspace\text{N·s/m}$，共振现象如何变化？

分析：比较 $\gamma=\dfrac{b}{2m}$与$\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ 判断类型；共振峰、$Q$、$\Lambda$用弱阻尼近似公式；第（4）问注意$\gamma$增大后与$\omega_0$ 的相对关系改变。

解答：

（1）$\omega_0=\sqrt{\dfrac{100}{1}}=10\thinspace\text{rad/s}$，$\gamma=\dfrac{b}{2m}=0.5\thinspace\text{s}^{-1}<\omega_0$，属欠阻尼，振动频率

$$ \omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}=\sqrt{100-0.25}\approx9.99\thinspace\text{rad/s}\approx\omega_0 $$

（2）$Q=\dfrac{\omega_0}{2\gamma}=\dfrac{10}{2\times0.5}=10$；$\Lambda\approx\dfrac{\pi}{Q}\approx0.31$，即每个周期振幅衰减到原来的 $e^{-\Lambda}\approx73\%$（衰减约 $27\%$）。

（3）低频极限（$\omega_d\to0$）振幅 $A_0=\dfrac{F_0}{m\omega_0^2}=\dfrac{F_0}{100}$；共振峰（$\omega_d\approx\omega_0$）$A_{\max}\approx\dfrac{F_0}{2m\gamma\omega_0}=\dfrac{F_0}{10}$，故

$$ \frac{A_{\max}}{A_0}=\frac{F_0/10}{F_0/100}=10=Q $$

比值恰好等于品质因数——$Q$ 的物理意义就是共振放大倍数。

（4）$b=20$时$\gamma=\dfrac{20}{2}=10=\omega_0$，恰为临界阻尼，自由振动不再振荡，受迫振动因 $\gamma$大增而共振峰被大幅压低。若要出现明显共振峰，需$\gamma<\dfrac{\omega_0}{\sqrt2}$（此时 $\omega_r=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}$ 为实数）。

点评：半定量题的标准套路：先比较 $\gamma$与$\omega_0$定阻尼类型，再套共振峰公式，最后用恒等式$A_{\max}/A_0=Q$ 自检量级——防共振的工程思路在（4）中体现：加大阻尼或避开固有频率。若题目给出共振曲线（$A$-$\omega_d$图），峰越尖则$Q$ 越大、阻尼越小。

易错提醒

易错点

1. 判据方程漏负号：回复力 $F=-kx$的负号不能丢，判据$\ddot x+\omega^2x=0$中$\omega^2$恒为正；写成$+kx$ 是发散运动而非振动。
2. $\omega$ 张冠李戴：$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$只对弹簧振子；单摆是$\sqrt{\dfrac{g}{l}}$、U 形管液柱是 $\sqrt{\dfrac{2g}{L}}$、气体弹簧是 $\sqrt{\dfrac{\gamma pA^2}{mV}}$——先列方程再读 $\omega$，不要套错公式。
3. 初相象限错误：$\tan\varphi=-\dfrac{v_0}{\omega x_0}$只能给出两个相差$\pi$的候选角，必须结合$x_0,v_0$ 的符号（或旋转矢量图）定象限，否则运动方向写反。
4. $\sin$与$\cos$ 形式混用：$x=A\cos(\omega t+\varphi)$与$x=A\sin(\omega t+\varphi')$相差相位$\dfrac{\pi}{2}$，同一道题内不要混用两套公式比较相位。
5. 阻尼使频率变小：$\omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}<\omega_0$，周期变长；$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ 只对无阻尼振子成立。
6. 受迫振动频率是驱动频率：稳态以 $\omega_d$振动而非$\omega_0$，只有共振发生在 $\omega_d\approx\omega_0$ 附近；把"振动频率"与"共振频率"混为一谈是最常见的概念错误。
7. 拍频的单位与倍率：$f_{\text{拍}}=|f_1-f_2|=\dfrac{|\omega_1-\omega_2|}{2\pi}$，不要写成 $|\omega_1-\omega_2|$（漏 $\dfrac{1}{2\pi}$）。
8. 弹簧截断方向感：截成 $n$段每段$k'=nk$（变硬、周期变短）；与"串联更软、并联更硬"对照记忆，别记反。
9. 大摆角修正的适用条件：$\theta_0$取弧度，修正项$\dfrac{\theta_0^2}{16}$ 使周期变长；$\theta_0\le5^\circ$时修正不足$0.5\%$，可忽略。
10. 能量"时间比例"与"平均"混淆：$E_k>E_p$的时间比例看$|x|<\dfrac{A}{\sqrt2}$（一个周期内恰好一半时间）；而平均值 $\langle E_k\rangle=\langle E_p\rangle=\dfrac{E}{2}$ 是另一种说法，审题要分清问的是哪一个。

概念辨析

自由振动 vs 阻尼振动 vs 受迫振动

比较项	自由振动（无阻尼）	阻尼振动	受迫振动（稳态）
方程	$\ddot x+\omega_0^2x=0$	$\ddot x+2\gamma\dot x+\omega_0^2x=0$	$\ddot x+2\gamma\dot x+\omega_0^2x=f\cos\omega_d t$
频率	固有频率 $\omega_0$	$\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}$	驱动频率$\omega_d$
振幅	恒定 $A$	$A_0e^{-\gamma t}$衰减	由共振曲线$A(\omega_d)$ 决定
能量	守恒	耗散	驱动注入与耗散平衡

各等效摆系统的判据对比

系统	回复力来源	惯性角色	$\omega^2$
弹簧振子	弹簧力 $kx$	质量$m$	$\dfrac{k}{m}$
单摆	重力切向分量	质量 $m$	$\dfrac{g}{l}$
复摆	重力矩	转动惯量 $I$	$\dfrac{mgd}{I}$
U 形管液柱	液面差压强	液柱总质量 $\rho SL$	$\dfrac{2g}{L}$
气体弹簧	气压差	活塞等运动质量 $m$	$\dfrac{\gamma pA^2}{mV}$

方法统一：列运动方程 → 化为 $\ddot x+\omega^2x=0$→ 读出$\omega$。

与其他知识关联

• 与 01-运动学 的关系：旋转矢量法本质是匀速圆周运动向直径的投影，角速度、相位差等概念直接复用圆周运动知识。
• 与 02-牛顿运动定律与非惯性系 的关系：等效重力场 $\vec g_{\text{eff}}=\vec g-\vec a$ 即惯性力的应用，电梯、车厢中的单摆是其直接例题。
• 与 04-功与机械能 的关系：$E=\tfrac12kA^2$是机械能守恒的实例；能量二次型方法可判定简谐运动并读出$\omega$。
• 与 06-刚体动力学 的关系：复摆 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{I}{mgd}}$是转动定律$\tau=I\ddot\theta$ 的直接结果。
• 与 07-万有引力与天体运动 的关系：天体在稳定平衡点附近的小振动、椭圆轨道的微扰分析都化归为简谐运动。
• 与 02-微分方程初步 的关系：本笔记所有方程（自由、阻尼、受迫）的求解——特征方程、待定系数——都在其中；阻尼三型即特征根三型的物理化身。
• 与 05-复数与欧拉公式 的关系：$e^{i\omega t}$ 复数法是受迫振动稳态解的标准工具，旋转矢量与复平面表示同源。
• 与 04-泰勒展开与级数、07-近似与估算方法 的关系：小角度近似 $\sin\theta\approx\theta$、单摆大角度周期修正、弱阻尼近似与量级估计。
• 与高中物理联系：高中力学总览（简谐运动、单摆周期公式是全部基础）、00-电学总览（LC 振荡与机械振动方程同构，力—电类比）。
• 与大学层面联系：机械振动（本笔记内容的系统化与严格化）、机械波（振动向空间的传播）、弹簧振子与阻尼振子的运动方程推导（方程的进一步处理）。
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作者的话

个人理解

振动是物理学中"一个方程打天下"的最佳例证：弹簧、单摆、液柱、气垫、电路、分子、星球，全都写着同一行字 $\ddot x+\omega^2x=0$。学完这一篇，我最大的体会是"先建模、再求解"：拿到一个会动的东西，先问它的回复力从哪来、惯性由谁承担，写成标准判据，然后 $\omega$ 就有了，周期、能量、相位全都顺流而下。旋转矢量法不只是技巧，更是理解：简谐运动与圆周运动是同一个运动的两副面孔，相位就是"角度"，一切"求时间"的问题都变成"求角度"。

竞赛与高中最大的分野在于等效与推广：高中背 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$，竞赛则要能从"稳定平衡点附近势能展开 $U\approx\tfrac12U''(x_0)x^2$"读出 $k=U''(x_0)$，从惯性力读出 $g_{\text{eff}}$，从液面差读出 $\omega^2=\dfrac{2g}{L}$——把陌生系统"翻译"成标准振子，是复赛高频题的命门。

至于阻尼与共振，我建议抓住两条线：频率由谁决定（自由振动取固有，受迫振动取驱动）与能量如何进出（共振是能量注入最大化，阻尼是耗散机制）。想清楚这两条，塔科马大桥的坍塌、微波炉的加热、调音师的拍就不再是零散知识，而是同一幅图景的不同角落。下一站 机械波：让这个"单点运动"沿着空间奔跑起来。

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