谐振子

谐振子是量子力学中最重要的可精确求解模型之一。从经典弹簧振子到量子场论中的产生湮灭算符，谐振子的思想贯穿整个物理学。本章从经典回顾出发，依次介绍解析解法（级数解法）、代数解法（升降算符法），并深入讨论零点能、相干态、压缩态等核心物理概念。

核心结论

量子谐振子的能级是等间距的：$E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega,\quad n = 0,1,2,\ldots$，其中零点能 $E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega$ 是量子力学区别于经典物理的标志性特征。

一、经典谐振子回顾

在进入量子力学之前，先回顾经典谐振子的基本理论，这对于理解量子对应至关重要。理解经典谐振子的运动规律和能量特征，有助于我们把握量子谐振子中哪些是"经典对应"的延伸，哪些是纯粹的量子效应。

1.1 胡克定律与简谐运动

经典谐振子的动力学基础是胡克定律。考虑一个质量为 $m$的质点，在恢复力$F = -kx$作用下运动，其中$k$ 为劲度系数，$x$ 为偏离平衡位置的位移。

势能函数为：

$$ V(x) = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 $$

其中 $\omega = \sqrt{k/m}$为固有角频率。这是一个典型的抛物线势，在平衡位置$x=0$ 处势能取最小值。从牛顿第二定律出发，我们有：

$$ m\ddot{x} = -kx \quad\Longrightarrow\quad \ddot{x} + \omega^2 x = 0 $$

这是二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为：

$$ x(t) = A\cos(\omega t + \varphi) $$

其中 $A$ 为振幅，$\varphi$为初相位，由初始条件$x(0)$和$\dot{x}(0)$ 决定。速度表达式为：

$$ v(t) = \dot{x}(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi) $$

经典谐振子的周期

周期 $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$，与振幅无关——这是简谐运动的重要特征，称为等时性。这一性质在量子谐振子的等间距能级中有着对应：$\Delta E = \hbar\omega$ 也是常数。

势能 $V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2$的图像是一条开口向上的抛物线。经典粒子只能在$V(x) \leq E$的区域内运动，即$|x| \leq \sqrt{2E/(m\omega^2)}$。在转折点 $x = \pm A$处，动能$T = 0$，全部能量为势能；在平衡位置 $x = 0$处，势能$V = 0$，全部能量为动能。

1.2 能量的连续性

经典谐振子的总能量为：

$$ E = T + V = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 $$

将 $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$和$v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$ 代入，可得：

$$ E = \frac{1}{2}mA^2\omega^2\sin^2(\omega t + \varphi) + \frac{1}{2}m\omega^2 A^2\cos^2(\omega t + \varphi) = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 $$

或等价地 $E = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$，其中 $v_{\max} = A\omega$ 为最大速度。

经典谐振子的能量特点

经典谐振子的能量可以取任意非负实数：$E \in [0, \infty)$。能量由振幅 $A$决定，而振幅可以连续变化，因此能量是连续谱。这与量子谐振子中能量只能取离散值$E_n = (n + \frac{1}{2})\hbar\omega$形成鲜明对比。当$n \to \infty$时，量子能级的相对间距$\Delta E / E_n \to 0$，趋于经典连续谱——这就是玻尔的对应原理。

在相空间 $(x, p)$ 中，经典谐振子的轨迹是一个椭圆：

$$ \frac{p^2}{2mE} + \frac{x^2}{2E/(m\omega^2)} = 1 $$

该椭圆的面积为 $2\pi E / \omega$。在旧量子论（玻尔-索末菲量子化）中，相空间面积被量子化为 $nh$的整数倍，这正是$E_n = n\hbar\omega$（不含零点能）的来源。现代量子力学通过薛定谔方程给出$E_n = (n + \frac{1}{2})\hbar\omega$，多出的 $\frac{1}{2}\hbar\omega$ 即零点能，是旧量子论无法解释的。

二、量子谐振子的解析解法

解析解法（或称级数解法）是直接求解定态薛定谔方程的方法。通过无量纲化、渐近分析、级数展开和截断条件，自然得到能级量子化和厄米多项式。这种方法虽然计算量较大，但物理图像清晰，是理解量子谐振子波函数结构的最佳途径。

2.1 定态薛定谔方程

将经典势能 $V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2$ 代入定态薛定谔方程：

$$ \hat{H}\psi(x) = \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\right]\psi(x) = E\psi(x) $$

这是一个二阶变系数线性常微分方程。由于势能 $V(x)$在$|x| \to \infty$时趋于无穷大，因此波函数必须满足边界条件$\psi(x) \to 0\ (|x| \to \infty)$，这意味着能谱是离散的（束缚态）。

符号约定

本章中，$\hbar = h/(2\pi)$为约化普朗克常数。有些教材用$\hat{H}$ 表示哈密顿算符，$\hat{p} = -i\hbar\thinspace d/dx$为动量算符。定态薛定谔方程写作$\hat{H}\psi = E\psi$或$\hat{H}|E\rangle = E|E\rangle$。

2.2 无量纲化

为简化方程，引入无量纲变量和参数。令：

$$ \alpha = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}},\qquad \xi = \alpha x = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\thinspace{}x $$

则 $\xi$ 为无量纲坐标。同时定义无量纲能量：

$$ \varepsilon = \frac{2E}{\hbar\omega} $$

利用链式法则：

$$ \frac{d}{dx} = \frac{d\xi}{dx}\frac{d}{d\xi} = \alpha\frac{d}{d\xi},\qquad \frac{d^2}{dx^2} = \alpha^2\frac{d^2}{d\xi^2} $$

代入薛定谔方程：

$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\alpha^2\frac{d^2\psi}{d\xi^2} + \frac{1}{2}m\omega^2\frac{\xi^2}{\alpha^2}\psi = E\psi $$

计算系数：$\frac{\hbar^2}{2m}\alpha^2 = \frac{\hbar^2}{2m}\cdot\frac{m\omega}{\hbar} = \frac{\hbar\omega}{2}$，$\frac{1}{2}m\omega^2\cdot\frac{1}{\alpha^2} = \frac{1}{2}m\omega^2\cdot\frac{\hbar}{m\omega} = \frac{\hbar\omega}{2}$。

两边除以 $\frac{\hbar\omega}{2}$，得到无量纲方程：

$$ \boxed{\frac{d^2\psi}{d\xi^2} + (\varepsilon - \xi^2)\psi = 0} $$

这就是量子谐振子的无量纲定态薛定谔方程。其中 $\varepsilon = 2E/(\hbar\omega)$ 为待求的无量纲能量本征值。

2.3 渐近行为

当 $|\xi| \to \infty$ 时，$\varepsilon$相对于$\xi^2$ 可以忽略，方程近似为：

$$ \frac{d^2\psi}{d\xi^2} - \xi^2\psi \approx 0 \qquad (|\xi| \gg \sqrt{\varepsilon}) $$

该方程的主导渐近解为 $\psi \sim e^{\pm \xi^2/2}$。验证：对 $\psi = e^{\xi^2/2}$ 求导，

$$ \frac{d\psi}{d\xi} = \xi e^{\xi^2/2},\quad \frac{d^2\psi}{d\xi^2} = (1 + \xi^2)e^{\xi^2/2} \approx \xi^2 e^{\xi^2/2} = \xi^2\psi $$

因此 $d^2\psi/d\xi^2 - \xi^2\psi \approx 0$成立。然而$\psi \sim e^{+\xi^2/2}$在$|\xi| \to \infty$ 时发散，不满足波函数的平方可积条件。因此我们取物理上可接受的渐近行为：

$$ \psi(\xi) \sim e^{-\xi^2/2} \qquad (|\xi| \to \infty) $$

物理直觉

波函数在经典转折点之外（$|x| > A$，即 $V(x) > E$的区域）呈指数衰减，这是量子隧穿效应的体现。谐振子的波函数在$|x| \to \infty$时以高斯函数$e^{-\alpha^2 x^2/2}$的形式衰减，衰减速度比指数函数$e^{-\kappa|x|}$更快，这是因为谐振子势$V(x) \propto x^2$ 比有限深势阱增长得更快。

2.4 级数解法

根据渐近分析，将波函数写为：

$$ \psi(\xi) = H(\xi)\thinspace{}e^{-\xi^2/2} $$

其中 $H(\xi)$ 是待定函数，在有限区域内为多项式（或级数）。计算导数：

$$ \frac{d\psi}{d\xi} = \left(H' - \xi H\right) e^{-\xi^2/2} $$

$$ \frac{d^2\psi}{d\xi^2} = \left(H'' - 2\xi H' + (\xi^2 - 1)H\right) e^{-\xi^2/2} $$

代入无量纲方程 $d^2\psi/d\xi^2 + (\varepsilon - \xi^2)\psi = 0$，化简后得到厄米方程：

$$ \boxed{H'' - 2\xi H' + (\varepsilon - 1)H = 0} $$

将 $H(\xi)$ 展开为幂级数：

$$ H(\xi) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k \xi^k $$

代入厄米方程，比较同次幂系数，得到递推关系：

$$ (k+2)(k+1)a_{k+2} - 2k a_k + (\varepsilon - 1)a_k = 0 $$

即：

$$ a_{k+2} = \frac{2k - (\varepsilon - 1)}{(k+2)(k+1)}\thinspace{}a_k $$

当 $k \to \infty$ 时，$a_{k+2}/a_k \sim 2/k$。这与 $e^{\xi^2}$的级数展开$e^{\xi^2} = \sum_{j=0}^{\infty} \xi^{2j}/j!$的渐近行为一致（相邻系数比$a_{j+1}/a_j = 1/(j+1) \sim 2/(2j)$）。这意味着如果级数不截断，$H(\xi) \sim e^{\xi^2}$，那么 $\psi(\xi) = H(\xi)e^{-\xi^2/2} \sim e^{\xi^2/2}$，在无穷远处发散。

因此，级数必须在有限项截断，即存在某个 $n$使得$a_n \neq 0$但$a_{n+2} = 0$。这要求：

$$ 2n - (\varepsilon - 1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon = 2n + 1 $$

由 $\varepsilon = 2E/(\hbar\omega)$，得到：

$$ \boxed{E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega,\qquad n = 0, 1, 2, \ldots} $$

这就是量子谐振子的能级公式。注意 $n$从$0$开始，基态能量$E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega \neq 0$，这是量子力学最深刻的结论之一。

级数截断的物理意义

级数截断条件 $\varepsilon = 2n + 1$ 直接来源于波函数平方可积的要求。这与 一维势阱与势垒 中束缚态能级量子化的思想一致：边界条件（此处为无穷远处的衰减条件）导致能量只能取离散值。但谐振子的量子化条件来源于势能 $x^2$ 的渐近行为，而非硬壁边界条件。

2.5 厄米多项式

当 $\varepsilon = 2n + 1$ 时，厄米方程变为：

$$ H_n'' - 2\xi H_n' + 2n H_n = 0 $$

该方程的解 $H_n(\xi)$是$n$ 次厄米多项式。前几个厄米多项式为：

$$ \begin{aligned} H_0(\xi) &= 1 \newline H_1(\xi) &= 2\xi \newline H_2(\xi) &= 4\xi^2 - 2 \newline H_3(\xi) &= 8\xi^3 - 12\xi \newline H_4(\xi) &= 16\xi^4 - 48\xi^2 + 12 \newline H_5(\xi) &= 32\xi^5 - 160\xi^3 + 120\xi \end{aligned} $$

递推关系：厄米多项式满足两个重要的递推公式：

$$ \begin{aligned} H_{n+1}(\xi) &= 2\xi H_n(\xi) - 2n H_{n-1}(\xi) \newline H_n'(\xi) &= 2n H_{n-1}(\xi) \end{aligned} $$

生成函数：所有厄米多项式可由生成函数 $S(\xi, t)$ 统一导出：

$$ S(\xi, t) = e^{2\xi t - t^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_n(\xi)}{n!}\thinspace{}t^n $$

即 $H_n(\xi) = \left.\frac{\partial^n}{\partial t^n}\thinspace{}e^{2\xi t - t^2}\right|_{t=0}$。这一生成函数在理论推导中非常有用，例如计算谐振子波函数的傅里叶变换。

正交归一性：厄米多项式在权重 $e^{-\xi^2}$ 下正交：

$$ \int_{-\infty}^{\infty} H_m(\xi) H_n(\xi)\thinspace{}e^{-\xi^2}\thinspace{}d\xi = \sqrt{\pi}\thinspace2^n\thinspace{}n!\thinspace\delta_{mn} $$

这一正交性直接保证了谐振子波函数的正交归一性。

2.6 波函数

归一化的谐振子定态波函数为：

$$ \boxed{\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}}\left(\frac{\alpha}{\sqrt{\pi}}\right)^{1/2} H_n(\alpha x)\thinspace{}e^{-\alpha^2 x^2/2}} $$

其中 $\alpha = \sqrt{m\omega/\hbar}$。归一化常数为 $N_n = (\alpha/(\sqrt{\pi}\thinspace2^n n!))^{1/2}$。

前几个波函数：

$$ \begin{aligned} \psi_0(x) &= \left(\frac{\alpha}{\sqrt{\pi}}\right)^{1/2} e^{-\alpha^2 x^2/2} \newline[4pt] \psi_1(x) &= \left(\frac{\alpha}{2\sqrt{\pi}}\right)^{1/2} \cdot 2\alpha x \cdot e^{-\alpha^2 x^2/2} \newline[4pt] \psi_2(x) &= \left(\frac{\alpha}{8\sqrt{\pi}}\right)^{1/2} \cdot (4\alpha^2 x^2 - 2) \cdot e^{-\alpha^2 x^2/2} \newline[4pt] \psi_3(x) &= \left(\frac{\alpha}{48\sqrt{\pi}}\right)^{1/2} \cdot (8\alpha^3 x^3 - 12\alpha x) \cdot e^{-\alpha^2 x^2/2} \end{aligned} $$

波函数的宇称

注意 $H_n(\xi)$的宇称为$(-1)^n$，而 $e^{-\xi^2/2}$为偶函数，因此$\psi_n(-x) = (-1)^n \psi_n(x)$。即 $n$ 为偶数时波函数为偶函数，$n$为奇数时波函数为奇函数。这与势能$V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2$的偶宇称一致：波函数与薛定谔方程 中讨论过，若势能$V(x) = V(-x)$，则定态波函数具有确定的宇称。

概率密度 $|\psi_n(x)|^2$ 的特征：

• 基态 $n=0$：概率密度为高斯分布，最大值在 $x=0$（平衡位置）处。这与经典谐振子截然不同：经典谐振子在平衡位置处速度最大、停留时间最短，概率密度最小；在转折点处速度为零、停留时间最长，概率密度最大。
• 激发态 $n \geq 1$：概率密度有 $n+1$个峰，两端峰的高度最大（与经典行为在转折点附近概率最大的趋势一致）。当$n \to \infty$ 时，量子概率密度（经局部平均后）趋于经典概率密度——这是玻尔对应原理的又一例证。
• 量子隧穿：在经典转折点 $|\xi| = \sqrt{2n+1}$ 之外，$|\psi_n(x)|^2 \neq 0$，即存在量子隧穿进入经典禁戒区域的概率。

三、代数解法（升降算符法）

代数解法由狄拉克提出，是量子谐振子最优雅的解法。它不直接求解微分方程，而是利用对易关系和算符代数，通过产生和湮灭算符得到能谱和本征态。这种方法不仅计算简洁，更重要的是建立了"粒子数态"的概念，为量子场论中的二次量子化奠定了基础。

3.1 产生与湮灭算符

哈密顿量为：

$$ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 \hat{x}^2 $$

无量纲化位置和动量算符。定义：

$$ \hat{a} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} + \frac{i}{m\omega}\hat{p}\right),\qquad \hat{a}^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} - \frac{i}{m\omega}\hat{p}\right) $$

逆变换为：

$$ \hat{x} = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\thinspace(\hat{a} + \hat{a}^\dagger),\qquad \hat{p} = -i\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}\thinspace(\hat{a} - \hat{a}^\dagger) $$

注意

$\hat{a}$和$\hat{a}^\dagger$ 不是厄米算符（$\hat{a} \neq \hat{a}^\dagger$），因此它们不代表可观测的物理量。但它们构成了构建哈密顿量和粒子数算符的基本单元。

3.2 对易关系

由基本对易关系 $[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$，可以计算 $\hat{a}$和$\hat{a}^\dagger$ 的对易关系：

$$ \begin{aligned} [\hat{a}, \hat{a}^\dagger] &= \frac{m\omega}{2\hbar}\left[\hat{x} + \frac{i}{m\omega}\hat{p},\thickspace \hat{x} - \frac{i}{m\omega}\hat{p}\right] \newline &= \frac{m\omega}{2\hbar}\left(-\frac{i}{m\omega}[\hat{x}, \hat{p}] + \frac{i}{m\omega}[\hat{p}, \hat{x}]\right) \newline &= \frac{m\omega}{2\hbar}\cdot\frac{-2i}{m\omega}\cdot i\hbar = 1 \end{aligned} $$

因此：

$$ \boxed{[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1} $$

同时 $[\hat{a}, \hat{a}] = [\hat{a}^\dagger, \hat{a}^\dagger] = 0$。

3.3 粒子数算符

将 $\hat{x}$和$\hat{p}$用$\hat{a}$和$\hat{a}^\dagger$表示后代入$\hat{H}$，经过代数运算（或更简单地利用 $\hat{a}^\dagger\hat{a}$ 的表达式）：

$$ \hat{a}^\dagger\hat{a} = \frac{m\omega}{2\hbar}\hat{x}^2 + \frac{1}{2m\hbar\omega}\hat{p}^2 - \frac{1}{2} $$

$$ \hat{a}\hat{a}^\dagger = \frac{m\omega}{2\hbar}\hat{x}^2 + \frac{1}{2m\hbar\omega}\hat{p}^2 + \frac{1}{2} $$

两式相加可以得到：

$$ \hat{H} = \frac{\hbar\omega}{2}(\hat{a}^\dagger\hat{a} + \hat{a}\hat{a}^\dagger) = \hbar\omega\left(\hat{a}^\dagger\hat{a} + \frac{1}{2}\right) $$

定义粒子数算符 $\hat{N} = \hat{a}^\dagger\hat{a}$，则：

$$ \boxed{\hat{H} = \hbar\omega\left(\hat{N} + \frac{1}{2}\right)} $$

由于 $\hat{H}$与$\hat{N}$相差一个常数，它们具有共同的本征态。设$\hat{N}$的本征值为$n$，本征态为 $|n\rangle$：

$$ \hat{N}|n\rangle = n|n\rangle $$

则能量本征值为 $E_n = \hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right)$。

$\hat{N}$的本征值$n$ 必须是非负整数

证明：$\hat{N} = \hat{a}^\dagger\hat{a}$，因此 $\langle\psi|\hat{N}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{a}^\dagger\hat{a}|\psi\rangle = \Vert\hat{a}|\psi\rangle\Vert^2 \geq 0$，故 $n \geq 0$。进一步，利用对易关系可以证明 $n$ 只能取非负整数。

3.4 升降算符的作用

利用对易关系 $[\hat{N}, \hat{a}] = -\hat{a}$和$[\hat{N}, \hat{a}^\dagger] = \hat{a}^\dagger$，可以证明：

$$ \begin{aligned} \hat{N}(\hat{a}|n\rangle) &= (n-1)(\hat{a}|n\rangle) \newline \hat{N}(\hat{a}^\dagger|n\rangle) &= (n+1)(\hat{a}^\dagger|n\rangle) \end{aligned} $$

因此 $\hat{a}|n\rangle$是$\hat{N}$的本征值为$n-1$ 的本征态，$\hat{a}^\dagger|n\rangle$是本征值为$n+1$ 的本征态。选择合适的相位因子，可以得到归一化的升降作用：

$$ \begin{aligned} \boxed{\hat{a}|n\rangle = \sqrt{n}\thinspace|n-1\rangle} \newline \boxed{\hat{a}^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}\thinspace|n+1\rangle} \end{aligned} $$

反复应用 $\hat{a}^\dagger$可以从基态$|0\rangle$ 构建任意激发态：

$$ \boxed{|n\rangle = \frac{1}{\sqrt{n!}}\thinspace(\hat{a}^\dagger)^n|0\rangle} $$

升降算符的物理图像

$\hat{a}^\dagger$（产生算符）每作用一次，增加一个能量量子 $\hbar\omega$；$\hat{a}$（湮灭算符）每作用一次，减少一个能量量子。因此 $\hat{N} = \hat{a}^\dagger\hat{a}$ 计数了系统中的"量子数"。这一图像在 量子力学基本假设 的框架下是自然的：算符作用于态矢量产生新的态矢量，升降算符在能级之间建立了代数联系。

3.5 基态波函数

基态 $|0\rangle$满足$\hat{a}|0\rangle = 0$。在坐标表象中：

$$ \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x + \frac{\hbar}{m\omega}\frac{d}{dx}\right)\psi_0(x) = 0 $$

这是一阶微分方程：

$$ \frac{d\psi_0}{dx} = -\frac{m\omega}{\hbar}x\thinspace\psi_0 = -\alpha^2 x\thinspace\psi_0 $$

解得：

$$ \psi_0(x) = A_0\thinspace{}e^{-\alpha^2 x^2/2} $$

归一化条件 $\int_{-\infty}^{\infty} |\psi_0|^2 dx = 1$给出$A_0 = (\alpha/\sqrt{\pi})^{1/2}$，与级数解法中 $n=0$ 的结果一致。

代数解法与解析解法的关系

代数解法通过 $\hat{a}|0\rangle = 0$得到基态波函数，再通过$\hat{a}^\dagger$ 反复作用得到所有激发态波函数。这与解析解法中通过级数截断得到厄米多项式是等价的。两种方法殊途同归，但代数解法揭示了量子谐振子更深刻的代数结构——海森堡-外尔代数。

四、谐振子的物理性质

在获得能级和波函数之后，我们来深入分析谐振子的一些核心物理性质，包括零点能、等间距能级、不确定度关系以及 Ehrenfest 定理。

4.1 零点能

基态能量 $E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega$是量子谐振子最引人注目的特征。经典谐振子的最低能量是$0$（粒子静止在 $x=0$ 处），但量子谐振子即使在绝对零度下也拥有非零的动能和势能。

为什么存在零点能？

零点能的存在可以从不确定性原理 $\Delta x \cdot \Delta p \geq \hbar/2$来理解。如果粒子精确地静止在$x=0$ 处（$\Delta x = 0$），则动量不确定度 $\Delta p \to \infty$，动能期望值 $\langle\hat{p}^2\rangle/(2m) \to \infty$。因此系统必须做出妥协：

$$ \langle E \rangle = \frac{\langle p^2 \rangle}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2\langle x^2 \rangle \geq \frac{(\Delta p)^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2(\Delta x)^2 $$

利用 $\Delta p \geq \hbar/(2\Delta x)$，最小化上式得到 $\langle E \rangle_{\min} = \frac{1}{2}\hbar\omega$，且此时 $\Delta x = \sqrt{\hbar/(2m\omega)}$，$\Delta p = \sqrt{m\hbar\omega/2}$。

实验验证：零点能最直接的实验证据来自低温下固体的热容。根据经典能量均分定理，固体在低温下的热容应趋于零，但实验观测到 $T \to 0$ 时原子仍有残余振动能量。此外：

• 光的散射：在极低温度下，晶体中的原子并非完全静止，光散射实验证实了零点运动的存在。
• 卡西米尔效应：真空电磁场的零点涨落导致两块中性导体板之间的吸引力。
• 液氦：$^4\text{He}$在常压下直至$T \to 0$ 仍保持液态，正是因为零点能足够大，阻止了原子凝固成晶格。

4.2 等间距能级

量子谐振子的能级是等间距的：

$$ E_{n+1} - E_n = \hbar\omega \quad (\text{与 } n \text{ 无关}) $$

这一性质在物理学中具有深远意义：

• 光子：电磁场的每个模式都是一个谐振子，$\hbar\omega$ 正是一个光子的能量。$\hat{a}^\dagger$ 产生一个光子，$\hat{a}$ 湮灭一个光子。这正是量子电动力学（QED）的出发点。
• 声子：晶格振动的简正模也是谐振子，能量量子 $\hbar\omega$ 称为声子。角动量与自旋 中讨论的自旋波量子（magnon）也遵循类似的量子化方案。
• 对应原理：当 $n \to \infty$ 时，$\Delta E / E_n = 1/(n+1/2) \to 0$，能级趋于连续，与经典连续谱一致。

谐振子能谱的普适性

任何在平衡位置附近有极小值的势能 $V(x)$，在小振动近似下都可以展开为 $V(x) \approx V(x_0) + \frac{1}{2}V''(x_0)(x-x_0)^2$，即近似为谐振子势。因此谐振子能谱 $E_n = (n+1/2)\hbar\omega$ 是描述小振动系统的普适公式。这使得谐振子模型在分子振动、晶格动力学、量子场论等领域具有核心地位。

4.3 位置与动量的不确定度

利用 $\hat{x}$和$\hat{p}$用$\hat{a}$、$\hat{a}^\dagger$表示的关系，以及升降算符在$|n\rangle$ 上的作用，可以计算：

$$ \begin{aligned} \langle n|\hat{x}|n\rangle &= 0, \quad \langle n|\hat{x}^2|n\rangle = \frac{\hbar}{2m\omega}(2n+1) \newline \langle n|\hat{p}|n\rangle &= 0, \quad \langle n|\hat{p}^2|n\rangle = \frac{m\hbar\omega}{2}(2n+1) \end{aligned} $$

因此：

$$ \begin{aligned} \Delta x &= \sqrt{\langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2} = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}\left(n + \frac{1}{2}\right)} \newline \Delta p &= \sqrt{\langle p^2 \rangle - \langle p \rangle^2} = \sqrt{m\hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right)} \newline \Delta x \cdot \Delta p &= \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar \end{aligned} $$

基态是最小不确定度态

当 $n = 0$ 时，$\Delta x \cdot \Delta p = \hbar/2$，恰好达到不确定性原理的下界。因此谐振子的基态是一个最小不确定度态（minimum uncertainty state）。当 $n$增大时，不确定度乘积也随之增大。相干态（见第五章）也是最小不确定度态，但不同于基态，相干态具有非零的期望值$\langle x \rangle$和$\langle p \rangle$。

4.4 与经典对应的 Ehrenfest 定理

Ehrenfest 定理指出，量子力学期望值满足经典运动方程。对于谐振子：

$$ \frac{d}{dt}\langle \hat{x} \rangle = \frac{\langle \hat{p} \rangle}{m},\qquad \frac{d}{dt}\langle \hat{p} \rangle = -\langle V'(x) \rangle = -m\omega^2\langle \hat{x} \rangle $$

因此：

$$ \frac{d^2}{dt^2}\langle \hat{x} \rangle + \omega^2\langle \hat{x} \rangle = 0 $$

即位置期望值 $\langle \hat{x} \rangle(t)$严格满足经典谐振子运动方程。这意味着任何量子态的位置期望值都做频率为$\omega$ 的简谐振动。

Ehrenfest 定理与对应原理

对于定态 $|n\rangle$，$\langle \hat{x} \rangle = 0$，$\langle \hat{p} \rangle = 0$（因为波函数有确定宇称），因此 Ehrenfest 定理给出的是平凡解。但对于非定态（如相干态），$\langle \hat{x} \rangle(t)$ 呈现周期性的经典运动。这是量子力学与经典力学之间的桥梁，由 波函数与薛定谔方程 中的 Ehrenfest 定理保证。

五、相干态

相干态是量子谐振子中最接近经典行为的量子态。它们由湮灭算符的本征态定义，具有最小不确定度，且波包形状不随时间扩散。相干态在量子光学中具有核心地位，是描述激光和相干光源的基本工具。

5.1 定义

相干态 $|\alpha\rangle$定义为湮灭算符$\hat{a}$ 的本征态：

$$ \boxed{\hat{a}|\alpha\rangle = \alpha|\alpha\rangle} $$

其中 $\alpha$是任意复数（因为$\hat{a}$ 不是厄米算符，其本征值可以是复数）。$\alpha$ 的实部和虚部分别对应位置和动量的期望值：

$$ \alpha = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\langle x \rangle + i\frac{1}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\langle p \rangle $$

为什么称为"相干态"

相干态的名称来源于它们描述的是具有确定相位的量子态。在经典电磁学中，相干光具有确定的相位关系；在量子光学中，相干态 $|\alpha\rangle$是描述激光最自然的量子态，其相位不确定度随$|\alpha|$ 增大而减小。

5.2 粒子数表象中的展开

将相干态 $|\alpha\rangle$ 在粒子数态（Fock 态）$|n\rangle$ 上展开：

$$ |\alpha\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} c_n |n\rangle $$

利用 $\hat{a}|\alpha\rangle = \alpha|\alpha\rangle$和$\hat{a}|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle$，得到递推关系 $c_n = \frac{\alpha}{\sqrt{n}}c_{n-1}$，解得：

$$ c_n = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\thinspace{}c_0 $$

归一化条件 $\langle\alpha|\alpha\rangle = 1$给出$|c_0|^2 = e^{-|\alpha|^2}$，取 $c_0 = e^{-|\alpha|^2/2}$（相位约定），则：

$$ \boxed{|\alpha\rangle = e^{-|\alpha|^2/2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\thinspace|n\rangle} $$

粒子数 $n$ 的概率分布为：

$$ P(n) = |\langle n|\alpha\rangle|^2 = e^{-|\alpha|^2}\thinspace\frac{|\alpha|^{2n}}{n!} $$

这是泊松分布，其均值和方差为：

$$ \langle \hat{N} \rangle = |\alpha|^2,\qquad \Delta N = |\alpha| $$

相对涨落 $\Delta N / \langle N \rangle = 1/|\alpha|$，当 $|\alpha| \gg 1$（宏观相干态）时，粒子数的相对涨落很小。

相干态与 Fock 态的区别

Fock 态 $|n\rangle$ 具有确定的粒子数，但相位完全不确定（$\langle \hat{x} \rangle = \langle \hat{p} \rangle = 0$）。相干态 $|\alpha\rangle$具有确定的相位（由$\arg(\alpha)$ 给出），但粒子数服从泊松分布。这是一种互补关系：粒子数和相位是一对共轭量，符合 量子力学基本假设 中的不确定性原理。

5.3 时间演化

相干态在谐振子哈密顿量下的时间演化：

$$ |\alpha(t)\rangle = e^{-i\hat{H}t/\hbar}|\alpha\rangle = e^{-i\omega t/2}\thinspace{}e^{-|\alpha|^2/2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha e^{-i\omega t})^n}{\sqrt{n!}}\thinspace|n\rangle $$

除去一个整体相位因子，这仍然是相干态，但 $\alpha$变为$\alpha(t) = \alpha e^{-i\omega t}$：

$$ |\alpha(t)\rangle = e^{-i\omega t/2}\thinspace|\alpha e^{-i\omega t}\rangle $$

在相空间中，$\alpha(t)$以角频率$\omega$ 在复平面上做圆周运动。位置期望值为：

$$ \langle \hat{x} \rangle(t) = \sqrt{\frac{2\hbar}{m\omega}}\thinspace|\alpha|\cos(\omega t - \varphi) $$

其中 $\varphi = \arg(\alpha)$。这恰好是经典谐振子的运动方程！

波包不扩散

相干态最显著的特征是波包在时间演化中保持高斯形状，$\Delta x$和$\Delta p$ 不随时间变化——这与自由粒子高斯波包随时间扩散形成鲜明对比。自由粒子波包扩散是因为不同动量分量以不同速度传播；而谐振子势的约束作用使得波包保持形状不变。因此相干态是最接近经典谐振子的量子态。

5.4 实验产生

相干态在量子光学实验中有多种产生方式：

• 激光：远高于阈值的激光器输出的光场可以很好地近似为相干态。激光的相干性来源于受激辐射过程，其量子统计性质接近泊松分布。
• 位移算符：相干态可以通过位移算符 $\hat{D}(\alpha) = e^{\alpha\hat{a}^\dagger - \alpha^*\hat{a}}$ 作用于真空态得到：$|\alpha\rangle = \hat{D}(\alpha)|0\rangle$。位移算符在相空间中平移量子态而不改变其形状。
• 量子光学实验：在腔量子电动力学（Cavity QED）和电路量子电动力学（Circuit QED）中，通过微波驱动可以精确制备谐振子的相干态。

相干态与微扰理论

相干态也常被用作 微扰理论 中处理外场驱动谐振子问题的出发点。例如，受迫谐振子的哈密顿量 $\hat{H} = \hbar\omega(\hat{a}^\dagger\hat{a} + 1/2) + f(t)(\hat{a} + \hat{a}^\dagger)$ 的精确解可以由相干态构造。

六、压缩态

压缩态是量子光学中另一类重要的非经典态。与相干态相比，压缩态在一个正交分量上具有比相干态（因而也比真空态）更小的量子涨落，其代价是另一个正交分量的涨落增大。

6.1 定义

引入两个正交分量算符（quadrature operators）：

$$ \hat{X}_1 = \frac{\hat{a} + \hat{a}^\dagger}{2},\qquad \hat{X}_2 = \frac{\hat{a} - \hat{a}^\dagger}{2i} $$

它们满足对易关系 $[\hat{X}_1, \hat{X}_2] = i/2$，因此不确定度关系为：

$$ \Delta X_1 \cdot \Delta X_2 \geq \frac{1}{4} $$

对真空态和相干态，$\Delta X_1 = \Delta X_2 = 1/2$，乘积达到下界。压缩态是指满足以下条件的态：

$$ \Delta X_1 < \frac{1}{2} \quad\text{或}\quad \Delta X_2 < \frac{1}{2} $$

同时保持 $\Delta X_1 \cdot \Delta X_2 = 1/4$（最小不确定度压缩态）。

压缩的物理图像

在相空间中，真空态的 Wigner 函数是一个圆形的等高线；相干态是平移后的相同圆形；而压缩态对应的 Wigner 函数等高线是一个椭圆——一个方向被"压缩"了，另一个方向被"拉伸"了。这个图像的直观理解有助于把握压缩态的量子统计性质。

压缩态可以通过压缩算符 $\hat{S}(\zeta) = \exp\left(\frac{1}{2}\zeta^*\hat{a}^2 - \frac{1}{2}\zeta(\hat{a}^\dagger)^2\right)$ 作用于真空态得到：

$$ |\zeta\rangle = \hat{S}(\zeta)|0\rangle $$

其中 $\zeta = r e^{i\theta}$，$r$ 为压缩参数，$\theta$ 为压缩方向。

6.2 应用

压缩态在精密测量中具有重要应用：

• 引力波探测：LIGO 和 Virgo 等引力波探测器使用压缩态光场来降低量子噪声。在 LIGO 的 Advanced 阶段，注入压缩真空态将高频段的量子散粒噪声降低了约 3 dB，显著提高了对引力波信号的灵敏度。
• 量子精密测量：压缩态可以将某个正交分量的测量精度提升到标准量子极限（SQL）以下。在量子计量学中，SQL 给出的相位灵敏度为 $\Delta\phi = 1/\sqrt{N}$（散粒噪声极限），而压缩态可以达到 $\Delta\phi \sim 1/N^{3/4}$甚至接近海森堡极限$\Delta\phi \sim 1/N$。
• 量子信息：压缩态是连续变量量子信息处理的基本资源，用于量子隐形传态、量子密钥分发和量子计算。

压缩态与谐振子的联系

压缩态是谐振子代数结构的自然产物。$\hat{S}(\zeta)$是$\hat{a}^2$和$(\hat{a}^\dagger)^2$的指数形式，对应谐振子 Hilbert 空间中的双光子过程。在 微扰理论 中，含时外场$\propto \hat{x}^2$ 的微扰可以产生压缩效应。

七、多维谐振子

现实物理问题中的谐振子往往是多维的。多维谐振子除了单粒子在多维空间中的运动外，还包括多个耦合谐振子系统。

7.1 各向同性谐振子

考虑三维各向同性谐振子，其哈密顿量为：

$$ \hat{H} = \frac{\hat{p}_x^2 + \hat{p}_y^2 + \hat{p}_z^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2(\hat{x}^2 + \hat{y}^2 + \hat{z}^2) $$

由于哈密顿量可以分离变量：$\hat{H} = \hat{H}_x + \hat{H}_y + \hat{H}_z$，波函数可以写为 $\psi(x,y,z) = \psi_{n_x}(x)\psi_{n_y}(y)\psi_{n_z}(z)$，能级为：

$$ E = \left(n_x + n_y + n_z + \frac{3}{2}\right)\hbar\omega $$

令 $N = n_x + n_y + n_z$，则 $E_N = (N + 3/2)\hbar\omega$。能级 $E_N$ 的简并度为：

$$ g_N = \frac{(N+1)(N+2)}{2} $$

这是因为 $n_x, n_y, n_z$为非负整数且和为$N$ 的组合数。

球坐标下的求解

各向同性谐振子也可以在球坐标下求解，径向方程为：

$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) + \left[\frac{\hbar^2\ell(\ell+1)}{2mr^2} + \frac{1}{2}m\omega^2 r^2\right]R = ER $$

这与 角动量与自旋 中讨论的三维中心势问题类似，角动量量子数 $\ell$的出现使得能级具有额外的简并结构。在球坐标下，能级为$E = (2n_r + \ell + 3/2)\hbar\omega$，与直角坐标下的 $E = (N + 3/2)\hbar\omega$ 一致（$N = 2n_r + \ell$）。

7.2 耦合谐振子

考虑两个质量均为 $m$、通过弹簧耦合的谐振子，哈密顿量为：

$$ H = \frac{p_1^2}{2m} + \frac{p_2^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega_0^2(x_1^2 + x_2^2) + \frac{1}{2}m\omega_c^2(x_1 - x_2)^2 $$

引入简正坐标：

$$ Q_+ = \frac{x_1 + x_2}{\sqrt{2}},\qquad Q_- = \frac{x_1 - x_2}{\sqrt{2}} $$

则哈密顿量对角化为：

$$ H = \frac{P_+^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega_+^2 Q_+^2 + \frac{P_-^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega_-^2 Q_-^2 $$

其中 $\omega_+ = \omega_0$（质心模），$\omega_- = \sqrt{\omega_0^2 + 2\omega_c^2}$（相对运动模）。量子化后，每个简正模都是一个独立的谐振子：

$$ E = \left(n_+ + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega_+ + \left(n_- + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega_- $$

这一方法推广到 $N$ 个耦合谐振子即为晶格动力学的简正模分析，是固体物理中声子理论的基础。

简正模与量子场论

耦合谐振子体系通过简正坐标对角化，每个简正模等价于一个独立谐振子，其量子化的能量量子称为声子。这一思想直接推广到量子场论：将场 $\phi(x)$ 视为连续无穷多个耦合谐振子的极限，场量子化后得到的粒子（光子、电子等）就是这些简正模的量子激发。因此，谐振子是理解量子场论的最基本模型。

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延伸阅读

• 量子力学专题：量子力学核心概念和框架的总览
• 波函数与薛定谔方程：定态薛定谔方程的求解方法和波函数的物理诠释
• 量子力学基本假设：量子力学公理体系，包括算符、本征态、测量等基本概念
• 一维势阱与势垒：一维束缚态和散射问题的标准解法
• 角动量与自旋：三维中心势问题、角动量代数、自旋
• 微扰理论：定态微扰和含时微扰，处理非精确可解系统的方法

Dirac on the harmonic oscillator

"The harmonic oscillator is so important in physics that it is worthwhile to study it in some detail." — P.A.M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics