题干：一质量为$m$的质点(或可视作质点的小球),从水平地面进入半圆轨道.已知质点在轨道最低点时的动能为$E_{k} = 2mgr$运动过程中不计空气阻力,且轨道与地面均光滑.试求质点沿轨道上滑至何处时会脱离轨道? Pasted image 20260109183719.png

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质点脱离半圆轨道的推导

① 能量守恒

最低点动能：

• $\frac12 m v_0^2 = 2mgr \quad\Rightarrow\quad v_0^2 = 4gr$

上升到角度 ($\theta$)（从最低点量起）时高度：

• $h = r(1-\cos\theta)$

能量守恒：

• $v^2 = v_0^2 - 2gh = 4gr - 2gr(1-\cos\theta)$

$$\boxed{v^2 = 2gr(1+\cos\theta)}$$

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② 脱离条件（支持力 (N=0)）

径向内方向取向圆心。

重力径向分量：

• $F_{g,r} = -mg\cos\theta$

径向方程：

• $N - mg\cos\theta = \frac{mv^2}{r}$

脱离条件 ($N=0$)：

• $mg\cos\theta = \frac{mv^2}{r}$

• $v^2 = -gr\cos\theta$

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③ 联立求脱离角度

$2gr(1+\cos\theta) = -gr\cos\theta$

$2(1+\cos\theta) = -\cos\theta$

$3\cos\theta = -2$

$$\boxed{\cos\theta = -\frac{2}{3}}$$

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④ 脱离高度

$h = r(1-\cos\theta)$

$$\boxed{h = r\left(1+\frac{2}{3}\right) = \frac{5}{3}r}$$

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最终答案

$$\boxed{\text{质点在 }\cos\theta = -\frac{2}{3}\text{ 处脱离轨道，高度为 }\frac{5}{3}r}$$

（即：到不了最高点就脱离。）

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补充

求小球脱离时的瞬时速度,小球的抛射距离,<span style="color:red"><b>小球从接触半圆到落地总时间</strong></span>