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机械波与多普勒效应（竞赛）
概览
振动是"一个质点"的来回运动，波则是"一整片介质"的接力赛。本笔记承接 08-机械振动，系统建立机械波的完整框架：先讲波的产生与描述（横波/纵波、波动方程 $y(x,t)=A\cos(\omega t-kx+\varphi_0)$——它是"位置+时间"的双变量函数，与振动方程有本质区别），再讲波的能量、惠更斯原理、干涉与驻波（弦的简正模式是乐器原理），最后给出多普勒效应的严格公式 $f=f_0\dfrac{v\pm v_o}{v\mp v_s}$ 与马赫锥。波动方程与多普勒效应是 CPhO 初赛、复赛的高频考点，且与光学 04-光的干涉（干涉同构）、01-几何光学基础（惠更斯原理解释折射）以及近代物理 07-粒子物理与宇宙学简介（天体红移）直接呼应。
核心概念
一、机械波的产生与传播
机械波产生的两个条件：波源（做机械振动的物体）与弹性介质（能传播振动的连续媒质）。波源振动时带动相邻介质质点振动，后者又带动更远的质点——振动状态沿介质由近及远传播，形成波。
波传播的本质
波传播的是振动形式与能量（还有相位、信息），质点并不随波迁移。每个质点都只在各自的平衡位置附近振动，波过后一切恢复原状。湖面漂叶只上下颠簸、不随波漂走，就是最直观的证据。介质是"传信的接力员"，不是"送信的快递员"。
按振动方向与传播方向的关系分两类：
| 比较项 | 横波 | 纵波 |
|---|---|---|
| 振动方向 vs 传播方向 | 垂直 | 平行 |
| 波形特征 | 凸起的波峰与凹下的波谷 | 密集区与稀疏区（疏密相间） |
| 传播介质 | 只能存在于固体（及液面） | 固、液、气均可 |
| 典型例子 | 绳波、水面波 | 声波（空气中是纵波） |
波速、频率、波长的三角关系：
- 频率 $f$ 由波源决定（波源每秒振动几次，波的频率就是几），换介质不变；
- 波速 $v$ 由介质决定（同一种波在同一介质中速度恒定），与波源无关；
- 波长由二者共同决定：$v=\lambda f=\dfrac{\lambda}{T}$。
记忆口诀
频率看源，速度看媒，波长由二者定。波源频率越高，同一介质中波长越短；波从一种介质进入另一种介质时，频率不变、速度变、波长跟着变。
二、简谐波的运动学描述——波动方程
波源做简谐振动时，介质中传播的是简谐波。设波沿 $+x$方向以速度$v$ 传播，$x=0$处质点的振动为$y=A\cos(\omega t+\varphi_0)$。振动状态以速度 $v$ 传播，$x$处质点的振动比$x=0$处晚了$x/v$的时间，故$x$处质点在$t$ 时刻的位移为
$$ \boxed{\thinspace{}y(x,t)=A\cos\left[\omega\left(t-\frac{x}{v}\right)+\varphi_0\right]=A\cos(\omega t-kx+\varphi_0)\thinspace} $$
其中波数 $k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{\omega}{v}$。要点：
- $t-\dfrac{x}{v}$的含义：相位$\omega\left(t-\dfrac{x}{v}\right)$以速度$v$沿$+x$方向传播——某时刻$x_1$处的相位，经$\Delta t=\dfrac{x_2-x_1}{v}$后恰好到达$x_2$。波的传播本质上是相位的传播；
- 波动方程是双变量函数：$y$同时依赖位置$x$与时间$t$，这与振动方程 $y(t)$ 有本质区别——振动只描述一个质点的位移随时间变化，波动则描述整个介质中各质点在不同时刻的位移；
- 沿 $-x$方向传播的波写作$y=A\cos(\omega t+kx+\varphi_0)$（$kx$ 前取正号），读题时务必先确认传播方向。
三、波形图与振动图——两张易混的图
竞赛最常见也最易错的题型：波形图（$y$-$x$ 图）是"快照"——同一时刻全介质的位移分布；振动图（$y$-$t$ 图）是"日记"——同一质点不同时刻的位移历史。
| 比较项 | 波形图（$y$-$x$ 图） | 振动图（$y$-$t$ 图） |
|---|---|---|
| 横轴 | 位置 $x$ | 时间$t$ |
| 描述对象 | 某时刻的整个介质 | 某个质点的运动历史 |
| 直接读出 | 波长 $\lambda$、振幅 $A$ | 周期$T$、振幅 $A$ |
| 随时间推进 | 波形整体沿传播方向平移 | 曲线沿 $t$ 轴延伸 |
| 判断质点振动方向 | 用"带动法/平移法"（后方质点由前方带动） | 直接由曲线上该点斜率（速度）判断 |
两图速判
看图第一件事：看横轴是 $x$还是$t$。$y$-$x$图给$\lambda$，$y$-$t$图给$T$，二者结合即得 $v=\dfrac{\lambda}{T}$。若既给波形图又给振动图，先由振动图定周期与初相、由波形图定波长与传播方向，再"双锁定"波动方程（见例题 1）。
四、波的能量与强度
波携带能量：介质质点在振动中既有动能又有势能（形变能）。与简谐振动最深刻的区别是——波中动能与势能同相变化：质点在平衡位置处速度最大（动能最大），同时形变（应变）也最大（势能最大）；在最大位移处两者同时为零。而简谐振动中动能与势能反相、总和守恒。波的能量不是"留在原地"，而是随波定向流动。单位时间、单位面积上通过的能量称为能流密度（强度），对简谐波
$$ \boxed{\thinspace{}I=\frac12\rho v\omega^2 A^2\thickspace\propto\thickspace A^2\thinspace} $$
即强度与振幅的平方成正比（$\rho$ 为介质密度，$v$为波速）。由此得球面波的衰减规律：不计吸收时，波通过半径为$r$ 的球面的总功率恒定，$4\pi r^2 I=\text{const}$，故 $I\propto\dfrac{1}{r^2}$，振幅
$$ \boxed{\thinspace{}A\propto\frac1r\thinspace} $$
声源越远越"轻"，且振幅与距离成反比——远处听不清的并非"声波的总功率变小了"，而是能量被摊到更大的球面上。
五、惠更斯原理与波的衍射
惠更斯原理：波前上的每一点都可看作新的子波源，发出球面子波；下一时刻的波前是这些子波的包络面。
- 衍射：波遇到障碍物或狭缝时偏离直线传播、绕到"影子"区域的现象。障碍物（或缝）尺寸与波长可比时衍射明显，波长越长越容易绕过去——所以"隔墙有耳"（声波波长大，绕过墙角），而光波（波长极短）几乎走直线；
- 用惠更斯原理解释反射：平面波遇平面界面，子波包络仍是平面，几何上即得反射角等于入射角；
- 用惠更斯原理解释折射：波进入速度不同的介质时，同一时间内两介质中的子波半径不同，波前偏转，导出 $\dfrac{\sin i}{\sin r}=\dfrac{v_1}{v_2}$——这正是光学折射定律的波前版（衔接 01-几何光学基础）。
六、波的干涉
相干条件：两列波产生稳定的干涉图样，必须满足——①频率相同；②振动方向相同；③相位差恒定。满足条件的波源称为相干波源。叠加的振幅由相位差决定（类比 05-复数与欧拉公式 中同频振动合成）：
设两相干波源同相，某点 $P$到两波源的距离分别为$r_1,\thinspace{}r_2$，波程差 $\Delta=r_2-r_1$。相位差 $\Delta\varphi=\dfrac{2\pi}{\lambda}\Delta$：
| 条件 | 相位差 | 结果 |
|---|---|---|
| $\Delta=m\lambda$（$m$为整数） | $\Delta\varphi=2m\pi$ | 振动加强，振幅$A=A_1+A_2$ |
| $\Delta=\left(m+\dfrac12\right)\lambda$ | $\Delta\varphi=(2m+1)\pi$ | 振动减弱，振幅$A= |
反相波源条件对调
以上结论对同相波源成立。若两波源反相（相位差 $\pi$），则加强、减弱条件恰好对调：$\Delta=m\lambda$ 处反而减弱。做题时先看清波源的相位关系，再套条件。
干涉图样的特征是加强区与减弱区稳定分布、不随时间移动（两列波每时每刻互相"喂"出固定的强弱）。波程差分析只对"两列同介质传播的波"直接适用；声波干涉、水波干涉、光的干涉（04-光的干涉）是同一套数学结构。
七、驻波与弦的简正模式
两列振幅相同、传播方向相反的相干波叠加，形成驻波（推导见后）。驻波方程
$$ \boxed{\thinspace{}y=2A\cos(kx)\cos(\omega t)\thinspace} $$
其中位置因子与时间因子分离，各质点的振动频率相同、振幅 $\left|2A\cos(kx)\right|$ 由位置决定：
- 波腹：$\cos(kx)=\pm1$处，即$x=m\dfrac{\lambda}{2}$，振幅最大为 $2A$；
- 波节：$\cos(kx)=0$处，即$x=\left(m+\dfrac12\right)\dfrac{\lambda}{2}$，振幅恒为零，质点不动；
- 相邻波腹（或波节）间距为 $\dfrac{\lambda}{2}$，波腹与相邻波节相距 $\dfrac{\lambda}{4}$。
半波损失：波在固定端反射时，反射波相位突变 $\pi$（相当于半个波长的"损失"），反射端必为波节；在自由端反射无相位突变，反射端为波腹。
弦的简正模式：两端固定的弦长 $L$，驻波必在两端形成波节，故 $L=n\dfrac{\lambda_n}{2}$，即 $\lambda_n=\dfrac{2L}{n}$（$n=1,2,3,\cdots$）。由 $v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}$（$T$ 为张力、$\mu$为线密度）与$f=\dfrac{v}{\lambda}$：
$$ \boxed{\thinspace{}f_n=nf_1,\qquad f_1=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}\thinspace} $$
$f_1$ 为基频，$f_n$ 为谐频。拨弦时弦上同时激发多种模式，$n$越大音调越高——这就是吉他、钢琴等弦乐器的发声原理：改变有效长度$L$（按弦）与张力 $T$（调弦）即可改变音调。
八、多普勒效应
声源与观察者之间有相对运动时，观察者接收到的频率 $f$不等于波源频率$f_0$：声源靠近时音调变高、远离时变低——火车鸣笛驶过你身边的"音调骤降"即为此效应。设波速 $v$，观察者速度 $v_o$、波源速度 $v_s$（均沿连线方向，靠近为正）：
$$ \boxed{\thinspace{}f=f_0\thinspace\frac{v\pm v_o}{v\mp v_s}\thinspace} $$
- 分子取 $+v_o$：观察者靠近波源时接收频率升高；
- 分母取 $-v_s$：波源靠近观察者时接收频率升高。
口诀："靠近取加（分子）、取减（分母），远离全反过来"。若相对运动方向与连线成角 $\theta$，速度取沿连线的分量（如波源以 $v_s$运动，取$v_s\cos\theta$）。
马赫锥：波源速度超过波速（$v_s>v$，如超音速飞机）时，波面堆积成一个圆锥面，锥半角满足
$$ \boxed{\thinspace\sin\alpha=\frac{v}{v_s}\thinspace} $$
锥面上是强声波的集中——音爆。应用：测速雷达（电磁波经运动物体反射后频率改变，反推车速）、多普勒彩超（血流速度成像）、天体红移（星系远离使谱线向长波移动，见 07-粒子物理与宇宙学简介 的哈勃定律）。
推导与原理
一、波动方程：从"振动延迟"到双变量函数
设 $x=0$处振动为$y(0,t)=A\cos(\omega t+\varphi_0)$。振动状态以速度 $v$沿$+x$传播，到达$x$处需时$\dfrac{x}{v}$，故 $x$处的振动是$x=0$处振动"延迟"了$\dfrac{x}{v}$ 的版本：
$$ y(x,t)=y\left(0,\thinspace{}t-\frac{x}{v}\right)=A\cos\left[\omega\left(t-\frac{x}{v}\right)+\varphi_0\right] $$
用 $k=\dfrac{\omega}{v}$展开即$y=A\cos(\omega t-kx+\varphi_0)$。上式对 $t$与$x$ 各求两次偏导（01-微积分基础 的偏导数），可验证 $y$ 满足一维波动方程
$$ \boxed{\thinspace\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\thinspace} $$
这是"一切沿 $x$方向以速度$v$传播的波都满足"的普适方程；简谐波只是它的一个特解。代入$\tilde y=Ae^{i(\omega t-kx)}$（05-复数与欧拉公式 的复数表示）得 $(-i\omega)^2=v^2(ik)^2$，即色散关系 $\omega=vk$。
二、绳上横波的波速 $v=\sqrt{T/\mu}$
取绳上一段微元 $dx$（线密度 $\mu$），设其左侧张力 $T$的竖直分量为$-T\dfrac{\partial y}{\partial x}\Big|_x$、右侧为 $T\dfrac{\partial y}{\partial x}\Big|_{x+dx}$，合力
$$ F_y=T\left[\frac{\partial y}{\partial x}\Big|_{x+dx}-\frac{\partial y}{\partial x}\Big|_{x}\right]=T\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\thinspace{}dx $$
由牛顿第二定律，微元质量 $\mu\thinspace{}dx$：
$$ \mu\thinspace{}dx\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=T\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\thinspace{}dx \thickspace\Longrightarrow\thickspace \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=\frac{T}{\mu}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} $$
与波动方程对比得
$$ \boxed{\thinspace{}v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\thinspace} $$
张力越大（绳子越"绷紧"）波速越快，线密度越大（绳子越"重"）波速越慢。声速由介质性质（弹性模量与密度）决定，气体中 $v=\sqrt{\dfrac{\gamma p}{\rho}}$（竞赛了解结论即可）。
三、波的能量、能流密度与球面波衰减
取绳上微元，速度 $\dfrac{\partial y}{\partial t}=-A\omega\sin(\omega t-kx)$，动能 $dE_k=\dfrac12\mu\thinspace{}dx\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)^2$；形变势能由绳段被拉伸（$\sqrt{dx^2+dy^2}-dx\approx\dfrac12\left(\dfrac{\partial y}{\partial x}\right)^2dx$）而来，$dE_p=\dfrac12 T\left(\dfrac{\partial y}{\partial x}\right)^2dx$。由于 $\dfrac{\partial y}{\partial x}=-kA\sin(\omega t-kx)$与$\dfrac{\partial y}{\partial t}$都是$\sin$型（同相！），且$\mu\omega^2=Tk^2$（即 $\omega=vk$），故每一时刻 $dE_k=dE_p$——动能与势能同相变化，各自以频率 $2\omega$ 脉动。这就是与简谐振动（$E_k$、$E_p$反相）的本质区别：波的能量不守恒于局部，而是以速度$v$ 流动。
平均能流密度（单位时间通过单位横截面积的能量）为
$$ I=\overline{\frac{dE}{dt}}\Big/S=\frac12\rho v\omega^2A^2 $$
$I\propto A^2$。对球面波，任意球面总功率相等：$4\pi r^2 I=\text{const}$，故 $I\propto\dfrac1{r^2}$、$A\propto\dfrac1r$。
四、驻波的叠加推导
两列反向传播的同频同幅相干波（初相均取零）叠加：
$$ y=y_1+y_2=A\cos(\omega t-kx)+A\cos(\omega t+kx) $$
由和差化积（05-复数与欧拉公式）
$$ \boxed{\thinspace{}y=2A\cos(kx)\cos(\omega t)\thinspace} $$
位置因子 $\cos(kx)$与时间因子$\cos(\omega t)$分离：所有质点同时过平衡、同时达极值（"齐步走"），但振幅随$x$变化——这就是驻波。波腹处$kx=m\pi$（$x=m\dfrac{\lambda}{2}$），波节处 $kx=\left(m+\dfrac12\right)\pi$。驻波的特点：能量不沿介质传播，只在波节与波腹之间来回振荡（波节处介质不动、不传能）；波形不移动，故名"驻"。弦乐器就是靠"两端固定形成波节"的驻波发声。
五、多普勒效应的完整推导
分两步思考（波源频率 $f_0$，波速 $v$）：
第一步——波源动，观察者不动：波源以 $v_s$靠近观察者。一个周期$T_0=\dfrac1{f_0}$内波源发出一个完整波，同时向观察者推进了$v_sT_0$，故相邻波面（波峰）间距被压缩为
$$ \lambda'=vT_0-v_sT_0=\frac{v-v_s}{f_0} $$
观察者不动，接收到波的相对速度仍为 $v$，故
$$ f=\frac{v}{\lambda'}=\frac{v}{v-v_s}f_0 $$
第二步——观察者也动：观察者以 $v_o$靠近波源时，波相对观察者的速度为$v+v_o$，而波长已是压缩后的 $\lambda'$：
$$ f=\frac{v+v_o}{\lambda'}=f_0\thinspace\frac{v+v_o}{v-v_s} $$
更一般地，允许 $v_o$、$v_s$ 取正负（靠近为正），统一写成
$$ \boxed{\thinspace{}f=f_0\thinspace\frac{v+v_o}{v-v_s}\thinspace}\qquad \text{（}v_o\text{、}v_s\text{沿连线，靠近为正）} $$
注意：多普勒频移只取决于相对运动在连线方向的分量，且观察者动与波源动并不对称——波源动改变的是波长，观察者动改变的是接收速度。若波源静止、观察者以 $v_o$远离，则$f=f_0\dfrac{v-v_o}{v}$；若两者相向而行，分子分母同时"有利"，频移最大。
马赫锥推导：波源以 $v_s>v$运动时，每过$T_0$波源发出一个新波面，但其位置已前移$v_sT_0$，各波面包络成锥面。锥半角 $\alpha$满足直角关系$\sin\alpha=\dfrac{vT_0}{v_sT_0}=\dfrac{v}{v_s}$。
典型实例与物理应用
实例 1：双图互推——读图定波动方程
一列简谐横波沿 $+x$ 传播，$t=0$ 波形图给出：$\lambda=4.0\thinspace\text{m}$，$A=10\thinspace\text{cm}$，且 $x=0$处质点位于平衡位置、向$+y$ 运动；$x=0$处质点的振动图给出$T=2.0\thinspace\text{s}$。则由 $v=\dfrac{\lambda}{T}=2.0\thinspace\text{m/s}$、$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{\pi}{2}\thinspace\text{rad/m}$、$\omega=\pi\thinspace\text{rad/s}$，且"$t=0$时$y=0$、$v_y>0$"定出初相 $\varphi_0=-\dfrac{\pi}{2}$，波动方程为
$$ y=0.10\cos\negthinspace\left(\pi t-\frac{\pi}{2}x-\frac{\pi}{2}\right)\ \text{m} $$
初相三要素
定初相看三点：位移、速度方向、旋转矢量（08-机械振动）。$y=0$且向上对应旋转矢量在$-y$ 半轴附近，$\varphi_0=-\dfrac{\pi}{2}$；若改为向下运动则 $\varphi_0=+\dfrac{\pi}{2}$。相位 $\varphi_0$ 的正负与传播方向共同决定波峰位置，错一个符号整题报废。
实例 2：乐器——弦的驻波与风琴管
吉他弦长 $L=0.8\thinspace\text{m}$、线密度 $\mu=0.01\thinspace\text{kg/m}$、张力 $T=16\thinspace\text{N}$：$v=\sqrt{T/\mu}=40\thinspace\text{m/s}$，基频 $f_1=\dfrac{v}{2L}=25\thinspace\text{Hz}$。手指按住弦中点，有效长度减半，基频翻倍为 $50\thinspace\text{Hz}$；调音（改变张力）时 $f_1\propto\sqrt{T}$，升高八度（频率加倍）需把张力增大到 $4$倍。管乐器（一端封闭的风琴管）在封闭端形成波节、开口端形成波腹，基频为$f_1=\dfrac{v}{4L}$，与两端开口管（$f_1=\dfrac{v}{2L}$）不同——边界条件决定简正模式。
实例 3：多普勒效应的应用
- 测速雷达：雷达发射频率 $f_0$的电磁波，被车速为$u$的汽车反射后返回，接收频率与$f_0$相差$\Delta f\propto u$，测出 $\Delta f$ 即得车速；
- 多普勒彩超：超声波经血流中运动的红细胞反射，频移量反映血流速度，用于心血管诊断；
- 天体红移：星系远离我们时，其谱线频率降低（波长变长、向红端移动），哈勃观测到红移量与距离成正比——星系在退行，宇宙在膨胀（详见 07-粒子物理与宇宙学简介）。
例题
例 1：由波形图与振动图反推波动方程（经典读图题）
题目：一列简谐横波沿 $+x$ 方向传播，$t=0$ 时刻的波形图（$y$-$x$ 图）显示：$\lambda=4.0\thinspace\text{m}$、$A=10\thinspace\text{cm}$，$x=0$ 处质点此时位于平衡位置且向上运动。$x=0$ 处质点的振动图（$y$-$t$图）给出$T=2.0\thinspace\text{s}$。求：（1）波速 $v$；（2）波动方程；（3）$t=0.5\thinspace\text{s}$时$x=2.0\thinspace\text{m}$ 处质点的位移与速度方向。
分析：双图配合——振动图定 $T$，波形图定 $\lambda$；"$t=0$时$x=0$处$y=0$且向上"定初相。注意沿$+x$传播的波取$y=A\cos(\omega t-kx+\varphi_0)$，$x$ 前为负号。
解答： （1）$v=\dfrac{\lambda}{T}=\dfrac{4.0}{2.0}=2.0\thinspace\text{m/s}$。
（2）$\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\pi\thinspace\text{rad/s}$，$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{\pi}{2}\thinspace\text{rad/m}$。$t=0$、$x=0$处$y=0$且$v_y=-\omega A\sin\varphi_0>0$，故 $\sin\varphi_0<0$，取 $\varphi_0=-\dfrac{\pi}{2}$：
$$ y=0.10\cos\negthinspace\left(\pi t-\frac{\pi}{2}x-\frac{\pi}{2}\right)\ \text{m} $$
（3）代入 $t=0.5\thinspace\text{s}$、$x=2.0\thinspace\text{m}$，相位 $\Phi=\dfrac{\pi}{2}-\pi-\dfrac{\pi}{2}=-\pi$：
$$ y=0.10\cos(-\pi)=-0.10\thinspace\text{m} $$
即 $x=2.0\thinspace\text{m}$ 处质点处于负向最大位移，此刻速度为零（即将反向）。
点评：读图题的标准流程是"三定"：定 $\lambda$（波形图）、定 $T$（振动图）、定 $\varphi_0$（初状态与旋转矢量）。特别注意 $x=0$处"向上运动"对应$\varphi_0=-\dfrac{\pi}{2}$而不是$+\dfrac{\pi}{2}$——二者相位差 $\pi$，代入后波峰位置完全不同。检验方法是把求出的方程代回初条件：$t=0$时$y(0,0)=0.10\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=0$，且 $v_y=\left.\dfrac{\partial y}{\partial t}\right|_{0,0}=+0.1\pi>0$，自洽。
例 2：弦振动驻波——基频、谐频与波节位置
题目：一根长 $L=0.8\thinspace\text{m}$、线密度 $\mu=0.01\thinspace\text{kg/m}$的弦，两端固定，张力$T=16\thinspace\text{N}$。（1）求基频与各谐频；（2）若弦上形成 $3$ 个波腹的驻波，求波长与波节位置；（3）手指在弦中点轻按（中点成为波节），弦发基频，求频率。
分析：波速 $v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}$只由弦的参数决定；简正模式满足$L=n\dfrac{\lambda_n}{2}$；波节在 $x=m\dfrac{\lambda_n}{2}$ 处。
解答： （1）$v=\sqrt{\dfrac{16}{0.01}}=40\thinspace\text{m/s}$。基频
$$ f_1=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}=\frac{40}{2\times0.8}=25\thinspace\text{Hz} $$
谐频 $f_n=nf_1=25n\thinspace\text{Hz}$（$n=1,2,3,\cdots$）。
（2）$3$个波腹即$n=3$：$\lambda_3=\dfrac{2L}{3}=\dfrac{2\times0.8}{3}\approx0.53\thinspace\text{m}$。波节位置（$n=3$时有$4$ 个波节）：
$$ x=0,\ \frac{L}{3},\ \frac{2L}{3},\ L \qquad \text{即 } x=0,\ 0.267,\ 0.533,\ 0.8\ \text{m} $$
相邻波节间距 $\dfrac{\lambda_3}{2}\approx0.267\thinspace\text{m}=\dfrac{L}{3}$。
（3）中点按弦：有效振动长度 $L'=\dfrac{L}{2}$，弦在 $x=0,\thinspace{}L/2,\thinspace{}L$处均有波节，恰为$n=2$ 的模式：
$$ f=\frac{1}{2L'}\sqrt{\frac{T}{\mu}}=\frac{1}{2\times0.4}\times40=50\thinspace\text{Hz}=2f_1 $$
点评：驻波题的关键是边界定模式：两端固定（波节—波节）则 $L=n\dfrac{\lambda}{2}$。第（3）问"按弦"等价于把有效长度减半、强制成第 2 谐频——吉他按弦升八度的原理。若边界换成一端固定一端自由（管乐器），条件变为 $L=\left(n+\dfrac12\right)\dfrac{\lambda}{2}$，基频 $\dfrac{v}{4L}$，不要混淆。
例 3：多普勒效应——含反射面移动的综合题
题目：声源静止，发射频率 $f_0=680\thinspace\text{Hz}$的声波，声速$v=340\thinspace\text{m/s}$。（1）观察者以 $v_o=20\thinspace\text{m/s}$向声源运动，接收频率多大？（2）若观察者静止、声源以$v_s=20\thinspace\text{m/s}$靠近，接收频率多大？（3）声源与观察者都静止，一堵大墙以$u=5\thinspace\text{m/s}$ 向声源靠近。观察者在声源一侧静止，求听到的反射波频率，以及直射波与反射波的拍频。
分析：（1）（2）直接套多普勒公式，注意"观察者动"与"波源动"的机制不同；（3）反射面有两个角色：对入射波它是运动的观察者，对反射波它是运动的波源，两步都用多普勒公式，方向按"靠近取加/减"逐段判断。
解答： （1）观察者靠近波源（波源静止，$v_s=0$）：
$$ f=f_0\frac{v+v_o}{v}=680\times\frac{340+20}{340}=720\thinspace\text{Hz} $$
（2）波源靠近观察者（观察者静止，$v_o=0$）：
$$ f=f_0\frac{v}{v-v_s}=680\times\frac{340}{340-20}\approx722.5\thinspace\text{Hz} $$
（3）第一步：墙以 $u$ 靠近声源，墙接收到的频率（墙是运动的"观察者"）
$$ f'=f_0\frac{v+u}{v}=680\times\frac{345}{340}=690\thinspace\text{Hz} $$
第二步：墙把频率 $f'$的波反射回去，墙又是以$u$ 靠近观察者的"运动波源"，观察者听到
$$ f''=f'\frac{v}{v-u}=690\times\frac{340}{335}\approx700.3\thinspace\text{Hz} $$
反射波与直射波在观察者处叠加（波源相同，相干），拍频
$$ f_{\text{拍}}=|f''-f_0|=700.3-680\approx20.3\thinspace\text{Hz} $$
点评：含反射面的问题，把反射面当作"先收后发"的中继：对入射波它按"观察者"算，对反射波它按"波源"算，两段独立套公式，方向以"靠近取加（分子）、取减（分母）"逐一判断。综合式 $f''=f_0\dfrac{v+u}{v-u}$ 值得记住。多普勒公式只对沿连线方向的运动成立，若运动方向与连线成角，取分量。此题的拍频是声波测速（如测流血流速）的原理基础。
易错提醒
易错点
- 质点不随波迁移：每个质点只在平衡位置附近振动，不沿传播方向运动；"波速"是波形/相位前进的速度，不是质点的运动速度（质点速度是 $\dfrac{\partial y}{\partial t}$，是横方向的正弦量）。
- $v$ 的三种身份混淆：$\lambda f$中的波速$v$、振动速度 $\dfrac{\partial y}{\partial t}$、相位传播速度，三者数值、方向完全不同；求"波速"永远用 $v=\dfrac{\lambda}{T}$或介质公式$v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}$。
- 波动方程与振动方程混用：波动方程是双变量 $y(x,t)$，$x$处质点振动图是把$x$固定后的$y(t)$曲线；把$y=A\cos(\omega t-kx)$当振动方程去求周期是典型错误——周期只由$\omega$决定，与$x$ 无关。
- 波形图与振动图看反：$y$-$x$ 图读波长、$y$-$t$ 图读周期；用"波形图上质点的瞬时速度方向"直接套振动图规则会出错，必须分清横轴。
- 干涉条件不分波源相位：$\Delta=m\lambda$ 加强只对同相波源成立；反相波源加强、减弱条件对调。先确认波源初相差，再写条件。
- 驻波节点位置错半格：波节在 $\left(m+\dfrac12\right)\dfrac{\lambda}{2}$（$\dfrac{\lambda}{4}$的奇数倍），波腹在$m\dfrac{\lambda}{2}$；波腹与相邻波节间距是 $\dfrac{\lambda}{4}$而非$\dfrac{\lambda}{2}$。
- 半波损失方向记反：固定端反射必为波节（相位突变 $\pi$），自由端反射必为波腹（无突变）；弦一端固定一端自由时 $L=\left(n+\dfrac12\right)\dfrac{\lambda}{2}$，基频是 $\dfrac{v}{4L}$而非$\dfrac{v}{2L}$。
- 多普勒分子分母取号错：分子是对观察者（$v_o$）取加，分母是对波源（$v_s$）取减，靠近取加/减、远离相反，且要取连线方向的分量；把"观察者靠近"写进分母是最高频失误。
- 反射面问题只算一步：移动反射面要"先收后发"两步处理（先当运动观察者、再当运动波源），漏掉任何一步频率都算错。
- 强度与振幅的关系：$I\propto A^2$，球面波 $I\propto\dfrac{1}{r^2}$、$A\propto\dfrac1r$；"远处振幅减半"对应的强度是原来的 $\dfrac14$，不是 $\dfrac12$。
概念辨析
振动 vs 波动
| 比较项 | 振动 | 波动 |
|---|---|---|
| 描述对象 | 单个质点 | 介质整体 |
| 变量 | $y(t)$单变量 | $y(x,t)$ 双变量 |
| 特征量 | 振幅、周期 $T$、相位 | 振幅、周期 $T$、波长 $\lambda$、波速 $v$ |
| 能量 | 留在系统内守恒 | 随波传播流动 |
横波 vs 纵波：振动方向与传播方向垂直（绳波、水面波）为横波，平行（声波）为纵波；横波仅固体（及液面）可传，纵波固液气皆可。
波形图 vs 振动图：$y$-$x$图是"某一时刻的快照"，横轴为位置、读$\lambda$；$y$-$t$图是"某质点的历史"，横轴为时间、读$T$。两图结合可求出波速并反推波动方程。
行波 vs 驻波：行波相位沿传播方向推进、能量定向流动；驻波波形不动、各点同相振动但振幅由 $\cos(kx)$ 调制，能量在波节间振荡不传播。驻波是两列反向行波的叠加，不是新的一类波。
观察者动 vs 波源动（多普勒）：观察者动改变"接收速度"（$\lambda$不变）；波源动改变"波长"（接收速度仍为$v$）。同速相向而行时，波源动引起的频移（$\dfrac{v}{v-v_s}$）比观察者动（$\dfrac{v+v_o}{v}$）更大——不对称，注意区分。
与其他知识关联
- 与 08-机械振动 的关系：波源即振子；相位、旋转矢量、$\omega=2\pi f$ 等概念全部复用；振动是波的"源头"，波是振动的"推广"。
- 与 01-微积分基础 的关系：偏导数 $v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}$、$\dfrac{\partial y}{\partial x}$与波动方程$\dfrac{\partial^2y}{\partial t^2}=v^2\dfrac{\partial^2y}{\partial x^2}$ 的建立。
- 与 05-复数与欧拉公式 的关系：波动复数表示 $\tilde y=Ae^{i(\omega t-kx)}$、色散关系 $\omega=vk$、和差化积推驻波。
- 与 01-运动学 的关系：波速 $v=\dfrac{\lambda}{T}$ 是匀速直线运动公式在"波形平移"上的直接应用（波形平移法求传播方向与波速）。
- 与 04-功与机械能 的关系：波的能量密度、能流密度是功率/能量观点的连续介质版本。
- 与光学 04-光的干涉 的关系：干涉加强/减弱条件 $\Delta=m\lambda$ 与光程差条件数学同构，机械波是光的"慢动作教材"。
- 与光学 01-几何光学基础 的关系：惠更斯原理同时解释波的反射、折射定律；折射率 $n=\dfrac{c}{v}$ 即波速比的倒数。
- 与近代物理 07-粒子物理与宇宙学简介 的关系：多普勒频移解释天体红移与哈勃定律（宇宙膨胀）。
- 与高中物理联系：高中力学总览（简谐波基础、横波纵波、波长频率波速）。
- 与大学层面联系：机械波（行波严格理论、能量密度、色散）、机械振动（本笔记的振动前置）、电磁学（电磁波与机械波同构，04-光的干涉 的定量基础）。
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作者的话
个人理解
学波之前，我以为物理的对象是"东西"；学波之后才明白，物理最迷人的对象其实是"状态"——波不搬运物质，只搬运相位和能量。同一行波动方程 $y=A\cos(\omega t-kx+\varphi_0)$，机械波写的是绳上的位移，光学里写的是电场，量子力学里写的是概率幅——$\omega t-kx$是物理学的母语。所以我在笔记里反复强调"双变量"与"相位传播"，因为看懂$t-\dfrac{x}{v}$ 的那一刻，你就看懂了波。
竞赛层面我建议抓三样：一是读图能力——波形图、振动图互推是初赛送分题，也是复赛综合题的第一问，练到"看图即知 $\lambda$、$T$、$\varphi_0$"；二是驻波——它是"振动与波"的交汇点，弦乐器的音阶、风琴管的音色全在 $L=n\dfrac{\lambda}{2}$ 与边界条件里；三是多普勒——它把"相对运动"这一运动学主线延伸到波上，分子分母取号看似琐碎，想通"波源动改波长、观察者动改接收速度"就再也不会错。
最后提醒：波的能量里动能、势能同相，这是与振动最"反直觉"的一点——波的局部能量并不守恒，守恒的是总功率。想通了这一点，驻波的能量驻留、球面波的 $A\propto1/r$、干涉图样的稳定分布，就都能串成一条线。下一站可以带着这份波动的直觉走进光学 04-光的干涉——那里是同一套数学，更快的波。
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