弹簧振子与阻尼振子的运动方程推导

本文定位

本笔记适合放在「力学」「振动与波」「微分方程建模」等文件夹。
目标：

• 从牛顿第二定律出发，严格推导弹簧振子与阻尼振子的运动方程
• 给出通解形式与物理含义
• 区分无阻尼、阻尼三种情况（欠阻尼/临界阻尼/过阻尼）

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1. 理想弹簧振子（无阻尼）

1.1 模型与假设

考虑一质量为 $m$的小物块，连接在劲度系数为$k$ 的轻弹簧上，在光滑水平面上运动。

• 设平衡位置为 $x = 0$
• 向右为正方向
• 设物块偏离平衡位置的位移为 $x(t)$

关键假设

• 弹簧满足胡克定律：$F_{\text{弹}} = -kx$
• 无摩擦、无阻力
• 只考虑一维运动

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1.2 受力分析与牛顿第二定律

对质量块受力：

• 弹簧弹力：$F = -kx$（指向平衡位置）

由牛顿第二定律：

$$ m\frac{d^2x}{dt^2} = \sum F = -kx. $$

整理得：

$$ \boxed{ m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0 } $$

这是一个二阶线性齐次常系数微分方程。

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1.3 特征方程与通解

写成标准形式：

$$ \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0,\quad \omega^2 = \frac{k}{m}. $$

设解为 $x = e^{\lambda t}$，代入得特征方程：

$$ \lambda^2 + \omega^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = \pm i\omega. $$

因此通解为：

$$ x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t), $$

或写成振幅–相位形式：

$$ x(t) = C\cos(\omega t + \varphi), $$

其中：

• $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$：角频率
• $C$：振幅
• $\varphi$：初相位

理想弹簧振子

• 运动方程：$m\ddot{x} + kx = 0$
• 解：简谐振动
• 角频率：$\omega = \sqrt{k/m}$
• 周期：$T = 2\pi\sqrt{m/k}$

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2. 阻尼振子（含阻尼项）

现在考虑弹簧振子在有阻力的情况下，例如：

• 空气阻力近似与速度成正比：$f_{\text{阻}} = -b\dot{x}$
• $b > 0$ 为阻尼系数

2.1 模型与受力

对质量块受力：

• 弹簧弹力：$-kx$
• 阻尼力：$-b\dot{x}$（与速度方向相反）

合力：

$$ \sum F = -kx - b\dot{x}. $$

由牛顿第二定律：

$$ m\ddot{x} = -b\dot{x} - kx. $$

整理得：

$$ \boxed{ m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0 } $$

这是阻尼振子的标准方程

• 二阶线性齐次常系数微分方程
• 系数 $b$ 决定阻尼强弱

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2.2 标准化形式与参数定义

将方程写成：

$$ \ddot{x} + 2\gamma \dot{x} + \omega_0^2 x = 0, $$

其中定义：

$$ 2\gamma = \frac{b}{m},\quad \omega_0^2 = \frac{k}{m}. $$

• $\omega_0$：无阻尼固有角频率
• $\gamma$：阻尼系数（每秒衰减率）

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2.3 特征方程与三种阻尼情况

设解为 $x = e^{\lambda t}$，代入：

$$ \lambda^2 + 2\gamma\lambda + \omega_0^2 = 0. $$

特征方程：

$$ \lambda = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}. $$

根据 $\gamma^2$与$\omega_0^2$ 的大小关系，分三种情况：

1. 欠阻尼（Underdamped）：$\gamma^2 < \omega_0^2$
2. 临界阻尼（Critically damped）：$\gamma^2 = \omega_0^2$
3. 过阻尼（Overdamped）：$\gamma^2 > \omega_0^2$

物理意义

• 欠阻尼：仍然振荡，但振幅指数衰减
• 临界阻尼：最快回到平衡而不振荡
• 过阻尼：不振荡，缓慢回到平衡

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3. 欠阻尼振子（$\gamma^2 < \omega_0^2$）

3.1 特征根与通解形式

此时：

$$ \gamma^2 < \omega_0^2 \Rightarrow \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2} = i\sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}. $$

记：

$$ \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}, $$

称为阻尼振动角频率。

特征根：

$$ \lambda_{1,2} = -\gamma \pm i\omega_d. $$

通解：

$$ x(t) = e^{-\gamma t}\left(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t\right), $$

或写成：

$$ x(t) = C e^{-\gamma t}\cos(\omega_d t + \varphi). $$

欠阻尼振子

• 仍然振荡，但振幅按 $e^{-\gamma t}$ 衰减
• 振动频率变为 $\omega_d < \omega_0$
• 典型图像：包络线为指数衰减的正弦波

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4. 临界阻尼振子（$\gamma^2 = \omega_0^2$）

4.1 特征根与通解

此时：

$$ \gamma^2 = \omega_0^2 \Rightarrow \lambda = -\gamma \quad (\text{重根}). $$

通解：

$$ x(t) = (A + Bt)e^{-\gamma t}. $$

特点

• 不再振荡
• 以最快速度回到平衡位置
• 常用于机械/仪器的阻尼设计（如仪表指针）

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5. 过阻尼振子（$\gamma^2 > \omega_0^2$）

5.1 特征根与通解

此时：

$$ \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2} = \alpha > 0. $$

特征根：

$$ \lambda_{1,2} = -\gamma \pm \alpha, $$

两根均为负实数。

通解：

$$ x(t) = A e^{(-\gamma + \alpha)t} + B e^{(-\gamma - \alpha)t}. $$

特点

• 不振荡
• 比临界阻尼更“慢”地回到平衡
• 两个指数衰减项叠加

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6. 能量视角下的阻尼振子

可选进阶

若你只关心运动方程本身，可以跳过本节；若想从能量角度理解阻尼，可继续看。

6.1 无阻尼弹簧振子

总能量：

$$ E = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \text{常数}. $$

能量在动能与势能之间周期性转换。

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6.2 阻尼振子中的能量耗散

阻尼力做功：

$$ P_{\text{阻}} = F_{\text{阻}} \cdot v = -b\dot{x}^2 \le 0. $$

能量随时间减少：

$$ \frac{dE}{dt} = -b\dot{x}^2 < 0. $$

物理意义

阻尼力将机械能转化为热能等形式，导致振幅逐渐减小。

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7. 小结与对比

核心公式与结论

• 无阻尼弹簧振子：

$$ m\ddot{x} + kx = 0,\quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} $$

解：简谐振动

• 阻尼振子：

$$ m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2 x = 0 $$

• 欠阻尼：$\gamma^2 < \omega_0^2$，振荡 + 指数衰减
• 临界阻尼：$\gamma^2 = \omega_0^2$，最快不振荡回到平衡
• 过阻尼：$\gamma^2 > \omega_0^2$，不振荡，缓慢回到平衡

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8. 思考题（可加入你的题库）

1. 对于给定的 $m, k$，如何选择 $b$ 使系统处于临界阻尼状态？
2. 推导欠阻尼振子的能量随时间的衰减规律（证明 $E(t) \propto e^{-2\gamma t}$）。
3. 若在阻尼振子上再加一个外力 $F_0\cos\omega t$，写出运动方程并说明这是哪类方程。
4. 试比较：无阻尼、欠阻尼、临界阻尼、过阻尼的位移–时间曲线特征。

可以怎么继续扩展？

• 写一篇「受迫振动与共振」的完整笔记：
  $$m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = F_0\cos\omega t$$
• 写一篇「阻尼振子的能量与品质因数 Q」专题
• 写一篇「电路中的 RLC 振荡与机械振子类比」