碎碎念高中时的画念高中那会儿，有次放假回家看到一道名为《百年诺贝尔》的节目，看过后方知晓爱因斯坦其人。

爸爸在部队好集邮，转业回来后，有次从他的邮册里，看到了一枚爱因斯坦的邮票。

画像下醒目的写着质能方程 ，让人倍感神奇，却也生了万分疑惑。

但越想去想明白，却越不知所以然 (如今回首，当初是绝无可能想明白这个问题的)。

无奈只好照着邮票画了下来，用那略显拙略的画技，权当饮鸩止渴。

那些日子，晚上陪着妈妈逛完天天购物城后，我又跑到新浪网吧去了，只是为了求索心中的不解。

我想，这便是佛家所言人生八苦中的求不得吧。

如今执念依旧，意决以系列文章，记录那些许感悟，虽会有诸多瑕疵，但真的，已经知足了。

本文首先对前篇有关变分原理的文章进行了一些补充与扩展。

Jaysny：变分法——宇宙的法则331 赞同 · 26 评论 文章偏导数与全微分不妨回顾下偏导数与全微分的概念，因为它对变分理论以及张量分析至关重要。

考虑二元函数$z=f(x,y)$，$z$ 随着$x$和$y$的变化而变化，现在我们来看看它们之间有何联系。

我们只考虑对坐标进行微扰，不妨取曲面上某点附近的微小区域，该区域接近平面。

先给予曲面$z$的$x$坐标微小的增量，而让$y$坐标保持不变，$z$伴随的增量$\Delta_x z$如下图所示

z在x方向的增量同理，我们给予$y$坐标一微小的增量，而保持$x$坐标不变，$z$伴随的增量$\Delta_y z$如下图所示

z在y方向的增量现在，让$x$和$y$同时变化，如下图所示，可见此时$z$的增量$\Delta z$是$\Delta_xz$与$\Delta_y z$之和

z在x方向和y方向的全增量因此我们得到$z$的全增量表达式

$\Delta z=\Delta_x z+\Delta_yz$现考虑$x$和$y$的无穷小变化，此时上式可写为

$dz=\lim_{\Delta x,\Delta y\to0}(\Delta_xz+\Delta_yz)$

其中在极限情况下的$\Delta_xz$被定义为

$\lim_{\Delta x\to0}\Delta_xz= \lim_{\Delta x\to0}\Big[z(x+\Delta x,y)-z(x,y)\Big]$为了计算右侧的极限，我们可对其稍加变形

$\lim_{\Delta x\to0}\Big[z(x+\Delta x,y)-z(x,y)\Big]= \lim_{\Delta x\to0}\frac{z(x+\Delta x,y)-z(x,y)}{\Delta x}\cdot\Delta x$

由于$y$不变，我们可以将其视为常数，上式右侧的极限便是$z$对$x$导数的定义。

为了表明是对哪个坐标求导，引入偏微分算符$\partial$，并记$z$对$x$的偏导数为$\frac{\partial z}{\partial x}$。

此时$\Delta x\to dx$，因此$\Delta_xz$的极限可表示为

$\lim_{\Delta x\to0}\Delta_xz=\frac{\partial z}{\partial x}dx$

其中$\frac{\partial z}{\partial x}$代表$z$在$x$轴方向的变化率。同理可知$\Delta_yz$的极限为

$\lim_{k\to0}\Delta_yz=\frac{\partial z}{\partial y}dy$就此，我们便能得到$z$的全微分表达式

$d\color{blue}z=\frac{\partial \color{blue}z}{\partial \color{red}x}d\color{red}x+\frac{\partial \color{blue}z}{\partial \color{orange}y}d\color{orange}y$

全微分我们可以将全微分算符抽象出来，将其视为某种线性映射，则有

$\color{red}d=\color{orange}{\frac{\partial}{\partial x}}\color{darkblue}{dx}+\color{orange}{\frac{\partial}{\partial y}}\color{darkblue}{dy}$若我们将偏导算符视为一个数，则上式右侧就是两个向量的内积

$d= \left<\frac{\partial}{\partial x},d x\right>= \frac{\partial}{\partial x}\cdot d x= \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dx\newline\newline dy \end{bmatrix}$

代数同构理论告诉我们这么做是合理的。事实上，我们从微分几何可得知

$\frac{\partial}{\partial x}\in T_p M$是光滑流形$M$上某点$p$的基，它是切空间内的元素。

$dx\in T^*_pM$是光滑流形$M$上某点$p$的对偶基，它是余切空间内的元素。

现在我们将二元函数扩展到$n$元函数，并将该函数记为$f( x),\ x\in\mathbb R^{n}$，则

$df=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i$为了进一步简化，引入张量形式，并将$\frac{\partial}{\partial x_i}$记为$\partial_i$，则有

$df=(\partial_if)dx^i$

此处遵循爱因斯坦求和约定，同一项中出现一上一下相同的指标，即代表对该项求和。 约去函数$f$即得微分算符的表达式

$d=\partial_i(dx^i)$可见协变基$\partial_i$与逆变基$dx^i$的作用 (两者的内积)，构成了微分算符。

我们可以把微分算符视为从余切空间的向量到实数的映射

$d:T^*_pM\to\mathbb R$

有用的结论考虑泛函

$J[y]=\int_{t_0}^{t_1}F(\dot y,y;x)dx$

泛函取极值时，有欧拉方程

$\frac{\partial \color{orange}F}{\partial \color{blue}y}-\frac{d}{d\color{red}x}\frac{\partial \color{orange}F}{\partial\color{blue}{\dot y}}=0$现将偏导数记为$\frac{\partial F}{\partial q}\equiv F_q$，上述方程又可写为

$F_y-D_xF_{\dot y}=\boxed{F_y-F_{x\dot y}-F_{y\dot y}\dot y-F_{\dot y\dot y}\ddot y}=0$

若$F$不显含$x$，即$F=F(\dot y,y)$，由于$F_{x}=0$，于是下式成立$D_x(F-\dot y F_{\dot y})= \dot y(\underbrace{F_y-D_x F_{\dot y}}_{0})= 0$意味着此时$F-\dot y F_{\dot y}$为常数，即

$\boxed{\color{red}{F-\dot y F_{\dot y}=C}}$

若$F$只显含$\dot y$，即$F=F(\dot y)$，则极值曲线必定为直线。 因为$F=F(\dot y)$，所以泛函$J[y]$对应的欧拉方程为

$\underbrace{F_y- F_{x\dot y}- F_{y\dot y}\dot y}_{0}- \color{orange}{F_{\dot y\dot y}\ddot y}= \color{orange}{F_{\dot y\dot y}\ddot y}= 0$这意味着$\ddot y=0$或$F_{\dot y\dot y}=0$。

(1) 若$\ddot y=0$，则$y=ax+b$为直线；

(2) 若$F_{\dot y\dot y}=0$，则$F=p\dot y+q$，现对泛函$J[y]$取极值，则

$\delta J= \delta\int_{x_0}^{x_1}F(\dot y)dx= \delta\int_{x_0}^{x_1}(p\dot y+q)dx= p\int_{x_0}^{x_1}\delta\dot y\ dx=0$亦即$\delta\dot y=0$，一个函数的变分为零，则该函数只能为常数，故$\dot y=k$，即$y=kx+h$为直线。

无论何种情况，我们都得出了极值曲线为直线的结论。

例如 欲求欧氏空间的短程线，即求解以下泛函的极小值

$J[y]=\int_{x_0}^{x_1}\sqrt{1+\dot y^2}\ dx$由于$F=\sqrt{1+\dot y^2}$只显含$\dot y$，因此不需任何操作，我们便能断定欧氏空间的短程线为直线

$\color{blue}y(\color{red}x)=k\color{red}x+h$

作用量的等价形式我们知道动力学系统的作用量为

$\color{orange}S[q]=\int \color{purple}Ldt=\int(\color{red}T-\color{blue}V)dt$而哈密顿量为

$\mathscr H=\frac{p^2}{m}-L=2T-L$对于保守系统 (机械能守恒) ，哈密顿量$\mathscr H$可代表系统能量$E$，于是作用量又可表述为

$S[q]=\int Ldt=\int(2T-E)dt$现在令$\delta S=0$，此时

$\delta S=\delta\int(2T-E)dt=\int\delta(2T)dt=0$因此在保守系统中$2T$存在极值，又因动能为正定函数，故进而可得知该极值为极小值。

这暗示我们可以建立以下作用量

$S^*=\int2Tdt=\int mv^2dt=\int mvds=\int\sqrt{2mT}ds$将动能表示为$T=E-V$即得

$\boxed{\color{red}{S^*=\int2Tds=\int ds\sqrt{2m(E-V)}}}$这便是力学系统中作用量的新形式。

我们可通过欧拉齐次定理得到

$2T=\frac{\partial L}{\partial\dot q}\dot q$这样就能为系统建立作用量$S^*$，进而通过欧拉方程得到该作用量对应的极值曲线。

示例 I 狭义相对论中自由粒子的作用量为$S=-mc\int ds=-mc^2\int dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$因此拉格朗日量为

$L=-mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$根据欧拉齐次定理可知

$2T=\frac{\partial L}{\partial v}\ v=\frac{mv^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$对应的哈密顿量为

$\mathscr H=E=T+V=2T-L= \frac{mv^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+ mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}= mc^2$因此自由粒子的总能量为

$\color{red}E=\color{darkblue}m\color{orange}{c^2}$

这就是著名的爱因斯坦质能方程。

过往之求不得，如今终可得也。对应的新式作用量为

$\boxed{\color{red}{S^*=\int\gamma mv^2\ ds}}$

其中$\gamma=\frac1{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ 为洛伦兹因子。

示例 II广义相对论中自由粒子的作用量为

$S=-mc\int ds=-mc\int\sqrt{g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu}= -mc\int\sqrt{g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu}d\tau$

其中$\dot x^\lambda\equiv\frac{dx^\lambda}{d\tau}$定义广义动能为

$T=\frac12g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=\frac12g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu=-\frac{c^2}2$

注意$ds^2=-c^2d\tau^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$，而$u^\lambda\equiv\frac{dx^\lambda}{d\tau}$为时空四维速度。则此作用量可表述为

$S=-mc\int d\tau\sqrt{-2T}$现对作用量取极值

$\delta S= -mc\int \delta\sqrt{-2T}\ d\tau=mc\int\frac{\delta T}{\sqrt{-2T}}\ d\tau= m\int\delta T d\tau= 0$因此以下作用量存在极值

$\boxed{\color{red}{S^*=m\int Td\tau=\frac m2\int g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu d\tau}}$且该极值与原作用量的极值相对应 (只是仿射参数的选取不同)。

我们可据此作用量求解广义相对论的测地线方程 (下文详解) 。等面积问题求围成面积一定的所有封闭曲线中，长度极小的曲线。

求解封闭曲线$y(x)$由参数方程$\left\lbrace \begin{aligned} &x=x(t)\newline\newline &y=y(t) \end{aligned}\right.$给出，其长度为

$L[x,y]=\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}dt$

该闭曲线所围成的面积作为约束条件

$A=\underset{D}{\iint}dxdy=\color{green}{\frac12}\int_{t_0}^{t_1}(x\dot y-\dot xy)dt$

构造辅助泛函

$L^*[x,y]=\int_{t_0}^{t_1}\Big[ \underbrace{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}-\frac\lambda2(x\dot y-\dot xy)}_{G} \Big]dt$

此处拉格朗日乘子$\lambda>0$泛函极值曲线的曲率由附录中的欧拉方程的维尔斯特拉斯形式给出

$\color{darkblue}K= \frac{\color{orange}{G_{\dot xy}}-\color{orange}{G_{x\dot y}}}{(\color{red}{\dot x^2}+\color{blue}{\dot y^2})^{3/2}\color{orange}{G^*}}$计算相关的混合偏导

$G_{\dot xy}=\frac\lambda2,\ G_{x\dot y}=-\frac\lambda2,\ G^*=-\frac{G_{\dot x\dot y}}{\dot x\dot y}=\frac1{(\dot x^2+\dot y^2)^{3/2}}$代入曲率公式即得极值曲线的曲率为

$\color{darkblue}K=\color{orange}\lambda$待求曲线的曲率为常数。

意味着面积一定，长度极小的封闭曲线是一个圆。

等周问题求定长闭曲线中，所围的面积最大的曲线。

求解若曲线由参数方程$\left\lbrace \begin{aligned} &x=x(t)\newline\newline &y=y(t) \end{aligned}\right.$给出，则泛函

$A[x,y]=\frac12\int_{x_0}^{x_1}(x\dot y-\dot xy)dt$在约束条件

$L=\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}dt$下的极值曲线的曲率为

$\color{darkblue}K= \frac{\color{orange}{G_{\dot xy}}-\color{orange}{G_{x\dot y}}}{(\color{red}{\dot x^2}+\color{blue}{\dot y^2})^{3/2}\color{orange}{G^*}}$

其中$G=\frac12(x\dot y-\dot xy)+\lambda\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}$ 不难得到

$G_{\dot xy}=\frac12,G_{x\dot y}=-\frac12,G^*=\frac\lambda{(\dot x^2+\dot y^2)^{3/2}}$泛函极值曲线的曲率为

$\color{darkblue}K=\frac1{\color{orange}\lambda}$即在定长闭曲线中，圆周所围的面积最大。

悬链线试求两端固定的定长曲线，在重力作用下的自然形状。

求解以重力方向为$y$轴正方向建立$xOy$坐标系，设曲线$y=y(x)$的端点分别为$A(x_0,y_0)$和$B(x_1,y_1)$。

固定住曲线上一点$M$，而变动曲线上的另一点$N$，如下图所示

悬链线其中红色线段代表曲线在动点$N$处的切线段，蓝色线段代表动点$N$和定点$M$的连线。

随着$N$逐渐靠近$M$，$N$和$M$之间的弧长$\overset{\LARGE{\frown}}{NM}$渐渐接近线段$NM$，而线段$NM$也逐渐接近$ds$。

因此当$N$无限靠近$M$时，有

$\Delta s=ds=\sqrt{1+\dot y^2}dx$设曲线的线密度为常数$\rho$，则此时曲线微元的质量为

$dm=\rho ds$于是重力对曲线微元作的功为

$dW=ydG=ygdm=y\rho g ds$积分可得重力对整条曲线所作的功

$\color{purple}W=\int_{s_0}^{s_1}\color{green}{\rho g}\color{blue}y\ \color{red}{ds}=\color{green}{\rho g}\int_{x_0}^{x_1}\color{orange}{dx}\ \color{blue}y\sqrt{1+\color{blue}{\dot y^2}}$正如下图所示

悬链线的受力分析由于常数$\rho g$对作用量的变分无影响，故可取以下作用量

$J[y]=\int_{x_0}^{x_1}dx\ \underbrace{y\sqrt{1+\dot y^2}}_{L(\dot y,y;x)}$设曲线的长度为$l$，则约束条件为

$l=\int_{x_0}^{x_1}dx\sqrt{1+\dot y^2}$现构造辅助泛函

$J^*[y]=\int_{x_0}^{x_1}dx\Big(\underbrace{y\sqrt{1+\dot y^2}+\lambda\sqrt{1+\dot y^2}}_{H(\dot y,y;x)}\Big)$由于$H$不显含$x$，故有首次积分

$\frac{\partial H}{\partial y}-\dot y\frac{\partial H}{\partial\dot y}=C_1$代入$H$的表达式即得

$y=C_1\sqrt{1+\dot y^2}-\lambda$分离变量并积分可得

$\int dy\Bigg[\Big(\frac{y+\lambda}{C_1}\Big)^2-1\Bigg]^{-1/2}=x+C_2$不难解得

$C_1\cosh^{-1}\Big(\frac{y+\lambda}{C_1}\Big)=x+C_2$或者

$\boxed{\color{red}{y(x)=C_1\cosh\Big(\frac{x+C_2}{C_1}\Big)-\lambda}}$

通过约束条件和边界条件可得到各常数项。 常数$C_1$约束曲线的宽度，常数$C_2/C_1$决定曲线的水平偏移，而拉格朗日乘子$\lambda$决定曲线的高度。因此，所求的极值曲线是一条悬链线 (双曲余弦曲线)。

最大熵原理求方差为$\sigma^2$的最佳概率密度$p(x)$，使得信息熵

$\color{orange}H[\color{blue}p]=-\int_{-\infty}^{+\infty}\color{blue}p\log \color{blue}p\ d\color{red}x$在约束条件

$\int_{-\infty}^{+\infty}pdx=1,\ \int_{-\infty}^{+\infty}x^2pdx=\sigma^2$下取极大值。

求解 构造辅助泛函

$J^*[p]= \int_{-\infty}^{+\infty}dx\Big[ -p\log p+ \lambda_1p+ \lambda_2x^2p \Big]$其对应的欧拉方程为

$\frac{\partial H}{\partial p}-\underbrace{\frac{d}{dx}\frac{\partial H}{\partial\dot p}}_{0}=0$由于$H$不显含$\dot p$，故

$\frac{\partial H}{\partial p}= -\log p-1+ \lambda_1+ \lambda_2x^2= 0$由此可知概率密度可表示成以下形式

$p(x)=e^{1-\lambda_1-\lambda_2x^2}\tag0$

将上式分别代入约束条件，并根据高斯积分公式易得

$\begin{aligned} &\int_{-\infty}^{+\infty}pdx= \sqrt{\frac{\pi}{\lambda_2}}\ e^{1-\lambda_1}= 1&(1)\newline\newline &\int_{-\infty}^{+\infty}x^2pdx= \frac1{2\lambda_2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda_2}}\ e^{1-\lambda_1}= \sigma^2&(2) \end{aligned}$

由$\frac{(2)}{(1)}=\frac1{2\lambda_2}=\sigma^2$可解得

$\lambda_2=\frac{1}{2\sigma^2}$将该结果代入 (1) 可解得

$\lambda_1= 1+\log\sqrt{2\pi\sigma^2}$将$\lambda_1,\lambda_2$代回 (0) 即得待求的最佳概率密度表达式

$\boxed{\color{red}{p(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}}}$

很显然，信息熵最大 (无序度最高)的概率密度函数符合正态分布。

广义相对论的测地线方程已知广义相对论中自由粒子的第二形式作用量为

$S^*=\frac m2\int g_{\color{red}\mu\color{blue}\nu}u^{\color{red}\mu} u^{\color{blue}\nu} d\color{orange}\tau$

舍去常数因子后 (对作用量的变分极值无影响)，拉格朗日量为

$L(u^\lambda,x^\lambda;\tau)=g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu$

用固有时作为 (仿射) 参数有有益的。 对应的欧拉方程为

$\frac{\partial L}{\partial x^\lambda}-\frac{d}{d\tau}\frac{\partial L}{\partial u^\lambda}=0$注意到时空度规仅是坐标$x^\lambda$的显函数，将拉格朗日量代入上式可得

$\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial x^\lambda}-\frac{d}{d\tau}\frac{\partial L}{\partial u^\lambda}=&\ g_{\mu\nu,\lambda}u^\mu u^\nu- \frac{d}{dt}\Big(2g_{\mu\lambda}u^\mu\Big)\newline\newline=&\ g_{\mu\nu,\lambda}u^\mu u^\nu- 2g_{\mu\lambda}\frac{du^\mu}{d\tau}- 2u^\mu\frac{dg_{\mu\lambda}}{d\tau} \newline\newline=&\ g_{\mu\nu,\lambda}u^\mu u^\nu- 2g_{\mu\lambda}\frac{du^\mu}{d\tau}- 2g_{\mu\lambda,\nu}u^\mu u^\nu \newline\newline=&\ - 2g_{\mu\lambda}\frac{du^\mu}{d\tau}- u^\mu u^\nu (2g_{\mu\lambda,\nu}-g_{\mu\nu,\lambda}) \newline\newline=&\ 0 \end{aligned}$

这里已将度规对坐标的导数表示为了$\displaystyle{\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda}\equiv g_{\mu\nu,\lambda}}$。$g_{\mu\lambda}\frac{du^\mu}{d\tau}+ (\frac12g_{\mu\nu,\lambda}-g_{\mu\lambda,\nu}) u^\mu u^\nu= 0$上式两端同时乘以$g^{\mu\sigma}$并注意到$u^\mu u^\nu g_{\mu\lambda,\nu}= u^\mu u^\nu g_{\nu\lambda,\mu}$，我们得到以下方程

$\frac{du^\sigma}{d\tau}+ \frac12g^{\sigma\lambda}(g_{\mu\lambda,\nu}+g_{\nu\lambda,\mu}-g_{\mu\nu,\lambda}) u^\mu u^\nu= 0$注意到$u^\mu u^\nu$的系数实则表征时空度规随坐标的变化，将其定义为

$\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu} \equiv \frac{1}{2} g^{\sigma\lambda} \left( g_{\mu\lambda,\nu} + g_{\nu\lambda,\mu} - g_{\mu\nu,\lambda} \right)$因此广义相对论中自由粒子的测地线方程为

$\boxed{\color{red}{\frac{du^\sigma}{ds}+\Gamma^\sigma_{\ \mu\nu} u^\mu u^\nu=0}}$

引力场中的稳定圆轨道引力场中的轨道方程对于大部分天文观测，牛顿引力理论已经将行星的运动轨道描述的相当吻合，但水星环绕太阳的轨道却让曾经的人们迷惑不解，直到爱因斯坦用他的理论完美的解释了水星的近日点进动问题，这同时也是广义相对论正确性的有力证据。

行星的近日点进动 (此处将进动量均摊至了所有时间点上)为了简化问题，选择各向同性的球坐标系，而我们早知行星环绕恒星的运动在同一个平面内，若只考虑行星环绕恒星的赤道面运动的话 (极角为$90^\circ$)，问题将得到进一步简化 (简化为二维的极坐标)。

在极坐标中，速度矢量由径向速度与切向速度构成

$|| v||^2=||\dot{ r}||^2=\dot r^2+r^2\dot\theta^2$

为了进一步简化问题，我们只考虑球对称的真空引力场 (忽略除恒星外的质量源)，此时有

$\color{}{ds^2}=-c^2\Big(1-\frac{\color{red}{r_s}}{\color{orange}r}\Big)\color{darkblue}{dt^2}+\Big(1-\frac{\color{red}{r_s}}{\color{orange}r}\Big)^{-1}\color{orange}{dr^2}+\color{orange}r^2\color{purple}{d\phi^2}$

史瓦西度规下时空线元的特殊形式 ($c$为光速，$r_s=\frac{2GM}{c^2}$为史瓦西半径)。 因为我们让行星围绕恒星的赤道面运动，所以$\theta=\frac\pi2$为常数。考虑第二形式作用量 (与熟知的作用量等价)

$S^*=\frac m2\int g_{\color{red}\mu\color{blue}\nu}u^{\color{red}\mu} u^{\color{blue}\nu} d\color{orange}\tau$

被积分的项类似于经典理论中的动能。 代入刚才得到的时空度规可知

$S= -\frac m2\int d\tau\ \Bigg[c^2\Big(1-\frac{r_s}{r}\Big)\dot t^2- \Big(1-\frac{r_s}{r}\Big)^{-1}\dot r^2- r^2\dot\phi^2\Bigg]$的拉格朗日量为

$L=L(\dot t,t;\dot r,r;\dot\phi,\phi;\tau)= -\frac 12mc^2\Big(1-\frac{r_s}{r}\Big)\dot t^2+ \frac 12m\Big(1-\frac{r_s}{r}\Big)^{-1}\dot r^2+ \frac 12mr^2\dot\phi^2$根据哈密顿原理可知，每一个可遗坐标都对应着一个守恒量 (可遗坐标对应的广义动量守恒)。

由于$L$中不显含$t$和$\phi$，故它们是可遗坐标，分别对应了能量守恒 (时间动量守恒) 与角动量守恒

$E\equiv-\frac{\partial L}{\partial\dot t}= \Big(1-\frac{r_s}{r}\Big)mc^2\dot t ,\ \ \ \ J\equiv\frac{\partial L}{\partial\dot\phi}= mr^2\dot\phi$

将时间膨胀率与角速度用能量与角动量表示

$\dot t=-\Big(1-\frac{r_s}{r}\Big)^{-1}\frac{E}{mc^2},\ \dot\phi=\frac{J}{mr^2}$

其中$E$为能量,$J$为角动量。至此，我们甚至不需要运用欧拉方程，只需将以上两个量代入$(\frac{ds}{d\tau})^2$的表达式

$c^2= c^2\Big(1-\frac{\color{red}{r_s}}{\color{orange}r}\Big)\color{darkblue}{\dot t^2}- \Big(1-\frac{\color{red}{r_s}}{\color{orange}r}\Big)^{-1}\color{orange}{\dot r^2}- \color{orange}{r^2}\color{purple}{\dot \phi^2}$此时方程可转化为只关于极径$r$的微分方程

$\dot r^2=\frac{E^2}{m^2c^2}-\Big(1-\frac{r_s}{r}\Big)\Big(c^2+\frac{J^2}{m^2r^2}\Big)$这是极径关于时间的方程，而我们希望得到极径关于方位角的轨道方程，为此可考虑

$\dot r= \frac{dr}{d\tau}= \frac{dr}{d\phi}\frac{d\phi}{d\tau}= \dot\phi\frac{dr}{d\phi}= \frac{J}{mr^2}\frac{dr}{d\phi}$于是前个方程可转化为我们想要的形式

$\Big(\frac{dr}{d\phi}\Big)^2= \frac{E^2}{J^2c^2}\ r^4- \Big(1-\frac{r_s}{r}\Big)\Big(\frac{m^2c^2}{J^2}\ r^4+r^2\Big)$在问题即将变得混乱不堪之前，让我们对上式进行一番美化。

只需设$a=\frac{J}{mc},\ b=\frac{Jc}{E}$，上式便可美化成

$\Big(\frac{dr}{d\phi}\Big)^2= \frac{r^4}{b^2}- \Big(1-\frac{r_s}{r}\Big)\Big(\frac{r^4}{a^2}+r^2\Big)$一筹莫展之际，可一如既往的效仿比奈作代换$u=\frac1r$，由于

$\frac{dr}{d\phi}= -r^2\frac{d}{d\phi}\Big(\frac1r\Big)= -\frac1{u^2}\frac{du}{d\phi}$前面的方程将转化为

$\Big(\frac{d\color{orange}u}{d\color{purple}\phi}\Big)^2= \frac{1}{\color{green}b^2}- \Big(1-\color{red}{r_s}\color{orange}u\Big)\Big(\frac{1}{\color{blue}a^2}+\color{orange}u^2\Big)$

然而，这还不是我们习惯解的微分方程，但当你用$\frac{d}{d\phi}$同时作用到上式两端时，你会发现

$\frac{d^2\color{orange}u}{d\color{purple}\phi^2}+\color{orange}u=\frac{\color{red}{r_s}}{2\color{blue}a^2}+\frac{3\color{red}{r_s}}2\color{orange}u^2 \tag3$方程已经转变为熟悉的二阶微分方程。

如果你熟悉牛顿理论的话，一定会有种似曾相识的感觉，此问题的经典轨道方程与上式相比，只缺了最后一项。

行星的经典引力轨道 而正是$\frac{3r_su^2}2$这一项，导致了水星的近日点进动 (实际上行星轨道时刻都存在进动，只是在近日点较明显罢了) 。

该方程看上去应该没有解析解，我们退而求其次，只需得到它的近似解就足够了。

假设$\color{red}{r_{\min}},\color{blue}{r_{\max}}$分别是行星到恒星的最小距离与最大距离，则$u$的平均值为

$\color{orange}{\bar u}=\frac12\Big(\frac1{\color{red}{r_{\min}}}+\frac1{\color{blue}{r_{\max}}}\Big)=\frac{\color{red}{r_{\min}}+\color{blue}{r_{\max}}}{2\color{red}{r_{\min}}\color{blue}{r_{\max}}}$

将 u 的二次项线性化为平均值当行星拥有一个近圆轨道时$\color{red}{r_{\min}}\approx\color{blue}{r_{\max}}$，即$\color{blue}u-\color{orange}{\bar u}\to\color{red}0$。根据基础的几何知识，不难得到

$\bar u=\frac1{A(1-e^2)}$

其中$A$为椭圆轨道的半长轴，$e$为椭圆轨道的离心率。当$r_0\to r_1$时，行星将拥有一个近圆轨道，此时$u-\bar u\ll 1$，此时

$u^2= [\bar u+(u-\bar u)]^2= \color{blue}{\bar u^2}+\color{orange}{2\bar u(u-\bar u)}+\color{red}{(u-\bar u)^2}$

略去高阶小量$\color{red}{(u-\bar u)^2}$可得

$u^2\approx \bar u^2+2\bar u(u-\bar u)= 2\bar uu-\bar u^2$

我们已将$u^2$进行了线性近似，将它代入方程 (3) 便可得到一个二阶线性微分方程

$\frac{d^2u}{d\varphi^2}+(1-3r_s\bar u)u= \frac{r_s}2\Big(\frac1{a^2}-3\bar u^2\Big)$设$p=1-3r_s\bar u,\ q=\frac{r_s}2(\frac1{a^2}-3\bar u^2)$，则方程$\ddot u+pu=q$的通解为

$\color{darkblue}u(\color{orange}\phi)=\frac{\color{red}q}{\color{blue}p}(1+\color{green}e\cos \color{blue}{\sqrt p}\ \color{orange}\phi)$

我们可以选择合适的$e$，以保证作为椭圆离心率的它只在零到一之间 (不包括边界)。因此，行星围绕恒星的轨道 (一阶近似) 方程为

$\color{orange}{r_{rel}}(\color{purple}\phi)= \frac{\color{blue}p}{\color{darkgreen}q(1+\color{red}e\cos\color{blue}{\sqrt p}\ \color{purple}\phi)}$对比经典力学的行星轨道方程

$\color{orange}{r_{class}}(\color{purple}\phi)= \frac{\color{blue}l}{1+\color{red}e\cos\color{purple}\phi}$最关键的区别在于行星与近$\odot$点夹角的不同。

当经典轨道角度$\phi=2\pi$时，相对论角度$\sqrt p\ \phi=2\pi$，因此

$\phi=\frac{2\pi}{\sqrt p}=\frac{2\pi}{\sqrt{1-3r_s\bar u^2}}\approx 2\pi\Big(1+\frac{3r_s\bar u}2\Big)$代入$\bar u=\frac1{A(1-e)}$便能得到相对论轨道角度的（近似）周进动

$\Delta\phi=\phi-2\pi\approx 3\pi r_s\bar u= \frac{3\pi r_s}{A(1-e^2)}$

最后代入$r_s=\frac{2GM}{c^2}$可得

$\boxed{\color{red}{\Delta\phi\approx\frac{6\pi GM}{c^2A(1-e^2)}}}$

水星的近日点进动

使用此公式计算出水星的围绕太阳的周进动约为$0.1''$，则水星的世纪进动为$43''$，与实际观察极其相符。

$S2$恒星是一颗靠近银河系中心的恒星，银河系中心的超大质量黑洞的质量约为

$M=4.26\times10^6M_{\odot}$

其中$M_{\odot}=1.99\times10^{30}\ kg$代表太阳质量。$S2$恒星环绕轨道的最小半径与最大半径分别为

$r_{\min}=1.8\times10^{13}\ m,\ r_{\max}=29.4\times10^{13}\ m$

该恒星每$12$年环绕银星黑洞一周，使用公式可计算出它的周进动为

$\Delta\varphi\approx\frac{6\pi GM}{c^2A(1-e^2)}\approx12'$这与观测数据相符。

爱因斯坦引力场方程/** @todo : 用希尔伯特作用量推导引力场方程 **/

后文将有更详细的推导，此处就当是抛砖引玉好了。我们不妨先看看一般的张量场方程为何种形式。

任意张量场的作用量都应具有以下形式

$S_g=\int_ML\ dV_g=\int_ML\sqrt{-g}\ dx^n$

$S_g\equiv S[g]$只为说明该作用量是度规行列式的泛函。

$L$表示拉格朗日密度 (单位体积的拉格朗日量) 。

$g$表示度规的行列式$\det g\equiv|g|$(注意常见的度规行列式为负数) 。

$dV_g=\sqrt{-g}\ dx^n$为$n$维光滑流形$M$上的体积微元。

根据雅可比公式可知，度规行列式的变分为$\delta g=-gg_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$，因此

$\delta\sqrt{-g}=\frac12\sqrt{-g}\ g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$若$\varphi$至少包含度规的一阶导数，即$\frac{d\varphi}{dg^{\mu\nu}}$或$\frac{\delta\varphi}{\delta g^{\mu\nu}}$存在，则对$S_g$取变分极值有

$\begin{aligned} \delta S_g=&\ \int_M\delta(L\sqrt{-g})dx^4\newline\newline=&\ \int_M(\sqrt{-g}\ \delta L+L\delta\sqrt{-g})dx^4\newline\newline=&\ \int_M\Big(\frac{\delta L}{\delta g^{\mu\nu}}-\frac12 g_{\mu\nu}L\Big)\delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g}\ dx^4\newline\newline=&\ \int_M\Big(\frac{\delta L}{\delta g^{\mu\nu}}-\frac12g_{\mu\nu}L\Big)\delta g^{\mu\nu}dV_g\newline\newline=&\ 0 \end{aligned}$由$\delta g^{\mu\nu}$的任意性可知

$\frac{\delta L}{\delta g^{\mu\nu}}-\frac12g_{\mu\nu}L=0$

只要你愿意，可将变分导数算符$\frac{\delta}{\delta g^{\mu\nu}}$定义为$\Delta_{\mu\nu}$，将其视为二阶协变张量，要记住这是对度规的导数。将对度规的变分导数$\frac{\delta}{\delta g^{\mu\nu}}$记作$\Delta_{\mu\nu}$，则张量场方程为

$\Big(\color{orange}{\Delta_{\mu\nu}}-\frac12\color{red}{g_{\mu\nu}}\Big)\color{blue}L=0$

若你是名资深程序员，恰巧你也有些完美主义，相信你也会像这样尽可能地降低重复。对于引力场，根据爱因斯坦的说法，即物质会造成时空弯曲，而弯曲的时空又决定了物质如何运动。

我们有理由猜测引力场的总作用量为

$S=S_G+S_M=\int_M(L_g+\kappa L_m)dV_g$即待求作用量应由引力场作用量$S_G$与质量场作用量$S_M$构成 (彼此的线性组合) 。

其中的$\kappa$只是两者线性的组合常数。 $L_g$与$L_m$分别代表引力场与质量场的拉格朗日密度。所以引力场方程应该具有如下形式

$\Big(\color{orange}{\Delta_{\mu\nu}}-\frac12\color{red}{g_{\mu\nu}}\Big)\color{blue}{L_g}= \color{green}\kappa\Big(\color{orange}{\Delta_{\mu\nu}}-\frac12\color{red}{g_{\mu\nu}}\Big)\color{blue}{L_m}$左侧代表时空曲率（爱因斯坦认为引力只不过是时空的弯曲），右侧代表物质的能动量 (与物质的运动有关)。

为什么还不分别给它们以醒目的记号呢

$G_{\mu\nu}\equiv \Big(\Delta_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}\Big)L_g,\ T_{\mu\nu}\equiv \kappa\Big(\Delta_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}\Big)L_m$ $G_{\mu\nu}$被称为爱因斯坦张量，$T_{\mu\nu}$被称为物质的『能量-动量』张量。

于是引力场方程又可以表述为

$G_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}$接下来要做的，是找到$L_g$的具体形式。

我们首先想到的是联络系数$\Gamma^\lambda_{\ \mu\nu}$，但它并不是张量，因此可以否决。

然后考虑的选项就只剩下曲率标量$R$了，但它包含关于度规的一阶与二阶的导数。

$L_g$应该只包含关于度规不高与一阶的导数 (类比电磁场方程) 。

但先别急着否决，因为$R$是关于度规二阶导数的线性函数。

我们也许可通过斯托克斯公式将其消除，只要该二阶导数能表示成某个量的散度形式 (因为斯托克斯定理)。

假设引力场的拉格朗日量密度为$L_g=R$，则引力场方程 (不包含物质场) 为

$\color{darkblue}{\frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}}-\frac12g_{\mu\nu}R=0}$

由于$R$源于里奇曲率张量的缩并，即$R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$，故有

$\delta R= \delta(g^{\mu\nu}R_{\mu\nu})= g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}+ R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$

$\delta R_{\mu\nu}$这一项可是让爱因斯坦吃尽了苦头。故引力场方程可表示为

$\frac{g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}}{\delta g^{\mu\nu}}+ R_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}R=0$

然而$\delta R_{\mu\nu}$实为对应联络系数变分的协变导数之差

$\delta R_{\mu\nu}= \nabla_\lambda(\delta\ \Gamma^\lambda_{\ \mu\nu})- \nabla_\nu(\delta\ \Gamma^\lambda_{\ \mu\lambda})$

联络系数$\Gamma^\lambda_{\ \mu\nu}$虽不是张量，但其一阶变分是张量，故可以取协变导数。注意到度规的协变导数为零，因此

$$g^{ {\textcolor{red}{\mu}}{\textcolor{blue}{\nu}}}\delta R_{ {\textcolor{red}{\mu}}{\textcolor{blue}{\nu}}} = \nabla_{\textcolor{orange}{\lambda}}\left( g^{ {\textcolor{red}{\mu}}{\textcolor{blue}{\nu}}}\delta\Gamma^{\textcolor{orange}{\lambda}}_{ {\textcolor{red}{\mu}}{\textcolor{blue}{\nu}}}

• g^{ {\textcolor{orange}{\lambda}}{\textcolor{blue}{\nu}}}\delta\Gamma^{\textcolor{purple}{\sigma}}_{ {\textcolor{blue}{\nu}}{\textcolor{purple}{\sigma}}} \right) = \nabla_{\textcolor{orange}{\lambda}}\left( \delta W^{\textcolor{orange}{\lambda}} \right)$$

根据斯托克斯定理可知，有关$g^{\color{red}\mu\color{blue}\nu}\delta R_{\mu\color{blue}\nu}$的作用量可转化为在包围四维体积的超曲面上的积分

$\int_M\nabla_\lambda(\delta W^\lambda)\sqrt{-g}\ dx^4= \oint_{\partial M}\delta W_\lambda dx^\lambda= \delta\oint_{\partial M}W_\lambda dx^\lambda$

这是一个边界项，由于在变分时边界是固定的，因此边界项的变分为零，因此引力场方程为

$\boxed{\color{red}{R_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}R=0}}$就此得到引力场加物质场的总体场方程

$\color{orange}R_{\color{red}\mu\color{blue}\nu}-\frac12\color{darkblue}g_{\color{red}\mu\color{blue}\nu}\color{orange}R=\color{green}\kappa T_{\color{red}\mu\color{blue}\nu}$

为了求解常数$\kappa$，让我们类比牛顿引力势方程 (弱场近似)

$\nabla^2\varphi=4\pi G\rho$其中$\nabla^2\varphi$对应着$G_{00}$，质量密度$\rho$对应着$T_{00}$，于是不难得到

$\color{green}{\kappa=\frac{8\pi G}{c^4}}$

这便是我们要求索的最终答案

$\color{orange}R_{\color{red}\mu\color{blue}\nu}-\frac12\color{darkblue}g_{\color{red}\mu\color{blue}\nu}\color{orange}R=\frac{8\pi G}{c^4}\ T_{\color{red}\mu\color{blue}\nu}$

爱因斯坦之路爱因斯坦最初对引力场方程的猜测是

$R_{\mu\nu}=-\kappa T_{\mu\nu}$

爱因斯坦的广义相对论论文 I 因为物质的能量动量的局部守恒，意味着$T^{\mu\nu}$对时空的散度为零$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$，而此时

$\nabla_\mu R^{\mu\nu}\ne0$

所以该方程不可能是正确的。

后来爱因斯坦也意识到了，并在不久后给出了方程的正确形式

$G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}R=-\kappa T_{\mu\nu}$

爱因斯坦的广义相对论论文 II这是因为两者对时空的散度皆为零

$\nabla_\mu(R_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}R)=\nabla_\mu T_{\mu\nu}=0$

由于标量和度规的协变导数恒为零，因此当爱因斯坦通过哈勃望远镜看到宇宙膨胀的证据时， 额外加了一项

$G_{\mu\nu}-\Lambda g_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}$

虽然后来他将此多此一举的行为，称作一生中犯过的最大错误。现在看来这也许并不是错误，它也许启示了暗能量的存在。最后通过牛顿的引力势方程$\nabla^2\varphi=4\pi G\rho$可知常数$\kappa=\frac{8\pi G}{c^4}$，因此

$\color{orange}G_{\color{red}\mu\color{blue}\nu}-\color{darkgreen}\Lambda g_{\color{red}\mu\color{blue}\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}\ \color{darkblue}T_{\color{red}\mu\color{blue}\nu}$

据说希尔伯特比爱因斯坦早一天得到了引力场方程 （或引力场作用量），他还给爱因斯坦寄去了明信片(这张明信片已不知所踪)。

后来爱因斯坦的回复是：

您给出的体系——就我所见——与我最近几个星期发现并向科学院报告过的完全一致。 困难之处并不在于找到$g_{\mu\nu}$所满足的广义协变方程， 因为这可以在黎曼张量的帮助下很容易地得到， 而是在于证明那些方程是一种推广， 即对牛顿定律的简单而自然的推广。 之后人们找到了希尔伯特早些时候的相关论文校样，发现在关键的地方 (第八页) 被撕去了一部分。

希尔伯特论文校样 (第一页和第八页)这也可能是希尔伯特自己所为。

在撕去部分紧接的下一句话，是有关作用量的讨论 (如图右侧所示) 。

虽然不知何故，之后几天爱因斯坦在给他好友的几封信中，是毫无遮掩地数落了他这位刚结交的同事。

后来在爱因斯坦发表广义相对论演讲时，希尔伯特称爱因斯坦才是发现广义相对论的唯一天才。

两人终于冰释前嫌。

其实科学家也有着与凡人一样的迷茫与无奈，甚至不那么高尚的想法。

如果爱因斯坦当初肯认真听闵可夫斯基的课，到后来也不至于用了好几年才猜测出引力场方程了吧。 然而从接触相对论到推导出引力场方程的正确作用量形式，希尔伯特只用了两个月不到的时间。

附录参数形式的变分问题我们不能奢求所研究的泛函极值曲线都有显示表达式，若采用参数形式来表示曲线，便可摆脱束缚。

参数曲线我们有格林公式

$\underset{D}{\iint}\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)dxdy= \underset{L}{\oint}Pdx+Qdy$令$P=-y,Q=x$可得

$\underset{D}{\iint}dxdy=\frac12\underset{L}{\oint}xdy-ydx$而左侧的二重积分便是闭曲线$y$所围成的面积，我们可以用一个围道积分来表达这个面积。

正如斯托克斯告诉我们的

$\int_\Omega\omega =\int_{\partial\Omega}d\omega$

你似乎会隐约感受到『全息宇宙论』所得到的结论，并不是空穴来风。选取适当的参数$t$，并给出曲线的参数方程

$\left\lbrace \begin{aligned} &x=x(t)\newline\newline &y=y(t) \end{aligned}\right.$

正如前面所说的，对于定长闭曲线，其所围成的面积可表示为

$A[x,y]= \frac12\underset{L}{\oint}xdy-ydx= \frac12\int_{t_0}^{t_1}(x\dot y-\dot xy)dt$

这便是我们想要的结果。

齐次条件刚才我们得到了

$A[x,y]=\int_{t_0}^{t_1}\underbrace{\frac12(x\dot y-\dot xy)}_{F}dt$现在对泛函$A[x,y]$取极值，其满足欧拉方程组

$\left\lbrace \begin{aligned} &\frac{\partial F}{\partial x}-\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot x}=F_x-\dot xF_{x\dot x}-\ddot xF_{\dot x\dot x}-\dot yF_{y\dot x}-\ddot yF_{\dot y\dot x}=0\newline\newline &\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot y}=F_y-\dot xF_{x\dot y}-\ddot xF_{\dot x\dot y}-\dot yF_{y\dot y}-\ddot yF_{\dot y\dot y}=0 \end{aligned}\right.\tag0$

如果能通过某些额外的条件，能将以上两个方程合并成一个方程，那就好了。

假如$F$是$\dot x,\dot y$的一次齐次函数，即

$\underbrace{F(k\dot x,x;k\dot y,y)}_{\hat F}=k\ \underbrace{F(\dot x,x;\dot y,y)}_{F}$现在让上式等号两边分别对$k$求导，根据链式法则不难得到

$\dot x\hat F_{(k\dot x)}+ \dot y\hat F_{(k\dot y)}= F$再令$k=1$即得

$F=\dot xF_{\dot x}+ \dot yF_{\dot y}\tag1$将该式分别对$\dot x,\dot y$求偏导可得

$\left\lbrace \begin{aligned} &F_{\dot x}=F_{\dot x}+\dot xF_{\dot x\dot x}+\dot yF_{\dot x\dot y}\newline\newline &F_{\dot y}=\dot xF_{\dot y\dot x}+F_{\dot y}+\dot yF_{\dot y\dot y} \end{aligned}\right.\Rightarrow \left\lbrace \begin{aligned} &\dot xF_{\dot x\dot x}+\dot yF_{\dot x\dot y}=0\newline\newline &\dot xF_{\dot y\dot x}+\dot yF_{\dot y\dot y}=0 \end{aligned}\right.$

由于混合偏导对偏导顺序不敏感，这让我们得到了一系列对称的等式

$\left\lbrace \begin{aligned} &F_{\dot x\dot x}=\dot y^2F^*\newline\newline &F_{\dot y\dot y}=\dot x^2F^*\newline\newline &F_{\dot x\dot y}=-\dot x\dot yF^* \end{aligned}\right.$

我们这里取$F^*=-\frac{F_{\dot x\dot y}}{\dot x\dot y}$现在将 (1) 分别对$x,y$求偏导

$\left\lbrace \begin{aligned} &F_x=\dot xF_{x\dot x}+\dot yF_{x\dot y}\newline\newline &F_y=\dot xF_{y\dot x}+\dot yF_{y\dot y} \end{aligned}\right.$

将结果代回 (0) 便能得到欧拉方程的维尔斯特拉斯形式

$\color{orange}{F_{x\dot y}}-\color{orange}{F_{\dot xy}}+(\color{red}{\ddot x}\color{blue}{\dot y}-\color{red}{\dot x}\color{blue}{\dot y})\color{orange}{F^*}=0$

曲率曲率是曲线偏离直线程度的度量，若给出曲线的参数方程$\left\lbrace \begin{aligned} &x=x(t)\newline\newline &y=y(t) \end{aligned}\right.$，则曲率可表示为

$K=\frac{|\ddot x\dot y-\dot x\ddot y|}{(\dot x^2+\dot y^2)^{3/2}}$

曲率的倒数就是曲率半径$\rho=\frac1K$将欧拉方程的维尔斯特拉斯形式代入该式，并注意到$\ddot x\dot y>\dot x\ddot y$，不难得到

$\color{darkblue}K= \frac{\color{orange}{F_{\dot xy}}-\color{orange}{F_{x\dot y}}}{(\color{red}{\dot x^2}+\color{blue}{\dot y^2})^{3/2}\color{orange}{F^*}}$

其中$\color{orange}{F^*}=-\frac{\color{orange}{F_{\dot x\dot y}}}{\color{red}{\dot x}\color{blue}{\dot y}}$。