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带电粒子在磁场与复合场中（竞赛）
概览
本笔记是竞赛电学最重要的笔记之一：带电粒子在磁场与复合场中的运动是复赛压轴题的绝对核心，几乎每年必考。其难度不在公式——洛伦兹力 $\vec f=q\vec v\times\vec B$与圆周运动$r=\dfrac{mv}{qB}$ 只是高中知识——而在几何：有界磁场中圆心、弦、圆心角、边界相切的图景必须"一画就对"，临界与极值、多解情形必须想全。本笔记系统建立四块方法：轨迹的几何求解（弦切角定理、三类典型边界）、有界磁场的临界与极值（旋转圆法、缩放圆法）、回旋加速器与质谱仪的定量计算、复合场（电场＋磁场＋重力场）的等效场与平衡条件。前置为 06-磁场与安培力 与 03-矢量运算，力学基础为 05-动量与角动量 与 04-功与机械能。
核心概念
一、洛伦兹力
运动电荷在磁场中受力 $$ \boxed{\thinspace\vec f = q\thinspace\vec v\times\vec B\thinspace} $$ 大小为 $f=qvB\sin\theta$（$\theta$为$\vec v$与$\vec B$夹角），方向由右手定则确定：四指从$\vec v$转向$\vec B$，拇指即 $\vec f$ 方向；负电荷受力方向与正电荷相反。
洛伦兹力永远不做功：因为 $\vec f\perp\vec v$恒成立，功率$P=\vec f\cdot\vec v=0$。它只改变速度方向、不改变速率大小。这一性质是复合场问题用能量守恒的前提。
洛伦兹力 vs 安培力
安培力是洛伦兹力的宏观统计结果：载流导线中定向运动的电荷平均地受洛伦兹力，宏观上表现为导线受力。微观力不做功，宏观的安培力却可以做功——能量由电源提供（见 06-磁场与安培力），两者并不矛盾。
二、$\vec v\perp\vec B$ 时的匀速圆周运动
当速度与磁场垂直时，洛伦兹力大小恒定、方向始终垂直速度指向圆心，提供向心力。由牛顿第二定律 $qvB=m\dfrac{v^2}{r}$：
$$ \boxed{\thinspace{}r=\frac{mv}{qB}\thinspace},\qquad \boxed{\thinspace{}T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{qB}\thinspace},\qquad \boxed{\thinspace\omega=\frac{qB}{m}\thinspace} $$
三个结论必须刻进脑子：
- 周期与速度无关：$T$只由荷质比$q/m$与$B$ 决定。同一粒子在同一磁场中，无论速度多大，回旋周期恒定——这是回旋加速器的设计依据，也是"已知圆心角求时间"的底气；
- 半径与速度成正比：$r\propto v$，改变速率相当于按比例缩放轨迹圆；
- $\omega$与$r$、$v$ 均无关，只取决于磁场与粒子本身。
三、$\vec v$与$\vec B$成任意角$\theta$ 时的螺旋运动
将速度分解为平行与垂直于磁场的分量： $$ v_\parallel = v\cos\theta,\qquad v_\perp = v\sin\theta $$ 垂直于磁场的分量产生圆周运动，平行分量不受力保持匀速直线，二者合成等螺距螺旋线：
$$ r=\frac{mv_\perp}{qB}=\frac{mv\sin\theta}{qB},\qquad T=\frac{2\pi m}{qB},\qquad \boxed{\thinspace{}h = v_\parallel T = \frac{2\pi m\thinspace{}v\cos\theta}{qB}\thinspace} $$
其中 $h$ 为螺距。周期仍与速度无关，$v_\parallel=0$ 时退化为圆周运动，$v_\perp=0$ 时退化为匀速直线。螺旋运动是 08-电磁感应与自感 中螺线管磁场、地磁场中宇宙线轨迹的基础图像。
四、复合场问题的总体框架
| 场的组合 | 可能出现的运动 | 核心工具 |
|---|---|---|
| 仅磁场 | 匀速圆周 / 螺旋运动 | 几何法求轨迹 |
| 电场＋重力场 | 抛体、等效单摆 | 等效重力场 |
| 磁场＋重力场 | 曲线（无匀速圆周，一般做摆线） | 配速法、能量守恒 |
| 磁场＋电场＋重力场 | 匀速直线、匀速圆周（两类理想情形） | 三力平衡 / 场力平衡＋洛伦兹力当向心力 |
竞赛的最高频考法是最后一行：先由"匀速直线"或"匀速圆周"的限定反推出场的配置与粒子参数，再在此基础上加问几何或能量。
推导与原理
一、轨迹的几何求解——复赛得分核心
有界磁场题"三分物理、七分几何"。核心是画对圆。下面四个工具必须熟练到"条件反射"。
1. 确定圆心
- 方法一（两处力线）：粒子在圆轨迹上任意两处，洛伦兹力都指向圆心；而洛伦兹力方向垂直于该处速度。故入射点与出射点两处速度的垂线的交点即圆心。
- 方法二（弦中垂线＋切线垂线）：圆心必在弦的中垂线上（到弦两端等距），又必在入射速度（切线）的垂线上，两线交点即圆心。此法的好处是不必先知道出射点。
关键几何事实
- 圆心到入射点、出射点等距（半径相等）；
- 速度方向始终垂直于半径，因此"半径转过的角度＝速度方向转过的角度"；
- 洛伦兹力不做功 ⇒ 匀速圆周 ⇒ 速率处处相同，弧长 $s=v\thinspace{}t$ 与圆心角成正比。
2. 弦、圆心角与时间
设圆弧对应的圆心角为 $\theta$，粒子速率 $v$，轨道半径 $r$：
- 弦长：$l = 2r\sin\dfrac{\theta}{2}$（等腰三角形：两腰为半径，顶角 $\theta$，底边为弦）；
- 弧长：$s = r\theta$（$\theta$ 用弧度）；
- 运动时间：时间只由圆心角决定 $$ \boxed{\thinspace{}t = \frac{\theta}{2\pi}\thinspace{}T = \frac{\theta\thinspace{}m}{qB}\thinspace} $$ 这是最重要的一条：求时间不必算速度，只需求圆心角，且 $t$与$v$ 无关。
3. 弦切角定理
定义弦切角 $\alpha$：出射速度方向与弦（入射点—出射点连线）的夹角。因为切线垂直于半径 $OQ$、弦与半径 $OP$的夹角为$\dfrac{\pi-\theta}{2}$（等腰三角形），故
$$ \alpha = \frac{\pi}{2}-\frac{\pi-\theta}{2}=\frac{\theta}{2} $$
于是得到竞赛中使用频率最高的角度关系：
$$ \boxed{\thinspace\text{速度偏转角}=\theta=2\alpha\thinspace\text{（二倍弦切角）}\thinspace} $$
应用套路：已知入射、出射速度方向 $\Rightarrow$立即得圆心角$\theta$（速度偏转角）$\Rightarrow$得时间$t=\dfrac{\theta m}{qB}$与半径$r=\dfrac{l}{2\sin(\theta/2)}$。多解性也源于此：$\theta$与$2\pi-\theta$ 对应同一对方向。
4. 三类典型边界
(1) 直线边界（进出对称）：粒子从直线边界上的 $P$点进入磁场，从同一边界$Q$点射出。弦$PQ$就在边界直线上，由弦切角定理，入射方向与边界的夹角＝出射方向与边界的夹角（入射角等于出射角），且轨迹关于过$PQ$ 中点、垂直于边界的直线对称，圆心在该对称轴上。所以"看对称性就能画对圆"。
(2) 圆形磁场区域（等腰三角形）：区域圆心 $O_0$、半径 $R$，粒子从边界 $A$ 入射、$B$出射。则$AO_0=BO_0=R$（区域半径）且 $AO=BO=r$（轨迹半径），四边形 $AO_0BO$关于$O_0O$ 对称，$O_0O$垂直平分弦$AB$。偏转角由弦长决定： $$ \sin\frac{\theta}{2}=\frac{AB/2}{r}\quad\Longrightarrow\quad \theta=2\arcsin\frac{AB}{2r} $$ 弦越长偏转角越大，弦最长即区域直径（$A$、$B$关于$O_0$ 对称）。故最大偏转角对应"直径入射"： $$ \theta_{\max} = \begin{cases} \pi, & r\le R\ \left(\text{弦长取 }2r\right)\newline[2mm] 2\arcsin\dfrac{R}{r}, & r>R\ \left(\text{弦长取 }2R\right) \end{cases} $$
(3) 半圆与矩形区域：半圆区域与圆形区域同理；矩形区域则要同时判断四条边，粒子从某边射出的条件是轨迹与其余边界不相交——临界情形必是轨迹与某条边界相切或恰好过角点。
二、有界磁场的临界与极值
1. 相切临界
粒子"恰能穿出"或"恰不能穿出"的临界条件都是轨迹圆与边界相切（切点处轨迹与边界只有一个交点）。典型操作：令 $r$为变量，用几何关系（圆心到边界的距离$=r$）列方程解出临界半径 $r_c$，再由 $v_c=\dfrac{qBr_c}{m}$得临界速率。边界为直线时圆心到边界的距离等于$r$；边界为圆时圆心距等于 $r\pm R$。
2. 速度范围问题
给定区域与入射方向，求粒子能从某边射出的速率范围。注意 $r=\dfrac{mv}{qB}$：速率越大圆越大。求解三步骤：先画临界相切的圆确定 $r$的允许区间，再换算成$v$ 的区间，最后检查端点开闭（恰相切时能否穿出依题而定）。
3. 旋转圆法与缩放圆法
- 旋转圆法（同速率、不同方向）：速率相同则半径相同，从同一点以不同方向入射的所有轨迹圆圆心都在以入射点为圆心、$r$为半径的圆周上（圆心距入射点恒为$r$）。想象这个圆心沿该圆旋转，轨迹圆随之"旋转"扫过区域，其外包络线即为粒子可能到达的边界——用于求"能覆盖多大区域""最远能到达哪里"。
- 缩放圆法（同方向、不同速率）：方向相同则圆心在同一直线（入射点处速度的垂线）上，半径随 $v$ 线性放大。圆从一点"缩放"，与边界相切时即临界——用于求速率范围。
两条经典错误
- 误以为"从边界射入就一定能从边界射出"——$r$ 过小时粒子转不回边界，直接从区域侧边穿出或永远困在内部（见例 1）；
- 求时间时把"路程"当"弧长"：粒子转过 $2\pi-\theta$的大角与转$\theta$ 小角对应同一弦，时间不同——必须先判断轨迹走的是哪一侧（优弧还是劣弧）。
4. 多解情形
- 磁场方向未给定（向里/向外）→ 轨迹有两种弯曲方向；
- 速度方向未给定（夹角为 $\theta$或$\pi-\theta$）→ 两组圆；
- 粒子先后穿越区域多次 → 每一段都要单独画圆心；
- 电荷正负未定 → 洛伦兹力方向相反。
竞赛中"多解"的考点就是要求把这些情形逐一讨论并全部列出。
三、质谱仪
结构：粒子源 → 加速电场（电势差 $U$）→ 速度/偏转磁场（$B$）→ 接收屏。
原理两步：
- 电场加速（动能定理）：$qU=\dfrac12 mv^2$；
- 磁场偏转（匀速圆周），打到屏上的位置由偏转半径决定： $$ \boxed{\thinspace{}r=\frac{mv}{qB}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}\thinspace} $$
同位素分离：$r\propto\sqrt m$，不同质量（同位素）落在屏上不同位置，即被分离。质量分辨率定性：屏上各同位素落点间距 $\Delta r\propto\sqrt m$之差；要分辨质量差$\Delta m$ 很小的相邻同位素，需（a）入射速度展宽小（速度选择器预选速度）、（b）接收缝窄、（c）$B$尽量大——分辨率由$\dfrac{m}{\Delta m}\sim \dfrac{r}{2\thinspace\Delta r}$ 量级刻画。
四、回旋加速器
结构：两个半圆形 D 形盒（半径 $R$）置于匀强磁场中，盒间留窄缝并接交变电压，粒子在盒内做半圆运动，每次穿过缝隙被电场加速一次。
同步条件（核心）：盒内半圆运动周期 $T=\dfrac{2\pi m}{qB}$ 与速率无关，故交变电场只需按固定频率切换即可永远"跟上"： $$ \boxed{\thinspace{}f=\frac{1}{T}=\frac{qB}{2\pi m}\thinspace} $$
最大动能：粒子被加速到轨道半径等于盒半径 $R$ 时达最大速率，此后无法继续加速： $$ \boxed{\thinspace{}E_{k\max}=\frac{(qBR)^2}{2m}\thinspace} $$ 最大动能只由 $R$与$B$决定，与加速电压$U$ 无关——电压只影响加速快慢（次数），不影响上限。
加速次数与时间：每次过缝动能增加 $qU$，故 $$ n=\frac{E_{k\max}}{qU}=\frac{qB^2R^2}{2mU} $$ 忽略粒子在缝隙中的加速时间（远小于半圈时间），总时间等于 $n$ 次加速之间的飞行时间： $$ t=\frac{n}{2}\cdot T=\frac{n\pi m}{qB}=\frac{\pi BR^2}{2U} $$ 加速的次数越多、每圈越慢，但总时间与 $B$、$R$、$U$的组合恰好消去$m,q$，仅由几何参数与电压决定（读者可验算单位）。
相对论修正（定性）：当速率接近光速时，$m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$随速率增大，周期$T=\dfrac{2\pi m}{qB}$ 变长，与固定频率的电场失步，粒子不再被稳定加速。故经典回旋加速器只能加速低速（非相对论）粒子；加速高能粒子的装置须改用同步回旋加速器（变频率）或加速器环。这就是大型强子对撞机前身——同步加速器的由来。
五、速度选择器与磁流体发电机
速度选择器：正交匀强电场 $E$与磁场$B$，粒子垂直于二者射入。恰有 $qE=qvB$ 时粒子直线通过： $$ \boxed{\thinspace{}v=\frac{E}{B}\thinspace} $$ 三个"与无关"：与电荷量 $q$无关、与质量$m$无关、与电荷正负无关。速度恰好为$E/B$ 的粒子沿直线穿出（混合束被"筛选"）；速度偏大的粒子洛伦兹力占优、偏小的粒子电场力占优，均被偏转挡下。注意：$v=E/B$ 对正负电荷都能成立，但偏离该速度时两种电荷的偏转方向相反。
磁流体发电机：高温等离子体以速度 $v$流过正交磁场$B$ 中的矩形管道，正负离子受洛伦兹力分别向两侧极板堆积，形成电场，直至电场力与洛伦兹力平衡： $$ qE=qvB\thickspace\Longrightarrow\thickspace E=vB,\qquad \boxed{\thinspace{}U=Bvd\thinspace} $$ $d$ 为两极板间距。这就是霍尔效应的宏观版——06-磁场与安培力 中霍尔电压的同一物理。
六、复合场中的运动（复赛重点）
1. 匀强电场＋重力场：等效重力场
重力与电场力都是恒力，合力 $$ \vec F_{\text{合}}=m\vec g+q\vec E $$ 在力的问题上等价于一个方向的重力场，等效重力加速度（大小） $$ \boxed{\thinspace{}g'=\frac{|\vec F_{\text{合}}|}{m}=\sqrt{g^2+\left(\frac{qE}{m}\right)^2+2g\frac{qE}{m}\cos\varphi}\thinspace} $$ 其中 $\varphi$为$\vec g$与$q\vec E/m$的夹角；当电场竖直时即$g'=g\pm\dfrac{qE}{m}$，正交时 $g'=\sqrt{g^2+(qE/m)^2}$。此后一切抛体公式、单摆周期 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g'}}$原封不动适用，只需把$\vec g$换成$\vec g'$。参考系分析见 02-牛顿运动定律与非惯性系 的等效场思想。
2. 磁场＋重力场：不能做匀速圆周
只有重力和洛伦兹力时，粒子不可能做匀速圆周运动：重力做功使速率改变，而匀速圆周要求速率恒定；洛伦兹力方向垂直速度，又无法抵消重力的切向分量。因此运动必为变速曲线（典型为摆线）。但两条结论仍严格成立：
- 洛伦兹力不做功 ⇒ 动能定理/机械能方法照用：$mg\thinspace\Delta h=\Delta E_k$；
- 匀速直线可作终态：若粒子最终沿水平方向匀速直线运动，则 $qvB=mg$（洛伦兹力竖直、恰抵消重力）： $$ v=\frac{mg}{qB} $$
"先加速后匀速"的典型模型：带电小球沿竖直导轨下滑（或受黏滞阻力 $f_r=kv$），磁场水平。竖直方向运动方程 $$ mg - \mu qvB = m\frac{dv}{dt}\quad\left(\text{或 } mg - qv_xB - kv_y = m\frac{dv_y}{dt}\right) $$ 速度增大 → 洛伦兹力增大（正压力增大 → 摩擦力增大）→ 加速度减小，最终 $mg=\mu qvB$（重力与"洛伦兹力产生的摩擦"平衡）时匀速： $$ v_{\max}=\frac{mg}{\mu qB} $$ 讨论：若电荷变号或磁场反向，洛伦兹力方向反转，正压力变为"背向约束"——粒子将脱离约束（临界条件 $N=0$），不存在匀速终态；若 $\mu qB$足够小，则先匀加速至$v_{\max}$ 再匀速，呈"先加速后匀速"图像。
摆线与配速法（进阶）
无阻力、仅重力和水平磁场的粒子从静止释放，轨迹为摆线，无匀速终态。配速法：选匀速平动参考系 $v_0=\dfrac{mg}{qB}$（水平，方向使 $qv_0B$竖直向上），该系中重力恰好被洛伦兹力项抵消，粒子只做匀速圆周（半径$r=\dfrac{mv_0}{qB}$，角速度 $\omega=\dfrac{qB}{m}$），地面系中即"匀速平动＋匀速圆周"合成的摆线。此法对 08-电磁感应与自感 中受安培力+重力的金属杆问题同样适用。
3. 磁场＋电场＋重力场：两类理想运动（最高频）
设三场并存（电场 $\vec E$、磁场 $\vec B$、重力场 $\vec g$），粒子做理想运动的条件为：
(1) 匀速直线运动——三力平衡：粒子的运动方向必须使洛伦兹力恰好平衡 $\vec G+q\vec E$ 的合力： $$ \boxed{\thinspace{}q\thinspace\vec v\times\vec B = -\left(m\vec g+q\vec E\right)\thinspace} $$ 即洛伦兹力必须竖直方向、大小等于重电场力合力（此时必有 $v\perp B$，且 $v=\dfrac{|\vec G+q\vec E|}{qB}$ 由平衡自动确定）。故给定场的配置，匀速直线只存在特定方向、特定速率，且速率是确定的（洛伦兹力无自由度）。
(2) 匀速圆周运动——洛伦兹力单独当向心力：重力与电场力必须等大反向、互相抵消： $$ \boxed{\thinspace{}m\vec g+q\vec E=\vec 0\thinspace}\qquad(\text{方向沿 }g\text{ 反向，对负电荷即 }q\vec E=m\vec g) $$ 此后问题退化为"纯磁场圆周运动"，$r=\dfrac{mv}{qB}$、$T=\dfrac{2\pi m}{qB}$、$\omega=\dfrac{qB}{m}$ 全部适用。电荷的正负由电场方向与重力方向的配置唯一决定（电场力必须向上平衡重力，故电场向下时粒子带负电、电场向上时带正电）。
判题流程：看到"匀速直线"→ 列三力平衡矢量式；看到"匀速圆周"→ 先检查场力平衡（否则运动根本不可能是匀速圆周），再进入纯磁场几何。二者结合正是复赛复合场压轴的标准套路。
4. 多解性
- 磁场方向未给定 → 轨迹弯曲方向有两种，圆周运动转向相反，均为合法解；
- 电场方向未给定 → 粒子电性可能有两解（配合荷质比给出两个答案）；
- 速度方向未给定 → 圆心在入射点两侧，出射几何各画一遍；
- 复合场中"匀速直线"方向未给定 → 若重电场合力为零则任意方向匀速直线（退化情形），需单独指出。
典型实例与物理应用
实例 1：直线边界的进出对称
粒子从直线边界以 $60^\circ$角射入匀强磁场，在磁场中转$\dfrac{\pi}{3}$后从边界射出。由弦切角定理：入、出射方向与边界夹角相等（均为$60^\circ$），偏转角 $=2\times$弦切角 $=\dfrac{\pi}{3}$，时间 $t=\dfrac{\pi m}{3qB}$。画图时：先画对称轨迹，再定圆心。
实例 2：圆形磁场中的最大偏转
区域半径 $R$，粒子速度 $v=\dfrac{2qBR}{m}$（即 $r=2R>R$）。最大偏转角对应弦为区域直径： $$ \theta_{\max}=2\arcsin\frac{R}{2R}=2\arcsin\frac12=\frac{\pi}{3} $$ 入射方向应满足"入射点与出射点关于 $O_0$对称"，即粒子沿与径向成$30^\circ$ 的方向射入（读者自验几何）。
实例 3：质谱仪分离同位素
$q$相同、质量$m_1<m_2$的两种离子经电压$U$加速后进入磁场$B$，落点间距 $$ \Delta r=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2U}{q}}\left(\sqrt{m_2}-\sqrt{m_1}\right) $$ 注意是 $\sqrt m$之差而非$m$之差——这就是为什么高分辨率质谱仪常用更小的$1/B$与更大的$U$ 拉大间距。
实例 4：回旋加速器参数链
见例 2（完整计算）。核心链条：$f=\dfrac{qB}{2\pi m}$→$E_{k\max}=\dfrac{(qBR)^2}{2m}$→$n=\dfrac{E_{k\max}}{qU}$→$t=\dfrac{n\pi m}{qB}$。凡给 $R,B$问最大能量、给$U$ 问次数与时间，都是这一条链。
实例 5：三场匀速圆周的标准配置
竖直向下电场 $E$、垂直纸面向里磁场 $B$、重力场 $g$，一带电粒子在竖直平面内做匀速圆周运动。由场力平衡：电场力竖直向上 $=|q|E=mg$，故粒子带负电，荷质比 $q/m=g/E$；周期 $T=\dfrac{2\pi m}{qB}=\dfrac{2\pi E}{gB}$；半径由速率决定 $r=\dfrac{mv}{qB}$。从最高点运动到最低点：$mg= qE$且重电场力合力为零，洛伦兹力不做功 ⇒ 动能不变；但重力势能减少$2mgr$，电势能增加 $2mgr$，机械能减少 $2mgr$（电场力做负功）。
实例 6：速度选择器+质谱仪（串联）
粒子先经速度选择器（$E_1,B_1$）获得速度 $v=\dfrac{E_1}{B_1}$（与 $m,q$无关），再入分析磁场$B_2$ 偏转，$r=\dfrac{m}{qB_2}\cdot\dfrac{E_1}{B_1}$，此时 $r\propto \dfrac{m}{q}$——可以分离同电量不同质量的离子，且不受速度展宽影响。这是现代质谱仪的双聚焦原型。
例题
例 1：矩形磁场区域的临界——速度范围与时间（基础）
题目：如图，矩形匀强磁场区域宽 $d$、高 $2d$，磁感应强度 $B$垂直纸面向里。带正电粒子（质量$m$、电荷 $q$）从左边框中点 $O$以速度$v$水平向右射入。（1）求粒子恰能从上边界射出的速率$v_1$；（2）求粒子恰能从右边界射出的最小速率 $v_2$及此时出射点位置；（3）若$v_0=\dfrac{qBd}{4m}$，求粒子在磁场中的运动时间。
分析：粒子向右、$B$向里，洛伦兹力向上，圆心在入射点正上方距离$r=\dfrac{mv}{qB}$处（过$O$点速度的垂线上）。以$O$为原点建立坐标，轨迹圆方程为$x^2+(y-r)^2=r^2$。逐边分析轨迹与边界的交切关系，临界即相切或过角点。
解答： （1）圆心在 $(0,r)$，轨迹最高点 $y=2r$。恰能从上边界 $y=d$射出 ⇔ 轨迹与上边界相切，即$2r=d$，得 $$ r_1=\frac{d}{2}\quad\Longrightarrow\quad v_1=\frac{qBr_1}{m}=\frac{qBd}{2m} $$
（2）右边界 $x=d$ 与轨迹圆相交条件：$d^2+(y-r)^2=r^2$ 有解，即 $$ (y-r)^2=r^2-d^2\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad r\ge d $$ 故恰能从右边界射出的临界半径为 $r_2=d$，对应最小速率 $$ v_2=\frac{qBd}{m} $$ 此时 $(y-d)^2=0$，出射点恰为右上角 $(d,d)$（轨迹与两边界同时相切），偏转角 $\varphi=\arcsin\dfrac{d}{r}=\dfrac{\pi}{2}$。
（3）$v_0=\dfrac{qBd}{4m}$，则 $r_0=\dfrac{d}{4}<\dfrac{d}{2}$，轨迹最高点 $2r_0=\dfrac d2<d$，粒子不与任何边界相遇，转半圈后从 $O$点正上方$y=2r_0$处返回左边界射出，圆心角$\theta=\pi$，时间 $$ t=\frac{\theta}{2\pi}T=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\pi m}{qB}=\frac{\pi m}{qB} $$ 时间与 $v_0$ 无关——这正是"周期与速度无关、时间只由圆心角决定"的体现。
点评：本题完整演示"临界＝相切"的两种形态：与直线边界相切（1）、与两条边界同时相切于角点（2），以及"转不回去/出不去"的速率区间分析。推广：若 $v_1<v<v_2$，粒子从上边界射出，出射点横坐标 $x=\sqrt{2rd-d^2}$，偏转角 $\varphi=\arccos\left(1-\dfrac{d}{r}\right)$——读者可自行验证 $r\to d$ 时回到角点结果。
例 2：回旋加速器完整计算（中难）
题目：回旋加速器 D 形盒半径 $R=0.5\thinspace\text{m}$，磁感应强度 $B=1.0\thinspace\text{T}$，加速电场电压 $U=2.0\times10^4\thinspace\text{V}$，加速质子（$q=1.6\times10^{-19}\thinspace\text{C}$，$m=1.67\times10^{-27}\thinspace\text{kg}$），质子从中心附近静止出发。（1）求交变电场频率 $f$；（2）求质子最大动能 $E_{k\max}$与最大速率$v_{\max}$；（3）求加速次数 $n$与总加速时间$t$；（4）若把 $B$减半而$R$ 不变，$E_{k\max}$如何变化？欲保持$E_{k\max}$ 不变，$U$ 应取多少？
分析：直接套用回旋加速器公式链。注意第（4）问考查"最大动能由 $B,R$决定、与$U$ 无关"，$U$ 只能改变次数与时间。
解答： （1）电场频率与回旋频率同步： $$ f=\frac{qB}{2\pi m}=\frac{1.6\times10^{-19}\times1.0}{2\pi\times1.67\times10^{-27}}\approx 1.5\times10^7\thinspace\text{Hz}\approx 15\thinspace\text{MHz} $$
（2） $$ E_{k\max}=\frac{(qBR)^2}{2m} =\frac{(1.6\times10^{-19}\times1.0\times0.5)^2}{2\times1.67\times10^{-27}}\approx 1.9\times10^{-12}\thinspace\text{J}\approx 12\thinspace\text{MeV} $$ $$ v_{\max}=\frac{qBR}{m}\approx 4.8\times10^7\thinspace\text{m/s} $$ 此时 $v_{\max}/c\approx 0.16$，相对论效应已不可忽略，真实装置中应作修正——这正是第（4）问之前应当意识到的问题。
（3）每次过缝动能增加 $qU$： $$ n=\frac{E_{k\max}}{qU} =\frac{1.9\times10^{-12}}{1.6\times10^{-19}\times2.0\times10^4}\approx 600 $$ 每圈两次加速、半圈时间 $\dfrac{T}{2}=\dfrac{\pi m}{qB}$，总时间 $$ t=\frac{n}{2}\cdot\frac{2\pi m}{qB}=\frac{n\pi m}{qB}\approx 600\times\frac{\pi\times1.67\times10^{-27}}{1.6\times10^{-19}}\approx 2.0\times10^{-5}\thinspace\text{s} $$ （亦可用 $t=\dfrac{\pi BR^2}{2U}\approx\dfrac{\pi\times1.0\times0.25}{4\times10^4}\approx 2.0\times10^{-5}\thinspace\text{s}$ 直接验证。）
（4）$E_{k\max}=\dfrac{(qBR)^2}{2m}\propto B^2$，故 $B$ 减半时 $$ E'_{k\max}=\frac{1}{4}E_{k\max}\approx 3\thinspace\text{MeV} $$ 由 $E_{k\max}=\dfrac{(qB'R)^2}{2m}$与电压无关，电压$U$无法恢复最大动能；若要保持$E_{k\max}$，必须增大 $R$（或减小 $m/q$），仅调 $U$ 只会改变加速次数与时间。
点评：回旋加速器的完整计算链条 $f\to E_{k\max}\to n\to t$必须一气呵成，且时刻记住最大动能只由$(B,R)$ 决定。第（4）问是经典陷阱：把"加速次数"与"最大动能"混为一谈者必错。
例 3：三场复合中的匀速圆周——条件、轨迹与能量（压轴）
题目：空间存在竖直向下匀强电场（场强 $E$）、垂直纸面向里匀强磁场（磁感应强度 $B$）与重力场 $g$。一带电粒子在竖直平面内做匀速圆周运动，轨道半径 $R$。（1）判断粒子电性，求荷质比；（2）求运动周期 $T$与速率$v$；（3）粒子从最高点运动到最低点，求动能、重力势能、电势能、机械能的变化；（4）若粒子带负电，而磁场方向未给定（可能向里或向外），讨论粒子沿圆周转动的方向。
分析：匀速圆周的充要条件是重电场力合力为零（否则粒子不可能速率恒定），故电场力必须竖直向上：粒子带负电。此后是纯磁场圆周运动，几何与能量问题都可直接作答。
解答： （1）匀速圆周 ⇒ 重力与电场力等大反向：电场向下，负电荷受电场力向上，故粒子带负电： $$ mg=qE\quad\Longrightarrow\quad \frac{q}{m}=\frac{g}{E} $$
（2）纯磁场圆周运动公式原样适用： $$ T=\frac{2\pi m}{qB}=\frac{2\pi E}{gB},\qquad v=\frac{qBR}{m}=\frac{gBR}{E} $$
（3）重电场力合力为零，全程只有洛伦兹力（不做功），故动能不变：$\Delta E_k=0$。从最高点到最低点高度下降 $2R$： $$ \Delta E_p=-mg\cdot 2R=-2mgR\ \text{（重力势能减少）} $$ $$ \Delta E_{\text{电}}=qE\cdot 2R=-2mgR\ \text{（负电荷逆电场，电势能增加）} $$ $$ \Delta E_{\text{机}}=\Delta E_k+\Delta E_p=-2mgR\ \text{（机械能减少，等于电场力做的负功）} $$
（4）洛伦兹力方向由 $\vec v\times\vec B$ 与电荷符号共同决定。磁场向里时负电荷受洛伦兹力指向某一侧，磁场向外时指向相反侧，因此转动方向随之相反（一个顺时针、一个逆时针），两种配置都是合法解；荷质比、周期、速率均不受影响。本题未给磁场方向，故答案应同时写出两种情形——这就是复合场的"多解性"考点。
点评：本题三问依次考查三个层次：运动性质→场的条件（电性、荷质比）、运动学（周期、速率）、能量分析（洛伦兹力不做功＋场力合力为零），第（4）问考察多解意识。这是复赛复合场压轴的标准骨架，务必做到"条件、几何、能量、多解"四步都不漏。
易错提醒
易错点
- 洛伦兹力方向：$\vec f=q\vec v\times\vec B$中$q$为带符号的电荷量，负电荷要反向；先比$\vec v$再转$\vec B$，顺序写反方向必错（见 03-矢量运算 的反交换律）。
- 圆心定错：圆心在入射速度的垂线上，不在速度方向上；两处力线交点法要选"不同位置"的两处速度垂线。
- 时间公式用错：$t=\dfrac{\theta}{2\pi}T$中的$\theta$ 是轨迹实际转过的圆心角，不是偏转角的补角；粒子走优弧还是劣弧要先判断。
- 误用"穿出速度"：粒子从磁场边界穿出的方向与边界夹角等于入射角（直线边界对称性），但速度大小不变（洛伦兹力不做功）——不要写成"折射"。
- 临界判断漏端点："恰能射出"的临界速率区间端点是开是闭，要按"相切后是否还能前进"逐题判定，不能一概而论。
- 回旋加速器：$E_{k\max}=\dfrac{(qBR)^2}{2m}$与$U$无关；电场频率必须恒为$f=\dfrac{qB}{2\pi m}$；相对论下 $T$ 变长、失同步，不能加速高能粒子。
- 复合场直线运动：匀速直线时速率是确定的（由平衡决定），不是任意给定；三力平衡必须矢量合成，洛伦兹力与速度垂直这一约束是解题钥匙。
- 三场匀速圆周忘检查：必须先有 $m\vec g+q\vec E=\vec 0$，否则"匀速圆周"不成立；很多同学直接套 $r=\dfrac{mv}{qB}$ 而丢了电性判断。
- 多解漏讨论：磁场方向、速度方向、电荷正负未给定即有多解，需全部列出；求时间与位置时要对每个解分别计算。
概念辨析
匀速圆周运动的"向心力来源"与条件
情形 向心力来源 成立条件 典型特征 纯磁场（$v\perp B$） 洛伦兹力 任意速率 $T$与$v$ 无关 磁场＋重力场 洛伦兹力 不成立（重力改变速率） 摆线，无匀速圆周 磁场＋电场＋重力场 洛伦兹力 $m\vec g+q\vec E=\vec 0$ $T=\dfrac{2\pi m}{qB}$ 照用 匀速直线（三场） —— 三力平衡 $v$由$qvB=
半径公式的三个变体
已知条件 半径表达式 速率 $v$ $r=\dfrac{mv}{qB}$ 加速电压 $U$（质谱仪） $r=\dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2mU}{q}}$ 动量 $p$ $r=\dfrac{p}{qB}$
与其他知识关联
- 与 06-磁场与安培力：本笔记是磁场对运动电荷作用的深化；安培力是洛伦兹力的宏观统计结果，03-矢量运算 的叉积是 $\vec f=q\vec v\times\vec B$ 的数学基础。
- 与 02-电势与电势能：电场加速 $qU=\frac12 mv^2$ 是质谱仪与回旋加速器的第一步，复合场中的能量分析依赖电势能概念。
- 与 05-稳恒电流与电路分析：磁流体发电机的 $U=Bvd$ 是霍尔效应（06-磁场与安培力）的宏观版，需结合电流与电场知识。
- 与 08-电磁感应与自感：螺旋运动与摆线中的"平动＋圆周"分解，对导轨问题（安培力＋重力）同样适用；洛伦兹力不做功的思想贯穿两篇。
- 与 05-动量与角动量：洛伦兹力是向心力，圆周运动的动量方向时刻变化，动量定理的矢量性在此体现。
- 与 04-功与机械能：洛伦兹力不做功 ⇒ 磁场中动能守恒；复合场能量讨论（例 3）是电场力做功与机械能变化的直接应用。
- 与 02-牛顿运动定律与非惯性系：等效重力场 $g'$ 的方法与惯性力等效的思想同源。
- 与高中物理衔接：高中电学总览 中的洛伦兹力、质谱仪、回旋加速器为本笔记的高中基础。
- 与大学层面衔接：电磁学 中的带电粒子运动学、相对论修正（质量随速率变化）、磁场的相对论变换。
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作者的话
个人理解
学完这篇笔记，我认为真正的分水岭不在"会不会算"而在"画不画得出图"。复赛的磁场压轴题，物理过程往往一句话就能说完——"粒子在磁场中做圆周运动"——剩下的全部是几何：圆心在哪里、转了多大角、切在哪条边。所以我的建议是：每道题动笔之前先徒手画圆，把圆心、弦、边界、切点一次性标全，再开始列式。几何画对了，物理只是算术。
第二点心得关于复合场：见到"匀速直线"就写三力平衡，见到"匀速圆周"先查场力是否抵消——这两句话是我处理复合场题的总纲。不要怕多解：多解题的价值恰恰在于逼你把"未给条件"当作"自由参数"去枚举，这比会解一道题重要得多。
最后提醒：周期与速度无关这条结论是整篇笔记的暗线——它让回旋加速器可能、让时间题变得只与角度有关、让螺旋运动变得可预期。把这条结论连同它的证明刻进记忆，你就抓住了带电粒子运动的"灵魂"。
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