Appearance
流体力学基础（竞赛）
概览
流体力学把高中"浮力、液体压强"的定性知识升级为可定量计算的连续介质力学。本笔记在高中基础上完成三次深化：其一，静力学层面——用微元受力平衡严格推导液体压强 $P=\rho gh$，并用压强积分论证阿基米德定律的起源；其二，运动学层面——引入定常流动、流线与流管，由质量守恒建立连续性方程 $A_1v_1=A_2v_2$；其三，动力学层面——沿流管对能量守恒做积分，得到贯穿全章的伯努利方程 $P+\dfrac12\rho v^2+\rho gh=\text{常量}$，并由此推出托里拆利定理、虹吸、文丘里管等竞赛高频模型。最后以容器放水时间（微分方程建模，呼应 02-微分方程初步）与黏滞流体（斯托克斯定律、终端速度）作为竞赛专题。学习本笔记前需掌握 01-微积分基础 中的导数积分工具，其能量分析思路与 04-功与机械能 一脉相承，反冲力计算依赖 05-动量与角动量 的动量定理。
核心概念
一、压强与流体静力学
压强的定义：流体中某点受到的法向正应力，即单位面积上所受的垂直压力 $$ \boxed{\thinspace{}P=\frac{F_\perp}{S}\thinspace} $$ 压强的单位是帕斯卡（$\text{Pa}=1\ \text{N/m}^2$）。压强是标量，但它的作用总垂直于受力面——流体不能承受拉力，静止流体中任一面上只有法向压力，没有切向力（一旦有切向力流体就会流动），这是流体区别于固体的根本特征。
帕斯卡定律：密闭液体任一部分受到的压强变化，等值不变地传递到液体的各个部分。即对密闭流体施加 $\Delta P$，则流体中各处压强都增大 $\Delta P$。原理是液体不可压缩且能自由流动，外力压缩必以整体压强升高的形式"均摊"。液压机就是它的应用：小活塞施力 $F_1$产生压强$P=\dfrac{F_1}{S_1}$，大活塞受力 $F_2=PS_2=\dfrac{S_2}{S_1}F_1$，以小力放大为大力。
液体压强的公式 $P=\rho gh$（含推导）：取液体内部距自由面深 $h$处的一块水平薄片微元，厚度$dh$、底面积 $S$，如右图示意。设液面处压强为 $P_0$，薄片上方压强 $P$、下方压强 $P+dP$，微元受力平衡（竖直方向）：
$$ PS + \rho g S\thinspace{}dh = (P+dP)S \thickspace\Longrightarrow\thickspace dP = \rho g\thinspace{}dh $$
积分得 $$ P = P_0 + \rho g h $$
即：液体内部压强随深度线性增大，与容器形状、液体总量无关。若液面通大气，$P_0=P_{\text{atm}}$，则 $P_{\text{abs}}=P_{\text{atm}}+\rho gh$，其中 $\rho gh$ 称为表压（计示压强）。这一推导是"微元受力平衡 + 积分"方法在流体中的首次应用——后续浮力论证将再次使用。
液体压强与固体压强的区别
| 比较项 | 液体压强 $\rho gh$ | 固体压强$F/S$ |
|---|---|---|
| 方向 | 各方向都有，总垂直器壁 | 只沿接触面法向 |
| 与容器形状 | 无关（只由深度决定） | 与接触面积有关 |
| 传递方式 | 各处压强均匀传递（帕斯卡定律） | 直接传递力 |
| 典型例子 | 深海、水坝上窄下宽 | 钉子、雪橇 |
U 形管与连通器：连通器底部相连、上方开口的容器组，同种液体静止时各管液面等高。论证：若取底部任意一水平参考面，该面两侧的压强必相等（否则液体将在水平方向流动），即 $\rho gh_1=\rho gh_2$，故 $h_1=h_2$。若两侧液体不同（密度 $\rho_1,\rho_2$），则静止条件为 $\rho_1 g h_1=\rho_2 g h_2$——密度小的液柱更高。U 形管正是利用这一原理制成"压强计"：测 $P-P_{\text{atm}}=\rho g\Delta h$。
大气压与托里拆利实验：1643 年托里拆利用约 1 m 长的玻璃管装满水银后倒插入水银槽，水银柱下降到 $h\approx76\ \text{cm}$ 处静止。管顶为真空（托里拆利真空），水银柱静止意味着柱底压强等于大气压： $$ P_{\text{atm}}=\rho_{\text{Hg}}\thinspace{}g\thinspace{}h=13.6\times10^3\times9.8\times0.76\approx1.013\times10^5\ \text{Pa} $$ 标准大气压 $\boxed{\thinspace1\ \text{atm}=1.013\times10^5\ \text{Pa}=76\ \text{cmHg}\thinspace}$，约等于 $10^5\ \text{Pa}$，即每平方米承受约 10 吨力。大气压随高度按 $P=P_0 e^{-h/H}$ 近似指数衰减（$H\approx8\ \text{km}$，由 $\dfrac{dP}{dh}=-\rho g$与$\rho=\rho_0\dfrac{P}{P_0}$ 联立解得）。
二、浮力与阿基米德定律
阿基米德定律：浸入流体中的物体受到竖直向上的浮力，大小等于物体排开的流体所受的重力： $$ \boxed{\thinspace{}F_{\text{浮}}=\rho_{\text{液}}\thinspace{}g\thinspace{}V_{\text{排}}\thinspace} $$ 浮力的来源（压强差积分论证）：设想一个完全浸没在液体中的立方体微元（或任意形状物体），其表面各处都受液体压强。取棱长为 $a$的立方体为模型：底面深$h_2$、顶面深 $h_1$（$h_2>h_1$），底面压强 $\rho gh_2$大于顶面压强$\rho gh_1$，故竖直方向合力 $$ F_{\text{浮}} = \rho g h_2 a^2 - \rho g h_1 a^2 = \rho g a^2(h_2-h_1)=\rho g a^3=\rho g V $$ 侧面压强左右对称、水平分量互相抵消。对一般形状的物体，把表面分成许多小面元，同样只竖直方向有净压力，积分结果恒为 $\rho g V_{\text{排}}$。浮力是"压强随深度变化"在物体表面的积分效果——物体越深处的表面受到越大的压力，向上推的合力就是浮力。
浮力与重力类比
浮力公式 $F_{\text{浮}}=\rho_{\text{液}}gV_{\text{排}}$与重力$G=\rho_{\text{物}}gV$ 形式完全对称。比较二者：
- $\rho_{\text{物}}>\rho_{\text{液}}$：重力大于浮力，下沉；
- $\rho_{\text{物}}=\rho_{\text{液}}$：二力平衡，悬浮（可停留在液体中任意位置）；
- $\rho_{\text{物}}<\rho_{\text{液}}$：上浮，直至部分露出液面漂浮，此时排开体积恰好满足 $\rho_{\text{物}}gV=\rho_{\text{液}}gV_{\text{排}}$。
竞赛应用一：浮力法测密度（双称法）：物体在空气中用弹簧秤称得 $G$，完全浸没水中称得 $G'$（称为"水中重"），则浮力 $F=G-G'=\rho_{\text{水}}gV$，物体体积 $V=\dfrac{G-G'}{\rho_{\text{水}}g}$，故 $$ \rho_{\text{物}}=\frac{m}{V}=\frac{G}{G-G'}\thinspace\rho_{\text{水}} $$ 双称法的妙处在于完全避开体积测量，一次测量差即得密度。
竞赛应用二：液面升降问题。这是浮力最经典的分析对象，核心是抓住=="浮力是否变化 $\leftrightarrow$排开体积是否变化$\leftrightarrow$ 液面是否变化"==的链条：
- 冰熔化：质量为 $m$ 的冰块漂浮于水面上，$V_{\text{排}}=\dfrac{m}{\rho_{\text{水}}}$；熔化成水后体积恰为 $\dfrac{m}{\rho_{\text{水}}}$——正好补回排开的体积，故液面不变。若冰块中包有铁钉或石块（$\rho>\rho_{\text{水}}$），漂浮时 $V_{\text{排}}=\dfrac{m_{\text{总}}}{\rho_{\text{水}}}$，熔化后铁钉沉底，总体积变为 $\dfrac{m_{\text{冰}}}{\rho_{\text{水}}}+\dfrac{m_{\text{铁}}}{\rho_{\text{铁}}}<V_{\text{排}}$，故液面下降。若包的是气泡或密度小于水的木块，结论分别是液面不变、液面不变或上升（木块：熔化后木块漂浮，$V_{\text{排}}$ 仍等于总重对应的排水体积，液面不变）。
- 向水中放物块：漂浮物投入水中若仍漂浮，液面不变（排水体积由重力决定）；若沉底，排水体积由自身体积决定（更小），液面下降。
三、理想流体的运动学：定常流动与连续性方程
理想流体：不可压缩（$\rho=$ 常量）且无黏滞（无内摩擦）的流体。这是把流体问题"简化成力学问题"的理想模型，现实中空气、水在低速小尺度下近似满足。
定常流动、流线与流管：若流场中每一点的流速 $\vec v$ 不随时间变化，称为定常流动（稳流）。此时可画出流线——处处与流速方向相切的曲线，流线不相交（否则交点处有两个速度方向）。由流线围成的管状区域称为流管，因流线不相交，流体只能沿流管流动，不会穿过管壁——这一性质使流管成为"质量守恒"分析的最小单元。
连续性方程（质量守恒）：取一段流管，设两横截面处面积为 $A_1,A_2$，流速 $v_1,v_2$，密度 $\rho_1,\rho_2$。定常流动下管内质量不随时间改变，单位时间流入的质量必等于流出的质量： $$ \rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2 $$ 对不可压缩流体 $\rho$ 为常量： $$ \boxed{\thinspace{}A_1 v_1 = A_2 v_2 = Q\thinspace} $$ 其中 $Q=Av$称为体积流量（单位$\text{m}^3/\text{s}$），$Q=\rho Av$ 为质量流量。连续性方程断言：流管变细处流速必增大——"水龙头捏扁出水更急"即源于此。
四、伯努利方程
伯努利方程：对理想流体、定常流动、沿同一条流线，有 $$ \boxed{\thinspace{}P+\frac12\rho v^2+\rho g h=\text{常量}\thinspace} $$ 它是流体力学最重要的方程，本质是能量守恒在流体上的体现（推导见"推导与原理"）。
三项的物理意义：
- $\dfrac12\rho v^2$：动压——单位体积流体的动能；
- $\rho g h$：位压（重力势能项）——单位体积流体相对参考面的重力势能；
- $P$：静压（压力能项）——单位体积流体"被压缩"所具有的做功本领。
物理图景：沿流线流动时，三项之和守恒，某一项增大必然以其他项减小为代价。特别地，水平流动（$h$ 不变）时"流速大处压强小"——这是全部流速测量装置与机翼升力的理论基石。
伯努利方程的适用条件
伯努利方程是能量守恒的积分结果，其成立需要四个条件：①定常流动（$\vec v$ 不随时间变）；②无黏滞（无内摩擦耗散）；③不可压缩（$\rho$ 恒定）；④沿同一条流线（不同流线的常量可能不同）。若流速很大（湍流）、流体黏性明显或流场随时间变化，方程不再成立。
推导与原理
一、液体压强的微元平衡推导
取液体内部深度 $h$处竖直柱体中的一个水平薄片（厚$dh$、面积 $S$），如图 1 所示。竖直方向受力平衡：
$$ (P+dP)S = PS + \rho g S\thinspace{}dh $$
化简得 $dP=\rho g\thinspace{}dh$。若液体为常密度，积分即得 $P=P_0+\rho gh$；若密度随深度变化（如大气），则 $P(h)=P_0+\int_0^h \rho(z)g\thinspace{}dz$。可见=="压强随深度增加的速率"恰等于单位体积液体的重力 $\rho g$==：$P$-$h$图像是斜率为$\rho g$ 的直线。
二、浮力的压强积分论证（一般形状）
对任意形状的浸没物体，把它分割成表面面元 $dS$，面元上液体压力为 $P\thinspace{}dS$ 沿内法线方向。取竖直方向分量并积分：
$$ F_{\text{浮}}=\oint P\thinspace\cos\theta\thinspace{}dS=\rho g\oint h\cos\theta\thinspace{}dS $$
其中 $\cos\theta$为面元法线的竖直分量。数学上$\oint h\cos\theta\thinspace{}dS$正是物体排开流体的体积$V_{\text{排}}$（盖斯定理/投影法：竖直投影面积积分等于体积），故 $F_{\text{浮}}=\rho g V_{\text{排}}$。结论不依赖物体形状——这就是阿基米德定律的"压强差积分"证明。直观理解：物体表面同一水平高度处压力相消，只有深度不同的上下表面产生净压力差。
三、伯努利方程的推导（沿流管能量守恒）
取细流管中一段（截面积 $A$，长度 $ds$），流体微元质量为 $dm=\rho A\thinspace{}ds$。推导分两步：
第一步：流体微元的动能定理。流体微元受三部分力：两端压力、管壁压力（垂直于位移，不做功）、重力。由动能定理 $dE_k=W_{\text{压力}}+W_{\text{重力}}$，注意两端压力方向相反、大小差 $dP$：
$$ W_{\text{压力}} = P A\thinspace{}ds - (P+dP)A\thinspace{}ds = -A\thinspace{}ds\thinspace{}dP = -\frac{dm}{\rho}\thinspace{}dP $$
$$ W_{\text{重力}} = -dm\cdot g\thinspace{}dh $$
而 $dE_k=dm\cdot d\left(\dfrac{v^2}{2}\right)$，故
$$ \frac{v^2}{2}\ \text{的增量}：\quad \frac{dm}{2}\thinspace{}d(v^2) = -\frac{dm}{\rho}\thinspace{}dP - dm\cdot g\thinspace{}dh $$
第二步：沿流线积分。消去 $dm$ 并沿流线从 1 到 2 积分：
$$ \int_{v_1}^{v_2} v\thinspace{}dv = -\int_{P_1}^{P_2}\frac{dP}{\rho} - g\int_{h_1}^{h_2} dh $$
$$ \frac{v_2^2-v_1^2}{2} = -\frac{P_2-P_1}{\rho} - g(h_2-h_1) $$
移项整理即得
$$ \boxed{\thinspace{}P_1+\frac12\rho v_1^2+\rho g h_1 = P_2+\frac12\rho v_2^2+\rho g h_2\thinspace} $$
另一种推导（更直观的能量观点）：取流管内一段流体，经过 $\Delta t$后整体位移，其形状不变（定常流动）。外压力做的功 = 单位体积的功$P\Delta V$（后端推入做功 $P_1\Delta V$，前端流出做功 $-P_2\Delta V$）；机械能变化 = $\dfrac12\rho\Delta V(v_2^2-v_1^2)+\rho\Delta V g(h_2-h_1)$。由 $W=\Delta E$ 整理同样得伯努利方程。压力做功的本质是：后方的流体"推着"前方的流体前进，能量沿流线传递。
四、托里拆利定理与自由落体类比
大容器侧壁（或底部）开一小孔，孔中心距液面 $H$，液面上方通大气。取液面处为流线点 1（近似静止，$v_1\approx0$），小孔出口处为点 2（$P_2=P_{\text{atm}}$，与液面同压强），伯努利方程：
$$ P_{\text{atm}}+\rho g H = P_{\text{atm}} + \frac12\rho v^2 \thickspace\Longrightarrow\thickspace \boxed{\thinspace{}v=\sqrt{2gH}\thinspace} $$
与自由落体类比：$v=\sqrt{2gH}$与物体从$H$ 高处自由下落的速度完全一致——液滴的动能全部来自液面处势能的转化，与下落路径无关，与小孔方向无关（斜孔、竖直孔出流速度大小相同）。这一类比是"能量守恒 + 理想流体无损耗"的直接结果，也是估算放水时间的起点。
五、文丘里管：由压强差测流速
文丘里管是粗细交替的管段（渐缩管 + 喉部 + 渐扩管）。设粗端面积 $A_1$、喉部 $A_2$，且 $A_1>A_2$。水平放置（$h_1=h_2$），由连续性方程 $A_1v_1=A_2v_2$ 与伯努利方程联立：
$$ P_1-P_2=\frac12\rho(v_2^2-v_1^2)=\frac12\rho v_1^2\left[\left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2-1\right] $$
解得粗端流速
$$ \boxed{\thinspace{}v_1=\sqrt{\frac{2(P_1-P_2)}{\rho}\cdot\frac{A_2^2}{A_1^2-A_2^2}}\thinspace} $$
用 U 形管压强计读出 $\Delta P=P_1-P_2=\rho_{\text{液}}g\Delta h$ 即可算流速。皮托管测流速是它的孪生装置：管口迎流处流速为零（驻点），$\dfrac12\rho v^2=\Delta P$，故 $v=\sqrt{2\Delta P/\rho}$。
典型实例与物理应用
实例 1：水龙带反冲力——动量定理的流体版本
消防水龙带喷水时会产生使操作者难以握持的反冲力。设水龙带出口面积 $A$、出口流速 $v$，则每秒喷出质量 $\dot m=\rho Av=\rho Q$。取喷出前的水为研究对象，动量定理：喷出的水获得动量 $\Delta p=\rho Q v$（每秒），故水所受推力 $F=\dfrac{\Delta p}{\Delta t}=\rho Qv$。由牛顿第三定律，水龙带受反冲力
$$ \boxed{\thinspace{}F=\rho Q v\thinspace} $$
代入数值：出口直径 4 cm、流速 15 m/s，则 $Q=0.02\ \text{m}^3/\text{s}$，$F=1000\times0.02\times15=300\ \text{N}$——约 30 公斤的力，难怪要两人把持。这属于 05-动量与角动量 中"连续流体的冲击力"问题，本质与风扇推力、火箭推进（05-动量与角动量 的火箭方程）同源。
实例 2：机翼升力与足球弧线球
机翼升力：机翼上表面弧线长、下表面较平，同时间内"上表面气流走过更长路程"，故上表面流速大、压强小，下表面流速小、压强大（伯努利方程水平流线形式），上下压力差即升力。更本质的说法是：机翼使上侧流线弯曲，提供向上的动量偏转（库塔-茹科夫斯基升力），伯努利效应是其在无黏简化下的表现形式。竞赛中只需掌握"流速大处压强小"的定性结论即可。
足球弧线球（马格努斯效应）：旋转的足球向前飞行时，与旋转同侧的气流相对速度大、异侧小，两侧压强差使球偏转成弧线。向左旋转的球偏向左侧，向右旋则偏右——守门员最怕"香蕉球"就是这个原理。
实例 3：虹吸现象
将弯曲成倒 U 形的管子注满水后跨过容器壁，另一端低于液面，水会自动持续流出。取液面 A 与出口 B 两点写伯努利方程（两处均通大气、$P$ 相等）：
$$ \rho g h_A = \frac12\rho v_B^2 + \rho g h_B \thickspace\Longrightarrow\thickspace v_B = \sqrt{2g(h_A-h_B)} $$
出口流速只由液面与出口的高度差决定，与弯管最高点高度无关（但最高点不能超过一定限度——该处压强可能低于汽化压或真空而中断）。虹吸的"驱动力"是两端液面的高度差：流体爬高段消耗压强能，下降段加倍回收。
实例 4：逆风与顺风航时——相对运动视角
飞机以对空速度 $v$飞行，顺风（风速$u$）时对地速度 $v+u$，逆风时 $v-u$。往返距离 $L$ 的总时间
$$ t=\frac{L}{v+u}+\frac{L}{v-u}=\frac{2Lv}{v^2-u^2}>\frac{2L}{v} $$
无论风从哪边吹，往返总时间都比无风时长（风只使单程缩短，却使反向单程延长的更多）。雨中奔跑问题同理：静止雨中单位时间淋雨量与面积成正比，奔跑时淋雨量取决于速度合成——都属于 01-运动学 的相对运动与速度合成应用。
实例 5：黏滞流体——牛顿黏滞定律与斯托克斯定律
牛顿黏滞定律：真实流体内部存在内摩擦。相距 $dy$的两层液体速度差$dv$，切应力（单位面积内摩擦力）
$$ \tau=\eta\frac{dv}{dy} $$
$\eta$为动力黏度（单位$\text{Pa}\cdot\text{s}$），水的 $\eta\approx10^{-3}\ \text{Pa}\cdot\text{s}$，空气约 $1.8\times10^{-5}$。速度梯度 $\dfrac{dv}{dy}$ 是黏性的来源——这正是"无黏"假设所忽略的项，伯努利方程的能量损耗正源于此。
斯托克斯定律：半径为 $r$的小球在黏性流体中以低速$v$ 运动，受到的阻力
$$ \boxed{\thinspace{}F=6\pi\eta r v\thinspace} $$
小球下落与终端速度：小球在黏性液体中下沉时受重力 $mg$、浮力 $F_b$ 与斯托克斯阻力，由牛顿第二定律
$$ m\frac{dv}{dt}=mg-F_b-6\pi\eta r v $$
这是一阶线性方程（与 02-微分方程初步 中带阻力落体完全同构）：令 $v_T=\dfrac{mg-F_b}{6\pi\eta r}$，得 $v(t)=v_T(1-e^{-t/\tau})$，$\tau=\dfrac{m}{6\pi\eta r}$。当 $t\to\infty$ 时达到终端速度（收尾速度）
$$ \boxed{\thinspace{}v_T=\frac{(m-F_b/g)g}{6\pi\eta r}=\frac{2(\rho_{\text{球}}-\rho_{\text{液}})gr^2}{9\eta}\thinspace} $$
（代入了 $m=\dfrac43\pi r^3\rho_{\text{球}}$）。终端速度正比于半径平方——小气泡在液体中上升极慢，大颗粒沉降快，这正是沉降分离与油滴实验的原理（密立根油滴实验即靠测量终端速度反求电量）。
雷诺数（定性概念）：判断层流与湍流是无量纲数 $Re=\dfrac{\rho v L}{\eta}$（$L$ 为特征长度）。$Re$ 小则层流（黏性主导，斯托克斯公式适用，$Re\lesssim1$ 才严格成立）；$Re$大则湍流（惯性主导，阻力约$\propto v^2$）。工程上管道流动 $Re>2300$即转为湍流。斯托克斯定律只在低雷诺数下成立，高速抛球入水时的阻力不服从$6\pi\eta rv$。
例题
例 1：容器放水时间（微分方程建模）
题目：横截面积为 $S$的大圆柱容器盛水，液面初始高度$H$，底部开一小孔面积 $a$（$a\ll S$），水从孔中流出。（1）求液面高度 $h(t)$ 随时间变化的规律；（2）求放空全部水所需时间。
分析：小孔出流速度由托里拆利定理给出 $v=\sqrt{2gh}$（随液面高度变化）。液面下降的体积流量等于小孔出流流量：$S\dfrac{dh}{dt}=-av$——注意负号：液面下降（$h$ 减小）而流量为正。这构成一个可分离变量的一阶微分方程。
解答： （1）连续性方程给出 $$ S\frac{dh}{dt}=-a\sqrt{2gh}\ \Longrightarrow\ \frac{dh}{\sqrt{h}}=-\frac{a}{S}\sqrt{2g}\thinspace{}dt $$ 积分： $$ 2\sqrt{h}=-\frac{a}{S}\sqrt{2g}\thinspace{}t+C $$ 由 $h(0)=H$得$C=2\sqrt{H}$，故 $$ \boxed{\thinspace\sqrt{h(t)}=\sqrt{H}-\frac{a}{2S}\sqrt{2g}\thinspace{}t\thinspace} $$ 液面按 $\sqrt{h}$ 线性下降（抛物线型衰减），而非匀速下降——因为出流速度随高度减小而变慢。
（2）令 $h=0$： $$ t_0=\frac{2S}{a}\frac{\sqrt{H}}{\sqrt{2g}}=\frac{S}{a}\sqrt{\frac{2H}{g}} $$
点评：本题是"微分方程建模"的流体原型：物理定律（托里拆利）→ 流量守恒 → 微分方程 → 分离变量积分。注意与 02-微分方程初步 中的可分离变量方程完全对应。结果检查：$a\to S$时$t_0\to\sqrt{2H/g}$，恰为水自由落体到小孔位置的时间——极限自检正确。若容器是倒圆锥或任意回转体，只需把 $S$写成$h$的函数$S(h)$，方法完全一样。
例 2：文丘里管测速综合
题目：水平文丘里管，粗端直径 $d_1=20\ \text{cm}$，喉部直径 $d_2=10\ \text{cm}$。用水注满，U 形管压强计（内装水银）测得失稳压差 $\Delta h=5\ \text{cm}$（水银柱高差）。（1）求管道中水的流量；（2）若喉部压强恰降至负值（真空区），粗端水速最大可达多少？（水的饱和蒸汽压忽略）
分析：水平管 $h$ 相同，用连续性方程 + 伯努利方程联立。压强差由 U 形管读出：$\Delta P=(\rho_{\text{Hg}}-\rho_{\text{水}})g\Delta h$——注意压强计两端都是水，水银差换算是密度差而非水银密度本身。
解答： （1）$A_1=\dfrac{\pi d_1^2}{4}=0.0314\ \text{m}^2$，$A_2=0.00785\ \text{m}^2$。压强差 $$ \Delta P=(\rho_{\text{Hg}}-\rho_{\text{水}})g\Delta h=(13600-1000)\times9.8\times0.05=6174\ \text{Pa} $$ 由文丘里公式： $$ v_1=\sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho}\cdot\frac{A_2^2}{A_1^2-A_2^2}}=\sqrt{\frac{2\times6174}{1000}\times\frac{0.00785^2}{0.0314^2-0.00785^2}}\approx\sqrt{12.35\times0.0625}\approx0.879\ \text{m/s} $$ $$ Q=A_1v_1=0.0314\times0.879\approx0.0276\ \text{m}^3/\text{s}\approx27.6\ \text{L/s} $$
（2）喉部压强 $P_2=P_1-\Delta P$，真空极限即 $P_2=0$（此处 $P$为表压）。由伯努利方程$P_1+\dfrac12\rho v_1^2=P_2+\dfrac12\rho v_2^2$与$A_1v_1=A_2v_2$，令 $P_2=0$： $$ P_1=\frac12\rho(v_2^2-v_1^2)=\frac12\rho v_1^2\left[\left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2-1\right] $$ $P_1$即大气压表压约$10^5\ \text{Pa}$，$\dfrac{A_1}{A_2}=4$，故 $$ v_1=\sqrt{\frac{2P_1}{15\rho}}=\sqrt{\frac{2\times10^5}{15000}}\approx3.65\ \text{m/s} $$ 即粗端流速超过约 3.65 m/s 时喉部将出现真空（汽蚀），实际中这会吸破流形、限制测速范围。
点评：本题完整走一遍"连续性 + 伯努利"的标准联立流程。两个易错点：一是压强计换算用 $\rho_{\text{Hg}}-\rho_{\text{水}}$；二是"负压"限速问题——流速上限由大气压决定，这是文丘里管（以及虹吸）实际工作范围的来源。$Q$亦可用$\sqrt{}$式直接代入$Q=A_1A_2\sqrt{\dfrac{2\Delta P}{\rho(A_1^2-A_2^2)}}$ 一步算出。
例 3：液面升降综合（浮力）
题目：底面积 $S$的水槽中盛水，水面漂浮一块密度$\rho_0<\rho_{\text{水}}$、底面积 $S_0$的方形木板。水槽底用劲度系数$k$的轻弹簧竖直吊住一个密度$\rho_{\text{物}}>\rho_{\text{水}}$ 的铁块，铁块完全浸没在水中（如图，弹簧被拉伸）。求：（1）稳定时铁块浸没水中，弹簧的形变量；（2）若剪断弹簧，铁块沉底后，水面相对剪断前上升还是下降？
题目背景：弹簧-浮子是浮力与胡克定律（见 03-静力学与刚体平衡）的结合考点。
分析：对铁块做受力分析：重力 $mg$向下、浮力$F_b$向上、弹簧拉力$T=kx$ 向上（弹簧拉伸，铁块被吊着，拉力向上）。三力平衡列方程。液面升降则回到"排水体积"的比较。
解答： （1）设铁块体积 $V$，质量 $m=\rho_{\text{物}}V$，浮力 $F_b=\rho_{\text{水}}gV$。平衡条件（取向上为正）： $$ T+F_b-mg=0 \thickspace\Longrightarrow\thickspace kx=\rho_{\text{物}}gV-\rho_{\text{水}}gV $$ $$ \boxed{\thinspace{}x=\frac{(\rho_{\text{物}}-\rho_{\text{水}})gV}{k}\thinspace} $$ 弹簧伸长量与重力浮力之差成正比——恰好等于"铁块在液体中的视重"除以劲度系数，可视作弹簧秤在液体中称重的推广。
（2）剪断弹簧后铁块沉入水底。比较两种情况铁块的排水体积：剪断前铁块完全浸没，$V_{\text{排}}=V$；剪断后铁块仍完全浸没于水中（沉底），$V_{\text{排}}=V$——排水体积不变。再考虑木板：木板始终漂浮，排水体积只由重力决定，剪断弹簧对它无影响。故水面高度不变。
换个问法
若弹簧改为吊着木块使其恰好完全浸没（施加向下拉力压入水中），剪断后木块上浮成漂浮：排水体积从 $V_{\text{木}}$减为$\dfrac{\rho_0}{\rho_{\text{水}}}V_{\text{木}}$，水面下降，下降量 $\Delta h=\dfrac{V_{\text{木}}-V_{\text{排}}'}{S}$。判断液面升降的关键永远是比较前后两次的排水总体积。
点评：液面升降问题无一例外要回答"排水体积变没变、变大变小"这一核心问题。本题的陷阱是"剪断弹簧"看似大动作，但铁块两种状态都完全浸没，排水体积不变，水面不动——直觉容易误判为"弹簧弹力消失、铁块沉底、水面该变"。"弹簧 + 浮力"的组合题在 CPhO 初赛中很常见，统一手法：先受力分析列平衡方程，再比较排水体积。
易错提醒
易错点
- 压强方向误作矢量：液体压强是标量，但作用方向恒垂直于受力面。画受力图时浮力竖直向上、侧壁压力水平，勿把"各方向都有压强"理解为"压强有方向"。
- $P=\rho gh$中$h$ 的取法：$h$是到液面的竖直深度，不是沿斜面的距离，也不是到容器底的距离。U 形管计算时两侧$h$ 取各自的自由液面到同一水平参考面的距离。
- 表压与绝对压混淆：$P=\rho gh$算出的通常是表压（相对大气），伯努利方程中$P$ 必须是绝对压强或统一取表压——同一方程内必须一致，不可混用。
- 伯努利方程适用条件：仅限理想流体、定常流动、同一流线。跨流线比较（如涡旋两侧）不能用；黏性明显（如蜂蜜、高速湍流）不能用。
- 托里拆利定理的 $h$：$v=\sqrt{2gh}$中的$h$是孔心到液面的高度差，不是孔到容器底的距离，也不是孔径。且大容器条件（液面近似静止$v_1\approx0$）必须满足。
- 连续性方程忘记 $S$ 不变量：$A_1v_1=A_2v_2$的前提是不可压缩、定常、流管内无源无汇。有支管时要用$\sum Q_{\text{入}}=\sum Q_{\text{出}}$ 的推广形式。
- 斯托克斯定律适用范围：$F=6\pi\eta rv$ 仅对低雷诺数（$Re\lesssim1$）的小球慢速运动成立，$v_T\propto r^2$也只在层流成立。高速运动时阻力$\propto v^2$（湍流区），切不可套用。
- 水龙带反冲力方向：反冲力沿喷流方向的反方向（动量定理的负号），且是"持续推"的力而非一次性冲击——$\rho Qv$ 是每秒动量变化，单位即牛顿。
- 放水时间的 $S$与$a$ 不能混：$t_0=\dfrac{S}{a}\sqrt{\dfrac{2H}{g}}$中$S$ 是容器横截面积、$a$是小孔面积，比值$S/a$ 无量纲放大倍数。若容器形状随高度变化，$S$要写成$S(h)$ 重做积分。
概念辨析
静压、动压、位压（三项对比）
| 项 | 表达式 | 物理来源 | 直观类比 |
|---|---|---|---|
| 静压 | $P$ | 分子热运动撞击器壁 | "压缩空气"的压力 |
| 动压 | $\dfrac12\rho v^2$ | 宏观流动的动能 | 风的冲击力 |
| 位压 | $\rho gh$ | 重力场中的势能 | 水位差 |
层流 vs 湍流
| 比较项 | 层流 | 湍流 |
|---|---|---|
| 雷诺数 | $Re\lesssim2300$ | $Re\gtrsim2300$ |
| 流线 | 分层平行、有序 | 混乱涡旋 |
| 阻力 | $\propto v$（斯托克斯） | $\propto v^2$ |
| 能量损失 | 小（黏性） | 大（涡旋耗散） |
漂浮 vs 悬浮
| 比较项 | 漂浮 | 悬浮 |
|---|---|---|
| 密度 | $\rho_{\text{物}}<\rho_{\text{液}}$ | $\rho_{\text{物}}=\rho_{\text{液}}$ |
| 位置 | 部分露出液面、静止于界面 | 任意深度静止 |
| 排水体积 | $V_{\text{排}}<V_{\text{物}}$ | $V_{\text{排}}=V_{\text{物}}$ |
与其他知识关联
- 与 01-微积分基础 的关系：液体压强 $\int\rho g\thinspace{}dh$、浮力压强积分 $\oint P\cos\theta\thinspace{}dS$、变截面流量 $Q=\int v\thinspace{}dS$ 都是定积分的直接应用。
- 与 02-微分方程初步 的关系：放水时间 $\dfrac{dh}{dt}=-\dfrac{a}{S}\sqrt{2gh}$是可分离变量方程；黏滞落体$m\dot v=mg-F_b-6\pi\eta rv$ 是一阶线性方程（终端速度），与阻力落体同构。
- 与 04-功与机械能 的关系：伯努利方程本质是沿流管的能量守恒——压力做功 + 势能 + 动能守恒，是功能原理在连续介质中的化身。
- 与 05-动量与角动量 的关系：水龙带反冲力 $F=\rho Qv$ 来自动量定理；火箭、喷水推进与其同源。
- 与 03-静力学与刚体平衡 的关系：浮力与重力/弹簧力三力平衡、液压机的静力放大都属静力学。
- 与 01-运动学 的关系：虹吸、逆风顺风航时、雨中奔跑都涉及速度合成与相对运动。
- 与 06-量纲分析 的关系：雷诺数 $Re=\dfrac{\rho vL}{\eta}$ 是无量纲分析的经典成果——先把物理量无量纲化，再谈流动状态。
- 与高中物理联系：高中力学总览 的浮力、液体压强部分是本章的高中基础——本笔记的全部结论都可从高中公式出发加微积分推得。
- 与大学层面联系：流体力学（本笔记是理想流体的简化入门，大学将处理黏性流体的纳维-斯托克斯方程、涡量与湍流）、热力学（气体的压强、绝热过程中 $P,V$ 关系与流体压力能一脉相承）。
- 返回 00-竞赛力学总览
作者的话
个人理解
流体力学最大的魅力在于：它把"一大堆分子"的整体行为化成了几条优美的守恒律。微观上液体分子杂乱无章，宏观上压强、流速、高度三者的组合 $P+\dfrac12\rho v^2+\rho gh$ 却像一条金项链一样贯穿始终——这是"能量守恒"这个物理世界最深层规律的力量。学完本章，请记住三句话：液体压强是"深度"的积分，浮力是"压强差"的积分，伯努利是"能量"的积分。
竞赛中流体题几乎只有三个模型：静止（浮力、压强）、定常流动（伯努利 + 连续性）、以及两者的结合（放水时间）。每种模型的手法是固定的——浮力题先受力分析，流动题先找"同一流线上的两个点"，放水题先列流量守恒微分方程。不要被题目的花样（冰里藏铁、弹簧吊球、文丘里测速）迷惑，底层方程始终只有那几个。
给初学者的建议：先把托里拆利定理与自由落体类比想透，再学放水时间；先把"流速大压强小"在水平管、机翼、弧线球三个场景中各讲一遍，再碰综合题。流体力学是力学收尾的一章，它的两大工具——微积分与守恒律——正是你从前八章积累的全部功力。力学到此告一段落，下一站是 机械振动 开启的周期世界，或 流体力学 的大学版图。
返回 00-竞赛力学总览