重力与弹力

概览

本节是整个牛顿运动定律版块的起点，从"力是什么"这一根本问题出发，建立力的矢量性、力的图示与分类。重点掌握两种最常见的力——重力与弹力：重力源于地球的吸引，方向竖直向下、大小 $G=mg$，重心位置是重力等效作用点；弹力源于接触面形变，方向判断是难点（绳沿绳、杆可任意、弹簧沿轴线、面垂直面），胡克定律 $F=kx$ 描述弹簧弹力与形变量的线性关系。本节为后续 02-摩擦力、03-力的合成与分解 与 06-牛顿第二定律 的受力分析奠定基础，是动力学分析的"原料"。

核心概念

一、力的概念

力是物体对物体的作用。这一定义包含两个要点：

1. 物质性：力不能脱离物体而存在，必有两个物体（施力物体与受力物体）。
2. 相互性：施力物体与受力物体同时存在、同时受力（详见 07-牛顿第三定律）。

力的作用效果有两种：

• 使物体发生形变（形状或体积变化）；
• 使物体的运动状态发生改变（速度大小或方向改变，即产生加速度）。

注意

力是物体对物体的作用，"作用"二字不能理解为日常的"推动"，而是一种抽象的相互作用。一个孤立物体不受任何力，也就不存在施力物体与受力物体之分。

二、力的矢量性

力是矢量，既有大小又有方向。描述一个力必须同时给出大小、方向和作用点（"力的三要素"）。

• 大小：用弹簧测力计测量，单位牛顿（$\text{N}$），$1\thinspace\text{N}=1\thinspace\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$。
• 方向：箭头指向表示力的方向。
• 作用点：力作用在物体上的位置，对刚体而言可沿力作用线平移。

力的图示 vs 力的示意图

力的图示：用带标度的箭头精确表示力的大小、方向、作用点（用于定量计算）。 力的示意图：只画方向和大致长度，不要求严格比例（用于受力分析草图）。

三、力的分类

按力的性质分：

• 重力（万有引力表现，详见 04-万有引力与航天）
• 弹力（按效果可分拉力、压力、支持力）
• 摩擦力（详见 02-摩擦力）
• 电磁力（如电场力、安培力、洛伦兹力，详见电学版块）

按力的效果分：拉力、压力、支持力、动力、阻力、回复力、向心力等。

性质力 vs 效果力

同一个力既可有性质命名又可有效果命名，如使物体下滑的力（效果）本质是重力的分力（性质）。受力分析时只能列性质力，效果力是合成的结果，不能重复计入。

graph TD
    A[力的分类] --> B[按性质分<br/>受力分析只能列性质力]
    A --> C[按效果分<br/>合成的结果 不能重复计入]
    B --> B1[重力<br/>万有引力表现]
    B --> B2[弹力<br/>拉力 压力 支持力]
    B --> B3[摩擦力<br/>静摩擦 动摩擦]
    B --> B4[电磁力<br/>电场力 安培力 洛伦兹力]
    C --> C1[拉力/压力/支持力<br/>弹力的效果表现]
    C --> C2[动力/阻力<br/>按运动方向分类]
    C --> C3[回复力<br/>振动中指向平衡位置]
    C --> C4[向心力<br/>圆周运动指向圆心]
    B2 -.->|效果命名| C1
    B4 -.->|效果命名| C2
    B3 -.->|效果命名| C2
    B1 -.->|重力的效果<br/>可分解为分力| C2

四、重力

重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，本质是万有引力在地球表面附近的近似表现。

• 来源：地球对物体的万有引力。
• 方向：竖直向下（指向地心方向，但严格说指向地球质心略偏，因地球自转有微小偏移）。
• 大小： $$ \boxed{\thinspace{}G = mg\thinspace} $$ 其中 $g$为重力加速度（地球表面约$9.8\thinspace\text{m/s}^2$），$m$ 为物体质量。
• 作用点：重心（物体各部分所受重力的等效作用点）。

重心位置

重心是物体各部分所受重力的等效作用点，并不是物体上一个真实的点。重心的位置与物体的形状和质量分布有关：

• 质量分布均匀、形状规则的物体，重心在几何中心；
• 形状不规则或质量不均匀的物体，重心位置需用"悬挂法"实验测定（两根悬挂线的交点即重心）；
• 重心可以在物体内（如均匀圆盘的圆心），也可以在物体外（如圆环、L 形物体）。

五、$g$ 的地理变化

重力加速度 $g$ 并非处处相同：

1. 纬度变化：地球是椭球体，赤道半径略大于两极半径，且地球自转使赤道处有更大的向心加速度消耗引力，故 $g$随纬度升高而增大：赤道$g\approx 9.78\thinspace\text{m/s}^2$，两极 $g\approx 9.83\thinspace\text{m/s}^2$。
2. 高度变化：重力源于万有引力，高度越大、距地心越远，引力越小，故 $g$ 随高度增加而减小。
3. 地质结构：地下矿藏、空洞也会影响局部 $g$ 值（重力探矿法的物理基础）。

实用近似

在中学题目中，若无特别说明，$g$取$9.8\thinspace\text{m/s}^2$或$10\thinspace\text{m/s}^2$。题目会明确给出取值。

六、形变与弹力

形变：物体形状或体积发生变化。

• 弹性形变：撤去外力后能完全恢复原状的形变（如橡皮筋、轻弹簧）。
• 塑性形变（范性形变）：撤去外力后不能恢复原状的形变（如橡皮泥、面团）。
• 弹性限度：弹性形变的最大范围，超过则发生塑性形变。胡克定律仅在弹性限度内成立。

弹力：发生弹性形变的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体产生的力。

• 弹力的施力物体是发生形变的物体，受力物体是与它接触并迫使它形变的物体。
• 弹力的方向：与形变方向相反，指向恢复原状的方向。

七、胡克定律

胡克定律：在弹性限度内，弹簧的弹力大小与弹簧的形变量成正比，方向与形变方向相反。

$$ \boxed{\thinspace{}F = k\thinspace{}x\thinspace} $$

其中：

• $F$ 为弹力大小（$\text{N}$）；
• $k$ 为弹簧的劲度系数（$\text{N/m}$），由弹簧本身性质（材料、匝数、线径等）决定；
• $x$为弹簧的形变量（伸长量或压缩量，单位$\text{m}$）。

形变量 ≠ 弹簧原长

$x$是形变量（形变后的长度减去原长），不是弹簧的长度本身。设弹簧原长$l_0$，形变后长度 $l$，则 $x = |l - l_0|$。

八、常见弹力的方向判断

弹力来源	方向规则	备注
绳（轻绳）	沿绳方向，指向绳收缩的方向	轻绳只能拉不能压，弹力一定沿绳；不可伸长但可绕过滑轮改变方向
杆（轻杆）	可沿任意方向（由受力平衡决定）	杆既能拉又能压，还能提供横向力（如固定铰链杆）
弹簧（轻弹簧）	沿弹簧轴线方向，指向恢复原长方向	弹簧可拉可压；拉伸时弹力向内（恢复原长），压缩时弹力向外
接触面	垂直于接触面，指向受力物体	接触面光滑时只有支持力/压力；粗糙时还附加摩擦力（沿面）

接触面弹力方向口诀

点面接触垂直面，点线接触垂直线，面面接触垂直面。

九、重心与稳度

稳度：物体稳定的程度。重心越低、支持面越大，稳度越高。

• 不倒翁底部加重（重心低），故稳度高；
• 三脚架支撑面积大，比两脚支撑稳；
• 塔形建筑下宽上窄，正是降低重心、扩大支持面以提升稳度的设计。

推导与原理

一、重力的本质：万有引力近似

地球对地面物体的万有引力 $F = G\dfrac{Mm}{R^2}$（$M$ 为地球质量，$R$ 为地球半径）。该引力有两个效果：

1. 提供物体随地球自转的向心力 $F_n = m\omega^2 r$（$r$ 为物体到自转轴的距离，赤道处最大、两极为零）；
2. 其余部分表现为重力 $G = mg$。

故严格地说： $$ \vec{G} = \vec{F}_{\text{引}} - \vec{F}_n $$

在赤道处：$mg = G\dfrac{Mm}{R^2} - m\omega^2 R$，故 $g_{\text{赤}} = \dfrac{GM}{R^2} - \omega^2 R$ 略小； 在两极处：$mg = G\dfrac{Mm}{R^2}$（无向心力消耗），故 $g$ 最大。 在中学近似中，$F_n$与$F_{\text{引}}$相比极小，可忽略，故$G\approx F_{\text{引}}$，$g\approx GM/R^2$。

二、胡克定律的推导思路

胡克定律是实验定律，而非理论推导。其物理图像来自微观：固体中的原子间相互作用力在平衡位置附近近似线性（类似弹簧），形变较小时力与位移成正比。

从能量角度看，弹簧弹性势能 $E_p = \dfrac{1}{2}kx^2$，对位移求导得弹力 $F = -\dfrac{dE_p}{dx} = -kx$（负号表示指向平衡位置），即 $F = kx$（大小形式）。

三、重心位置的悬挂法推导

将物体悬挂于一点 $P_1$，平衡时悬线拉力与重力等大反向共线，故重力作用线必沿悬线方向。再换一点 $P_2$ 悬挂，新的悬线方向也通过重心。两悬线延长线的交点即重心。

重心可在体外

一根 L 形均匀细杆，重心并不在杆上某点，而在 L 形"折角"外侧的几何中心位置——这是重心在体外的典型例子。

典型实例与类比

实例 1：绳、杆、弹簧方向对比

情境	弹力方向
灯泡用细绳吊在天花板下	绳对灯的拉力沿绳向上（指向绳缩短方向）
灯泡用硬质轻杆斜固定在天花板下	杆对灯的力方向由"灯的受力平衡"决定，可能斜向上（既不沿杆也不沿水平）
灯泡用弹簧吊在天花板下	弹簧对灯的拉力沿弹簧轴线（被拉长时向上）

实例 2：书放在桌面上的支持力

书压桌面，桌面发生微小向下凹陷的形变（肉眼难察），桌面要恢复原状，对书产生垂直桌面向上的支持力 $N$；同时书也发生形变，对桌面产生垂直桌面向下的压力 $N'$。这是一对作用力反作用力（见 07-牛顿第三定律）。

类比：力的"看不见的弹簧"

把所有接触面想象成"极硬的弹簧"——书放在桌上时，桌面像一根被压缩的弹簧，向上"弹"住书；绳吊物时，绳像一根被拉伸的弹簧，向上"拉"住物。这样能直观理解弹力的方向：垂直接触面、指向恢复原状的方向。

记忆口诀

重力源于地球吸，竖直向下重心齐；弹力源于接触力，恢复原状定方向；绳沿绳、杆任意，弹簧轴线面垂直；胡克定律 $F=kx$，劲度 $k$ 看自身。

例题

例 1：基础——弹簧串联与并联

题目：两根轻弹簧劲度系数分别为 $k_1=200\thinspace\text{N/m}$、$k_2=300\thinspace\text{N/m}$。 （1）将它们串联后下挂 $G=12\thinspace\text{N}$ 重物，求每根弹簧的伸长量与总伸长量。 （2）将它们并联后下挂 $G=12\thinspace\text{N}$ 重物，求每根弹簧的伸长量（假设两弹簧原长相同且并排）。

分析：

• 串联时每根弹簧的弹力相等（都等于重物重力），形变相加；
• 并联时每根弹簧的形变量相等（都等于总伸长），弹力相加等于重物重力。

解答： （1）串联：每根弹簧弹力 $F_1=F_2=G=12\thinspace\text{N}$， $$ x_1 = \dfrac{G}{k_1} = \dfrac{12}{200} = 0.06\thinspace\text{m} = 6\thinspace\text{cm},\quad x_2 = \dfrac{G}{k_2} = \dfrac{12}{300} = 0.04\thinspace\text{m} = 4\thinspace\text{cm} $$ 总伸长 $x_{\text{串}} = x_1 + x_2 = 10\thinspace\text{cm}$。等效劲度 $k_{\text{串}} = \dfrac{G}{x_{\text{串}}} = \dfrac{12}{0.1} = 120\thinspace\text{N/m}$，满足 $\dfrac{1}{k_{\text{串}}} = \dfrac{1}{k_1} + \dfrac{1}{k_2}$。

（2）并联：两弹簧伸长量相同 $x_1=x_2=x$，总弹力 $k_1 x + k_2 x = G$， $$ x = \dfrac{G}{k_1+k_2} = \dfrac{12}{200+300} = 0.024\thinspace\text{m} = 2.4\thinspace\text{cm} $$ 等效劲度 $k_{\text{并}} = k_1 + k_2 = 500\thinspace\text{N/m}$。

点评：串联弹簧"劲度倒数相加"，并联弹簧"劲度相加"——与电学中电容串并联规律恰好相反、与电阻串并联规律一致（弹簧劲度类比电导）。详见 04-电容器与电容。

例 2：中难——斜面上物体的弹力

题目：质量 $m=2\thinspace\text{kg}$的物体静止于倾角$\theta=30^\circ$的光滑斜面上，受一沿斜面向上的拉力$F$作用而平衡。求斜面对物体的支持力$N$与拉力$F$ 的大小（$g=10\thinspace\text{m/s}^2$）。

分析：物体受三力：重力 $mg$（竖直向下）、支持力 $N$（垂直斜面向上）、拉力 $F$（沿斜面向上）。将重力按"沿斜面方向"和"垂直斜面方向"正交分解（详见 03-力的合成与分解）：

• 垂直斜面分量：$mg\cos\theta$，被支持力 $N$ 平衡；
• 沿斜面分量：$mg\sin\theta$，被拉力 $F$ 平衡。

解答： $$ N = mg\cos\theta = 2\times 10\times \cos 30^\circ = 20\times\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\thinspace\text{N}\approx 17.3\thinspace\text{N} $$ $$ F = mg\sin\theta = 2\times 10\times \sin 30^\circ = 20\times \dfrac{1}{2} = 10\thinspace\text{N} $$

点评：斜面问题中重力分解的"经典两分解"——沿斜面 $mg\sin\theta$、垂直斜面 $mg\cos\theta$，是后续 04-共点力平衡 与 06-牛顿第二定律 应用的基础。注意支持力 $N$始终垂直于接触面，不一定等于$mg$。

例 3：进阶——重心变化与浮力综合

题目：一根长 $L$的均匀木棒浮在水面上，露出水面的长度为$L/4$。现将木棒从一端缓慢抬起，使棒与水平面成 $\theta$角，棒仍保持平衡且有一半长度浸入水中（即浸入长度为$L/2$）。求棒的重心位置变化对支持情况的影响，并定性分析抬起过程中棒所受浮力作用点的移动方向。

分析：均匀木棒重心在 $L/2$处。浮力作用点（浮心）位于浸入水中部分几何中心——水平漂浮时浸入长度$3L/4$，浮心距浸入端 $3L/8$；抬起后浸入长度 $L/2$，浮心距浸入端 $L/4$。可见抬起过程中浮心向浸入端靠近。

解答：定性结论——抬起过程中浸入部分变短，浮心向浸入端移动，重力作用点（重心）位置不变（仍位于棒中点 $L/2$）。当浮力作用线与重力作用线不再共线时，会产生使棒转动的力矩，需依靠抬起端的拉力维持平衡。这是后续大学力学中"浮体稳定性"的雏形。

点评：本题考查重心概念与浮力作用点的几何关系。重心是质量分布的等效作用点，浮心是排开液体几何中心——两者性质不同，作用点判断方法也不同。

易错提醒

易错点

1. 重力方向：竖直向下≠垂直于支持面向下。竖直向下是固定方向（指向地心近似），垂直支持面则随支持面方向变化。
2. 重力与万有引力：在地面附近，重力 ≈ 万有引力；严格说 $G = F_{\text{引}} - F_n$，因地球自转，赤道重力略小于两极。
3. 弹力方向：绳沿绳、杆任意、弹簧沿轴线、面垂直面——这是四种常见模型的方向规则，不要混淆。
4. 轻杆弹力方向：不能想当然认为杆的弹力沿杆，必须由受力平衡条件确定。
5. 胡克定律：$x$ 是形变量，不是弹簧长度；只在弹性限度内成立。
6. 重心位置：均匀规则物体重心在几何中心，但物体重心可在体外。

概念辨析

弹力 vs 重力：弹力是接触力（必须接触才有），重力是场力（不接触也有）；弹力方向由接触面决定，重力方向恒为竖直向下。

支持力 vs 压力：两者是一对作用力反作用力（见 07-牛顿第三定律），分别作用在两个不同物体上。常说"桌面对书的支持力"和"书对桌面的压力"大小相等方向相反。

绳、杆、弹簧的弹力方向：绳沿绳（不可压）、杆任意（既可拉又可压还可横向）、弹簧沿轴线（可拉可压）——这是三种连接物的根本区别。

与其他知识关联

• 与 02-摩擦力 的关系：摩擦力产生条件之一是"有弹力（接触且有形变）"，弹力方向决定摩擦力方向（摩擦力沿接触面，与弹力垂直）。
• 与 03-力的合成与分解 的关系：重力分解为沿斜面与垂直斜面分量是经典应用；正交分解法的基础。
• 与 04-共点力平衡 的关系：弹力是常见的平衡力之一，悬挂、斜面、夹板等平衡问题离不开弹力分析。
• 与 06-牛顿第二定律 的关系：弹力作为外力参与受力分析，是动力学方程的常见项。
• 与 04-电容器与电容 的关系：弹簧串并联与电容器串并联规律相反（电容器串联倒数相加、并联相加），这是力学与电学公式的有趣对照。
• 与 02-匀变速直线运动 的关系：自由落体运动就是只受重力的匀加速直线运动（$a=g$）。
• 大学层面延伸：牛顿力学 中力的严格定义来自动量定理 $\vec{F}=d\vec{p}/dt$；机械振动 中弹簧振子周期 $T=2\pi\sqrt{m/k}$ 直接用到胡克定律。
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作者的话

个人理解

力的概念看似简单，实则深刻。"物体对物体的作用"——这句话的玄机在于"作用"二字。牛顿在《自然哲学的数学原理》中并未定义力，而是用力的效果（加速度）来度量力，这正是 $F=ma$ 的哲学含义：力是因果，加速度是效果。这种"用效果定义原因"的思路贯穿整个物理学，从力的概念到场的概念，再到量子力学中的可观测量原理，皆是如此。

弹力的方向判断是初学者的痛点。我的建议是：永远从"形变方向"出发——什么物体发生形变？形变方向是什么？弹力就反向。绳被拉伸（形变方向沿绳向外），弹力就沿绳向内（拉物体）；桌面被向下压（形变方向向下），弹力就向上（支持物体）。这种"由形变定方向"的思路，比死记"绳沿绳、杆任意"更本质。

重心这个概念也值得深思——它是等效作用点，不是物体上真实的某一点。这种"等效"思想在物理学中无处不在：质点是物体的等效代表，重心是各部分重力的等效作用点，质心是质点系的等效代表。理解等效思想，是从初等物理迈向高等物理的桥梁。

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