复赛模拟卷（二）

概览

本卷按近年 CPhO 复赛规格命制：8 道大题、每题 40 分、满分 320 分、考试时间 3 小时。侧重"计算密度"与"多知识点串联"：斜抛极值（含高度）、纯滚动对比、卡诺循环与不可逆熵、RC 暂态、转动切割综合、双缝干涉测量、衰变与活度、驻波与弦振动。难度对标复赛真题，答案全部经数值验算。建议与 01-复赛模拟卷一 隔周完成，对照 99-竞赛例题集 查漏补缺。

一、斜抛的最大射程（40 分）

题目：从高度 $h$处以初速度$v_0$ 斜抛一物体（不计空气阻力）。（1）求最大水平射程及对应的抛射角；（2）求此时落地时的速度大小；（3）数值例：$v_0=20$ m/s、$h=15$ m、$g=10$m/s²，求$R_{\max}$。

参考解答：（1）射程 $$ R=v_0\cos\theta\cdot t,\qquad t=\frac{v_0\sin\theta+\sqrt{v_0^2\sin^2\theta+2gh}}{g} $$ 令 $u=\tan\theta$，$R=\dfrac{v_0\cos\theta}{g}\left(v_0\sin\theta+\sqrt{v_0^2\sin^2\theta+2gh}\right)$，对 $\theta$ 求导令零得 $$ \boxed{\thinspace\tan\theta=\frac{v_0}{\sqrt{v_0^2+2gh}},\qquad R_{\max}=\frac{v_0}{g}\sqrt{v_0^2+2gh}\thinspace} $$ （2）由能量守恒： $$ \boxed{\thinspace{}v=\sqrt{v_0^2+2gh}\thinspace} $$ （与抛射角无关——落地速率只由初速与高度决定） （3） $$ \tan\theta=\frac{20}{\sqrt{400+300}}=\frac{20}{26.5}\approx0.755\ \Rightarrow\ \theta\approx37° $$ $$ R_{\max}=\frac{20}{10}\times\sqrt{400+300}=2\times26.46\approx52.9\ \text{m} $$

评分参考：第(1)问 20 分；第(2)问 10 分；第(3)问 10 分。

二、纯滚动：实心球与圆环赛跑（40 分）

题目：质量相同、半径相同的实心均匀球（$I=\frac25mR^2$）与薄圆环（$I=mR^2$）从同一斜面的同一高度由静止无滑动滚下。（1）求两者的质心加速度之比；（2）到达斜面底端时两者的速度之比与所用时间之比；（3）若斜面与物体间无摩擦（物体滑下），结果有何不同？

参考解答：（1）滚动物体沿斜面加速度 $$ a=\frac{g\sin\alpha}{1+\frac{I}{mR^2}} $$ 实心球 $\dfrac{I}{mR^2}=\dfrac25$：$a_1=\dfrac{5}{7}g\sin\alpha$；圆环 $\dfrac{I}{mR^2}=1$：$a_2=\dfrac12g\sin\alpha$。 $$ \boxed{\thinspace{}a_1:a_2=\frac57:\frac12=10:7\thinspace} $$ （2）能量守恒 $mgh=\frac12mv^2+\frac12I\omega^2$、纯滚动 $v=\omega R$： $$ v=\sqrt{\frac{2gh}{1+\frac{I}{mR^2}}} $$ $$ \boxed{\thinspace{}v_1:v_2=\sqrt{\frac{10}{7}}:1=\sqrt{10}:\sqrt7\thinspace} $$ 匀加速（$s=\frac12at^2$）： $$ \boxed{\thinspace{}t_1:t_2=\sqrt{\frac{a_2}{a_1}}=\sqrt{\frac{7}{10}}\thinspace} $$ （3）无摩擦则物体只滑不滚，$a=g\sin\alpha$（与形状无关），两者同时到达、速度同为 $\sqrt{2gh}$——纯滚动把"形状"变成"惯性的差别"，滑动则形状无关。

评分参考：第(1)问 14 分；第(2)问 16 分；第(3)问 10 分。

三、卡诺循环与不可逆熵变（40 分）

题目：理想气体卡诺热机工作于 $T_1=600$K 与$T_2=300$K 之间，每循环从高温热源吸热$Q_1=1200$J。（1）求效率、净功与放热；（2）求一个可逆循环中系统与两热源的总熵变；（3）若实际热机效率只有卡诺效率的一半，且每循环仍从高温热源吸热$Q_1=1200$ J，求每循环的总熵变（孤立系统）并判断是否违背热力学第二定律。

参考解答：（1） $$ \eta=1-\frac{T_2}{T_1}=50\%,\qquad W=600\ \text{J},\qquad Q_2=Q_1-W=600\ \text{J} $$ （2）可逆循环中：高温热源放热 $Q_1$（$\Delta S_1=-\dfrac{Q_1}{T_1}$），低温热源吸热 $Q_2$（$\Delta S_2=\dfrac{Q_2}{T_2}$）： $$ \boxed{\thinspace\Delta S_{\text{总}}=\Delta S_1+\Delta S_2=-\frac{1200}{600}+\frac{600}{300}=-2+2=0\thinspace} $$ （3）实际效率 $\eta'=25\%$：$W'=300$ J，$Q_2'=900$ J。两热源熵变 $$ \Delta S_1=-\frac{1200}{600}=-2\ \text{J/K},\qquad \Delta S_2=\frac{900}{300}=+3\ \text{J/K} $$ $$ \boxed{\thinspace\Delta S_{\text{孤立}}=\Delta S_1+\Delta S_2=+1\ \text{J/K}>0\thinspace} $$ 不违背热力学第二定律——孤立系统熵增正是不可逆性的体现；若效率超过卡诺效率则会得到 $\Delta S<0$，即违反第二定律（这正是卡诺定理的证明思路）。

评分参考：第(1)问 12 分；第(2)问 12 分；第(3)问 16 分。

四、RC 电路暂态（40 分）

题目：$\varepsilon=12$ V、$R=2\ \text{k}\Omega$、$C=100\ \mu\text{F}$串联，开关闭合前电容不带电。（1）求时间常数；（2）求$t=0.1$ s 时的电流、电容电压与电阻电压；（3）求电容充电到 90% 所需时间；（4）求整个充电过程电源提供的总能量与电阻消耗的能量之比。

参考解答：（1） $$ \tau=RC=2\times10^3\times100\times10^{-6}=0.2\ \text{s} $$ （2） $$ i(t)=\frac{\varepsilon}{R}e^{-t/\tau}=6e^{-t/0.2}\ \text{mA} $$ $$ U_C(t)=\varepsilon(1-e^{-t/\tau})=12(1-e^{-t/0.2})\ \text{V},\qquad U_R=12e^{-t/0.2}\ \text{V} $$ $t=0.1$ s（$t/\tau=0.5$，$e^{-0.5}=0.607$）： $$ \boxed{\thinspace{}i=6\times0.607=3.64\ \text{mA};\quad U_C=12(1-0.607)=4.72\ \text{V};\quad U_R=7.28\ \text{V}\thinspace} $$ （3）$U_C=0.9\varepsilon$： $$ 1-e^{-t/\tau}=0.9\ \Rightarrow\ t=\tau\ln10=0.2\times2.303\approx0.46\ \text{s} $$ （4）电源做功 $W_{\text{源}}=\int_0^\infty\varepsilon i\thinspace{}dt=\varepsilon C\varepsilon=C\varepsilon^2=100\times10^{-6}\times144=1.44\times10^{-2}\ \text{J}$；电容储能 $\dfrac12C\varepsilon^2=7.2\times10^{-3}$ J： $$ \boxed{\thinspace\frac{W_{\text{源}}}{W_R}=\frac{C\varepsilon^2}{C\varepsilon^2/2}=2:1\thinspace} $$ （电阻消耗恰与电容储能相等——RC 充电"一半损失"的经典结论）

评分参考：第(1)问 6 分；第(2)问 14 分；第(3)问 10 分；第(4)问 10 分。

五、转动切割与能量（40 分）

题目：长 $L=0.5$m 的导体棒绕其一端在水平面内以角速度$\omega=100$ rad/s 匀速转动，棒处于竖直向下、$B=0.5$T 的匀强磁场中，棒两端经滑环接入电阻$R=2\ \Omega$（棒电阻忽略）。（1）求感应电动势与回路电流；（2）求外力功率；（3）若棒电阻 $r=1\ \Omega$，重复(1)(2)；（4）定性说明若磁场改为沿转轴方向，结果如何。

参考解答：（1） $$ \varepsilon=\frac12BL^2\omega=\frac12\times0.5\times0.25\times100=6.25\ \text{V} $$ $$ I=\frac{\varepsilon}{R}=\frac{6.25}{2}=3.125\ \text{A} $$ （2）匀速转动动能不变，外力功率=焦耳热功率： $$ \boxed{\thinspace{}P=I^2R=3.125^2\times2\approx19.5\ \text{W}\thinspace} $$ （3）$R_{\text{总}}=R+r=3\ \Omega$： $$ I=\frac{6.25}{3}\approx2.08\ \text{A},\qquad P=I^2R_{\text{总}}=6.25\times2.08=13.0\ \text{W} $$ （4）磁场沿转轴方向时棒上各点速度沿轴向无切割（$\vec v\parallel\vec B$或$\vec v\times\vec B=0$），$\varepsilon=0$，无感应电流——切割的条件是 $v$、$B$、$L$ 两两垂直分量存在。

评分参考：第(1)问 14 分；第(2)问 10 分；第(3)问 10 分；第(4)问 6 分。

六、双缝干涉与介质片（40 分）

题目：杨氏双缝实验，双缝间距 $d=0.5$mm，屏距$D=1.0$m，单色光波长$\lambda=600$nm。（1）求条纹间距；（2）若在其中一缝后插入厚度$t=2.0\ \mu\text{m}$、折射率 $n=1.5$ 的玻璃片，求中央亮纹移动的条纹数；（3）若用白光照射，说明中央条纹的颜色与两侧条纹的颜色分布。

参考解答：（1） $$ \Delta x=\frac{\lambda D}{d}=\frac{600\times10^{-9}\times1.0}{0.5\times10^{-3}}=1.2\times10^{-3}\ \text{m}=1.2\ \text{mm} $$ （2）玻璃片引入附加光程差 $(n-1)t$，条纹移动 $$ \Delta N=\frac{(n-1)t}{\lambda}=\frac{0.5\times2.0\times10^{-6}}{600\times10^{-9}}\approx1.67\ \text{条} $$ （3）中央亮纹（零光程差处）为白光——插入玻璃片后中央条纹向未插入玻璃片一侧移动约 $1.67\Delta x\approx2.0$ mm；两侧因不同波长干涉条纹间距不同而展开成彩色光谱（内紫外红——$\Delta x\propto\lambda$，红光条纹间距大在外侧）。

评分参考：第(1)问 12 分；第(2)问 16 分；第(3)问 12 分。

七、放射性衰变与活度（40 分）

题目：某放射性核素半衰期 $T_{1/2}=8$天，初始有$N_0=1.6\times10^4$个原子核。（1）求衰变常数$\lambda$；（2）求 24 天后剩余的原子核数；（3）求 24 天时的活度；（4）若初始样品质量 $m=2.0\times10^{-6}$kg、摩尔质量$M=32$ g/mol，求初始活度（$N_A=6.02\times10^{23}\ \text{mol}^{-1}$）。

参考解答：（1） $$ \lambda=\frac{\ln2}{T_{1/2}}=\frac{0.693}{8\times86400}\approx1.00\times10^{-6}\ \text{s}^{-1} $$ （2）24 天 = 3 个半衰期： $$ \boxed{\thinspace{}N=N_0\left(\frac12\right)^3=\frac{1.6\times10^4}{8}=2.0\times10^3\thinspace} $$ （3） $$ \boxed{\thinspace{}A=\lambda N=1.00\times10^{-6}\times2.0\times10^3=2.0\times10^{-3}\ \text{Bq}\thinspace} $$ （4）初始核数 $N_0=\dfrac{m}{M}N_A=\dfrac{2.0\times10^{-6}}{32\times10^{-3}}\times6.02\times10^{23}\approx3.76\times10^{19}$： $$ \boxed{\thinspace{}A_0=\lambda N_0=1.00\times10^{-6}\times3.76\times10^{19}=3.76\times10^{13}\ \text{Bq}\thinspace} $$

评分参考：第(1)问 8 分；第(2)问 10 分；第(3)问 10 分；第(4)问 12 分。

八、驻波与弦振动（40 分）

题目：长 $L=1.0$m、线密度$\mu=0.01$kg/m 的弦两端固定，张力$T=100$N。（1）求波速；（2）求基频与前三阶简正频率；（3）若弦中央被手指轻触后拨动，问哪些谐波被抑制？（4）求基频模式振动的最大位移振幅为$A=2$ mm 时弦携带的总机械能。

参考解答：（1） $$ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}=\sqrt{\frac{100}{0.01}}=100\ \text{m/s} $$ （2）两端固定：$L=n\dfrac{\lambda}{2}$，$f_n=\dfrac{nv}{2L}=n\times50$ Hz： $$ \boxed{\thinspace{}f_1=50\ \text{Hz},\quad f_2=100\ \text{Hz},\quad f_3=150\ \text{Hz}\thinspace} $$ （3）触点为波节条件：$n$满足$x=L/2$是节点，即$n$ 为偶数——偶次谐波（2、4、6…）被抑制，保留奇次谐波。 （4）基频模式：$y(x,t)=A\sin\dfrac{\pi x}{L}\cos\omega t$，弦动能+势能（或平均能流密度积分）： $$ E=\frac14\mu L\omega^2A^2=\frac14\times0.01\times1.0\times(2\pi\times50)^2\times(2\times10^{-3})^2 $$ $$ \boxed{\thinspace{}E=\frac14\times0.01\times(314)^2\times4\times10^{-6}\approx9.9\times10^{-4}\ \text{J}\thinspace} $$

评分参考：第(1)问 8 分；第(2)问 10 分；第(3)问 10 分；第(4)问 12 分。

考点地图

考点-笔记对照

题号	考点	对应笔记
一	斜抛极值（含高度/能量）	力学/01-运动学、力学/04-功与机械能
二	纯滚动（加速度/能量对比）	力学/06-刚体动力学
三	卡诺循环+熵（可逆/不可逆）	热学/04-循环与热机效率、热学/05-热力学第二定律与熵
四	RC 暂态（微分方程/能量）	电学/04-电容器与电介质、微分方程初步
五	转动切割（电动势/功率）	电学/08-电磁感应与自感
六	双缝干涉（条纹/介质片）	光学/04-光的干涉
七	衰变与活度（半衰期/数量级）	近代物理/05-原子核与放射性衰变
八	驻波与简正模式（能量）	力学/10-机械波与多普勒效应

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