微积分基础

概览

微积分是物理竞赛最核心的数学工具。高中物理中许多只能"定性理解"的概念——瞬时速度、变力做功、连续体质量分布——一旦掌握了微积分，就能"定量计算"。本笔记从极限出发，建立导数（描述变化率）与积分（描述累积）两大概念，并通过微积分基本定理将二者统一为互逆运算。在此基础上介绍常用求导法则与积分技巧，最后落到物理应用：运动学中 $v=\dfrac{ds}{dt}$、功 $W=\int F\thinspace{}dx$、转动惯量 $I=\int r^2\thinspace{}dm$、质心 $x_c=\dfrac{\int x\thinspace{}dm}{\int dm}$。本笔记是 02-微分方程初步、03-矢量运算、04-泰勒展开与级数的直接前置，也是整个竞赛物理的数学基石。

核心概念

一、极限——微积分的基石

极限的直观定义：当自变量 $x$无限趋近于某值$a$时，函数$f(x)$无限趋近于确定值$L$，则称 $x\to a$时$f(x)$的极限为$L$，记作 $$ \lim_{x\to a} f(x) = L $$ 其精髓是"无限接近但可以不到达"——$x$是否等于$a$并不重要，重要的是$f(x)$ 的趋势。

极限的严格定义（$\varepsilon$-$\delta$ 语言）：$\lim_{x\to a}f(x)=L$意味着——对任意$\varepsilon>0$（无论多小），都存在 $\delta>0$，使得当 $0<|x-a|<\delta$时，恒有$|f(x)-L|<\varepsilon$。

$\varepsilon$-$\delta$ 语言的物理直觉

可以把 $\varepsilon$ 想象为"允许的误差"，$\delta$想象为"需要的精度"。定义说的是：只要你对结果$L$ 的精度要求（$\varepsilon$）提出来，我总能找到足够精细的输入范围（$\delta$）来满足它。这种"任意精度都可达到"的刻画，比"无限接近"更严格。高中阶段理解直观定义即可，但了解 $\varepsilon$-$\delta$ 有助于区分"极限存在"与"函数值存在"。

极限运算法则：若 $\lim f(x)=A$，$\lim g(x)=B$，则 $$ \lim[f(x)\pm g(x)] = A\pm B, \quad \lim[f(x)\cdot g(x)] = AB, \quad \lim\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}\ (B\ne 0) $$

两个重要极限： $$ \boxed{\thinspace\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\thinspace}, \qquad \boxed{\thinspace\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e\thinspace} $$ 前者是三角函数求导的根基（在 $x=0$附近$\sin x\approx x$），后者定义了自然常数 $e\approx 2.718$，是指数函数与对数函数的"灵魂"。

无穷小量与等价无穷小：若 $\lim_{x\to a}\alpha(x)=0$，则称 $\alpha$是$x\to a$时的无穷小。两个无穷小$\alpha,\beta$若$\lim\dfrac{\beta}{\alpha}=1$，称二者等价，记 $\beta\sim\alpha$。常用等价无穷小（$x\to 0$）：

无穷小	等价式
$\sin x$	$\sim x$
$\tan x$	$\sim x$
$1-\cos x$	$\sim \dfrac{x^2}{2}$
$e^x-1$	$\sim x$
$\ln(1+x)$	$\sim x$
$(1+x)^n-1$	$\sim nx$

等价无穷小代换

在求极限时，乘除因子可替换为等价无穷小以简化计算；但加减项中替换需谨慎，可能丢失精度。这是 04-泰勒展开与级数中小角度近似的理论基础。

单侧极限：自变量从左侧趋近 $a$（记 $x\to a^-$）与从右侧趋近 $a$（记 $x\to a^+$）时的极限分别称为左极限与右极限。极限存在的充要条件是左右极限存在且相等： $$ \boxed{\thinspace\lim_{x\to a}f(x)=L \iff \lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=L\thinspace} $$ 物理中常用单侧极限描述"从一个方向逼近"的临界过程，例如用 $\lim_{x\to 0^+}$处理只在$x>0$ 有定义的情形。

无穷极限：一类是 $x\to\infty$时$f(x)$趋于确定值$L$，记 $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$，几何上对应水平渐近线；另一类是 $x\to a$时$f(x)$趋于无穷大，记$\lim_{x\to a}f(x)=\infty$，这表示极限不存在（发散），几何上对应垂直渐近线。在物理建模中，$x\to\infty$的极限常用于"远离源点后场趋于零"之类的边界条件，如$E\sim \dfrac{1}{r^2}\to 0\ (r\to\infty)$。

夹逼准则（Squeeze Theorem）：若在 $x=a$ 的某个去心邻域内恒有 $$ g(x)\le f(x)\le h(x),\qquad \lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L $$ 则 $\lim_{x\to a}f(x)=L$。夹逼准则的价值在于：当 $f$ 本身难以直接求极限时，可以用两个"夹住"它的简单函数来确定极限。

夹逼准则的经典应用

证明 $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$：在单位圆中，用扇形面积与三角形面积可建立 $\cos x\le \dfrac{\sin x}{x}\le 1$，两侧均趋于 $1$，由夹逼准则即得 $\dfrac{\sin x}{x}\to 1$。这比直观"$\sin x\approx x$"更严格，是整个三角求导体系的地基。
$\lim_{x\to 0}x^2\sin\dfrac{1}{x}=0$：因为 $-x^2\le x^2\sin\frac1x\le x^2$，而 $x^2\to 0$，故极限为 $0$。虽然 $\sin\frac1x$在原点附近剧烈震荡，但振幅$x^2$ 被压到零——这体现了夹逼准则处理"震荡但有界"情形的威力。

二、导数——描述变化率

导数的定义：函数 $f(x)$在$x$ 处的导数为 $$ \boxed{\thinspace{}f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\thinspace} $$ 它表示函数在 $x$处的瞬时变化率。该极限若存在，称$f$在$x$ 处可导。

几何意义：$f'(x)$是曲线$y=f(x)$在点$(x,f(x))$处切线的斜率。割线斜率$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 取极限即得切线斜率。

物理意义：导数即瞬时变化率。这是微积分在物理中最重要的翻译：

位移 $s(t)$ 的导数是瞬时速度：$v=\dfrac{ds}{dt}$
速度 $v(t)$ 的导数是瞬时加速度：$a=\dfrac{dv}{dt}$
反过来，加速度是位移的二阶导数：$a=\dfrac{d^2s}{dt^2}$

从平均到瞬时

高中物理用 $\bar v=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$定义平均速度，当$\Delta t\to 0$ 时即得瞬时速度——这正是导数定义的物理原型。可以说，瞬时速度就是导数概念在物理上的第一次登场。

连续与可导的关系：

可导必连续：若 $f$在$x$处可导，则$f$必在$x$ 处连续。因为 $$ \lim_{\Delta x\to 0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\Delta x = f'(x)\cdot 0 = 0 $$
连续不一定可导：$f(x)=|x|$在$x=0$处连续，但$\lim\limits_{\Delta x\to 0^-}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=-1$、$\lim\limits_{\Delta x\to 0^+}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=+1$，左右导数不相等，故不可导。几何上看，$y=|x|$ 在原点是一个尖点（两侧切线斜率无法唯一确定）。

关系	说明	典型例子
可导 $\Rightarrow$ 连续	可导必连续（上述乘积取极限）	一切多项式、$\sin x$ 等
连续 $\nRightarrow$可导	连续不一定可导（尖点处）	$f(x)=

物理直觉：尖点与突变

位移 $s(t)$必须连续（物体不可能"瞬移"），但速度$v(t)=\dfrac{ds}{dt}$可以是尖点——例如理想化碰撞中物体速率大小不变但方向瞬间反转，此时$s(t)$ 在碰撞瞬间连续但不可导。竞赛中遇到这类"折线型"运动图像，就要意识到相应点处不可导、速度发生跳变。

三、积分——描述累积

不定积分：若 $F'(x)=f(x)$，则称 $F(x)$是$f(x)$ 的一个原函数。$f(x)$ 的所有原函数构成不定积分： $$ \int f(x)\thinspace{}dx = F(x) + C $$ 其中 $C$ 为积分常数。不定积分是求导的逆运算。

定积分：函数 $f(x)$在$[a,b]$ 上的定积分定义为黎曼和的极限： $$ \int_a^b f(x)\thinspace{}dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)\thinspace\Delta x $$ 即将区间无限细分，求所有小矩形面积之和的极限。

几何意义：定积分 $\int_a^b f(x)\thinspace{}dx$等于曲线$y=f(x)$与$x$轴在$[a,b]$ 间围成的有向面积（$x$ 轴上方为正，下方为负）。

微积分基本定理（牛顿—莱布尼茨公式）：若 $F'(x)=f(x)$，则 $$ \boxed{\thinspace\int_a^b f(x)\thinspace{}dx = F(b) - F(a)\thinspace} $$ 这一定理将"求面积"（积分）与"求变化率"（导数）这两个看似无关的问题统一为互逆运算，是微积分最美妙的结果。

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graph LR
    F[原函数 F x] -->|求导| f[被积函数 f x]
    f -->|积分| F
    F --- FT[微积分基本定理<br/>∫ f dx = F b - F a]
    FT --> AREA[定积分 = 曲线下面积]
    FT --> RATE[导数 = 瞬时变化率]

推导与原理

一、基本求导公式与法则

基本初等函数求导：

函数	导数
$x^n$	$nx^{n-1}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$

四则运算法则： $$ (u\pm v)' = u'\pm v', \quad (uv)' = u'v + uv', \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$

链式法则（复合函数求导）：若 $y=f(g(x))$，则 $$ \frac{dy}{dx} = f'(g(x))\cdot g'(x) $$ 口诀："由外向内，逐层求导，相乘。"

高阶导数：导数的导数。二阶导数 $f''(x)=\dfrac{d}{dx}f'(x)$。物理中加速度是位移的二阶导数 $a=\dfrac{d^2s}{dt^2}$，这是最常见的高阶导数。

偏导数（简介）：对多元函数 $f(x,y)$，固定 $y$对$x$求导即偏导数$\dfrac{\partial f}{\partial x}$。物理中常见于热力学（$P,V,T$ 间偏导关系）与场论（梯度、散度、旋度，详见 03-矢量运算）。

隐函数求导：若 $y$由方程$F(x,y)=0$隐式确定，两边对$x$求导时，把$y$视为$x$的函数，凡是"含$y$的项"求导后都要乘以$y'$。例如 $x^2+y^2=1$，两边求导： $$ 2x+2y\cdot y'=0 \thickspace\Rightarrow\thickspace y'=-\frac{x}{y} $$ 这避免了显式解出 $y$（在圆方程中 $y=\pm\sqrt{1-x^2}$ 需分段讨论，用隐函数求导则一视同仁）。

参数方程求导：若 $y=y(t)$、$x=x(t)$，则 $$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt} $$ 不必消去 $t$即可得到$y$对$x$ 的导数；二阶导数则 $$ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}} $$ 物理中质点的运动轨迹常用参数方程 $x(t),\thinspace{}y(t)$描述，轨迹斜率即$dy/dx$，与此处直接对应。

对数求导法：对形如 $y=x^x$、$y=(x^2+1)^{\sin x}$这类"幂指函数"或复杂乘除结构，先取对数再求导。以$y=x^x$ 为例： $$ \ln y=x\ln x \thickspace\Rightarrow\thickspace \frac{y'}{y}=\ln x+1 \thickspace\Rightarrow\thickspace y'=x^x(\ln x+1) $$ 技巧在于由链式法则 $\dfrac{d}{dx}\ln y=\dfrac{y'}{y}$，把"指数上的变量"拉下来化为乘积求导。物理中常处理 $T=T_0\thinspace{}e^{kt}$形式的量，若已知$\ln T$ 的线性关系便可反推增长率。

微分与微分近似：设 $y=f(x)$可导，记$dy=f'(x)\thinspace{}dx$为微分，它给出$\Delta y$ 的线性主部： $$ \boxed{\thinspace\Delta y \approx dy = f'(x)\thinspace{}dx\thinspace}\qquad (|\Delta x|\ll 1) $$ 即当 $\Delta x$ 很小时，函数值的改变量可用切线增量近似。这是实验数据处理（误差传递）与近似计算的利器，也是 04-泰勒展开与级数一阶截断的雏形。例：$\sqrt{1.02}\approx 1+\dfrac12\times0.02=1.01$。

二、基本积分公式

由求导公式逆推：

$$ \int x^n\thinspace{}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\ne -1), \quad \int \frac{1}{x}\thinspace{}dx = \ln|x|+C $$

$$ \int \sin x\thinspace{}dx = -\cos x + C, \quad \int \cos x\thinspace{}dx = \sin x + C, \quad \int e^x\thinspace{}dx = e^x + C $$

三、换元积分法

设 $u=g(x)$，则 $du=g'(x)\thinspace{}dx$，于是 $$ \int f(g(x))\thinspace{}g'(x)\thinspace{}dx = \int f(u)\thinspace{}du $$ 关键是识别复合结构，把"复杂部分"整体换元。例如 $\int 2x\thinspace{}e^{x^2}\thinspace{}dx$，令 $u=x^2$，$du=2x\thinspace{}dx$，得 $\int e^u\thinspace{}du=e^{x^2}+C$。

三角换元（第二类换元）：当被积函数含 $\sqrt{a^2-x^2}$、$\dfrac{1}{1+x^2}$ 等形式时，反向用三角恒等式简化。基本结论： $$ \int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C,\qquad \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C $$ 推导思路（以 $\dfrac{1}{1+x^2}$为例）：令$x=\tan\theta$，则 $dx=\sec^2\theta\thinspace{}d\theta$、$1+x^2=\sec^2\theta$，于是 $$ \int\frac{dx}{1+x^2}=\int\frac{\sec^2\theta\thinspace{}d\theta}{\sec^2\theta}=\int d\theta=\theta+C=\arctan x+C $$ 物理中这类积分常见于均匀带电直线的电场、库仑势的叠加等计算。注意：做定积分的三角换元时，积分限必须随之改为 $\theta$的对应值，否则代回$x$ 时会出错（见"易错提醒"第 8 条）。

四、分部积分法

由乘法求导法则 $(uv)'=u'v+uv'$ 积分得： $$ \boxed{\thinspace\int u\thinspace{}dv = uv - \int v\thinspace{}du\thinspace} $$ 适用于被积函数是两类函数乘积的情形（如 $x e^x$、$x\sin x$、$x\ln x$），口诀："反对幂指三"——按反三角、对数、幂函数、指数、三角的顺序选 $u$。

五、部分分式积分

被积函数为有理函数 $R(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ 时，先做部分分式分解，把复杂分式拆成可逐个积分的基本型。例如 $$ \frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right),\qquad \frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} $$ 分解后逐项积分： $$ \int\frac{dx}{x^2-1}=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C $$

竞赛小技巧

物理中许多一维运动的分离变量求解（如 $dt=\dfrac{m\thinspace{}dx}{F(x)}$后对$\dfrac{1}{F(x)}$积分）最终都归结为有理函数积分。遇到$\dfrac{1}{x^2\pm a^2}$、$\dfrac{1}{x(a-x)}$ 这类标准型，应能熟练写出分解式——它们是"运输、扩散、反应速率"等模型的常客。

典型实例与物理应用

实例 1：运动学——导数与积分的互逆

已知位移 $s(t)=t^3-3t^2+2$，求速度与加速度。 $$ v = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 6t, \quad a = \frac{dv}{dt} = 6t - 6 $$ 反之，已知 $a(t)=6t-6$，初始 $v(0)=2$、$s(0)=2$，求 $v(t)$、$s(t)$： $$ v = \int a\thinspace{}dt = 3t^2 - 6t + C_1, \quad v(0)=2 \Rightarrow C_1=2 $$ $$ s = \int v\thinspace{}dt = t^3 - 3t^2 + 2t + C_2, \quad s(0)=2 \Rightarrow C_2=2 $$ 这正是 00-力学总览中匀变速公式 $v=v_0+at$、$x=x_0+v_0t+\tfrac12 at^2$的推广——当$a$ 不再是常数时，必须用积分。

实例 2：变力做功

恒力做功 $W=Fx$是高中公式。若力随位置变化$F=F(x)$，则元功 $dW=F(x)\thinspace{}dx$，总功为 $$ \boxed{\thinspace{}W = \int_{x_1}^{x_2} F(x)\thinspace{}dx\thinspace} $$ 这就是 $F$-$x$图像下的面积。例如弹簧从$0$拉到$x$，$F=kx$，则 $$ W = \int_0^x kx'\thinspace{}dx' = \frac{1}{2}kx^2 $$ 这正是弹性势能 $E_p=\tfrac12 kx^2$ 的来源。

实例 3：转动惯量与质心

连续体的转动惯量 $I=\int r^2\thinspace{}dm$，质心 $x_c=\dfrac{\int x\thinspace{}dm}{\int dm}$，都是定积分的物理应用。详见后续竞赛笔记。

实例 4：冲量——力对时间的累积

恒力冲量 $I=F\Delta t$是高中公式。若$F=F(t)$随时间变化，则元冲量$dI=F(t)\thinspace{}dt$，总冲量为 $$ \boxed{\thinspace{}I=\int_{t_1}^{t_2}F(t)\thinspace{}dt\thinspace} $$ 即 $F$-$t$图像下的面积。由动量定理$\Delta p=I$，可由冲量直接求得动量变化。例如：变力 $F(t)=3t^2$（N）作用 $2$s，冲量$I=\int_0^2 3t^2\thinspace{}dt=8$N·s，动量变化$\Delta p=8$ kg·m/s。注意：做功是力对位移的累积，冲量是力对时间的累积——两者共用一个"累积"思想，但积分变量不同，这正是"导数是变化率、积分是累积量"的具体体现。

实例 5：物理量的时间平均与空间平均

对随时间变化的量 $f(t)$，在 $[t_1,t_2]$ 上的时间平均为 $$ \bar f=\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\thinspace{}dt $$ 对随位置变化的量 $f(x)$，在 $[x_1,x_2]$上的空间平均为$\bar f=\dfrac{1}{x_2-x_1}\int_{x_1}^{x_2}f(x)\thinspace{}dx$。典型应用：简谐运动 $x=A\cos\omega t$在一个周期内$\bar x=0$（正负对称相消），而方均根速度 $v_{\text{rms}}=\sqrt{\overline{v^2}}=\dfrac{\omega A}{\sqrt2}$正是动能平均$E_k=\tfrac12 m\overline{v^2}$的出发点；平均力$\bar F=\dfrac{1}{\Delta x}\int F\thinspace{}dx$ 则用于"等效恒力做功"问题。

实例 6：势能曲线与力的关系

一维势能 $U(x)$ 与其保守力满足 $$ \boxed{\thinspace{}F(x)=-\frac{dU}{dx}\thinspace} $$ 负号表示力指向势能下降的方向。由此可得竞赛中非常实用的三个结论：

力为零处是势能的极值点（平衡位置）：$F=-\dfrac{dU}{dx}=0$处$U$ 取极值；
$U$ 下凸（$\dfrac{d^2U}{dx^2}>0$）处为稳定平衡，$U$ 上凸处为不稳定平衡——偏离后力是"拉回"还是"推开"由二阶导符号决定；
小偏离附近的简谐运动：在稳定平衡点 $x_0$处展开$U(x)\approx U(x_0)+\tfrac12 U''(x_0)(x-x_0)^2$，等效劲度系数 $k=U''(x_0)$，角频率 $\omega=\sqrt{\dfrac{U''(x_0)}{m}}$。

稳定平衡判据

以重力势能 $U=mgh$ 为例：$F=-\dfrac{dU}{dh}=-mg$恒指向下，与直觉一致。再看弹簧势能$U=\tfrac12 kx^2$：$F=-\dfrac{dU}{dx}=-kx$，在 $x=0$处$U''=k>0$，是稳定平衡——偏离后总被拉回。这类"势能曲线判平衡"的思想在分子间力、天体势能、静电势能的讨论中反复出现。

记忆口诀

导数是变化率，积分是累积量；求导降阶积分升，基本定理连两端。运动学翻译：$s\xrightarrow{\text{求导}}v\xrightarrow{\text{求导}}a$，反向即 $a\xrightarrow{\text{积分}}v\xrightarrow{\text{积分}}s$。

例题

例 1：求导与极限——基本计算

题目：求 $f(x)=x^2\sin x$的导数，并计算$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 3x}{x}$。

分析：$x^2\sin x$是乘积，用乘法法则；极限用等价无穷小$\sin 3x\sim 3x$。

解答： $$ f'(x) = (x^2)'\sin x + x^2(\sin x)' = 2x\sin x + x^2\cos x $$ $$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{3x}{x} = 3 $$

点评：乘法法则 $(uv)'=u'v+uv'$ 是最常用的求导法则之一。等价无穷小代换简化极限计算，但注意仅限乘除因子。

例 2：定积分——变力做功（物理应用）

题目：一质点沿 $x$轴运动，受到沿$x$方向的力$F(x)=6x-2x^2$（单位 N），$x$单位 m。求质点从$x=0$运动到$x=3$的过程中力所做的功，并求$x$ 为何值时力做功最大。

分析：变力做功 $W=\int F(x)\thinspace{}dx$。先积分求 $W(x)$，再对 $W(x)$求导令其为零找极值（或直接令$F(x)=0$ 找拐点）。

解答： $$ W = \int_0^3 (6x - 2x^2)\thinspace{}dx = \left[3x^2 - \frac{2}{3}x^3\right]_0^3 = 27 - 18 = 9\thinspace\text{J} $$ 功随位置 $x$的累积函数$W(x)=3x^2-\dfrac{2}{3}x^3$，其变化率 $\dfrac{dW}{dx}=F(x)=6x-2x^2$。令 $F(x)=0$得$x=0$或$x=3$，在 $(0,3)$内$F>0$故$W$单调增，在$x=3$处做功最大（之后$F$ 反向，功开始减少）。

点评：本题展示了 $\dfrac{dW}{dx}=F(x)$这一"导数—积分"互逆关系。力为零处是功的极值点——这与运动学中$v=0$ 处位移极值类似。

例 3：分部积分——转动惯量（物理应用）

题目：长 $L$、质量 $M$的均匀细杆，求绕过一端点且垂直于杆的轴的转动惯量$I$。

分析：线密度 $\lambda=M/L$，微元 $dm=\lambda\thinspace{}dx$，距轴 $r=x$，故 $I=\int_0^L x^2\thinspace{}dm=\dfrac{M}{L}\int_0^L x^2\thinspace{}dx$。

解答： $$ I = \frac{M}{L}\int_0^L x^2\thinspace{}dx = \frac{M}{L}\cdot\frac{L^3}{3} = \frac{1}{3}ML^2 $$

点评：转动惯量 $I=\int r^2\thinspace{}dm$是定积分在刚体力学中的经典应用。对比：绕中点垂直轴$I=\tfrac{1}{12}ML^2$（用平行轴定理 $I_{\text{端}}=I_{\text{中}}+M(L/2)^2=\tfrac{1}{12}ML^2+\tfrac14 ML^2=\tfrac13 ML^2$ 一致）。积分把"离散求和"推广到"连续分布"，是处理连续体的必备工具。

例 4：微分近似——估算立方根

题目：不用计算器，估算 $\sqrt[3]{1.001}$ 的值，并估计误差量级。

分析：$\sqrt[3]{1.001}=(1+0.001)^{1/3}$，在 $x=1$附近对$f(x)=x^{1/3}$用微分近似$\Delta f\approx f'(1)\thinspace\Delta x$。$f'(x)=\dfrac13 x^{-2/3}$，故 $f'(1)=\dfrac13$，$\Delta x=0.001$。

解答： $$ \sqrt[3]{1.001}\approx 1+\frac13\times 0.001=1+\frac{1}{3000}\approx 1.0003333 $$ 误差量级：二阶项 $\tfrac12 f''(1)(\Delta x)^2$中$f''(1)=-\dfrac29$，修正量约为 $-\dfrac19\times 10^{-6}\approx -1.1\times 10^{-7}$，远小于一阶项，故结果精确到 $10^{-6}$ 量级。

点评：微分近似 $\Delta y\approx f'(x)\thinspace{}dx$ 本质是泰勒展开的一阶截断（见 04-泰勒展开与级数），其思想在物理估算中无处不在——如小角度近似 $\sin\theta\approx\theta$、$g$ 随高度微小变化等。估算类问题还常配合 07-近似与估算方法的量级分析。

例 5：定积分——非均匀杆的质心

题目：长 $L$、总质量 $M$的细杆，线密度沿杆长线性增大$\lambda(x)=\lambda_0\left(1+\dfrac{x}{L}\right)$（$x$从$0$到$L$）。求杆的质心位置。

分析：质心 $x_c=\dfrac{\int x\thinspace{}dm}{\int dm}$，其中 $dm=\lambda(x)\thinspace{}dx$。总质量 $M=\int_0^L \lambda(x)\thinspace{}dx$可先算出以定出$\lambda_0$；若仅求质心位置，常数因子最终会约去。

解答： $$ M=\int_0^L\lambda_0\left(1+\frac{x}{L}\right)dx=\lambda_0\left[x+\frac{x^2}{2L}\right]_0^L=\lambda_0\left(L+\frac{L}{2}\right)=\frac32\lambda_0 L $$ 分子 $$ \int_0^L x\thinspace\lambda(x)\thinspace{}dx=\lambda_0\int_0^L\left(x+\frac{x^2}{L}\right)dx=\lambda_0\left[\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3L}\right]_0^L=\lambda_0\left(\frac{L^2}{2}+\frac{L^2}{3}\right)=\frac56\lambda_0 L^2 $$ 故 $$ x_c=\frac{\frac56\lambda_0 L^2}{\frac32\lambda_0 L}=\frac59L $$

点评：质心偏向密度大的一端（$\frac59L$大于均匀杆的$\frac12L$），符合直觉。本题示范了"微元 $dm$假设 + 定积分求和"的完整套路：先写密度函数，再代入$x_c=\dfrac{\int x\thinspace{}dm}{\int dm}$。若密度更复杂（如指数分布），只需替换 $\lambda(x)$，积分方法完全一样——这正是微积分"以不变应万变"的威力。

易错提醒

易错点

不定积分忘加 $C$：不定积分结果必须加积分常数 $C$；定积分（牛顿—莱布尼茨公式）则不加。
链式法则漏乘内导：$\dfrac{d}{dx}\sin(x^2)=2x\cos(x^2)$，不是 $\cos(x^2)$——漏了 $g'(x)=2x$。
二阶导数符号：$a=\dfrac{d^2s}{dt^2}$有两个上标 2，代表求两次导，不要写成$\left(\dfrac{ds}{dt}\right)^2$。
定积分面积的正负：$x$ 轴下方面积为负，求总面积需取绝对值或分段。
$\dfrac{\sin x}{x}$在$x=0$ 无定义但极限存在：极限为 1，不等于函数值——这正是极限"趋近但不到达"的含义。
物理量积分需配初始条件：由 $a(t)$积分求$v(t)$、$s(t)$ 必须用初始条件定常数，否则只有"通解"。
隐函数求导漏乘 $y'$：对 $x^2+y^2=1$求导得$2x+2y\thinspace{}y'=0$，不能写成 $2x+2y=0$——凡对 $y$求导的项，必须补乘$y'=\dfrac{dy}{dx}$。
换元积分忘换积分限：定积分换元后必须同步改变上下限（令 $u=g(x)$，则 $x=a\to u=g(a)$，$x=b\to u=g(b)$），或先求出原函数再代回 $x$。否则上下限仍是 $x$的值，代入$u$ 的式子必然出错。
分部积分出现循环：$\int e^x\sin x\thinspace{}dx$连续两次分部积分会回到自身，正确做法是把积分量视为未知数移项求解（循环法）：设$I=\int e^x\sin x\thinspace{}dx$，两次分部后得 $I=e^x\sin x-e^x\cos x-I$，解得 $I=\dfrac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C$。

概念辨析

导数 vs 平均变化率

比较项	平均变化率	导数（瞬时变化率）
定义	$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$	$\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$
物理	平均速度 $\bar v$	瞬时速度$v$
几何	割线斜率	切线斜率

不定积分 vs 定积分

比较项	不定积分	定积分
结果	函数族 $F(x)+C$	数值
意义	求导的逆运算	黎曼和的极限（面积）
联系	牛顿—莱布尼茨公式：$\int_a^b f\thinspace{}dx = F(b)-F(a)$

与其他知识关联

与 02-微分方程初步的关系：微分方程的求解本质上是对导数方程做积分，本笔记的积分技巧是其基础。
与 03-矢量运算的关系：矢量函数的导数与积分（如 $\vec v=\dfrac{d\vec r}{dt}$）是本笔记向矢量的推广。
与 04-泰勒展开与级数的关系：泰勒展开用多项式逼近函数，其系数 $f^{(n)}(a)/n!$依赖高阶导数；小角度近似$\sin x\approx x$ 源自等价无穷小。
与 05-复数与欧拉公式的关系：$e^{i\theta}$的求导性质$\dfrac{d}{d\theta}e^{i\theta}=ie^{i\theta}$ 是振动分析的利器。
与高中物理联系：00-力学总览（运动学 $v=\dfrac{ds}{dt}$、$a=\dfrac{dv}{dt}$是导数原型；匀变速公式是$a=$ 常数时的积分结果）、00-电学总览（电容充放电、RC 电路涉及积分）。
与大学层面联系：机械振动（简谐运动方程的解依赖积分）、运动学中的微分方程建模与求解（由加速度积分求运动）、拉格朗日方程（变分法是微积分的延伸）。
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作者的话

个人理解

微积分之于物理，犹如代数之于初等数学——它不仅是计算工具，更是思维方式的升级。高中物理用代数公式处理"恒定"情形（恒力、匀速、匀加速），一旦物理量开始"变化"，代数便力不从心，而微积分恰好为"变化"而生。

学习微积分，我建议抓住一条主线：导数是变化率，积分是累积量，基本定理把它们连起来。运动学是最好的练兵场——从 $s(t)$求导得$v$、$a$，再由 $a$积分回$v$、$s$，正反走一遍，微积分基本定理就不再是抽象公式，而是活生生的物理过程。

对竞赛生而言，求导比积分更常用——竞赛中大量极值问题（临界角、最短时间、最稳平衡）都归结为"求导令零"。但积分不可忽视：变力做功、连续体质心与转动惯量、场强叠加（如壳层定理的积分推导）都依赖它。建议读者在学完本笔记后，立即回顾高中运动学与功能关系，用微积分重新推导一遍，体会"豁然开朗"之感。进阶的微分方程应用请进入 02-微分方程初步。

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微积分基础 ​

核心概念 ​

一、极限——微积分的基石 ​

二、导数——描述变化率 ​

三、积分——描述累积 ​

推导与原理 ​

一、基本求导公式与法则 ​

二、基本积分公式 ​

三、换元积分法 ​

四、分部积分法 ​

五、部分分式积分 ​

典型实例与物理应用 ​

实例 1：运动学——导数与积分的互逆 ​

实例 2：变力做功 ​

实例 3：转动惯量与质心 ​

实例 4：冲量——力对时间的累积 ​

实例 5：物理量的时间平均与空间平均 ​

实例 6：势能曲线与力的关系 ​

例题 ​

例 1：求导与极限——基本计算 ​

例 2：定积分——变力做功（物理应用） ​

例 3：分部积分——转动惯量（物理应用） ​

例 4：微分近似——估算立方根 ​

例 5：定积分——非均匀杆的质心 ​

易错提醒 ​

与其他知识关联 ​

作者的话 ​