光学综合例题集

本例题集汇总高中物理光学四大版块的典型与综合题，作为 00-光学总览 的配套练习资源。题目按版块组织，题号、难度标识与解答规范见末尾说明。全册共 19 道题，覆盖几何光学基础、全反射与光学器件、光的波动性、光的粒子性四大版块，难度从 ★ 基础到 ★★★ 综合递进，贴近高考命题风格。

一、几何光学基础

JH-01 ★：平面镜成像作图与视场范围

题目： 平面镜 MN 竖直放置，长 $L = 20\text{ cm}$，镜面中心为 O。点光源 S 位于镜前 $a = 10\text{ cm}$ 处，正对镜面中心 O。试求： （1）作出 S 在平面镜中的像 S'，并画出 S 发出经平面镜反射后能进入观察区域的光线范围（即镜面有效反射区）； （2）若观察者眼睛 E 位于镜前 $d = 30\text{ cm}$ 处的平面内，求眼睛能通过平面镜看到 S 的像 S' 时，沿镜面方向可移动的视场范围。

分析： 平面镜成像的关键是对称性——像点 S' 与物点 S 关于镜面对称，镜面是物像连线的垂直平分线。视场问题分两步：先由"像—镜两端"连线确定能进入观察区的反射光线方向；再由"眼—镜两端—像"的连线确定眼睛可观察的视场边界。利用相似三角形可将镜面上的几何关系传递到观察平面。

解答： （1）建立坐标系：以镜面中心 O 为原点，镜面方向为 $y$轴，镜前方向为$x$轴正方向。则 S 坐标$(10, 0)$（单位 cm），像 S' 关于镜面对称，坐标 $(-10, 0)$。

镜两端 M$(0, 10)$、N$(0, -10)$。S 经 M、N 反射的光线，可视为从 S' 沿 S'M、S'N 方向"发出"。故镜面有效反射区即镜面本身（M、N 之间），而反射光线方向由 S'M、S'N 延长线决定。

（2）眼睛 E 在镜前 $d = 30\text{ cm}$ 处，要看到像 S'，必须位于 S'M 与 S'N 反向延长线所夹区域内。

S'M 直线：过 $(-10, 0)$与$(0, 10)$，斜率 $k_1 = \dfrac{10-0}{0-(-10)} = 1$，方程 $y = x + 10$。

在 $x = 30$ 处，$y = 30 + 10 = 40\text{ cm}$。

S'N 直线：过 $(-10, 0)$与$(0, -10)$，斜率 $k_2 = -1$，方程 $y = -x - 10$。

在 $x = 30$ 处，$y = -30 - 10 = -40\text{ cm}$。

视场范围 $y \in [-40, 40]\text{ cm}$，宽度 $80\text{ cm}$。

点评： 本题考查平面镜成像作图与视场范围的求解方法。关键点有二：① 像点关于镜面对称；② 视场边界由"眼—镜端—像"三点共线确定。易错点是误将视场边界判断为"眼—镜端—物"连线，这会得到错误结果，必须牢记"反射光线看似由像发出"。详见 01-光的直线传播与反射 与 02-平面镜与球面镜成像。

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JH-02 ★★：平面镜与球面镜成像（凹面镜成像计算）

题目： 凹面镜的曲率半径 $R = 20\text{ cm}$，焦距 $f = R/2 = 10\text{ cm}$。一物体高 $h = 2\text{ cm}$，垂直主光轴放置于镜前 $u = 30\text{ cm}$ 处。求： （1）像距 $v$、像高 $h'$、横向放大率 $m$； （2）判断像的虚实、正倒、放大缩小情况； （3）若将物体移至镜前 $u' = 5\text{ cm}$ 处，重新求像距与像的性质。

分析： 球面镜成像公式（新笛卡尔符号约定，凹面镜 $f > 0$）为 $\dfrac{1}{u} + \dfrac{1}{v} = \dfrac{1}{f}$，横向放大率 $m = -\dfrac{v}{u}$。$m$ 的正负判断像的正倒，$|m|$ 与 1 比较判断放大缩小，$v$ 的正负判断像的虚实。

解答： （1）代入成像公式：

$$\frac{1}{30} + \frac{1}{v} = \frac{1}{10}$$

$$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3 - 1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$$

$$v = 15\text{ cm}$$

横向放大率 $m = -\dfrac{v}{u} = -\dfrac{15}{30} = -\dfrac{1}{2}$。

像高 $h' = |m| \cdot h = \dfrac{1}{2} \times 2 = 1\text{ cm}$。

（2）$v > 0$，实像（位于镜前）；$m < 0$，倒立；$|m| = 1/2 < 1$，缩小。

（3）当 $u' = 5\text{ cm}$（物在焦点以内）：

$$\frac{1}{5} + \frac{1}{v'} = \frac{1}{10}$$

$$\frac{1}{v'} = \frac{1}{10} - \frac{1}{5} = \frac{1 - 2}{10} = -\frac{1}{10}$$

$$v' = -10\text{ cm}$$

$m' = -\dfrac{v'}{u'} = -\dfrac{-10}{5} = 2$。虚像（$v' < 0$，位于镜后），正立，放大 $2$ 倍。

点评： 凹面镜成像规律与凸透镜"对偶"——焦距以内成正立放大虚像（化妆镜原理），焦距以外成倒立实像，焦点处成平行光。牢记 $f = R/2$ 与符号约定是解题前提。易错点是凹面镜焦距正负与凸面镜相反。详见 02-平面镜与球面镜成像。

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JH-03 ★★：光的折射与折射率（视深计算）

题目： 一水池深 $h = 1.2\text{ m}$，水的折射率 $n = \dfrac{4}{3}$，池底有一枚硬币。 （1）从水面正上方观察，硬币的视深 $h'$ 是多少？ （2）若观察者从与竖直方向成 $\theta = 37°$ 的斜方向观察（$\sin 37° = 0.6$），看到的硬币视深又是多少？ （3）若将水池换成厚度 $d = 6\text{ cm}$、折射率 $n = 1.5$ 的平行玻璃砖，从正上方观察砖后物体的视深是多少？

分析： 视深问题的本质是折射成像。小角度近似下（正上方观察），视深 $h' = h/n$。斜方向观察时，需用折射定律追踪光路，物点的视位置与观察角度有关。平行玻璃砖的视深公式与液体一致。

解答： （1）正上方观察，光线近垂直射出水面，视深公式：

$$h' = \frac{h}{n} = \frac{1.2}{4/3} = \frac{1.2 \times 3}{4} = 0.9\text{ m}$$

视深 $h' = 0.9\text{ m}$，比实际深度浅。

（2）斜方向观察，从池底硬币发出的光线经水面折射进入空气。设入射角 $i$（水中），折射角 $r = 37°$（空气中），由折射定律 $n \sin i = \sin r$：

$$\sin i = \frac{\sin r}{n} = \frac{0.6}{4/3} = 0.45$$

视深 $h'_{\theta} = h \cdot \dfrac{\tan i}{\tan r}$。

$\sin i = 0.45$，$\cos i = \sqrt{1 - 0.2025} = \sqrt{0.7975} \approx 0.8930$，$\tan i \approx \dfrac{0.45}{0.8930} \approx 0.504$。

$\sin r = 0.6$，$\cos r = 0.8$，$\tan r = 0.75$。

$$h'_{\theta} = 1.2 \times \frac{0.504}{0.75} \approx 0.81\text{ m}$$

斜方向视深更浅（"侧视变浅"现象）。

（3）平行玻璃砖视深：

$$h'' = \frac{d}{n} = \frac{6}{1.5} = 4\text{ cm}$$

物体"上移" $6 - 4 = 2\text{ cm}$。

点评： 视深问题分两类：① 正上方观察用 $h' = h/n$（近似公式）；② 斜方向观察需结合折射定律与几何关系。平行玻璃砖成像特点是"光路侧移但不改变方向"，视深公式同样适用。易错点是混淆"视深变浅"与"实际距离变化"。详见 03-光的折射与折射率。

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JH-04 ★★★：费马原理与光程综合（光程极值问题）

题目： 如图，介质分界面为水平面 $y = 0$。上方为水（折射率 $n_1 = \dfrac{4}{3}$），下方为空气（折射率 $n_2 = 1$）。点 A 位于水中 $(0, 4)$（单位 m，下同），点 B 位于空气中 $(7, -3)$。 （1）光从 A 经界面折射到 B，求入射点 P 的位置（界面上的 $x$ 坐标）； （2）计算光程 $S = n_1 \overline{AP} + n_2 \overline{PB}$，并验证费马原理； （3）若光沿界面某点 $Q(x, 0)$走"折线路径"绕过界面（即$A \to Q \to B$但不满足折射定律），取$x = 2\text{ m}$，求光程 $S'$并与$S$ 比较。

分析： 费马原理指出：光沿光程取极值（实际为极小值）的路径传播。由光程 $S(x) = n_1\sqrt{x^2 + a^2} + n_2\sqrt{(d-x)^2 + b^2}$对$x$求导并令其为零，即得折射定律$n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$。本题先由折射定律定出 P，再算光程，最后用任意路径验证极小性。

解答： （1）设入射点 P 坐标 $(x, 0)$，$a = 4\text{ m}$（A 到界面距离），$b = 3\text{ m}$（B 到界面距离），$d = 7\text{ m}$（A、B 水平距离）。

由费马原理 $\dfrac{dS}{dx} = 0$：

$$n_1 \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} = n_2 \cdot \frac{d - x}{\sqrt{(d-x)^2 + b^2}}$$

即 $n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$（折射定律）。

设计数据使结果干净：取 $\sin\theta_1 = \dfrac{3}{5}$，$\cos\theta_1 = \dfrac{4}{5}$，则 $\tan\theta_1 = \dfrac{3}{4}$，由 $a = 4$得$x_1 = a\tan\theta_1 = 4 \times \dfrac{3}{4} = 3\text{ m}$。

验证折射定律：$n_1\sin\theta_1 = \dfrac{4}{3} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{4}{5}$，故 $\sin\theta_2 = \dfrac{4}{5}$，$\cos\theta_2 = \dfrac{3}{5}$，$\tan\theta_2 = \dfrac{4}{3}$，对应 $x_2 = b\tan\theta_2 = 3 \times \dfrac{4}{3} = 4\text{ m}$。

入射点 P 坐标 $(3, 0)$，距 A 水平投影 $3\text{ m}$，距 B 水平投影 $4\text{ m}$，$3 + 4 = 7 = d$，自洽。

（2）光程计算：

$$\overline{AP} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\text{ m}, \quad \overline{PB} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\text{ m}$$

$$S = n_1 \cdot 5 + n_2 \cdot 5 = \frac{4}{3} \times 5 + 1 \times 5 = \frac{20}{3} + 5 = \frac{35}{3} \approx 11.67\text{ m}$$

（3）取 $x = 2\text{ m}$（不满足折射定律的任意路径）：

$$\overline{AQ} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\text{ m}$$

$$\overline{QB} = \sqrt{(7-2)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}\text{ m}$$

$$S' = \frac{4}{3} \times 2\sqrt{5} + 1 \times \sqrt{34} = \frac{8\sqrt{5}}{3} + \sqrt{34} \approx \frac{8 \times 2.236}{3} + 5.831 \approx 5.963 + 5.831 \approx 11.79\text{ m}$$

$S' \approx 11.79\text{ m} > S \approx 11.67\text{ m}$，实际光路光程更小，验证费马原理。

点评： 费马原理是几何光学的"统一原理"，可由它推出反射定律与折射定律。本题核心是写出光程函数 $S(x)$ 并对其求导，极值条件即给出折射定律。易错点是符号约定（$x$ 的方向）与几何关系。本题数据"3-4-5"勾股数设计使结果干净。详见 04-费马原理与光程。

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二、全反射与光学器件

QC-01 ★：全反射与临界角（临界角计算）

题目： 某种玻璃的折射率 $n = 1.5$，光从玻璃射向空气。 （1）求全反射临界角 $C$； （2）若光线以 $\theta = 60°$ 从玻璃射向玻璃-空气界面，是否发生全反射？折射角是多少？ （3）若将玻璃浸入水中（水的折射率 $n_w = \dfrac{4}{3}$），求玻璃-水界面的临界角 $C'$。

分析： 全反射发生的条件：① 光从光密介质射向光疏介质；② 入射角大于临界角。临界角公式 $\sin C = \dfrac{n_{\text{疏}}}{n_{\text{密}}}$。若入射角超过临界角，无折射光，全部能量反射回光密介质。

解答： （1）玻璃-空气界面，$\sin C = \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{1.5} = \dfrac{2}{3}$：

$$C = \arcsin\frac{2}{3} \approx 41.8°$$

临界角 $C \approx 41.8°$。

（2）入射角 $\theta = 60° > C = 41.8°$，发生全反射，无折射光出射。

（3）玻璃-水界面，光从玻璃（光密）射向水（光疏）：

$$\sin C' = \frac{n_w}{n} = \frac{4/3}{1.5} = \frac{4/3}{3/2} = \frac{8}{9}$$

$$C' = \arcsin\frac{8}{9} \approx 62.7°$$

浸入水中后临界角增大，全反射更难发生。

点评： 临界角公式 $\sin C = n_{\text{疏}}/n_{\text{密}}$ 是全反射问题的核心。注意：① 必须明确"光密"与"光疏"——同一种介质在不同界面可能角色互换；② 浸入其他介质后临界角会变化。详见 01-全反射与临界角。

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QC-02 ★★：全反射与光导纤维（光纤数值孔径）

题目： 阶跃型光导纤维的纤芯折射率 $n_1 = 1.50$，包层折射率 $n_2 = 1.40$，光纤置于空气（$n_0 = 1$）中。 （1）求光纤端面入射光的最大接受角 $\alpha$（即能发生全反射传播的光锥半角）； （2）求数值孔径 NA； （3）若将光纤浸入水中（$n_w = 4/3$），最大接受角变为多少？

分析： 光纤传光原理：光在纤芯-包层界面发生全反射，使光沿纤芯传播。临界条件是端面入射角 $\alpha$对应的折射光在纤芯-包层界面恰好达到临界角$C$。由折射定律与全反射条件联立可推出 $\text{NA} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$。

解答： （1）设端面入射角 $\alpha$，纤芯内折射角 $\beta$，由折射定律 $n_0 \sin\alpha = n_1 \sin\beta$。

光在纤芯内传播至纤芯-包层界面的入射角为 $90° - \beta$，全反射临界条件：

$$\sin C = \frac{n_2}{n_1}, \quad 90° - \beta = C$$

即 $\sin\beta = \cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C} = \sqrt{1 - \dfrac{n_2^2}{n_1^2}} = \dfrac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_1}$。

代回折射定律：

$$\sin\alpha_{\max} = n_1 \sin\beta = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$$

代入数值：

$$\sin\alpha_{\max} = \sqrt{1.50^2 - 1.40^2} = \sqrt{2.25 - 1.96} = \sqrt{0.29} \approx 0.5385$$

$$\alpha_{\max} \approx \arcsin 0.5385 \approx 32.6°$$

最大接受角 $\alpha \approx 32.6°$。

（2）数值孔径：

$$\text{NA} = \sin\alpha_{\max} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2} = \sqrt{0.29} \approx 0.539$$

（3）浸入水中，端面入射角 $\alpha'$满足$n_w \sin\alpha' = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$：

$$\sin\alpha' = \frac{\sqrt{0.29}}{4/3} = \frac{0.539}{1.333} \approx 0.404$$

$$\alpha' \approx \arcsin 0.404 \approx 23.8°$$

浸入水中后接受角减小。

点评： 光纤数值孔径 $\text{NA} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$是光纤性能的关键参数，决定了光纤集光能力。推导核心是"端面折射定律 + 纤芯-包层全反射条件"的联立。易错点是混淆入射角$\alpha$与纤芯内入射角$90° - \beta$。详见 01-全反射与临界角。

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QC-03 ★★：棱镜与色散（色散分析）

题目： 顶角 $A = 60°$ 的玻璃棱镜置于空气中。已知红光（$\lambda_r = 656\text{ nm}$）折射率 $n_r = 1.50$，紫光（$\lambda_v = 405\text{ nm}$）折射率 $n_v = 1.54$。 （1）分别求红光与紫光在最小偏向角条件下的偏向角； （2）求两种色光的偏向角之差； （3）说明棱镜使紫光偏折更大的物理原因，并指出这种色散属于何种色散。

分析： 棱镜在最小偏向角条件下满足对称光路：$i_1 = i_2$，$r_1 = r_2 = A/2$，由折射定律 $n\sin i_1 = \sin(A/2) \cdot n$（即 $\sin i_1 = n\sin(A/2)$）。最小偏向角 $\delta_{\min} = 2i_1 - A = 2\arcsin(n\sin(A/2)) - A$。

解答： （1）$A/2 = 30°$，$\sin 30° = 0.5$。

红光：$n_r \sin 30° = 1.50 \times 0.5 = 0.75$。

$$i_{1,r} = \arcsin 0.75 \approx 48.59°$$

$$\delta_{r,\min} = 2 \times 48.59° - 60° = 37.18°$$

紫光：$n_v \sin 30° = 1.54 \times 0.5 = 0.77$。

$$i_{1,v} = \arcsin 0.77 \approx 50.35°$$

$$\delta_{v,\min} = 2 \times 50.35° - 60° = 40.70°$$

（2）偏向角之差：

$$\Delta\delta = \delta_{v,\min} - \delta_{r,\min} = 40.70° - 37.18° \approx 3.52°$$

紫光比红光多偏折约 $3.5°$。

（3）紫光波长短，频率高，介质中电子受迫振动响应更强，折射率更大，故偏折更显著。这种折射率随波长变化的现象称为色散，棱镜色散属于正常色散（$n$随$\lambda$ 增大而减小），由介质吸收特性决定。

点评： 棱镜色散是"白光分色"的经典实验基础。最小偏向角公式 $\delta_{\min} = 2\arcsin(n\sin(A/2)) - A$ 是核心公式。色散本质是介质对不同频率光波响应不同。易错点是混淆"色散"与"散射"——前者是折射率频率依赖性，后者（如瑞利散射）是粒子尺度远小于波长时的弹性散射。详见 02-棱镜与色散。

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QC-04 ★★★：薄透镜成像规律（凸透镜成像综合）

题目： 凸透镜焦距 $f = 10\text{ cm}$，物高 $h = 2\text{ cm}$，垂直于主光轴放置。 （1）物距 $u_1 = 30\text{ cm}$，求像距、像高、放大率，并说明像的性质； （2）物距 $u_2 = 15\text{ cm}$，重新求解； （3）物距 $u_3 = 5\text{ cm}$，重新求解； （4）总结凸透镜成像规律，并作出 $u = 15\text{ cm}$ 时的成像光路图（用三条特殊光线）。

分析： 薄透镜成像公式 $\dfrac{1}{u} + \dfrac{1}{v} = \dfrac{1}{f}$（新笛卡尔约定：实物 $u > 0$，实像 $v > 0$，凸透镜 $f > 0$），放大率 $m = -\dfrac{v}{u}$。三条特殊光线：① 平行于主光轴的光线，折射后过焦点；② 过光心的光线，方向不变；③ 过焦点的光线，折射后平行于主光轴。

解答： （1）$u_1 = 30\text{ cm} > 2f = 20\text{ cm}$（物在二倍焦距外）：

$$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$$

$$v_1 = 15\text{ cm}$$

$m_1 = -\dfrac{v_1}{u_1} = -\dfrac{15}{30} = -\dfrac{1}{2}$，像高 $h_1' = |m_1| h = 1\text{ cm}$。

实像（$v_1 > 0$），倒立（$m_1 < 0$），缩小（$|m_1| < 1$）。

（2）$u_2 = 15\text{ cm}$（$f < u_2 < 2f$，物在一倍与二倍焦距之间）：

$$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 2}{30} = \frac{1}{30}$$

$$v_2 = 30\text{ cm}$$

$m_2 = -\dfrac{30}{15} = -2$，像高 $h_2' = 4\text{ cm}$。

实像，倒立，放大 $2$ 倍。

（3）$u_3 = 5\text{ cm} < f$（物在焦点以内）：

$$\frac{1}{v_3} = \frac{1}{10} - \frac{1}{5} = \frac{1 - 2}{10} = -\frac{1}{10}$$

$$v_3 = -10\text{ cm}$$

$m_3 = -\dfrac{-10}{5} = 2$，像高 $h_3' = 4\text{ cm}$。

虚像（$v_3 < 0$），正立（$m_3 > 0$），放大 $2$ 倍。

（4）凸透镜成像规律总结：

物距范围	像距范围	像的性质	应用
$u > 2f$	$f < v < 2f$	实像、倒立、缩小	照相机、眼睛
$u = 2f$	$v = 2f$	实像、倒立、等大	等大测焦距
$f < u < 2f$	$v > 2f$	实像、倒立、放大	投影仪、幻灯机
$u = f$	$v \to \infty$	平行光（不成像）	探照灯、准直
$u < f$	$v < 0$（同侧）	虚像、正立、放大	放大镜

（5）$u = 15\text{ cm}$ 时的三条特殊光线作图（文字描述）：

• 物体顶端发出的平行于主光轴的光线，经透镜折射后过像方焦点 $F'$；
• 过光心 O 的光线，方向不变；
• 过物方焦点 F 的光线，经透镜折射后平行于主光轴。 三条折射光线在透镜右侧 $v = 30\text{ cm}$ 处会聚于一点，即为像点。

点评： 凸透镜成像是几何光学核心内容，"二倍焦距定大小，焦点定虚实"是经典口诀。三条特殊光线作图是必须掌握的基本功。易错点：① 物在焦点以内成正立放大虚像（放大镜原理），与凸面镜成像混淆；② $m$ 的符号与像的正倒对应关系。详见 03-薄透镜成像规律 与 04-透镜成像作图与公式。

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QC-05 ★★：透镜成像作图与公式（双透镜组合）

题目： 两凸透镜 $L_1$、$L_2$共轴放置，焦距$f_1 = 10\text{ cm}$，$f_2 = 20\text{ cm}$，两镜相距 $d = 30\text{ cm}$。物体高 $h = 1\text{ cm}$，垂直主光轴放置于 $L_1$前$u_1 = 30\text{ cm}$ 处。 （1）求物体经 $L_1$所成像的位置与放大率$m_1$； （2）将 $L_1$所成像作为$L_2$的物，求最终像的位置（相对$L_2$）与放大率 $m_2$； （3）求系统总放大率 $M$与最终像的性质、位置（相对$L_1$）。

分析： 逐级成像法是处理透镜组合的标准方法：前一级透镜的像作为后一级透镜的物，依次求解。物距、像距均对各自的透镜而言。总放大率等于各级放大率之积 $M = m_1 \cdot m_2$。注意 $L_1$的像与$L_2$的位置关系决定$L_2$ 的物距符号。

解答： （1）对 $L_1$（$f_1 = 10\text{ cm}$，$u_1 = 30\text{ cm}$）：

$$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$$

$$v_1 = 15\text{ cm}$$

$L_1$的像位于$L_1$后$15\text{ cm}$ 处，实像。

$m_1 = -\dfrac{v_1}{u_1} = -\dfrac{15}{30} = -\dfrac{1}{2}$，像高 $h_1' = |m_1| \cdot h = 0.5\text{ cm}$，倒立缩小。

（2）$L_1$的像在$L_1$后$15\text{ cm}$ 处，$L_2$在$L_1$后$d = 30\text{ cm}$处，故$L_1$的像位于$L_2$前$30 - 15 = 15\text{ cm}$处。对$L_2$而言，实物，物距$u_2 = 15\text{ cm}$（$< f_2 = 20\text{ cm}$，物在焦点以内）。

$$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{f_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{20} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 4}{60} = -\frac{1}{60}$$

$$v_2 = -60\text{ cm}$$

像位于 $L_2$前$60\text{ cm}$ 处（虚像，与物同侧）。

$m_2 = -\dfrac{v_2}{u_2} = -\dfrac{-60}{15} = 4$，正立放大。

（3）总放大率：

$$M = m_1 \cdot m_2 = \left(-\frac{1}{2}\right) \times 4 = -2$$

最终像位于 $L_2$前$60\text{ cm}$，即 $L_1$后$30 - 60 = -30\text{ cm}$，也就是 $L_1$前$30\text{ cm}$ 处。

最终像：倒立（$M < 0$），放大 $2$ 倍（$|M| = 2$），虚像（$v_2 < 0$），位于 $L_1$前$30\text{ cm}$ 处。

最终像高 $h' = |M| \cdot h = 2\text{ cm}$。

点评： 双透镜组合是显微镜、望远镜、照相机镜头的基本模型。逐级成像法的关键是正确传递中间像的位置与性质，并据此判断下一级透镜的物距符号。常见组合：① 显微镜（$L_1$ 成放大实像作中间像，$L_2$ 再放大成虚像）；② 望远镜（$L_1$成缩小实像于$L_2$ 焦点附近，$L_2$ 成虚像于无穷远）。详见 03-薄透镜成像规律 与 04-透镜成像作图与公式。

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三、光的波动性

BD-01 ★：光的干涉（杨氏双缝条纹间距）

题目： 杨氏双缝干涉实验中，双缝间距 $d = 0.5\text{ mm}$，缝到光屏的距离 $L = 1.0\text{ m}$，用波长 $\lambda = 600\text{ nm}$ 的单色光照射。 （1）求相邻明纹（或暗纹）的间距 $\Delta x$； （2）求第三级明纹距中央明纹的距离 $x_3$； （3）若将整个装置浸入水中（$n = 4/3$），条纹间距变为多少？

分析： 杨氏双缝干涉的条纹间距公式 $\Delta x = \dfrac{L\lambda}{d}$来自光程差$\delta = d\sin\theta \approx d \cdot \dfrac{x}{L}$与明纹条件$\delta = k\lambda$的联立。浸入介质后，光波长变为$\lambda' = \lambda/n$，条纹间距相应变小。

解答： （1）条纹间距：

$$\Delta x = \frac{L\lambda}{d} = \frac{1.0 \times 600 \times 10^{-9}}{0.5 \times 10^{-3}} = \frac{6 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-4}} = 1.2 \times 10^{-3}\text{ m} = 1.2\text{ mm}$$

相邻明纹间距 $\Delta x = 1.2\text{ mm}$。

（2）第三级明纹（$k = 3$）距中央：

$$x_3 = 3\Delta x = 3 \times 1.2 = 3.6\text{ mm}$$

（3）浸入水中，光在水中波长 $\lambda' = \dfrac{\lambda}{n} = \dfrac{600}{4/3} = 450\text{ nm}$：

$$\Delta x' = \frac{L\lambda'}{d} = \frac{1.0 \times 450 \times 10^{-9}}{0.5 \times 10^{-3}} = 0.9\text{ mm}$$

浸入水后条纹变密。

点评： 杨氏双缝实验是波动光学的奠基实验，条纹间距公式 $\Delta x = L\lambda/d$必须熟记。关键概念：① 介质中波长变短，条纹变密；② 增大$L$或减小$d$ 可使条纹变疏，便于观察。详见 01-光的干涉。

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BD-02 ★★：薄膜干涉（增透膜厚度计算）

题目： 照相机镜头玻璃折射率 $n_g = 1.5$，表面镀一层 $\text{MgF}_2$增透膜，折射率$n = 1.38$，针对真空中波长 $\lambda = 550\text{ nm}$（人眼最敏感波长）的光。 （1）求增透膜的最小厚度 $d$； （2）说明增透膜上、下表面反射光的相位关系（是否都有半波损失）； （3）若改为镀高反射膜（折射率 $n' > n_g$），最小厚度应满足什么条件？

分析： 薄膜干涉的关键是判断上、下表面反射光的半波损失情况，从而确定干涉条件。增透膜要求两束反射光相消干涉（光程差满足暗纹条件），使反射光强度最小、透射光强度最大。

解答： （1）判断半波损失：

• 上表面：光从空气（$n_0 \approx 1$）射向 $\text{MgF}_2$（$n = 1.38$），由光疏到光密，有半波损失；
• 下表面：光从 $\text{MgF}_2$（$n = 1.38$）射向玻璃（$n_g = 1.5$），仍由光疏到光密，也有半波损失。

两束反射光均有半波损失，附加相位差抵消，无需考虑半波损失项。光程差 $\delta = 2nd$。

增透膜要求反射光相消干涉：

$$2nd = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$$

最小厚度取 $k = 0$：

$$d_{\min} = \frac{\lambda}{4n} = \frac{550}{4 \times 1.38} = \frac{550}{5.52} \approx 99.6\text{ nm} \approx 100\text{ nm}$$

增透膜最小厚度约 $100\text{ nm}$，即 $\lambda/(4n)$。

（2）由（1）的分析，两束反射光均有半波损失，附加相位差 $2 \times \pi = 2\pi$，等效为相位差不变（一周），故光程差即为 $2nd$。

（3）若改镀高反射膜（$n' > n_g$）：

• 上表面：空气到 $n'$，有半波损失；
• 下表面：$n'$ 到玻璃（$n_g < n'$），由光密到光疏，无半波损失。

两束反射光只有一束有半波损失，附加相位差 $\pi$，需考虑。光程差 $\delta = 2nd' + \lambda/2$。

高反射膜要求反射光相长干涉：

$$2nd' + \frac{\lambda}{2} = k\lambda$$

最小厚度（$k = 1$）：

$$d'_{\min} = \frac{\lambda}{4n'}$$

与增透膜公式相同，但物理机制不同（折射率大小关系不同导致半波损失情况不同）。

点评： 薄膜干涉的核心是"半波损失判断 + 光程差计算 + 干涉条件选择"。判断口诀：光从光疏到光密，反射有半波损失。增透膜（$n_0 < n < n_g$）与高反射膜（$n_0 < n_g < n'$）的厚度公式同为 $\lambda/(4n)$，但反射光相位关系不同导致功能相反。易错点是漏判半波损失。详见 01-光的干涉。

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BD-03 ★★★：光的衍射综合（单缝衍射与光栅衍射对比）

题目： 氦氖激光器发出 $\lambda = 632.8\text{ nm}$ 的红光，垂直入射到衍射屏上。 （1）若屏为单缝，缝宽 $a = 0.10\text{ mm}$，屏到观察屏距离 $L = 1.0\text{ m}$。求中央明纹的宽度、第一级明纹的角宽度； （2）若屏为透射式衍射光栅，每毫米 $500$条刻痕，光栅总宽度$D = 1.0\text{ cm}$。求光栅常数、能观察到的最大级次 $k_{\max}$ 与总谱线条数； （3）比较单缝衍射与光栅衍射的条纹特点，说明光栅衍射的优点。

分析： 单缝衍射暗纹条件 $a\sin\theta = k\lambda$（$k = \pm 1, \pm 2, \ldots$），中央明纹位于 $\pm 1$级暗纹之间，宽度$\Delta x_0 = \dfrac{2L\lambda}{a}$。

光栅衍射主极大条件（光栅方程）$d\sin\theta = k\lambda$，最大级次由 $\sin\theta \le 1$限制$k \le d/\lambda$。光栅条纹细锐（亮度高、宽度窄），是因多缝干涉使主极大被压缩为窄条纹。

解答： （1）单缝衍射：

中央明纹宽度：

$$\Delta x_0 = \frac{2L\lambda}{a} = \frac{2 \times 1.0 \times 632.8 \times 10^{-9}}{0.10 \times 10^{-3}} = \frac{2 \times 6.328 \times 10^{-7}}{1.0 \times 10^{-4}} = 1.266 \times 10^{-2}\text{ m} = 12.66\text{ mm}$$

中央明纹宽约 $12.7\text{ mm}$。

第一级明纹的角宽度（即第一级暗纹到第二级暗纹之间的角间隔）：

$$\Delta\theta_1 = \theta_2 - \theta_1 \approx \frac{2\lambda}{a} = \frac{2 \times 632.8 \times 10^{-9}}{0.10 \times 10^{-3}} = 1.266 \times 10^{-2}\text{ rad} \approx 0.725°$$

第一级明纹宽度只有中央明纹宽度的一半（这是单缝衍射的重要特征）。

（2）光栅衍射：

光栅常数 $d$（相邻刻痕间距）：

$$d = \frac{1\text{ mm}}{500} = 2.0 \times 10^{-6}\text{ m} = 2000\text{ nm}$$

最大级次：

$$k_{\max} = \left\lfloor \frac{d}{\lambda} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{2000}{632.8} \right\rfloor = \lfloor 3.16 \rfloor = 3$$

能观察到的最大级次为 $k = 3$。

考虑到光栅总宽 $D = 1.0\text{ cm}$，缝数 $N = 5000$，谱线在 $\sin\theta = \pm 1$之间，每级有$\pm$ 两条加中央零级，总谱线数：

$$N_{\text{line}} = 2k_{\max} + 1 = 2 \times 3 + 1 = 7\text{ 条}$$

（3）对比：

特征	单缝衍射	光栅衍射
条纹性质	中央明纹宽，次级明纹弱且宽	主极大细锐明亮，次级明纹极弱
强度分布	中央明纹占绝大部分能量	能量集中在主极大上
分辨能力	较低（$\theta \sim \lambda/a$）	高（$\theta \sim \lambda/(Nd)$，与缝数 $N$ 成反比）
用途	演示衍射现象	光谱分析、精密测量

光栅衍射的优点：条纹细锐、亮度高、分辨能力强，适合用作精密光谱分析。瑞利判据给出的光栅分辨本领 $R = kN$，级次越高、缝数越多，分辨率越高。

点评： 单缝衍射与光栅衍射是波动光学的两个核心实验。单缝衍射暗纹条件 $a\sin\theta = k\lambda$与光栅主极大条件$d\sin\theta = k\lambda$形式相似但物理本质不同——前者是"单缝内子波干涉相消"，后者是"多缝间光线干涉相长"。光栅衍射中"主极大位置由$d$ 决定，主极大强度受单缝衍射调制（缺级现象）"。详见 02-光的衍射。

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BD-04 ★★：光的偏振（马吕斯定律计算）

题目： 强度为 $I_0$的自然光依次通过三个偏振片$P_1$、$P_2$、$P_3$。 （1）$P_1$与$P_2$的偏振化方向夹角$\theta_{12} = 30°$，$P_2$与$P_3$的夹角$\theta_{23} = 30°$，求最终透射光强 $I_3$； （2）若移去 $P_2$，仅保留 $P_1$和$P_3$（$P_1$与$P_3$夹角变为$60°$），求透射光强 $I_3'$，并与（1）比较； （3）若 $P_2$可绕光轴旋转，求（1）中$I_3$的最大值及对应的$\theta_{12}$。

分析： 自然光通过偏振片后强度减半（变为线偏振光）。线偏振光通过偏振片后的强度由马吕斯定律 $I = I_0 \cos^2\theta$ 决定，$\theta$ 为偏振光方向与偏振片偏振化方向的夹角。多片组合时逐级应用马吕斯定律。

解答： （1）自然光经 $P_1$：

$$I_1 = \frac{I_0}{2}$$

经 $P_2$（夹角 $\theta_{12} = 30°$）：

$$I_2 = I_1 \cos^2 30° = \frac{I_0}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3I_0}{8}$$

经 $P_3$（夹角 $\theta_{23} = 30°$）：

$$I_3 = I_2 \cos^2 30° = \frac{3I_0}{8} \times \frac{3}{4} = \frac{9I_0}{32} \approx 0.281 I_0$$

透射光强 $I_3 = 9I_0/32 \approx 28.1\% \cdot I_0$。

（2）移去 $P_2$，$P_1$与$P_3$夹角$60°$：

$$I_3' = I_1 \cos^2 60° = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{I_0}{8} = 0.125 I_0$$

比较：$I_3 = 0.281 I_0 > I_3' = 0.125 I_0$，插入 $P_2$ 后透射光反而增强，这是偏振现象的"反直觉"特性，常被称为"插入偏振片增透"现象。

（3）设 $\theta_{12} = \theta$，则 $\theta_{23} = 60° - \theta$（保持 $P_1$、$P_3$夹角$60°$ 不变）：

$$I_3(\theta) = \frac{I_0}{2} \cos^2\theta \cdot \cos^2(60° - \theta)$$

求极值：对 $\theta$ 求导令其为零，对称性分析（$\theta$与$60° - \theta$对称）给出极值在$\theta = 30°$ 时取得。代入：

$$I_{3,\max} = \frac{I_0}{2} \cos^4 30° = \frac{I_0}{2} \times \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{I_0}{2} \times \frac{9}{16} = \frac{9I_0}{32}$$

正好对应（1）的情况，即 $P_2$位于$P_1$、$P_3$ 夹角平分线时透射光强最大。

点评： 马吕斯定律 $I = I_0\cos^2\theta$ 是偏振光计算的"万能钥匙"。重要结论：① 自然光经偏振片光强减半；② 偏振片组合不一定使光强单调减小，中间插入偏振片可能"增透"，这揭示了偏振光的矢量叠加本质；③ 极值问题用对称性分析可简化计算。详见 03-光的偏振。

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BD-05 ★★：反射光偏振（布儒斯特角）

题目： 自然光从空气射入折射率 $n = 1.5$ 的玻璃。 （1）求布儒斯特角 $\theta_B$与对应的折射角$r_B$； （2）说明在布儒斯特角入射时反射光与折射光的偏振状态； （3）计算反射光与折射光的强度比（设入射光强 $I_0$，反射光强近似按 $R = \left(\dfrac{n-1}{n+1}\right)^2$ 估算）。

分析： 布儒斯特定律：当入射角 $\theta_B$满足$\tan\theta_B = n_{21}$（相对折射率）时，反射光与折射光夹角为 $90°$，反射光为完全偏振光（垂直于入射面），折射光为部分偏振光。布儒斯特角是制备偏振光的简单方法之一。

解答： （1）由 $\tan\theta_B = n = 1.5$：

$$\theta_B = \arctan 1.5 \approx 56.31°$$

由折射定律 $\sin\theta_B = n\sin r_B$，且 $\theta_B + r_B = 90°$（布儒斯特条件），故：

$$r_B = 90° - \theta_B \approx 33.69°$$

布儒斯特角 $\theta_B \approx 56.3°$，折射角 $r_B \approx 33.7°$，两者互余。

（2）偏振状态：

• 反射光：完全偏振光，电矢量垂直于入射面（即 s 偏振），没有平行入射面分量（p 分量）；
• 折射光：部分偏振光，以平行入射面分量（p 分量）为主，但仍含部分 s 分量。

物理原因：在布儒斯特角入射时，反射光方向与折射光方向垂直，p 分量的电场振动方向与反射光传播方向平行，无法激发反射（电磁波是横波），故反射光中无 p 分量。

（3）反射光强估算：

$$R = \left(\frac{n - 1}{n + 1}\right)^2 = \left(\frac{0.5}{2.5}\right)^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 0.04 = 4\%$$

反射光强 $I_r = 0.04 I_0$，全部为 s 偏振。

折射光强 $I_t = 0.96 I_0$，含全部 p 分量与大部分 s 分量。

玻璃表面在布儒斯特角反射可制成简易偏振器，但效率较低（仅约 4%）。

点评： 布儒斯特角是反射光偏振的"分界角"——超过或低于此角反射光均为部分偏振，恰在此角反射光为完全偏振。重要关系 $\theta_B + r_B = 90°$ 是几何推论。布儒斯特定律应用广泛：偏振片、激光器布儒斯特窗、偏振分光镜等。易错点：① 反射光是 s 偏振而非 p 偏振；② 折射光不是完全偏振光。详见 03-光的偏振。

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BD-06 ★★★：光的电磁本性（光速推导与电磁波谱综合）

题目： 麦克斯韦电磁理论预言光就是电磁波。 （1）由麦克斯韦方程组在真空中导出电磁波速 $c = \dfrac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$，并代入 $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ T·m/A}$，$\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\text{ F/m}$计算$c$ 的数值； （2）某电磁波波长 $\lambda = 500\text{ nm}$，判断其所属波段，并计算频率 $\nu$与光子能量$E$（以 eV 为单位）； （3）按波长由长到短列出电磁波谱的主要波段，并指出各波段的产生机制与典型应用。

分析： 麦克斯韦方程组在真空（无源）情况下，对电场 $\vec{E}$与磁场$\vec{B}$分别取旋度并利用$\nabla \cdot \vec{E} = 0$、$\nabla \cdot \vec{B} = 0$，可得波动方程 $\nabla^2 \vec{E} = \mu_0\varepsilon_0 \dfrac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$，与标准波动方程 $\nabla^2 \vec{E} = \dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$对比即得$c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$。

解答： （1）由波动方程对比：

$$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$$

代入数值：

$$\mu_0 \varepsilon_0 = 4\pi \times 10^{-7} \times 8.854 \times 10^{-12} = 1.1126 \times 10^{-17}\text{ s}^2\text{/m}^2$$

$$c = \frac{1}{\sqrt{1.1126 \times 10^{-17}}} = \frac{1}{3.336 \times 10^{-9}} \approx 2.998 \times 10^8\text{ m/s}$$

计算值 $c \approx 3.0 \times 10^8\text{ m/s}$，与实测光速吻合，证明光是电磁波。

（2）$\lambda = 500\text{ nm}$ 的电磁波：

频率：

$$\nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{3.0 \times 10^8}{500 \times 10^{-9}} = 6.0 \times 10^{14}\text{ Hz}$$

属于可见光中的绿光波段（可见光约 400–760 nm）。

光子能量：

$$E = h\nu = 6.626 \times 10^{-34} \times 6.0 \times 10^{14} = 3.976 \times 10^{-19}\text{ J}$$

转换为 eV（$1\text{ eV} = 1.602 \times 10^{-19}\text{ J}$）：

$$E = \frac{3.976 \times 10^{-19}}{1.602 \times 10^{-19}} \approx 2.48\text{ eV}$$

绿光光子能量约 $2.48\text{ eV}$。

（3）电磁波谱（波长由长到短）：

波段	波长范围	产生机制	典型应用
无线电波	$> 1\text{ mm}$	振荡电路、电子加速	广播、电视、通信
微波	$1\text{ mm} \sim 1\text{ m}$	微波振荡器、分子转动能级跃迁	雷达、微波炉、卫星通信
红外线	$760\text{ nm} \sim 1\text{ mm}$	分子振动-转动能级跃迁、热辐射	红外成像、夜视仪、遥控
可见光	$400 \sim 760\text{ nm}$	原子外层电子跃迁	视觉、照明、显示
紫外线	$10 \sim 400\text{ nm}$	原子外层电子跃迁	杀菌、荧光、光刻
X 射线	$0.01 \sim 10\text{ nm}$	原子内层电子跃迁、高速电子减速	医学影像、晶体结构分析
$\gamma$射线	$< 0.01\text{ nm}$	原子核能级跃迁、核反应	放射治疗、核物理研究

电磁波谱各波段本质相同（电磁波），区别仅在频率（波长），产生机制随频率升高由宏观电路 → 分子 → 原子 → 原子核逐级深入。

点评： 麦克斯韦理论将电学、磁学、光学统一为"电磁学"，是物理学史上的第二次大统一（第一次是牛顿统一天体力学与地面力学）。光速公式 $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$ 由纯电磁学常数构成，与实测光速一致，是光为电磁波的铁证。电磁波谱反映了"宏观—微观"的能级跃迁层次。易错点是混淆各波段的产生机制。详见 05-光的电磁本性 与 04-光的颜色与光谱。

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四、光的粒子性

LX-01 ★：光电效应基本计算（光子能量与光电方程）

题目： 金属钠的逸出功 $W = 2.3\text{ eV}$，用波长 $\lambda = 400\text{ nm}$ 的紫光照射钠的表面。 （1）求入射光子的能量 $E$（分别用 J 和 eV 表示）； （2）求光电子的最大初动能 $E_{k,\max}$； （3）求遏止电压 $U_c$； （4）求钠的极限频率 $\nu_0$与极限波长$\lambda_0$。 （已知 $h = 6.63 \times 10^{-34}\text{ J·s}$，$e = 1.60 \times 10^{-19}\text{ C}$，$c = 3.0 \times 10^8\text{ m/s}$）

分析： 光电效应的爱因斯坦方程 $E_{k,\max} = h\nu - W$是核心公式。光子能量$E = h\nu = hc/\lambda$。遏止电压满足 $eU_c = E_{k,\max}$。极限频率对应光子能量恰等于逸出功，$\nu_0 = W/h$。

解答： （1）光子能量：

$$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}{400 \times 10^{-9}} = \frac{1.989 \times 10^{-25}}{4 \times 10^{-7}} = 4.97 \times 10^{-19}\text{ J}$$

转换为 eV：

$$E = \frac{4.97 \times 10^{-19}}{1.60 \times 10^{-19}} \approx 3.11\text{ eV}$$

入射光子能量 $E \approx 3.11\text{ eV}$。

（2）由爱因斯坦光电方程：

$$E_{k,\max} = h\nu - W = 3.11 - 2.3 = 0.81\text{ eV}$$

转换为 J：

$$E_{k,\max} = 0.81 \times 1.60 \times 10^{-19} = 1.30 \times 10^{-19}\text{ J}$$

（3）遏止电压：

$$U_c = \frac{E_{k,\max}}{e} = \frac{0.81\text{ eV}}{e} = 0.81\text{ V}$$

遏止电压 $U_c \approx 0.81\text{ V}$。

（4）极限频率：

$$\nu_0 = \frac{W}{h} = \frac{2.3 \times 1.60 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}} = \frac{3.68 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}} \approx 5.55 \times 10^{14}\text{ Hz}$$

极限波长：

$$\lambda_0 = \frac{c}{\nu_0} = \frac{3.0 \times 10^8}{5.55 \times 10^{14}} \approx 5.41 \times 10^{-7}\text{ m} = 541\text{ nm}$$

极限波长 $\lambda_0 \approx 541\text{ nm}$（黄绿光），$\lambda = 400\text{ nm} < \lambda_0$，故能发生光电效应。

点评： 光电效应是量子观念的奠基实验。爱因斯坦光电方程 $h\nu = E_{k,\max} + W$三项含义：光子能量$h\nu$、最大初动能 $E_{k,\max}$、逸出功 $W$。关键结论：① 极限频率由逸出功决定，与光强无关；② 光电子最大初动能与频率成线性关系，与光强无关；③ 光强只影响饱和光电流大小。详见 01-光电效应。

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LX-02 ★★：光电效应图像分析（$U_c$-$\nu$ 图像）

题目： 用不同频率的光照射某金属，测得遏止电压 $U_c$与频率$\nu$ 的关系如下表：

$\nu/10^{14}\text{ Hz}$	5.0	6.0	7.0	8.0	9.0
$U_c/\text{V}$	0.10	0.51	0.93	1.34	1.76

（1）在 $U_c$-$\nu$ 坐标系中作出图像，判断图像形状； （2）由图像求普朗克常量 $h$（已知 $e = 1.60 \times 10^{-19}\text{ C}$）； （3）求该金属的逸出功 $W$与极限频率$\nu_0$； （4）当 $\nu = 8.5 \times 10^{14}\text{ Hz}$时，求遏止电压$U_c$。

分析： 由光电方程 $E_{k,\max} = h\nu - W$与$eU_c = E_{k,\max}$得$U_c = \dfrac{h}{e}\nu - \dfrac{W}{e}$，$U_c$-$\nu$图像是一条直线。斜率$k = h/e$，纵轴截距 $b = -W/e$，横轴截距 $\nu_0 = W/h$。

解答： （1）由数据可见 $\nu$每增加$1.0 \times 10^{14}\text{ Hz}$，$U_c$增加约$0.42\text{ V}$，呈线性关系。作 $U_c$-$\nu$ 图像为一条斜向上的直线。

（2）斜率：

$$k = \frac{\Delta U_c}{\Delta \nu} = \frac{1.76 - 0.10}{(9.0 - 5.0) \times 10^{14}} = \frac{1.66}{4.0 \times 10^{14}} = 4.15 \times 10^{-15}\text{ V·s}$$

由 $k = h/e$：

$$h = ke = 4.15 \times 10^{-15} \times 1.60 \times 10^{-19} = 6.64 \times 10^{-34}\text{ J·s}$$

测量值 $h \approx 6.64 \times 10^{-34}\text{ J·s}$，与公认值 $6.63 \times 10^{-34}\text{ J·s}$ 吻合。

（3）由直线方程 $U_c = k\nu + b$，代入 $\nu = 5.0 \times 10^{14}\text{ Hz}$，$U_c = 0.10\text{ V}$：

$$b = U_c - k\nu = 0.10 - 4.15 \times 10^{-15} \times 5.0 \times 10^{14} = 0.10 - 2.075 = -1.975\text{ V}$$

由 $b = -W/e$：

$$W = -be = 1.975 \times 1.60 \times 10^{-19} = 3.16 \times 10^{-19}\text{ J} \approx 1.97\text{ eV}$$

极限频率：

$$\nu_0 = \frac{W}{h} = \frac{3.16 \times 10^{-19}}{6.64 \times 10^{-34}} \approx 4.76 \times 10^{14}\text{ Hz}$$

逸出功 $W \approx 1.97\text{ eV}$，极限频率 $\nu_0 \approx 4.76 \times 10^{14}\text{ Hz}$。

（也可由横轴截距直接读出 $\nu_0 \approx 4.76 \times 10^{14}\text{ Hz}$，与计算一致。）

（4）当 $\nu = 8.5 \times 10^{14}\text{ Hz}$：

$$U_c = k(\nu - \nu_0) = 4.15 \times 10^{-15} \times (8.5 - 4.76) \times 10^{14} = 4.15 \times 3.74 \times 10^{-1} \approx 1.55\text{ V}$$

遏止电压 $U_c \approx 1.55\text{ V}$。

点评： $U_c$-$\nu$图像是光电效应的"标准图像"，是密立根测定普朗克常量的实验基础。核心关系$U_c = (h/e)\nu - W/e$揭示了三个关键量：斜率定$h$、截距定 $W$、横轴截距定 $\nu_0$。不同金属的 $U_c$-$\nu$图像斜率相同（都为$h/e$），但截距不同（逸出功不同），是一组平行直线。详见 01-光电效应。

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LX-03 ★★★：康普顿效应综合（康普顿散射与光子动量）

题目： 康普顿散射实验中，入射 X 射线光子波长 $\lambda_0 = 0.020\text{ nm}$，与静止的自由电子发生弹性碰撞，散射角 $\theta = 90°$。 （1）求散射光子的波长偏移 $\Delta\lambda$与散射光子波长$\lambda$； （2）求反冲电子的动能 $E_k$与动量方向（与入射方向夹角$\phi$）； （3）若散射角改为 $\theta = 180°$（背向散射），重新求 $\Delta\lambda$与$E_k$。 （已知康普顿波长 $\lambda_C = \dfrac{h}{m_e c} = 2.43 \times 10^{-12}\text{ m} = 0.00243\text{ nm}$，$h = 6.63 \times 10^{-34}\text{ J·s}$，$c = 3.0 \times 10^8\text{ m/s}$，$m_e = 9.11 \times 10^{-31}\text{ kg}$，$e = 1.60 \times 10^{-19}\text{ C}$）

分析： 康普顿散射的本质是光子-电子弹性碰撞，遵守能量守恒与动量守恒。康普顿公式 $\Delta\lambda = \lambda_C(1 - \cos\theta)$直接给出波长偏移。反冲电子动能$E_k = E_0 - E'$（入射光子能量减散射光子能量）。动量方向由动量守恒的矢量关系确定。

解答： （1）康普顿波长偏移公式：

$$\Delta\lambda = \lambda_C(1 - \cos\theta) = 0.00243 \times (1 - \cos 90°) = 0.00243 \times (1 - 0) = 0.00243\text{ nm}$$

散射光子波长：

$$\lambda = \lambda_0 + \Delta\lambda = 0.020 + 0.00243 = 0.02243\text{ nm}$$

散射光子波长 $\lambda \approx 0.02243\text{ nm}$，比入射波长长（频率降低，能量减小）。

（2）入射光子能量：

$$E_0 = \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}{0.020 \times 10^{-9}} = \frac{1.989 \times 10^{-25}}{2.0 \times 10^{-11}} = 9.945 \times 10^{-15}\text{ J}$$

散射光子能量：

$$E' = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1.989 \times 10^{-25}}{0.02243 \times 10^{-9}} = 8.87 \times 10^{-15}\text{ J}$$

反冲电子动能：

$$E_k = E_0 - E' = 9.945 \times 10^{-15} - 8.87 \times 10^{-15} = 1.08 \times 10^{-15}\text{ J}$$

转换为 eV：

$$E_k = \frac{1.08 \times 10^{-15}}{1.60 \times 10^{-19}} \approx 6.73 \times 10^3\text{ eV} = 6.73\text{ keV}$$

反冲电子动能 $E_k \approx 6.73\text{ keV}$。

动量方向：入射光子动量 $\vec{p}_0$沿$x$轴正方向，散射光子动量$\vec{p}'$沿$y$ 轴正方向（$\theta = 90°$）。由动量守恒，反冲电子动量 $\vec{p}_e$满足$\vec{p}_0 = \vec{p}' + \vec{p}_e$，故 $\vec{p}_e$在第三象限，与入射方向夹角$\phi$ 满足：

$$\tan\phi = \frac{p'}{p_0 - p_{e,x}} = \frac{p'}{p_0 - p_e \cos\phi}$$

由分量计算：$p_{e,x} = p_0 - p'\cos 90° = p_0$，$p_{e,y} = -p'$（即 $\vec{p}_e$的$y$ 分量与散射光子相反），所以：

$$\tan\phi = \frac{|p_{e,y}|}{p_{e,x}} = \frac{p'}{p_0} = \frac{h/\lambda}{h/\lambda_0} = \frac{\lambda_0}{\lambda} = \frac{0.020}{0.02243} \approx 0.892$$

$$\phi = \arctan 0.892 \approx 41.7°$$

反冲电子动量方向与入射方向夹角 $\phi \approx 41.7°$（位于入射方向同侧、散射光子对侧）。

（3）$\theta = 180°$（背向散射）：

$$\Delta\lambda' = \lambda_C(1 - \cos 180°) = 0.00243 \times (1 - (-1)) = 0.00243 \times 2 = 0.00486\text{ nm}$$

$$\lambda' = 0.020 + 0.00486 = 0.02486\text{ nm}$$

散射光子能量：

$$E'' = \frac{hc}{\lambda'} = \frac{1.989 \times 10^{-25}}{0.02486 \times 10^{-9}} \approx 8.00 \times 10^{-15}\text{ J}$$

反冲电子动能：

$$E_k' = E_0 - E'' = 9.945 \times 10^{-15} - 8.00 \times 10^{-15} = 1.95 \times 10^{-15}\text{ J} \approx 12.2\text{ keV}$$

背向散射时电子动能最大（$\approx 12.2\text{ keV}$），约为 $90°$ 散射时的 1.8 倍。

点评： 康普顿效应确立了光子具有动量 $p = h/\lambda$，是光的粒子性的关键证据。核心公式 $\Delta\lambda = \lambda_C(1 - \cos\theta)$中$\lambda_C = h/(m_e c)$ 称为康普顿波长，是电子的"特征长度"。重要规律：① 散射角越大，波长偏移越大，电子动能越大；② 背向散射（$\theta = 180°$）时偏移最大（$2\lambda_C$）；③ 仅对自由电子（或外层弱束缚电子）成立，内层电子因被原子束缚不参与。与光电效应对比：光电效应光子被吸收，康普顿散射光子被散射。详见 02-康普顿效应与光子动量。

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LX-04 ★★★：波粒二象性与德布罗意波（德布罗意波长估算）

题目： 电子经加速电压 $U$ 加速后水平射出。 （1）求 $U = 100\text{ V}$时电子的动能$E_k$（用 eV 和 J 表示）、动量 $p$与德布罗意波长$\lambda$； （2）将电子的德布罗意波长与可见光波长（约 $500\text{ nm}$）比较，说明电子显微镜的分辨率为何远高于光学显微镜； （3）一颗质量 $m = 10\text{ g}$的子弹以$v = 400\text{ m/s}$ 速度飞行，求其德布罗意波长，说明为何宏观物体不显现波动性； （4）简述波粒二象性的辩证统一关系。 （已知 $m_e = 9.11 \times 10^{-31}\text{ kg}$，$e = 1.60 \times 10^{-19}\text{ C}$，$h = 6.63 \times 10^{-34}\text{ J·s}$）

分析： 德布罗意假说：任何实物粒子都伴随一种物质波，波长 $\lambda = h/p$（$p$为粒子动量）。电子经电场加速后动能$E_k = eU$，由于 $E_k \ll m_e c^2 = 511\text{ keV}$（$100\text{ eV} \ll 511\text{ keV}$），可用经典近似 $p = \sqrt{2m_e E_k}$。代入即得 $\lambda = h/\sqrt{2m_e eU}$，可用简化公式 $\lambda \approx \dfrac{1.226}{\sqrt{U(\text{V})}}\text{ nm}$（$U$ 以伏特为单位）。

解答： （1）电子动能：

$$E_k = eU = 100\text{ eV} = 100 \times 1.60 \times 10^{-19} = 1.60 \times 10^{-17}\text{ J}$$

验证经典近似合理性：$E_k = 100\text{ eV} \ll m_e c^2 = 511\text{ keV}$，可用 $p = \sqrt{2m_e E_k}$。

动量：

$$p = \sqrt{2m_e E_k} = \sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.60 \times 10^{-17}} = \sqrt{2.915 \times 10^{-47}} \approx 5.40 \times 10^{-24}\text{ kg·m/s}$$

德布罗意波长：

$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{5.40 \times 10^{-24}} \approx 1.23 \times 10^{-10}\text{ m} = 0.123\text{ nm}$$

或用简化公式：

$$\lambda \approx \frac{1.226}{\sqrt{U(\text{V})}}\text{ nm} = \frac{1.226}{\sqrt{100}}\text{ nm} = \frac{1.226}{10}\text{ nm} = 0.123\text{ nm}$$

电子的德布罗意波长 $\lambda \approx 0.123\text{ nm}$，与 X 射线波长相当。

（2）与可见光比较：

$$\frac{\lambda_{\text{可见}}}{\lambda_{\text{电子}}} \approx \frac{500\text{ nm}}{0.123\text{ nm}} \approx 4000$$

电子波长约比可见光短 $4$ 个数量级。

显微镜分辨率公式 $\delta \approx \dfrac{0.61\lambda}{\text{NA}}$（NA 为数值孔径），分辨率与波长成正比。电子显微镜用电子束代替光波，波长缩短数千倍，分辨率相应提高数千倍。光学显微镜极限分辨率约 $200\text{ nm}$，透射电子显微镜可达 $0.1\text{ nm}$（原子级）。

（3）子弹的德布罗意波长：

$$\lambda_{\text{弹}} = \frac{h}{mv} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.010 \times 400} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4.0} = 1.66 \times 10^{-34}\text{ m}$$

子弹的德布罗意波长 $\lambda_{\text{弹}} \approx 1.66 \times 10^{-34}\text{ m}$，远小于任何可观测尺度（甚至小于原子核尺度 $\sim 10^{-15}\text{ m}$的$10^{19}$ 倍）。

宏观物体波动性极弱，无法观测，故宏观物体只表现出粒子性。这是为什么日常生活中观察不到物质波的物理原因。

（4）波粒二象性的辩证统一：

• 粒子性体现在能量、动量的量子化传递（光电效应、康普顿散射）；
• 波动性体现在干涉、衍射、偏振现象（双缝干涉、电子衍射）；
• 二者通过德布罗意关系 $E = h\nu$、$p = h/\lambda$ 统一——同一客体在不同实验条件下表现不同性质，不是"非此即彼"而是"亦此亦彼"；
• 玻尔互补原理：波动性与粒子性是互补的，观察某一性质时另一性质被"屏蔽"，但二者缺一不可。

点评： 德布罗意波是量子力学的奠基性假说，揭示了"物质=粒子+波"的统一图景。核心公式 $\lambda = h/p$ 揭示了"宏观粒子波动性弱、微观粒子波动性强"的根本原因——$h$极小，对宏观物体$p$大故$\lambda$ 极小。电子显微镜是德布罗意波的应用典范。重要对比：① 光子静质量为零，$\lambda = c/\nu = h/p$；② 实物粒子 $p = mv$（经典）或 $p = \gamma m v$（相对论），$\lambda = h/p$。详见 03-波粒二象性与德布罗意波 与 04-现代光学应用。

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题号编排规则与难度标识

• 题号编排：每道题的题号采用 版块代号-序号 形式，版块代号与目录一致：

  • JH（Ji He，几何光学基础）—— 光的直线传播与反射、平面镜与球面镜成像、光的折射与折射率、费马原理与光程；
  • QC（Quan Fan She，全反射光学器件）—— 全反射与临界角、棱镜与色散、薄透镜成像规律、透镜成像作图与公式；
  • BD（Bo Dong，波动性）—— 光的干涉、衍射、偏振、颜色与光谱、电磁本性；
  • LX（Li Zi，粒子性）—— 光电效应、康普顿效应与光子动量、波粒二象性与德布罗意波、现代光学应用。

  例如 JH-01 表示几何光学基础第 1 题，BD-03 表示光的波动性第 3 题。

• 难度标识：

  • ★ 基础：单一知识点直接套用公式，适合首次学习后即时巩固；
  • ★★ 中等：综合 2-3 个知识点，含一定图像/模型分析，适合章节复习与单元测试；
  • ★★★ 综合：跨版块综合（如几何光学+波动光学、光电效应+电场运动），含较复杂的物理过程分析，适合高考压轴与冲刺训练。

• 解答规范：每道题包含"题目—分析—解答—点评"四部分，点评中标注涉及的核心知识点 wikilink（如 01-光电效应、01-光的干涉）以便回溯。

• 题目统计：全册共 19 道题，覆盖四大版块——几何光学基础 4 道（JH-01 至 JH-04）、全反射与光学器件 5 道（QC-01 至 QC-05）、光的波动性 6 道（BD-01 至 BD-06）、光的粒子性 4 道（LX-01 至 LX-04）。

作者寄语

光学的精髓在于"几何模型—波动模型—量子模型"三层视角的灵活切换与"光本性"的辩证理解。建议同学们按以下方法使用本例题集：

1. 几何光学作图是核心：几何光学题（折射、全反射、透镜成像）务必养成画光路图的习惯，标明法线、入射角、折射角、临界角，再列方程。许多计算错误源于角度方向搞反或法线画错。JH 系列与 QC 系列的题目尤其强调这一点，光路图是几何光学的"思维脚手架"。
2. 波动光学公式记忆要准确：干涉与衍射问题的核心是"光程差" $\delta$与"相位差"$\Delta\varphi = \dfrac{2\pi}{\lambda}\delta$的对应关系。明纹条件$\delta = k\lambda$、暗纹条件 $\delta = (k+\tfrac{1}{2})\lambda$是万能钥匙，配合条纹间距公式$\Delta x = \dfrac{L\lambda}{d}$ 即可应对绝大多数波动光学题。半波损失判断口诀"光疏到光密反射有半波损失"务必牢记。
3. 光电效应方程要熟练：爱因斯坦光电方程 $h\nu = E_{k,\max} + W$ 是量子光学的"得分手"。$U_c$-$\nu$图像的斜率$h/e$、截距 $-W/e$、横轴截距 $\nu_0 = W/h$ 三个对应关系必须烂熟于心。光电效应是高考高频考点，每年必出。
4. 波粒二象性要辩证看待：光既是波又是粒子，二者不是对立而是互补。光子能量 $E = h\nu$、光子动量 $p = h/\lambda$ 两个公式并列记忆，理解"光子既是能量子又是动量子"的统一图景。德布罗意波将波粒二象性从光推广到所有实物粒子，是量子力学的基石。玻尔互补原理是理解波粒二象性的哲学钥匙。
5. 模型分层：几何光学题以光线追迹为核心；波动光学题以相位与光程差为核心；量子光学题以能量与动量守恒为核心。三层模型对应三种思维，切勿混淆。
6. 符号法则统一：透镜成像公式 $\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{v}=\dfrac{1}{f}$的符号约定因教材而异。本例题集统一采用"实物$u>0$、实像 $v>0$、凸透镜 $f>0$"的新笛卡尔符号约定，请同学们在练习时固定一种约定，避免符号错误。
7. 归纳题型地图：每做完一个版块，归纳该版块的核心模型（如几何光学的"视场范围模型"、波动光学的"双缝干涉模型"、量子光学的"光电效应 $I-U$ 曲线模型"等），形成自己的"题型地图"。
8. 错题复盘：做错的题不要只看答案，要追问"哪一步思路断了？哪个模型选错了？哪个公式记错了？"建立错题本，定期回顾。

光学虽跨度大，但只要掌握了"光线—光波—光子"三层模型及其适用范围，就能以不变应万变。祝同学们在物理学习路上越走越远，光学从"难点"变成"得分点"！更系统的知识框架见 00-光学总览，力学、电学与热学的配套例题集见 99-力学例题集、99-电学例题集 与 99-热学例题集，四册配合构成完整的高中物理例题体系。