交流电与变压器（竞赛）

概览

本笔记是竞赛电学模块的收官之篇，内容上承 08-电磁感应与自感（交流电的产生与变压器原理都是法拉第定律与互感的直接应用）。全篇围绕一条主线：把"周期变化"的交流电翻译成"恒定等效"的直流量。核心是正弦交流电的产生（线圈转动）、四值辨析（瞬时值/峰值/有效值/平均值——其中有效值的热等效定义与非正弦波有效值计算是竞赛高频考点）、交流电路 R/L/C 元件简介、理想变压器（电压比看匝数、电流比看功率、阻抗变换）、远距离输电（损耗 $\dfrac{P^2R}{U^2}$ 的平方反比）以及 LC 振荡与电磁波简介。数学上依赖 01-微积分基础（$\sin^2$ 的周期平均、电量积分），进阶可用 05-复数与欧拉公式 的相量法。本笔记衔接 高中电学总览 的交变电流部分，并为大学 电磁学、电路分析、光学 铺垫。

核心概念

一、正弦交流电的产生——线圈在匀强磁场中匀速转动

交流发电机的基本结构：匝数为 $N$、面积为 $S$的矩形线圈，在磁感应强度为$B$的匀强磁场中绕垂直于磁场方向的中心轴匀速转动（角速度$\omega$），两端经滑环与电刷接入外电路。线圈转动时穿过它的磁通量周期性地变化，由法拉第电磁感应定律产生周期性电动势——这就是交流电（交变电流）的来源。

设 $t=0$ 时线圈平面恰好与磁场垂直（处于中性面），则 $$ \Phi=BS\cos\omega t,\qquad \varepsilon=-N\frac{d\Phi}{dt}=NBS\omega\sin\omega t=E_m\sin\omega t $$ 其中峰值 $E_m=NBS\omega$。若回路总电阻为 $R$（线圈电阻加外电阻），则瞬时电流 $$ i=\frac{\varepsilon}{R}=I_m\sin\omega t,\qquad I_m=\frac{E_m}{R} $$ 一般地，电压与电流的瞬时值可统一写成 $u=U_m\sin(\omega t+\varphi_u)$、$i=I_m\sin(\omega t+\varphi_i)$，初相由计时起点决定。 周期、频率、角频率三者的关系： $$ \boxed{\thinspace\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}\thinspace}\qquad \left(T=\frac{1}{f}\right) $$

中性面与垂直中性面：这是交流电图像中两个最容易混淆的位置，务必对照记忆。

位置	磁通量 $\Phi$	变化率$\dfrac{d\Phi}{dt}$	电动势$e$	意义
中性面（线圈平面 $\perp$磁场）	最大$=BS$	为零	为零	电流方向在此换向，每经过一次中性面电流反向一次
垂直中性面（线圈平面 $\parallel$磁场）	为零	最大	最大$E_m$	感应电动势达峰值、电流最大

$E_m=NBS\omega$ 的影响因素：

• $E_m$与$N$、$B$、$S$、$\omega$四个量都成正比——四者各增大为原来的$2$ 倍时，$E_m$变为原来的$16$ 倍；
• 转轴位置：只要转轴位于线圈平面内且垂直于磁场，$E_m$与转轴具体位置无关（切割法证明见"推导与原理"第一节）；若转轴平行于磁场，则$\Phi\equiv0$，无感应电动势；
• $S$是线圈围成的面积（单匝），多匝时总电动势乘以$N$。

二、描述交流电的"四把尺子"——瞬时值、峰值、有效值、平均值

瞬时值：$e=E_m\sin\omega t$等，每一时刻的值，用于分析任一瞬时的电流电压（如瞬时功率$p=ui$，注意瞬时功率按 $2\omega$ 振荡，见 05-复数与欧拉公式 的复功率部分）。

峰值（最大值）：$E_m$、$U_m$、$I_m$，一个周期内的最大值。用于判断元件的耐压能力——电容、二极管耐压必须大于交流峰值（$\sqrt2$ 倍有效值），否则被击穿。

有效值（RMS，方均根值）：热等效定义——让交流电与直流电分别通过同一电阻 $R$，若在相同时间（一般取一个周期）内产生相同的焦耳热，则称该直流值为此交流电的有效值： $$ \boxed{\thinspace{}I=\sqrt{\dfrac{1}{T}\int_0^T i^2\thinspace{}dt}\thinspace} $$ 对正弦交流 $i=I_m\sin\omega t$： $$ \boxed{\thinspace{}I=\frac{I_m}{\sqrt2},\quad U=\frac{U_m}{\sqrt2},\quad E=\frac{E_m}{\sqrt2}\thinspace} $$ 推导见"推导与原理"第二节。注意：$\dfrac{I_m}{\sqrt2}$ 只对正弦波成立；非正弦波（方波、锯齿波、半波整流）必须回到定义按积分计算——这是竞赛高频题型。

平均值：交流电在时间 $\Delta t$ 内的平均电动势、平均电流： $$ \bar E=n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t},\qquad \bar I=\frac{n\Delta\Phi}{R\thinspace\Delta t} $$ 正弦交流一个周期的平均值为零；半个周期的平均值 $\bar E=\dfrac{2E_m}{\pi}$。平均值用于求电量： $$ q=\bar I\thinspace\Delta t=\frac{n\Delta\Phi}{R} $$ $q$ 只由磁通量的初末值决定，与时间、角速度无关。平均值与能量无关——发热绝不使用平均值。 四值对比表（本笔记重点，必须烂熟）：

名称	定义	正弦交流取值	典型用途
瞬时值 $e,i,u$	任一时刻的值	$E_m\sin\omega t$	图像、瞬时分析
峰值 $E_m,U_m,I_m$	周期内最大值	$E_m=NBS\omega$	判断耐压、击穿
有效值 $E,U,I$	热等效（同电阻、同时间、同焦耳热）	$\dfrac{E_m}{\sqrt2}$	算功率、热量，仪表读数，铭牌
平均值 $\bar E,\bar I$	$\dfrac{n\Delta\Phi}{\Delta t}$	半周期$\dfrac{2E_m}{\pi}$，全周期 $0$	求电量$q$

记忆口诀

算功率用有效值，算电量用平均值，判断耐压用峰值，画图分析用瞬时值。

三、交流电路中的元件——纯 R、L、C（简介级）

元件	电压与电流相位关系	对交流的阻碍	作用
电阻 $R$	同相	$R$	消耗电能（发热）
电感 $L$	电压超前电流$90^\circ$	感抗$X_L=\omega L=2\pi fL$	通直流、阻交流；储能（不消耗）
电容 $C$	电流超前电压$90^\circ$	容抗$X_C=\dfrac{1}{\omega C}$	隔直流、通交流；储能（不消耗）

• 感抗、容抗都与频率有关：频率越高 $X_L$ 越大（"电感阻碍高频"）、$X_C$ 越小（"电容容易通过高频"）。
• 电感与电容不消耗电能：每周期"吞吐"一次能量，平均功率为零；只有电阻发热。
• RLC 串联总阻抗 $$ Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2} $$ 当 $X_L=X_C$，即 $\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$时$Z=R$最小、电流最大，称为串联谐振；功率因数$\cos\varphi=\dfrac{R}{Z}$，平均功率 $P=UI\cos\varphi$。竞赛对 RLC 串联只要求上述概念性认识，深考很少，点到即可；完整的相量分析见 05-复数与欧拉公式。

四、变压器

构造与原理：由绕在同一闭合铁芯上的两个线圈构成——原线圈（初级，匝数 $n_1$）与副线圈（次级，匝数 $n_2$）。原线圈通交流电，铁芯中产生变化的磁通，副线圈因互感产生感应电动势。铁芯的作用是导磁、约束磁通、减小漏磁。

理想变压器的成立条件：

1. 无漏磁——铁芯中磁通全部穿过两个线圈，每匝的磁通变化率相同；
2. 无损耗——线圈电阻为零（无铜损），铁芯无涡流与磁滞损耗（无铁损）。

实际变压器相当接近理想，竞赛题一律默认理想变压器。

电压关系——由"每匝磁通变化率相同"直接得出： $$ \boxed{\thinspace\frac{U_1}{U_2}=\frac{n_1}{n_2}\thinspace}\qquad \text{（瞬时值与有效值均成立）} $$ 电压比只由匝数比决定，与负载无关。$n_2>n_1$ 为升压变压器，$n_2<n_1$ 为降压变压器。变压器不改变频率——频率由电源决定。

电流关系——由功率守恒（理想变压器输入功率等于输出功率）导出： $$ \boxed{\thinspace\frac{I_1}{I_2}=\frac{n_2}{n_1}\thinspace}\qquad \text{（电流与匝数成反比）} $$ 注意：此式仅当只有一个副线圈时严格成立。有多个副线圈（匝数 $n_2,n_3,\cdots$）时，电流反比式不再适用，必须用功率守恒： $$ U_1I_1=U_2I_2+U_3I_3+\cdots $$ （多副线圈时电压关系仍成立：$\dfrac{U_2}{n_2}=\dfrac{U_3}{n_3}=\cdots=\dfrac{U_1}{n_1}$。）

阻抗变换：副线圈所带负载 $Z$ 折算到原线圈一侧，等效阻抗为 $$ \boxed{\thinspace{}Z'=\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2 Z\thinspace} $$ 推导见"推导与原理"第四节。用途：阻抗匹配——使负载从电源获得最大功率（负载等效阻抗等于电源内阻时功率最大），如功放与扬声器的匹配。

互感器（变压器在测量电路中的应用）：

互感器	接法	匝数特点	用途	安全禁忌
电流互感器	原线圈串联接入被测电路	$n_1$ 少、导线粗	大电流降为小电流供电流表读数	副线圈严禁开路（产生极高电压、铁芯剧热）
电压互感器	原线圈并联接入被测电路	$n_1$ 多（数百上千匝）	高电压降为低电压供电压表读数	副线圈严禁短路

五、远距离输电

为什么要高压输电：输电功率 $P$一定时，电流$I=\dfrac{P}{U}$；设输电线总电阻为 $R$，则线路损耗 $$ \boxed{\thinspace{}P_{\text{损}}=I^2R=\left(\frac{P}{U}\right)^2R=\frac{P^2R}{U^2}\thinspace} $$ 电压升高到原来的 $n$倍，损耗降为原来的$\dfrac{1}{n^2}$——这就是高压输电的原理：用电压换电流，把损耗压下去。

关键易错点：损耗只能由 $P_{\text{损}}=I^2R$或$P_{\text{损}}=\dfrac{U_{\text{损}}^2}{R}$计算，其中$U_{\text{损}}=IR$是输电线上消耗的电压降，绝不是输电电压$U$。误用 $\dfrac{U^2}{R}$会放大约$\left(\dfrac{U}{U_{\text{损}}}\right)^2$ 倍。

输电效率： $$ \eta=\frac{P-P_{\text{损}}}{P}=1-\frac{P_{\text{损}}}{P}=1-\frac{PR}{U^2} $$

输电流程：发电机（低压）$\to$升压变压器$\to$高压输电线$\to$降压变压器$\to$用户（如$220\thinspace\text{V}$）。降压变压器输入电压为 $U_2-U_{\text{损}}$，再由匝数比确定用户端电压。

六、电磁振荡与电磁波（简介）

LC 振荡电路：由电容 $C$与电感$L$ 组成的回路。过程：电容放电（电流增大、磁场能增加）$\to$ 放电完毕（电流最大、磁场能最大）$\to$ 电流反向对电容充电（电场能回升）$\to$反向放电$\to$ ……，电场能与磁场能周期性相互转化，电路中产生正弦振荡电流。振荡周期与角频率： $$ \boxed{\thinspace{}T=2\pi\sqrt{LC}\thinspace,\qquad \omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\thinspace} $$ （推导思路见"推导与原理"第六节。与弹簧振子 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ 类比：$L$ 类比质量，$\dfrac{1}{C}$ 类比劲度系数。）

电磁波：振荡电路激发交替变化的电场与磁场，并以波的形式向空间传播，即电磁波（麦克斯韦预言、赫兹实验证实）。电磁波是横波，真空中速度为光速： $$ c=3\times10^8\thinspace\text{m/s},\qquad \lambda f=c $$

电磁波谱（按频率由低到高、波长由长到短）： $$ \text{无线电波}\ \to\ \text{微波}\ \to\ \text{红外}\ \to\ \text{可见光}\ \to\ \text{紫外}\ \to\ \text{X 射线}\ \to\ \gamma\text{射线} $$ 可见光只是电磁波谱中极窄的一段——这正是光的电磁本性，与 光学 直接衔接。

推导与原理

一、线圈转动时感应电动势的推导

磁通量法：设 $t=0$时线圈处于中性面，则$\Phi=BS\cos\omega t$（$S$ 为单匝面积），由法拉第定律（见 08-电磁感应与自感）： $$ \varepsilon=-N\frac{d\Phi}{dt}=-N\frac{d}{dt}\left(BS\cos\omega t\right)=NBS\omega\sin\omega t=E_m\sin\omega t $$ 其中 $\boxed{\thinspace{}E_m=NBS\omega\thinspace}$。若计时起点改在"垂直中性面"处，则 $\Phi=BS\sin\omega t$、$e=NBS\omega\cos\omega t$——只是初相不同，峰值不变。

切割法（证明 $E_m$与转轴位置无关）：设线圈宽为$d$、切割边长为 $l$（面积 $S=ld$），转轴在平面内、距两切割边分别为 $r_1$、$r_2$（$r_1+r_2=d$）。切割边线速度 $v_i=\omega r_i$，其中垂直于磁场的分量为 $v_i\sin\omega t$，每条边的动生电动势 $e_i=NBlv_i\sin\omega t$，两条边串联： $$ e=NBl\omega(r_1+r_2)\sin\omega t=NBS\omega\sin\omega t $$ 结果只含 $d=r_1+r_2$，与 $r_1$、$r_2$各自的取值无关——转轴在平面内任意位置（只要垂直于磁场）都不改变$E_m$。但若转轴平行于磁场，$\Phi\equiv0$，无感应电动势。

二、有效值的推导——从 $\overline{\sin^2\omega t}=\dfrac{1}{2}$ 出发

设正弦电流 $i=I_m\sin\omega t$通过电阻$R$，一个周期 $T$ 内放热 $$ Q=\int_0^T i^2R\thinspace{}dt=I_m^2R\int_0^T\sin^2\omega t\thinspace{}dt $$ 由倍角公式 $\sin^2\omega t=\dfrac{1-\cos 2\omega t}{2}$，而 $\cos 2\omega t$ 在一个整周期内的积分为零（正负各半周期恰好相消）： $$ \int_0^T\sin^2\omega t\thinspace{}dt=\frac{T}{2}\qquad\Longrightarrow\qquad \overline{\sin^2\omega t}=\frac{1}{2} $$ 设有效值为 $I$，则相同电阻、相同时间放热 $Q=I^2RT$，令两者相等： $$ I^2RT=I_m^2R\cdot\frac{T}{2}\qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\thinspace{}I=\frac{I_m}{\sqrt2}\thinspace} $$ 同理 $U=\dfrac{U_m}{\sqrt2}$、$E=\dfrac{E_m}{\sqrt2}$。推导的关键一步是"$\sin^2$在一个周期内的平均值为$\dfrac{1}{2}$"——这正是"方均根"（RMS）的来历：先平方、再平均、最后开方。

三、变压器两个基本关系的推导

电压关系（看磁通）：理想变压器无漏磁，铁芯中磁通 $\Phi$ 以相同的变化率穿过两线圈的每一匝，由法拉第定律： $$ e_1=n_1\frac{d\Phi}{dt},\qquad e_2=n_2\frac{d\Phi}{dt} $$ 两式相除得 $$ \boxed{\thinspace\frac{U_1}{U_2}=\frac{n_1}{n_2}\thinspace} $$ 每匝磁通变化率 $\dfrac{d\Phi}{dt}$相同，故电压与匝数成正比。正弦电源下$\dfrac{d\Phi}{dt}$ 也按正弦变化，峰值之比与有效值之比都等于匝数比。

电流关系（看功率）：理想变压器无损耗，输入功率等于输出功率： $$ U_1I_1=U_2I_2\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{I_1}{I_2}=\frac{U_2}{U_1}=\frac{n_2}{n_1} $$ 即电流与匝数成反比。注意该式由"功率守恒 + 电压关系"导出，只在单个副线圈时严格成立；多个副线圈时： $$ U_1I_1=U_2I_2+U_3I_3+\cdots $$ 各副线圈电流由各自负载决定，不能简单用反比关系。

功率流向：理想变压器输入功率完全由输出（负载）决定——空载时 $I_1\approx0$但$U_1$不变；带负载后$I_1$ 自动增大以匹配输出。$U_1$ 由电源决定、$U_2$ 由匝数比决定，二者都不随负载变化。

四、阻抗变换的推导

副线圈带负载 $Z$，联立 $\dfrac{U_1}{U_2}=\dfrac{n_1}{n_2}$与$\dfrac{I_1}{I_2}=\dfrac{n_2}{n_1}$： $$ \frac{U_1}{I_1}=\frac{\dfrac{n_1}{n_2}\thinspace{}U_2}{\dfrac{n_2}{n_1}\thinspace{}I_2}=\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2\frac{U_2}{I_2}=\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2 Z $$ 故从原线圈看进去，负载等效为 $$ \boxed{\thinspace{}Z'=\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2 Z\thinspace} $$ 物理本质：变压器把副线圈的"低压大电流"翻译成原线圈的"高压小电流"，等效电阻被放大（$n_1>n_2$ 时）或缩小（$n_1<n_2$时）。典型应用：功放内阻$R_0=800\thinspace\Omega$配$8\thinspace\Omega$扬声器，取$\dfrac{n_1}{n_2}=\sqrt{\dfrac{R_0}{Z}}=10$ 即获最大功率。

五、输电损耗公式的推导

给定输电功率 $P$、输电电压 $U$、线路总电阻 $R$： $$ I=\frac{P}{U},\qquad P_{\text{损}}=I^2R=\left(\frac{P}{U}\right)^2R=\frac{P^2R}{U^2} $$ 若把输电电压升为原来的 $n$倍，则电流降为$\dfrac{1}{n}$，损耗降为 $\dfrac{1}{n^2}$——平方反比，而非反比。线路压降 $$ U_{\text{损}}=IR=\frac{PR}{U} $$ 与 $U$成反比；降压变压器输入端电压$U_3=U-U_{\text{损}}$。

$U^2/R$ 陷阱

$P_{\text{损}}=\dfrac{U^2}{R}$中的$U$必须是线路两端的压降$U_{\text{损}}=IR$（此时 $P_{\text{损}}=\dfrac{U_{\text{损}}^2}{R}=I^2R$，成立）。绝不能代入输电电压——否则等于把整个输电电压都当作"消耗在线路上的电压"，结果放大约 $\left(\dfrac{U}{U_{\text{损}}}\right)^2$ 倍。这是输电题第一大坑。

六、LC 振荡周期的推导思路

回路方程：$L\dfrac{di}{dt}+\dfrac{q}{C}=0$，代入 $i=\dfrac{dq}{dt}$ 得 $$ L\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{q}{C}=0 $$ 这是简谐振动方程 $\ddot x+\omega^2x=0$ 的标准形式（见 02-微分方程初步），故 $$ \omega=\frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad T=2\pi\sqrt{LC} $$ 能量视角：$\dfrac{q^2}{2C}+\dfrac{Li^2}{2}=$常数，振荡的"惯性"由$L$提供、"恢复趋势"由$\dfrac{1}{C}$提供——与弹簧振子$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ 完全同构（$L\sim m$，$\dfrac{1}{C}\sim k$）。竞赛记住结论、理解过程即可。

典型实例与物理应用

实例 1：转轴线圈的电动势与四值

设 $N=100$、$B=0.5\thinspace\text{T}$、$S=0.02\thinspace\text{m}^2$、$\omega=100\thinspace\text{rad/s}$，从垂直中性面（$\Phi=0$）开始计时，外接 $R=10\thinspace\Omega$（线圈电阻不计）：

• 磁通量与电动势：$\Phi=0.01\sin100t\thinspace\text{Wb}$，$e=NBS\omega\cos100t=100\cos100t\thinspace\text{V}$，峰值 $E_m=100\thinspace\text{V}$；
• 有效值：$E=\dfrac{E_m}{\sqrt2}\approx70.7\thinspace\text{V}$，$I=\dfrac{E}{R}\approx7.07\thinspace\text{A}$；
• 频率与周期：$f=\dfrac{\omega}{2\pi}\approx15.9\thinspace\text{Hz}$，$T=\dfrac{2\pi}{\omega}\approx0.0628\thinspace\text{s}$；
• 平均值：半周期 $\bar E=\dfrac{2E_m}{\pi}\approx63.7\thinspace\text{V}$，全周期平均为零。

图像特征：$e$-$t$ 图为余弦曲线，$i$-$t$ 与之同形；每经过一次中性面（$e=0$ 处）电流反向。

实例 2：非正弦波的有效值（竞赛高频）

有效值定义对任意周期性波形成立，只需计算 $I=\sqrt{\dfrac{1}{T}\int_0^T i^2\thinspace{}dt}$。常见波形速查：

波形	峰值	有效值
正弦 $I_m\sin\omega t$	$I_m$	$\dfrac{I_m}{\sqrt2}$
对称方波（$\pm I_m$各半周期）	$I_m$	$I_m$
半波整流（前半正弦、后半为零）	$I_m$	$\dfrac{I_m}{2}$
锯齿波（线性上升 $0\to I_m$、瞬间回落）	$I_m$	$\dfrac{I_m}{\sqrt3}$
直流 $I_0$	$I_0$	$I_0$

方波计算示范：$0<t<\dfrac{T}{2}$内$i=+I_m$，$\dfrac{T}{2}<t<T$内$i=-I_m$： $$ I=\sqrt{\frac{1}{T}\left(I_m^2\cdot\frac{T}{2}+I_m^2\cdot\frac{T}{2}\right)}=I_m $$ 平方运算使正负号消失——只要 $|i|$ 的波形相同，有效值就相同。

实例 3：阻抗匹配——扬声器的变压器

音频功放内阻 $R_0=800\thinspace\Omega$，接 $8\thinspace\Omega$ 扬声器。直接连接时扬声器功率 $$ P=\left(\frac{E}{R_0+Z}\right)^2 Z=\left(\frac{E}{808}\right)^2\times 8 $$ 经匝数比 $\dfrac{n_1}{n_2}=\sqrt{\dfrac{800}{8}}=10$的变压器后，折算阻抗$Z'=10^2\times8=800\thinspace\Omega=R_0$，扬声器获得最大功率 $$ P_{\max}=\frac{E^2}{4R_0} $$ 负载等效阻抗等于电源内阻时输出功率最大——变压器就是实现最大功率匹配的器件。

实例 4：LC 振荡电路与电磁波（数量级感受）

收音机调谐回路 $L=200\thinspace\mu\text{H}$、$C=200\thinspace\text{pF}$： $$ f=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\frac{1}{2\pi\sqrt{2\times10^{-4}\times2\times10^{-10}}}\approx7.96\times10^5\thinspace\text{Hz}\approx796\thinspace\text{kHz} $$ 对应波长 $\lambda=\dfrac{c}{f}=\dfrac{3\times10^8}{7.96\times10^5}\approx377\thinspace\text{m}$。这正是中波广播的典型频段——改变 $C$ 即可"选台"（谐振原理见 05-复数与欧拉公式）。

例题

例 1：四值计算——转轴线圈

题目：匝数 $N=50$的矩形线圈，面积$S=0.04\thinspace\text{m}^2$，在 $B=0.5\thinspace\text{T}$的匀强磁场中绕垂直于磁场的中心轴以$\omega=50\pi\thinspace\text{rad/s}$匀速转动，从中性面开始计时。（1）写出$\Phi(t)$与$e(t)$；（2）外接 $R=20\thinspace\Omega$（线圈电阻不计），求电流有效值与一个周期内电阻产生的焦耳热；（3）求从 $t=0$到$t=\dfrac{T}{4}$通过电阻的电量；（4）若转轴改为平行于磁场方向，求$E_m$。

分析：中性面计时则 $\Phi=BS\cos\omega t$，$e=NBS\omega\sin\omega t$；焦耳热必须用有效值；电量用 $q=\dfrac{N\Delta\Phi}{R}$（只由磁通初末差决定）；转轴方向决定磁通是否变化。

解答： （1）$BS=0.5\times0.04=0.02\thinspace\text{Wb}$： $$ \Phi=0.02\cos(50\pi t)\thinspace\text{Wb},\qquad E_m=NBS\omega=50\times0.02\times50\pi=50\pi\thinspace\text{V} $$ $$ e=50\pi\sin(50\pi t)\thinspace\text{V} $$ （2）$E=\dfrac{E_m}{\sqrt2}=\dfrac{50\pi}{\sqrt2}\approx111\thinspace\text{V}$，$I=\dfrac{E}{R}\approx5.55\thinspace\text{A}$；周期 $T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{50\pi}=0.04\thinspace\text{s}$： $$ Q=I^2RT\approx5.55^2\times20\times0.04\approx24.7\thinspace\text{J} $$ （校验：$Q=\dfrac{E_m^2}{2R}\thinspace{}T=\dfrac{(50\pi)^2}{2\times20}\times0.04\approx24.7\thinspace\text{J}$，一致。）

（3）$t=0$时$\Phi_1=BS$，$t=\dfrac{T}{4}$ 时线圈转到垂直中性面，$\Phi_2=0$，$\Delta\Phi=0.02\thinspace\text{Wb}$： $$ q=\bar I\thinspace\Delta t=\frac{N\Delta\Phi}{R}=\frac{50\times0.02}{20}=0.05\thinspace\text{C} $$ （4）转轴平行于磁场时 $\Phi\equiv0$，无磁通变化，$E_m=0$。

点评：本题覆盖四值用法——功率与热量必用有效值；电量必用磁通量初末差（$q=\dfrac{N\Delta\Phi}{R}$，与 $\omega$ 无关，转速再快、磁通变化相同则电量相同）；峰值用于电动势大小；转轴方向决定是否有磁通变化。

例 2：非正弦波的有效值——方波

题目：某电流波形：$0<t<\dfrac{T}{2}$内$i=4\thinspace\text{A}$，$\dfrac{T}{2}<t<T$内$i=-2\thinspace\text{A}$。（1）求有效值；（2）若该电流通过 $R=10\thinspace\Omega$ 电阻一个周期，求焦耳热；（3）若改为对称方波（$\pm4\thinspace\text{A}$ 各半周期），有效值变为多少？

分析：非正弦波必须回到定义 $I=\sqrt{\dfrac{1}{T}\int_0^T i^2\thinspace{}dt}$ 分段计算（平方消除方向符号）。

解答： （1） $$ I=\sqrt{\frac{4^2\cdot\dfrac{T}{2}+2^2\cdot\dfrac{T}{2}}{T}}=\sqrt{10}\approx3.16\thinspace\text{A} $$ （2）$Q=I^2RT=10\times10T=100T\thinspace\text{J}$。（直接算：$16\times\dfrac{T}{2}\times10+4\times\dfrac{T}{2}\times10=100T\thinspace\text{J}$，与有效值结果一致。）

（3）对称方波 $\pm4\thinspace\text{A}$： $$ I=\sqrt{\frac{16\cdot\dfrac{T}{2}+16\cdot\dfrac{T}{2}}{T}}=4\thinspace\text{A}=I_m $$ 对称方波的有效值等于峰值 $I_m$。若误套正弦的 $\dfrac{I_m}{\sqrt2}$，会错得 $2.83\thinspace\text{A}$。

点评：非正弦波求有效值的标准套路是分段求 $i^2$ 的时间平均再开方。有效值与电流方向无关——$|i|$ 波形相同则有效值相同。

例 3：远距离输电——升压、线路、降压全程

题目：水电站输出功率 $P=100\thinspace\text{kW}$，输出电压 $U_1=250\thinspace\text{V}$，输电线总电阻 $R=10\thinspace\Omega$，用户需 $220\thinspace\text{V}$。（1）若直接用 $250\thinspace\text{V}$输电，求线路损耗功率与效率；（2）经升压变压器升至$U_2=10\thinspace\text{kV}$ 再输电，求线路损耗、效率与降压变压器输入端电压；（3）求降压变压器匝数比。

分析：损耗一律用 $I^2R$，其中 $I=\dfrac{P}{U}$；线路压降 $U_{\text{损}}=IR$；降压变压器输入端电压 $=U_2-U_{\text{损}}$，再由匝数比得用户电压。

解答： （1）$I=\dfrac{P}{U_1}=\dfrac{10^5}{250}=400\thinspace\text{A}$： $$ P_{\text{损}}=I^2R=400^2\times10=1.6\times10^6\thinspace\text{W}=1600\thinspace\text{kW}>P $$ 损耗超过输出功率，低压输电根本不可行。（线路压降 $U_{\text{损}}=IR=4000\thinspace\text{V}$也远超$250\thinspace\text{V}$。）

（2）$I=\dfrac{P}{U_2}=\dfrac{10^5}{10^4}=10\thinspace\text{A}$： $$ P_{\text{损}}=I^2R=10^2\times10=1000\thinspace\text{W}=1\thinspace\text{kW} $$ $$ \eta=\frac{P-P_{\text{损}}}{P}=\frac{100-1}{100}=99\% $$ 线路压降 $U_{\text{损}}=IR=100\thinspace\text{V}$，降压变压器输入端电压 $$ U_3=U_2-U_{\text{损}}=10000-100=9900\thinspace\text{V} $$ （3）由 $\dfrac{U_3}{U_4}=\dfrac{n_3}{n_4}$： $$ \frac{n_3}{n_4}=\frac{9900}{220}=45 $$ （若忽略线路压降会得 $\dfrac{10000}{220}\approx45.5$——本题必须用 $9900\thinspace\text{V}$。）

点评：本题是输电题的标准模板：先求电流、再算损耗、最后定匝数比。升压 $40$倍后损耗降为$\dfrac{1}{40^2}=\dfrac{1}{1600}$（$1600\thinspace\text{kW}\to1\thinspace\text{kW}$），直观感受"损耗与电压的平方反比"。注意降压变压器输入电压是"升压电压减线损"，不是升压电压本身。

易错提醒

易错点

1. 四值混用：算功率、焦耳热、仪表读数用有效值；求电量 $q=\dfrac{N\Delta\Phi}{R}$用磁通量初末差（平均值）；判断电容、二极管耐压用峰值。三者不可互换。
2. 正弦公式误套非正弦波：$I=\dfrac{I_m}{\sqrt2}$只对正弦交流成立；方波、锯齿波、半波整流必须回到定义$I=\sqrt{\dfrac{1}{T}\int_0^T i^2\thinspace{}dt}$。
3. 有效值不是算术平均：正弦交流一个周期内 $i$的平均值为零，但有效值为$\dfrac{I_m}{\sqrt2}$；半周期平均 $\bar I=\dfrac{2I_m}{\pi}$ 也不是有效值。
4. 平均值与能量的关系：平均值只用于求电量，绝不用于能量；发热只用 $I^2R$（有效值）。
5. 变压器电流反比式的适用范围：$\dfrac{I_1}{I_2}=\dfrac{n_2}{n_1}$仅当只有一个副线圈时成立；多副线圈必须用功率守恒$U_1I_1=U_2I_2+U_3I_3+\cdots$。
6. 变压器不改变频率与功率（理想）：频率由电源决定；输入功率由输出功率（负载）决定，不由匝数比决定。
7. 输电损耗误用 $U^2/R$：$P_{\text{损}}=I^2R=\dfrac{P^2R}{U^2}$中$U$ 是输电电压；$P_{\text{损}}=\dfrac{U_{\text{损}}^2}{R}$中的$U_{\text{损}}=IR$ 是线路压降。两者不能混用。
8. 升压 $n$倍，损耗降为$\dfrac{1}{n^2}$，不是 $\dfrac{1}{n}$；线路压降降为 $\dfrac{1}{n}$。
9. 中性面与垂直中性面颠倒：中性面处 $\Phi$ 最大、$\dfrac{d\Phi}{dt}=0$、$e=0$、电流换向；垂直中性面处 $\Phi=0$、$e=E_m$ 最大。
10. 互感器使用禁忌：电流互感器副线圈不能开路（感应高压、铁芯过热）；电压互感器副线圈不能短路。
11. 转轴方向：转轴在平面内且垂直于磁场时 $E_m=NBS\omega$，与位置无关；转轴平行于磁场时无感应电动势。

概念辨析

有效值 vs 平均值

比较项	有效值	平均值
定义	热等效（同电阻、同时间、同焦耳热）	一段时间内电流（电动势）的算术平均
计算	$\sqrt{\dfrac{1}{T}\int_0^T i^2\thinspace{}dt}$	$\dfrac{n\Delta\Phi}{\Delta t}$
正弦交流	$\dfrac{I_m}{\sqrt2}$	全周期$0$；半周期 $\dfrac{2I_m}{\pi}$
用途	功率、热量、仪表读数	电量 $q$

电流互感器 vs 电压互感器

比较项	电流互感器	电压互感器
连接方式	原线圈串联（通过全部被测电流）	原线圈并联（承受全部被测电压）
原线圈特点	匝数少、导线粗	匝数很多
副线圈所接仪表	电流表（低阻）	电压表（高阻）
禁忌	副线圈严禁开路	副线圈严禁短路

与其他知识关联

• 前置衔接：08-电磁感应与自感——交流电的产生（法拉第定律、楞次定律）与变压器原理（互感）都建立在其基础上；01-微积分基础——$\sin^2\omega t$ 的周期平均求有效值、$q=\int i\thinspace{}dt$ 求电量；05-复数与欧拉公式——交流电的相量表示与复阻抗、复功率（RLC 深考与谐振分析的进阶工具）。
• 同模块：05-稳恒电流与电路分析——纯电阻交流电路是其直接延伸（$i$、$u$ 同相，$P=I^2R$ 的用法完全一致）。
• 高中衔接：高中电学总览——本笔记是高中"交变电流、变压器"部分的竞赛版深化。
• 大学衔接：电磁学（交变电路与麦克斯韦方程组）、电动力学（电磁波的完整描述）、电路分析（相量法与复功率的系统化）、光学（电磁波谱与光的电磁本性）。
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作者的话

个人理解

交流电这一章，竞赛考的不是"会不会背公式"，而是懂不懂定义。整章的灵魂只有一句话：有效值是热等效。只要回到 $I=\sqrt{\dfrac{1}{T}\int_0^T i^2\thinspace{}dt}$这个定义，任何奇怪波形（方波、锯齿波、半波整流）的有效值都能从定义里"长"出来；而把$\dfrac{I_m}{\sqrt2}$ 套遍天下的人，恰恰是丢分最多的人。

变压器也值得细品：它不产生能量，只是"电压—电流"的翻译官，汇率就是匝数比——电压按匝数比放大，电流按匝数比缩小，功率恒定。远距离输电则是整章的收尾应用：$P_{\text{损}}=\dfrac{P^2R}{U^2}$ 里的平方反比决定了电网必须高压——这个公式说到底只有一句话：功率一定时，用电压换电流。

学习建议：背熟四值对比表后，去刷两三道"线圈转动 + 图像"和"输电全程"的综合题；每道题都自问三个问题——算功率用哪个值？求电量用什么？线路压降是多少？三问对答如流，本章就过关了。

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