相对论 (2) —— 守恒定律 - 知乎 宇宙哲学从金文，看看古人眼中的宇宙。

金文-宇宙宇：屋邊也。宙：舟輿所極覆也。

宇宙，从屋檐船篷，延申到了浩瀚星海。

宇宙蕴含了深厚的哲学，冥冥中主宰着每一个人的命运。

当人们停下匆忙的脚步，张开惺忪的睡眼，偶尔望向头顶的天空，也会疑问道：何为存在？存在为何？

人类的命运是多么奇特啊！每个人在此只作短暂停留，目的何在，却无从知晓，尽管以为若有所感。

序纷繁宇宙千变幻，璀璨星辰斗转移。

天长地久终有尽，此道绵绵无绝期。

印象·日出有位美术老师的QQ名字让人印象深刻，就叫印象·日出。前言我们还得先从那个 卐 字说起。

阿道夫·希特勒念书的时候，看过一本《从乞丐到元首》的传记，大概了解了阿道夫·希特勒那悲壮的一生。1939年9月1日，希特勒出动了大量军事力量，包括58个师、2800辆坦克、2000架飞机和6000门大炮，向波兰发起闪电式进攻，为第二次世界大战拉开了序幕。

二战期间，希特勒还对犹太人发动了种族灭绝计划，600万犹太人因此丧生。

爱因斯坦、冯·诺伊曼、哈恩和赖纳等一众杰出犹太科学家被迫逃离故土。

然而尴尬的是，希特勒也有至少四分之一的犹太血统，戈培尔在贯彻希特勒的种族优等论时，也只能睁只眼闭只眼。很多人好奇希特勒为何如此怨恨犹太人，其实当时几乎整个欧洲都在排挤犹太人，认为他们无情无义，唯利是图。

在希特勒还是个岌岌无名的奥地利流浪汉时，据他说，他是切切实实的见识到了犹太人的傲慢与偏见。

在奥地利的岁月，希特勒与库比席克怀揣着同样的梦想，但一战将他卷入的战争，战争让他变得痴狂。

直到1945年，疯狂过后，终于船长与船一起沉没了。

我们的命运总以人性为羁绊，哪怕路途布满荆棘，也总会缓缓向前。

这也是在吉尔伽美什后，人类的造物主们(若西琴的见解无误)最终还是选择将掌控权交予人类的原因吧。而就在这段腥风血雨的岁月里，爱因斯坦逐步创立了著名的广义相对论理论。

这就是那段在腥风血雨中的科学奇迹年代。

守恒定律对于守恒定律，相信对很多人来说都不陌生，例如能量守恒、动量守恒和角动量守恒等。

它不但为计算带来了简化，更重要的，这也加深了人们对物理规律的理解。

然而，这些守恒定律并不是与生俱来的，它们皆可通过某些对称性得到。

那么接下来，让我们从变分法的角度去推敲推敲这些守恒定律。

动能让我们猜测一下惯性系中自由粒子的拉格朗日量。

由于时空都是均匀的，因此$L中必然不显含坐标与时间，那么$L只能与速度$v$有关了。

由于空间的各向同性，意味着$L只与速度的平方$ $v^2$有关，即

$L=L(v^2)$

考虑两个惯性系$C与$C^*，其中$C^*相对$C存在一个微小的速度差$\epsilon$。

那么自由粒子在惯性系$C^*$中的拉格朗日量为

$L^*(v)=L[(v+\epsilon)^2]=L(v^2+2v\epsilon+\epsilon^2)$将其按$\epsilon$展开为麦克劳林级数

$\begin{aligned} L(v^2+2v\epsilon+\epsilon^2)=&\ L(v^2)+\left.\frac{\partial L(v^2+2v\epsilon+\epsilon^2)}{\partial\epsilon}\right|_{\epsilon=0}\epsilon+ o(\epsilon^2)\newline\newline=&\ L(v^2)+ \left.\frac{\partial L(v^2+2v\epsilon+\epsilon^2)}{\partial(v^2+2v\epsilon+\epsilon^2)} \frac{\partial(v^2+2v\epsilon+\epsilon^2)}{\partial\epsilon}\right|_{\epsilon=0} \epsilon+ o(\epsilon^2)\newline\newline=&\ L(v^2)+ 2\frac{\partial L(v^2)}{\partial v^2}v\epsilon+o(\epsilon^2) \end{aligned}$因此当$\epsilon\to0$时

$L^*(v)\sim L(v^2)+ 2\frac{\partial L(v^2)}{\partial v^2}v\epsilon$伽利略相对性原理告诉我们，力学方程在伽利略变换下保持不变，这意味着

$L^*(v^2)=L(v^2)+\frac{d H}{dt}$

拉格朗日量相差某个关于坐标和时间的函数对时间的全微分时，运动方程不会改变。$\frac{dH}{dt}=\frac{dH(x;t)}{dt}=H_t+H_xv$对比$\epsilon$的一次项系数

$2\frac{\partial L(v^2)}{\partial v^2}v= H_t+H_xv$由此可知$H_t=0，又因为$H_x不显含速度，故$\frac{\partial L(v^2)}{\partial v^2}不依赖于速度，即$L与$v^2$成正比

$\color{orange}L=\frac12\color{blue}m\color{red}{v^2}$

其中$m$为常数，我们将其称之为质量。拉格朗日量应该是普适的，若将有关运动的项视为一种能量，将其称为动能便再合适不过了

$\boxed{\color{red}{T=\frac12mv^2}}$

势能为了能在封闭质点系中描述质点之间的相互作用，我们为拉格朗日量添加一个只与坐标相关的项

$L=T(v^2)-\color{orange}{V(x)}$

其中的负号有待斟酌。 其对应的运动方程为

$\frac{\partial L}{\partial x}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v}= -\frac{\partial V}{\partial x}-m\frac{d v}{dt}= 0$也就是

$-\frac{\partial V}{\partial x}=m\frac{d v}{dt}$我们将$a=\frac{d v}{dt}$定义为质点的加速度，则

$-\frac{\partial V}{\partial x}=ma$由于上式左侧是质点速度变化程度的量度，因此将其定义为力

$\color{orange}F=\color{blue}m\color{red}a$这便是牛顿第二定律。

$\boxed{\color{red}{ V=-\int Fdx }}$ $V(x)$表征质点在某坐标所积蓄的能量，故我们称之为势能。

能量守恒 - 时间对称性时间的对称性，亦即物理定律不会因为时间的不同而发生改变。

或者说封闭系统的拉格朗日量不显含时间$\displaystyle{\color{green}{\frac{\partial L}{\partial t}=0}}考虑$L对时间的全导数

$\frac{dL}{dt}= \frac{\partial L}{\partial x}\dot x+ \frac{\partial L}{\partial \dot x}\ddot x$

通过运动方程 (欧拉方程) 可知$\frac{\partial L}{\partial x}= \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot x}$，将其代入上式

$\frac{dL}{dt}= \frac{\partial L}{\partial\dot x}\ddot x+ \dot x\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot x}= \frac{d}{dx}\Big(\dot x\frac{\partial L}{\partial\dot x}\Big)$移项可得

$\frac{d}{dx}\Big(L-\dot x\frac{\partial L}{\partial\dot x}\Big)=0$这意味着

$\color{orange}L-\color{red}{\dot x}\frac{\partial \color{orange}L}{\partial\color{red}{\dot x}}=\color{darkblue}E$由于$L是关于$v的二次齐次函数，则根据欧拉齐次定理可知

$\dot x\frac{\partial L}{\partial\dot x}= \dot x\frac{\partial T}{\partial\dot x}= 2T$就此便能得到

$\boxed{\color{red}{E=T+V}}$

常数$E$为动能与势能的和，所以我们称之为能量。我们将上式称为能量守恒定律。

若我们的拉格朗日量定义为$L=T+V，那么能量便只能定义为$ $E=T-V$了。

当然确实可以这么去定义，不过我们更习惯将动能与势能之和定义为能量。动能守恒 - 空间对称性空间的均匀性告诉我们，质点在空间中整体平移时，其力学性质保持不变。

这暗示着$L$不显含坐标，观察运动方程

$\color{green}{\frac{\partial L}{\partial x}}- \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x}=0$由于$\color{green}{\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial x}=0}}，故$ $\displaystyle{\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x}=0}$，或者

$\frac{\partial L}{\partial \dot x}=P$因为$\displaystyle{L=\frac12m\dot x^2-V(x)}$，因此

$\boxed{\color{red}{ P=\frac{\partial L}{\partial \dot x}=m\dot x }}$我们将$P$称之为动量，相应的规律我们称之为动量守恒定律。

现在考察封闭系统中的多个质点的行为，通过$\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial x_i}=0}$可得

$\sum_nF_n=-\sum_n\frac{\partial V_n}{\partial x_n}=0$

这说明在封闭系统中，所有质点的受力之和等于零。 特别地，当封闭系统中只存在两个质点，则

$F_1=-F_2$这表明两个质点的相互作用力大小相同、方向相反，这便是牛顿第三定律想对我们说的。

角动量守恒 - 空间各向同性空间各向同性，意味着封闭系统在空间中整体转动时，力学性质保持不变。

考虑极径x的微小转动，极径微元$\delta x垂直于x，而相应的极角微元$ $\delta\theta$分别垂直于$x$与$\delta x$。

并且它们存在以下关系

$\delta x=\delta\theta\times x=|\delta\theta|\ | x|\left<\delta\theta, x\right>$在转动过程中，质点速度的变化规律也应该相同，故

$\delta v=\delta\theta\times v$当拉格朗日量的达到极值时

$\delta L= \frac{\partial L}{\partial x}\cdot\delta x- \frac{\partial L}{\partial v}\cdot\delta v=0$

代入$\delta x与$ $\delta v$，并注意到$\frac{\partial L}{\partial v}= p,\ \frac{\partial L}{\partial x}=F=\dot { p}$，则有

$\dot{ p}\cdot(\delta\theta\times x)- p\cdot(\delta\theta\times v)=0$

根据$a\cdot( b\times c)= b\cdot( c\times a)$可得

$\delta\theta\cdot ( x\times\dot{ p}- v\times p)= \delta\theta\cdot \frac{d}{dt}( x\times\dot{ p})= 0$由$\delta\theta$的任意性可知

$\frac{d}{dt}( x\times p)=0$或者

$\boxed{\color{red}{ M= x\times p }}$

我们称$M$为角动量。空间各向同性让我们得到了角动量守恒定律。

惯性定律在惯性参考系中，由空间对称性与时间对称性可知

$\frac{\partial L}{\partial x}= \frac{\partial L}{\partial t}=0$

$L只显含速度$\dot x根据运动方程

$\frac{\partial L}{\partial x}- \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot x}= L_x-L_{t\dot x}-L_{x\dot x}\dot x-L_{\dot x\dot x}\ddot x= 0$由此可知

$L_{\dot x\dot x}\ddot x=0$

因为$L只显含速度$ $\dot x$，又由空间的各向同性可知$L是$ $\dot x$二次函数，故$L_{\dot x\dot x}\ne0$。

因此$\ddot x=0$，或者

$\boxed{\color{red}{\dot x=C}}$

其实由前一篇文章可知，若拉格朗日量只显含坐标对时间的导数，则极值曲线必定为直线。即自由粒子的速度为常量。

正如是牛顿第一定律所阐述的那样：在惯性参考系中，自由粒子保持静止或匀速直线运动。

我们将此称为惯性定律。

诺特定理经过上面的分析，我们不禁会想：『若能把这些对称性与守恒量统一到一起，那该多好』，艾米·诺特 也是这么想的。

1915年，德国女数学家 艾米·诺特 发现，守恒定律并不是最基础的物理定律。它们很可能来自一些更基础的东西 —— 对称性。

同年，艾米·诺特提出了诺特定理：若作用量有一个连续的对称性，则必有一个与之对应的守恒量。

$\partial_\mu J^\mu = \partial_\mu \left( \frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu \phi)} \thinspace \delta\phi \right) = 0$其中$L=L(\partial_\mu\phi,\phi)为拉格朗日密度，$ $J^\mu$称为守恒流。

简单起见，本文只考虑以一维流形上的作用量

$S=\int L(\dot q,q;t)dt$现考察广义坐标$q$的无穷小位移

$q'=q+\epsilon\delta q$

其中$\epsilon为无穷小量，$ $\delta q$为坐标的变分。此时拉格朗日量变为

$L'(\dot q',q';t)=L(\dot q+\epsilon\delta\dot q,q+\epsilon\delta q;t)$

我们感兴趣的是，在什么变换下能让运动方程保持不变呢。

显然，若拉格朗日量相差某个关于时间的全导数时，运动方程不会改变

$L'=L+\frac{dF}{dt}$

由于广义坐标的偏移为无穷小，故拉格朗日量的偏移最多不过是$\epsilon$的倍数

$\frac{df}{dt}=\epsilon J$

将$L'(\dot q',q';t)展开为$ $\epsilon$的麦克劳林级数

$L'(\dot q',q';t)= \sum_{n=0}^\infty\frac{\epsilon^n}{n!}\frac{\partial L'}{\partial\epsilon}= L+ \Big( \frac{\partial L}{\partial q}\delta q+ \frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta\dot q \Big)\epsilon+ o(\epsilon^2)$忽略掉高阶无穷小量，则新拉格朗日量可表示为

$L'(\dot q',q';t)=L+ \Big( \frac{\partial L}{\partial q}\delta q+ \frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta\dot q \Big)\epsilon= L+\frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\delta q\Big)\epsilon$

最后一个等式运用了欧拉方程$\frac{\partial L}{\partial q}=\frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\Big)$。显然，右侧第二项即为平移后拉格朗日量的增量，因此

$\frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\delta q-f\Big)=0$这意味着

$\frac{\partial\color{orange}L}{\partial\color{blue}{\dot q}}\delta \color{blue}q-\color{darkblue}f\equiv \color{darkblue}J$为常数，而该常数便是运动方程的守恒量。

时空平移变换现考虑闵可夫斯基时空的守恒量，同理可得

$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial \dot x^\mu}\thinspace\delta x^\mu - f \equiv J$由于$\frac{\partial L}{\partial\dot x^\mu}即为广义动量$ $p_\mu$，故上式也可写为

$p_\mu\delta x^\mu-f\equiv J$因此每一组$\delta x^\mu都对应着一个守恒量$J。

广义动量可表示为

$p_\mu= \frac{\partial L}{\partial\dot x^\mu}= \Big(-\frac{E}{c},p_i\Big)^T$

若某个坐标$x^a为可遗坐标 ($L不显含$x^a$) ，则在

$x^a\to x^a+\epsilon\ \delta x^a$

变换下$L不变 ($f=0)。

狭义相对论中自由粒子的作用量 (球坐标形式) 为

$S= \frac m2\int \Big(-c^2\color{purple}{\dot t^2}+ \color{orange}{\dot r^2}+ \color{orange}{r^2}\color{red}{\dot \theta^2}+ \color{orange}{r^2}\sin^2\color{red}\theta\ \color{blue}{\dot\phi^2}\Big)d\color{darkblue}\tau$

(1) 若可遗坐标为时间$x^0=t$，则 (相对论) 能量守恒

$E=mc^2\dot t=\gamma mc^2$将洛伦兹因子$\gamma按$ $\frac vc$展开为幂级数并保留一阶项得

$\gamma=\frac1{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\sim 1+\frac{v^2}{2c^2},\ \mathrm{for}\ \frac vc\to0$

因此当$v\ll c$时，相对论能量可表示为

$E=mc^2+\frac12mv^2$

我们将$E_0=mc^2$定义为自由粒子的静能。 而牛顿经典能量可近似为低速自由粒子的能量与其静能之差，因此经典动能为

$E_{class}=E-E_0=\frac12mv^2$

若要完全使用诺特定理得到能量守恒定律，则需对空间作用量进行非等时变分（因为边界时间不再是固定的），这便要涉及到哈密顿生成元了。相对论动能(2) 若可遗坐标为极径$x^1=r$，则动量守恒

$p_r = m\dot r $ 若可遗坐标为极角 $x^2=\theta$，则（极）角动量守恒 $p_\theta = m r^2 \dot\theta $ 若可遗坐标为方位角 $x^3=\phi$，则（方位）角动量守恒 $p_\phi = m r^2 \sin^2\theta \thinspace \dot\phi$

至此，我们已通过(一维流形)诺特定理，得到了刚才的所有结论。

对称性守恒定律守恒量时间平移能量守恒能量空间平移动量守恒动量空间旋转角动量守恒角动量诺特定理的推导回顾四维时空场中的作用量

$S=\int Ldt=\int L(\partial_\mu\phi,\phi)\ dx^4$对应的欧拉方程为

$\frac{\partial L}{\partial\phi}- \partial_\mu\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi)}=0$考虑场的无穷小变化$\delta L$，若该变换不改变拉格朗日密度，即

$\delta L=\frac{\partial L}{\partial\phi}\ \delta\phi+ \frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\ \delta(\partial_\mu\phi)=0$将欧拉方程$\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial\phi}= \partial_\mu\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi)}}$代入上式可得

$\partial_\mu\Big(\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\ \delta\phi\Big)=0$这意味着被求导的量为常量，进而可定义该常量为守恒流

$J^\mu \equiv \frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu \phi)}\thinspace\delta\phi,\qquad \partial_\mu J^\mu = 0$