力学综合例题集

本例题集汇总高中物理力学三大版块的典型与综合题，作为 00-力学总览 的配套练习资源。题目按版块组织，题号、难度标识与解答规范见末尾说明。全册共 24 道题，覆盖运动学 8 道、牛顿运动定律 10 道、综合应用与拓展 6 道。

一、运动学

YD-01 ★：匀变速直线运动基础（汽车刹车）

题目： 一辆汽车在水平公路上以 $v_0 = 20\thinspace\text{m/s}$的速度匀速行驶，司机发现前方障碍物后立即刹车，汽车做匀减速直线运动，加速度大小$a = 5\thinspace\text{m/s}^2$。求： （1）汽车从开始刹车到停下所用的时间 $t$； （2）汽车从开始刹车到停下通过的距离 $x$； （3）汽车在刹车后第 3 s 末的速度大小 $v_3$。

分析： 汽车刹车做匀减速直线运动，末速度 $v = 0$。本题关键是判断刹车总时间，避免"运动到时间末速度变为负值"这类错误。先求出刹车总时间 $t_0 = v_0/a$，若所问时刻 $t \le t_0$则正常代入公式；若$t > t_0$ 则物体已停止，速度为零、位移等于总位移。涉及公式：$v = v_0 - at$、$v^2 - v_0^2 = -2ax$、$x = v_0 t - \tfrac{1}{2} a t^2$。

解答： （1）由 $v = v_0 - at$，令 $v = 0$： $$0 = 20 - 5t \thickspace\Rightarrow\thickspace t = \frac{20}{5} = 4\thinspace\text{s}$$

（2）由 $v^2 - v_0^2 = -2ax$： $$0 - 20^2 = -2 \times 5 \times x \thickspace\Rightarrow\thickspace x = \frac{400}{10} = 40\thinspace\text{m}$$ 亦可由 $x = \tfrac{v_0 + v}{2} t = \tfrac{20+0}{2}\times 4 = 40\thinspace\text{m}$ 验证。

（3）第 3 s 末 $t = 3\thinspace\text{s} < t_0 = 4\thinspace\text{s}$，未停止，代入： $$v_3 = v_0 - at = 20 - 5\times 3 = 5\thinspace\text{m/s}$$

点评： 本题是 02-匀变速直线运动 的基础应用。易错点是"刹车问题"必须先算停车时间，第（3）问若问"刹车后 5 s 末速度"则为 $0$而非$-5\thinspace\text{m/s}$。要养成"先判停"的习惯。

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YD-02 ★★：逐差法求加速度（纸带数据处理）

题目： 在"探究小车速度随时间变化的规律"实验中，打点计时器交流电频率 $f = 50\thinspace\text{Hz}$（打点周期 $T_0 = 0.02\thinspace\text{s}$），每 5 个点取一个计数点，得到 6 个计数点 $A, B, C, D, E, F$。用刻度尺测得各段位移如下： $$x_1 = AB = 3.20\thinspace\text{cm},\thickspace x_2 = BC = 5.10\thinspace\text{cm},\thickspace x_3 = CD = 7.00\thinspace\text{cm},\thickspace x_4 = DE = 8.90\thinspace\text{cm},\thickspace x_5 = EF = 10.80\thinspace\text{cm}$$ （1）求打 $C$点时小车的瞬时速度$v_C$； （2）用逐差法求小车加速度 $a$。

分析： 计数周期 $T = 5T_0 = 0.1\thinspace\text{s}$。瞬时速度由"一段时间内的平均速度等于中间时刻瞬时速度"求；逐差法为减小偶然误差，将 5 段位移分成两组（首尾对应相减），常用公式 $a = \dfrac{(x_4+x_5) - (x_1+x_2)}{6T^2}$（注意分母为 $6T^2$而非$4T^2$，因 5 段对应 6 个计数点、首尾间隔 3T）。

解答： （1）$C$为$BD$ 段中间时刻点： $$v_C = \frac{x_2+x_3}{2T} = \frac{(5.10+7.00)\times 10^{-2}}{2\times 0.1} = \frac{12.10\times 10^{-2}}{0.2} = 0.605\thinspace\text{m/s}$$

（2）逐差法： $$a = \frac{(x_4+x_5)-(x_1+x_2)}{6T^2} = \frac{(8.90+10.80-3.20-5.10)\times 10^{-2}}{6\times 0.1^2}$$ $$= \frac{11.40\times 10^{-2}}{0.06} = 1.90\thinspace\text{m/s}^2$$

点评： 本题考查 02-匀变速直线运动 实验数据处理。易错点：①逐差法分母不是 $4T^2$而是$6T^2$（5 段位移首尾跨度为 3 个 $T$）；②若只有 4 段位移则用 $a = \dfrac{x_3+x_4 - x_1 - x_2}{4T^2}$。逐差法本质是利用 $x_{n+3} - x_n = 3aT^2$ 取平均减小误差。

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YD-03 ★★：自由落体与竖直上抛对称性

题目： 从地面以 $v_0 = 20\thinspace\text{m/s}$ 的初速度竖直上抛一小球（不计空气阻力，$g = 10\thinspace\text{m/s}^2$）。求： （1）小球上升的最大高度 $H$与上升时间$t_上$； （2）小球在抛出点上方 $h = 15\thinspace\text{m}$处的速度大小$v$； （3）小球从抛出到落回抛出点所用总时间 $t_总$与整个过程的位移$x$、路程 $s$。

分析： 竖直上抛运动具有对称性：上升与下落经过同一高度时速度大小相等、方向相反；上升时间等于下落时间。可分段处理（上升段匀减速、下落段自由落体），也可全过程用 $v = v_0 - gt$、$h = v_0 t - \tfrac{1}{2}gt^2$（注意 $g$取正时位移向上为正）。在$h = 15\thinspace\text{m}$ 处速度有两个解（上升与下落各一次）。

解答： （1）上升至最高点 $v = 0$： $$t_上 = \frac{v_0}{g} = \frac{20}{10} = 2\thinspace\text{s},\quad H = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{400}{20} = 20\thinspace\text{m}$$

（2）由 $v^2 = v_0^2 - 2gh$： $$v = \pm\sqrt{v_0^2 - 2gh} = \pm\sqrt{400 - 300} = \pm 10\thinspace\text{m/s}$$ 即上升时 $v_上 = 10\thinspace\text{m/s}$（向上），下落时 $v_下 = 10\thinspace\text{m/s}$（向下），大小均为 $10\thinspace\text{m/s}$，体现对称性。

（3）由对称性 $t_下 = t_上 = 2\thinspace\text{s}$： $$t_总 = 2t_上 = 4\thinspace\text{s}$$ 回到抛出点：位移 $x = 0$，但路程 $s = 2H = 40\thinspace\text{m}$。

点评： 本题考查 03-自由落体与竖直上抛 的核心对称性。易错：①把"位移"与"路程"混淆——回到出发点位移为零但路程为 $2H$；②公式 $v^2 = v_0^2 - 2gh$在$h < H$时给出$\pm$ 双解，对应上升与下落两次经过；③全过程法使用时位移方向与初速度同向为正。

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YD-04 ★★：v-t 图像与面积法

题目： 一质点沿直线运动，其 $v - t$ 图像描述如下：$0\sim 2\thinspace\text{s}$内速度由$0$均匀增大到$4\thinspace\text{m/s}$；$2\sim 4\thinspace\text{s}$内速度保持$4\thinspace\text{m/s}$ 不变；$4\sim 6\thinspace\text{s}$内速度由$4\thinspace\text{m/s}$均匀减小到$0$；$6\sim 8\thinspace\text{s}$内速度反向由$0$均匀增大到$-4\thinspace\text{m/s}$。求： （1）$0\sim 6\thinspace\text{s}$内的位移$x_1$与路程$s_1$； （2）$0\sim 8\thinspace\text{s}$内的位移$x_2$与路程$s_2$； （3）$0\sim 8\thinspace\text{s}$内平均速度$\bar v$ 与平均速率。

分析： $v - t$ 图像中：图线斜率表示加速度，图线与时间轴所围"面积"表示位移（时间轴上方为正、下方为负），路程为各段面积绝对值之和。分段计算再求和。

解答： （1）$0\sim 6\thinspace\text{s}$图线均在$t$ 轴上方：

• $0\sim 2\thinspace\text{s}$：三角形面积 $S_1 = \tfrac{1}{2}\times 2\times 4 = 4\thinspace\text{m}$
• $2\sim 4\thinspace\text{s}$：矩形面积 $S_2 = 2\times 4 = 8\thinspace\text{m}$
• $4\sim 6\thinspace\text{s}$：三角形面积 $S_3 = \tfrac{1}{2}\times 2\times 4 = 4\thinspace\text{m}$

$$x_1 = S_1+S_2+S_3 = 16\thinspace\text{m},\quad s_1 = 16\thinspace\text{m}$$

（2）$6\sim 8\thinspace\text{s}$：三角形在 $t$轴下方，面积$S_4 = \tfrac{1}{2}\times 2\times 4 = 4\thinspace\text{m}$（为负）： $$x_2 = x_1 + (-4) = 12\thinspace\text{m}$$ $$s_2 = s_1 + 4 = 20\thinspace\text{m}$$

（3）平均速度： $$\bar v = \frac{x_2}{t_总} = \frac{12}{8} = 1.5\thinspace\text{m/s}$$ 平均速率： $$\bar v_{\text{速率}} = \frac{s_2}{t_总} = \frac{20}{8} = 2.5\thinspace\text{m/s}$$

点评： 本题考查 04-运动图像 中 $v - t$ 图像的解读。核心规律：斜率 = 加速度，面积 = 位移（带正负）。易错：①位移是"代数和"、路程是"绝对值之和"；②平均速度 = 位移/时间、平均速率 = 路程/时间，二者在往返运动中不相等。

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YD-05 ★★★：追及相遇临界问题（汽车避碰）

题目： 一辆小汽车以 $v_1 = 20\thinspace\text{m/s}$在高速公路上匀速行驶，前方$x_0 = 60\thinspace\text{m}$处一辆大货车正以$v_2 = 10\thinspace\text{m/s}$同向匀速行驶。小汽车司机发现后经$t_0 = 0.5\thinspace\text{s}$ 反应时间后开始刹车，刹车后做匀减速运动。求： （1）为不撞上货车，小汽车刹车时的最小加速度大小 $a_{\min}$； （2）若小汽车刹车加速度 $a = 4\thinspace\text{m/s}^2$，求两车能否相遇及最近距离。

分析： 临界条件：两车速度相等时距离最近（若此时仍不相撞则不会相撞）。反应时间内小汽车匀速，之后匀减速。设刹车后经时间 $t$两车速度相等，此时两车位移差恰好等于初始距离$x_0$ 即为临界。

解答： （1）反应时间内小汽车位移 $x_反 = v_1 t_0 = 20\times 0.5 = 10\thinspace\text{m}$。 设刹车后经时间 $t$ 两车速度相等（临界）： $$v_1 - at = v_2 \thickspace\Rightarrow\thickspace t = \frac{v_1 - v_2}{a} = \frac{10}{a}$$ 刹车阶段小汽车位移 $x_车 = v_1 t - \tfrac{1}{2}a t^2$，货车位移 $x_货 = v_2 t$。 临界条件（恰好不撞，此时两车位移差等于初始距离）： $$x_反 + x_车 - x_货 = x_0$$ $$10 + \left(20 t - \tfrac{1}{2} a t^2\right) - 10 t = 60$$ $$10 + 10 t - \tfrac{1}{2} a t^2 = 60$$ 代入 $t = 10/a$： $$10 + \frac{100}{a} - \frac{1}{2} a\cdot\frac{100}{a^2} = 60$$ $$10 + \frac{100}{a} - \frac{50}{a} = 60 \thickspace\Rightarrow\thickspace \frac{50}{a} = 50 \thickspace\Rightarrow\thickspace a_{\min} = 1\thinspace\text{m/s}^2$$

（2）$a = 4\thinspace\text{m/s}^2 > a_{\min}$，能避碰。速度相等时刻： $$t = \frac{v_1-v_2}{a} = \frac{10}{4} = 2.5\thinspace\text{s}$$ 此时位移差： $$\Delta x = x_反 + (v_1 t - \tfrac{1}{2} a t^2) - v_2 t = 10 + (20\times 2.5 - \tfrac{1}{2}\times 4\times 2.5^2) - 10\times 2.5$$ $$= 10 + (50 - 12.5) - 25 = 22.5\thinspace\text{m}$$ 最近距离：$d_{\min} = x_0 - \Delta x = 60 - 22.5 = 37.5\thinspace\text{m}$

点评： 本题是 05-追及与相遇 的典型临界问题。核心思想：追及问题临界条件是"两者速度相等"。易错：①把"刚好相撞"与"刚好不撞"条件混淆——二者临界条件相同（速度相等时距离最近且等于零）；②忽略反应时间内的匀速位移；③对 $a > a_{\min}$ 时判断是否相撞，应计算最近距离与初始距离关系。

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YD-06 ★★：平抛运动落到斜面

题目： 一物体从倾角 $\theta = 37°$的斜面顶端$A$以初速度$v_0 = 6\thinspace\text{m/s}$水平抛出，恰好落在斜面底端$B$。已知 $\sin 37° = 0.6$，$\cos 37° = 0.8$，$g = 10\thinspace\text{m/s}^2$。求： （1）物体在空中飞行时间 $t$； （2）斜面高度 $h$与水平距离$x$； （3）物体落到 $B$点时速度方向与水平方向的夹角$\alpha$ 的正切值。

分析： 平抛运动分解为水平匀速与竖直自由落体。落到斜面上时，位移与水平方向夹角等于斜面倾角 $\theta$，即 $\tan\theta = \dfrac{y}{x} = \dfrac{\tfrac{1}{2}gt^2}{v_0 t} = \dfrac{gt}{2v_0}$，由此可求时间。速度方向与水平方向夹角的正切 $\tan\alpha = \dfrac{v_y}{v_x} = \dfrac{gt}{v_0}$，恰好为 $\tan\theta$ 的两倍。

解答： （1）落到斜面底端，位移偏向角 $\theta = 37°$： $$\tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{\tfrac{1}{2}gt^2}{v_0 t} = \frac{gt}{2v_0}$$ $$0.75 = \frac{10\thinspace{}t}{2\times 6} = \frac{5t}{6} \thickspace\Rightarrow\thickspace t = \frac{0.75\times 6}{5} = 0.9\thinspace\text{s}$$

（2）水平距离 $x = v_0 t = 6\times 0.9 = 5.4\thinspace\text{m}$；竖直高度 $h = \tfrac{1}{2}gt^2 = \tfrac{1}{2}\times 10\times 0.9^2 = 4.05\thinspace\text{m}$。

（3）落到 $B$ 点： $$\tan\alpha = \frac{v_y}{v_x} = \frac{gt}{v_0} = \frac{10\times 0.9}{6} = 1.5 = 2\tan\theta$$

点评： 本题考查 06-平抛运动 落到斜面的典型模型。重要结论：平抛落斜面时速度方向与水平夹角的正切 = 2 × 位移方向与水平夹角的正切（即 $\tan\alpha = 2\tan\theta$），源自速度三角形与位移三角形相似但时间因子不同。易错：把位移角与速度角混淆。

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YD-07 ★★★：类平抛运动（带电粒子在电场中偏转）

题目： 一对带电平行金属板水平放置，板长 $L = 10\thinspace\text{cm}$，板间距 $d = 2\thinspace\text{cm}$，板间电压 $U = 200\thinspace\text{V}$。一电子（电荷量 $e = 1.6\times 10^{-19}\thinspace\text{C}$，质量 $m = 9.1\times 10^{-31}\thinspace\text{kg}$）以初速度 $v_0 = 3.0\times 10^7\thinspace\text{m/s}$ 沿板中线水平射入板间电场（不计重力）。求： （1）电子在板间运动时间 $t$； （2）电子离开电场时的偏转量 $y$； （3）电子离开电场时速度方向与水平方向的夹角 $\varphi$ 的正切值（即偏转角正切）。

分析： 带电粒子垂直射入匀强电场，受力恒定且与初速度垂直，运动形式与平抛运动完全类似：水平方向匀速直线，竖直方向初速度为零的匀加速直线。电场力 $F = eE = eU/d$提供加速度$a = eU/(md)$。可类比 06-平抛运动 公式：$t = L/v_0$，$y = \tfrac{1}{2} a t^2$，$\tan\varphi = \dfrac{v_y}{v_x} = \dfrac{at}{v_0}$。

解答： （1）水平方向匀速： $$t = \frac{L}{v_0} = \frac{0.10}{3.0\times 10^7} \approx 3.33\times 10^{-9}\thinspace\text{s}$$

（2）加速度： $$a = \frac{eU}{md} = \frac{1.6\times 10^{-19}\times 200}{9.1\times 10^{-31}\times 0.02} = \frac{3.2\times 10^{-17}}{1.82\times 10^{-32}} \approx 1.76\times 10^{15}\thinspace\text{m/s}^2$$ 偏转量： $$y = \tfrac{1}{2} a t^2 = \tfrac{1}{2}\times 1.76\times 10^{15}\times (3.33\times 10^{-9})^2$$ $$\approx \tfrac{1}{2}\times 1.76\times 10^{15}\times 1.11\times 10^{-17} \approx 9.77\times 10^{-3}\thinspace\text{m}\approx 0.98\thinspace\text{cm}$$ （小于 $d/2 = 1\thinspace\text{cm}$，电子不会打到极板）

（3）偏转角正切： $$\tan\varphi = \frac{at}{v_0} = \frac{1.76\times 10^{15}\times 3.33\times 10^{-9}}{3.0\times 10^7} \approx \frac{5.86\times 10^6}{3.0\times 10^7}\approx 0.195$$

点评： 本题是力学与电学的桥梁题，将 06-平抛运动 的运动分解方法迁移到电场偏转中。重要结论：粒子离开匀强电场时，速度方向的反向延长线交于板中线中点（相当于"匀强场等效从板正中心发出"）。类比记忆：$v_0 \leftrightarrow$ 水平初速度，$eU/d \leftrightarrow g$，$m \leftrightarrow$ 质量。详见 99-电学例题集 中带电粒子在电场中的运动专题。

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YD-08 ★★：圆周运动传动装置（齿轮/皮带）

题目： 如图所示传动装置：主动轮 $A$半径$R_A = 0.2\thinspace\text{m}$，从动轮 $B$半径$R_B = 0.1\thinspace\text{m}$，两轮通过不打滑的皮带连接。$A$轮边缘上有一点$P$，$B$轮边缘上有一点$Q$，$B$轮上另有一点$M$（到轴距离 $r_M = 0.05\thinspace\text{m}$，与 $Q$同轴）。主动轮$A$以角速度$\omega_A = 10\thinspace\text{rad/s}$ 匀速转动。求： （1）$P$、$Q$、$M$三点的线速度$v_P$、$v_Q$、$v_M$； （2）$Q$、$M$两点的角速度$\omega_Q$、$\omega_M$与向心加速度之比$a_Q : a_M$； （3）$P$、$Q$两点的向心加速度之比$a_P : a_Q$。

分析： 传动装置核心规律：①皮带（不打滑）连接的两轮边缘线速度相等（$v_P = v_Q$）；②同轴传动（同一刚体）各点角速度相等（$\omega_Q = \omega_M$）。线速度与角速度关系 $v = \omega r$，向心加速度 $a = \omega^2 r = v^2/r$。

解答： （1）$P$ 点： $$v_P = \omega_A R_A = 10\times 0.2 = 2\thinspace\text{m/s}$$ 皮带不打滑，$v_Q = v_P = 2\thinspace\text{m/s}$。 $Q$、$M$同轴$\omega_Q = \omega_M$，由 $v_Q = \omega_Q R_B$： $$\omega_Q = \frac{v_Q}{R_B} = \frac{2}{0.1} = 20\thinspace\text{rad/s}$$ $$v_M = \omega_M r_M = 20\times 0.05 = 1\thinspace\text{m/s}$$

（2）$\omega_Q = \omega_M = 20\thinspace\text{rad/s}$。 向心加速度： $$a_Q = \omega_Q^2 R_B = 400\times 0.1 = 40\thinspace\text{m/s}^2$$ $$a_M = \omega_M^2 r_M = 400\times 0.05 = 20\thinspace\text{m/s}^2$$ $$a_Q : a_M = 2 : 1$$

（3）$a_P = \omega_A^2 R_A = 100\times 0.2 = 20\thinspace\text{m/s}^2$，$a_Q = 40\thinspace\text{m/s}^2$： $$a_P : a_Q = 1 : 2$$

点评： 本题考查 07-圆周运动 中传动装置的同带/同轴规律。核心口诀：同带线速度等、同轴角速度等。易错：混淆"线速度等"与"角速度等"——皮带传动看线速度、齿轮啮合同理；同轴转动看角速度。向心加速度公式可灵活用 $a = \omega^2 r$（同 $\omega$时与$r$成正比）或$a = v^2/r$（同 $v$时与$r$ 成反比）。

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二、牛顿运动定律

ND-01 ★：重力弹力摩擦力基础计算

题目： 质量 $m = 2\thinspace\text{kg}$的物体静止在倾角$\theta = 30°$的固定斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数$\mu = 0.3$。已知 $g = 10\thinspace\text{m/s}^2$。求： （1）物体所受重力 $G$ 沿斜面方向和垂直斜面方向的分力大小； （2）斜面对物体的支持力 $F_N$与摩擦力$f$ 的大小； （3）判断物体能否静止于斜面，若不能求其加速度。

分析： 受力分析：物体受重力 $G = mg$（竖直向下）、支持力 $F_N$（垂直斜面向上）、摩擦力 $f$（沿斜面，方向待定）。将重力按"沿斜面"与"垂直斜面"正交分解：$G_x = mg\sin\theta$（沿斜面向下）、$G_y = mg\cos\theta$（压向斜面）。静止条件：$f = G_x \le f_{\max} = \mu F_N = \mu G_y$。

解答： （1）$G = mg = 2\times 10 = 20\thinspace\text{N}$。 分力： $$G_x = mg\sin 30° = 20\times 0.5 = 10\thinspace\text{N}$$ $$G_y = mg\cos 30° = 20\times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 17.3\thinspace\text{N}$$

（2）垂直斜面方向 $F_N = G_y = 17.3\thinspace\text{N}$。 最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力： $$f_{\max} = \mu F_N = 0.3\times 17.3 \approx 5.2\thinspace\text{N}$$ 而 $G_x = 10\thinspace\text{N} > f_{\max}$，物体不能静止。

（3）由牛顿第二定律沿斜面方向： $$mg\sin\theta - \mu mg\cos\theta = ma$$ $$a = g(\sin\theta - \mu\cos\theta) = 10\times(0.5 - 0.3\times 0.866) \approx 10\times(0.5 - 0.26) \approx 2.4\thinspace\text{m/s}^2$$ 方向沿斜面向下。

点评： 本题考查 01-重力与弹力 与 02-摩擦力 的基础应用。要点：①支持力 $F_N = mg\cos\theta$（不是 $mg$）；②判断静止需比较下滑力 $mg\sin\theta$与最大静摩擦力$\mu mg\cos\theta$；③若 $\tan\theta > \mu$则物体加速下滑，若$\tan\theta \le \mu$ 则保持静止。

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ND-02 ★★：静摩擦力方向判定（传送带问题）

题目： 水平传送带以恒定速度 $v_0 = 4\thinspace\text{m/s}$顺时针匀速转动。一质量$m = 1\thinspace\text{kg}$的小物体（可视为质点）轻轻放上传送带左端$A$，物体与传送带间动摩擦因数 $\mu = 0.2$，传送带 $AB$长$L = 6\thinspace\text{m}$。$g = 10\thinspace\text{m/s}^2$。求： （1）物体刚放上传送带时的加速度大小与方向，及所受摩擦力方向； （2）物体与传送带共速的时间 $t_1$与共速前物体相对地面的位移$x_1$； （3）物体从 $A$到$B$的总时间$t$。

分析： 传送带问题关键是判断相对运动方向从而确定滑动摩擦力方向。物体刚放上时速度为零，传送带向右，物体相对传送带向左运动，故滑动摩擦力向右（与物体实际运动方向相同），推动物体加速。共速后若传送带水平且匀速，物体与带间无相对运动趋势，摩擦力突变为零，物体匀速运动。

解答： （1）物体加速度 $a = \mu g = 0.2\times 10 = 2\thinspace\text{m/s}^2$，方向向右；滑动摩擦力 $f = \mu mg = 2\thinspace\text{N}$，方向向右。

（2）共速时间： $$t_1 = \frac{v_0}{a} = \frac{4}{2} = 2\thinspace\text{s}$$ 共速前位移： $$x_1 = \tfrac{1}{2} a t_1^2 = \tfrac{1}{2}\times 2\times 4 = 4\thinspace\text{m}$$

（3）剩余距离 $L - x_1 = 6 - 4 = 2\thinspace\text{m}$，共速后匀速： $$t_2 = \frac{2}{4} = 0.5\thinspace\text{s}$$ 总时间 $t = t_1 + t_2 = 2.5\thinspace\text{s}$

点评： 本题考查 02-摩擦力 中静/动摩擦力方向判定与传送带模型。核心思路：摩擦力方向与物体相对传送带运动方向相反。易错：①共速时刻摩擦力"突变"——由滑动摩擦力 $\mu mg$突变为$0$（水平匀速传送带），不是缓慢减小；②若传送带倾斜或加速，共速后摩擦力方向需重新判断（可能为静摩擦力维持共速）。详见 08-牛顿定律的应用 中传送带模型。

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ND-03 ★★：力的正交分解与合成

题目： 一质量 $m = 4\thinspace\text{kg}$的物体静止在水平地面上，受到与水平方向成$\theta = 37°$斜向上的拉力$F = 10\thinspace\text{N}$作用，物体与地面间动摩擦因数$\mu = 0.2$。$g = 10\thinspace\text{m/s}^2$，$\sin 37° = 0.6$，$\cos 37° = 0.8$。求： （1）物体对地面的压力 $F_N'$与摩擦力$f$； （2）物体的加速度 $a$； （3）若物体从静止开始运动，求 $2\thinspace\text{s}$末的速度$v$与位移$x$。

分析： 对物体受力分析：重力 $G = mg$（向下）、拉力 $F$（斜向上）、支持力 $F_N$（向上）、摩擦力 $f$（水平向左，与运动反向）。建立坐标系：$x$ 轴沿运动方向（水平向右）、$y$轴竖直向上。将$F$正交分解为$F_x = F\cos\theta$、$F_y = F\sin\theta$。注意：斜向上拉力会减小地面压力，$F_N = mg - F\sin\theta$。

解答： （1）$y$ 方向平衡： $$F_N + F\sin\theta = mg \thickspace\Rightarrow\thickspace F_N = mg - F\sin\theta = 40 - 6 = 34\thinspace\text{N}$$ 由牛顿第三定律，物体对地面压力 $F_N' = 34\thinspace\text{N}$（方向向下）。 摩擦力 $f = \mu F_N = 0.2\times 34 = 6.8\thinspace\text{N}$（方向水平向左）。

（2）$x$ 方向牛顿第二定律： $$F\cos\theta - f = ma$$ $$10\times 0.8 - 6.8 = 4a \thickspace\Rightarrow\thickspace a = \frac{8 - 6.8}{4} = 0.3\thinspace\text{m/s}^2$$

（3）$v = at = 0.3\times 2 = 0.6\thinspace\text{m/s}$；$x = \tfrac{1}{2} a t^2 = \tfrac{1}{2}\times 0.3\times 4 = 0.6\thinspace\text{m}$。

点评： 本题考查 03-力的合成与分解 中正交分解法。要点：①建立"沿运动方向"为 $x$轴的坐标系；②斜向力要同时影响$x$、$y$两个方向，特别是斜向上力会减小压力、斜向下力会增大压力；③摩擦力用$f = \mu F_N$时$F_N$是实际支持力，不一定是$mg$。详见 08-牛顿定律的应用。

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ND-04 ★★★：共点力平衡动态分析（图解法）

题目： 用轻绳 $OA$将质量为$m$的小球系于固定点$O$，再用轻绳 $AB$水平拉球至$OA$与竖直方向成$\theta$ 角（$\theta < 90°$）保持静止。现保持小球位置不变，将 $AB$绳缓慢由水平方向旋转至竖直方向（球仍在$A$ 点，$OA$ 绳方向不变）。求此过程中： （1）绳 $OA$的拉力$T_1$ 大小如何变化？ （2）绳 $AB$的拉力$T_2$ 大小如何变化？ （3）当 $AB$绳转至与$OA$ 绳垂直时，$T_2$ 取何极值？

分析： 小球受三力平衡：重力 $mg$（恒定、竖直向下）、$OA$绳拉力$T_1$（沿 $OA$ 方向，$OA$ 方向不变）、$AB$绳拉力$T_2$（沿 $AB$ 方向，$AB$方向由水平转至竖直）。三力平衡可用图解法（动态三角形）：将$T_1$与$T_2$的合力画为恒定（大小$= mg$、方向竖直向上），$T_1$ 方向固定，$T_2$ 方向变化。

解答： 图解法作"动态三角形"：合力（$mg$反向，大小$mg$、方向竖直向上）为对边；$T_1$沿$OA$ 方向（斜向上固定）；$T_2$ 从水平转至竖直。

（1）$T_1$变化：初始$T_1\cos\theta = mg$，故 $T_1 = mg/\cos\theta$；当 $AB$竖直时$T_1 + T_2 = mg$且$T_2$ 沿竖直方向，$T_1$沿$OA$方向（与竖直成$\theta$），由图解法知 $T_1$ 持续减小。整体变化：$T_1$由$mg/\cos\theta$单调减小到$0$（终态 $AB$竖直时$T_2 = mg$、$T_1$沿$OA$ 投影无分量）。

（2）$T_2$变化：由动态三角形可知，当$T_2$方向与$T_1$方向垂直时$T_2$取极小值$mg\sin\theta$（详见下问）；初始 $T_2 = mg\tan\theta$，终态 $T_2 = mg$。比较 $mg\tan\theta$、$mg\sin\theta$、$mg$：因 $\theta < 90°$时$\sin\theta < \tan\theta$，故 $T_2$先减小后增大，最小值为$mg\sin\theta$。

（3）当 $AB$与$OA$ 垂直时，$T_2$与$T_1$互相垂直，此时由直角三角形$T_2 = mg\sin\theta$ 为最小值。

点评： 本题考查 04-共点力平衡 中的图解法（动态三角形）。图解法适用条件：一个力恒定（大小方向都不变），一个力方向不变（大小变），第三个力方向变化。易错：①未识别"力方向恒定"特征而强行用解析法陷入繁琐三角运算；②判断"先减后增"时漏掉极值点。详见 04-共点力平衡 动态分析专题。

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ND-05 ★：牛顿第一定律与惯性

题目： 关于牛顿第一定律与惯性，下列说法正确的是： A. 速度越大的物体惯性越大 B. 物体只有静止或匀速直线运动时才有惯性 C. 力是维持物体运动的原因 D. 一切物体在任何情况下都具有惯性，惯性大小只由质量决定 E. 汽车速度越大刹车越难，说明速度越大惯性越大

分析： 惯性是物体保持原有运动状态不变的性质，是物体的固有属性，与物体是否受力、受力大小、运动快慢、所处位置都无关。惯性大小的唯一量度是质量。牛顿第一定律指出：力不是维持运动的原因，而是改变运动状态（产生加速度）的原因。

解答：

• A 错：惯性只与质量有关，与速度无关。
• B 错：惯性是固有属性，加速、减速、曲线运动时仍有惯性。
• C 错：力是改变运动状态的原因，运动不需要力维持。
• D 对：惯性是一切物体的固有属性，大小唯一量度是质量。
• E 错：刹车距离大是因为动能大（$E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$），不是因为惯性大。

正确答案：D。

点评： 本题考查 05-牛顿第一定律 的基本概念。易错点：①把"惯性"与"力"混淆——惯性不是力，是属性；②认为"速度大惯性大"——惯性只与质量有关；③认为"运动需要力维持"——这是亚里士多德观点，已被牛顿第一定律推翻。深刻理解惯性是建立整个牛顿力学体系的逻辑起点。

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ND-06 ★★★：牛顿第二定律瞬时问题（剪断绳瞬间加速度）

题目： 质量为 $m$的小球被两根轻绳$OA$（水平）与 $OB$（与竖直方向成 $\theta = 37°$角，斜向上）系住，静止于$O$ 点。$\sin 37° = 0.6$，$\cos 37° = 0.8$，重力加速度为 $g$。求： （1）剪断 $OA$ 绳前，$OA$绳与$OB$绳的拉力$T_A$、$T_B$； （2）剪断 $OA$ 绳瞬间，$OB$绳拉力$T_B'$与小球加速度$a$； （3）若改为剪断 $OB$ 绳瞬间，$OA$绳拉力$T_A'$与加速度$a'$。

分析： "瞬时问题"核心：弹簧力不能突变（形变恢复需要时间），轻绳力可以突变（认为绳不可伸长、力的调整瞬时完成）。剪断某绳瞬间，剩余绳上拉力会瞬时改变为与新状态对应的值，加速度由此时合力按 $F = ma$ 决定。

• 剪断 $OA$ 前：小球静止，三力平衡（重力、$T_A$、$T_B$）。
• 剪断 $OA$瞬间：小球将绕$B$做圆周运动（绳$OB$约束），速度为零（圆周运动瞬时起点），沿$OB$方向合力为零（绳拉力突变为与重力沿$OB$分量平衡），加速度沿垂直$OB$ 方向。
• 剪断 $OB$ 瞬间：$OA$水平绳拉力瞬时变为零（重力沿$OA$方向投影为零，绳瞬间松开），加速度即为$g$，方向竖直向下。

解答： （1）剪断前平衡（$OB$ 沿斜向上方向，$OA$ 水平）： $$T_B\cos\theta = mg \thickspace\Rightarrow\thickspace T_B = \frac{mg}{\cos 37°} = \frac{mg}{0.8} = \frac{5mg}{4}$$ $$T_B\sin\theta = T_A \thickspace\Rightarrow\thickspace T_A = \frac{5mg}{4}\times 0.6 = \frac{3mg}{4}$$

（2）剪断 $OA$瞬间，球速度为零，将沿$OB$圆周运动起点。沿$OB$ 方向：$T_B' = mg\cos\theta = 0.8\thinspace{}mg$（仅重力沿绳分量）。 垂直 $OB$方向：合力$F_\perp = mg\sin\theta = 0.6\thinspace{}mg$。 $$a = \frac{F_\perp}{m} = g\sin 37° = 0.6\thinspace{}g\quad\text{方向垂直 }OB\text{ 斜向下}$$ （注意此时 $T_B' = 0.8\thinspace{}mg < T_B = 1.25\thinspace{}mg$，绳力瞬时减小）

（3）剪断 $OB$瞬间，球将沿$OA$方向圆周运动（瞬时速度为零）。沿$OA$方向（水平）合力为零（重力水平投影为零），故$T_A' = 0$。 合力即重力 $mg$，方向竖直向下： $$a' = \frac{mg}{m} = g\quad\text{方向竖直向下}$$

点评： 本题考查 06-牛顿第二定律 的瞬时性问题。核心模型：轻绳力可突变，弹簧力不可突变。易错：①剪断 $OA$后认为$T_B$不变——绳力会瞬时调整为新约束下平衡沿绳方向的力；②剪断$OB$后认为$OA$仍受拉力——实际上重力沿$OA$ 方向投影为零，绳瞬间松开，$T_A' = 0$；③切线方向加速度需用 $a = g\sin\theta$而非$g$。详见 08-牛顿定律的应用 瞬时问题专题。

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ND-07 ★★：牛顿第三定律与平衡力辨析

题目： 一本书静止放在水平桌面上，下列说法正确的是： A. 书所受重力与书对桌面的压力是一对平衡力 B. 书所受重力与书对桌面的压力是一对作用力和反作用力 C. 书对桌面的压力与桌面对书的支持力是一对平衡力 D. 书对桌面的压力与桌面对书的支持力是一对作用力和反作用力 E. 书所受重力与桌面对书的支持力是一对作用力和反作用力

分析： 辨析两力关系关键看：

• 作用力与反作用力：作用在两个不同物体上，性质相同，同时产生、同时消失，大小相等方向相反共线。
• 平衡力：作用在同一物体上，性质可以不同，不一定同时消失。

书涉及三力：重力 $G$（书受、地球施加）、支持力 $F_N$（书受、桌面施加）、压力 $F_N'$（桌面受、书施加）。

• $F_N$与$F_N'$ 是书与桌面间的相互作用力——作用力与反作用力（均属弹力，作用在两个物体上）。
• $G$与$F_N$ 都作用在书上——是平衡力（书静止）。
• $G$与$F_N'$ 作用在不同物体上但性质不同（重力 vs 弹力）、不是相互作用——既非平衡力也非作用反作用力。

解答：

• A 错：重力与压力作用在不同物体上，且性质不同，非平衡力。
• B 错：重力（万有引力）与压力（弹力）性质不同，非作用反作用力。
• C 错：压力与支持力作用在两个物体上，非平衡力。
• D 对：压力与支持力是书与桌面间的相互作用，作用力与反作用力。
• E 错：重力与支持力作用在同一物体（书）上，是平衡力，非作用反作用力。

正确答案：D。

点评： 本题考查 07-牛顿第三定律 与平衡力辨析。判断口诀：同物平衡力，两物作用反作用力。易错：①混淆"重力"与"压力"——虽大小常相等（水平面静止时 $F_N' = mg$）但性质不同、受力物体不同；②认为"压力就是重力"——压力是弹力，由形变产生；重力是万有引力。详见 07-牛顿第三定律。

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ND-08 ★★★：整体法与隔离法（连接体问题）

题目： 如图，光滑水平面上有两个物块 $A$、$B$靠在一起，质量$m_A = 2\thinspace\text{kg}$，$m_B = 3\thinspace\text{kg}$。用水平推力 $F = 10\thinspace\text{N}$水平推$A$，使二者一起向右加速运动。$g = 10\thinspace\text{m/s}^2$。求： （1）$A$、$B$一起运动的加速度$a$； （2）$A$对$B$的推力$F_{AB}$； （3）若改为以同样大小推力 $F$推$B$，求 $B$对$A$的推力$F_{BA}$，并比较 $F_{AB}$与$F_{BA}$。

分析： 连接体问题首选整体法求共同加速度（视为一个整体，内力不暴露），再用隔离法对其中一个物体列方程求内力。注意：推 $A$时$A$推动$B$，$B$是"被推方"；推$B$时$B$推动$A$，$A$ 是"被推方"。被推方所受内力等于其质量 × 共同加速度。

解答： （1）整体法（$A+B$视为一整体，水平方向仅受$F$）： $$F = (m_A + m_B)\thinspace{}a \thickspace\Rightarrow\thickspace a = \frac{F}{m_A + m_B} = \frac{10}{5} = 2\thinspace\text{m/s}^2$$

（2）隔离 $B$：$B$受$A$的推力$F_{AB}$ 向右： $$F_{AB} = m_B\thinspace{}a = 3\times 2 = 6\thinspace\text{N}$$ （即 $A$通过接触面对$B$施加$6\thinspace\text{N}$推力，剩余$4\thinspace\text{N}$用于推动$A$ 自身：$F - F_{BA}' = m_A a$，验证 $10 - F_{BA}' = 4 \Rightarrow F_{BA}' = 6\thinspace\text{N}$ 一致）

（3）推 $B$时整体加速度仍为$a = 2\thinspace\text{m/s}^2$。隔离 $A$（被推方）： $$F_{BA} = m_A\thinspace{}a = 2\times 2 = 4\thinspace\text{N}$$ 比较：$F_{AB} = 6\thinspace\text{N} > F_{BA} = 4\thinspace\text{N}$。

点评： 本题考查 08-牛顿定律的应用 中整体法与隔离法。重要结论：两个物块被外力 $F$推动一起加速时，被推方所受内力$= \dfrac{m_{\text{被推}}}{m_{\text{总}}}\cdot F$——即内力按"被推方质量占总质量比例"分配。所以"推轻物则轻物所受内力小、推重物则重物所受内力大"。易错：①求内力时仍用整体法得出 $F_{\text{内}} = F$，混淆外力与内力；②忘记隔离方向选择应取"被推方"（隔离方程中只有内力是未知）。详见 08-牛顿定律的应用。

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ND-09 ★★★：牛顿定律与运动学综合（动力学两类基本问题）

题目： 质量 $m = 2\thinspace\text{kg}$的物体静止在水平地面上，物体与地面间动摩擦因数$\mu = 0.2$。$t = 0$时刻起对物体施加水平向右的恒力$F_1 = 8\thinspace\text{N}$，作用 $t_1 = 4\thinspace\text{s}$ 后撤去。$g = 10\thinspace\text{m/s}^2$。求： （1）物体在前 $4\thinspace\text{s}$内的加速度$a_1$与位移$x_1$； （2）撤去 $F_1$时物体的速度$v_1$； （3）撤去 $F_1$后物体还能滑行的距离$x_2$与总位移$x_总$。

分析： 本题属于"动力学两类问题"的典型综合：受力 → 加速度 → 运动学量（第一类）；运动学量 → 加速度 → 受力（第二类，本题第二段反推）。分段处理：

• 第一段（$0\sim 4\thinspace\text{s}$）：受 $F_1$与摩擦力$\mu mg$，加速度 $a_1$ 向右，初速度为零，做匀加速。
• 第二段（$4\thinspace\text{s}$后）：仅受摩擦力$\mu mg$，加速度 $a_2 = -\mu g$ 向左，做匀减速直到停止。

解答： （1）第一段受力分析，牛顿第二定律： $$F_1 - \mu mg = m a_1 \thickspace\Rightarrow\thickspace a_1 = \frac{F_1 - \mu mg}{m} = \frac{8 - 0.2\times 2\times 10}{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2\thinspace\text{m/s}^2$$ 位移： $$x_1 = \tfrac{1}{2} a_1 t_1^2 = \tfrac{1}{2}\times 2\times 16 = 16\thinspace\text{m}$$

（2）撤去 $F_1$ 瞬时速度： $$v_1 = a_1 t_1 = 2\times 4 = 8\thinspace\text{m/s}$$

（3）第二段加速度 $a_2 = -\mu g = -2\thinspace\text{m/s}^2$，由 $v^2 - v_1^2 = 2 a_2 x_2$，令 $v = 0$： $$0 - 64 = 2\times (-2)\times x_2 \thickspace\Rightarrow\thickspace x_2 = \frac{64}{4} = 16\thinspace\text{m}$$ 总位移 $x_总 = x_1 + x_2 = 16 + 16 = 32\thinspace\text{m}$

点评： 本题考查 08-牛顿定律的应用 中动力学两类基本问题的综合。核心方法：加速度是连接力与运动的桥梁。已知力求运动——先 $F = ma$求$a$，再用运动学公式；已知运动求力——先用运动学公式求 $a$，再 $F = ma$反推。多过程问题要分段处理，每段重新受力分析，注意加速度可能突变（如本题$a$由$+2$突变为$-2$）。详见 08-牛顿定律的应用。

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ND-10 ★★：超重失重（电梯问题）

题目： 一质量 $m = 60\thinspace\text{kg}$的人站在电梯内地板上，电梯由静止开始以加速度$a_1 = 2\thinspace\text{m/s}^2$匀加速上升$t_1 = 3\thinspace\text{s}$，然后以 $v = 6\thinspace\text{m/s}$匀速上升$t_2 = 5\thinspace\text{s}$，最后以加速度 $a_3 = 2\thinspace\text{m/s}^2$ 匀减速上升直到停止。$g = 10\thinspace\text{m/s}^2$。求三个阶段人对电梯地板的压力 $F_{N1}$、$F_{N2}$、$F_{N3}$。

分析： 超重与失重的本质：当物体有竖直方向加速度时，视重（对支持面的压力或对悬挂绳的拉力）与实际重力不等。

• 加速度向上 → 超重（视重 > $mg$）；
• 加速度向下 → 失重（视重 < $mg$）；
• 加速度为零（匀速或静止）→ 视重 = $mg$。

以人为研究对象，地板对人的支持力 $F_N$与重力$mg$ 的合力提供加速度，$F_N - mg = ma$（取向上为正）。人对地板的压力 $F_N'$与$F_N$ 互为作用反作用力，大小相等。

解答： （1）加速上升阶段（$a_1 = 2\thinspace\text{m/s}^2$ 向上，超重）： $$F_{N1} - mg = m a_1 \thickspace\Rightarrow\thickspace F_{N1} = m(g + a_1) = 60\times (10 + 2) = 720\thinspace\text{N}$$ 即 $F_{N1}' = 720\thinspace\text{N} > mg = 600\thinspace\text{N}$（超重）。

（2）匀速上升阶段（$a_2 = 0$）： $$F_{N2} = mg = 60\times 10 = 600\thinspace\text{N}$$

（3）减速上升阶段（$a_3 = -2\thinspace\text{m/s}^2$，即加速度向下，失重）： $$F_{N3} - mg = m a_3 \thickspace\Rightarrow\thickspace F_{N3} = m(g + a_3) = 60\times(10 - 2) = 480\thinspace\text{N}$$ 即 $F_{N3}' = 480\thinspace\text{N} < mg = 600\thinspace\text{N}$（失重）。

点评： 本题考查 09-超重与失重。判断口诀：加速度向上超重，向下失重，与运动方向无关（减速上升、加速下降都是失重；加速上升、减速下降都是超重）。完全失重（$a = g$向下）时视重为零。易错：①认为"向上运动一定超重"——错，看的是加速度方向；②把"超重"误为"重力变大"——重力$mg$ 不变，变的是视重（支持力/拉力）。详见 09-超重与失重。

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三、综合应用与拓展

ZH-01 ★★：小船渡河最短时间/最短距离

题目： 一条河宽 $d = 60\thinspace\text{m}$，水流速度 $v_1 = 3\thinspace\text{m/s}$恒定（沿河岸向下）。小船在静水中速度$v_2 = 5\thinspace\text{m/s}$。求： （1）小船渡河的最短时间 $t_{\min}$ 及此时船的实际位移大小； （2）小船渡河的最短航程 $s_{\min}$及对应的船头方向（船头与上游河岸夹角$\theta$）。

分析： 小船渡河是 01-运动的合成与分解 的典型模型，船的实际速度 $\vec v = \vec v_1 + \vec v_2$（水速 + 船相对静水速度）。

• 最短时间：船头始终垂直河岸对岸划（$v_2$ 全部用于过河），$t = d/v_2$，与水速无关。
• 最短航程：若 $v_2 > v_1$（本题 $5 > 3$），可使实际速度垂直河岸（即沿最短距离过河），需 $v_2$向上游偏，使$v_2$在沿河岸方向的分量抵消$v_1$。

解答： （1）最短时间：船头垂直河岸（垂直水速方向）： $$t_{\min} = \frac{d}{v_2} = \frac{60}{5} = 12\thinspace\text{s}$$ 此时沿河岸方向位移 $x_水 = v_1 t_{\min} = 3\times 12 = 36\thinspace\text{m}$，垂直河岸位移 $= d = 60\thinspace\text{m}$。 实际位移： $$s = \sqrt{d^2 + x_水^2} = \sqrt{60^2 + 36^2} = \sqrt{3600 + 1296} = \sqrt{4896} \approx 69.97\thinspace\text{m}$$

（2）最短航程：要使实际航线垂直河岸（$s_{\min} = d = 60\thinspace\text{m}$），需 $v_2$在河岸方向分量等于$v_1$ 反向： $$v_2\cos\theta = v_1 \thickspace\Rightarrow\thickspace \cos\theta = \frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{5} = 0.6$$ $$\theta = \arccos 0.6 \approx 53°$$ 即船头应指向上游与河岸成 $53°$角方向，此时实际航程为$d = 60\thinspace\text{m}$。

点评： 本题考查 01-运动的合成与分解 中渡河问题。重要规律：

• 最短时间 $t_{\min} = d/v_{\text{船}}$，船头⊥河岸，与水速无关；
• 最短航程：$v_{\text{船}} > v_{\text{水}}$ 时可使航线⊥河岸，$s_{\min} = d$；$v_{\text{船}} < v_{\text{水}}$时无法垂直过河，最短航程 =$d\cdot v_{\text{水}}/v_{\text{船}}$。详见 01-运动的合成与分解。

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ZH-02 ★★★：斜抛运动射程射高

题目： 一运动员以初速度 $v_0 = 20\thinspace\text{m/s}$、抛射角 $\theta = 30°$ 投掷铅球（不计空气阻力，$g = 10\thinspace\text{m/s}^2$，铅球出手点距地面 $h_0 = 1.8\thinspace\text{m}$）。求： （1）铅球达到的最大高度 $H$（相对出手点）； （2）铅球在空中飞行时间 $t$； （3）铅球的水平射程 $x$（出手点与落地点水平距离）。

分析： 斜抛运动分解为水平匀速 + 竖直上抛。已知 $v_0$与$\theta$：

• 水平初速 $v_{0x} = v_0\cos\theta$、竖直初速 $v_{0y} = v_0\sin\theta$。
• 最高点：竖直速度为零，$H = v_{0y}^2/(2g)$（相对出手点）。
• 落地条件：竖直位移 $y = -h_0$（取向上为正、出手点为零），用 $y = v_{0y}t - \tfrac{1}{2}gt^2$求$t$。
• 射程 $x = v_{0x}\cdot t$。

解答： （1）$v_{0y} = v_0\sin 30° = 20\times 0.5 = 10\thinspace\text{m/s}$： $$H = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{100}{20} = 5\thinspace\text{m}$$

（2）落地时 $y = -h_0 = -1.8\thinspace\text{m}$： $$-1.8 = 10 t - 5 t^2 \thickspace\Rightarrow\thickspace 5 t^2 - 10 t - 1.8 = 0$$ $$t = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 36}}{10} = \frac{10 \pm \sqrt{136}}{10} = \frac{10 \pm 11.66}{10}$$ 取正解 $t \approx 2.166\thinspace\text{s}$（约 $2.17\thinspace\text{s}$）

（3）$v_{0x} = v_0\cos 30° = 20\times 0.866 \approx 17.32\thinspace\text{m/s}$： $$x = v_{0x}\cdot t \approx 17.32\times 2.166 \approx 37.5\thinspace\text{m}$$

点评： 本题考查 02-抛体运动综合 中斜抛运动。重要规律：①最高点竖直速度为零但水平速度仍为 $v_0\cos\theta$；②落地总时间需用 $y = v_{0y}t - \tfrac{1}{2}gt^2$解二次方程，注意$y$取负值（落地低于出手点）；③理想斜抛（出手与落地同高）射程$X = v_0^2\sin 2\theta/g$，$\theta = 45°$ 时最大；若出手与落地不同高需另行计算。详见 02-抛体运动综合。

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ZH-03 ★★★：竖直面圆周运动绳模型临界

题目： 长度 $L = 0.4\thinspace\text{m}$的轻绳一端系于$O$点，另一端系一质量$m = 0.5\thinspace\text{kg}$的小球。小球在竖直平面内绕$O$ 做圆周运动。$g = 10\thinspace\text{m/s}^2$。求： （1）小球能通过最高点 $A$的最小速度$v_{\min}$； （2）若小球通过最高点时速度 $v_A = 4\thinspace\text{m/s}$，求此时绳的拉力 $T_A$； （3）若小球通过最低点 $B$时绳的拉力$T_B = 35\thinspace\text{N}$，求小球通过最低点时的速度 $v_B$，并验证其能否通过最高点。

分析： 竖直面圆周运动绳模型临界条件：最高点仅靠重力提供向心力时速度最小，即 $mg = m v^2/L \Rightarrow v_{\min} = \sqrt{gL}$。绳模型最高点速度必须 $\ge \sqrt{gL}$，否则不能完成圆周运动（绳会松）。最低点拉力最大，最高点拉力最小。从 $B$到$A$，由机械能守恒（仅重力做功）可建立两位置速度关系，进而由 $T = m v^2/L \pm mg$（最高点为 $-$，最低点为 $+$）求张力。

解答： （1）最高点临界条件（绳恰好无拉力，仅重力提供向心力）： $$mg = \frac{m v_{\min}^2}{L} \thickspace\Rightarrow\thickspace v_{\min} = \sqrt{gL} = \sqrt{10\times 0.4} = 2\thinspace\text{m/s}$$

（2）最高点拉力（指向圆心方向为正，重力与拉力都指向圆心）： $$T_A + mg = \frac{m v_A^2}{L} \thickspace\Rightarrow\thickspace T_A = \frac{m v_A^2}{L} - mg = \frac{0.5\times 16}{0.4} - 5 = 20 - 5 = 15\thinspace\text{N}$$

（3）最低点拉力（拉力指向圆心、重力背离圆心）： $$T_B - mg = \frac{m v_B^2}{L} \thickspace\Rightarrow\thickspace \frac{m v_B^2}{L} = T_B - mg = 35 - 5 = 30$$ $$v_B^2 = \frac{30 L}{m} = \frac{30\times 0.4}{0.5} = 24 \thickspace\Rightarrow\thickspace v_B = \sqrt{24} \approx 4.9\thinspace\text{m/s}$$ 从 $B$到$A$，由机械能守恒（绳拉力不做功，仅重力做功）： $$\tfrac{1}{2} m v_B^2 = \tfrac{1}{2} m v_A^2 + m g\cdot 2L$$ $$v_A^2 = v_B^2 - 4 g L = 24 - 4\times 10\times 0.4 = 24 - 16 = 8$$ $$v_A = \sqrt 8 \approx 2.83\thinspace\text{m/s}$$ 此时 $v_A = \sqrt 8 > \sqrt{gL} = 2$，能通过最高点。相应 $T_A = \dfrac{m v_A^2}{L} - mg = \dfrac{0.5\times 8}{0.4} - 5 = 10 - 5 = 5\thinspace\text{N}$。

点评： 本题考查 03-圆周运动动力学 中竖直面圆周绳模型。临界条件总结：

• 绳模型：最高点 $v_{\min} = \sqrt{gL}$，绳力 $T \ge 0$；
• 杆模型：最高点 $v_{\min} = 0$，杆可施加支持力（向圆心外），$T$ 可为负。

易错：①把绳模型与杆模型临界条件混淆——杆能"顶住"物体，绳不能；②最高点与最低点向心力的"加减"方向——最高点重力指向圆心（与拉力同向），最低点重力背离圆心（与拉力反向）；③忽略机械能守恒（绳拉力不做功）连接两位置速度。详见 03-圆周运动动力学。

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ZH-04 ★★★：万有引力与卫星变轨

题目： 某行星质量 $M = 6.0\times 10^{24}\thinspace\text{kg}$、半径 $R = 6.4\times 10^6\thinspace\text{m}$，引力常量 $G = 6.67\times 10^{-11}\thinspace\text{N·m}^2/\text{kg}^2$。一颗卫星先在近地圆轨道 1（半径近似为 $R$）运行，经第一次点火变轨进入椭圆转移轨道 2，近地点为 $R$、远地点为 $3R$；再在远地点第二次点火进入圆轨道 3（半径 $3R$）。求： （1）卫星在轨道 1 的运行速度 $v_1$与周期$T_1$； （2）卫星在轨道 2 远地点的速度 $v_{2远}$（椭圆轨道上远地点速度）； （3）比较卫星在轨道 1 上的速度 $v_1$、轨道 2 上近地点速度 $v_{2近}$、轨道 3 上的速度 $v_3$ 三者大小。

分析：

• 圆轨道：万有引力提供向心力，$G\dfrac{Mm}{r^2} = \dfrac{m v^2}{r}$，得 $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$（随 $r$ 增大而减小）。
• 椭圆轨道：可用机械能守恒与开普勒第二定律（等面积速率：近地点速度大、远地点速度小）。
• 变轨点：点火前后速度突变（轨道 1 → 轨道 2 在近地点加速，轨道 2 → 轨道 3 在远地点加速）。

解答： （1）轨道 1（$r = R$）： $$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{\frac{6.67\times 10^{-11}\times 6.0\times 10^{24}}{6.4\times 10^6}} = \sqrt{\frac{4.0\times 10^{14}}{6.4\times 10^6}} = \sqrt{6.25\times 10^7} \approx 7906\thinspace\text{m/s} \approx 7.9\thinspace\text{km/s}$$ 周期： $$T_1 = \frac{2\pi R}{v_1} = \frac{2\pi\times 6.4\times 10^6}{7906} \approx 5087\thinspace\text{s}\approx 84.8\thinspace\text{min}$$

（2）椭圆轨道 2：近地点 $r_近 = R$，远地点 $r_远 = 3R$，半长轴 $a = 2R$。由开普勒第二定律（角动量守恒）： $$v_{2近}\cdot r_近 = v_{2远}\cdot r_远 \thickspace\Rightarrow\thickspace v_{2近}\cdot R = v_{2远}\cdot 3R \thickspace\Rightarrow\thickspace v_{2近} = 3 v_{2远}$$ 机械能守恒（从近地点到远地点）： $$\tfrac{1}{2} m v_{2近}^2 - \frac{GMm}{R} = \tfrac{1}{2} m v_{2远}^2 - \frac{GMm}{3R}$$ 代入 $v_{2近} = 3 v_{2远}$： $$\tfrac{1}{2}(9 v_{2远}^2) - \frac{GM}{R} = \tfrac{1}{2} v_{2远}^2 - \frac{GM}{3R}$$ $$4 v_{2远}^2 = \frac{GM}{R}\cdot\frac{2}{3} \thickspace\Rightarrow\thickspace v_{2远} = \sqrt{\frac{GM}{6R}} = \frac{v_1}{\sqrt 6} \approx \frac{7906}{2.449} \approx 3228\thinspace\text{m/s}\approx 3.23\thinspace\text{km/s}$$

（3）轨道 3（$r = 3R$）： $$v_3 = \sqrt{\frac{GM}{3R}} = \frac{v_1}{\sqrt 3} \approx 4567\thinspace\text{m/s}$$ 比较：

• $v_1 \approx 7.9\thinspace\text{km/s}$；
• $v_{2近} = 3 v_{2远} \approx 9.68\thinspace\text{km/s}$（变轨加速后 > $v_1$）；
• $v_{2远} \approx 3.23\thinspace\text{km/s} < v_3 \approx 4.57\thinspace\text{km/s}$；
• $v_3 \approx 4.57\thinspace\text{km/s}$。

综上大小关系：$$v_{2近} > v_1 > v_3 > v_{2远}$$

点评： 本题考查 04-万有引力与航天 中卫星变轨问题。核心规律：①圆轨道 $v = \sqrt{GM/r}$，半径越大速度越小；②椭圆轨道远地点速度 < 同半径圆轨道速度 < 近地点速度，故变轨"加速"升轨——近地点加速进入椭圆、远地点再加速进入更高圆轨道；③开普勒第二定律 $v\cdot r = \text{const}$（近地点与远地点）。易错：把椭圆轨道近地点速度与圆轨道速度混同——变轨后近地点速度是 $v_1 + \Delta v$大于$v_1$。详见 04-万有引力与航天 与 05-宇宙航行与拓展。

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ZH-05 ★★★：双星系统计算

题目： 宇宙中两颗恒星 $A$、$B$距离$L = 4\times 10^{9}\thinspace\text{m}$，质量 $m_A = 3\times 10^{30}\thinspace\text{kg}$、$m_B = 1\times 10^{30}\thinspace\text{kg}$。两恒星在相互引力作用下绕连线上的某点 $O$（质心）做匀速圆周运动，周期相同。引力常量 $G = 6.67\times 10^{-11}\thinspace\text{N·m}^2/\text{kg}^2$。求： （1）两恒星到质心 $O$的距离$r_A$、$r_B$； （2）两恒星做圆周运动的角速度 $\omega$与周期$T$； （3）两恒星的线速度之比 $v_A : v_B$与向心加速度之比$a_A : a_B$。

分析： 双星系统特点：①两星绕同一质心做圆周运动，周期/角速度相同；②两星距离 $L = r_A + r_B$，由 $m_A r_A = m_B r_B$（质心定义）确定各自半径；③两星间的万有引力同时提供两星各自的向心力，故 $\dfrac{G m_A m_B}{L^2} = m_A \omega^2 r_A = m_B \omega^2 r_B$。

解答： （1）质心条件：$m_A r_A = m_B r_B$，且 $r_A + r_B = L$： $$r_A = \frac{m_B}{m_A + m_B} L = \frac{1\times 10^{30}}{4\times 10^{30}}\times 4\times 10^9 = 1\times 10^9\thinspace\text{m}$$ $$r_B = \frac{m_A}{m_A + m_B} L = \frac{3}{4}\times 4\times 10^9 = 3\times 10^9\thinspace\text{m}$$ （验证：$r_A + r_B = 4\times 10^9 = L$ ✓；$m_A r_A = 3\times 10^{39} = m_B r_B$ ✓）

（2）以 $A$ 为对象，万有引力 = 向心力： $$\frac{G m_A m_B}{L^2} = m_A \omega^2 r_A \thickspace\Rightarrow\thickspace \omega^2 = \frac{G m_B}{L^2 r_A}$$ 将 $r_A = \dfrac{m_B}{m_A + m_B} L$代入得$\omega^2 = \dfrac{G(m_A + m_B)}{L^3}$： $$\omega = \sqrt{\frac{6.67\times 10^{-11}\times 4\times 10^{30}}{(4\times 10^9)^3}} = \sqrt{\frac{2.668\times 10^{20}}{6.4\times 10^{28}}} = \sqrt{4.17\times 10^{-9}}$$ $$\omega \approx 6.46\times 10^{-5}\thinspace\text{rad/s}$$ 周期： $$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{6.46\times 10^{-5}} \approx 9.73\times 10^4\thinspace\text{s} \approx 27.0\thinspace\text{小时}$$

（3）线速度：$v = \omega r$，$\omega$ 相同： $$v_A : v_B = r_A : r_B = 1 : 3$$ 向心加速度：$a = \omega^2 r$，$\omega$ 相同： $$a_A : a_B = r_A : r_B = 1 : 3$$ （也可以由 $a = F/m$，两星引力相同，$a \propto 1/m$，故 $a_A : a_B = m_B : m_A = 1 : 3$，结论一致）

点评： 本题考查 04-万有引力与航天 中双星模型。重要规律：

• 双星周期、角速度相同；
• 半径与质量成反比 $r \propto 1/m$（质心条件）；
• 线速度、向心加速度均与半径成正比，即与质量成反比；
• $\omega^2 = G(m_A + m_B)/L^3$（注意分母是 $L^3$，不是 $r^3$）。

易错：①把双星当成单星绕中心天体运动（公式分母用 $r^3$而非$L^3$）；②误认为质量大的运动快——实际质量大的半径小、速度小、加速度小。详见 04-万有引力与航天。

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ZH-06 ★★★：同步卫星与近地卫星对比

题目： 已知地球质量 $M = 6.0\times 10^{24}\thinspace\text{kg}$、半径 $R = 6.4\times 10^6\thinspace\text{m}$、自转周期 $T_0 = 24\thinspace\text{h}$，引力常量 $G = 6.67\times 10^{-11}\thinspace\text{N·m}^2/\text{kg}^2$。求： （1）地球同步卫星的轨道半径 $r_{\text{同}}$与离地高度$h$； （2）同步卫星的线速度 $v_{\text{同}}$与近地卫星线速度$v_{\text{近}}$ 之比； （3）同步卫星的向心加速度 $a_{\text{同}}$与近地卫星向心加速度$a_{\text{近}}$之比，以及同步卫星向心加速度与赤道上静止物体向心加速度$a_{\text{赤}}$ 之比。

分析： 同步卫星特点：周期与地球自转周期相同 $T = T_0 = 24\thinspace\text{h}$，轨道在赤道上空，相对地面静止。 近地卫星：轨道半径近似为 $R$，$v_{\text{近}} = \sqrt{GM/R} \approx 7.9\thinspace\text{km/s}$（第一宇宙速度）。

由 $\dfrac{GMm}{r^2} = m\omega^2 r = m\cdot\dfrac{4\pi^2}{T^2} r$，得 $r^3 = \dfrac{GMT^2}{4\pi^2}$（开普勒第三定律）。 赤道上静止物体：随地球自转做圆周运动，周期 $T_0$、半径 $R$，向心加速度 $a_{\text{赤}} = \omega_0^2 R$。

解答： （1）同步卫星由开普勒第三定律： $$r_{\text{同}}^3 = \frac{G M T_0^2}{4\pi^2} = \frac{6.67\times 10^{-11}\times 6.0\times 10^{24}\times (86400)^2}{4\pi^2}$$ $$\approx \frac{2.98\times 10^{23}}{39.48}\approx 7.55\times 10^{21}$$ $$r_{\text{同}} \approx \sqrt[3]{7.55\times 10^{21}} \approx 4.23\times 10^7\thinspace\text{m}$$ 离地高度： $$h = r_{\text{同}} - R \approx 4.23\times 10^7 - 0.64\times 10^7 = 3.59\times 10^7\thinspace\text{m}\approx 5.6 R$$

（2）近地卫星速度 $v_{\text{近}} = \sqrt{GM/R}$，同步卫星速度 $v_{\text{同}} = \sqrt{GM/r_{\text{同}}}$： $$\frac{v_{\text{同}}}{v_{\text{近}}} = \sqrt{\frac{R}{r_{\text{同}}}} = \sqrt{\frac{6.4\times 10^6}{4.23\times 10^7}} = \sqrt{0.151} \approx 0.389 \approx 0.39$$ （即 $v_{\text{同}}\approx 3.1\thinspace\text{km/s}$、$v_{\text{近}}\approx 7.9\thinspace\text{km/s}$）

（3）同步卫星向心加速度 $a_{\text{同}} = GM/r_{\text{同}}^2$，近地卫星 $a_{\text{近}} = GM/R^2$： $$\frac{a_{\text{同}}}{a_{\text{近}}} = \frac{R^2}{r_{\text{同}}^2} = \left(\frac{R}{r_{\text{同}}}\right)^2 \approx 0.151^2 \approx 0.0228\approx 0.023$$

同步卫星与赤道静止物体周期相同（都为 $T_0$），由 $a = \omega^2 r \propto r$： $$\frac{a_{\text{同}}}{a_{\text{赤}}} = \frac{r_{\text{同}}}{R} \approx \frac{4.23\times 10^7}{6.4\times 10^6} \approx 6.6$$

点评： 本题考查 05-宇宙航行与拓展 中三种典型卫星/物体比较。重要规律：

• 同步卫星：周期 $T_0 = 24\thinspace\text{h}$、轨道在赤道上空、相对地面静止、$r_{\text{同}} \approx 6.6 R$；
• 近地卫星：$r \approx R$、$v \approx 7.9\thinspace\text{km/s}$、$T \approx 85\thinspace\text{min}$；
• 赤道静止物体：随地球自转，$T = T_0$，但受万有引力与支持力合力提供向心力（不是仅万有引力）。

易错：①把同步卫星向心加速度与赤道静止物体向心加速度等同——二者周期相同但半径差 6.6 倍，向心加速度差 6.6 倍；②把同步卫星速度与第一宇宙速度等同——同步卫星在更高轨道，速度反而更小（$v \propto 1/\sqrt r$）；③认为同步卫星"无向心加速度"——错，做圆周运动必有向心加速度。详见 05-宇宙航行与拓展。

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题号编排规则与难度标识

• 题号编排：每道题的题号采用 版块代号-序号 形式，版块代号与目录一致——YD（Yun Dong，运动学）、ND（Niu Dun，牛顿运动定律）、ZH（Zong He，综合应用与拓展）。例如 YD-01 表示运动学第 1 题，ND-06 表示牛顿运动定律第 6 题，ZH-03 表示综合应用第 3 题。
• 难度标识：
  • ★ 基础：单一知识点直接套用公式，适合首次学习后即时巩固。
  • ★★ 中等：综合 2-3 个知识点，含一定图像/模型分析，适合章节复习与单元测试。
  • ★★★ 综合：跨版块综合（如运动学+牛顿定律+圆周、万有引力+卫星轨道+能量），含较复杂的物理过程分析，适合高考压轴与冲刺训练。
• 解答规范：每道题包含"题目—分析—解答—点评"四部分，点评中标注涉及的核心知识点 wikilink（如 06-牛顿第二定律）以便回溯。关键步骤用 ==高亮== 标记，公式用 LaTeX $...$ 与 $$...$$。
• 题目统计：全册共 24 道题，覆盖三大版块——运动学 8 道、牛顿运动定律 10 道、综合应用与拓展 6 道。

作者寄语

力学是物理学的根，刷题不是机械重复而是建立"模型直觉"的过程。结合本例题集的使用，给出三点核心建议：

1. 受力分析是核心：每道动力学题第一步必画受力图，按"重力—弹力—摩擦力—其他外力"顺序逐一排查，标清每个力的方向与施力物体。本例题集中 ND-01、ND-03、ND-04、ND-08、ND-09 都依赖规范的受力分析。受力分析错了，后续一切公式都是空中楼阁。
2. 整体法与隔离法灵活切换：连接体问题先用整体法求共同加速度（暴露外力、隐藏内力），再用隔离法求内力（暴露内力）。何时切？求整体加速度用整体法，求两物块间作用力必须隔离。ND-08 即典型示范。临界问题（如 ND-06 瞬时、YD-05 避碰、ZH-03 圆周绳模型）还要识别"刚好"条件——速度相等、绳力为零、即将脱离等。
3. 临界条件识别：追及相遇看"速度相等"，绳模型最高点看 $v = \sqrt{gL}$，传送带看"共速时刻摩擦力突变"，斜面静止看 $\tan\theta$与$\mu$ 关系。识别临界点是化解压轴题的关键。

力学虽繁，但只要掌握了基本模型与核心方法，就能以不变应万变。祝同学们在物理学习路上越走越远，力学从"难点"变成"得分点"！更系统的知识框架见 00-力学总览，电学例题集见 99-电学例题集——力学模型在电学中频繁复现（如类平抛、圆周偏转），打通力电才能登堂入室。