Appearance
运动学（竞赛）
概览
运动学是"不追问原因、只描述运动"的学问，是全部力学的语言基础。高中运动学受代数工具所限，只能处理匀变速直线、抛体与匀速圆周等少数特殊情形；竞赛运动学引入 01-微积分基础 与 03-矢量运算 两大武器，把"背公式"升级为"解方程"：速度与加速度被重新定义为微积分量 $\vec v=\dfrac{d\vec r}{dt}$、$\vec a=\dfrac{d^2\vec r}{dt^2}$，匀变速公式降级为 $a=$常数时的特例；坐标系从直角坐标扩展为极坐标（径向/横向分解）与自然坐标（切向/法向分解），从而可以系统处理一般曲线运动——曲率半径$\rho=\dfrac{|\vec v|^3}{|\vec v\times\vec a|}$ 是本节的核心工具。配合 02-微分方程初步 的三类求解套路（$a=a(t)$、$a=a(v)$、$a=a(x)$），"由加速度反推运动"成为常规操作；伽利略变换则赋予我们换参考系的能力。本笔记在 高中力学总览 基础上深化，为 02-牛顿运动定律与非惯性系 提供描述工具，并为 05-动量与角动量、07-万有引力与天体运动 埋下伏笔。
核心概念
一、参考系与坐标系
运动的描述必须先选定参考系（观察者），同一运动在不同参考系中的描述不同。参考系确定后，用坐标系定量标出质点位置。三种最常用的坐标系：
| 坐标系 | 基矢特点 | 最适用情形 |
|---|---|---|
| 直角坐标 $(x,y,z)$ | 基矢$\hat i,\hat j,\hat k$ 固定不变 | 抛体、平动类问题，分解简单 |
| 极坐标 $(r,\theta)$ | 基矢$\hat e_r,\hat e_\theta$ 随质点转动 | 圆周运动、有心力轨道、任何绕定点的问题 |
| 自然坐标（弧坐标） | 基矢 $\hat e_t,\hat e_n$ 沿轨迹建立 | 任意曲线运动，描述"快慢与拐弯" |
竞赛中选坐标系 不是细节而是策略：同一个圆周运动，直角坐标要解联立方程，极坐标一行写出。判断标准：问题有无对称中心（选极坐标）、轨道是否已知（选自然坐标）。
二、位移、速度与加速度的微积分定义
质点位置由位置矢量 $\vec r(t)$描述。从$t$到$t+\Delta t$的位移$\Delta\vec r=\vec r(t+\Delta t)-\vec r(t)$（矢量，只与起点终点有关），路程 $\Delta s$ 是轨迹弧长（标量）。
$$ \boxed{\thickspace\vec v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\vec r}{\Delta t}=\frac{d\vec r}{dt},\qquad \vec a=\frac{d\vec v}{dt}=\frac{d^2\vec r}{dt^2}\thickspace} $$
积分关系（微积分基本定理的直接应用）：
$$ \vec r(t_2)-\vec r(t_1)=\int_{t_1}^{t_2}\vec v\thinspace{}dt,\qquad \vec v(t_2)-\vec v(t_1)=\int_{t_1}^{t_2}\vec a\thinspace{}dt $$
运动学"描述链"
$s\xrightarrow{\ \text{求导}\ }v\xrightarrow{\ \text{求导}\ }a$，反向由积分回推。高中只处理 $a$为常数的积分，竞赛处理$a$ 任意变化的积分——这正是 01-微积分基础 实例 1 的推广。
三、直角坐标系中的运动分解
在直角坐标中，矢量方程拆成三个独立标量方程：
$$ \vec r=x\hat i+y\hat j,\quad v_x=\dfrac{dx}{dt},\quad v_y=\dfrac{dy}{dt},\quad a_x=\dfrac{dv_x}{dt},\quad a_y=\dfrac{dv_y}{dt} $$
运动的合成与分解是线性的：平抛 $x=v_0t,\ y=\tfrac12gt^2$中，两个方向的运动完全独立（速度合成、位移合成均满足平行四边形法则）。消去$t$得轨道方程$y=y(x)$，例如平抛 $y=\dfrac{g}{2v_0^2}x^2$，轨迹是抛物线。
四、极坐标系：径向与横向分解
极坐标中位置矢量 $\vec r=r\thinspace\hat e_r$。注意 $\hat e_r$的方向随$\theta$ 变化，其导数：
$$ \frac{d\hat e_r}{dt}=\dot\theta\thinspace\hat e_\theta,\qquad \frac{d\hat e_\theta}{dt}=-\dot\theta\thinspace\hat e_r $$
对 $\vec r$ 逐次求导得极坐标下的速度与加速度：
$$ \boxed{\thickspace\vec v=\dot r\thinspace\hat e_r+r\dot\theta\thinspace\hat e_\theta\thickspace} $$
$$ \boxed{\thickspace\vec a=(\ddot r-r\dot\theta^2)\thinspace\hat e_r+(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta)\thinspace\hat e_\theta\thickspace} $$
各项物理含义：
| 项 | 名称 | 含义 |
|---|---|---|
| $\dot r\thinspace\hat e_r$ | 径向速度 | 离定点"远近"的变化快慢 |
| $r\dot\theta\thinspace\hat e_\theta$ | 横向（切向）速度 | 绕定点"转角"的快慢 |
| $\ddot r\thinspace\hat e_r$ | 径向加速度 | 径向快慢的变化率 |
| $-r\dot\theta^2\thinspace\hat e_r$ | 向心项 | 由转角引起、指向中心（即使$r$ 不变也存在） |
| $2\dot r\dot\theta\thinspace\hat e_\theta$ | 科里奥利项（运动学） | 径向与横向速度耦合产生 |
| $r\ddot\theta\thinspace\hat e_\theta$ | 横向加速度 | 角速度的变化 |
横向加速度可改写为：
$$ 2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta=\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot\theta) $$
这为 05-动量与角动量 中 $r^2\dot\theta=$常数（角动量守恒、开普勒第二定律）埋下伏笔：有心力问题中横向加速度恒为零，故$r^2\dot\theta$ 守恒。
五、自然坐标思想（铺垫）
沿轨迹切线取 $\hat e_t$，法线取 $\hat e_n$（指向曲率中心）。速度恒沿切向 $\vec v=v\thinspace\hat e_t$；加速度分解为
$$ \boxed{\thickspace\vec a=\frac{dv}{dt}\thinspace\hat e_t+\frac{v^2}{\rho}\thinspace\hat e_n\thickspace=\thickspace{}a_t\thinspace\hat e_t+a_n\thinspace\hat e_n\thickspace} $$
其中 $\rho$ 是轨迹在该点的曲率半径。$a_t$ 改变速度大小，$a_n$ 改变速度方向——这两个作用完全分离，是理解一切曲线运动的钥匙。完整推导见下文"推导与原理"第四节。
推导与原理
一、直线运动：三类微分方程与图像法
一维运动中 $\vec v,\vec a$只保留符号（代数量）。已知加速度函数求运动，按$a$ 的依赖关系分三类：
| 形式 | 处理手段 | 先求出什么 | 典型例子 |
|---|---|---|---|
| $a=a(t)$ | 直接积分$v=v_0+\int a\thinspace{}dt$ | $v(t)$，再积分得 $x(t)$ | 受正弦驱动、机车变功率 |
| $a=a(v)$ | 分离变量：$dt=\dfrac{dv}{a(v)}$，$dx=\dfrac{v\thinspace{}dv}{a(v)}$ | $t(v)$与$x(v)$，再反解 | 阻力 $a=-kv$、$a=-kv^2$ |
| $a=a(x)$ | 换元：$a=v\dfrac{dv}{dx}$，积分 $v\thinspace{}dv=a\thinspace{}dx$ | $v(x)$，再 $t=\int\dfrac{dx}{v(x)}$ | $a=-kx$（简谐）、弹簧、电场中运动 |
$a=a(x)$ 的关键技巧——消去时间变量：
$$ a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx} \quad\Rightarrow\quad \boxed{\thickspace{}v\thinspace{}dv=a(x)\thinspace{}dx\thickspace}\qquad \tfrac12(v^2-v_0^2)=\int_{x_0}^{x}a(x')\thinspace{}dx' $$
这一等式也是 04-功与机械能 中动能定理 $\tfrac12mv^2-\tfrac12mv_0^2=\int F\thinspace{}dx$ 的雏形。
匀变速为特例：$a=$ 常数时，三类方法统一给出
$$ v=v_0+at,\qquad x=x_0+v_0t+\tfrac12at^2,\qquad v^2-v_0^2=2a(x-x_0) $$
竞赛中凡出现 "匀变速" 四字，直接调用；但务必先判断加速度是否真的恒定。
$v$-$t$图像法：斜率$=\dfrac{dv}{dt}=a$（瞬时加速度），图像与 $t$轴围成的有向面积$=\int v\thinspace{}dt=$位移（下方为负，路程需取绝对值）。图像法不依赖函数表达式，是定性分析与分段运动的首选。实验数据处理中常用逐差法减小偶然误差：对等时间间隔$T$的相邻位移$x_1,x_2,\dots$，取 $a=\dfrac{(x_4+x_5+x_6)-(x_1+x_2+x_3)}{9T^2}$，使每个 $x_i$ 都被用上。
二、抛体运动：轨道、射程与包络线
抛体只在重力下运动，$a_x=0,\ a_y=-g$，是直角坐标分解的标准示范。斜抛初速 $v_0$、仰角 $\theta$：
$$ x=v_0\cos\theta\thinspace{}t,\qquad y=v_0\sin\theta\thinspace{}t-\tfrac12gt^2 $$
轨道方程（消去 $t$）：
$$ y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\theta} $$
射程与最大射程：落地时间 $T=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g}$，故
$$ \boxed{\thickspace{}R=\frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}\thickspace} $$
$R$对$\theta$ 求导取零：$R'(\theta)=\dfrac{2v_0^2\cos2\theta}{g}=0$，得 $\theta=45°$，最大射程
$$ \boxed{\thickspace{}R_{\max}=\dfrac{v_0^2}{g}\thickspace} $$
实用结论
抛体在任意时刻的速度偏转角 $\beta$与位移偏转角$\alpha$满足$\tan\beta=2\tan\alpha$（$v_y=v_0\sin\theta-gt$恰是$y$的$2$倍斜率），作图与速算常用。此外$\sin2\theta$的对称性说明$\theta$与$90°-\theta$ 射程相同。
包络线（可达区域的边界）：把轨道方程视为关于 $\tan\theta$ 的方程：
$$ \frac{gx^2}{2v_0^2}\tan^2\theta-x\tan\theta+\left(y+\frac{gx^2}{2v_0^2}\right)=0 $$
给定 $(x,y)$，只有该方程有实根时这一点才可达，判别式 $\Delta\ge 0$：
$$ x^2-4\cdot\frac{gx^2}{2v_0^2}\left(y+\frac{gx^2}{2v_0^2}\right)\ge 0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{\thickspace{}y\le\frac{v_0^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v_0^2}\thickspace} $$
故包络线是抛物线
$$ \boxed{\thickspace{}y=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v_0^2}\thickspace} $$
包络线顶点在 $h_{\max}=\dfrac{v_0^2}{2g}$（竖直上抛高度），与地面交点 $x=\dfrac{v_0^2}{g}=R_{\max}$——一切抛体的射程不超过包络线与地面的交点，且恰由 $45°$ 抛体实现。凡是"一个速率能抛多高、多远"的问题，直接画包络线。
三、圆周运动：角量、线量与变速圆周
圆周运动用角量描述最简洁：角坐标 $\theta$、角速度 $\omega=\dfrac{d\theta}{dt}$、角加速度 $\alpha=\dfrac{d\omega}{dt}$。线量—角量对应关系：
| 线量 | 角量 | 关系 |
|---|---|---|
| 弧长 $s$ | 角位移$\theta$ | $s=\theta r$ |
| 线速度 $v$ | 角速度$\omega$ | $v=\omega r$ |
| 切向加速度 $a_t$ | 角加速度$\alpha$ | $a_t=\alpha r$ |
| 法向加速度 $a_n$ | — | $a_n=\omega^2r=\dfrac{v^2}{r}$ |
匀速圆周：$v$ 大小不变，$\vec a$ 恒指向圆心，$a=\dfrac{v^2}{r}$。变速圆周：$\vec a$不再指向圆心，分解为$a_t=\dfrac{dv}{dt}$（改变快慢）与 $a_n=\dfrac{v^2}{r}$（改变方向）。角加速度恒定时，角量满足与匀变速直线同构的公式：
$$ \omega=\omega_0+\alpha t,\qquad \theta=\theta_0+\omega_0t+\tfrac12\alpha t^2 $$
向心加速度的矢量推导（竞赛标准做法）：$\vec v$ 大小不变、方向匀速旋转，速度矢量端点在"速度圆"上画圆，$\Delta t$内$\vec v$转过$\Delta\theta=\omega\Delta t$，故 $|\Delta\vec v|=v\Delta\theta$，取极限：
$$ a_n=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{|\Delta\vec v|}{\Delta t}=v\omega=\frac{v^2}{r}=\omega^2r $$
这个推导体现微元法的精髓：小段圆弧上，速度方向匀速旋转，向心加速度即速度矢量的"转动加速度"。
四、一般曲线运动：自然坐标与曲率半径
曲线运动在每一点附近可用一个与轨迹密切的圆（曲率圆）局部代替，其半径即曲率半径 $\rho$。由自然坐标分解：
$$ a_n=\frac{v^2}{\rho},\qquad \rho=\frac{v^2}{a_n} $$
已知运动方程 $x(t),y(t)$时，计算$\rho$ 的通用公式：
$$ \boxed{\thickspace\rho=\frac{|\vec v|^3}{|\vec v\times\vec a|} =\frac{\left(v_x^2+v_y^2\right)^{3/2}}{|v_xa_y-v_ya_x|}\thickspace} $$
推导：$a_n$是$\vec a$中垂直于$\vec v$的分量，而$|\vec v\times\vec a|=|\vec v|\thinspace{}a_n$（叉积取法向分量），代入 $\rho=\dfrac{v^2}{a_n}$即得。二维情形$|\vec v\times\vec a|=|v_xa_y-v_ya_x|$ 即为上式的分母。
等价形式
若轨道以显函数 $y=y(x)$给出，由参数式（取$x$ 为参数，$v_x=1$、$a_x=0$）代入得经典公式 $\rho=\dfrac{(1+y'^2)^{3/2}}{|y''|}$。两种形式各有用武之地：给运动方程用矢量式，给轨道方程用显函数式。
例：平抛 $x=v_0t,\ y=\tfrac12gt^2$。$v_x=v_0,\ v_y=gt$，$\vec a=(0,-g)$，$|v_xa_y-v_ya_x|=v_0g$，故
$$ \rho=\frac{(v_0^2+g^2t^2)^{3/2}}{v_0g} $$
例：斜抛最高点 $v=v_0\cos\theta$（竖直分量归零）、$a=g$且恰垂直于$\vec v$，故
$$ \boxed{\thickspace\rho_{\text{顶}}=\frac{v_0^2\cos^2\theta}{g}\thickspace} $$
注意最高点速度不为零、加速度也不为零，只是 $v_y=0$。$\theta=90°$时退化为竖直上抛$\rho=\dfrac{0^2}{g}=0$（轨迹无弯度，曲率半径为零极限），$\theta=0°$时即平抛顶点$\rho=\dfrac{v_0^2}{g}$。
五、相对运动：伽利略变换与速度合成
设 $A$相对$B$的速度为$\vec v_{A/B}$（读作"$A$相对$B$"），$B$相对地面为$\vec v_{B}$，则
$$ \boxed{\thickspace\vec v_A=\vec v_B+\vec v_{A/B}\qquad\text{（对地速度 }=\text{ 牵连速度}+\text{ 相对速度）}\thickspace} $$
对应的位移与加速度变换：$\vec r_A=\vec r_B+\vec r_{A/B}$；若 $B$相对地面匀速平动，则$\vec a_A=\vec a_{A/B}$（加速度的伽利略不变性，是牛顿力学成立的前提，衔接 02-牛顿运动定律与非惯性系）。速度合成公式是矢量加法，作图时以"未知速度箭头补齐闭合三角形"为准则。
下标规则
$\vec v_{A/B}=-\vec v_{B/A}$。做题第一步永远是写清下标："雨相对车 = 雨相对地 − 车相对地"，即 $\vec v_{雨/车}=\vec v_{雨}-\vec v_{车}$。符号错，全盘错。
典型实例与物理应用
专题一：追及相遇与运动极值（导数法）
问题：前后两车同向行驶，前车以 $v_1$匀速，后车初速$v_2>v_1$、以加速度 $a$匀减速，初始间距$d_0$，求最小间距。
解法一（图像法）：作两车 $v$-$t$图，后车速度曲线恰降到$v_1$的时刻$t^*=\dfrac{v_2-v_1}{a}$，两者速度差为零时两线围合面积（间距变化量）最大：
$$ d_{\min}=d_0-\frac{(v_2-v_1)^2}{2a} $$
解法二（相对运动）：以后车为参考系，前车相对后车做初速 $(v_1-v_2)$、加速度 $a$ 的匀变速运动；相对速度为零时相对位移取极值——与图像法殊途同归。
解法三（导数法，通法）：间距函数 $d(t)=d_0+(v_1-v_2)t+\tfrac12at^2$，令 $d'(t)=0$得$t^*$，再判 $d''(t)=a>0$ 为极小值。
一般套路
追及相遇类问题本质是极值问题。建立间距函数 $\to$求导令零$\to$判断极值是万能路径；相对运动法把"追赶"变成"逼近"，常使问题降维；图像法直观。三者交叉验证，竞赛中选取最简单者即可。若后车初始$\tfrac12(v_2-v_1)^2/a\ge d_0$，则追不上且最小间距为零即相撞，对应临界条件。
专题二：微元法与积分求运动（$a=-kv$ 例）
微元法：把运动过程切成无穷小段 $\Delta t$，在每小段上近似"加速度恒定"，写出 $\Delta v=a\thinspace\Delta t$、$\Delta x=v\thinspace\Delta t$，再求和取极限成积分。"先微元、后积分"是竞赛力学最通用的方法论。
例：某质点加速度与速度成正比反向 $a=-kv$（如黏性介质中阻力所致，衔接 02-牛顿运动定律与非惯性系），初速 $v_0$，求 $v(t)$与$x(t)$。
这是 $a=a(v)$ 型，分离变量：
$$ dt=\frac{dv}{-kv}\quad\Rightarrow\quad\int_0^t dt=-\frac1k\int_{v_0}^{v}\frac{dv}{v} \quad\Rightarrow\quad v=v_0\thinspace{}e^{-kt} $$
再积分 $x(t)=\int_0^t v\thinspace{}dt=\dfrac{v_0}{k}\left(1-e^{-kt}\right)$。速度按指数衰减、永不真正到零；但极限位移有限：
$$ x_\infty=\lim_{t\to\infty}x(t)=\frac{v_0}{k} $$
时间常数 $\tau=\dfrac1k$：每过 $\tau$，速度衰减为原来的 $\dfrac1e\approx 0.368$。这类"渐近趋近"的图像在热学（冷却）、电路（RC 充电）中反复出现，务必熟悉。
实例 1：渡河问题——矢量三角形的极值
河宽 $d$，水速 $v$恒定向右，船相对静水速度$u$。船头与河岸夹角 $\theta$（向上游偏）：
- 最短时间：船头垂直河岸，$t_{\min}=\dfrac{d}{u}$（横向位移由 $u$ 单独决定，与水速无关）；
- 最短航程（$u>v$）：船头斜向上游使合速度垂直河岸，$\sin\theta=\dfrac{v}{u}$，$s_{\min}=d$，时间 $t=\dfrac{d}{\sqrt{u^2-v^2}}$；
- 最短航程（$u<v$）：合速度无法垂直河岸。令 $s(\theta)=\dfrac{d(v-u\sin\theta)}{u\cos\theta}$，求导令零得 $\sin\theta=\dfrac{u}{v}$（几何上即合速度垂直于船的静水速度，矢量三角形中 $u$ 与合速度成直角），最短航程
$$ s_{\min}=\frac{d\sqrt{v^2-u^2}}{u} $$
渡河问题浓缩了相对运动作图法的全部要点：写清"船对岸 = 船对水 + 水对岸"，画闭合矢量三角形，极值用几何或导数处理。
实例 2：极坐标与开普勒第二定律（衔接天体）
取太阳为极点，行星位置 $(r,\theta)$。若行星只受有心力，横向加速度为零，由极坐标公式：
$$ \frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot\theta)=0 \quad\Rightarrow\quad r^2\dot\theta=\text{常数} $$
而行星掠过的面积速率 $\dfrac{dS}{dt}=\tfrac12r^2\dot\theta$，于是相等时间扫过相等面积——开普勒第二定律在极坐标中一行导出。这正是极坐标"径向对称问题天然优势"的典型展示，完整推导见 07-万有引力与天体运动。
例题
例 1：斜抛的最大射程与包络线
题目：从水平地面以速率 $v_0$斜抛，求射程公式与最大射程及其仰角；并证明该速率下所有抛体轨迹的包络线为$y=\dfrac{v_0^2}{2g}-\dfrac{gx^2}{2v_0^2}$。
分析：射程问题对 $\theta$求导；包络线把轨道方程整理为$\tan\theta$ 的一元二次方程，用判别式为零求边界。
解答：射程 $R(\theta)=\dfrac{v_0^2\sin2\theta}{g}$。令 $R'(\theta)=\dfrac{2v_0^2\cos2\theta}{g}=0$，得 $\theta=45°$，$R_{\max}=\dfrac{v_0^2}{g}$。
包络线：轨道方程移项为关于 $t=\tan\theta$ 的方程 $$ \frac{gx^2}{2v_0^2}t^2-xt+\left(y+\frac{gx^2}{2v_0^2}\right)=0 $$ 某点 $(x,y)$可达$\iff$判别式$\Delta=x^2-\dfrac{2gx^2}{v_0^2}\left(y+\dfrac{gx^2}{2v_0^2}\right)\ge 0$，即 $$ y\le\frac{v_0^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v_0^2} $$ 边界即包络线 $y=\dfrac{v_0^2}{2g}-\dfrac{gx^2}{2v_0^2}$。
点评：包络线与地面交于 $x=\dfrac{v_0^2}{g}=R_{\max}$，与最大射程自洽——45° 抛体恰好"贴"着包络线飞行。"判别式法求包络"是竞赛通用技巧：把一族曲线写成关于参数的二次方程，令 $\Delta=0$。也可用"同一抛物线上每点对应唯一 $\theta$"的条件 $\partial y/\partial\theta=0$ 联立求解，殊途同归。
例 2：平抛运动的曲率半径
题目：以 $v_0=10$m/s 从离地$h=5$m 处平抛（取$g=10$m/s²）。求$t$时刻轨迹的曲率半径$\rho(t)$；求初抛瞬间与落地瞬间的曲率半径，并比较。
分析：$v_x=v_0$、$v_y=gt$与$\vec a=(0,-g)$均已知，直接用矢量式$\rho=\dfrac{|\vec v|^3}{|\vec v\times\vec a|}$。
解答：$|\vec v|=\sqrt{v_0^2+g^2t^2}$，$|\vec v\times\vec a|=|v_xa_y-v_ya_x|=v_0g$，故
$$ \rho(t)=\frac{\left(v_0^2+g^2t^2\right)^{3/2}}{v_0g} $$
初抛瞬间（$t=0$）：$\rho(0)=\dfrac{v_0^2}{g}=\dfrac{100}{10}=10$ m。
落地瞬间：$t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=1$ s，$\rho(1)=\dfrac{(100+100)^{3/2}}{100}=\dfrac{200\sqrt{200}}{100}=20\sqrt2\approx 28.3$ m。
点评：初抛瞬间速度 $v_0$ 水平、$g$ 竖直，两者垂直，$a_n=g$，故 $\rho=\dfrac{v_0^2}{g}$与匀速圆周的$a=\dfrac{v^2}{r}$完全同构——任何曲线局部都可视为曲率圆运动。落地时$\rho$增大（轨道趋于平直），与抛物线在远处"张开"的直观一致。也可用显函数式$\rho=\dfrac{(1+y'^2)^{3/2}}{|y''|}$ 验证，$y=\dfrac{g}{2v_0^2}x^2$ 代入即得同一结果。
例 3：雨中的汽车（相对运动）
题目：无风天气雨滴以速度 $v_1$竖直下落。汽车以速度$v_2$在水平路面匀速直线前进。求车内观察者看到的雨滴速度的大小与方向，并说明雨伞应如何倾斜。若$v_1=8$ m/s、$v_2=6$ m/s，给出具体数值。
分析：车内观察者相对雨滴的速度，即"雨对车"。由伽利略变换 $\vec v_{雨/车}=\vec v_{雨/地}-\vec v_{车/地}$，画矢量三角形。
解答：取车行方向为 $x$轴正向、竖直向下为$y$ 轴正向。$\vec v_{雨/地}=(0,v_1)$，$\vec v_{车/地}=(v_2,0)$，故
$$ \vec v_{雨/车}=(0,v_1)-(v_2,0)=(-v_2,\thinspace{}v_1) $$
大小 $|\vec v_{雨/车}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$，方向与竖直向下夹角 $\theta=\arctan\dfrac{v_2}{v_1}$，偏向车尾（雨从正前方斜向后下方打来）。雨伞应朝正前方倾斜 $\theta$。
代入数值：$|\vec v_{雨/车}|=\sqrt{64+36}=10$ m/s，$\theta=\arctan\dfrac{6}{8}\approx 37°$。
点评：相对运动问题的标准三步：① 明确"谁相对谁"并写出下标；② 写出矢量关系式；③ 画闭合三角形求解。若汽车加速或刮风（雨斜落），只需把 $\vec v_{雨/地}$ 换成实际速度矢量，套路不变。此类问题还常与"雨滴打在倾斜车窗上的等效速度"结合，本质上仍是矢量差。
易错提醒
易错点
- 混淆平均速度与平均速率：平均速度 $=\dfrac{\text{位移}}{\text{时间}}$（矢量，可为负），平均速率 $=\dfrac{\text{路程}}{\text{时间}}$（标量）。往返一周位移为零，平均速度为零，而平均速率不为零。
- 极坐标加速度漏项：径向必有 $-r\dot\theta^2$，横向必有 $2\dot r\dot\theta$。误把 $\theta$当常数或$r$当常数而漏掉交叉项是高频错误；匀速圆周只是$\dot r=0$ 的特例。
- 认为抛体最高点速度为零：最高点只是 $v_y=0$，$v_x=v_0\cos\theta\ne 0$，且 $a=g$恒不为零。由此才得到顶点曲率半径$\rho=\dfrac{v_0^2\cos^2\theta}{g}$。
- 曲率半径误当作"到某固定点的距离"：$\rho$是每点处曲率圆（密切圆）的半径，随位置连续变化；只有圆运动时才是常数$R$。
- 变速圆周运动中 $\vec a$ 并不指向圆心：$a=\sqrt{a_t^2+a_n^2}$，须用 $a_n=\dfrac{v^2}{r}$ 求向心分量、$a_t=\dfrac{dv}{dt}$求切向分量，不可混用$\omega^2r$与$v^2/r$。
- 相对速度下标写反：$\vec v_{A/B}=-\vec v_{B/A}$；"雨对车"是雨对地减车对地，不是加。每一步先写下标再代入。
- 分离变量积分忘记初始条件：$a=a(v)$型积分得$t(v)$后，常数须由$t=0$ 时的初速确定，否则"通解"无法回到物理问题。
- $v$-$t$ 图像面积忘记正负：$t$ 轴下方面积是负位移；求路程须对面积取绝对值，求平均速度用位移、求平均速率用路程。
- 极值点不在可行域内：如射程公式对 $\theta$求导得极值，但若题目限制$\theta$ 范围（如从斜面上抛出），须检查驻点是否落在定义域内，否则取边界值。
- 匀变速公式套用到变加速：$v=v_0+at$只在$a$恒定时成立；一旦$a$随$t$或$v$变化，必须回到积分式$v=v_0+\int a\thinspace{}dt$。
概念辨析
位移与路程、速度与速率
| 比较项 | 位移 $\Delta\vec r$ | 路程$\Delta s$ |
|---|---|---|
| 类型 | 矢量（起点指向终点） | 标量（轨迹总长） |
| 大小关系 | $\Vert\Delta\vec r\Vert\le \Delta s$ | 直线单向运动时取等 |
| 时间平均 | 平均速度 $\dfrac{\Delta\vec r}{\Delta t}$ | 平均速率$\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$ |
| 瞬时量 | $\vec v=\dfrac{d\vec r}{dt}$ | 速率$v=\left\Vert\vec v\right\Vert$ |
极坐标分解与自然坐标分解
| 比较项 | 极坐标（径向/横向） | 自然坐标（切向/法向） |
|---|---|---|
| 基矢基准 | 定点（极点）与极轴 | 轨迹本身 |
| 速度 | $\dot r\thinspace\hat e_r+r\dot\theta\thinspace\hat e_\theta$ | $v\thinspace\hat e_t$ |
| 加速度项 | $\ddot r-r\dot\theta^2$、$2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta$ | $\dfrac{dv}{dt}$、$\dfrac{v^2}{\rho}$ |
| 最适合 | 有心力、绕定点问题 | 已知轨道的曲线运动 |
| 联系 | 圆周运动中 $r$恒定，径向加速度$-r\dot\theta^2$即$-a_n$ |
与其他知识关联
- 与 02-牛顿运动定律与非惯性系 的关系：运动学只描述、不解释；动力学用 $\vec F=m\vec a$给出加速度，运动学方法随即求出轨道。非惯性系中的加速度合成（牵连加速度、科里奥利加速度）正是本笔记极坐标交叉项$2\dot r\dot\theta$ 的推广。
- 与 05-动量与角动量 的关系：极坐标横向加速度 $\dfrac1r\dfrac{d}{dt}(r^2\dot\theta)$为零$\Rightarrow$ $r^2\dot\theta$守恒，即角动量守恒（角动量$L=mr^2\dot\theta$）。
- 与 07-万有引力与天体运动 的关系：行星椭圆轨道的描述、开普勒第二定律、椭圆上各点曲率半径（如长轴端点 $\rho=\dfrac{b^2}{a}$）全部依赖本笔记的极坐标与曲率半径工具。
- 与 08-机械振动 的关系：$a=-kx$（更一般 $a=-\omega^2x$）是 $a=a(x)$ 型微分方程，简谐运动的解即由分离变量积分得出。
- 与 04-功与机械能 的关系：$a=v\dfrac{dv}{dx}$两边乘质量积分即得动能定理$\tfrac12mv^2-\tfrac12mv_0^2=\int F\thinspace{}dx$。
- 与预备知识的关系：01-微积分基础（导数与积分的互逆）、02-微分方程初步（三类 $a$ 型微分方程）、03-矢量运算（速度合成、叉积求曲率半径）、06-量纲分析（射程公式、$\rho$ 量纲的检验）、04-泰勒展开与级数（小角度近似）。
- 与高中物理衔接：高中力学总览 中的匀变速公式、抛体、圆周运动、相对运动均为本笔记特例。
- 与大学层面衔接：理论力学（自然坐标、基尔霍夫公式 $\dfrac{d\vec e_t}{dt}$ 是曲线运动一般理论）、流体力学（流线、加速度的物质导数）等。
- 返回 00-竞赛力学总览
作者的话
个人理解
运动学是整个竞赛力学中"数学味道"最浓的一篇，但它的本质并不高深——只是把"位置怎么随时间变"这件事描述清楚。学这一篇，我认为最重要的是坐标系意识：直角坐标、极坐标、自然坐标是观察同一运动的三个视角，选对了视角，难题自动变成简单题；选错了，再强的计算力也寸步难行。圆周运动用直角坐标硬算就事倍功半，而斜抛用极坐标纯属自找麻烦。
第二个体会是：一切运动图像背后的"语言"是微积分。$v$-$t$ 图的斜率与面积、抛体轨道方程、曲率半径公式，本质都是导数与积分的几何翻译。所以本篇与 01-微积分基础 应连着学、对着学，把"求导是变化率、积分是累积量"这句话在每一种运动里都验一遍。
第三个建议：曲率半径公式 $\rho=\dfrac{|\vec v|^3}{|\vec v\times\vec a|}$ 看起来吓人，其实只做一件事——"速度给大小、加速度给方向改变"。凡是遇到"某点的向心加速度是多少""轨道在哪拐得最急"之类的问题，它就是终极答案。多算几个例子（平抛、斜抛、椭圆），公式就长在心里了。运动学是整个力学的地基，把这一篇磨透，后面 02-牛顿运动定律与非惯性系 才走得稳。
返回 00-竞赛力学总览