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泰勒展开与级数
概览
物理学的精髓在于近似。没有近似，就没有物理——从伽利略忽略空气阻力，到爱因斯坦在低速极限下回到牛顿力学，所有物理定律都是在特定条件下的近似成立。泰勒展开是物理学家手中最强大的近似工具：它把任意光滑函数在某点附近展开成多项式，从而把复杂的非线性问题化为可处理的幂函数求和。本节建立级数收敛、幂级数、泰勒公式与麦克劳林级数的概念，熟记 $e^x$、$\sin x$、$\cos x$、$\ln(1+x)$、$(1+x)^n$ 五个基本展开，并应用于物理中的小角度近似（单摆）、相对论近似（$\gamma$ 因子）、势能展开（简谐振动）三大经典场景。这是衔接 03-矢量运算 中矢量函数展开、05-复数与欧拉公式 中欧拉公式推导的关键工具。
核心概念
一、数项级数与收敛性
数项级数：把无穷多个数相加 $S=a_1+a_2+a_3+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}a_n$。其前 $N$项和$S_N=\sum_{n=1}^{N}a_n$ 称为部分和。
收敛：若部分和数列 $\lbrace S_N\rbrace $存在有限极限$S$，则称级数收敛于 $S$；否则称级数发散。
两个经典级数
- 几何级数 $\sum_{n=0}^{\infty}r^n=1+r+r^2+\cdots$：当 $|r|<1$时收敛于$\dfrac{1}{1-r}$；当 $|r|\ge 1$ 时发散。
- 调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots$：发散（虽然通项趋于零，但部分和无界）。
收敛的必要条件：$\lim_{n\to\infty}a_n=0$。但通项趋于零不一定收敛（调和级数即反例）。
二、幂级数与收敛半径
幂级数：形如 $\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n$的级数，其中$c_n$ 为系数，$a$ 为展开点。
收敛半径 $R$：幂级数在 $|x-a|<R$内绝对收敛，在$|x-a|>R$ 内发散，$|x-a|=R$ 处需单独判断。$R$ 可由比值法求得： $$ \dfrac{1}{R}=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{c_{n+1}}{c_n}\right| $$
比值判别法求收敛半径：这一公式其实是对幂级数直接套用数项级数的比值判别法（达朗贝尔判别法）。记 $u_n=c_n(x-a)^n$，则 $$ \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{c_{n+1}}{c_n}\right||x-a|=\dfrac{|x-a|}{R} $$ 由比值判别法：当 $\dfrac{|x-a|}{R}<1$（即 $|x-a|<R$）时级数绝对收敛，当 $>1$时发散——故$R$ 恰是比值极限的倒数。注意当比值极限不存在时此公式失效，需改用根值法或直接判断。
求收敛半径的三个实例
- $\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots$：$\dfrac{c_{n+1}}{c_n}=\dfrac{n!}{(n+1)!}=\dfrac{1}{n+1}\to 0$，故 $R=\infty$——这是 $e^x$ 全平面收敛的原因。
- $\sum_{n=0}^{\infty}x^n=1+x+x^2+\cdots$：$\dfrac{c_{n+1}}{c_n}=1$，故 $R=1$——几何级数在 $|x|<1$ 收敛。
- $\sum_{n=0}^{\infty}n!\thinspace{}x^n$：$\dfrac{c_{n+1}}{c_n}=n+1\to\infty$，故 $R=0$——除 $x=0$ 外处处发散。这类"病态"幂级数提醒我们：并非随意构造的级数都收敛，物理中展开前先确认收敛半径很有必要。
收敛半径的物理意义
泰勒展开只在收敛半径内有效。物理近似中通常取 $|x-a|\ll R$，使高阶项迅速衰减，截断误差可控。超出收敛半径的展开是无效的，这是初学者常忽视的边界条件。
三、泰勒公式与麦克劳林级数
泰勒展开：若 $f(x)$在$a$ 点附近无限可导，则 $$ \boxed{\thinspace{}f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n=f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots\thinspace} $$
麦克劳林级数：泰勒展开在 $a=0$ 时的特例： $$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots $$
拉格朗日余项（截断误差）：取前 $n$ 项近似时，误差为 $$ R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1},\quad \xi\in(0,x) $$ 余项告诉我们截断到第几阶才够用——物理中常据此判断近似是否成立。
拉格朗日余项的两层用途：
- 估计截断误差的量级：余项是 $x^{n+1}$阶小量，记作$R_n=O(x^{n+1})$。当 $|x|<1$时，每多保留一阶，误差约缩小$|x|$ 倍——这给出"保留几阶才够用"的直观判据。
- 给出误差上界：若在 $\xi\in(0,x)$上$|f^{(n+1)}(\xi)|$能被常数$M$ 控制，则 $$ \boxed{\thinspace|R_n(x)|\le \dfrac{M|x|^{n+1}}{(n+1)!}\thinspace} $$ 物理估算中常取 $M$为该区间内$|f^{(n+1)}|$的最大值。这个上界常被用来"反解"问题：例如要求误差不超过$10^{-3}$，可解出 $|x|$ 的允许范围（见例题 4）。
泰勒展开的物理直觉
泰勒展开本质是"用 $a$点的函数值及各阶导数信息，外推到附近$x$ 点"。零阶项是常数近似（最粗），一阶项是切线（线性近似），二阶项加上曲率（抛物线近似）……阶数越高，近似越精确，但计算也越繁。物理中常取最低阶足以解决问题的近似。
推导与原理
一、五个基本函数的麦克劳林展开
| 函数 | 麦克劳林展开 | 收敛半径 |
|---|---|---|
| $e^x$ | $1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots$ | $R=\infty$ |
| $\sin x$ | $x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots$ | $R=\infty$ |
| $\cos x$ | $1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots$ | $R=\infty$ |
| $\ln(1+x)$ | $x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots$ | $R=1$ |
| $(1+x)^n$ | $1+nx+\dfrac{n(n-1)}{2!}x^2+\dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\cdots$ | $R=1$（一般） |
推导示例——$e^x$：因 $\dfrac{d^n}{dx^n}e^x=e^x$，在 $x=0$处各阶导数均为$1$，故 $f^{(n)}(0)/n!=1/n! $，代入即得。
推导示例——$\sin x$：$\sin 0=0$、$\sin' 0=\cos 0=1$、$\sin'' 0=-\sin 0=0$、$\sin''' 0=-\cos 0=-1$……偶数阶导数在 $0$处为$0$，奇数阶交替为 $\pm 1$，故展开只含奇数次项且符号交替。
二项式展开的两种形式
当 $n$ 为正整数时，$(1+x)^n$的展开在$x^n$项后自动终止（因$n(n-1)\cdots(n-n)=0$），退化为中学学过的二项式定理。当 $n$为分数或负数时（如$\sqrt{1+x}=(1+x)^{1/2}$、$\dfrac{1}{1-x}=(1-x)^{-1}$），展开为无穷级数，需注意收敛半径。
补充：更多常用麦克劳林展开。以下四个展开由二项式展开取特殊指数、或由基本展开微积分得到，在物理中同样高频出现，建议与前面五个一并记忆：
| 函数 | 麦克劳林展开 | 来源 |
|---|---|---|
| $\dfrac{1}{1-x}$ | $1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots$ | $(1-x)^{-1}$（几何级数） |
| $\dfrac{1}{1+x}$ | $1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots$ | $(1+x)^{-1}$ |
| $\sqrt{1+x}=(1+x)^{1/2}$ | $1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{1}{16}x^3-\cdots$ | $(1+x)^{1/2}$ |
| $\arctan x$ | $x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^7}{7}+\cdots$ | 对$\dfrac{1}{1+x^2}$ 逐项积分 |
其中 $\sqrt{1+x}$ 的展开由二项式系数逐项写出：$\binom{1/2}{2}=\dfrac{(1/2)(-1/2)}{2!}=-\dfrac{1}{8}$、$\binom{1/2}{3}=\dfrac{(1/2)(-1/2)(-3/2)}{3!}=\dfrac{1}{16}$。$\arctan x$来自$\dfrac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-\cdots$后逐项积分，收敛半径$R=1$；在端点 $x=1$处收敛于$\dfrac{\pi}{4}$，即著名的莱布尼茨公式 $\dfrac{\pi}{4}=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\cdots$。
二、泰勒展开的几个常用性质
- 唯一性：若 $f(x)$能展开为幂级数，则其系数必为$\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$——这允许我们用"待定系数法"求复杂函数的展开。
- 逐项求导与积分：幂级数在收敛区间内可逐项求导、逐项积分，且收敛半径不变。
- 复合展开：如 $e^{-x^2}=1-x^2+\dfrac{x^4}{2!}-\dfrac{x^6}{3!}+\cdots$（把 $e^u$中的$u$替换为$-x^2$）。
- 加减与相乘：两幂级数在公共收敛区间内可逐项相加、相减、相乘。
三、由已知展开推导新展开——微积分视角
逐项积分法：将已知展开逐项积分、并用初始条件确定常数，可得到"积分型"函数的展开，收敛半径保持不变。
由 $\dfrac{1}{1+x}$推出$\ln(1+x)$
已知 $\dfrac{1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+\cdots$，两端从 $0$到$x$ 逐项积分： $$ \ln(1+x)=\int_0^x\dfrac{dt}{1+t}=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots $$ 收敛半径 $R=1$保持不变，正是表中的$\ln(1+x)$ 展开。
由 $\dfrac{1}{1+x^2}$推出$\arctan x$
把几何级数中 $x\to x^2$得$\dfrac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots$，再逐项积分： $$ \arctan x=\int_0^x\dfrac{dt}{1+t^2}=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^7}{7}+\cdots $$
逐项微分法：对展开逐项求导，可得到"商型/幂型"函数的展开。
由 $\dfrac{1}{1-x}$推出$\dfrac{1}{(1-x)^2}$与$\dfrac{1}{(1-x)^3}$
$$ \dfrac{1}{(1-x)^2}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{1-x}\right)=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots $$ $$ \dfrac{1}{(1-x)^3}=\dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dx}\dfrac{1}{(1-x)^2}=1+3x+6x^2+10x^3+\cdots $$ 系数 $1,2,3,4,\dots$与$1,3,6,10,\dots$（三角数）的规律一目了然。这类"先展开、后微积分"的方法避免了逐次求高阶导数的繁琐，是竞赛中处理复合函数展开的常用利器。
典型实例与物理应用
应用 1：小角度近似——单摆周期推导
单摆运动方程（详细推导见 机械振动）： $$ \ddot{\theta}+\dfrac{g}{l}\sin\theta=0 $$ 当摆角 $\theta$很小时，对$\sin\theta$ 做泰勒展开取一阶： $$ \sin\theta=\theta-\dfrac{\theta^3}{6}+\cdots \approx \theta\quad(|\theta|\ll 1) $$ 方程化为 $\ddot{\theta}+\dfrac{g}{l}\theta=0$，这是简谐运动方程，角频率 $\omega=\sqrt{g/l}$，周期： $$ \boxed{\thinspace{}T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\thinspace} $$
高阶修正
若保留 $\sin\theta\approx\theta-\dfrac{\theta^3}{6}$，可得单摆周期的非线性修正（椭圆积分）： $$T\approx T_0\left(1+\dfrac{\theta_0^2}{16}\right)$$ 其中 $\theta_0$ 为最大摆角。$\theta_0=20^\circ\approx 0.349\thinspace\text{rad}$时修正约$0.76\%$——这就是为何高中单摆实验要求"摆角小于 $5^\circ$"。
修正项 $\dfrac{1}{16}$的来源（一阶微扰）：设$\theta=\theta_0\cos\omega t$，代入 $\ddot\theta+\omega_0^2\left(\theta-\dfrac{\theta^3}{6}\right)=0$，用三角恒等式 $\cos^3\omega t=\dfrac{3}{4}\cos\omega t+\dfrac{1}{4}\cos 3\omega t$展开后，令基频$\cos\omega t$ 项的系数为零： $$ -\omega^2+\omega_0^2-\omega_0^2\dfrac{\theta_0^2}{8}=0\thickspace\Longrightarrow\thickspace\omega\approx\omega_0\left(1-\dfrac{\theta_0^2}{16}\right) $$ 从而 $T\approx T_0\left(1+\dfrac{\theta_0^2}{16}\right)$。注意三阶项还残留 $\cos 3\omega t$ 的高次谐波（波形不再是纯正弦），这正是非线性振动的典型特征，详见 机械振动。
应用 2：相对论近似——$\gamma$ 因子的低速展开
相对论中洛伦兹因子： $$ \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=(1-\beta^2)^{-1/2},\quad \beta=\dfrac{v}{c} $$ 当 $v\ll c$（$\beta\ll 1$）时，用二项式展开 $(1+x)^n$取$x=-\beta^2$、$n=-1/2$： $$ \gamma\approx 1+\left(-\dfrac{1}{2}\right)(-\beta^2)=1+\dfrac{\beta^2}{2}=1+\dfrac{v^2}{2c^2} $$ 进一步得相对论动能： $$ E_k=(\gamma-1)mc^2\approx \dfrac{v^2}{2c^2}\cdot mc^2=\dfrac{1}{2}mv^2 $$ 这正是经典动能公式——说明牛顿力学是相对论在 $v\ll c$ 时的低速极限。
更高阶的动能修正：把 $\gamma$展开到$\beta^4$ 项，$\gamma\approx 1+\dfrac{\beta^2}{2}+\dfrac{3\beta^4}{8}$，代入 $E_k=(\gamma-1)mc^2$： $$ E_k\approx\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{3}{8}mv^2\beta^2=\dfrac{1}{2}mv^2\left(1+\dfrac{3}{4}\dfrac{v^2}{c^2}\right) $$ 第二项是相对论修正的最低阶项，相对量级约 $\dfrac{3}{4}\dfrac{v^2}{c^2}$。对 $v=0.1c$的粒子修正约$0.75\%$，对 $v=0.5c$的粒子已达约$19\%$——经典动能公式只在 $v\ll c$ 时适用。这正是许多粒子加速器能量计算的出发点，也是精细测量中必须扣除的项。
应用 3：势能展开——平衡位置附近的简谐振动
设势能 $U(x)$在平衡位置$x_0$ 处取极小值（$U'(x_0)=0$）。将 $U(x)$在$x_0$ 处泰勒展开： $$ U(x)=U(x_0)+U'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{1}{2}U''(x_0)(x-x_0)^2+\cdots $$ 由于 $U'(x_0)=0$，取前两项并令 $\xi=x-x_0$、$k=U''(x_0)$（劲度系数）： $$ \boxed{\thinspace{}U(x)\approx U(x_0)+\dfrac{1}{2}k\xi^2\thinspace} $$ 对应的回复力 $F=-\dfrac{dU}{d\xi}=-k\xi$——这正是简谐振动的来源！它说明：任何稳定平衡位置附近的小振动都是简谐振动，这是物理学最深刻的普适结论之一。
应用 4：引力势能在平衡位置的展开——地球隧道与 84 分钟周期
设地球为密度均匀的球体（质量 $M$、半径 $R$）。质量为 $m$的质点在距地心$r<R$处所受引力只来自半径$r$ 以内的球体（壳层定理），故 $$ F=-G\dfrac{mM(r)}{r^2}=-G\dfrac{m}{r^2}\cdot\dfrac{4}{3}\pi\rho r^3=-\dfrac{GMm}{R^3}\thinspace{}r=-k\thinspace{}r,\qquad k=\dfrac{GMm}{R^3}=\dfrac{mg}{R} $$ 其中用到了 $g=\dfrac{GM}{R^2}$。由此得势能（取 $U(0)=0$）： $$ U(r)=\dfrac{1}{2}k r^2=\dfrac{1}{2}\dfrac{mg}{R}r^2 $$ 这是一个纯二次型势能，二阶展开精确成立。由"势能展开"公式 $\omega=\sqrt{U''(x_0)/m}$，$U''(0)=k$，故角频率： $$ \boxed{\thinspace\omega=\sqrt{\dfrac{U''(0)}{m}}=\sqrt{\dfrac{g}{R}}\thinspace} $$ 周期 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}}$。代入 $R\approx 6370\thinspace\text{km}$、$g\approx 9.8\thinspace\text{m/s}^2$： $$ T\approx 2\pi\sqrt{\dfrac{6.37\times 10^6}{9.8}}\thinspace\text{s}\approx 5065\thinspace\text{s}\approx 84.4\thinspace\text{min} $$ 这就是著名的地球隧道 84 分钟周期：在均匀球体内沿任意光滑弦开一条隧道，质点往返周期均为 $2\pi\sqrt{R/g}$，与弦长无关。本题是"平衡位置势能展开"的逆向运用——此处 $U''$ 为常数，故无需近似即为精确简谐运动。
记忆口诀
泰勒展开三件套：函数值、导数值、阶乘除；指数正余弦，半径皆无穷；对数二项式，收敛到一处；小角度 sin≈θ，势能展开出简谐；相对论 γ 加半方，低速回到牛顿乡。
例题
例 1：基础——计算 $\sin 5^\circ$ 的近似值
题目：用麦克劳林展开计算 $\sin 5^\circ$ 的近似值，并估计取一阶近似的误差。
分析：$5^\circ=\dfrac{\pi}{36}\approx 0.0873\thinspace\text{rad}$，是小量，可用 $\sin x\approx x$。误差由下一项 $\dfrac{x^3}{6}$ 估计。
解答： $$ \sin 5^\circ \approx \dfrac{\pi}{36}\approx 0.08727 $$ 三阶项量级 $\dfrac{x^3}{6}=\dfrac{(0.0873)^3}{6}\approx 1.11\times 10^{-4}$，故取一阶近似的相对误差约 $\dfrac{1.11\times 10^{-4}}{0.0873}\approx 0.13\%$。 更精确值 $\sin 5^\circ\approx 0.08716$，与一阶近似 $0.08727$相差约$1.1\times 10^{-4}$，与估计吻合。
点评：$5^\circ$时小角度近似已相当精确（误差千分之二），这正是单摆实验要求"摆角小于$5^\circ$"的依据。角度运算必须化为弧度才能套用泰勒展开。
例 2：中难——重力势能的展开
题目：质量为 $m$的物体在地面上方高度$h$ 处（$h\ll R_E$，$R_E$为地球半径）的重力势能（取无穷远处为零）为$U(h)=-\dfrac{GMm}{R_E+h}$。将其在 $h=0$处展开到二阶，说明为何近地面重力可视为恒力$mg$。
分析：把 $U(h)$改写为$-\dfrac{GMm}{R_E}\cdot\dfrac{1}{1+h/R_E}$，用 $(1+x)^{-1}\approx 1-x+x^2-\cdots$（$x=h/R_E$）展开。
解答： $$ U(h)=-\dfrac{GMm}{R_E}\left[1-\dfrac{h}{R_E}+\left(\dfrac{h}{R_E}\right)^2-\cdots\right] $$ 取前两项： $$ U(h)\approx -\dfrac{GMm}{R_E}+\dfrac{GMm}{R_E^2}\thinspace{}h $$ 其中常数项 $-\dfrac{GMm}{R_E}$是地面处的势能参考值，可记为$U_0$；一次项系数 $\dfrac{GMm}{R_E^2}=mg$（因为 $g=\dfrac{GM}{R_E^2}$）。故： $$ U(h)\approx U_0+mgh $$ 这正是高中所学的近地面重力势能公式。对应的重力 $F=-\dfrac{dU}{dh}=-mg$（方向向下），大小恒定。
点评：本题揭示了 $mgh$是$-\dfrac{GMm}{r}$在地面附近的一阶近似。当$h$与$R_E$可比时（如卫星轨道），必须用完整的万有引力势能公式，不能用$mgh$。二阶修正项量级 $\dfrac{h}{R_E}$，对 $h=100\thinspace\text{km}$仅约$1.6\%$。
例 3：进阶——双摆的小角度线性化
题目：双摆系统在小角度近似下，两摆角 $\theta_1$、$\theta_2$满足线性化方程组（推导略）。已知$\sin\theta\approx\theta$、$\cos\theta\approx 1-\dfrac{\theta^2}{2}$、$1-\cos\theta\approx\dfrac{\theta^2}{2}$。试用泰勒展开说明：为何在拉格朗日量中保留到 $\theta^2$ 阶即可得到线性运动方程？
分析：拉格朗日量 $L=T-V$。动能 $T$中含$\dot{\theta}^2$项（已是二阶小量），势能$V$含$(1-\cos\theta)\approx\theta^2/2$项。故$L$整体保留到二阶小量即可。代入拉格朗日方程后，对$\theta$求偏导会降一阶，得到关于$\theta$ 的线性方程。
解答： 对小角度，势能 $V=mgl(1-\cos\theta)\approx \dfrac{1}{2}mgl\thinspace\theta^2$（保留二阶），动能 $T\approx\dfrac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2$（也是二阶）。拉格朗日量： $$ L\approx \dfrac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2-\dfrac{1}{2}mgl\thinspace\theta^2 $$ 代入 $\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}-\dfrac{\partial L}{\partial\theta}=0$ 得： $$ ml^2\ddot{\theta}+mgl\thinspace\theta=0\Rightarrow \ddot{\theta}+\dfrac{g}{l}\theta=0 $$ 这正是简谐运动方程。
点评：本题揭示了"拉格朗日量保留到二阶 → 运动方程线性化"这一普适规则。高阶项（$\theta^4$ 等）对应非线性效应，会产生振幅依赖周期、混沌等丰富现象。详见 拉格朗日方程 与 机械振动。
例 4：进阶——用拉格朗日余项估计 $\sin x$ 近似的误差
题目：用 $\sin x\approx x-\dfrac{x^3}{6}$近似$\sin 0.5$，用拉格朗日余项给出误差上界；并求 $|x|$的最大允许范围，使该近似误差不超过$10^{-3}$。
分析：$\sin x$展开保留到$x^3$ 项（$n=3$），余项为 $R_3(x)=\dfrac{\sin^{(4)}(\xi)}{4!}x^4=\dfrac{\sin\xi}{24}x^4$，$\xi\in(0,x)$。因 $|\sin\xi|\le 1$，故 $|R_3(x)|\le\dfrac{|x|^4}{24}$。要求误差不超过 $10^{-3}$，即 $\dfrac{|x|^4}{24}\le 10^{-3}$。
解答： $$ \sin 0.5\approx 0.5-\dfrac{0.5^3}{6}=0.5-0.020833\approx 0.479167 $$ 误差上界： $$ |R_3(0.5)|\le\dfrac{0.5^4}{24}=\dfrac{0.0625}{24}\approx 2.6\times 10^{-3} $$ 实际精确值 $\sin 0.5\approx 0.479426$，真实误差约 $2.6\times 10^{-4}$，约为上界的 $\dfrac{1}{10}$（因 $\sin\xi$实际偏小、且下一项$+\dfrac{x^5}{120}$ 与前项反号互相抵消）——可见拉格朗日上界给出的是保守估计，量级正确但偏大。
再解允许范围：$\dfrac{|x|^4}{24}\le 10^{-3}\Rightarrow |x|\le (0.024)^{1/4}\approx 0.393$。故对 $|x|\le 0.39$（约 $22^\circ$），用 $x-\dfrac{x^3}{6}$近似$\sin x$误差不超过$0.001$。
点评：本题示范了"先定误差标准、再由余项反解允许范围"的竞赛思路。余项中的 $\xi$虽是未知的，但只要能找到$|f^{(n+1)}|\le M$，就能得到可靠上界。物理中"取几阶近似才够用"的问题，本质上就是本题"$x$ 多大时该阶近似足够"的问题。
例 5：中难——势能展开求小振动角频率
题目：质量为 $m$的质点在势能$U(r)=\dfrac{L^2}{2mr^2}-\dfrac{GMm}{r}$ 中运动（$L$为守恒的角动量）。求圆轨道半径$r_0$，并将 $U(r)$在$r_0$ 附近展开到二阶，求径向小振动的角频率。
分析：这是卫星在中心引力场中做圆轨道运动的等效一维势能（$L^2/2mr^2$为离心势能项）。圆轨道对应$U'(r_0)=0$的稳定平衡点；径向小振动频率由"势能展开"公式$\omega=\sqrt{U''(x_0)/m}$ 给出。
解答： $$ U'(r)=-\dfrac{L^2}{mr^3}+\dfrac{GMm}{r^2}=0\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}r_0=\dfrac{L^2}{GMm^2} $$ 再求二阶导数： $$ U''(r)=\dfrac{3L^2}{mr^4}-\dfrac{2GMm}{r^3} $$ 代入 $r_0$（利用平衡条件 $L^2=GMm^2r_0$）： $$ U''(r_0)=\dfrac{3GMm}{r_0^3}-\dfrac{2GMm}{r_0^3}=\dfrac{GMm}{r_0^3} $$ 故径向振动角频率： $$ \boxed{\thinspace\omega_r=\sqrt{\dfrac{U''(r_0)}{m}}=\sqrt{\dfrac{GM}{r_0^3}}=\Omega\thinspace} $$ 其中 $\Omega=\sqrt{\dfrac{GM}{r_0^3}}$ 正是圆轨道的公转角速度。
点评：本题结论 $\omega_r=\Omega$深刻而优美：在$1/r$势中，受径向微扰的卫星每公转一圈恰好完成一次径向振动，轨道仍是闭合椭圆——这正对应开普勒椭圆轨道的闭合性。若在势能中加入额外的$1/r^3$阶修正项（如广义相对论对牛顿引力的修正），则$\omega_r\ne\Omega$，轨道将缓慢进动——这正是水星近日点进动的雏形。势能展开求频率的手法在 万有引力定律 与 壳层定理 相关题目中反复出现。
易错提醒
易错点
- 角度必须化弧度：泰勒展开 $\sin x\approx x$中$x$ 的单位是弧度，不是度。$\sin 5^\circ\ne 5$，而是 $\sin\dfrac{\pi}{36}\approx\dfrac{\pi}{36}$。
- 注意收敛半径：$\ln(1+x)$与$(1+x)^n$的展开仅在$|x|<1$有效。对$\ln(2+x)=\ln 2+\ln(1+x/2)$，应展开 $\ln(1+x/2)$（要求 $|x/2|<1$）。
- 截断阶数要一致：若 $A\approx a_0+a_1 x$、$B\approx b_0+b_1 x$，则 $A\cdot B$保留到一阶应为$a_0 b_0+(a_0 b_1+a_1 b_0)x$，不要遗漏交叉项。
- 小量判断：所谓"小量"是相对的，$\theta\ll 1$（弧度）才算小角度；$v/c\ll 1$ 才能用相对论低速展开。
- 展开点选择：在平衡位置、零点等"感兴趣点"附近展开，而非盲目在 $x=0$ 展开。
- 余项不可忽略时不能用展开：若高阶项不收敛或与低阶项同量级，泰勒展开失效。
收敛与误差的进阶提醒
- 收敛区间端点是"重灾区"：$|x-a|=R$处比值法失效，需逐点判断。例如$\sum\dfrac{x^n}{n}$在$R=1$ 处：$x=1$ 时发散（调和级数），$x=-1$时收敛（交错级数）；而$\sum\dfrac{x^n}{n^2}$ 两端都收敛。端点收敛性与系数衰减快慢有关，不可想当然。
- 截断误差的量级判断：保留到 $x^n$阶，误差为$O(x^{n+1})$。当 $|x|=0.1$时，三阶项约$10^{-3}$、四阶项约 $10^{-4}$——每高一阶误差约缩小一个数量级（$|x|\ll 1$ 时）。做题时应先估算截断项量级，再决定保留几阶，而不是机械地"一律取一阶"。
- 展开点选择影响收敛速度：展开点 $a$离所考察点越近，收敛越快。例如$\ln 3=\ln(1+2)$在$x=2>1$处直接发散；改写为$\ln 3=\ln\dfrac{3}{2}+\ln 2=\ln\left(1+\dfrac12\right)+\ln(1+1)$后各项都落入收敛域。物理中常在"自然小参数"（如$\dfrac{h}{R}$、$\dfrac{v}{c}$、$\dfrac{x}{l}$）附近展开，小参数取得越小，收敛越快。
- 展开不是万能的：对非解析函数（如 $e^{-1/x^2}$在$x=0$处），泰勒展开各项皆为$0$ 却处处不等于原函数；遇到这类"平坦函数"应改用量纲分析、数值方法等工具。
概念辨析
泰勒展开 vs 麦克劳林展开
| 比较项 | 泰勒展开 | 麦克劳林展开 |
|---|---|---|
| 展开点 | 任意 $a$ | 固定$a=0$ |
| 形式 | $\sum\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ | $\sum\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ |
| 关系 | 一般情形 | 泰勒的特例 |
级数收敛 vs 函数可展开
- 收敛：部分和有极限；
- 可展开：函数在某邻域内等于其泰勒级数（解析函数）。
- 大多数物理中遇到的初等函数（$e^x$、$\sin x$、$\cos x$ 等）在其定义域内都解析。
与其他知识关联
- 与 01-微积分基础 的关系：泰勒展开建立在无限次可导的基础上，是导数概念的综合应用。
- 与 02-微分方程初步 的关系：微分方程的幂级数解法（如艾里方程）直接依赖泰勒展开。
- 与 03-矢量运算 的关系：矢量函数 $\vec{r}(t)$也可在$t_0$ 处展开，多体问题中常用。
- 与 05-复数与欧拉公式 的关系：欧拉公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$的推导正是把$e^{i\theta}$、$\cos\theta$、$\sin\theta$ 三者用泰勒展开比较而得——本节是欧拉公式的前置知识。
- 与 07-近似与估算方法 的关系：泰勒展开是物理近似的核心工具，小角度近似、量级估算都依赖它。
- 与高中物理联系：00-力学总览（单摆周期）、00-光学总览（小角近似下的折射定律）、00-电学总览（小信号模型）。
- 与大学层面联系：机械振动（势能展开）、拉格朗日方程（小振动线性化）、相对论专题（$\gamma$ 因子展开）、波函数与薛定谔方程（WKB 近似）。
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作者的话
个人理解
学完泰勒展开，最大的认知突破应是——物理中的"公式"大多是泰勒展开的低阶截断。$mgh$ 是万有引力势能的一阶展开；$\dfrac{1}{2}mv^2$ 是相对论动能的一阶展开；$\sin\theta\approx\theta$ 是正弦的一阶展开；$F=-kx$ 是任意势能在平衡位置的二阶展开……一旦识破这一点，许多看似孤立的公式就有了统一的根源。
我特别想强调的是二阶展开的特殊地位。物理中"线性"（一阶）描述均匀变化，"二阶"描述曲率与回复——简谐振动、二次型、最小作用量原理、爱因斯坦场方程的牛顿极限……无不来自二阶展开。二阶是物理的"甜点区"：既比一阶多出本质信息，又比高阶简洁可解。
学习建议：把五个基本展开背到滚瓜烂熟，然后在做物理题时主动问自己——"这里能展开吗？保留几阶够用？"经过反复练习，你会发现自己看物理的眼光从"具体公式"升级为"近似结构"，这正是从高中物理迈向竞赛物理、乃至大学物理的关键思维跃迁。
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