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竞赛例题集
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本例题集按六大模块精选 15 道经典竞赛题，覆盖 CPhO 初赛到复赛的典型题型与核心方法。每题含 题目/分析/解答/点评 四部分：分析说明"为什么用这个工具"，解答给出完整推导，点评点出易错点与推广方向。建议在学完对应模块笔记后练习，并在练完后对照 99-竞赛解题方法与备考指南 的方法清单归纳"题型—方法"映射。所有数值结果均已验算。
一、力学例题
例 1：斜抛运动的最大射程与包络线
题目：从地面以初速度 $v_0$斜抛，抛射角$\theta$ 多大时射程最大？最大射程是多少？进一步求所有抛射角下炮弹能达到的区域的边界（包络线）方程。
分析：射程是 $\theta$的显函数，用三角恒等式求极值；包络线是"对$\theta$ 求极值"的二次方程判别式条件——这是竞赛中"参数曲线族的包络"的经典处理。
解答：水平与竖直分解：$x=v_0\cos\theta\thinspace{}t$、$y=v_0\sin\theta\thinspace{}t-\frac12gt^2$。落地 $y=0$得飞行时间$t=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g}$，射程 $$ R=v_0\cos\theta\cdot\frac{2v_0\sin\theta}{g}=\frac{v_0^2\sin2\theta}{g} $$ $\sin2\theta$最大为$1$，故 $$ \boxed{\thinspace\theta=45°,\qquad R_{\max}=\frac{v_0^2}{g}\thinspace} $$ 包络线：轨迹方程消去 $t$得$y=x\tan\theta-\dfrac{gx^2}{2v_0^2}(1+\tan^2\theta)$。令 $\tau=\tan\theta$，则 $y$是$\tau$ 的二次式 $$ \frac{gx^2}{2v_0^2}\tau^2-x\tau+\left(y+\frac{gx^2}{2v_0^2}\right)=0 $$ 对给定 $x$，能到达的 $y$要求该方程有实数解（判别式$\ge0$）： $$ \Delta=x^2-4\cdot\frac{gx^2}{2v_0^2}\left(y+\frac{gx^2}{2v_0^2}\right)\ge0 \ \Rightarrow\ y\le\frac{v_0^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v_0^2} $$ 边界即包络线： $$ \boxed{\thinspace{}y=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v_0^2}\quad(\text{抛物线})\thinspace} $$
点评：最大射程结论要求 $x=45°$时$\sin2\theta$最大；若从高度$h$处抛出，最大射程对应角小于$45°$（$\tan\theta=\dfrac{v_0}{\sqrt{v_0^2+2gh}}$）。包络线思想在"防空炮覆盖区域""最远点问题"中反复出现。
例 2：链条滑落问题
题目：长为 $L$、质量为 $m$ 的均匀链条堆在光滑水平桌面上，使其一端刚好垂下桌边，随后链条自行滑落。求链条全部离开桌面瞬间的速度（桌面光滑、链条始终被拉直）。
分析：链条各处速度相同（被拉直），故整体动能 $\frac12mv^2$；重力势能的变化量=质量连续变化的累积——用积分求重力做的总功，再动能定理。
解答：设下垂部分长度为 $x$，该段重力 $F_g=\dfrac{mg}{L}x$（向下）。从 $x=0$到$x=L$ 积分： $$ W_g=\int_0^L \frac{mg}{L}x'\thinspace{}dx'=\frac{mg}{L}\cdot\frac{L^2}{2}=\frac{mgL}{2} $$ 动能定理（初速为零）： $$ \frac12mv^2=\frac{mgL}{2}\ \Rightarrow\ \boxed{\thinspace{}v=\sqrt{gL}\thinspace} $$
点评：本题的关键是各部分速度相等→整体动能表达式简单；若用牛顿方程 $m\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{mg}{L}x$联立$\dfrac{dx}{dt}=v$解微分方程（力学/01-运动学 的$v\dfrac{dv}{dx}$换元）也可得同一结果——两种方法殊途同归。注意不要误把"质心下降高度$L/2$"算成"$L$"。
例 3：实心球无滑动滚下斜面
题目：质量 $m$、半径 $R$的实心均匀球从静止无滑动滚下倾角$\theta$ 的粗糙斜面，求质心加速度与斜面对球的静摩擦力（$I=\frac25mR^2$）。
分析：纯滚动条件 $a_c=\alpha R$ 把平动方程与转动方程耦合；静摩擦力方向沿斜面向上（提供转动，不做功——接触点瞬时静止）。
解答：设摩擦力 $f$ 沿斜面向上。平动：$ma_c=mg\sin\theta-f$；转动（对质心轴）：$fR=I\alpha=\frac25mR^2\alpha$。纯滚动 $a_c=\alpha R$，代入转动方程 $f=\frac25ma_c$，回代平动方程： $$ ma_c=mg\sin\theta-\frac25ma_c\ \Rightarrow\ \boxed{\thinspace{}a_c=\frac{5}{7}g\sin\theta\thinspace},\qquad f=\frac{2}{7}mg\sin\theta $$
点评：滚动物体"惯性"由 $1+\dfrac{I}{mR^2}$因子描述：实心球$\frac75$、圆盘 $\frac32$、圆环 $2$——球滚得最快。验证：能量法 $mgh=\frac12mv_c^2+\frac12I\omega^2$得$v_c=\sqrt{\dfrac{10gh}{7}}$，与 $a_c$ 自洽（力学/06-刚体动力学）。若斜面光滑则无滚动、$a_c=g\sin\theta$——"无滑动"与"无摩擦"是两种完全不同的前提。
二、热学例题
例 4：卡诺循环效率
题目：理想气体卡诺循环，高温热源 $T_1=400$K、低温热源$T_2=300$K。（1）求效率；（2）若每个循环从高温热源吸热$Q_1=1000$ J，求每个循环做的净功与向低温热源放出的热量。
分析：卡诺循环由两等温+两绝热组成，效率只由两热源温度决定（卡诺定理）。
解答： $$ \eta=1-\frac{T_2}{T_1}=1-\frac{300}{400}=25\% $$ $$ W=\eta Q_1=0.25\times1000=250\ \text{J},\qquad Q_2=Q_1-W=750\ \text{J} $$
点评：验证 $\dfrac{Q_2}{Q_1}=\dfrac{T_2}{T_1}$（750/1000=3/4，与卡诺定理一致）。卡诺效率是一切工作在 $T_1,T_2$ 间热机的上限（卡诺定理）；制冷机效率（制冷系数）$\varepsilon=\dfrac{T_2}{T_1-T_2}=3$（见 热学/04-循环与热机效率）。
例 5：热传导的熵变
题目：两个质量均为 $m=1$kg、比热$c=4200$J/(kg·K) 的相同物体，温度分别为$T_1=373$K 与$T_2=273$ K，直接接触达到共同温度（不计热损失）。求总熵变并证明其大于零。
分析：总熵变用"设计可逆过程"计算（熵是状态函数，与不可逆路径无关）：每个物体各设计等压可逆加热/冷却过程。
解答：共同温度 $T=\dfrac{T_1+T_2}{2}=323$ K。 $$ \Delta S=\Delta S_1+\Delta S_2=mc\ln\frac{T}{T_1}+mc\ln\frac{T}{T_2}=mc\ln\frac{T^2}{T_1T_2} $$ $$ \Delta S=4200\times\ln\frac{323^2}{373\times273}=4200\times\ln\frac{104329}{101829}\approx4200\times0.02425\approx102\ \text{J/K} $$ 由均值不等式 $T^2=\left(\dfrac{T_1+T_2}{2}\right)^2\ge T_1T_2$（$T_1\ne T_2$ 时严格大于），故 $$ \boxed{\thinspace\Delta S>0\thinspace} $$
点评：孤立系统中一切不可逆过程熵增加（熵增加原理）；等号只对可逆过程成立。本题的"两物体热传导"是最经典的熵增示范（热学/05-热力学第二定律与熵）。
三、电学例题
例 6：均匀带电球体的场强与电势
题目：半径 $R$、总电量 $Q$ 的均匀带电球体（电荷均匀分布于体内），求空间各点的场强与电势分布（取无穷远电势为零）。
分析：球对称——用高斯定理求场强（电学/03-高斯定理与导体静电平衡）；电势对场强分段积分。
解答：高斯面取同心球面 $S$：$\oint\vec E\cdot d\vec A=4\pi r^2E=\dfrac{Q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}$。
- $r>R$（外部）：$Q_{\text{内}}=Q$，$E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}$（点电荷形式）
- $r<R$（内部）：$Q_{\text{内}}=Q\dfrac{r^3}{R^3}$，$E=\dfrac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^3}$（线性增长）
电势（积分 $\displaystyle V(r)=\int_r^\infty E\thinspace{}dr$）： $$ V(r)=\begin{cases} \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r} & (r>R)\newline[6pt] \dfrac{Q(3R^2-r^2)}{8\pi\varepsilon_0R^3} & (r\le R) \end{cases} $$
点评：检查两个衔接点：$r=R$处两式都给出$\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}$（连续）；$r=0$处$V=\dfrac{3Q}{8\pi\varepsilon_0R}=\dfrac32V_{\text{表面}}$（球心电势是表面的 1.5 倍，经典结论）。内部场强线性→"带电球体内部是简谐运动恢复力"（可结合 力学/08-机械振动 出振荡题）。
例 7：无穷电阻网络
题目：电阻均为 $R_0$的无限梯形网络（每级：横臂$R_0$串联，竖臂$R_0$并联接地），求$A$、$B$ 两端的等效电阻。
分析：无限网络的自相似性——去掉最左一级后剩余部分仍是同一网络（电阻仍为 $R$），列一元方程求解。
解答：设等效电阻为 $R$。去掉最左一级（横臂 $R_0$+ 竖臂$R_0$），剩余部分电阻仍为 $R$： $$ R=R_0+\frac{R_0R}{R_0+R}\quad(\text{竖臂与剩余网络并联}) $$ 整理：$R(R_0+R)=R_0(R_0+R)+R_0R$，即 $$ R^2-R_0R-R_0^2=0\ \Rightarrow\ \boxed{\thinspace{}R=\frac{1+\sqrt5}{2}R_0\approx1.618R_0\thinspace} $$ （取正根；$R_0=1\ \Omega$时$R\approx1.618\ \Omega$——黄金比！）
点评：注意本题网络与"串 $2R_0$再并联"的梯形（答案$(\sqrt3+1)R_0$）结构不同——列递推式前必须先看清网络结构。递推法对"周期=1 级"的无限网络普遍有效（电学/05-稳恒电流与电路分析）。
例 8：三场复合中的匀速圆周运动
题目：质量为 $m$、电荷量 $q$（$q>0$）的带电粒子在竖直向下的匀强电场 $E$、水平方向的匀强磁场 $B$与重力场的复合场中做匀速圆周运动。（1）求$E$应满足的条件；（2）若粒子速度大小为$v$，求轨道半径；（3）说明粒子速度的方向要求。
分析：匀速圆周运动要求合力恒为向心力——重力与电场力必须平衡，只剩洛伦兹力提供向心力。
解答：（1）平衡条件： $$ qE=mg\ \Rightarrow\ \boxed{\thinspace{}E=\frac{mg}{q}\thinspace} $$ （2）洛伦兹力提供向心力： $$ qvB=\frac{mv^2}{r}\ \Rightarrow\ \boxed{\thinspace{}r=\frac{mv}{qB}\thinspace} $$ （3）$v$必须垂直于$B$（在水平面内运动）；绕行方向由洛伦兹力指向圆心决定——正电荷按左手定则、负电荷反向（本题 $q>0$）。
点评：这是复合场题的"模板条件"：匀速圆周 ⟺ 重力和电场力抵消（见 电学/07-带电粒子在磁场与复合场中）。若 $qE\ne mg$ 则粒子只能做螺旋或摆线运动，不再匀速圆周。改问"匀速直线运动"则条件相反：洛伦兹力也必须被平衡（速度选择器，$v=\dfrac{E}{B}$）。
四、电磁感应例题
例 9：导轨—单棒的能量分析
题目：水平光滑导轨间距 $L$，导轨与导体棒构成回路的总电阻为 $R$（恒定），竖直向上的匀强磁场 $B$。质量 $m$的导体棒初始静止，受恒定水平力$F$作用。（1）求收尾速度$v_m$；（2）棒从静止到位移 $s$ 的过程中，求通过回路的电量与回路产生的焦耳热。
分析：收尾条件 $F=F_{\text{安}}$；电量用磁通变化（与过程无关）；热量用能量守恒（拉力功-动能增量）。
解答：（1）安培力 $F_{\text{安}}=BIL=\dfrac{B^2L^2v}{R}$，收尾时 $F=F_{\text{安}}$： $$ \boxed{\thinspace{}v_m=\frac{FR}{B^2L^2}\thinspace} $$ （2）电量（电学/08-电磁感应与自感 的 $q=\dfrac{\Delta\Phi}{R}$）： $$ q=\frac{\Delta\Phi}{R}=\frac{BLs}{R} $$ 能量守恒：$Fs=\frac12mv_m^2+Q$，故 $$ \boxed{\thinspace{}Q=Fs-\frac12m\left(\frac{FR}{B^2L^2}\right)^2\thinspace} $$
点评："三把钥匙"各司其职：问速度→$F=F_{\text{安}}$（或动量定理）；问电量→磁通变化；问热量→能量守恒。若再问"从静止到收尾的时间"，用动量定理 $Ft-BLq=mv_m$（$q$ 已由位移求出）——本题是感应综合题的完整模板。
例 10：转动切割的动生电动势
题目：长为 $L$的均匀导体棒一端固定于$O$点，在竖直向下的均匀磁场$B$中以角速度$\omega$在水平面内匀速转动，棒两端通过滑环接到电阻$R$（棒的电阻忽略不计）。（1）求感应电动势；（2）求回路电流与外力的功率。
分析：转动切割用平均速度 $\dfrac{\omega L}{2}$（线速度随位置线性变化，等效于中点的切割速度）；或积分 $\varepsilon=\int_0^L B\omega x\thinspace{}dx$。
解答： $$ \varepsilon=\int_0^L B\omega x\thinspace{}dx=\frac12B\omega L^2 $$ $$ I=\frac{\varepsilon}{R}=\frac{B\omega L^2}{2R},\qquad P=I^2R=\frac{B^2\omega^2L^4}{4R} $$
点评：外力功率=焦耳热功率（匀速转动、动能不变）——能量的守恒链条"机械→电→热"自动成立。若磁场以棒为轴（$B\parallel$ 转轴）则无切割、电动势为零；$B$ 必须垂直于转轴才有感应（方向分析见 电学/08-电磁感应与自感）。
五、光学例题
例 11：两透镜逐次成像（含虚物）
题目：焦距 $f_1=20$cm 的凸透镜与$f_2=10$ cm 的凸透镜共轴相距 40 cm，物体距第一透镜 30 cm，求最终像的位置、性质与总放大率。
分析：逐次成像法——第一透镜的像作为第二透镜的物；像在第二透镜出射侧则为虚物（物距取负）。
解答：第一透镜： $$ v_1=\frac{u_1f_1}{u_1-f_1}=\frac{30\times20}{30-20}=60\ \text{cm}\ (\text{实像}) $$ 该像在透镜 1 右侧 60 cm，即透镜 2 右侧 20 cm 处——在出射光一侧，故对透镜 2 是虚物： $$ u_2=-(60-40)=-20\ \text{cm} $$ $$ v_2=\frac{u_2f_2}{u_2-f_2}=\frac{(-20)\times10}{-20-10}=\frac{20}{3}\approx6.67\ \text{cm}\ (\text{实像}) $$ 总放大率： $$ m=m_1m_2=\frac{60}{30}\times\frac{20/3}{-20}=2\times\left(-\frac13\right)=-\frac23 $$ 倒立、缩小 $\frac23$ 倍的实像，位于透镜 2 右侧约 6.67 cm 处。
点评：虚物的处理是光具组题的唯一难点——"够不到的像"取负号（光学/02-球面镜与薄透镜成像）。验算：$m<0$ 倒立、$|m|<1$ 缩小，与实像必倒立一致。若第二透镜换凹透镜（$f_2=-10$ cm）：$v_2=\dfrac{-20\times(-10)}{-20+10}=-20$ cm，成虚像。
例 12：光栅的缺级与最大级次
题目：光栅每毫米 200 条刻线（光栅常数 $d=5000$nm），缝宽$a=\dfrac{d}{3}$，用波长 $\lambda=500$ nm 的单色光垂直入射。（1）求可观察的最大级次；（2）指出缺级的级次；（3）列出实际能观察到的全部级次。
分析：最大级次由 $\sin\theta\le1$ 限制；缺级条件是光栅主极大位置同时满足单缝衍射暗纹条件。
解答：（1）光栅方程 $d\sin\theta=m\lambda$，$\sin\theta\le1$： $$ m_{\max}=\left[\frac{d}{\lambda}\right]=\left[\frac{5000}{500}\right]=10 $$ （2）缺级条件 $m=\dfrac{d}{a}m'=3m'$（$m'=\pm1,\pm2,\cdots$）： $$ \text{缺级：}\ m=\pm3,\ \pm6,\ \pm9 $$ （3）实际可观察： $$ \boxed{\thinspace{}m=0,\ \pm1,\ \pm2,\ \pm4,\ \pm5,\ \pm7,\ \pm8,\ \pm10\thinspace} $$ 共 15 条亮纹（两侧各 7 条加中央）。
点评：$\pm10$级恰好满足$\sin\theta=1$（掠射，理论上在屏边缘）；缺级本质是"干涉主极大落在衍射暗纹上"——$d/a$ 为整数比时才会缺级（光学/05-光的衍射）。若白光入射，各级形成彩色光谱且高级次会重叠（$m\lambda_1=(m+1)\lambda_2$ 判据）。
六、近代物理例题
例 13：氢原子能级跃迁
题目：（1）氢原子从 $n=3$跃迁到$n=2$，求辐射光子波长（$R_H=1.097\times10^7\ \text{m}^{-1}$）；（2）大量氢原子从 $n=4$ 跃迁到基态，最多产生几条谱线？其中属于巴耳末系（可见光）的有几条？（3）基态氢原子电离所需的最小光子能量。
分析：跃迁公式 $\dfrac1\lambda=R_H\left(\dfrac1{n_f^2}-\dfrac1{n_i^2}\right)$；谱线数=组合数；电离能即 $|E_1|$。
解答：（1） $$ \frac1\lambda=R_H\left(\frac1{2^2}-\frac1{3^2}\right)=1.097\times10^7\times\frac5{36} $$ $$ \lambda=\frac{36}{5\times1.097\times10^7}=6.56\times10^{-7}\ \text{m}=\boxed{\thinspace656\ \text{nm}\thinspace}\ (\text{红光}) $$ （2）$n=4$向低能级跃迁的谱线条数$=\text{C}_4^2=6$条；其中跃迁到$n=2$ 的（$4\to2$、$3\to2$）为巴耳末系，共 2 条。 （3）电离能 $W=|E_1|=13.6$eV（基态$E_1=-13.6$ eV）。
点评：656 nm 是氢光谱巴耳末系第一条（$H_\alpha$ 红光）——经典数值必须记住。注意"大量原子"（组合数）与"单个原子"（一次只能一条谱线）的区别；光子能量小于 13.6 eV 不能被基态氢原子吸收（能级量子化），与光电效应（连续吸收）不同（近代物理/03-原子结构与玻尔模型）。
例 14：放射性衰变与碳-14 定年
题目：（1）某放射性核素经 3 个半衰期后，剩余核数占原核数的比例是多少？（2）考古样品中 ${}^{14}\text{C}$的活度是现代活体样品的$\dfrac18$，已知 ${}^{14}\text{C}$半衰期$T_{1/2}=5730$年，求样品年代；（3）若活度比是$\dfrac{1}{10}$，求年代。
分析：$N=N_0\left(\dfrac12\right)^n$；活度 $A=\lambda N$ 与核数成正比；非整数个半衰期用指数式。
解答：（1）$n=3$： $$ \frac{N}{N_0}=\left(\frac12\right)^3=\boxed{\thinspace\frac18\thinspace} $$ （2）活度比 $=\dfrac18=\left(\dfrac12\right)^3$，即恰好 3 个半衰期： $$ t=3T_{1/2}=3\times5730=\boxed{\thinspace17190\ \text{年}\thinspace} $$ （3）活度比 $\dfrac{1}{10}$：由 $N=N_0e^{-\lambda t}$、$\lambda=\dfrac{\ln2}{T_{1/2}}$： $$ t=\frac{T_{1/2}}{\ln2}\ln10=\frac{5730}{0.693}\times2.303\approx19035\ \text{年} $$
点评：碳定年原理——活体 ${}^{14}\text{C}$ 丰度恒定（宇宙射线持续产生+代谢平衡），死亡后只衰变不补充（近代物理/05-原子核与放射性衰变）。$\dfrac{\ln10}{\ln2}\approx3.32$ 个半衰期是常见考点。注意半衰期与外界条件（温度、压强、化学状态）无关。
例 15：核聚变的质量亏损与放能
题目：氘氚聚变 ${}^2_1\text{H}+{}^3_1\text{H}\to{}^4_2\text{He}+{}^1_0\text{n}$，已知 $m_{\text{d}}=2.01410\ \text{u}$、$m_{\text{t}}=3.01605\ \text{u}$、$m_{\alpha}=4.00260\ \text{u}$、$m_n=1.00867\ \text{u}$（$1\ \text{u}=931.5\ \text{MeV}/c^2$）。求该反应释放的能量。
分析：反应前后质量差即质量亏损，乘以 $c^2$（用 u→MeV 换算）得释放能量。
解答： $$ \Delta m=(2.01410+3.01605)-(4.00260+1.00867)=5.03015-5.01127=0.01888\ \text{u} $$ $$ \boxed{\thinspace\Delta E=\Delta m\times931.5=0.01888\times931.5\approx17.6\ \text{MeV}\thinspace} $$
点评：氘氚聚变每核子放能约 $\dfrac{17.6}{5}\approx3.5$MeV，而铀裂变约$\dfrac{200}{235}\approx0.85$ MeV/核子——聚变单位质量放能约为裂变的 4 倍（加上氘资源丰富，是"终极能源"的原因，近代物理/06-核反应与核能）。质量用原子质量时电子质量在方程两边相消，可以直接用（反应前后电子数相同）。
学习建议
例题集的使用方法
- 先独立做再对照：每题先自己写完整解答，再对照"分析/解答"——对照的重点不是答案，而是方法选择：我为什么没想到用能量/动量/对称性？
- 归纳题型-方法映射：做完后把每题的"分析"提炼成一行（如"导轨题→三把钥匙"），汇总到 99-竞赛解题方法与备考指南 的方法清单中；
- 变式练习：把每题改一个条件再算一遍（如例 8 改负电荷、例 9 加恒速条件、例 12 改白光）——一题三练胜过三题一练；
- 数值验算习惯：所有答案先看数量级（$656$ nm 应在可见光范围、$17.6$ MeV 应与已知聚变放能一致），再确认有效数字。
编者寄语
这 15 题是竞赛六大模块的"门面题"——每一题背后都是一类经典方法：包络线（极值）、链条（微元积分）、纯滚动（转动+平动耦合）、熵增（可逆设计）、高斯定理（对称性）、递推（自相似）、复合场（力平衡条件）、三把钥匙（守恒律）、虚物（符号约定）、缺级（干涉+衍射联合）、组合数（量子化跃迁）、半衰期（指数规律）、质量亏损（质能等价）。把这些方法的"触发条件"刻进肌肉记忆，竞赛计算题就成功了大半。
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