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物理光学 contents
说明
本目录按照“电磁波本质 → 光波数学描述 → 能量 → 叠加与干涉 → 衍射 → 偏振 → 几何光学”的顺序组织。几何光学放在波动光学之后，作为波长趋于零的极限情形，有利于理解光的双重性质。
第一部分：光的电磁理论基础
1 麦克斯韦方程与电磁波
- 积分形式与微分形式
- 无源区域的波动方程
- 平面波解与光速 $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$
- 横波性与电磁波谱
2 光波的数学表达（波函数）
- 一维标量波：$E(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t + \varphi)$
- 复数表示与复振幅（相量法）
- 三维空间中的波：波矢 $\mathbf{k}$ 与波前
- 球面波与柱面波简介
3 光的能量计算
- 电磁能量密度
- 坡印廷矢量 $\mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H}$
- 光强（时间平均）：$I = \frac{1}{2} c \varepsilon_0 E_0^2$
- 辐照度与功率
第二部分：光的叠加与干涉
4 光的表达与叠加
- 线性叠加原理
- 同向同频叠加、拍频（重温）
- 相干条件（频率相同、相位差恒定、振动方向一致）
- 相干光与非相干光
5 光的干涉
- 分波前干涉：杨氏双缝（光程差、条纹间距）
- 分振幅干涉：薄膜等倾与等厚干涉
- 迈克耳孙干涉仪（原理与应用）
- 多光束干涉与法布里‑珀罗干涉仪（选读）
第三部分：光的衍射
6 光的衍射
- 惠更斯‑菲涅耳原理
- 基尔霍夫衍射公式（标量衍射理论）
- 基尔霍夫积分定理
- 边界条件与衍射公式
- 瑞利‑索末菲公式
- 索末菲辐射条件
- 第一、二类瑞利‑索末菲衍射积分
- 菲涅尔衍射积分（近场衍射）
- 菲涅尔近似条件
- 菲涅尔积分与考纽螺线
- 直边、圆孔、矩形孔的菲涅尔衍射
- 夫琅禾费衍射（远场衍射）
- 夫琅禾费近似条件
- 单缝、双缝、圆孔衍射（艾里斑）
- 衍射光栅（光栅方程、色散、分辨本领）
- 光学仪器的分辨本领（瑞利判据）
第四部分：光的偏振
7 光的偏振（补充）
- 偏振态：线偏振、圆偏振、椭圆偏振
- 琼斯矢量表示
- 起偏与检偏：马吕斯定律
- 布儒斯特角（反射偏振）
- 双折射与波片（$\lambda/4$与$\lambda/2$ 片）
- 偏振干涉（选读）
第五部分：几何光学
8 费马原理（补充）
- 光程概念
- 费马原理表述：光沿光程取极值的路径传播
- 由费马原理推导反射定律与折射定律
9 折射与反射
- 斯涅尔定律与反射定律
- 全反射与临界角
- 菲涅耳公式（振幅反射/透射系数）
- 棱镜（色散、全反射棱镜）
10 透镜成像定理
- 薄透镜公式 $\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$
- 符号约定（笛卡尔符号法则）
- 放大率、实像与虚像
- 透镜组与厚透镜简介（选读）
- 像差初步（球差、色差，选读）
第六部分：应用与拓展（选读）
11 常见光学仪器
- 放大镜、显微镜、望远镜
- 相机与投影仪
- 人眼的光学模型
12 傅里叶光学与全息简介
- 衍射与傅里叶变换的关系
- 空间频率与空间滤波
- 全息术基本原理
#正文
第一部分：光的电磁理论基础
本部分目标
从麦克斯韦方程组出发，建立光作为电磁波的理论基础。推导自由空间中的波动方程，给出平面波解并解释光的横波特性。随后引入波函数的数学描述（包括复数表示与复振幅），最后讨论电磁波的能量、坡印廷矢量以及光强的概念。本部分是后续干涉、衍射和偏振章节的理论基石。
1 麦克斯韦方程与电磁波
1.1 麦克斯韦方程组（积分形式）
真空中的麦克斯韦方程组是经典电磁理论的最高概括。在无自由电荷和传导电流的自由空间中（$\rho = 0,\thickspace\mathbf{J} = 0$），方程组为：
$$ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = 0 \tag{1.1} $$ $$ \oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = 0 \tag{1.2} $$ $$ \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} \tag{1.3} $$ $$ \oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \varepsilon_0 \mu_0 \frac{d}{dt} \int_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} \tag{1.4} $$
其中 $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \text{ F/m}$ 为真空介电常数，$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ N/A}^2$ 为真空磁导率。
1.2 麦克斯韦方程组（微分形式）
利用散度定理和斯托克斯定理，可将积分形式化为微分形式（无源区）：
$$ \nabla \cdot \mathbf{E} = 0 \tag{1.5} $$ $$ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \tag{1.6} $$ $$ \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \tag{1.7} $$ $$ \nabla \times \mathbf{B} = \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \tag{1.8} $$
方程 (1.5) 和 (1.6) 表明真空中电磁场都是无散的；(1.7) 是法拉第电磁感应定律（变化的磁场激发电场）；(1.8) 是安培‑麦克斯韦定律（位移电流项，变化的电场激发磁场）。
位移电流的关键作用
麦克斯韦在安培定律中添加位移电流项 $\varepsilon_0 \mu_0 \partial\mathbf{E}/\partial t$，不仅完善了电磁场方程的自洽性（保证了电荷守恒），更预言了电磁波的存在。
1.3 自由空间中的波动方程
对 (1.7) 两边取旋度： $$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathbf{B}) $$ 利用矢量恒等式 $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}$，并代入 (1.5) 和 (1.8)，得： $$
- \nabla^2 \mathbf{E} = - \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} $$ 即
电磁波动方程
$$\nabla^2 \mathbf{E} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0 \tag{1.9}$$ 其中 $$c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} \tag{1.10}$$
同理，对 $\mathbf{B}$可得相同形式的波动方程。将$\varepsilon_0$和$\mu_0$ 的实验值代入，$c \approx 2.998 \times 10^8 \text{ m/s}$，这正是真空中的光速。这一惊人吻合是光即电磁波的有力证据。
1.4 平面波解
考虑沿 $+z$方向传播的一维情况。电场只有$x$分量，记为$E_x(z,t)$。波动方程 (1.9) 化为： $$\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} = 0$$ 其通解为： $$E_x(z,t) = f(z - ct) + g(z + ct)$$ 其中 $f$代表沿$+z$ 方向传播的波，$g$代表沿$-z$ 方向传播的波。
定义 1.1（平面简谐电磁波）
取正向传播的单频简谐解： $$\mathbf{E}(z,t) = E_0 \cos(kz - \omega t + \varphi) \thinspace\hat{\mathbf{x}} \tag{1.11}$$ 其中 $E_0$ 为振幅，$k = 2\pi/\lambda$ 为波数，$\omega = 2\pi\nu$为角频率。波速$c = \omega/k$。
空间周期 $\lambda = 2\pi/k$（波长），时间周期 $T = 2\pi/\omega = 1/\nu$。对于可见光，$\lambda \approx 400$–$700\text{ nm}$，$\nu \approx (4.3$–$7.5)\times 10^{14} \text{ Hz}$。
1.5 横波性
将平面波解 (1.11) 代入散度方程 $\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$： $$\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = 0 + 0 + \frac{\partial E_z}{\partial z} = 0$$ 对于沿 $z$方向传播、只有$E_x$分量的波，此方程自动满足；更一般地，若$\mathbf{E}$振幅矢量为$\mathbf{E}_0$，则 $\nabla\cdot\mathbf{E} = 0$要求$\mathbf{k}\cdot\mathbf{E}_0 = 0$，即电场振动方向垂直于传播方向。同理 $\mathbf{k}\cdot\mathbf{B}_0 = 0$。因此电磁波是横波。
由法拉第定律 (1.7) 还可导出 $\mathbf{E}$与$\mathbf{B}$相互垂直，且$\mathbf{E} \times \mathbf{B}$ 的方向即为传播方向。三者构成右手正交系： $$\mathbf{B} = \frac{1}{\omega}(\mathbf{k} \times \mathbf{E}),\quad |\mathbf{B}| = \frac{|\mathbf{E}|}{c}$$
1.6 电磁波谱
电磁波按波长/频率顺序排列构成电磁波谱。从低频到高频依次为：无线电波 → 微波 → 红外 → 可见光 → 紫外 → X 射线 → $\gamma$射线。可见光仅占极窄的一段（约 400–700 nm），却是人类感知世界的主要窗口。不同波段与物质的相互作用机制不同，但真空中均以同一速度$c$ 传播。
2 光波的数学表达（波函数）
2.1 一维标量波
在许多光学问题中，可将矢量电场简化为标量 $u(x,t)$（线偏振且方向恒定时）。最基础的简谐波： $$u(x,t) = A \cos(kx - \omega t + \varphi) \tag{2.1}$$ 其中 $A$ 为振幅，$\varphi$为初相。相位$\phi(x,t) = kx - \omega t + \varphi$是时间与空间的线性函数。等相位面满足$kx - \omega t = \text{const}$，移动速度即相速度 $v_p = \omega/k = c$（真空中）。
2.2 复数表示与复振幅
三角函数运算繁琐。利用欧拉公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$，可引入复数表示： $$U(x,t) = A e^{i(kx - \omega t + \varphi)}$$ 物理上的实波函数为其取实部：$u(x,t) = \operatorname{Re}[U(x,t)]$。
分离时间因子： $$U(x,t) = \underbrace{A e^{i\varphi} e^{i kx}}_{\text{复振幅 } \tilde U(x)} e^{-i\omega t} \tag{2.2}$$
定义 2.1（复振幅）
$$\tilde U(x) = A e^{i(kx + \varphi)}$$ 复振幅包含振幅 $A$和空间相位信息$kx + \varphi$。时间因子 $e^{-i\omega t}$ 对所有同频波相同，线性运算时可只处理复振幅，最后取实部恢复物理量。这是波动光学中最重要的数学技巧之一。
例 2.1
两同频波的叠加 $A_1 e^{i(kx + \varphi_1)} + A_2 e^{i(kx + \varphi_2)}$ 可直接用复数加法（相量法）得到合复振幅，免去三角公式。
2.3 三维空间中的波
推广到三维，波矢 $\mathbf{k}$表示传播方向，其大小$|\mathbf{k}| = 2\pi/\lambda$。平面波的复振幅为： $$\tilde U(\mathbf{r}) = A e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} + \varphi)} \tag{2.3}$$ 完整的波函数： $$U(\mathbf{r},t) = A e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t + \varphi)} \tag{2.4}$$ 等相位面 $\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} = \text{const}$是一系列垂直于$\mathbf{k}$ 的平面（故称平面波）。
2.4 球面波与柱面波
点光源在各向同性介质中发出的波，等相位面为球面。标量球面波的复振幅形式为： $$\tilde U(r) = \frac{A}{r} e^{i(kr + \varphi)} \tag{2.5}$$ 其中 $r$是到源点的距离。振幅随$1/r$ 衰减以保证能量守恒（通过球面积分后功率恒定）。
柱面波（如线光源）的振幅按 $1/\sqrt{r}$ 衰减： $$\tilde U(\rho) \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}} e^{i(k\rho + \varphi)} \tag{2.6}$$ $\rho$ 为到轴线的垂直距离。
平面波是球面波的远场近似
在远离点源且观测区域有限的条件下，球面波的波前曲率可忽略，局部退化为平面波，振幅近似常数。这正是夫琅禾费衍射的出发点之一。
3 光的能量计算
3.1 电磁能量密度
电磁场中单位体积储存的能量（真空中）为： $$u = \frac12 \varepsilon_0 |\mathbf{E}|^2 + \frac{1}{2\mu_0} |\mathbf{B}|^2 \tag{3.1}$$ 对于简谐平面波，利用 $|\mathbf{B}| = |\mathbf{E}|/c$和$c^2 = 1/(\varepsilon_0\mu_0)$ 可证两能量密度相等： $$\frac{1}{2\mu_0} B^2 = \frac{1}{2\mu_0} \frac{E^2}{c^2} = \frac12 \varepsilon_0 E^2$$ 因此总能量密度 $$u = \varepsilon_0 E^2 \tag{3.2}$$
3.2 坡印廷矢量
电磁能量流密度由坡印廷矢量描述： $$\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} \tag{3.3}$$ $\mathbf{S}$ 的方向即能量传播方向，大小为单位时间通过单位面积的能量。
对平面波 $\mathbf{E} \perp \mathbf{B}$，$\mathbf{S} = \varepsilon_0 c E^2 \thinspace\hat{\mathbf{k}} = c u \thinspace\hat{\mathbf{k}}$，能量以光速传播。
3.3 光强（辐照度）
光学探测器响应的是光场周期的时间平均值（频率太高无法瞬时跟踪），定义光强（Irradiance）为坡印廷矢量大小的平均值： $$I = \langle S \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T S(t)\thinspace{}dt$$ 对简谐场 $E(t) = E_0 \cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)$： $$I = \varepsilon_0 c \langle E^2 \rangle = \varepsilon_0 c E_0^2 \langle \cos^2(\cdots) \rangle = \frac12 \varepsilon_0 c E_0^2 \tag{3.4}$$
用复振幅表示：若 $\tilde U$为复振幅，则实际场量为$\operatorname{Re}[\tilde U e^{-i\omega t}]$，光强可用复振幅简洁计算： $$I = \frac12 \varepsilon_0 c \thinspace |\tilde U|^2 \tag{3.5}$$ 在多数场合，比例系数不重要，只需关心相对光强 $I \propto |\tilde U|^2$。
核心公式
标量波光强正比于复振幅模方的两倍平均：$I \propto |\tilde U|^2$。这是干涉、衍射理论中光强计算的基本依据。
例 3.1
一束功率 $P = 1\text{ mW}$的激光，光斑直径$d = 1\text{ mm}$，求平均电场强度。 光斑面积 $A = \pi (0.5\times 10^{-3})^2 \approx 7.85\times 10^{-7}\text{ m}^2$。 光强 $I = P/A \approx 1.27\times 10^3 \text{ W/m}^2$。 由 $I = \frac12 c \varepsilon_0 E_0^2$，解得 $E_0 = \sqrt{2I/(c\varepsilon_0)} \approx 980 \text{ V/m}$。
第一部分小结
- 麦克斯韦方程预言了以光速传播的电磁波，揭示了光的电磁本质。电磁波是横波，$\mathbf{E} \perp \mathbf{B} \perp \mathbf{k}$。
- 光波可用实标量波函数或复数表示描述；引入复振幅将空间相位与时间振荡分离，极大简化了叠加和干涉计算。
- 光强正比于电场振幅的平方（或复振幅模的平方），通过坡印廷矢量的时间平均求得，是光学测量的核心物理量。
第二部分：光的叠加与干涉
本部分目标
在电磁波理论基础上，讨论多列光波在空间中相遇时遵循的线性叠加原理，由此引出光波相干条件与相干光的概念。进而系统分析杨氏双缝干涉（分波前法）和薄膜干涉（分振幅法）两大经典干涉模型，建立光程差与条纹分布之间的定量关系，并介绍迈克耳孙干涉仪及多光束干涉原理。
4 光的表达与叠加
4.1 线性叠加原理
麦克斯韦方程组在真空和各向同性均匀介质中均为线性偏微分方程组。若 $\mathbf{E}_1(\mathbf{r},t)$和$\mathbf{E}_2(\mathbf{r},t)$分别是满足方程的解，则其线性组合$\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = a\mathbf{E}_1 + b\mathbf{E}_2$（$a,b$为常数）同样是方程的解。对于用标量波函数$u(\mathbf{r},t)$ 表示的单色场分量，这一叠加原理依然成立。
叠加原理
空间中某点的光场是到达该点的所有光波扰动的代数和。若用复振幅表示： $$\tilde U(\mathbf{r}) = \sum_{n} \tilde U_n(\mathbf{r})$$ 相应的实际光场 $u(\mathbf{r},t) = \operatorname{Re}\big[\tilde U(\mathbf{r})\thinspace{}e^{-i\omega t}\big]$。
4.2 同向同频波的叠加与拍频（重温）
回顾第 6 节及机械振动第三部分的内容：两列同频率、同振动方向、沿同方向传播的平面波：
$$\tilde U_1 = A_1 e^{i(kx + \varphi_1)}, \quad \tilde U_2 = A_2 e^{i(kx + \varphi_2)}$$
合复振幅 $\tilde U = \tilde U_1 + \tilde U_2$，合光强（相对值）为： $$I = |\tilde U|^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos\Delta\varphi \tag{4.1}$$ 其中 $\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1$。
当两波频率略有差异时，叠加产生拍，已在第一部分阐述，在此不再重复。但在光频段，由于频率极高，不同频率的光波叠加后探测器无法跟踪拍频，故实际干涉现象需基于同频率的相干光。
4.3 相干条件
考虑两列频率相同、振动方向相同的标量波： $$\tilde U_1 = A_1 e^{i\phi_1}, \quad \tilde U_2 = A_2 e^{i\phi_2}$$ 在观察点叠加后的光强为 $$I = \langle |U_1 + U_2|^2 \rangle = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\thinspace \langle \cos(\phi_2 - \phi_1) \rangle$$ 其中 $I_1 = \langle A_1^2 \rangle$，$I_2 = \langle A_2^2 \rangle$。
- 若相位差 $\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1$保持恒定，则$\langle \cos\Delta\phi \rangle = \cos\Delta\phi$，出现稳定的干涉项 $2\sqrt{I_1 I_2}\cos\Delta\phi$。
- 若相位差随机变化（如两个独立光源），则在响应时间内 $\langle \cos\Delta\phi \rangle = 0$，$I = I_1 + I_2$，无干涉。
光的相干条件
- 频率相同；
- 振动方向一致（或有平行分量）；
- 相位差恒定。
满足这三个条件的光波称为相干光，相应的光源称为相干光源。
普通光源（如白炽灯、日光）原子自发辐射的初相随机，各发光原子互不相干。激光的受激辐射使得出射光子具有几乎一致的频率和相位，是理想的相干光源。在实验中，常常通过分波前或分振幅的方法，从同一原子发出的同一波列中分出两束光再使其相遇，以获得相干光束。
5 光的干涉
5.1 分波前干涉：杨氏双缝
实验装置与原理
1801 年托马斯·杨首次用实验证实光的波动性。用单色光照射一条狭缝 $S$（以获得空间相干光），再经两条相距 $d$的平行狭缝$S_1, S_2$出射，在后方距离$D \gg d$ 的屏上观察到明暗相间的等距干涉条纹。
光程差
取 $S_1$和$S_2$为两个次级相干点源。屏上某点$P$ 到两缝的光程差为 $$\Delta = r_2 - r_1 \approx d\sin\theta \approx d \frac{y}{D} \tag{5.1}$$ 其中 $\theta$为$P$ 相对于中心轴线的角位置，$y$为$P$ 的垂直坐标（原点在中心亮纹处）。
条纹分布
两缝发出同相位的子波，到达 $P$ 点的相位差 $$\delta = k \Delta = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta$$ 干涉项取决于 $\cos\delta$。
亮纹条件（相长干涉）： $$\Delta = m\lambda \quad (m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots) \tag{5.2}$$ 亮纹位置：$y_m = m \frac{\lambda D}{d}$。
暗纹条件（相消干涉）： $$\Delta = \left(m + \frac12\right)\lambda \tag{5.3}$$ 暗纹位置：$y_m^{\text{dark}} = \left(m + \frac12\right) \frac{\lambda D}{d}$。
相邻亮纹（或暗纹）间距（条纹宽度）： $$\Delta y = \frac{\lambda D}{d} \tag{5.4}$$
例 5.1
杨氏双缝间距 $d = 0.50\text{ mm}$，屏距 $D = 1.5\text{ m}$，入射光 $\lambda = 600\text{ nm}$。条纹间距 $\Delta y = (600\times 10^{-9} \times 1.5)/(0.50 \times 10^{-3}) = 1.8\text{ mm}$。若用白光，则除中心零级为白色外，各级呈现彩色光谱（$y_m \propto \lambda$）。
光强分布
若两缝等宽，$I_1 = I_2 = I_0$，$A_1 = A_2$。合振幅 $$A = 2A_1 \cos\frac{\delta}{2}$$ 光强 $$I = 4I_0 \cos^2\frac{\delta}{2} = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi d}{\lambda}\sin\theta\right) \approx 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi d}{\lambda D}y\right) \tag{5.5}$$ 光强在 $0$与$4I_0$ 之间随位置作余弦平方振荡。
5.2 分振幅干涉：薄膜干涉
原理
入射光在薄膜上下表面反射，两反射光束来自同一入射波列，具有恒定相位差，相遇后可产生干涉。日常生活中肥皂泡、油膜在日光下的彩纹即源于此。
光程差计算
考虑折射率为 $n_f$的均匀薄膜，厚度$d$，置于折射率为 $n_0$的介质中（通常$n_0 = 1$即空气）。光以入射角$\theta_i$射入薄膜，折射角$\theta_t$满足斯涅尔定律$n_0 \sin\theta_i = n_f \sin\theta_t$。
相邻两束反射光（上表面反射与下表面反射）间的光程差为： $$\Delta = 2 n_f d \cos\theta_t \tag{5.6}$$ 此外，还需要考虑半波损失：当光从折射率较小介质射向较大介质反射时，电场相位突变 $\pi$，相当于附加 $\lambda/2$ 的光程。
半波损失规则
- 若 $n_f > n_0$（如空气→薄膜）：上表面反射有半波损失，下表面无损失 → 总附加光程 $\lambda/2$。
- 若 $n_f < n_0$（如薄膜→空气）：上表面无损失，下表面有损失 → 同样附加 $\lambda/2$。
因此总有效光程差为： $$\Delta_{\text{eff}} = 2 n_f d \cos\theta_t \pm \frac{\lambda}{2} \tag{5.7}$$
干涉条件
- 相长（亮）：$\Delta_{\text{eff}} = m\lambda \thickspace\Longrightarrow\thickspace 2 n_f d \cos\theta_t = (m + \frac12)\lambda$（一般情况下）$(m = 0,1,2,\dots)$
- 相消（暗）：$\Delta_{\text{eff}} = (m+\frac12)\lambda \thickspace\Longrightarrow\thickspace 2 n_f d \cos\theta_t = m\lambda$
(注意：符号取决于半波损失的具体情况，这里先写出最通用的形式。)
等倾干涉与等厚干涉
等倾干涉：薄膜厚度 $d$均匀，光程差仅随入射角$\theta_i$（即 $\theta_t$）变化。使用扩展光源时，相同倾角的光线对应同一条干涉条纹，在透镜焦平面上形成同心圆环（等倾圆环）。中心条纹对应 $\theta_t = 0$，级次最高。
等厚干涉：平行光（$\theta_i$固定）照射厚度$d$ 变化的薄膜，每一条干涉条纹对应薄膜上厚度相同的位置，故称等厚线。典型的例子是劈尖干涉和牛顿环。
例 5.2（劈尖干涉）
两块平板玻璃一端接触，另一端垫一薄片，中间形成空气劈尖。单色平行光垂直照射，空气折射率 $n_f \approx 1$，$\theta_t \approx 0$。半波损失后 $\Delta_{\text{eff}} \approx 2d - \lambda/2$。暗纹条件 $2d = m\lambda$，相邻暗纹对应厚度差 $\Delta d = \lambda/2$。条纹间距 $l = \frac{\Delta d}{\tan\alpha} \approx \frac{\lambda}{2\alpha}$（$\alpha$ 为劈尖角）。
例 5.3（牛顿环）
一曲率半径 $R$的平凸透镜置于平面玻璃上，空气膜厚度$d \approx r^2/(2R)$，$r$为干涉环半径。暗环条件$2d = m\lambda \thickspace\Rightarrow\thickspace r_m = \sqrt{m\lambda R}$，亮环 $r_m = \sqrt{(m-1/2)\lambda R}$。可用于检验光学表面曲率。
5.3 迈克耳孙干涉仪
迈克耳孙干涉仪是分振幅干涉的经典装置，原理图省略，可文字描述：光源经分束器分为强度近似相等的两束，分别射向两个互相垂直的平面反射镜 $M_1$和$M_2$，反射后重新汇合并发生干涉。补偿板 $C$用于使两束光在玻璃中光程相等。等效于观察由$M_2$在半镀银面上成的虚像$M_2'$与$M_1$ 构成的“空气薄膜”的等倾或等厚干涉。
- 移动 $M_1$改变空气薄膜厚度$d$，每当 $d$改变$\lambda/2$，视场中心冒出或缩进一条条纹。
- 用于精密测长：计数条纹变化数 $\Delta N$，则移动距离 $\Delta d = \Delta N \cdot \lambda/2$。
- 历史意义：迈克耳孙‑莫雷实验以零结果否定了以太，为狭义相对论铺路。
5.4 多光束干涉与法布里‑珀罗干涉仪（选读）
薄膜干涉若表面反射率很低，可仅考虑前两束反射光（双光束干涉近似）。但当反射率 $R$ 较高（如镀高反膜），多次反射光振幅衰减缓慢，必须考虑所有透射或反射光束的叠加。
艾里函数
对于平行平板的多光束干涉，透射光强随相位差 $\delta$ 分布为 $$I_T = I_0 \frac{1}{1 + F \sin^2(\delta/2)}$$ 其中 $F = \frac{4R}{(1-R)^2}$称为精细度系数。该函数在$\delta = 2m\pi$ 处呈现极锐利的透射峰，$R$ 越大峰越窄。法布里‑珀罗干涉仪正是利用这一原理，用作高分辨光谱仪或激光谐振腔。
精细度
定义精细度 $\mathcal{F} = \frac{\pi\sqrt{F}}{2} = \frac{\pi\sqrt{R}}{1-R}$，衡量共振峰的锐利程度。$\mathcal{F}$ 越大，仪器光谱分辨能力越高。
第二部分小结
- 相干光是频率相同、振动方向一致、相位差恒定的光。只有相干光才能产生稳定的干涉条纹。
- 分波前干涉（杨氏双缝）通过从同一波前分割出两个次级子波源实现相干，条纹间距 $\Delta y = \frac{\lambda D}{d}$，光强呈余弦平方分布。
- 分振幅干涉（薄膜）利用同一束光在界面上的反射和透射实现多束相干光。薄膜干涉分为等倾（$d$ 均匀，条纹为同心圆环）和等厚（$\theta$ 固定，条纹反映厚度分布）两类，计算光程差时注意半波损失。
- 迈克耳孙干涉仪是等厚/等倾干涉的精密应用实例；法布里‑珀罗干涉仪利用多光束干涉获得极窄的透射共振峰，是高分辨率光谱分析的核心工具。
第三部分：光的衍射
本部分目标
衍射是光偏离直线传播进入几何阴影区的现象，是波动性的根本体现。我们从惠更斯‑菲涅耳原理出发，建立标量衍射理论：基尔霍夫衍射公式和瑞利‑索末菲公式给出普遍积分形式，然后取傍轴近似导出菲涅尔衍射积分（近场），进一步远场近似得夫琅禾费衍射积分。详细讨论单缝、圆孔的夫琅禾费图样，建立光栅方程与分辨本领，并以瑞利判据统一处理光学仪器的极限分辨率。
6 光的衍射
6.1 惠更斯‑菲涅耳原理
定性表述
波前 $\Sigma$上每一点都可视为发出球面子波的次级波源，空间某点$P$ 的光扰动是这些子波相干叠加的结果。菲涅耳补充了子波相位：子波源振动相位与入射波相同，且振幅随方向变化（倾斜因子）。
该原理可表述为一个积分： $$U(P) = \iint_{\Sigma} U_0(Q) \thinspace \frac{e^{ikr}}{r} \thinspace K(\chi) \thinspace dS$$ 其中 $U_0(Q)$是波前上点$Q$ 的复振幅，$r = |\overrightarrow{QP}|$，$K(\chi)$ 为倾斜因子，$\chi$是$QP$ 方向与波前法向的夹角，$K(0) = 1$，$K(\pi/2) = 0$。
虽然惠更斯‑菲涅耳原理能解释许多衍射现象，但它缺少严格的电磁理论基础。基尔霍夫从亥姆霍兹方程和格林定理出发，给出了更严格的积分公式，并自然导出倾斜因子。
6.1.1 亥姆霍兹方程——标量衍射理论的基石
从波动方程到亥姆霍兹方程
真空中电磁场的每个直角分量满足齐次波动方程（见第一部分）： $$\nabla^2 u(\mathbf{r}, t) - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0$$ 其中 $u$ 代表电场或磁场的任一分量（标量处理）。
对于单色光场（频率 $\omega$ 恒定），时间依赖可分离： $$u(\mathbf{r}, t) = \operatorname{Re}\negthinspace\big[ \tilde U(\mathbf{r}) \thinspace e^{-i\omega t} \big]$$ 代入波动方程，因为 $\frac{\partial^2}{\partial t^2} e^{-i\omega t} = -\omega^2 e^{-i\omega t}$，得到复振幅 $\tilde U(\mathbf{r})$ 所满足的方程： $$\nabla^2 \tilde U + \frac{\omega^2}{c^2} \tilde U = 0$$
引入波数 $k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda}$，则得
亥姆霍兹方程（标量形式）
$$\nabla^2 \tilde U + k^2 \tilde U = 0 \tag{6.1}$$
这是自由空间中单色标量波的支配方程，是波动方程在频域中的形式。
物理意义
- 亥姆霍兹方程消去了时间变量，使问题聚焦于空间分布 $\tilde U(\mathbf{r})$，求解后时间演化只需乘 $e^{-i\omega t}$。
- 这是椭圆型偏微分方程，与静电场拉普拉斯方程不同之处在于多了 $+k^2\tilde U$ 项，对应波的传播与干涉。
- 平面波解 $\tilde U = A e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}$、球面波解 $\tilde U = \frac{A}{r} e^{ikr}$ 等都是亥姆霍兹方程的基本解。
在衍射理论中的核心地位
衍射问题本质上是求解亥姆霍兹方程在给定边界条件（如孔径平面上的场分布）下的解。基尔霍夫衍射理论和瑞利‑索末菲公式正是通过积分定理将亥姆霍兹方程转化为边界积分方程，从而表达观察点的场。因此，整个标量衍射理论可以视作亥姆霍兹方程的边值问题求解体系。
矢量与标量
严格而言，电磁场各分量耦合，需用矢量亥姆霍兹方程。但在大多数光学问题中，当衍射孔径远大于波长且偏振态不变时，标量亥姆霍兹方程给出极好的近似。偏振效应明显的场合（如高数值孔径系统）才需要矢量衍射理论。
与波动方程的关系
$$\text{时域：} \nabla^2 u - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0 \thickspace\xrightarrow{\text{傅里叶变换}}\thickspace \text{频域：} \nabla^2 \tilde U + k^2 \tilde U = 0$$ 这一转换是傅里叶光学的数学基础。
6.2 标量衍射理论的数学基础
考虑单色光场，其复振幅 $\tilde U(\mathbf{r})$ 满足亥姆霍兹方程： $$\nabla^2 \tilde U + k^2 \tilde U = 0 \tag{6.1}$$ 其中 $k = \omega/c = 2\pi/\lambda$。
为将微分方程转化为积分方程，使用格林定理（标量形式）： $$\iiint_V \big( U \nabla^2 G - G \nabla^2 U \big) \thinspace dV = \iint_{S} \left( U \frac{\partial G}{\partial n} - G \frac{\partial U}{\partial n} \right) dS$$ 其中 $V$是封闭面$S$ 所围体积，$U$和$G$在$V$ 内二次连续可微，$\partial/\partial n$ 表示沿外法向的导数。
选择自由空间格林函数（点源的球面波）： $$G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \frac{e^{ikR}}{R}, \quad R = |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|$$ 它满足 $\nabla^2 G + k^2 G = -4\pi \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')$（用 $-4\pi$是因为我们定义了点源）。代入格林定理，利用$\delta$ 函数筛选性质，可以得到基尔霍夫积分定理。
6.3 基尔霍夫积分定理
基尔霍夫积分定理
若 $\tilde U(P)$是亥姆霍兹方程在体积$V$内的解，则$V$内任一点$P$的场值可用包围该点的封闭曲面$S$ 上的场及其法向导数表示： $$\tilde U(P) = \frac{1}{4\pi} \iint_{S} \left[ \tilde U \frac{\partial}{\partial n}\negthinspace\left(\frac{e^{ikR}}{R}\right) - \frac{e^{ikR}}{R} \frac{\partial \tilde U}{\partial n} \right] dS$$ 其中 $R = |\mathbf{r}_P - \mathbf{r}_Q|$是$P$到$S$上点$Q$的距离，法向导数沿$S$ 外法向。
这是标量衍射理论的核心公式，严格地将场在任意点的值表示为边界面上的场及其法向导数所构成的积分。
6.4 基尔霍夫衍射公式
为处理平面屏幕上的孔径衍射，将封闭面 $S$分为三部分：孔径平面$S_1$、屏幕背面 $S_2$、和半径趋于无穷的半球面 $S_\infty$。在索末菲辐射条件下，$S_\infty$ 上的积分为零。
基尔霍夫引入了基尔霍夫边界条件（尽管数学上不自洽，但在很多场合近似成立）：
- 在孔径 $\Sigma$上，场$\tilde U$及其法向导数$\partial\tilde U/\partial n$ 等于没有屏幕时入射光在该处的值。
- 在屏幕背面（不透明部分）上，场及其法向导数为零。
假设点光源 $P_0$照明，入射球面波为$\tilde U(Q) = A \frac{e^{ikr_0}}{r_0}$，其中 $r_0 = |P_0Q|$。计算格林函数法向导数并仅保留 $1/R$ 项（远大于波长），得到
基尔霍夫衍射公式
$$\tilde U(P) = \frac{A}{i\lambda} \iint_{\Sigma} \frac{e^{ik(r_0 + R)}}{r_0 R} \left[ \frac{\cos\theta_0 + \cos\theta}{2} \right] dS \tag{6.3}$$ 其中：
- $\theta_0$是入射方向$P_0Q$ 与孔径面法向的夹角；
- $\theta$是衍射方向$QP$ 与法向的夹角；
- 因子 $\frac{1}{i\lambda}$ 保证了相位正确；
- 括号中的 $\frac{\cos\theta_0 + \cos\theta}{2}$ 是基尔霍夫理论的倾斜因子。
当光源和观察点均靠近孔径轴（傍轴条件），$\theta_0 \approx 0$，$\theta \approx 0$，则倾斜因子 $\approx 1$，公式简化为 $$\tilde U(P) = \frac{1}{i\lambda} \iint_{\Sigma} \tilde U_0(Q) \frac{e^{ikR}}{R} dS \tag{6.4}$$ 其中 $\tilde U_0(Q)$是入射场在孔径上的复振幅分布。这正是惠更斯‑菲涅耳原理的数学精确化：子波振幅正比于入射场，并带有$1/(i\lambda)$ 的相位因子，子波源无方向性（近似）。
6.5 瑞利‑索末菲衍射公式
基尔霍夫边界条件要求孔径上场和法向导数同时指定，这与势论中狄利克雷和诺伊曼边界条件不能同时独立给定的事实矛盾。索末菲修正了这一理论，通过选择不同的格林函数使边界上只出现 $\tilde U$或只出现$\partial\tilde U/\partial n$。
选取格林函数 $G_-(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \frac{e^{ikR}}{R} - \frac{e^{ikR'}}{R'}$，其中 $R'$是$P$对屏幕平面的镜像点$P'$到$Q$的距离。在屏幕平面$S_1$ 上，$G_- = 0$，其法向导数非零。代入积分定理得第一类瑞利‑索末菲衍射公式（Dirichlet 条件）：
第一类瑞利‑索末菲公式
$$\tilde U(P) = \frac{1}{i\lambda} \iint_{\Sigma} \tilde U_0(Q) \frac{e^{ikR}}{R} \cos\theta \thinspace dS \tag{6.5}$$ 倾斜因子为 $\cos\theta$，且没有 $1/2$ 因子，相位因子与基尔霍夫公式略有不同。
第二类选取 $G_+$ 使得法向导数在屏上为零，得到公式： $$\tilde U(P) = -\frac{1}{2\pi} \iint_{\Sigma} \frac{\partial\tilde U_0(Q)}{\partial n} \frac{e^{ikR}}{R} dS$$
两种瑞利‑索末菲公式在数学上严格满足边界条件，且消除了基尔霍夫理论的不自洽性。在傍轴近似下，$\cos\theta \approx 1$，两类瑞利‑索末菲公式都退化为(6.4)式，仅在倾斜因子和常数因子上有微殊，对大多数实际问题影响甚小。
6.6 菲涅尔衍射积分（近场衍射）
当衍射距离 $z$ 远大于孔径尺寸和波长，但又不过大时，$R \approx z + \frac{(x - \xi)^2 + (y - \eta)^2}{2z}$（二项式展开保留二阶项），分母 $R \approx z$，即菲涅尔近似：
$$R = \sqrt{z^2 + (x-\xi)^2 + (y-\eta)^2} \approx z \left[ 1 + \frac{(x-\xi)^2 + (y-\eta)^2}{2z^2} \right]$$
代入 (6.4) 得到菲涅尔衍射积分：
菲涅尔衍射积分
$$\tilde U(x, y) = \frac{e^{ikz}}{i\lambda z} \iint_{\Sigma} \tilde U_0(\xi, \eta) \exp\negthinspace\left\lbrace \frac{ik}{2z} \left[ (x - \xi)^2 + (y - \eta)^2 \right] \right\rbrace d\xi d\eta \tag{6.6}$$ 积分号前的 $e^{ikz}$ 是整体相位因子，通常可忽略；被积函数中二次相位因子是菲涅尔衍射的特征。
这表明近场衍射是孔径上场分布乘以一个二次相位因子后的傅里叶变换（略去二次相位因子中的 $(x^2+y^2)/2z$ 项也可转化为卷积形式）。
菲涅尔数定义为 $N_F = a^2/(\lambda z)$，其中 $a$是孔径特征尺寸。当$N_F \gtrsim 1$ 时，必须用菲涅尔衍射处理。考纽螺线是处理直边或狭缝菲涅尔衍射的经典几何工具，本文不详细展开。
6.7 夫琅禾费衍射（远场衍射）
进一步增大观察距离 $z$，使得相位中的平方项可以忽略： $$\frac{k(\xi^2 + \eta^2)_{\max}}{2z} \ll \pi \quad \text{或} \quad z \gg \frac{a^2}{\lambda}$$ 此即夫琅禾费近似。此时菲涅尔积分中指数含 $(x-\xi)^2$展开后，可分离出与$\xi,\eta$ 线性项，得到夫琅禾费衍射公式：
夫琅禾费衍射积分
$$\tilde U(x, y) = \frac{e^{ikz} e^{i\frac{k}{2z}(x^2+y^2)}}{i\lambda z} \iint_{\Sigma} \tilde U_0(\xi, \eta) \exp\negthinspace\left[ -i \frac{2\pi}{\lambda z} (x\xi + y\eta) \right] d\xi d\eta \tag{6.7}$$ 积分部分正是孔径上场分布的二维傅里叶变换。观察屏上的光强 $I(x,y) \propto |\mathcal{F}\lbrace \tilde U_0\rbrace |^2$。
夫琅禾费衍射可用透镜在焦平面上方便地实现，因此是实验中最常见的衍射类型。
(a) 单缝夫琅禾费衍射
宽度为 $a$的狭缝沿$\xi$ 方向，长无限。缝上均匀照明，$\tilde U_0(\xi) = 1$（$|\xi| \le a/2$）。积分(6.7)简化为一维傅里叶变换： $$\tilde U(\theta) \propto \int_{-a/2}^{a/2} e^{-i k_x \xi} d\xi = a \thinspace \operatorname{sinc}\negthinspace\left( \frac{k_x a}{2} \right)$$ 其中 $k_x = k \sin\theta \approx k x/z$。
光强： $$I(\theta) = I_0 \operatorname{sinc}^2\negthinspace\left( \frac{\pi a \sin\theta}{\lambda} \right) \tag{6.8}$$
- 极小（暗纹）条件：$\pi a \sin\theta/\lambda = m\pi,\thickspace m = \pm1, \pm2, \dots$即$a \sin\theta = m\lambda$。
- 次级极大位置近似在 $\sin\theta \approx \pm 1.43 \frac{\lambda}{a}, \pm 2.46 \frac{\lambda}{a}, \dots$
中央亮纹的角半宽度（从中心到第一暗纹）为 $\Delta\theta \approx \lambda/a$。
(b) 矩形孔
尺寸 $a \times b$，衍射图样为两个正交 sinc 函数的乘积： $$I(x,y) = I_0 \operatorname{sinc}^2\negthinspace\left(\frac{\pi a x}{\lambda z}\right) \operatorname{sinc}^2\negthinspace\left(\frac{\pi b y}{\lambda z}\right)$$
(c) 圆孔夫琅禾费衍射
半径为 $R$ 的圆孔，照明均匀。利用极坐标积分，得到振幅分布正比于一阶贝塞尔函数： $$\tilde U(\theta) \propto \frac{J_1(kR\sin\theta)}{kR\sin\theta}$$ 光强： $$I(\theta) = I_0 \left[ \frac{2 J_1(kR\sin\theta)}{kR\sin\theta} \right]^2 \tag{6.9}$$
中央亮斑称为艾里斑（Airy disk），其角半径（第一暗环对应）为 $$\sin\theta_1 \approx 1.22 \frac{\lambda}{D} \quad \text{或} \quad \theta_1 \approx 1.22 \frac{\lambda}{D} \quad (\text{小角})$$ 其中 $D = 2R$ 是圆孔直径。艾里斑集中了约 84% 的衍射光能量。
6.8 衍射光栅
多缝夫琅禾费衍射是干涉与衍射的结合。设 $N$条等距狭缝，缝宽$b$，相邻缝中心距 $d$（光栅常数）。透射光栅的复振幅透过率可视为单缝衍射因子与多缝干涉因子的乘积。
入射平面波垂直照射，夫琅禾费衍射强度分布为： $$I(\theta) = I_0 \underbrace{\operatorname{sinc}^2\negthinspace\left(\frac{\pi b \sin\theta}{\lambda}\right)}_{\text{单缝衍射因子}} \cdot \underbrace{\left[ \frac{\sin(N \pi d \sin\theta / \lambda)}{\sin(\pi d \sin\theta / \lambda)} \right]^2}_{\text{多缝干涉因子}}$$
主极大条件（光栅方程）： $$d \sin\theta = m\lambda, \quad m = 0, \pm1, \pm2, \dots \tag{6.10}$$ 缺级现象：当主极大方向恰好落在单缝衍射极小方向时，该级主极大消失。即满足 $$\frac{d}{b} = \frac{m}{n} \ (\text{整数比}) \ \text{时，} m\text{ 级缺级。}$$
角色散：$$D_\theta = \frac{d\theta}{d\lambda} = \frac{m}{d \cos\theta} \tag{6.11}$$ 色分辨本领：$$\mathcal{R} = \frac{\lambda}{\Delta\lambda} = mN \tag{6.12}$$ 其中 $\Delta\lambda$ 是刚可分辨的两条谱线的波长差（瑞利判据应用于光栅）。
6.9 光学仪器的分辨本领
理想光学系统像点实际是衍射斑。两个等强度的非相干点源，若其中一个像斑的中央极大恰好落在另一像斑的第一暗环上，则认为这两点刚刚可分辨，这就是瑞利判据。
- 望远镜：最小分辨角 $\theta_{\min} = 1.22 \frac{\lambda}{D}$，$D$ 为物镜口径。
- 显微镜：最小分辨距离 $d_{\min} = \frac{0.61 \lambda}{\text{NA}}$，其中 $\text{NA} = n\sin\alpha$ 是数值孔径。
- 光栅：$\mathcal{R} = mN$，由瑞利判据导出色分辨极限。
例 6.1
人眼瞳孔直径 $D \approx 2\text{ mm}$，在 $\lambda = 550\text{ nm}$时最小分辨角$\theta_{\min} = 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/2\times10^{-3} \approx 3.35\times10^{-4}\text{ rad} \approx 1.15'$。这与正常人眼实际分辨能力（约 $1'$）相近。
第三部分小结
- 衍射是光波绕过障碍物的行为，基尔霍夫积分定理和衍射公式为标量衍射理论奠基；瑞利‑索末菲修正确保了边界条件的自洽性。
- 傍轴近似下衍射简化为菲涅尔衍射积分（近场）；进一步远场近似得夫琅禾费衍射积分，其与傅里叶变换直接关联。
- 夫琅禾费单缝图样为 $\operatorname{sinc}^2$函数，圆孔衍射产生艾里斑，其角半径$1.22\lambda/D$。
- 光栅利用多缝干涉与单缝衍射的乘积实现光谱分离，由光栅方程、角色散和分辨本领定量描述。
- 瑞利判据统一了光学仪器的衍射极限，是设计显微镜、望远镜和光谱仪的理论基础。
第四部分：光的偏振
本部分目标
偏振是横波区别于纵波的根本特征，也是光作为电磁波的重要属性。本部分从偏振态的几何描述出发，引入琼斯矢量作为数学工具，讨论马吕斯定律和布儒斯特角，进而介绍双折射晶体及波片对偏振态的变换，最后简介偏振干涉。掌握这些内容是理解现代光学（液晶显示、光通信、应力分析等）的基础。
7 光的偏振
7.1 偏振的基本概念
电磁波是横波：电场矢量 $\mathbf{E}$垂直于传播方向$\mathbf{k}$。在垂直于 $\mathbf{k}$ 的平面内，$\mathbf{E}$ 的振动方向随时间的变化规律，称为光的偏振态。
取传播方向为 $z$ 轴，则电场可分解为相互正交的两个分量： $$\mathbf{E}(z,t) = E_x(z,t)\thinspace\hat{\mathbf{x}} + E_y(z,t)\thinspace\hat{\mathbf{y}}$$ 其中 $$E_x = A_x \cos(kz - \omega t + \varphi_x)$$ $$E_y = A_y \cos(kz - \omega t + \varphi_y)$$ 消去时间参数，得到 $\mathbf{E}$矢量端点在$xy$ 平面上的轨迹方程： $$\frac{E_x^2}{A_x^2} + \frac{E_y^2}{A_y^2} - 2\frac{E_x E_y}{A_x A_y}\cos\Delta\varphi = \sin^2\Delta\varphi \tag{7.1}$$ 其中 $\Delta\varphi = \varphi_y - \varphi_x$。这是一个椭圆方程，光波由此得名椭圆偏振光。
7.2 偏振态分类
(1) 线偏振光
当两分量相位差 $\Delta\varphi = m\pi$（$m = 0, \pm1, \pm2,\dots$）时，方程 (7.1) 退化为： $$\frac{E_y}{E_x} = (-1)^m \frac{A_y}{A_x} = \text{常数}$$ 合矢量 $\mathbf{E}$沿固定方向振动，轨迹为直线，称为线偏振光（平面偏振光）。振动方向与$x$轴的夹角$\theta$满足$\tan\theta = \pm A_y/A_x$。
若 $\Delta\varphi = 0$，振动方向在Ⅰ、Ⅲ象限；若 $\Delta\varphi = \pi$，在Ⅱ、Ⅳ象限。
(2) 圆偏振光
若 $A_x = A_y = A$且$\Delta\varphi = \pm \pi/2$，轨迹方程为 $E_x^2 + E_y^2 = A^2$，$\mathbf{E}$ 端点轨迹为圆：
- $\Delta\varphi = +\pi/2$（$E_y$超前$E_x$）：迎着光看，矢量逆时针旋转，称为左旋圆偏振光。
- $\Delta\varphi = -\pi/2$（$E_y$落后$E_x$）：迎着光看，矢量顺时针旋转，称为右旋圆偏振光。
旋向约定
通常以观察者迎着光传播方向（即看光源）为参考：逆时针为左旋，顺时针为右旋。部分工程学科（如IEEE）采用相反的约定，需注意区分。
(3) 椭圆偏振光
一般情形下，振幅不等、相位差任意时，轨迹为椭圆。椭圆长轴与 $x$轴的夹角$\psi$ 满足 $$\tan 2\psi = \frac{2 A_x A_y \cos\Delta\varphi}{A_x^2 - A_y^2} \tag{7.2}$$ 椭圆的旋向由 $\Delta\varphi$ 的符号决定，规则同圆偏振。
7.3 琼斯矢量表示
对于完全偏振光（单色、偏振态确定），用琼斯矢量可简洁描述偏振态。将 $x,y$ 分量的复振幅写成列矢量： $$\mathbf{J} = \begin{pmatrix} \tilde A_x \newline \tilde A_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_x e^{i\varphi_x} \newline A_y e^{i\varphi_y} \end{pmatrix}$$ 通常归一化，使 $|\mathbf{J}|^2 = 1$。常见归一化琼斯矢量：
| 偏振态 | 琼斯矢量 |
|---|---|
| 水平线偏振 | $\begin{pmatrix} 1 \newline 0 \end{pmatrix}$ |
| 竖直线偏振 | $\begin{pmatrix} 0 \newline 1 \end{pmatrix}$ |
| $\pm 45^\circ$线偏振 | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \newline \pm 1 \end{pmatrix}$ |
| 右旋圆偏振 | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \newline -i \end{pmatrix}$ |
| 左旋圆偏振 | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \newline +i \end{pmatrix}$ |
琼斯矢量的用途
偏振光通过光学元件（偏振片、波片等）可表示为 $2\times2$ 琼斯矩阵作用于输入琼斯矢量，输出琼斯矢量直接给出出射偏振态。这大大简化了偏振光路的计算。
例 7.1（琼斯矩阵乘法）
水平线偏振光 $\mathbf{J}_{\text{in}} = \begin{pmatrix}1\newline0\end{pmatrix}$通过一块快轴与$x$轴成$45^\circ$ 的四分之一波片（其琼斯矩阵见后文），可得到圆偏振光。
7.4 起偏与检偏：马吕斯定律
二向色性与偏振片
某些材料对相互垂直的两个偏振分量吸收差异极大（二向色性），可制成偏振片，只允许沿某一方向（透射轴）振动的光通过。自然光（非偏振光）通过理想偏振片后，光强减半，成为线偏振光。
马吕斯定律
一束线偏振光入射到理想偏振片（检偏器），若入射线偏振光的振动方向与检偏器透光轴夹角为 $\theta$，透射光强为： $$I = I_0 \cos^2\theta \tag{7.3}$$ 其中 $I_0$ 为入射偏振光的光强。这就是马吕斯定律。
- 当 $\theta = 0$（平行）：$I = I_0$，全透射。
- 当 $\theta = \pi/2$（正交）：$I = 0$，消光。
例 7.2
两偏振片透光轴夹角 $60^\circ$，入射自然光强 $I_{\text{in}}$。第一片出射光强 $I_1 = I_{\text{in}}/2$（线偏振）。第二片出射光强 $I_2 = I_1 \cos^2 60^\circ = (I_{\text{in}}/2) \times (1/4) = I_{\text{in}}/8$。
7.5 布儒斯特角（反射偏振）
自然光以适当角度入射到两种透明介质界面时，反射光可能完全成为线偏振光，此现象由布儒斯特（Brewster）于1815年发现。
设光从折射率 $n_1$的介质射向$n_2$，入射角为 $\theta_i$，折射角为 $\theta_t$。菲涅耳公式给出了 $s$偏振（电场垂直于入射面）和$p$ 偏振（电场平行于入射面）的振幅反射系数： $$r_s = \frac{n_1\cos\theta_i - n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i + n_2\cos\theta_t}$$ $$r_p = \frac{n_2\cos\theta_i - n_1\cos\theta_t}{n_2\cos\theta_i + n_1\cos\theta_t}$$
当反射光与折射光垂直时，即 $$\theta_i + \theta_t = 90^\circ \thickspace\Longrightarrow\thickspace \sin\theta_t = \cos\theta_i$$ 由斯涅尔定律 $n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t$，代入得 $n_1\sin\theta_i = n_2\cos\theta_i$，因此
布儒斯特角
$$\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1} \tag{7.4}$$ 当光以 $\theta_B$ 入射时，$p$偏振分量的反射系数为零，反射光中只有$s$ 偏振分量，成为完全线偏振光。$\theta_B$ 称为布儒斯特角或起偏角。
- 对于空气→玻璃（$n_1\approx1, n_2\approx1.5$），$\theta_B \approx 56^\circ$。
- 布儒斯特角现象用于激光腔中的布儒斯特窗，使 $p$ 偏振光无损耗透过，获得线偏振输出。
7.6 双折射与波片
双折射现象
光射入各向异性晶体（如方解石、石英）时，一般分为两束折射光：服从斯涅尔定律的o光（寻常光）和非常光的e光（extraordinary）。二者偏振方向相互垂直，且传播速度不同。o 光速度各向同性（折射率 $n_o$恒定）；e 光速度与传播方向有关，折射率$n_e(\theta)$介于$n_o$和主折射率$n_e$ 之间。
晶体中存在某些方向，沿此传播 o 光和 e 光速度相同，不发生双折射，该方向称为光轴。只有一个光轴的晶体称为单轴晶体（方解石、石英等）；有两个的为双轴晶体。
波片（相位延迟器）
将单轴晶体按光轴平行于表面切出薄片。光正入射时，o 光和 e 光同向传播但速度不同。通过厚度 $d$ 后，两分量间积累的相位差： $$\delta = \frac{2\pi}{\lambda} (n_o - n_e) d \tag{7.5}$$ 若取合适的厚度，可精确控制 $\delta$，制成波片。
常用波片
- 全波片：$\delta = 2\pi$（或整数倍），不改变偏振态。
- 半波片（$\lambda/2$ 片）：$\delta = \pi$，$d = \frac{\lambda}{2|n_o - n_e|}$。入射一线偏振光，出射仍为线偏振，但振动方向关于光轴对称。圆偏振经过半波片旋向反转。
- 四分之一波片（$\lambda/4$ 片）：$\delta = \pi/2$，$d = \frac{\lambda}{4|n_o - n_e|}$。若入射线偏振光振动方向与光轴成 $45^\circ$，出射圆偏振光；反之，圆偏振光通过后变为线偏振光。
琼斯矩阵（波片）
波片快慢轴（即 $n_o$与$n_e$所对应的振动方向）为$x$和$y$轴，相位延迟$\delta = \varphi_y - \varphi_x$（$y$ 轴为慢轴时）。其琼斯矩阵为 $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \newline 0 & e^{i\delta} \end{pmatrix}$$ 其中 $\delta$ 为慢轴相对于快轴的相位延迟量。
7.7 偏振干涉（选读）
将两偏振片之间放入双折射材料，用扩展光源照明，会观察到彩色干涉条纹，称为偏振干涉。
原理：入射自然光经起偏器成为线偏振光，通过双折射晶体后分解为 o 光和 e 光，二者从晶体出射时存在相位差 $\delta$。经过检偏器后，两束光在相同振动方向上投影并发生干涉。透射光强（平行偏振片 $\theta = 0^\circ$或$90^\circ$ 取向时）为： $$I = I_0 \sin^2 2\phi \cdot \sin^2 \frac{\delta}{2}$$ 其中 $\phi$ 为晶体快轴与起偏器透光轴夹角。$\delta$ 与波长有关，因此白光下出现色彩。
应用：光弹性效应测应力分布（应力使各向同性材料变为各向异性，产生双折射），液晶显示器件等。
第四部分小结
- 偏振态由两正交分量的振幅比和相位差决定，分为线偏振、圆偏振和椭圆偏振。琼斯矢量提供了简洁的数学表示。
- 马吕斯定律 $I = I_0 \cos^2\theta$ 描述线偏振光通过检偏器后的强度变化。
- 布儒斯特角 $\tan\theta_B = n_2/n_1$ 使反射光成为完全线偏振光。
- 双折射晶体中 o 光、e 光速度不同，由此制成的波片可精确调控偏振态：$\lambda/2$ 片旋转线偏振方向，$\lambda/4$ 片在线偏与圆偏之间转换。
- 偏振干涉是应力分析和电光调制等应用的理论基础。
第四部分：光的偏振
本部分目标
偏振是横波区别于纵波的根本特征，也是光作为电磁波的重要属性。本部分从偏振态的几何描述出发，引入琼斯矢量作为数学工具，讨论马吕斯定律和布儒斯特角，进而介绍双折射晶体及波片对偏振态的变换，最后简介偏振干涉。掌握这些内容是理解现代光学（液晶显示、光通信、应力分析等）的基础。
7 光的偏振
7.1 偏振的基本概念
电磁波是横波：电场矢量 $\mathbf{E}$垂直于传播方向$\mathbf{k}$。在垂直于 $\mathbf{k}$ 的平面内，$\mathbf{E}$ 的振动方向随时间的变化规律，称为光的偏振态。
取传播方向为 $z$ 轴，则电场可分解为相互正交的两个分量： $$\mathbf{E}(z,t) = E_x(z,t)\thinspace\hat{\mathbf{x}} + E_y(z,t)\thinspace\hat{\mathbf{y}}$$ 其中 $$E_x = A_x \cos(kz - \omega t + \varphi_x)$$ $$E_y = A_y \cos(kz - \omega t + \varphi_y)$$ 消去时间参数，得到 $\mathbf{E}$矢量端点在$xy$ 平面上的轨迹方程： $$\frac{E_x^2}{A_x^2} + \frac{E_y^2}{A_y^2} - 2\frac{E_x E_y}{A_x A_y}\cos\Delta\varphi = \sin^2\Delta\varphi \tag{7.1}$$ 其中 $\Delta\varphi = \varphi_y - \varphi_x$。这是一个椭圆方程，光波由此得名椭圆偏振光。
7.2 偏振态分类
(1) 线偏振光
当两分量相位差 $\Delta\varphi = m\pi$（$m = 0, \pm1, \pm2,\dots$）时，方程 (7.1) 退化为： $$\frac{E_y}{E_x} = (-1)^m \frac{A_y}{A_x} = \text{常数}$$ 合矢量 $\mathbf{E}$沿固定方向振动，轨迹为直线，称为线偏振光（平面偏振光）。振动方向与$x$轴的夹角$\theta$满足$\tan\theta = \pm A_y/A_x$。
若 $\Delta\varphi = 0$，振动方向在Ⅰ、Ⅲ象限；若 $\Delta\varphi = \pi$，在Ⅱ、Ⅳ象限。
(2) 圆偏振光
若 $A_x = A_y = A$且$\Delta\varphi = \pm \pi/2$，轨迹方程为 $E_x^2 + E_y^2 = A^2$，$\mathbf{E}$ 端点轨迹为圆：
- $\Delta\varphi = +\pi/2$（$E_y$超前$E_x$）：迎着光看，矢量逆时针旋转，称为左旋圆偏振光。
- $\Delta\varphi = -\pi/2$（$E_y$落后$E_x$）：迎着光看，矢量顺时针旋转，称为右旋圆偏振光。
旋向约定
通常以观察者迎着光传播方向（即看光源）为参考：逆时针为左旋，顺时针为右旋。部分工程学科（如IEEE）采用相反的约定，需注意区分。
(3) 椭圆偏振光
一般情形下，振幅不等、相位差任意时，轨迹为椭圆。椭圆长轴与 $x$轴的夹角$\psi$ 满足 $$\tan 2\psi = \frac{2 A_x A_y \cos\Delta\varphi}{A_x^2 - A_y^2} \tag{7.2}$$ 椭圆的旋向由 $\Delta\varphi$ 的符号决定，规则同圆偏振。
7.3 琼斯矢量表示
对于完全偏振光（单色、偏振态确定），用琼斯矢量可简洁描述偏振态。将 $x,y$ 分量的复振幅写成列矢量： $$\mathbf{J} = \begin{pmatrix} \tilde A_x \newline \tilde A_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_x e^{i\varphi_x} \newline A_y e^{i\varphi_y} \end{pmatrix}$$ 通常归一化，使 $|\mathbf{J}|^2 = 1$。常见归一化琼斯矢量：
| 偏振态 | 琼斯矢量 |
|---|---|
| 水平线偏振 | $\begin{pmatrix} 1 \newline 0 \end{pmatrix}$ |
| 竖直线偏振 | $\begin{pmatrix} 0 \newline 1 \end{pmatrix}$ |
| $\pm 45^\circ$线偏振 | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \newline \pm 1 \end{pmatrix}$ |
| 右旋圆偏振 | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \newline -i \end{pmatrix}$ |
| 左旋圆偏振 | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \newline +i \end{pmatrix}$ |
琼斯矢量的用途
偏振光通过光学元件（偏振片、波片等）可表示为 $2\times2$ 琼斯矩阵作用于输入琼斯矢量，输出琼斯矢量直接给出出射偏振态。这大大简化了偏振光路的计算。
例 7.1（琼斯矩阵乘法）
水平线偏振光 $\mathbf{J}_{\text{in}} = \begin{pmatrix}1\newline0\end{pmatrix}$通过一块快轴与$x$轴成$45^\circ$ 的四分之一波片（其琼斯矩阵见后文），可得到圆偏振光。
7.4 起偏与检偏：马吕斯定律
二向色性与偏振片
某些材料对相互垂直的两个偏振分量吸收差异极大（二向色性），可制成偏振片，只允许沿某一方向（透射轴）振动的光通过。自然光（非偏振光）通过理想偏振片后，光强减半，成为线偏振光。
马吕斯定律
一束线偏振光入射到理想偏振片（检偏器），若入射线偏振光的振动方向与检偏器透光轴夹角为 $\theta$，透射光强为： $$I = I_0 \cos^2\theta \tag{7.3}$$ 其中 $I_0$ 为入射偏振光的光强。这就是马吕斯定律。
- 当 $\theta = 0$（平行）：$I = I_0$，全透射。
- 当 $\theta = \pi/2$（正交）：$I = 0$，消光。
例 7.2
两偏振片透光轴夹角 $60^\circ$，入射自然光强 $I_{\text{in}}$。第一片出射光强 $I_1 = I_{\text{in}}/2$（线偏振）。第二片出射光强 $I_2 = I_1 \cos^2 60^\circ = (I_{\text{in}}/2) \times (1/4) = I_{\text{in}}/8$。
7.5 布儒斯特角（反射偏振）
自然光以适当角度入射到两种透明介质界面时，反射光可能完全成为线偏振光，此现象由布儒斯特（Brewster）于1815年发现。
设光从折射率 $n_1$的介质射向$n_2$，入射角为 $\theta_i$，折射角为 $\theta_t$。菲涅耳公式给出了 $s$偏振（电场垂直于入射面）和$p$ 偏振（电场平行于入射面）的振幅反射系数： $$r_s = \frac{n_1\cos\theta_i - n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i + n_2\cos\theta_t}$$ $$r_p = \frac{n_2\cos\theta_i - n_1\cos\theta_t}{n_2\cos\theta_i + n_1\cos\theta_t}$$
当反射光与折射光垂直时，即 $$\theta_i + \theta_t = 90^\circ \thickspace\Longrightarrow\thickspace \sin\theta_t = \cos\theta_i$$ 由斯涅尔定律 $n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t$，代入得 $n_1\sin\theta_i = n_2\cos\theta_i$，因此
布儒斯特角
$$\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1} \tag{7.4}$$ 当光以 $\theta_B$ 入射时，$p$偏振分量的反射系数为零，反射光中只有$s$ 偏振分量，成为完全线偏振光。$\theta_B$ 称为布儒斯特角或起偏角。
- 对于空气→玻璃（$n_1\approx1, n_2\approx1.5$），$\theta_B \approx 56^\circ$。
- 布儒斯特角现象用于激光腔中的布儒斯特窗，使 $p$ 偏振光无损耗透过，获得线偏振输出。
7.6 双折射与波片
双折射现象
光射入各向异性晶体（如方解石、石英）时，一般分为两束折射光：服从斯涅尔定律的o光（寻常光）和非常光的e光（extraordinary）。二者偏振方向相互垂直，且传播速度不同。o 光速度各向同性（折射率 $n_o$恒定）；e 光速度与传播方向有关，折射率$n_e(\theta)$介于$n_o$和主折射率$n_e$ 之间。
晶体中存在某些方向，沿此传播 o 光和 e 光速度相同，不发生双折射，该方向称为光轴。只有一个光轴的晶体称为单轴晶体（方解石、石英等）；有两个的为双轴晶体。
波片（相位延迟器）
将单轴晶体按光轴平行于表面切出薄片。光正入射时，o 光和 e 光同向传播但速度不同。通过厚度 $d$ 后，两分量间积累的相位差： $$\delta = \frac{2\pi}{\lambda} (n_o - n_e) d \tag{7.5}$$ 若取合适的厚度，可精确控制 $\delta$，制成波片。
常用波片
- 全波片：$\delta = 2\pi$（或整数倍），不改变偏振态。
- 半波片（$\lambda/2$ 片）：$\delta = \pi$，$d = \frac{\lambda}{2|n_o - n_e|}$。入射一线偏振光，出射仍为线偏振，但振动方向关于光轴对称。圆偏振经过半波片旋向反转。
- 四分之一波片（$\lambda/4$ 片）：$\delta = \pi/2$，$d = \frac{\lambda}{4|n_o - n_e|}$。若入射线偏振光振动方向与光轴成 $45^\circ$，出射圆偏振光；反之，圆偏振光通过后变为线偏振光。
琼斯矩阵（波片）
波片快慢轴（即 $n_o$与$n_e$所对应的振动方向）为$x$和$y$轴，相位延迟$\delta = \varphi_y - \varphi_x$（$y$ 轴为慢轴时）。其琼斯矩阵为 $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \newline 0 & e^{i\delta} \end{pmatrix}$$ 其中 $\delta$ 为慢轴相对于快轴的相位延迟量。
7.7 偏振干涉（选读）
将两偏振片之间放入双折射材料，用扩展光源照明，会观察到彩色干涉条纹，称为偏振干涉。
原理：入射自然光经起偏器成为线偏振光，通过双折射晶体后分解为 o 光和 e 光，二者从晶体出射时存在相位差 $\delta$。经过检偏器后，两束光在相同振动方向上投影并发生干涉。透射光强（平行偏振片 $\theta = 0^\circ$或$90^\circ$ 取向时）为： $$I = I_0 \sin^2 2\phi \cdot \sin^2 \frac{\delta}{2}$$ 其中 $\phi$ 为晶体快轴与起偏器透光轴夹角。$\delta$ 与波长有关，因此白光下出现色彩。
应用：光弹性效应测应力分布（应力使各向同性材料变为各向异性，产生双折射），液晶显示器件等。
第四部分小结
- 偏振态由两正交分量的振幅比和相位差决定，分为线偏振、圆偏振和椭圆偏振。琼斯矢量提供了简洁的数学表示。
- 马吕斯定律 $I = I_0 \cos^2\theta$ 描述线偏振光通过检偏器后的强度变化。
- 布儒斯特角 $\tan\theta_B = n_2/n_1$ 使反射光成为完全线偏振光。
- 双折射晶体中 o 光、e 光速度不同，由此制成的波片可精确调控偏振态：$\lambda/2$ 片旋转线偏振方向，$\lambda/4$ 片在线偏与圆偏之间转换。
- 偏振干涉是应力分析和电光调制等应用的理论基础。
第六部分：应用与拓展（选读）
本部分目标
在前面各部分系统阐述了光的电磁理论、波动光学和几何光学之后，本部分将讨论若干重要的光学仪器和现代光学分支。首先分析放大镜、显微镜、望远镜以及相机和人眼的成像原理，然后介绍傅里叶光学的基本思想——衍射与傅里叶变换的深刻联系，以及空间滤波和全息术的基本原理。这些内容可作为前五部分理论的具体应用与延伸。
11 常见光学仪器
11.1 放大镜
放大镜是一块短焦距的会聚透镜（或透镜组）。当物体置于焦距以内时，人眼通过放大镜观察到放大的正立虚像。
角放大率定义为像对眼睛的张角与物体直接放在明视距离 $D \approx 25\text{ cm}$处时的张角之比。设透镜焦距为$f$，若像成于无穷远（适合放松观察），放大率为： $$M = \frac{D}{f}$$ 若像成于明视距离 $D$ 处： $$M = 1 + \frac{D}{f}$$ 通常 $f \ll D$，两者差别不大。
11.2 显微镜
显微镜由两个正透镜组成：靠近物体的物镜（短焦距 $f_o$）和靠近眼睛的目镜（焦距 $f_e$）。物镜将微小物体生成放大的实像于目镜的物方焦平面附近，目镜再作为放大镜将其实像放大成虚像。
设镜筒长度 $L$（物镜后焦点到目镜前焦点的距离），显微镜的总放大率为物镜横向放大率与目镜角放大率之积： $$M = M_o \times M_e = -\frac{L}{f_o} \cdot \frac{D}{f_e}$$ 其中 $D \approx 25\text{ cm}$。负号表示最终像是倒立的。若希望正立像，可加转像系统或使用特殊的目镜。
分辨率受衍射限制，最小可分辨距离为： $$d_{\min} = \frac{0.61 \lambda}{\text{NA}}$$ 其中 $\text{NA} = n\sin\alpha$ 为物镜的数值孔径，$n$为物方介质折射率（油浸镜头$n>1$），$\alpha$ 为物镜孔径角的半角。增大数值孔径或使用更短波长（如紫外光、电子束）可提高分辨率。
11.3 望远镜
望远镜用于观察远方物体，本质上使入射的平行光束以更大的平行光束出射，从而增大视角。主要有两类：
开普勒望远镜（折射式）
物镜和目镜都是正透镜，两镜焦点重合。远处物体的平行光经物镜会聚于其焦点，该点也是目镜的焦点，故出射仍为平行光。角放大率为： $$M = \frac{\theta'}{\theta} = -\frac{f_o}{f_e}$$ 负号表示倒立像（可通过棱镜转像）。
伽利略望远镜
物镜为正透镜，目镜为负透镜，二者焦点重合于物镜后方、目镜后方？更准确的描述是：物镜焦点与目镜焦点在像方同一点。出射正立像，放大率 $M = f_o/|f_e|$。
望远镜分辨率
远处两个点光源刚可分辨的角间距由衍射极限决定（瑞利判据）： $$\theta_{\min} = 1.22 \frac{\lambda}{D}$$ 其中 $D$ 为物镜口径。增大口径不仅能收集更多光，也直接提高分辨率。这就是天文学追求大口径望远镜的原因。
11.4 相机与投影仪
相机：镜头将外界场景成像于底片或传感器上。物距通常远大于焦距，像成在焦平面附近。曝光量由光圈（控制通光孔径的 $F$ 数，$F/\# = f/D$）和快门速度共同决定。景深受光圈和焦距影响，小光圈（大 $F$ 数）景深大。
投影仪：将幻灯片或数字微镜器件（DMD）放置于投影物镜物方焦点外不远处，在远处屏幕上形成放大的实像。照明系统通常使用聚光镜和光源，使光均匀照亮物面并有效收集进入投影镜头。
11.5 人眼的光学模型
人眼可简化为一个可变焦距的透镜系统。角膜和晶状体共同提供约 60 屈光度的光焦度，其中角膜贡献约 2/3。通过睫状肌改变晶状体曲率实现调焦（accommodation）。明视距离为 25 cm，是正常人眼最舒适观察近距离物体的标准距离。
常见视觉缺陷：
- 近视：眼轴过长或屈光力过强，远点前移，需用凹透镜矫正。
- 远视：眼轴过短或屈光力不足，近点远移，需用凸透镜矫正。
- 老花：晶状体硬化，调节能力下降，近点逐渐变远，常用凸透镜补足。
- 散光：角膜曲率不均匀，需用柱面透镜矫正。
12 傅里叶光学与全息简介
12.1 衍射与傅里叶变换
在第 6 节我们得到夫琅禾费衍射积分与孔径上场分布的傅里叶变换成正比。这是傅里叶光学的基石：透镜的焦平面可以精确实现二维傅里叶变换，将空域的光场分布转化为频域的空间频谱。
若孔径透过率函数为 $t(\xi, \eta)$，以平面波垂直照明，在透镜后焦面观察到的振幅分布为： $$\tilde U(x, y) \propto \iint_{-\infty}^{\infty} t(\xi, \eta) \exp\negthinspace\left[ -i \frac{2\pi}{\lambda f} (x\xi + y\eta) \right] d\xi d\eta$$ 这正是 $t(\xi, \eta)$的二维傅里叶变换，其中空间频率坐标为$f_x = x/(\lambda f),\thinspace f_y = y/(\lambda f)$。
因此，透镜是一个天然的频谱分析器。物体精细结构对应高频分量，其衍射光偏离光轴较远；平滑结构对应低频分量，集中在中心。
12.2 空间频率与空间滤波
在傅里叶光学中，图像被看作不同空间频率正弦光栅的叠加。空间频率 $\mathbf{f} = (f_x, f_y)$ 描述单位长度内明暗变化的周期数。
空间滤波：在透镜的频谱面（傅里叶平面）放置掩膜，选择性地透过或阻挡某些空间频率成分，从而改变输出图像。经典实验包括：
- 低通滤波：保留低频，去除高频（如消除图像中颗粒噪声）。
- 高通滤波：保留高频，去除低频（边缘增强，突出轮廓）。
- 方向滤波：只让某一方向的空间频率通过（如提取特定取向的纹理）。
空间滤波思想在图像处理、光学信息处理、相位显微镜等领域有广泛应用。阿贝-波特实验（Abbe-Porter experiment）通过阻挡不同衍射级次直接展示了这一原理。
12.3 全息术基本原理
全息术（Holography）由丹尼斯·伽博（Dennis Gabor）于 1948 年发明，是记录并再现光波波前（包括振幅和相位）的技术。它基于干涉原理，记录时不用镜头，而是将物光与一束相干的参考光叠加，在感光底片上形成干涉图——全息图。再现时用参考光照射全息图，衍射光重现原物光波的波前，观察者看到与原物相同的三维图像。
记录过程（干涉）
设物光复振幅 $O(x,y)$，参考光复振幅 $R(x,y)$，在底片处的强度为 $$I = |O + R|^2 = |O|^2 + |R|^2 + O R^* + O^* R$$ 其中后两项包含了物光相对于参考光的相位信息（$O R^*$与$O^* R$ 干涉条纹）。
假设底片线性处理，其振幅透过率正比于 $I$。
再现过程（衍射）
用再现光 $R'(x,y)$ 照射全息图，透射场为 $$R' \cdot I = R'|O|^2 + R'|R|^2 + R' O R^* + R' O^* R$$ 若 $R' = R$（即用原参考光再现），第三项 $R O R^* = |R|^2 O$，这正是物光的精确复制（可能带一个常数振幅因子），观察者可看到原物体的立体虚像。第四项则产生共轭实像。
全息图每个点都包含整个物体的信息，即使碎片也能再现完整像（只是分辨率和视角降低）。全息术已发展为三维显示、全息数据存储、全息干涉测量等重要技术。
例 12.1（全息干涉计量）
对物体在同一张底片上先后两次曝光（如受力前后），再现时物体表面叠加的干涉条纹反映了微小形变，精度可达光波长量级，用于无损检测。
12.4 傅里叶光学与全息的关系
全息图可看作物光与参考光干涉所形成的复杂光栅。傅里叶全息图是在透镜焦平面记录物光傅里叶变换谱与参考光叠加形成的，具有便于存储和信息处理的优点。利用计算机制作的全息图（CGH）通过傅里叶变换算法生成任意波前，在光刻和投影技术中发挥重要作用。
第六部分小结
- 光学仪器利用透镜成像规律实现视觉辅助：放大镜、显微镜、望远镜的角放大率公式源于物镜焦距和目镜放大作用的组合，衍射极限 $\theta_{\min} = 1.22\lambda/D$或$d_{\min} = 0.61\lambda/\text{NA}$ 决定了分辨率上限。
- 傅里叶光学指出透镜焦平面实现准确的傅里叶变换，空间频率 $f_x = x/(\lambda f)$ 将光场从空域转换至频域；空间滤波通过修改频谱成分实现图像处理。
- 全息术利用干涉记录光波振幅和相位，衍射再现原波前，形成三维像。它与傅里叶光学共同构成信息光学的重要支柱。