狭义相对论 (1) —— 洛伦兹变换 - 知乎 麦克斯韦方程组19世纪末，法拉第的学生麦克斯韦继承了老师的衣钵，相较于感性居多的法拉第，麦克斯韦则是用理性的方式将老师的电磁理论统一到了一起。

若用 $\varepsilon_0$代表真空介电系数，用$\mu_0$代表真空磁导率，对于电场$E$和磁场$B$ 有

$\begin{aligned} &\nabla\cdot E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}&&{高斯定理}\newline\newline &\nabla\cdot B=0&&{高斯磁定律}\newline\newline &\nabla\times E=-\frac{\partial B}{\partial t}&&{法拉第电磁感应定律}\newline\newline &\nabla\times B=\mu_0 J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}&&{安培定律} \end{aligned}$

其中 $\rho$与$J$ 分别代表电荷密度与电流密度。以上方程组被称为麦克斯韦方程组，该偏微分方程组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系。

光速不变原理在真空中，无需考虑介电物质与磁导物质，故 $\rho=J=0$ ，此时麦克斯韦方程组可表示为

$\begin{aligned} &\nabla\cdot E=0\newline\newline &\nabla\cdot B=0\newline\newline &\nabla\times E=-\frac{\partial B}{\partial t}\newline\newline &\nabla\times B=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t} \end{aligned}$考虑拉普拉斯算子与最后一式的叉积$\nabla\times(\nabla\times B)= \mu_0\varepsilon_0\Big(\nabla\times\frac{\partial E}{\partial t}\Big)= \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\Big(\nabla\times E\Big)= -\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2 B}{\partial t^2}$因为$\nabla\times(\nabla\times B)=\nabla(\nabla\cdot B)-\nabla^2 B$，并注意到$\nabla\cdot B=0$ ，于是有

$\nabla^2\color{}{ B}-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\color{}{ B}}{\partial \color{}t^2}=0$ 对倒数第二式作同样的操作可得

$\nabla^2\color{}{ E}-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\color{}{ E}}{\partial \color{}t^2}=0$定义达朗贝尔算符$\square\equiv\nabla^2-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}$ ，则真空中的电磁场满足以下方程

$\left\lbrace \begin{aligned} &\square\color{orange}{ B}=\Big(\nabla^2-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2}{\partial t^2}\Big)\color{orange}{ B}=0\newline\newline &\square\color{blue}{ E}=\Big(\nabla^2-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2}{\partial t^2}\Big)\color{blue}{ E}=0\newline \end{aligned}\right.$ 对比波动方程

$\square\color{red}u=\Big(\nabla^2-\frac1{\color{blue}{v^2}}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\Big)\color{red}u=0$由此可以断定，电场与磁场皆对应以波，且它们在真空中以恒定速度$\frac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$ 传播。

当初麦克斯韦得到这个结论时，当他把真空磁导率与真空介电系数

$\color{blue}{\varepsilon_0}=8.8542\times10^{-10}\ N/m,\ \color{orange}{\mu_0}=4\pi\times10^{-7}\ N/A^2$

代入 $\frac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$ 后

$\frac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}=29,979,225\ m/s$他惊讶地发现 : 『这不就是真空中的光速吗?』

用几乎纯粹的数学，竟得到了一个物理常数，这种理论与现实的交织，让人不得不相信我们的宇宙是存在深邃的数学规律的。

顺带一提，虽然阿蒂亚爵士对黎曼猜想的证明不尽如人意，但他的证明方法 (由量子能级推出黎曼猜想的结论) 还是值得推敲的，不就有人用热力学定理证明了某个数学猜想嘛。我们将得到的常数定义为

$\color{orange}c\equiv\frac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}=29,979,225\ m/s$因此$c$ 代表真空中电磁波 (光也属于电磁波) 的速度。

有趣的是，通过线性化引力场，爱因斯坦场方程将转化为

$\boxed{\color{red} { \square\ \bar h_{\mu\nu}= \nabla^2\bar h_{\mu\nu}-\frac1{c^2}\frac{\partial^2\bar h_{\mu\nu}}{\partial t^2}=0 }}$

其中 $\bar h_{\mu\nu}\equiv h_{\mu\nu}-\frac12\eta_{\mu\nu}h$为时空摄动张量。没错，这就是引力波，且引力波的传播速度同为光速$c$ 。

爱因斯坦通过光速不变原理与相对性原理，得到了整个狭义相对论。

后面你就会知道，光速并不特殊，以光速为上限不过是意味着快度无法超越极限罢了。洛伦兹因子19世纪末，麦克斯韦建立了麦克斯韦方程组后，经典电动力学迎来了空前发展。

但由麦克斯韦方程组可知真空中的光速是一个常数，但按照经典力学的时空观，这个结论应当只在某个特定的惯性参照系中成立，当时的人们把这个参照系称作以太。

1887年，迈克逊-莫雷实验证明了光的运动速度并不受以太影响。

1904年，洛伦兹提出了洛伦兹变换用于解释该实验的结果，他设想某观察者相对于以太运动时，长度在运动方向上发生了收缩，从而抵消了不同方向上的光速差异。

无巧不成书，在爱因斯坦还在专利局当专利员时，他认为是伽利略变换出了问题，并于1905年发表了《论运动物体的电动力学》论文，论文中提出了两条基本原理：狭义相对性原理和光速不变原理。

当普朗克收到该论文后，终于开始重视起论文中那即将改变现有物理理论的独到见解。

普朗克派助手协助爱因斯坦在这篇后来被称为《狭义相对论》的论文中，爱因斯坦给予了洛伦兹变换以新的意义。

爱因斯坦首先质疑了同时的概念，他认为同时是相对的。

假设你有一辆特斯拉，在地面某处间隔着两个信号灯。假定信号灯只发射一个光子，由于光速恒定，那么

(1) 对于地上的人而言，两端的光子会在相同的时间内汇聚到中点。

(2) 对于车上的人来说，前方的光子会先到达车顶中点，后方的光子则随后才能达到。

同时的相对性 I让我们看看另一个类似的例子

同时的相对性 II爱因斯坦曾想 :『由于光速恒定不变，那么变化的只能是空间与时间了』。

他的这个想法，成为了脱离洛伦兹等人依赖的以太学说的关键。

有了这个关键想法后，便能轻松得到 (惯性系) 时空的变换关系。

相对性关系由勾股定理可得

$s^2=l^2+h^2$由于 $s=ct,\ l=vt,\ h=ct_0$ ，将其代入后可解得运动系与静止系中时间的关系

$\color{red}t=\frac{\color{darkblue}{t_0}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\equiv\color{orange}\gamma\ \color{darkblue}{t_0}$其中的$\gamma$ 正是洛伦兹因子。

对于地上的人来说，车内的时间变慢了。

接下来，我们将从更严格的角度分析狭义相对论中的时空性质。

坐标系变换考虑两个参考系 $C$和$C'$, $C'$相对$C$以速度$v$沿$x$ 轴运动，则线性代数的知识告诉我们

将两者原点重合的时刻记为零时刻，设坐标变换矩阵为 $A=A(v)$ $\begin{bmatrix} t'\newline x' \end{bmatrix}= \overbrace{\begin{bmatrix} \color{red}a&\color{purple}b\newline \color{green}c&\color{blue}d \end{bmatrix}}^{\color{orange}A} \begin{bmatrix} t\newline x \end{bmatrix}$由于 $C'$的原点在$C$的坐标为$vt$ ，因此

$\begin{bmatrix} t'\newline 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \color{red}a&\color{purple}b\newline \color{green}c&\color{blue}d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t\newline vt \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \color{red}at+\color{purple}bvt\newline \color{green}ct+\color{blue}dvt \end{bmatrix}$所以$\color{green}c+\color{blue}dv=0$，由于$C$的原点在$C'$的坐标为$-vt'$ ，所以

$\begin{bmatrix} t'\newline -vt' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \color{red}a&\color{purple}b\newline \color{green}c&\color{blue}d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t\newline 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \color{red}at\newline \color{green}ct \end{bmatrix}$ 可得到方程组

$\left\lbrace \begin{aligned} &\color{red}at=t'\newline &\color{green}ct=-vt' \end{aligned}\right.\Rightarrow \color{green}c+\color{red}av=0$故$\color{red}a=\color{blue}d$，设$\color{orange}\gamma\equiv \color{red}a=\color{blue}d$，此时$\color{green}c=-\color{orange}\gamma v$ ，所以变换矩阵的主对角元素相等

$A=\begin{bmatrix} \color{orange}\gamma&\color{purple}b\newline -\color{orange}\gamma v&\color{orange}\gamma \end{bmatrix}$由于$A$ 为线性变换，所以它满足叠加性 (群的闭合性)

$A(v_1)A(v_2)=A(v_1+v_2)= \begin{bmatrix} \gamma_1\gamma_2-b_1\gamma_2v_2&b_2\gamma_2+b_1\gamma_2\newline\newline -\gamma_1\gamma_2(v_1+v_2)&\gamma_1\gamma_2-b_2\gamma_1v_1 \end{bmatrix}$需与$A$ 的结构相同，那么其对角元素也应该相等

$\gamma_1\gamma_2-b_1\gamma_2v_2= \gamma_1\gamma_2-b_2\gamma_1v_1$设$\color{darkblue}\kappa=\frac{b_1}{\gamma_1v_1}=\frac{b_2}{\gamma_2v_2}$为与$v_1,v_2$无关的比例常数，则$\color{purple}b=\color{darkblue}\kappa\color{orange}\gamma v$ ，于是坐标变换矩阵可表示为

$A= \begin{bmatrix} \color{orange}\gamma&\color{darkblue}\kappa\color{orange}\gamma v\newline -\color{orange}\gamma v&\color{orange}\gamma \end{bmatrix}= \color{orange}\gamma \begin{bmatrix} 1&\color{darkblue}\kappa v\newline -v&1 \end{bmatrix}$

由时空的各向同性可知，$\color{orange}\gamma$仅依赖于$v^2$，即$\color{orange}\gamma=\color{orange}\gamma(v^2)$ 。

而 $A$的逆表示相对另一个参考系的反向变换，即$A^{-1}(v)=A(-v)$ ，或者

$\frac{1}{\color{orange}\gamma(1+\color{darkblue}\kappa v^2)} \begin{bmatrix} 1&-\color{darkblue}\kappa v\newline v&1 \end{bmatrix}= \color{orange}\gamma\begin{bmatrix} 1&-\color{darkblue}\kappa v\newline v&1 \end{bmatrix}$

因此 $\frac1{\color{orange}\gamma(1+\color{darkblue}\kappa v^2)}=\color{orange}\gamma$ ，或者

$\color{orange}\gamma=\frac1{\sqrt{1+\color{darkblue}\kappa v^2}}$ 最终，我们得到了想要的坐标变换矩阵

$\color{darkorange}A= \frac1{\sqrt{1+\color{blue}\kappa \color{red}{v^2}}} \begin{bmatrix} 1&\color{blue}\kappa \color{orange}v\newline -\color{orange}v&1 \end{bmatrix}$爱因斯坦是从麦克斯韦方程组入手的，他从时空均匀性和时空各向同性直接导出了洛伦兹变换矩阵。伽利略变换在经典物理中，时间是绝对的，且参考系 $C'$的点$x'$在参考系$C$的坐标为$x-vt$ ，即

$\begin{bmatrix} t'\newline x' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} t\newline x-vt \end{bmatrix}$此时常数$\kappa=0$ ，于是伽利略变换为

$\color{orange}A(\color{red}0)= \begin{bmatrix} 1&0\newline -\color{orange}v&1 \end{bmatrix}$

下图展示了从伽利略的参考系变换到月球的参考系的过程

伽利略变换是水平斜切变换 (横轴为空间 纵轴为时间)洛伦兹变换根据爱因斯坦的假设，光速在任何惯性参考系中都相同，也就是说

$\begin{bmatrix} t'\newline ct' \end{bmatrix}= \frac1{\sqrt{1+\kappa v^2}} \begin{bmatrix} 1&\kappa v\newline -v&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t\newline ct \end{bmatrix}= \frac t{\sqrt{1+\kappa v^2}} \begin{bmatrix} 1+\kappa cv\newline c-v \end{bmatrix}$

可推出 $c=\frac{c-v}{1+\kappa cv}$，解得$\kappa=-\frac1{c^2}$ ，定义洛伦兹变换为

$\color{orange}A(\color{red}c)= \frac1{\sqrt{1-\color{blue}{v^2} / \color{red}{c^2}}} \begin{bmatrix} 1&-\frac {\color{blue}v}{\color{red}{c^2}}\newline -\color{blue}v&1 \end{bmatrix}$

我们称 $\gamma\equiv\frac1{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ 为洛伦兹因子。

对于闵可夫斯基时空，时间相关的坐标取 $ct$ ，其对应的洛伦兹变换会呈现出对称的形式

$\begin{bmatrix} ct'\newline x' \end{bmatrix}= \gamma \begin{bmatrix} 1&-\beta\newline -\beta&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct\newline x \end{bmatrix}$

其中 $\beta=\frac vc,\ \gamma=\frac1{\sqrt{1-\beta^2}}$ 我们知道矩阵的行列式，代表变换后面积或体积的缩放倍数。

现在让我们看看，洛伦兹变换的时空四维体积的缩放倍数是多少

$\det\begin{bmatrix} \gamma&-\gamma\beta\newline\newline -\gamma\beta&\gamma \end{bmatrix}= \gamma^2(1-\beta^2)= \frac{1-\beta^2}{1-\beta^2}=\boxed{\color{red}1}$ 显然，洛伦兹变换是保持四维体积不变的变换；当然，直线经过线性变换后仍然是直线。

所以洛伦兹变换是唯一一种保持光速（类光世界线）不变，且不会扭曲直线和改变时空网格体积的坐标系变换。

洛伦兹变换类比双曲坐标系的旋转

伽利略变换仅倾斜了空间，洛伦兹变换还倾斜了时间。一个显然的结果

$\left\lbrace \begin{aligned} &t'=\gamma\Big(t-\frac v{c^2}x\Big)\newline\newline &x'=\gamma(x-vt)\newline\newline &u'=\frac{u-v}{1-\frac{vu}{c^2}} \end{aligned}\right.$

不难证明，类光向量是洛伦兹变换矩阵的特征向量，这些向量构成了时空光锥。

若 $\kappa>0$则$v>c$ ，若真的存在快子的话。时空间隔分析刚才得到的洛伦兹变换

$\begin{bmatrix} ct'\newline x' \end{bmatrix}= \gamma \begin{bmatrix} 1&-\beta\newline -\beta&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct\newline x \end{bmatrix}$

由于 $\gamma^2(1-\beta^2)=1$ ，容易发现它的等价形式为

$\begin{bmatrix} ct'\newline x' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cosh\theta&-\sinh\theta\newline -\sinh\theta&\cosh\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct\newline x \end{bmatrix}$其中 $\cosh\theta=\gamma,\sinh\theta=\gamma\beta$，或者$\theta=\tanh^{-1}\beta=\tanh^{-1}\frac vc$ ，我们称之为快度。

这意味着洛伦兹变换实际是一个双曲旋转变换，并且

$\begin{bmatrix} ct'\newline x' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} ct\cosh\theta-x\sinh\theta\newline x\cosh\theta-ct\sinh\theta \end{bmatrix}$

不难得到以下不变量

$\begin{aligned} c^2\color{orange}{t'}^2-\color{blue}{x'}^2=c^2\color{orange}t^2-\color{blue}x^2 \end{aligned}$我们将其解释为时空间隔 。

对应着欧氏空间中旋转变换的半径不变。 为了回到欧氏空间，我们可以将 $t$变成虚时间$it$ ，这样便既保留了不变性质，又能在欧氏空间中操作。

正如闵可夫斯基所做的那样，写成微分的形式

$\boxed{\color{red}{ds^2=-c^2dt^2+dx^2}}$

这不是与生俱来的，意味着我们不能先入为主的认为 : 仅因为时间轴的特殊性才将其设为虚轴。双曲空间将四维时空映射到双曲空间，即非线性到线性的映射，它将速度变化对应到了双曲空间的旋转。

欧氏空间与双曲空间的旋转若速度到达光速，这对应着双曲空间的无穷远点。

即是说，在任意参考系中，光的快度都是无穷，因此不可再超越。

这也是为什么光速无法达到的原因，换个角度去思考，便会发现这是很显然的结果。

固有时我们刚才知道了对于任何惯性系，时空间隔是不变的

$d\color{red}s^2=-c^2d\color{orange}t^2+d\color{blue}x^2$ 假设有一相对我们(匀速)运动的物体，而在物体自身参考系内它是静止的，即对它而言空间间隔为零，因此

$ds^2=-c^2dt^2+dx^2=-c^2dt'^2$ 由此不难得到物体在自身参考系内的时间间隔

$\Delta \color{orange}{t'}=\int_{t_1}^{t_2}d\color{orange}t\ \sqrt{1-\frac{\color{blue}v^2}{c^2}}$ 我们将与物体一同运动的时钟读数，定义为固有时

$c^2d\tau^2=c^2dt^2-dx^2=-ds^2$

由固有时的定义可知，运动的时钟总比静止的时钟走得慢。

固有时流逝最快换言之，物体的固有时最短。

时间膨胀假设在 $C$系的同一空间坐标内有两个先后发生的事件，在该系内两事件的时间间隔为$\Delta t=t_2-t_1$ 。

则在 $C'$ 系中测得的时间间隔为

$\Delta t'= \gamma\Big(t'_2+\frac{v}{c^2}x'_2\Big)- \gamma\Big(t'_1+\frac{v}{c^2}x'_1\Big)= \gamma(t_2-t_1)= \gamma\Delta t$ 这便是时间膨胀效应

$\boxed{\color{red}{t=\frac{\tau}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}}$

但愿卡通的形象能让严肃艰深的问题变得有趣一些恰似一矩阵平面正绕着它的对角线在空间中旋转。注意两处的绿色区域，它们的面积始终相等。在洛伦兹变换下，新时空坐标系的时间轴和空间轴与类光线的夹角相同，物体速度越快，该夹角越小。物体静止时，该夹角为 $\frac\pi4$；当物体速度接近光速时，该夹角为零（时空维度在此处被压缩）。上双曲线在拉飞奇处的切线与$ct'$ 轴的交点，即为运动坐标系内的坐标时 (图中的红色实线所示)。辛巴与下方橙点之间的弧长，即为快度 (守护时间的拉飞奇亦然)。丁满正靠着时间膨胀公式，大树底下的便是洛伦兹变换矩阵了。 在相对事件静止的坐标系内测得的时间 (固有时) ，总是大于在相对事件运动的坐标系内测得的时间 (坐标时)。

如果某物体 (静质量非零) 相对我们以光速运动，则对于我们来说，该物体的时间将被冻结。

光行者无论要去往何处，皆如白马过隙，忽然而已。若该物质的速度超越了光速，则就我们来看，它将进入虚数时空。

$\color{orange}{t}=-i\color{red}\tau\Big(\frac{\color{blue}v^2}{\color{green}c^2}-1\Big)^{-1/2}$ 究竟何谓虚数时空，不敢妄加揣测。

长度收缩设两惯性系 $C'$与$C$在初始时刻原点重合，$C'$系相对$C$系以恒定速度$v$ 运动。

在 $C$系中静止物体的长度为$\Delta x=x_2-x_1$ 。

在 $C'$系中，我们要在同一时刻$t'$测出物体两端的坐标$x_1'$与$x_2'$ ，由于

$\left\lbrace \begin{aligned} &x_1=\gamma(x_1'+vt')\newline\newline &x_2=\gamma(x_2'+vt') \end{aligned}\right.$因此在$C$ 系中测得的物体长度为

$\Delta x=x_2-x_1=\gamma \Delta x'$我们将 $\Delta x$定义为物体的固有长度$l_0$，将$\Delta x'$定义为物体的坐标长度$l$ 。

于是便能得到长度收缩效应

$\boxed{\color{red}{l=l_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}$ 物体在固有参考系中长度最长。

空间收缩效应长度收缩效应在目前还未得到实验验证，只因要验证该效应是极其困难的。四维速度与四维加速度定义时空四维速度为

$u^\mu\equiv\frac{dx^\mu}{d\lambda}$

$u^\mu$为与粒子世界线相切的一个四维矢量。取仿射参数$\lambda$为固有时$\tau$，由于时空间隔与固有时的存在关系$ds^2=-c^2d\tau^2$ ，因此

$|| u||^2= u^\mu u_\mu= g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu= g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}= \frac{ds^2}{d\tau^2}= -c^2$ 即时空四维速度的内积为常数

$u^{\mu} u_{\mu}=c^{2} \dot{t}^{2}-\dot{x}^{2}=-c^{2}$

其中 $\dot t\equiv\frac{dt}{d\tau},\ \dot x\equiv\frac{dx}{d\tau}$。四维时空速度 对于静质量不为零的粒子，其四维速度皆为$-c^2$ 。

对于静质量为零的粒子，其时空间隔为零，意味着其固有时也为零。

对于像光子和中微子这样静质量为零的粒子，在它们自己看来，到达任何地方皆无需花费时间。 相信你也会想到悟空的瞬间移动术。孙悟空的瞬间移动术 为此，我们可这么选取仿射参数，它是个对时空间隔可微的标量参数，于是有

$|| u||^2=\frac{ds^2}{d\lambda^2}=0$ 所以对于静质量为零的粒子，它们的四维速度皆为零。

定义时空四维加速度为

$a^\mu\equiv\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2}=\frac{du^\mu}{d\tau}$ 根据刚才的结论，可得

$\frac{d}{d\tau}(u^\mu u_\mu)= 2a^\mu u_\mu= 0$ 说明四维加速度与四维速度彼此正交。