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Kompaneets方程
概览
Kompaneets 方程是描述光子被热电子非弹性散射（康普顿化）过程中光子分布演化的福克-普朗克型方程，是 Sunyaev-Zeldovich 效应与 X 射线天体物理的核心理论工具。
核心内容
Kompaneets 方程由 A. S. Kompaneets 于 1957 年导出，描述低能光子（能量 $\varepsilon\ll m_ec^2$）在非相对论热电子气中被多次康普顿散射后的统计演化。它将散射视为光子在能量空间的扩散-漂移过程，得到光子分布函数 $n(\varepsilon,t)$ 的演化方程：
$$ \frac{\partial n}{\partial y}=\frac{1}{x^2}\frac{\partial}{\partial x}\left[x^4\left(\frac{\partial n}{\partial x}+n+n^2\right)\right] $$
其中 $x=\varepsilon/(k_BT_e)$ 为无量纲光子能量，$n$为光子占有数。康普顿化参数$y$ 定义为
$$ y=\int \frac{k_BT_e}{m_ec^2}\thinspace{}n_e\sigma_T\thinspace{}c\thinspace{}dt $$
是衡量散射总效应（能量交换程度）的关键无量纲参量，等于电子-光子每次散射的平均能量相对转移率乘以散射总次数。
方程中的三项分别对应：扩散项 $\partial n/\partial x$ 描述光子在能量空间的随机游走；$n$项描述由电子温度驱动的漂移（朝向$x=4$ 的平衡点）；$n^2$项来自受激发散，在经典低占有数极限可略去。平衡态为玻色-爱因斯坦分布$n=1/(e^{x+\mu}-1)$，对应光子与电子达到共同温度。
Kompaneets 方程是 Sunyaev-Zeldovich (SZ) 效应的理论基础。CMB 光子穿过星系团内高温电子气（$T_e\sim 10^8\thinspace\mathrm{K}$）时发生康普顿化，平均能量升高，导致 CMB 谱在 Rayleigh-Jeans 端温度降低、Wien 端温度升高。这一谱畸变正是 SZ 效应的物理本质。
与其他知识关联
参考笔记
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