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万有引力与天体运动（竞赛）
概览
高中阶段已学过万有引力定律、卫星圆轨道与第一宇宙速度，本笔记在此基础上做三层深化：其一，用微积分（见 01-微积分基础）把"定律"升级为完整的势能语言——引力势能 $U=-\dfrac{GMm}{r}$、壳层定理（见 壳层定理）与地球内部的变深度引力；其二，把"套公式"升级为守恒律视角——用角动量守恒（05-动量与角动量）与机械能守恒（04-功与机械能）统一处理椭圆轨道、近远地点速度与轨道能量判据；其三，引入竞赛高频模型——同步卫星、霍曼转移变轨、双星与三星系统、行星相遇，并用有效势能曲线统一判定轨道类型，为大学 理论力学 与 万有引力定律 的严格化铺路。
核心概念
一、万有引力定律与引力场强度
任何两个质点间的万有引力沿连线方向、与两质点质量乘积成正比、与距离平方成反比：
$$ \boxed{\thinspace\vec F = -G\frac{m_1m_2}{r^2}\thinspace\hat r\thinspace},\qquad G=6.67\times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2 $$
对连续质量分布（如星球），严格表述是对所有质量微元求和（积分）：$\vec F = -Gm\displaystyle\int\frac{\hat r'}{r'^2}\thinspace{}dm'$。
引力场强度：单位质量所受的万有引力定义为引力场强度 $\vec g=\dfrac{\vec F}{m}$。对质量为 $M$ 的球对称天体，外部场强为
$$ \boxed{\thinspace{}g=\frac{GM}{r^2}\thinspace}\qquad (r\ge R) $$
这就是高中重力加速度 $g$的"真身"：地表$g_0=\dfrac{GM}{R^2}$，而高空 $h$处$g=\dfrac{GM}{(R+h)^2}=\dfrac{g_0R^2}{(R+h)^2}$，不能直接用 $g_0$。
二、壳层定理与地球内部的引力
壳层定理（结论引用）
均匀（或球对称分层）球壳对内部质点（$r<R_{\text{壳}}$）的万有引力合力为零；对外部质点则等效为全部质量集中于球心。完整推导见 壳层定理（积分推导依赖 01-微积分基础 与 球壳与质点间引力的推导）。该定理说明均匀球体对外部表现为"质点"，这也是开普勒定律成立的前提。
由壳层定理可求均匀球体内部（$r<R$）的引力：半径 $r$以内的质量$M(r)=M\dfrac{r^3}{R^3}$ 才起作用，故
$$ \boxed{\thinspace{}g(r)=\frac{GM(r)}{r^2}=\frac{GM}{R^3}\thinspace{}r=\frac{g_0}{R}\thinspace{}r\thinspace} $$
即球体内部引力与到球心距离成正比（线性恢复力），指向球心；球心处 $g=0$。
三、引力势能
以无穷远处为零势能点，质量为 $m$的质点在距$M$球心$r$ 处的引力势能为
$$ \boxed{\thinspace{}U(r)=-\frac{GMm}{r}\thinspace} $$
负号是必须强调的核心：无穷远 $U=0$，越靠近引力源势能越小（越负），这正说明引力是"束缚性"力。由此可得
$$ \boxed{\thinspace{}F=-\frac{dU}{dr}=-\frac{GMm}{r^2}\thinspace} $$
负号对应"力沿 $r$减小的方向（指向球心）"，与势能语言$F=-\dfrac{dU}{dr}$ 完全自洽（见 04-功与机械能）。
四、开普勒三大定律
设太阳（质量 $M$）静止，行星（质量 $m\ll M$）绕其运动：
- 第一定律（轨道定律）：行星沿椭圆轨道运动，太阳位于一个焦点上（圆轨道是 $e=0$ 的特例）。
- 第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等面积。极坐标下即 $$ \boxed{\thinspace\frac{dA}{dt}=\frac12 r^2\dot\theta = \frac{L}{2m}=\text{const}\thinspace} $$ 其中 $L=mr^2\dot\theta$ 是角动量。面积速度恒定 ⟺ 角动量守恒，根源在于万有引力是有心力、对力心不产生力矩。
- 第三定律（周期定律）：各行星轨道半长轴 $a$ 的立方与周期平方成正比， $$ \boxed{\thinspace\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}\approx\frac{4\pi^2}{GM}\thinspace} $$ $M+m$出现在分母上是两体问题的严格结果；竞赛中常近似为$M$（推导见"推导与原理"）。
近地点与远地点速度：在拱点处速度垂直于矢径，角动量守恒给出 $v_pr_p=v_ar_a$；再与机械能守恒（或 $E=-\dfrac{GMm}{2a}$）联立：
$$ \boxed{\thinspace{}v_p=\sqrt{\frac{GM}{a}\cdot\frac{1+e}{1-e}}\thinspace,\quad v_a=\sqrt{\frac{GM}{a}\cdot\frac{1-e}{1+e}}\thinspace} $$
其中 $e=\dfrac{r_a-r_p}{r_a+r_p}$ 为离心率，$a=\dfrac{r_p+r_a}{2}$ 为半长轴。
五、圆轨道与第一宇宙速度
对圆轨道 $r=a$，万有引力提供向心力：
$$ \frac{mv^2}{r}=\frac{GMm}{r^2}\thickspace\Longrightarrow\thickspace\boxed{\thinspace{}v=\sqrt{\frac{GM}{r}}\thinspace},\quad T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} $$
机械能（动势能相加）：$E=\dfrac12 mv^2-\dfrac{GMm}{r}=\dfrac{GMm}{2r}-\dfrac{GMm}{r}=\boxed{\thinspace-\dfrac{GMm}{2r}\thinspace}$。即圆轨道上总机械能恰为引力势能的一半（$E=\tfrac12 U$）。
第一宇宙速度（环绕速度）：紧贴地面（$r=R$）绕行所需最小速度
$$ v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{g_0R}\approx 7.9\ \text{km/s} $$
周期 $T_1=2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g_0}}\approx 84\ \text{min}$（这个数字后面还会再出现）。
六、椭圆轨道能量与轨道分类、三大宇宙速度
椭圆轨道能量：对任意椭圆轨道（半长轴 $a$）有著名结论
$$ \boxed{\thinspace{}E=-\frac{GMm}{2a}\thinspace} $$
验证：取 $a=r$立即退化为圆轨道能量$E=-\dfrac{GMm}{2r}$，一致性成立。轨道能量只由半长轴决定，与离心率无关。
由总机械能的正负可对轨道分类：
| 机械能 | 轨道类型 | 轨道形状 | 说明 |
|---|---|---|---|
| $E<0$ | 束缚轨道 | 圆/椭圆 | 总能量不足以逃逸，质点被束缚在引力源附近 |
| $E=0$ | 临界逃逸 | 抛物线 | 恰能到达无穷远，到无穷远处速度恰好为零 |
| $E>0$ | 逃逸轨道 | 双曲线 | 以有限速度飞向无穷远 |
第二宇宙速度（逃逸速度）：令 $E=\tfrac12 mv^2-\dfrac{GMm}{R}=0$ 得
$$ v_2=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt2\thinspace{}v_1\approx 11.2\ \text{km/s} $$
第三宇宙速度：从地面发射、逃逸出太阳系（计入地球公转速度 $29.8\ \text{km/s}$的"借力"），结论为$v_3\approx 16.7\ \text{km/s}$。量级来源：在地球轨道处逃逸太阳需相对太阳 $\sqrt2\times 29.8\approx 42.1\ \text{km/s}$，相对地球约 $12.3\ \text{km/s}$，再叠加克服地球引力 $v_2$：$v_3^2\approx 12.3^2+v_2^2$，即约 $16.7\ \text{km/s}$。
七、卫星专题
同步卫星：相对地面静止，须同时满足三条件——周期 $T=24\ \text{h}$、轨道平面在赤道平面内、轨道半径唯一确定（推导见"推导与原理"）：
$$ \boxed{\thinspace{}r=\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}}\approx 4.2\times 10^4\ \text{km}\approx 6.6R\thinspace,\qquad h=r-R\approx 3.6\times 10^4\ \text{km}\thinspace} $$
变轨与霍曼转移：从低圆轨道 $r_1$转移到高圆轨道$r_2$，最省燃料的路径是以两轨道内公切椭圆（霍曼转移轨道）为中间轨道，经历两次点火：近地点加速 $\Delta v_1$入椭圆、远地点再加速$\Delta v_2$ 入大圆。速度增量公式见"典型实例"与例题 3：
$$ \Delta v_1=\sqrt{\frac{GM}{r_1}}\negthinspace\left(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1+r_2}}-1\right),\qquad \Delta v_2=\sqrt{\frac{GM}{r_2}}\negthinspace\left(1-\sqrt{\frac{2r_1}{r_1+r_2}}\right) $$
双星系统：两颗恒星仅受彼此万有引力、绕共同质心作匀速圆周运动，周期
$$ \boxed{\thinspace{}T=2\pi\sqrt{\frac{L^3}{G(M_1+M_2)}}\thinspace} $$
其中 $L$ 为两星距离，质量与轨道半径成反比：$r_1:r_2=M_2:M_1$。
三星系统（简介）：等边三角形构型（三星等质量、边长 $a$）$T=2\pi\sqrt{\dfrac{a^3}{3Gm}}$；直线构型（等距等质量）$T=2\pi\sqrt{\dfrac{4a^3}{5Gm}}$，其中中间星所受合力为零、绕质心（即自身）无须向心力。受力分析详见"典型实例"实例 4。
八、竞赛进阶：有效势能与轨道判定
径向运动方程含 $\ddot r$，但角动量守恒把 $\dot\theta$ 消去后，能量可写成一维等效问题：
$$ \boxed{\thinspace{}E=\frac12 m\dot r^2+\underbrace{\frac{L^2}{2mr^2}}_{\text{离心势能}}-\frac{GMm}{r}\thinspace} $$
定义有效势能 $U_{\text{eff}}(r)=\dfrac{L^2}{2mr^2}-\dfrac{GMm}{r}$，则 $\tfrac12 m\dot r^2=E-U_{\text{eff}}(r)$。曲线形状与轨道分类见"推导与原理"第七节。更彻底的途径是比耐公式：令 $u=\dfrac1r$，径向动力学方程化为
$$ \frac{d^2u}{d\theta^2}+u=\frac{GMm^2}{L^2} $$
其通解 $u=\dfrac{GMm^2}{L^2}(1+e\cos\theta)$统一给出所有圆锥曲线轨道，离心率$e=\sqrt{1+\dfrac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}$由能量与角动量唯一决定——轨道类型完全由$(E,L)$ 两个守恒量决定。
推导与原理
一、引力势能的积分推导与 $F=-\dfrac{dU}{dr}$
把质点从无穷远移到 $r$处，引力全程做正功（力与位移同向）。在$s$处元功$dW=\dfrac{GMm}{s^2}ds$，故
$$ W=\int_r^\infty\frac{GMm}{s^2}\thinspace{}ds=\frac{GMm}{r}\thinspace,\qquad U(r)=-W=-\frac{GMm}{r} $$
反向验证：
$$ F=-\frac{dU}{dr}=-\frac{d}{dr}\left(-\frac{GMm}{r}\right)=-\frac{GMm}{r^2} $$
负号链条清晰：$U$随$r$ 增大而增大（$dU/dr>0$），故 $F<0$，力指向引力源。势能语言与牛顿第二定律完全等价：涉及"逃不逃得出去、能否到达"用能量，涉及"每一瞬的力"用动力学方程。
二、开普勒第二定律 ⟺ 角动量守恒
$t$时刻矢径扫过面积微元$dA=\tfrac12r^2d\theta$，故面积速度
$$ \frac{dA}{dt}=\frac12r^2\dot\theta=\frac{L}{2m} $$
万有引力始终沿矢径方向（有心力），对太阳取矩 $\vec\tau=\vec r\times\vec F=\vec 0$，角动量守恒 $\dfrac{d\vec L}{dt}=0$，故面积速度恒定。逆命题同样成立：面积速度恒定 ⟺ 角动量守恒 ⟺ 力为有心力，这是判断"是否受有心力"的观测判据。
三、开普勒第三定律的推导
圆轨道情形：$m\dfrac{v^2}{r}=\dfrac{GMm}{r^2}$，$T=\dfrac{2\pi r}{v}$，消去 $v$：
$$ T^2=\frac{4\pi^2r^3}{GM}\thickspace\Longrightarrow\thickspace\boxed{\thinspace\frac{T^2}{r^3}=\frac{4\pi^2}{GM}\thinspace} $$
一般两体情形：两体绕共同质心转动，代入双星周期公式（见下）得 $\dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4\pi^2}{G(M_1+M_2)}$；行星绕太阳时 $M_1+M_2\approx M_{\odot}$。注意：第三定律对"同一中心天体"才是常数 $4\pi^2/GM$，不同中心天体不能共享同一比例系数。
椭圆轨道的周期：面积速度 $\dfrac{L}{2m}$恒定，椭圆面积$A=\pi ab$，故 $T=\dfrac{\pi ab}{L/(2m)}=\dfrac{2\pi mab}{L}$。代入 $L=m\sqrt{GMa(1-e^2)}$、$b=a\sqrt{1-e^2}$，得
$$ T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}} $$
——椭圆轨道周期只依赖半长轴，与离心率无关，这就是第三定律。
四、椭圆轨道能量 $E=-\dfrac{GMm}{2a}$ 与近远地点速度
在近地点 $p$、远地点 $a$ 处速度垂直于矢径，角动量守恒与机械能守恒给出：
$$ \begin{cases} mv_pr_p=mv_ar_a & \text{角动量守恒}\newline \dfrac12 mv_p^2-\dfrac{GMm}{r_p}=\dfrac12 mv_a^2-\dfrac{GMm}{r_a}=E & \text{机械能守恒} \end{cases} $$
由第一式 $v_a=v_p\dfrac{r_p}{r_a}$代入第二式，并用$r_p=a(1-e)$、$r_a=a(1+e)$：
$$ v_p^2=\frac{2GM}{r_a+r_p}\cdot\frac{r_a}{r_p}=\frac{GM}{a}\cdot\frac{1+e}{1-e} $$
代回能量表达式：
$$ E=\frac12 mv_p^2-\frac{GMm}{r_p}=-\frac{GMm}{r_p+r_a}=-\frac{GMm}{2a} $$
两步即得著名结论。能量只与半长轴有关，圆轨道 $a=r$时退化为$E=-\dfrac{GMm}{2r}$，自洽。
五、双星系统周期
质心定义 $M_1r_1=M_2r_2$，$r_1+r_2=L$，得
$$ r_1=\frac{M_2}{M_1+M_2}L\thinspace,\qquad r_2=\frac{M_1}{M_1+M_2}L $$
对 $M_1$ 列向心力方程：
$$ M_1\omega^2r_1=\frac{GM_1M_2}{L^2}\thickspace\Longrightarrow\thickspace\omega^2=\frac{G(M_1+M_2)}{L^3}\thickspace\Longrightarrow\thickspace\boxed{\thinspace{}T=2\pi\sqrt{\frac{L^3}{G(M_1+M_2)}}\thinspace} $$
周期只与总质量 $M_1+M_2$和距离有关，与质量如何分配无关；观测到$T$与$L$ 即可反推系统总质量，这是天文学测定双星质量的基本方法。
六、同步卫星高度
地球自转角速度 $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$，$T=86400\ \text{s}$。卫星须与地球同步转动且轨道面在赤道面内，向心力方程：
$$ \frac{GMm}{r^2}=m\omega^2r\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}r=\sqrt[3]{\frac{GM}{\omega^2}}=\sqrt[3]{\frac{g_0R^2T^2}{4\pi^2}} $$
代入 $g_0=9.8\ \text{m/s}^2$、$R=6.37\times10^6\ \text{m}$：
$$ r=\sqrt[3]{\frac{9.8\times(6.37\times10^6)^2\times(8.64\times10^4)^2}{4\pi^2}}\approx 4.2\times10^7\ \text{m}\approx 6.6R\thinspace,\qquad h=r-R\approx 3.6\times 10^4\ \text{km} $$
三条件缺一不可：周期不取 $24\ \text{h}$ 则相对地面转动；轨道面不在赤道面内则"静止"轨道无法覆盖南北向运动；高度则由周期唯一锁定。
七、有效势能曲线与轨道类型判定
$U_{\text{eff}}(r)=\dfrac{L^2}{2mr^2}-\dfrac{GMm}{r}$ 曲线形状：$r\to 0$时离心项$\dfrac{L^2}{2mr^2}\to+\infty$（离心势垒），$r\to\infty$时从下方趋于$0^-$；极值点 $U_{\text{eff}}'(r_0)=0$给出$r_0=\dfrac{L^2}{GMm^2}$，$U_{\text{min}}=-\dfrac{G^2M^2m^3}{2L^2}$。给定能量 $E$后，运动范围由$U_{\text{eff}}(r)\le E$决定（动能$\tfrac12m\dot r^2\ge 0$）：
| $E$ 的取值 | 径向运动范围 | 轨道 |
|---|---|---|
| $E=U_{\text{min}}$ | $r\equiv r_0$（径向静止） | 圆轨道 |
| $U_{\text{min}}<E<0$ | $r_p\le r\le r_a$（在势阱内来回摆动） | 椭圆轨道 |
| $E=0$ | $r_p\le r<\infty$（仅一个拐点） | 抛物线（临界逃逸） |
| $E>0$ | 单侧渐近，飞向无穷远 | 双曲线（逃逸） |
这一"能量水平线切有效势能曲线"的几何图像与 01-微积分基础 中"势能曲线判平衡"一脉相承：无需解轨道方程，一条曲线+一条水平线即可判定轨道类型。
典型实例与物理应用
实例 1：穿过地球的隧道——线性恢复力与简谐运动
均匀地球内部 $F=-\dfrac{GMm}{R^3}r$ 是线性恢复力，若开凿一条过球心的光滑隧道（忽略摩擦与空气），质点将做简谐运动：
$$ \omega=\sqrt{\frac{GM}{R^3}}=\sqrt{\frac{g_0}{R}}\thinspace,\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{R}{g_0}}\approx 84.5\ \text{min} $$
与紧贴地面的卫星周期完全相同。任意连接地表两点的光滑隧道（弦）中周期同样约为 84 分钟，这是竞赛经典结论（沿弦的受力沿弦方向投影后仍是线性恢复力，$g$ 的投影系数与几何系数恰好相消）。
实例 2：行星相遇与会合周期
两颗行星在同一平面内绕同一中心天体做圆周运动，半径 $r_1<r_2$，角速度 $\omega_1>\omega_2$。二者再次"最近（合）"所需时间满足相对角速度扫过 $2\pi$：
$$ (\omega_1-\omega_2)t=2\pi\thickspace\Longrightarrow\thickspace\boxed{\thinspace{}t=\frac{T_1T_2}{T_2-T_1}\thinspace} $$
"相距最远（冲）"则 $(\omega_1-\omega_2)t=\pi$，时间为上式一半。相遇问题的核心是角速度比 $\omega_1/\omega_2=(r_2/r_1)^{3/2}$，把周期比翻译成"相位追赶"，与运动学追及问题结构相同。
实例 3：霍曼转移——两次点火的能量账
近地圆轨道 $r_1=R+h_1$到同步轨道$r_2$，转移椭圆半长轴 $a=\dfrac{r_1+r_2}{2}$，转移时间恰为椭圆周期的一半：
$$ \boxed{\thinspace{}t_{\text{transfer}}=\pi\sqrt{\frac{(r_1+r_2)^3}{8GM}}\thinspace} $$
两次点火的速度增量 = 椭圆上该点速度 − 原圆轨道速度。椭圆上任一点速率由能量 $E=-\dfrac{GMm}{2a}$给出$v^2=GM\left(\dfrac2r-\dfrac1a\right)$，故近地点 $\Delta v_1=\sqrt{\dfrac{GM}{r_1}}\left(\sqrt{\dfrac{2r_2}{r_1+r_2}}-1\right)$、远地点 $\Delta v_2=\sqrt{\dfrac{GM}{r_2}}\left(1-\sqrt{\dfrac{2r_1}{r_1+r_2}}\right)$均为正值——两次都必须加速，总增量$\Delta v=\Delta v_1+\Delta v_2$ 即燃料代价。这就是行星探测器前往火星的标准路径（数值计算见例题 3）。
实例 4：三星系统的周期
等边三角形构型：三颗质量均为 $m$的星位于边长$a$的等边三角形顶点，绕几何中心（即质心）转动。任取一颗，受另外两颗引力大小均为$\dfrac{Gm^2}{a^2}$、夹角 $60^\circ$，合力 $F=\sqrt3\thinspace\dfrac{Gm^2}{a^2}$指向中心。轨道半径$r=\dfrac{a}{\sqrt3}$，向心力方程 $m\omega^2\dfrac{a}{\sqrt3}=\sqrt3\dfrac{Gm^2}{a^2}$ 得
$$ T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{3Gm}} $$
直线构型辨析：三星等间距 $a$ 共线时，中间星受两侧引力大小相等方向相反、合力为零，而它绕质心（自身位置）转动无须向心力——这并不矛盾；两侧星受"中间星+另一侧星"的引力，$F=\dfrac{Gm^2}{a^2}+\dfrac{Gm^2}{4a^2}=\dfrac{5Gm^2}{4a^2}$，故 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{4a^3}{5Gm}}$。三星问题务必逐星做受力分析：向心力是其余各星引力的矢量和，不是某一个。
例题
例 1：椭圆轨道的近远地点速度与周期
题目：某彗星绕太阳沿椭圆轨道运动，近日点距太阳 $r_p=7.0\times10^{10}\ \text{m}$，远日点 $r_a=2.1\times10^{11}\ \text{m}$。已知 $GM_{\odot}=1.33\times10^{20}\ \text{m}^3/\text{s}^2$，求：(1) 近日点与远日点的速率；(2) 轨道周期；(3) 轨道机械能与其在近日点引力势能之比。
分析：在拱点速度垂直矢径，角动量守恒 $v_pr_p=v_ar_a$与机械能守恒（等价于$E=-\dfrac{GMm}{2a}$）联立；周期用第三定律 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{a^3}{GM}}$。
解答：半长轴 $a=\dfrac{r_p+r_a}{2}=1.4\times10^{11}\ \text{m}$，离心率 $e=\dfrac{r_a-r_p}{r_a+r_p}=0.5$。
(1) 由 $v_p=\sqrt{\dfrac{GM}{a}\cdot\dfrac{1+e}{1-e}}$：
$$ v_p=\sqrt{\frac{1.33\times10^{20}}{1.4\times10^{11}}\times3}=\sqrt{2.85\times10^{9}}\approx5.3\times10^4\ \text{m/s}\thinspace,\qquad v_a=v_p\frac{r_p}{r_a}\approx1.8\times10^4\ \text{m/s} $$
(2) 周期
$$ T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}}=2\pi\sqrt{\frac{(1.4\times10^{11})^3}{1.33\times10^{20}}}\approx2.9\times10^7\ \text{s}\approx330\ \text{天} $$
(3) $E=-\dfrac{GMm}{2a}$，$U_p=-\dfrac{GMm}{r_p}$，故 $\dfrac{E}{U_p}=\dfrac{r_p}{2a}=\dfrac{7.0\times10^{10}}{2.8\times10^{11}}=0.25$。
点评：本题三个数字与哈雷彗星的量级吻合。核心套路是"角动量给比例、能量给数值"——两个守恒量联立是椭圆轨道一切速度类问题的通法，不必背公式，随时可现场推出。
例 2：双星系统的周期与质量比
题目：双星系统相距 $L=1.0\times10^{11}\ \text{m}$，总质量 $M_1+M_2=3.0\times10^{30}\ \text{kg}$，其中 $M_1=2M_2$。(1) 求公转周期；(2) 求两星轨道半径之比与线速度之比；(3) 若观测到周期 $T$ 与两星间距，如何反推总质量？
分析：双星绕共同质心转动，周期 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{L^3}{G(M_1+M_2)}}$与质量分配无关；轨道半径由质心条件$r_1:r_2=M_2:M_1$ 决定；两星角速度相同，线速度与半径成正比。
解答：$G=6.67\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$。
(1) $$ T=2\pi\sqrt{\frac{L^3}{G(M_1+M_2)}}=2\pi\sqrt{\frac{(1.0\times10^{11})^3}{6.67\times10^{-11}\times3.0\times10^{30}}}=2\pi\sqrt{5.0\times10^9}\approx1.4\times10^6\ \text{s}\approx16.5\ \text{天} $$
(2) 质心条件 $M_1r_1=M_2r_2$得$r_1:r_2=M_2:M_1=1:2$；线速度 $v=\omega r$ 同角速度，$v_1:v_2=1:2$。
(3) 由周期公式反解 $M_1+M_2=\dfrac{4\pi^2L^3}{GT^2}$，再由轨道半径比 $\dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac{M_2}{M_1}$ 分离出各自质量。
点评：双星是"两体问题"的最简模型。三个"反直觉"要点：周期与质量分配无关、质量大的星轨道小、两星始终在彼此连线上反向旋转。注意若题目给的是各自轨道半径而非间距，须先求 $L=r_1+r_2$ 再代周期公式。
例 3：卫星变轨——霍曼转移的时间与速度变化
题目：卫星在近地圆轨道 $r_1=6.7\times10^6\ \text{m}$，欲经霍曼转移进入同步圆轨道 $r_2=4.2\times10^7\ \text{m}$，$GM=3.99\times10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2$。(1) 求转移时间；(2) 求两次点火的速度增量及总增量；(3) 若在转移轨道远地点未点火，卫星将怎样运动？
分析：转移椭圆半长轴 $a=\dfrac{r_1+r_2}{2}$，时间为其周期之半；速度增量 = 椭圆速度 − 原圆轨道速度，用 $v^2=GM\left(\dfrac2r-\dfrac1a\right)$。
解答：(1) $a=\dfrac{6.7\times10^6+4.2\times10^7}{2}=2.435\times10^7\ \text{m}$，
$$ t=\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}}=\pi\sqrt{\frac{(2.435\times10^7)^3}{3.99\times10^{14}}}\approx1.9\times10^4\ \text{s}\approx5.3\ \text{小时} $$
(2) 近地点（点火 1）：
$$ \Delta v_1=\sqrt{\frac{GM}{r_1}}\negthinspace\left(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1+r_2}}-1\right)=\sqrt{5.96\times10^7}\left(\sqrt{1.73}-1\right)\approx2.4\ \text{km/s} $$
远地点（点火 2）：
$$ \Delta v_2=\sqrt{\frac{GM}{r_2}}\left(1-\sqrt{\frac{2r_1}{r_1+r_2}}\right)=\sqrt{9.5\times10^6}\left(1-\sqrt{0.27}\right)\approx1.5\ \text{km/s} $$
总增量 $\Delta v=\Delta v_1+\Delta v_2\approx3.9\ \text{km/s}$。
(3) 未点火则卫星停留在转移椭圆轨道上周期绕行——它在远地点与同步轨道"相交但速度不足"，无法进入同步圆轨道，必须二次加速。若二次点火但加速不足，卫星进入 $E<0$且$a<r_2$ 的椭圆，仍被地球束缚。
点评：霍曼转移是变轨问题的标准模板。两个易混点：一是"椭圆上速度 $v^2=GM(2/r-1/a)$"与"圆轨道 $v^2=GM/r$"的区别，前者随 $r$变化、后者恒定；二是两次点火都使速度增大，但$\Delta v_2$比$\Delta v_1$ 小，因为远地点圆轨道速度本就更低。转移时间只取决于两圆轨道半径，与卫星质量无关。
易错提醒
易错点
- $r$的混淆：万有引力公式中的$r$是两质点（质心）间距离。卫星距地表高$h$时$r=R+h$，加速度 $a=\dfrac{g_0R^2}{(R+h)^2}$，不能用地面 $g_0$直接算。区分"地表$R$""轨道半径 $r$""轨道高度 $h$"三个量，是本题型第一大坑。
- 引力势能负号：$U=-\dfrac{GMm}{r}$恒为负且随$r$增大而增大。若错写成正号，则$F=-dU/dr>0$变成斥力，全盘皆错。写能量守恒时$\dfrac12mv^2-\dfrac{GMm}{r}=E$，负号不能丢。
- 第三定律的使用前提：$\dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM}$中的$M$是中心天体质量；两体问题须用$M_1+M_2$。不同中心天体的 $\dfrac{T^2}{a^3}$ 值不同，不能相互比较大小。
- $E=-\dfrac{GMm}{2a}$的适用范围：仅对==束缚轨道（圆/椭圆）==成立。抛物线$E=0$、双曲线 $E>0$，不能套用；且式中的 $a$是半长轴，对圆轨道才是半径$r$。
- 角动量守恒的条件：万有引力是有心力，故角动量守恒；但变轨瞬间发动机点火、或有非径向冲量时角动量不守恒，必须先分析是否满足守恒条件再选择守恒量。
- $v_pr_p=v_ar_a$的适用点：仅在近地点、远地点（速度垂直矢径）成立。轨道其他位置须用一般式$L=mr^2\dot\theta=mv_\theta r$。
- 同步卫星三条件缺一不可：周期 $24\ \text{h}$、赤道正上方、唯一高度 $\approx3.6\times10^4\ \text{km}$。周期为 $24\ \text{h}$ 但不在赤道上方的卫星相对地面仍会南北漂移，不是同步卫星。
- 三星系统受力：每颗星的向心力是其余各星引力之矢量和，不是只取一颗；直线构型中中间星合力为零、无须向心力，别误以为它"掉下来"。
- 第一宇宙速度 vs 逃逸速度：$v_1=\sqrt{gR}\approx7.9$ 是"紧贴地表环绕"而非"发射到轨道"（实际发射还要克服空气阻力等）；$v_2=\sqrt2\thinspace{}v_1\approx11.2$ 是"恰好逃逸到无穷远速度为零"。
概念辨析
圆轨道 vs 椭圆轨道
| 比较项 | 圆轨道 | 椭圆轨道 |
|---|---|---|
| 半长轴 | $a=r$ | $a=\dfrac{r_p+r_a}{2}$ |
| 速率 | 恒定 $v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ | 处处变化$v^2=GM\left(\dfrac2r-\dfrac1a\right)$ |
| 机械能 | $-\dfrac{GMm}{2r}$ | $-\dfrac{GMm}{2a}$ |
| 角速度 | 恒定 | 近快远慢（面积速度恒定） |
引力势能 vs 重力势能
| 比较项 | 引力势能 $U$ | 重力势能$E_p$ |
|---|---|---|
| 表达式 | $-\dfrac{GMm}{r}$ | $mgh$ |
| 零点 | 无穷远处 | 地面（或任意参考面） |
| 适用范围 | 大范围、$g$随$r$ 变化 | 地面附近、$g$ 视为常数 |
| 关系 | 当 $h\ll R$ 时，$U(R+h)-U(R)\approx\dfrac{GMm}{R^2}h=mgh$ | 是$U$ 的局部近似 |
三大宇宙速度
| 数值 | 意义 | 关系 | |
|---|---|---|---|
| 第一宇宙速度 $v_1$ | $7.9\ \text{km/s}$ | 紧贴地面环绕 | $=\sqrt{gR}$ |
| 第二宇宙速度 $v_2$ | $11.2\ \text{km/s}$ | 逃逸地球 | $=\sqrt2\thinspace{}v_1$ |
| 第三宇宙速度 $v_3$ | $16.7\ \text{km/s}$ | 逃逸太阳系（从地面出发） | 计入地球公转"借力" |
与其他知识关联
- 与 04-功与机械能：引力势能的积分推导、$F=-\dfrac{dU}{dr}$ 的一致性、机械能守恒在轨道问题中的应用，全部属于功能方法在天体问题中的移植。
- 与 05-动量与角动量：开普勒第二定律 ⟺ 角动量守恒；双星系统绕共同质心运动是质心系（两体问题）的经典实例；变轨问题要先判断角动量是否守恒。
- 与 01-微积分基础：壳层定理的球壳积分、引力势能的变力做功积分、有效势能曲线的极值分析（求导令零）。
- 与 02-微分方程初步：比耐公式 $u''+u=GMm^2/L^2$是二阶常系数微分方程，通解直接给出圆锥曲线轨道；穿地隧道的$\ddot r+\omega^2r=0$ 衔接 08-机械振动。
- 与 06-刚体动力学：轨道角动量 $\vec L=\vec r\times m\vec v$ 与刚体角动量同源；天体自转与轨道角动量的耦合（进动）在刚体笔记中继续。
- 与高中物理衔接：高中力学总览 中的万有引力、卫星圆轨道、第一宇宙速度是本笔记的起点——竞赛的增量在于"椭圆轨道、能量判据、多星系统"。
- 与大学层面衔接：万有引力定律（矢量形式与场的严格化）、壳层定理 与 球壳与质点间引力的推导（积分严格证明）、理论力学（二体问题约化为单体、比耐公式、轨道摄动）。
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作者的话
个人理解
万有引力一章是竞赛力学里"守恒律视角"的巅峰展示：牛顿第二定律能写出方程，但真正把轨道形状、速度分布、逃逸与否一口气回答出来的，是角动量与机械能这两个守恒量。我建议把整章压缩成三句话记忆：有心力 → 角动量守恒；保守力 → 机械能守恒；两个守恒量 $\to$轨道类型唯一确定。圆轨道只是"恰好满足$L^2=GMm^2r$"的特例，椭圆才是常态，而 $E=-\dfrac{GMm}{2a}$ 是连接几何量（半长轴）与物理量（能量）的桥梁。
另一条暗线是"等效降维"：双星绕质心、三星共面旋转、穿地隧道简谐运动、有效势能曲线——本质都是把复杂的多体/二维问题约化为更简单的等效单自由度问题。竞赛中天体题往往"题面吓人、守恒秒解"，越是星多、轨道杂，越要先找守恒量、先找质心、先画有效势能曲线。
最后提醒：第三宇宙速度的 $16.7\ \text{km/s}$ 是"从地球表面发射"的结论，涉及参考系的两次转换（相对地球 → 相对太阳）与两次引力势的叠加，值得自己推一遍——参考系意识与能量叠加，是这道题真正的考点。
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