竞赛力学总览

概览

力学是物理竞赛（CPhO）中分值占比最高、思想方法最核心的版块。竞赛力学在高中力学的基础上大幅深化：数学上引入微积分与矢量运算（见 01-微积分基础、03-矢量运算），把"恒力、匀变速"推广到"变力、一般曲线运动"；物理上突破高中框架，新增非惯性系与惯性力、质心系、刚体转动、轨道力学、微元法（变质量）等工具。本模块共 10 篇笔记，按"描述运动 → 力与运动 → 平衡 → 能量 → 动量 → 刚体 → 天体 → 振动 → 波 → 流体"的脉络展开，全部建立在 01-预备知识 的数学工具之上，并与 高中力学总览 衔接、为 理论力学、拉格朗日方程 等大学内容铺垫。本文件（MOC）作为力学版块总入口。

力学知识脉络图

graph TD
    ROOT[竞赛力学] --> A[01-运动学]
    ROOT --> B[02-牛顿定律与非惯性系]
    ROOT --> C[03-静力学与刚体平衡]
    ROOT --> D[04-功与机械能]
    ROOT --> E[05-动量与角动量]
    ROOT --> F[06-刚体动力学]
    ROOT --> G[07-万有引力与天体运动]
    ROOT --> H[08-机械振动]
    ROOT --> I[09-流体力学基础]
    ROOT --> J[10-机械波与多普勒效应]

    A --> B
    B --> C
    B --> D
    B --> E
    D --> F
    E --> F
    B --> G
    D --> G
    E --> H
    F --> H
    C --> I

    class A internal-link;
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    class C internal-link;
    class D internal-link;
    class E internal-link;
    class F internal-link;
    class G internal-link;
    class H internal-link;
    class I internal-link;
    class J internal-link;

一、运动学与动力学（基础版块）

笔记	简介	核心内容
01-运动学	用微积分描述运动，推广到一般曲线运动	参考系与坐标描述、直线运动与图像、抛体运动、圆周运动、自然坐标系与曲率半径、相对运动与伽利略变换、追及相遇与极值问题
02-牛顿运动定律与非惯性系	力与运动的因果律，突破惯性系	牛顿三定律、受力分析与动力学问题、非惯性系与惯性力（平动/转动/科里奥利力）、微元法处理变质量、阿特伍德机与约化质量、临界问题
03-静力学与刚体平衡	平衡条件与竞赛求解技巧	力与力矩、共点力平衡、一般平衡条件、摩擦与摩擦角自锁、三力汇交与拉密定理、虚功原理、稳定性分析、悬链线与桁架简介

二、守恒律与刚体（核心工具）

笔记	简介	核心内容
04-功与机械能	能量的观点：变力做功与机械能守恒	功与功率的微积分定义、动能定理、保守力与势能、机械能守恒、功能原理与非保守力、链条与变质量系统、能量法解运动学问题
05-动量与角动量	动量的观点：碰撞与质心运动	冲量与动量定理（流体冲击力）、动量守恒、碰撞与恢复系数、质心运动定理与质心系、两体问题、火箭与反冲、角动量定理与角动量守恒
06-刚体动力学	刚体的定轴转动与平面运动	转动惯量（定义/平行轴/垂直轴定理）、转动定律 $\tau=I\alpha$、转动动能、纯滚动、角动量守恒、刚体碰撞、复摆、进动简介

三、专题版块（综合应用）

笔记	简介	核心内容
07-万有引力与天体运动	万有引力下的轨道运动	万有引力定律与引力场、开普勒三定律、圆轨道与椭圆轨道、轨道能量与机械能、三大宇宙速度、卫星与同步轨道、双星与多星系统、引力势能、束缚与逃逸
08-机械振动	最基础的周期运动及其推广	简谐运动的动力学方程、旋转矢量法、能量、等效摆（单摆/复摆/水银柱振动）、阻尼振动、受迫振动与共振、振动叠加与拍
10-机械波与多普勒效应	波动的传播、叠加与多普勒效应	波动方程与波形图/振动图、波的能量、惠更斯原理、波的干涉、驻波与简正模式、弦振动、多普勒效应公式与马赫锥
09-流体力学基础	静止与运动流体的基本规律	流体静力学（压强/帕斯卡/阿基米德）、连续性方程、伯努利方程及其竞赛应用（托里拆利/虹吸/文丘里管/水龙带反冲）、黏滞流体与斯托克斯定律简介

学习路径

推荐路径

主线顺序：01 → 02 → 04/05（守恒律）→ 06 → 07 → 08 → 10，03 与 09 可穿插。

• 初赛速成：01、02、04、05 四篇是初赛绝对主力（约 70% 分值），务必吃透；
• 复赛进阶：06 刚体、07 天体、03 静力学难题、08 受迫振动、10 多普勒效应是复赛分水岭；
• 方法串联：先学 01-微积分基础 与 03-矢量运算 再开始本模块；学完 05 后建议回顾 碰撞详解，并对照 05-动量与角动量 中的质心运动定理与质心系；08 振动是 10 波的直接前置；
• 对照学习：与 高中力学总览 逐节对照——高中公式是竞赛公式的特例（如匀变速公式是 $a=$常数时$a=\dfrac{dv}{dt}$ 的积分结果）。

与其他知识关联

与预备知识衔接

• 01-微积分基础：运动学的 $v=\dfrac{ds}{dt}$、功 $W=\int F\thinspace{}dx$、转动惯量 $I=\int r^2\thinspace{}dm$ 全部依赖微积分
• 02-微分方程初步：简谐运动 $\ddot{x}+\omega^2 x=0$、阻尼振动、火箭方程都归结为解微分方程
• 03-矢量运算：速度合成、角动量 $\vec L=\vec r\times m\vec v$、力矩 $\vec\tau=\vec r\times\vec F$ 需要叉积
• 06-量纲分析：天体运动周期、流体问题常用量纲分析先行

与高中物理衔接

• 高中力学总览 的 01-03 子模块是竞赛力学全部内容的高中基础
• 00-物理竞赛总览 为本模块的上级目录

与大学层面衔接

• 理论力学：本模块的非惯性系、刚体、拉格朗日思想是理论力学的入门
• 拉格朗日方程：虚功原理与最小作用量思想的进阶
• 机械振动、机械波：振动向波动的推广
• 万有引力定律、壳层定理、球壳与质点间引力的推导：天体部分的微积分严格化
• 流体力学：伯努利方程的完整推导与黏性流体

常用公式速查

运动学

$$ v=\frac{ds}{dt},\quad a=\frac{dv}{dt},\quad a_n=\frac{v^2}{R},\quad a_t=\frac{dv}{dt} $$

动力学

$$ \vec F=m\vec a,\quad \vec F+\vec F_{\text{惯性}}=m\vec a'\ \text{(非惯性系)},\quad \tau=I\alpha $$

守恒律

$$ W=\int F\thinspace{}dx,\quad I=\int F\thinspace{}dt=\Delta p,\quad \Delta E_k=W_{\text{合}},\quad \Delta E = W_{\text{非保守}} $$

$$ I=\int r^2\thinspace{}dm,\quad \vec L=\vec r\times m\vec v,\quad \vec\tau=\frac{d\vec L}{dt} $$

天体与振动

$$ T^2\propto a^3,\quad v=\sqrt{\frac{GM}{r}},\quad E=-\frac{GMm}{2a} $$

$$ x=A\cos(\omega t+\varphi),\quad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}},\quad T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} $$

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作者寄语

竞赛力学与高中力学最大的区别在于观点的升维：高中解题靠"公式套用"，竞赛解题靠"方法选择"。同样一道题，用牛顿第二定律、动能定理、动量定理、能量守恒、质心系、刚体转动定律可以走出至少五条路——竞赛高手的选择标准是"哪条路最省力"。

建议把本模块的 9 篇笔记当作工具箱而非教材：先通读一遍建立全景，再在刷题时按"运动学 → 守恒律 → 刚体"的层次逐步调用工具。遇到难题先问三个问题：能用能量吗？能用动量吗？换参考系（质心系/非惯性系）会变简单吗？——这比硬算快得多。

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