狭义相对论 (2) —— 守恒量 - 知乎 狭义相对论中的作用量由于自由粒子总是沿着固有时最长的路径运动，等价于自由粒子总是沿着世界线最长的路径运动。

所以作用元应为时空线元$ds$ ，就此我们可以写下

$\color{orange}S=-\color{red}k\int_{s_0}^{s_1}\sqrt{-d\color{blue}s^2}$

由于$ds^2<0$ ，故在取其平方根时，需在其前面加个负号。 其中$k$ 为某个表征粒子特征的常数，且它始终为正。 而$k$ 前面的负号，皆为表明自由粒子运动的路径是使得世界线最小的路径。我们知道作用量的单位是$J\cdot s$ ，因此$k$ 的单位必须是$kg\cdot m/s$ 。

故$k$ 的其中一个因子为粒子的质量$m$ ，则剩下的速度常数只能是光速$c$ 了，所以$k=mc$ 。

于是狭义相对论自由粒子的作用量为

$\color{orange}S=-\color{red}{mc}\int_{s_0}^{s_1}\sqrt{-d\color{blue}s^2}$ 代入线元表达式

$\begin{aligned} S=&\ -mc\int_{s_0}^{s_1}\sqrt{-ds^2}\newline\newline=&\ -mc\int_L\sqrt{c^2dt^2-dx_\alpha dx^\alpha}\newline\newline=&\ -mc^2\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{1-\frac1{c^2}\frac{dx_\alpha}{dt}\frac{dx^\alpha}{dt}}\ dt\newline\newline=&\ -mc^2\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{1-\frac{v_\alpha v^\alpha}{c^2}}\ dt \end{aligned}$ 若只考虑一维空间，则

$\color{orange}S=-\color{red}{mc^2}\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{1-\frac{\color{blue}{v^2}}{\color{red}{c^2}}}\ d\color{purple}t$

其中右侧积分项即为固有时。根据牛顿广义二项式定理可知

$(1+\epsilon)^a= \sum_{n=0}^\infty\binom{a}{n}\epsilon^n= 1+a\epsilon+\frac{a(a+1)}{2!}\epsilon^2+o(\epsilon^3)$

其中$\binom{a}{n}=\frac{(a)_n}{n!}$ 为二项式系数所以$(1+\epsilon)^a$ 与$1+a\epsilon$ 等价无穷小，记作

$(1+\epsilon)^a\sim1+a\epsilon$

广义二项式的级数渐进当$v\ll c$ 或$\frac{v}{c}\to0$ 时

$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\sim1-\frac{v^2}{2c^2}$ 此时作用量为

$S\sim\int_{t_0}^{t_1}\Big(\underbrace{-mc^2+\frac12mv^2}_{L}\Big)\ dt$ 由于拉格朗日量中的常数不会影响运动方程，故可舍去，就此得到作用量

$S\sim\int_{t_0}^{t_1}\underbrace{\frac12mv^2}_{T}\ dt$即 $L=\frac12mv^2=T$ 符合经典力学中自由粒子的拉格朗日量。

亦佐证了我们之前对$k=mc$ 的猜测是正确的。

在低速情况下，自由粒子近似遵循经典运动方程。

动量我们有闵可夫斯基度规下的作用量

$S=-mc^2\int_{t_0}^{t_1}dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

确实美观。通过空间对称性与运动方程可知

$\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot x}=0$ 与经典体系一样，我们将

$p\equiv \frac{\partial L}{\partial\dot x}= -mc^2\frac{\partial}{\partial\dot x}\sqrt{1-\frac{\dot x^2}{c^2}}= m\dot x\gamma$ 定义为相对论动量，也就是

$\boxed{\color{red}{p=mv\gamma}}$

其中$\gamma=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$ 为洛伦兹因子。

广义动量与经典动量动能众所周知，物质的动能等于作用力对其作的功

$\begin{aligned} T=&\ \int Fdx= \int\frac{dp}{dt}dx= \int\frac{dx}{dt}d(mv\gamma)\newline\newline=&\ m\int vd(v\gamma)\newline\newline=&\ mv^2\gamma-m\int_0^v v\gamma dv\newline\newline=&\ mv^2\gamma+ \frac1\gamma mc^2-mc^2\newline\newline=&\ mc^2\gamma-mc^2\newline\newline=&\ mc^2(\gamma-1) \end{aligned}$

我们将$\boxed{\color{red}{T=mc^2(\gamma-1)}}$ 称为相对论动能，该动能为粒子运动时的总能量与静止时的总能量之差。

相对论动能(T_r)与经典动能(T_c)由于$\gamma>1$ ，故粒子运动时的总能量$mc^2\gamma$ 总是大于其静止时的总能量$mc^2$ 。

现在将$T$ 展开为$\frac vc$ 的幂级数

$T=mc^2(\gamma-1)\sim \frac12mv^2,\ \mathrm{for}\ v\ll c$我们看到，当$v\ll c$ 时，相对论动能回到了经典动能的形式。

相对论动能到经典动能的渐进行为

相对论动能到经典动能的渐进行为这将给予我们何种启示？

这至少让爱因斯坦由此参悟到了大名鼎鼎的质能方程

$\color{red}E=\color{darkblue}m\color{orange}{c^2}$爱因斯坦在发表于1905年的一篇论文中指出：如果粒子的能量变化$dL$ ，则其质量就会变为$\displaystyle{dm=\frac{dL}{c^2}}$ 。

爱因斯坦最初的质能方程是以微分形式给出的，这里$L$ 代表能量。自那以后，大量实验证据证实，爱因斯坦的见解是正确的。

当静止状态的质子分解成两个光子时，光子的质量为零，但观察到的总能量与介子的总能量相对应。 当质量粒子分解成两个或更多总质量较小的粒子时，观测到的赋予衰变产物的动能与质量的减少相对应。因此，$mc^2\gamma$ 是粒子的总相对论能量，$mc^2$ 是其静止能量。

$E=mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},\ E_0=mc^2$

若将$m\gamma$ 视为粒子运动时的质量，那么就可以认为：能量与质量是等价的。

$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

这是多么非凡的洞见，虽然在他刚提出来时，不受大部分物理学家待见。

最关键的原因在于，两者相差的常数是如此巨大，以至于在一般实验中皆无法察觉。 直到核反应的应用，人们才逐步认同了爱因斯坦的这个非凡洞见。这几乎纯粹源于数学的暗示，可以想象，若没有数学，人类是否真能悟出如此深邃优雅之道呢？

以上讨论的目标皆为静质量大于零的自由粒子，现在讨论静质量为零的自由粒子 (如光子和中微子)。

我们不难发现动能与动量存在以下关系

$E_k^2= (pc)^2+E_0^2\Rightarrow \frac{\color{orange}{E_k}}{\color{red}c}= \sqrt{\color{purple}{p^2}+\color{darkblue}{m^2}\color{red}{c^2}}$

动能与动量的关系当$m=0$ 时，粒子的动能或能量为

$E=E_k=pc$ 而光子的动量由下式给出

$\color{red}{p=\frac{h}{\lambda}}$

$h$ 为普朗克常数，$\lambda$ 为光的波长就此得到光子的能量

$E=\frac{hc}{\lambda}$

另一方面，对于$\forall m>0$ ，当$m_0\to0$ 时，有

$m_0= m\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}= 0$ 这必须保证

$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=0\Rightarrow\color{red}{v=c}$

换言之，静质量为零的粒子必须以光速运行。

当粒子静质量为零时 粒子速度等于光速现在你便不会对光子的质量与速度感到好奇了。

而你一定会好奇：一克质量的物质具有多少能量呢？

$E_0=mc^2=(10^{-3})\ kg\times(3\times10^8\ m/s)^2=9\times10^{13}\ J$

一克质量的物质具有九兆焦耳的能量，这大约是广岛原子弹释放能量的两倍，或大型航空母舰动能的一万倍。

能量现在通过另一个角度来得到相对论能量。

我们知道哈密顿量可以指代系统的能量，事实上，根据拉格朗日量对时间的全导数

$\frac{dL}{dt}= \color{green}{\frac{\partial L}{\partial t}}+ \frac{\partial L}{\partial x}\dot x+ \frac{\partial L}{\partial \dot x}\ddot x$ 若$L$ 不显含时间，则

$\frac{dL}{dt}= \frac{\partial L}{\partial x}\dot x+ \frac{\partial L}{\partial \dot x}\ddot x$ 其中$p=\frac{\partial L}{\partial \dot x}$ 代表广义动量，$F=\dot p=\frac{\partial L}{\partial x}$ 代表广义力，于是可将上式改写为

$\frac{dL}{dt}= \dot p\dot x+ p\ddot x= \frac{d}{dt}(p\dot x)$ 也就是$\displaystyle{\frac{d}{dt}(p\dot x-L)=0}$ ，就此哈密顿量得到了定义

$\boxed{\color{red}{\mathscr H\equiv p\dot x-L}}$

哈密顿量是在时间对称性下得出的，因此它能表征系统的能量

$E=\mathscr H=mv^2\gamma+mc^2\frac1\gamma=mc^2\gamma$

我们将

$\boxed{\color{red}{E=mc^2\gamma}}$定义为相对论能量。

现在将其展开为$\frac vc$ 的麦克劳林级数

$E= mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}= mc^2-\frac12mv^2+o\Big(\frac{v^4}{c^2}\Big)$ 显然，自由运动粒子所具有的能量，等于其静止能量与动能之差。

电子的动能已知电子的速度为$v=0.990c$ ，质量为$m=9.11\times10^{-31}\ kg$ ，光速为$c=3\times10^8\ m/s$ 。

洛伦兹因子

$\gamma=\frac1{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}= \frac1{\sqrt{1-0.990^2}}= 7.0888$ 电子的相对论动能

$\begin{aligned} T_r=&\ mc^2(\gamma-1)\newline\newline=&\ (9.11\times10^{-31}\ kg) (3\times10^8\ m/s)^2 (7.0888-1)\newline\newline=&\ 4.9922\times10^{-13}\ J\newline\newline=&\ (4.9922\times10^{-13}\ J)\Big(\frac{1\ MeV}{1.60\times10^{-13}\ J}\Big)\newline\newline=&\ 3.12\ MeV \end{aligned}$ 电子的经典动能

$\begin{aligned} T_c=&\ \frac12mv^2\newline\newline=&\ \frac12\ (9.11\times10^{-31}\ kg) (0.990\times3\times10^8\ m/s)^2 \newline\newline=&\ 4.0179\times10^{-14}\ J\newline\newline=&\ (4.0179\times10^{-14}\ J)\Big(\frac{1\ MeV}{1.60\times10^{-13}\ J}\Big)\newline\newline=&\ 0.251\ MeV \end{aligned}$ 可见电子的相对论动能是经典动能的$\frac{T_r}{T_c}=12.4$ 倍。

测地线方程测地线 (Geodesic) ：通过沿着物体自身运动方向 平移速度矢量所形成的轨迹。

通俗地说，测地线就是在我们时空中最短、最直的那条线。

我们列出作用量

$L=-mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

狭义相对论描述的是平直时空中自由粒子的行为。 通过作用量只显含$\dot x$ 项的事实可知，极值曲线必定为直线

$x(t)=at+b$ 此即狭义相对论中的测地线

所有物体皆倾向于沿着世界线运动。 自由粒子没理由有任何的偏离，它的轨迹理应为对称的直线。狭义相对论中的测地线