热学综合例题集

本例题集汇总高中物理热学四大版块的典型与综合题，作为 00-热学总览 的配套练习资源。题目按版块组织，题号、难度标识与解答规范见末尾说明。全册共 20 道题，覆盖分子动理论、气体、热力学定律、物态变化四大版块，难度从 ★ 基础到 ★★★ 综合递进，贴近高考命题风格。

一、分子动理论

FZ-01 ★：分子大小估算（油膜法）

题目： 将 $1\thinspace\text{mL}$油酸溶于酒精，配制成$500\thinspace\text{mL}$的油酸酒精溶液。用注射器吸取该溶液，测得$100$滴溶液体积为$1\thinspace\text{mL}$。将一滴该溶液滴入撒有痱子粉的浅水盘上，待油膜形状稳定后，测得油膜面积为 $200\thinspace\text{cm}^2$。假设油酸分子为球形且紧密排列，油膜厚度即为油酸分子直径。求： （1）一滴油酸酒精溶液中含有的纯油酸体积； （2）油酸分子的直径数量级。

分析： 油膜法估算分子大小的核心思想是：$V = S \cdot d$，其中 $V$ 是纯油酸体积，$S$ 是油膜面积，$d$ 是分子直径（即油膜厚度）。需要先通过溶液浓度、滴数换算出一滴溶液中纯油酸的体积，再结合单分子层假设求分子直径。

解答： （1）油酸酒精溶液浓度为 $\eta = \dfrac{1}{500}$。 一滴溶液体积： $$V_0 = \frac{1}{100}\thinspace\text{mL} = 1.0\times 10^{-2}\thinspace\text{mL} = 1.0\times 10^{-8}\thinspace\text{m}^3$$

一滴溶液中纯油酸体积： $$V = \eta V_0 = \frac{1}{500}\times 1.0\times 10^{-8}\thinspace\text{m}^3 = 2.0\times 10^{-11}\thinspace\text{m}^3$$

（2）由 $V = S \cdot d$： $$d = \frac{V}{S} = \frac{2.0\times 10^{-11}}{200\times 10^{-4}}\thinspace\text{m} = 1.0\times 10^{-9}\thinspace\text{m}$$

分子直径数量级为 $10^{-9}\sim 10^{-10}\thinspace\text{m}$，结果合理。

点评： 油膜法是高中物理估算分子大小的经典方法，属于 01-分子的大小与阿伏伽德罗常数 的核心实验。关键在于：① 溶液浓度的换算；② 面积单位 $\text{cm}^2 \to \text{m}^2$；③ 理解"单分子层"假设。易错点是把一滴溶液体积与纯油酸体积混淆，导致结果差几个数量级。

FZ-02 ★★：阿伏伽德罗常数与摩尔质量计算

题目： 已知水的摩尔质量 $M = 1.8\times 10^{-2}\thinspace\text{kg/mol}$，水的密度 $\rho = 1.0\times 10^3\thinspace\text{kg/m}^3$，阿伏伽德罗常数 $N_A = 6.0\times 10^{23}\thinspace\text{mol}^{-1}$。视水分子为球形且紧密排列。求： （1）一个水分子的质量 $m_0$； （2）一个水分子的体积 $V_0$； （3）水分子的直径 $d$（结果保留一位有效数字）。

分析： 阿伏伽德罗常数是连接宏观量（摩尔质量、摩尔体积）与微观量（分子质量、分子体积）的桥梁：

• $m_0 = \dfrac{M}{N_A}$；
• $V_0 = \dfrac{V_m}{N_A} = \dfrac{M}{\rho N_A}$；
• 由球体体积公式 $V_0 = \dfrac{1}{6}\pi d^3$ 反推直径。

解答： （1）一个水分子质量： $$m_0 = \frac{M}{N_A} = \frac{1.8\times 10^{-2}}{6.0\times 10^{23}}\thinspace\text{kg} = 3.0\times 10^{-26}\thinspace\text{kg}$$

（2）水的摩尔体积： $$V_m = \frac{M}{\rho} = \frac{1.8\times 10^{-2}}{1.0\times 10^3}\thinspace\text{m}^3/\text{mol} = 1.8\times 10^{-5}\thinspace\text{m}^3/\text{mol}$$

一个水分子体积： $$V_0 = \frac{V_m}{N_A} = \frac{1.8\times 10^{-5}}{6.0\times 10^{23}}\thinspace\text{m}^3 = 3.0\times 10^{-29}\thinspace\text{m}^3$$

（3）由 $V_0 = \dfrac{1}{6}\pi d^3$： $$d = \sqrt[3]{\frac{6V_0}{\pi}} = \sqrt[3]{\frac{6\times 3.0\times 10^{-29}}{3.14}}\thinspace\text{m} \approx 4\times 10^{-10}\thinspace\text{m}$$

分子直径数量级为 $10^{-10}\thinspace\text{m}$，与油膜法结果一致。

点评： 阿伏伽德罗常数的换算是 01-分子的大小与阿伏伽德罗常数 的基础题型。核心公式：$m_0 = M/N_A$，$V_0 = M/(\rho N_A)$，$n = m/M \cdot N_A$。易错点是混淆"分子体积"与"分子所占空间体积"——紧密排列假设下两者相等，疏松排列（如气体）则需考虑分子间距远大于分子本身大小。

FZ-03 ★★：布朗运动图像识别

题目： 关于布朗运动，下列说法正确的是： A. 布朗运动是液体分子的无规则运动 B. 悬浮颗粒越小，布朗运动越剧烈 C. 温度越高，布朗运动越剧烈 D. 布朗运动图像反映了分子热运动的轨迹 E. 布朗运动永不停息，且温度越高颗粒的运动动能越大

分析： 布朗运动是悬浮在液体（或气体）中的固体颗粒的无规则运动，不是分子本身的运动，而是分子热运动的间接反映。其特点：① 颗粒越小，碰撞不平衡越显著，运动越剧烈；② 温度越高，分子热运动越剧烈，对颗粒撞击越激烈，布朗运动越剧烈；③ 永不停息。

解答：

• A 错：布朗运动是颗粒的运动，不是分子运动。
• B 对：颗粒越小，受分子撞击的不平衡性越显著。
• C 对：温度越高，分子热运动越剧烈，对颗粒撞击越激烈。
• D 错：布朗运动图像是颗粒每隔一段时间的位置记录连线，不是颗粒的真实轨迹，更不是分子运动轨迹。
• E 错：颗粒动能与温度关系复杂，"温度越高动能越大"对所有布朗颗粒成立的表述不严谨。

正确答案：B、C。

点评： 布朗运动是 02-分子热运动与布朗运动 的核心概念，高考常以多选题考查。易错点：① 把布朗运动等同于分子热运动；② 误解"布朗运动图像"是真实轨迹；③ 混淆"颗粒运动剧烈程度"的影响因素（颗粒大小、温度）。注意：分子热运动与布朗运动是因果关系——分子热运动是因，布朗运动是果。

FZ-04 ★★★：分子力与分子势能曲线综合分析

题目： 设两分子间分子力 $F$随分子间距$r$ 变化满足典型曲线：$r = r_0$时$F = 0$；$r < r_0$ 时表现为斥力；$r > r_0$时表现为引力，引力大小随$r$增大先增大后减小趋于零。分子势能$E_p$随$r$ 变化满足：$r = r_0$时$E_p$最小为$-E_0$；$r \to \infty$时$E_p \to 0$；$r \to 0$时$E_p \to +\infty$。设 $r \to \infty$ 处分子势能为零。求： （1）当分子从 $r \to \infty$缓慢靠近至$r = r_0$，分子力做的功 $W$与分子势能变化$\Delta E_p$； （2）若将分子从 $r = r_0$处缓慢拉开至$r \to \infty$，外力至少做多少功？ （3）若分子从 $r \to \infty$处自由靠近至$r = r_0$，分子动能增加多少？（设系统无能量耗散）

分析： 分子力与分子势能的关系：$F = -\dfrac{dE_p}{dr}$。$r_0$ 是分子力为零的平衡位置，也是分子势能最低点。

• $r < r_0$：斥力主导，$E_p$随$r$ 减小而急剧增大；
• $r > r_0$：引力主导，$E_p$随$r$ 增大而增大（趋于零）；
• $r = r_0$：$F = 0$，$E_p$取极小值$-E_0$。

解答： （1）分子从 $r \to \infty$（$E_p = 0$）移动到 $r = r_0$（$E_p = -E_0$）时，分子力（引力）做正功。由功能关系 $W = -\Delta E_p$： $$\Delta E_p = E_p(r_0) - E_p(\infty) = -E_0 - 0 = -E_0$$ $$W = -\Delta E_p = E_0$$

分子力做正功 $E_0$，分子势能减小 $E_0$。

（2）从 $r = r_0$缓慢拉至$r \to \infty$，分子势能从 $-E_0$增至$0$，外力克服分子引力做功（缓慢意味着动能不变）： $$W_{\text{外}} = \Delta E_p = 0 - (-E_0) = E_0$$

外力至少做功 $E_0$。

（3）从 $r \to \infty$自由靠近至$r = r_0$，仅分子力做功（无外力、无耗散），由动能定理： $$\Delta E_k = W_{\text{分子力}} = E_0$$

分子动能增加 $E_0$。

点评： 分子力与分子势能曲线是 03-分子力与分子势能 的综合难点。核心规律：

• $r_0$ 是平衡位置，$E_p$ 最小；
• 分子力做正功 $\Leftrightarrow$ $E_p$减小；分子力做负功$\Leftrightarrow$ $E_p$ 增大；
• $r_0$处$F = 0$但$E_p \neq 0$（取无穷远为零势能点）。

易错点：误以为 $F = 0$处$E_p = 0$。与 04-内能与分子动能 中的内能概念衔接——物体内能包括分子动能与分子势能之和。

二、气体

QT-01 ★：气体压强计算（液柱封闭）

题目： 一端开口、竖直放置的 U 形玻璃管，左管用长为 $h = 10\thinspace\text{cm}$的水银柱封闭一段空气柱，平衡时水银柱下表面比右管水银面高出$h = 10\thinspace\text{cm}$，大气压强 $p_0 = 76\thinspace\text{cmHg}$。求封闭空气柱的压强 $p$。

分析： 液柱封闭气体压强计算的关键是：取等压面（同种液体同一深度压强相等）作为平衡参考。对水银柱受力分析或直接用压强平衡方程。

解答： 取右管开口液面所在水平面为参考面，该水平面在左管中位于水银柱下表面下方 $h = 10\thinspace\text{cm}$ 处。

• 右管该处压强为 $p_0$（开口与大气相通）；
• 左管同一水平面压强也为 $p_0$（同种液体同一深度压强相等）；
• 左管该水平面到水银柱下表面距离为 $h$，由水银柱产生的压强差为 $h\thinspace\text{cmHg}$。

由水银柱平衡（上、下表面压强差等于水银柱压强）： $$p + h = p_0$$

故： $$p = p_0 - h = 76 - 10 = 66\thinspace\text{cmHg}$$

封闭空气柱压强 $p = 66\thinspace\text{cmHg}$。

点评： 液柱封闭气体压强计算是 01-气体的状态参量 的基础题型，关键技巧：① 取等压面（同种液体同一深度压强相等）；② 液柱高度差产生压强差 $\Delta p = \rho g h$；③ 注意单位换算（$\text{cmHg}$与$\text{Pa}$）。易错点：搞错液柱高度差方向，或把开口端与封闭端搞混。

QT-02 ★★：玻意耳定律应用（等温过程）

题目： 一根一端封闭、内径均匀的细长玻璃管，开口向上竖直放置，管内用一段 $h = 15\thinspace\text{cm}$长的水银柱封闭一段长$l_1 = 20\thinspace\text{cm}$的空气柱。大气压强$p_0 = 75\thinspace\text{cmHg}$。现将玻璃管缓慢倒转至开口向下竖直，整个过程温度不变。求倒转后空气柱的长度 $l_2$。

分析： 玻璃管缓慢倒转，温度不变 → 等温过程 → 玻意耳定律 $p_1 V_1 = p_2 V_2$。内径均匀 → $V \propto l$，故 $p_1 l_1 = p_2 l_2$。 初态：开口向上，气体压强 $p_1 = p_0 + h$（水银柱重力增加压强）。 末态：开口向下，气体压强 $p_2 = p_0 - h$（水银柱重力减小压强）。

解答： 初态： $$p_1 = p_0 + h = 75 + 15 = 90\thinspace\text{cmHg}, \quad l_1 = 20\thinspace\text{cm}$$

末态： $$p_2 = p_0 - h = 75 - 15 = 60\thinspace\text{cmHg}, \quad l_2 = ?$$

由玻意耳定律 $p_1 l_1 = p_2 l_2$： $$l_2 = \frac{p_1 l_1}{p_2} = \frac{90 \times 20}{60}\thinspace\text{cm} = 30\thinspace\text{cm}$$

倒转后空气柱长度 $l_2 = 30\thinspace\text{cm}$。

点评： 玻意耳定律是 02-玻意耳定律 中最常考的等温过程。关键点：① 判断过程是否等温（"缓慢"通常意味着等温，与外界充分热交换）；② 正确分析初末态压强（开口向上/向下、水银柱长度的影响）；③ 内径均匀时 $V \propto l$简化计算。易错点：倒转后水银柱可能溢出，需检验$l_2 + h$ 是否超过管长。

QT-03 ★★：查理定律应用（等容过程）

题目： 一密闭容器内装有某种气体，在温度 $T_1 = 300\thinspace\text{K}$时压强$p_1 = 1.0\times 10^5\thinspace\text{Pa}$。现保持容器容积不变，将气体加热至 $T_2 = 450\thinspace\text{K}$。求： （1）末态压强 $p_2$； （2）若容器承受最大压强 $p_{\max} = 2.0\times 10^5\thinspace\text{Pa}$，求容器能承受的最高温度 $T_{\max}$。

分析： 等容变化 → 查理定律 $\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}$（$T$为热力学温度）。注意温度必须用$\text{K}$，不能用 $^\circ\text{C}$。

解答： （1）由查理定律： $$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \Rightarrow p_2 = \frac{T_2}{T_1} p_1 = \frac{450}{300}\times 1.0\times 10^5\thinspace\text{Pa} = 1.5\times 10^5\thinspace\text{Pa}$$

（2）设最高温度 $T_{\max}$： $$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_{\max}}{T_{\max}} \Rightarrow T_{\max} = \frac{p_{\max}}{p_1} T_1 = \frac{2.0\times 10^5}{1.0\times 10^5}\times 300\thinspace\text{K} = 600\thinspace\text{K}$$

末态压强 $p_2 = 1.5\times 10^5\thinspace\text{Pa}$，最高温度 $T_{\max} = 600\thinspace\text{K}$。

点评： 查理定律是 03-查理定律与盖-吕萨克定律 的等容过程定律。关键提醒：① $T$ 必须用热力学温度（$\text{K}$），不是摄氏度；② 等容过程在 $p-T$ 图上为过原点的直线；③ 实际气体在高温低压下近似遵循。与 04-理想气体状态方程 的关系：等容是 $V$ 恒定的特例。

QT-04 ★★★：理想气体状态方程综合（变质量问题）

题目： 一个容积为 $V = 40\thinspace\text{L}$的钢瓶内装有压强$p_1 = 1.0\times 10^7\thinspace\text{Pa}$、温度 $T_1 = 300\thinspace\text{K}$的氧气。现用小钢瓶分装，每个小钢瓶容积$V_0 = 10\thinspace\text{L}$，分装前为真空，分装后每个小钢瓶内压强达到 $p_2 = 5.0\times 10^6\thinspace\text{Pa}$，温度 $T_2 = 290\thinspace\text{K}$。设分装过程中大钢瓶内气体温度保持 $T_1$ 不变（压强随分装下降但温度恒定）。求： （1）最多能分装多少个小钢瓶？（设大钢瓶内气体最终压强降至 $p_2$ 即停止） （2）若分装后大钢瓶内剩余气体压强为 $p_2$、温度 $T_1$，剩余气体质量占原质量的百分比。

分析： 变质量问题（充气、放气）的关键技巧：将变质量问题转化为恒质量问题。 方法：把大钢瓶剩余气体与分装出去的气体"拼起来"，视为总质量不变，使用理想气体状态方程 $\dfrac{pV}{T} = \text{const}$（对一定质量气体）。 设原气体在大钢瓶中状态 $(p_1, V, T_1)$，分装后剩余气体状态 $(p_2, V, T_1)$，分装出去的气体被压缩到 $n$个小钢瓶中状态$(p_2, V_0, T_2)$。由质量守恒： $$\frac{p_1 V}{T_1} = \frac{p_2 V}{T_1} + n\cdot\frac{p_2 V_0}{T_2}$$

解答： （1）由理想气体状态方程（质量守恒形式）： $$\frac{p_1 V}{T_1} = \frac{p_2 V}{T_1} + n\cdot\frac{p_2 V_0}{T_2}$$

解出 $n$： $$n = \frac{\dfrac{p_1 V}{T_1} - \dfrac{p_2 V}{T_1}}{\dfrac{p_2 V_0}{T_2}} = \frac{(p_1 - p_2) V T_2}{T_1 p_2 V_0}$$

代入数据： $$n = \frac{(1.0\times 10^7 - 5.0\times 10^6)\times 40\times 290}{300\times 5.0\times 10^6\times 10} = \frac{5.0\times 10^6\times 40\times 290}{300\times 5.0\times 10^6\times 10}$$

$$n = \frac{40\times 290}{300\times 10} = \frac{11600}{3000} \approx 3.87$$

由于小钢瓶数必须为整数，且第 4 个无法充满至 $p_2$，故： 最多分装 $n = 3$ 个小钢瓶。

（2）分装后大钢瓶内剩余气体压强为 $p_2$、温度 $T_1$、体积 $V$。原气体压强 $p_1$、温度 $T_1$、体积 $V$。同温度同体积下，气体质量比 = 压强比： $$\frac{m_{\text{剩}}}{m_{\text{原}}} = \frac{p_2}{p_1} = \frac{5.0\times 10^6}{1.0\times 10^7} = 50\%$$

剩余气体占原质量的 $50\%$。

点评： 变质量问题是 04-理想气体状态方程 的综合应用难点。核心方法：将变质量问题"拼"为恒质量问题。常用模型：① 充气——把充入气体的"原状态"补出来；② 放气——把放出气体的"末状态"补出来；③ 分装——本题类型。注意：小钢瓶数要取整（向下取整）。与 02-热力学第一定律 衔接：变质量过程常伴随能量变化。

QT-05 ★★★：气体图像与循环过程

题目： 一定质量的理想气体经历 $A \to B \to C \to A$的循环过程，其$p-V$ 图像为一三角形：

• $A$ 态：$(p_A, V_A) = (1\thinspace\text{atm}, 1\thinspace\text{L})$
• $B$ 态：$(p_B, V_B) = (1\thinspace\text{atm}, 3\thinspace\text{L})$
• $C$ 态：$(p_C, V_C) = (3\thinspace\text{atm}, 3\thinspace\text{L})$

其中 $A \to B$ 为等压膨胀，$B \to C$ 为等容升压，$C \to A$ 为一直线（视为某多准静态过程）。

求： （1）一个循环中气体净做功 $W_{\text{净}}$； （2）若 $C \to A$过程气体内能减少$400\thinspace\text{J}$，判断 $C \to A$ 过程是吸热还是放热，并求热量大小； （3）一个循环中气体内能变化 $\Delta U_{\text{循环}}$与净吸热$Q_{\text{净}}$。

（取 $1\thinspace\text{atm} = 1.0\times 10^5\thinspace\text{Pa}$，$1\thinspace\text{L} = 10^{-3}\thinspace\text{m}^3$）

分析： $p-V$ 图像中：

• 过程曲线下面积 = 气体做功 $W$（$W = \int p\thinspace{}dV$）；
• 循环过程围成的封闭面积 = 净做功；
• 顺时针循环：$W_{\text{净}} > 0$（气体对外做净功）；
• 内能是状态函数，循环回到初态 $\Delta U_{\text{循环}} = 0$；
• 由热力学第一定律 $\Delta U = Q - W$（取 $W$ 为气体对外做功，$Q$ 为吸热）。

各过程分析：

• $A \to B$（等压膨胀，$V$ 增大）：$W > 0$（气体对外做功），$T$ 升高（$pV$ 增大），$\Delta U > 0$，$Q > 0$（吸热）；
• $B \to C$（等容升压，$p$ 增大）：$W = 0$，$T$ 升高，$\Delta U > 0$，$Q > 0$（吸热）；
• $C \to A$（直线过程，$V$ 减小、$p$ 减小）：$W < 0$（外界对气体做功），$T$ 降低，$\Delta U < 0$，需具体计算判断 $Q$。

解答： （1）循环净做功 = $p-V$ 图中三角形面积（顺时针，净功为正）： $$W_{\text{净}} = \frac{1}{2}\times (V_B - V_A)\times (p_C - p_A) = \frac{1}{2}\times (3-1)\times (3-1)\thinspace\text{atm}\cdot\text{L} = 2\thinspace\text{atm}\cdot\text{L}$$

换算为焦耳： $$W_{\text{净}} = 2\times 1.0\times 10^5\times 10^{-3}\thinspace\text{J} = 200\thinspace\text{J}$$

循环净做功 $W_{\text{净}} = 200\thinspace\text{J}$（气体对外做功）。

（2）$C \to A$ 过程的功 = 该段过程曲线下的面积（梯形面积，$V$减小故$W < 0$）： $$W_{CA} = -\frac{1}{2}(p_C + p_A)(V_C - V_A) = -\frac{1}{2}(3+1)(3-1)\thinspace\text{atm}\cdot\text{L} = -4\thinspace\text{atm}\cdot\text{L}$$ $$W_{CA} = -4\times 1.0\times 10^5\times 10^{-3}\thinspace\text{J} = -400\thinspace\text{J}$$

（负号表示外界对气体做功）

已知 $\Delta U_{CA} = -400\thinspace\text{J}$，由热力学第一定律 $\Delta U = Q - W$： $$Q_{CA} = \Delta U_{CA} + W_{CA} = -400 + (-400) = -800\thinspace\text{J}$$

$Q_{CA} < 0$ 表示放热，$C \to A$过程放热$800\thinspace\text{J}$。

（3）循环过程回到初态，$\Delta U_{\text{循环}} = 0$（内能是状态函数）。由热力学第一定律： $$Q_{\text{净}} = W_{\text{净}} = 200\thinspace\text{J}$$

循环净吸热 $Q_{\text{净}} = 200\thinspace\text{J}$。

点评： 气体图像与循环过程是 04-理想气体状态方程 与 02-热力学第一定律 的综合考查点。核心规律：

• $p-V$ 图中过程曲线下面积 = 功；
• 顺时针循环净做正功（热机），逆时针循环净做负功（制冷机）；
• 循环过程 $\Delta U = 0$，故 $Q_{\text{净}} = W_{\text{净}}$；
• 等温线 $\Delta U = 0$，等容线 $W = 0$，等压线 $W = p\Delta V$，绝热线 $Q = 0$。

易错点：功的符号法则（统一约定"气体对外做功"为正）；直线过程的功用梯形面积法计算。

QT-06 ★★：气体实验定律与热力学第一定律结合

题目： 一定质量的理想气体从状态 $A$经等压膨胀到状态$B$，体积从 $V_A = 2\thinspace\text{L}$增大到$V_B = 6\thinspace\text{L}$，压强 $p = 2.0\times 10^5\thinspace\text{Pa}$恒定，气体对外做功$W = 800\thinspace\text{J}$，气体吸热 $Q = 1400\thinspace\text{J}$。求： （1）气体内能变化 $\Delta U$； （2）末态温度 $T_B$与初态温度$T_A$之比$\dfrac{T_B}{T_A}$； （3）若气体从 $B$经等容冷却回到$A$体积为$V_A$、温度为 $T_A$ 的状态，该过程气体放热多少？

分析： 本题综合 03-查理定律与盖-吕萨克定律 与 02-热力学第一定律。

• 等压过程：$W = p\Delta V$，盖-吕萨克定律 $\dfrac{V}{T} = \text{const}$；
• 热力学第一定律（约定：$W$为气体对外做功，吸热$Q > 0$）：$\Delta U = Q - W$；
• 等容过程：$W = 0$，故 $\Delta U = Q$。

解答： （1）等压膨胀，气体对外做功 $W = 800\thinspace\text{J}$，吸热 $Q = 1400\thinspace\text{J}$： $$\Delta U = Q - W = 1400 - 800 = 600\thinspace\text{J}$$

内能增加 $600\thinspace\text{J}$。

（2）等压过程由盖-吕萨克定律 $\dfrac{V_A}{T_A} = \dfrac{V_B}{T_B}$： $$\frac{T_B}{T_A} = \frac{V_B}{V_A} = \frac{6}{2} = 3$$

$T_B : T_A = 3 : 1$。

（3）等容冷却从 $B \to A'$（$V_A$、$T_A$），$\Delta U' = U_A - U_B = -\Delta U = -600\thinspace\text{J}$。 等容 $W = 0$，由 $\Delta U = Q - W$： $$Q = \Delta U' + W = -600 + 0 = -600\thinspace\text{J}$$

$Q < 0$表示放热，放热$600\thinspace\text{J}$。

点评： 气体定律与热力学第一定律结合是高考综合题的常考模式，关联 03-查理定律与盖-吕萨克定律、04-理想气体状态方程、02-热力学第一定律。核心要点：

• 理想气体内能仅由温度决定，等温 $\Delta U = 0$；
• 等容 $W = 0$；等压 $W = p\Delta V$；等温 $W$由$pV$关系求；绝热$Q = 0$；
• 符号法则统一（建议固定"气体对外做功 $W>0$，吸热 $Q>0$"）。

易错点：等容冷却内能变化是 $A \to B$ 的相反数，符号易错；理想气体内能仅与温度有关，与体积无关。

三、热力学定律

RS-01 ★：热传递方式识别

题目： 下列现象中，热传递的主要方式分别是什么？请将现象与传热方式（热传导、热对流、热辐射）配对，并简述判断依据： （a）太阳光晒热地面； （b）用铁锅烧水时锅体将火焰热量传到锅内； （c）暖房中空气整体变热； （d）手摸金属门把手感觉凉。

分析： 热传递有三种方式：

• 热传导：物体各部分不发生相对位移，依靠分子、原子热运动及自由电子传递热量（固体为主，如金属导热）；
• 热对流：流体各部分发生相对宏观位移传递热量（液体、气体，常依赖重力或外力驱动循环）；
• 热辐射：物体通过电磁波传递热量，不需介质，可在真空中进行。

解答：

• （a）太阳光晒热地面——热辐射。太阳与地面之间是真空（或大气稀薄），无传导、对流的介质，依靠电磁波（可见光、红外线）传递热量。
• （b）铁锅将火焰热量传到锅内——热传导。铁锅是固体，热量通过锅体金属内自由电子与原子振动从高温端传到低温端，无宏观物质流动。
• （c）暖房中空气整体变热——热对流。空气受热膨胀上升、冷空气下降补充，形成循环流动，整体变热。
• （d）手摸金属门把手感觉凉——本质是热传导。手（高温）通过接触将热量传给金属（低温），金属是热的良导体，热传导迅速使手降温产生"凉"的感觉。

点评： 热传递方式辨析是 02-热力学第一定律 与 03-热力学第二定律 的基础概念。判断要点：① 是否需要介质（辐射不需要）；② 是否为流体且发生宏观流动（对流）；③ 是否为固体或不流动介质（传导）。注意：实际过程常多种方式并存，需判断"主要方式"。生活实例：保温杯利用真空层阻断传导和对流，镀银表面减少辐射。

RS-02 ★★：热力学第一定律计算（等压过程）

题目： 一定质量的理想气体在等压过程中压强 $p = 1.5\times 10^5\thinspace\text{Pa}$，体积从 $V_1 = 2.0\times 10^{-3}\thinspace\text{m}^3$膨胀到$V_2 = 6.0\times 10^{-3}\thinspace\text{m}^3$，气体吸收热量 $Q = 1200\thinspace\text{J}$。求： （1）气体对外做的功 $W$； （2）气体内能的变化 $\Delta U$； （3）末态温度与初态温度之比 $T_2/T_1$。

分析： 等压过程：$W = p\Delta V$（气体对外做功，恒压公式）。 热力学第一定律（取"气体对外做功 $W>0$，吸热 $Q>0$"）：$\Delta U = Q - W$。 由理想气体状态方程 $pV = \nu RT$，等压下 $\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}$，故 $\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{V_2}{V_1}$。

解答： （1）等压膨胀气体对外做功： $$W = p(V_2 - V_1) = 1.5\times 10^5\times (6.0\times 10^{-3} - 2.0\times 10^{-3})\thinspace\text{J} = 1.5\times 10^5\times 4.0\times 10^{-3}\thinspace\text{J} = 600\thinspace\text{J}$$

气体对外做功 $W = 600\thinspace\text{J}$。

（2）由热力学第一定律 $\Delta U = Q - W$： $$\Delta U = 1200 - 600 = 600\thinspace\text{J}$$

内能增加 $600\thinspace\text{J}$。

（3）等压过程由盖-吕萨克定律： $$\frac{T_2}{T_1} = \frac{V_2}{V_1} = \frac{6.0\times 10^{-3}}{2.0\times 10^{-3}} = 3$$

末态温度是初态温度的 3 倍。

点评： 等压过程是 02-热力学第一定律 的标准计算题型。核心公式：$W = p\Delta V$（仅等压适用），$\Delta U = Q - W$。注意：等压膨胀 $W > 0$，$\Delta U$正负取决于$Q$与$W$ 的相对大小。理想气体等压膨胀时温度升高（盖-吕萨克定律），$\Delta U > 0$，与计算结果一致。可联系 03-查理定律与盖-吕萨克定律 中盖-吕萨克定律与 04-理想气体状态方程。

RS-03 ★★★：热力学第一定律综合（四种过程对比）

题目： 一定质量的单原子分子理想气体（$C_V = \dfrac{3}{2}R$），初态均为 $(p_0, V_0, T_0)$，经历下列四个准静态过程，前三个过程末态体积或压强均为初态的两倍：

• 过程甲：等温膨胀到 $2V_0$；
• 过程乙：等压膨胀到 $2V_0$；
• 过程丙：等容升压到 $2p_0$；
• 过程丁：绝热膨胀到 $2V_0$。

设 $\nu$ 为物质的量。求四个过程中的： （1）末态温度 $T$； （2）气体做功 $W$（气体对外做功为正）； （3）吸热 $Q$； （4）内能变化 $\Delta U$。

分析： 四种典型过程对比是 02-热力学第一定律 综合题的核心。逐一分析：

• 甲：等温膨胀到 $2V_0$ —— $T = T_0$（恒定），$\Delta U = 0$（理想气体内能仅由 $T$ 决定），$W > 0$，$Q = W$（吸热）。等温过程 $pV = p_0 V_0$，$W = p_0 V_0 \ln\dfrac{V}{V_0} = \nu R T_0 \ln 2$。
• 乙：等压膨胀到 $2V_0$ —— $p = p_0$（恒定），由 $pV = \nu RT$得$T = 2T_0$。$W = p_0 \Delta V = \nu R T_0$。$\Delta U = \nu C_V \Delta T = \dfrac{3}{2}\nu R T_0$。$Q = \Delta U + W = \dfrac{5}{2}\nu R T_0$。
• 丙：等容升压到 $2p_0$ —— $V = V_0$（恒定），$W = 0$。$T = 2T_0$。$\Delta U = \dfrac{3}{2}\nu R T_0$。$Q = \Delta U = \dfrac{3}{2}\nu R T_0$。
• 丁：绝热膨胀到 $2V_0$ —— $Q = 0$。单原子理想气体 $\gamma = C_p/C_V = (5/2)/(3/2) = 5/3$。由 $T V^{\gamma-1} = \text{const}$：$T_0 V_0^{2/3} = T (2V_0)^{2/3}$，$T = T_0 / 2^{2/3}$。$W = -\Delta U$。

解答： （1）末态温度：

• 甲：$T = T_0$；
• 乙：$T = 2T_0$；
• 丙：$T = 2T_0$；
• 丁：$T = \dfrac{T_0}{2^{2/3}} \approx 0.63\thinspace{}T_0 < T_0$。

（2）气体做功 $W$（气体对外为正）：

• 甲：$W = \nu R T_0 \ln 2 \approx 0.69\thinspace\nu R T_0$；
• 乙：$W = \nu R T_0$；
• 丙：$W = 0$；
• 丁：$W = -\Delta U = \dfrac{3}{2}\nu R T_0\left(1 - \dfrac{1}{2^{2/3}}\right) \approx 0.56\thinspace\nu R T_0$。

（3）吸热 $Q$：

• 甲：$Q = W = \nu R T_0 \ln 2 \approx 0.69\thinspace\nu R T_0$（吸热）；
• 乙：$Q = \dfrac{5}{2}\nu R T_0$（吸热）；
• 丙：$Q = \dfrac{3}{2}\nu R T_0$（吸热）；
• 丁：$Q = 0$（绝热）。

（4）内能变化 $\Delta U$：

• 甲：$\Delta U = 0$；
• 乙：$\Delta U = \dfrac{3}{2}\nu R T_0$；
• 丙：$\Delta U = \dfrac{3}{2}\nu R T_0$；
• 丁：$\Delta U = -\dfrac{3}{2}\nu R T_0\left(1 - \dfrac{1}{2^{2/3}}\right) < 0$。

对比小结（均膨胀/升压到 $2V_0$或$2p_0$）：

过程	$T_{\text{末}}$	$W$	$Q$	$\Delta U$
甲 等温	$T_0$	$\nu R T_0\ln 2$	$\nu R T_0\ln 2$	$0$
乙 等压	$2T_0$	$\nu R T_0$	$\frac{5}{2}\nu R T_0$	$\frac{3}{2}\nu R T_0$
丙 等容	$2T_0$	$0$	$\frac{3}{2}\nu R T_0$	$\frac{3}{2}\nu R T_0$
丁 绝热	$T_0/2^{2/3}$	$\frac{3}{2}\nu R T_0(1-2^{-2/3})$	$0$	$-\frac{3}{2}\nu R T_0(1-2^{-2/3})$

点评： 四种典型过程对比是 02-热力学第一定律 的核心综合题，需要全面掌握各过程的特征方程与能量转化。记忆口诀：

• 等温：$\Delta T = 0 \Rightarrow \Delta U = 0$，$Q = W$；
• 等压：$W = p\Delta V$，$\dfrac{V}{T} = \text{const}$；
• 等容：$W = 0$，$\dfrac{p}{T} = \text{const}$，$Q = \Delta U$；
• 绝热：$Q = 0$，$\Delta U = -W$。

理想气体内能公式 $\Delta U = \nu C_V \Delta T$是关键工具。注意单原子$C_V = \dfrac{3}{2}R$，双原子 $C_V = \dfrac{5}{2}R$。关联 04-理想气体状态方程 与 03-热力学第二定律。

RS-04 ★★：卡诺循环效率计算

题目： 一卡诺热机工作在高温热源 $T_1 = 500\thinspace\text{K}$与低温热源$T_2 = 300\thinspace\text{K}$之间。每次循环中气体从高温热源吸热$Q_1 = 1200\thinspace\text{J}$。求： （1）热机效率 $\eta$； （2）每次循环对外做的净功 $W$； （3）每次循环向低温热源放出的热量 $Q_2$； （4）若将 $T_1$升高到$600\thinspace\text{K}$、$T_2$降低到$250\thinspace\text{K}$，效率提高多少？

分析： 卡诺循环是 03-热力学第二定律 中理想热机的极限效率模型： $$\eta_{\text{卡诺}} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$$ 其中 $T_1$、$T_2$ 为热力学温度（$\text{K}$）。热机效率定义 $\eta = \dfrac{W}{Q_1} = \dfrac{Q_1 - Q_2}{Q_1}$，故 $W = \eta Q_1$，$Q_2 = Q_1 - W$。

解答： （1）卡诺效率： $$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = 0.4 = 40\%$$

热机效率 $\eta = 40\%$。

（2）每次循环净功： $$W = \eta Q_1 = 0.4\times 1200\thinspace\text{J} = 480\thinspace\text{J}$$

净功 $W = 480\thinspace\text{J}$。

（3）向低温热源放热： $$Q_2 = Q_1 - W = 1200 - 480 = 720\thinspace\text{J}$$

放热 $Q_2 = 720\thinspace\text{J}$。

（4）新条件下的卡诺效率： $$\eta' = 1 - \frac{T_2'}{T_1'} = 1 - \frac{250}{600} = 1 - 0.417 = 0.583 \approx 58.3\%$$

效率提高： $$\Delta\eta = \eta' - \eta = 58.3\% - 40\% = 18.3\%$$

效率提高约 $18.3\%$（温度区间拉大有利于提高效率）。

点评： 卡诺循环是 03-热力学第二定律 的核心模型，给出了热机效率的理论上限。关键公式：

• $\eta_{\text{卡诺}} = 1 - \dfrac{T_2}{T_1}$（仅卡诺循环）；
• 一般热机 $\eta = \dfrac{W}{Q_1} = 1 - \dfrac{Q_2}{Q_1}$；
• 卡诺循环由两个等温过程 + 两个绝热过程组成。

注意：实际热机效率一定低于同温度区间的卡诺效率（热力学第二定律）。温度必须用 $\text{K}$。提高效率的途径：升高 $T_1$、降低 $T_2$。

RS-05 ★★★：热力学第二定律概念辨析

题目： 判断下列说法是否正确，并简述理由： （1）热量可以从低温物体传到高温物体； （2）一切热机的效率都小于 $100\%$； （3）气体自由膨胀可以自动收缩回原体积； （4）机械能可以全部转化为内能，但内能不能全部转化为机械能而不产生其他影响； （5）熵减小的过程是不可能发生的； （6）空调制冷时，热量从低温室内传到高温室外，违反了热力学第二定律； （7）第二类永动机不可能制成，因为它违反了能量守恒定律。

分析： 热力学第二定律有两种表述：

• 克劳修斯表述：热量不能自动地从低温物体传到高温物体（不产生其他影响）；
• 开尔文表述：不可能从单一热源吸热使之完全变为功而不产生其他影响（第二类永动机不可能）。

辨析关键是"自动"（即"不产生其他影响"）。借助外界做功，热量可以从低温传到高温（如空调、冰箱），但这"产生了其他影响"——外界做了功。第二类永动机不违反能量守恒（第一定律），而是违反第二定律。

解答： （1）正确。借助外界做功（如空调压缩机），热量可以从低温传到高温，但不"自动"——克劳修斯表述禁止的是"自动"传递。

（2）正确。由热力学第二定律，热机效率必有 $\eta < 100\%$，必有热量流向低温热源（无法将吸热全部变成功而不产生其他影响）。

（3）错误。气体自由膨胀是不可逆过程（熵增大），自动收缩回原体积相当于熵减小，违反热力学第二定律。

（4）正确。机械能全部转化为内能（如摩擦生热）是自发过程；内能全部转化为机械能而不产生其他影响违反开尔文表述。这是开尔文表述的另一种说法。

（5）错误。热力学第二定律说的是"孤立系统的熵不会减小"，但局部系统熵可以减小（如水结冰），只是外界熵增大更多，总熵仍增大。

（6）错误。空调依靠压缩机做功（消耗电能），将热量从低温室内"搬运"到高温室外，不违反热力学第二定律——这"产生了其他影响"（消耗了电能）。克劳修斯表述禁止的是"自动"传热，不是"借助做功"传热。

（7）错误。第二类永动机违反热力学第二定律，而非能量守恒定律（第一定律）。它试图从单一热源吸热全部变成功而不产生其他影响，能量虽守恒但违反了方向性。

点评： 热力学第二定律辨析是 03-热力学第二定律 的核心难点，常以多选题、判断题出现。关键概念：

• "自动"/"不产生其他影响"是辨析的核心；
• 克劳修斯表述（传热方向）与开尔文表述（热功转化）等价；
• 不可逆过程的方向性（自由膨胀、扩散、摩擦生热等）；
• 熵增原理适用于孤立系统，不是任意局部系统；
• 第一类永动机违反能量守恒（第一定律），第二类永动机违反方向性（第二定律）。

易错点：把"不可能自动"误解为"不可能"；忽视"产生其他影响"的含义；混淆两类永动机的违反定律。

RS-06 ★★：熵变计算（等温过程、热传导）

题目： （1）$1\thinspace\text{mol}$理想气体在温度$T = 300\thinspace\text{K}$下等温膨胀，体积从$V_1$增大到$V_2 = 2V_1$。求气体的熵变 $\Delta S$。 （2）质量为 $m_1 = 1\thinspace\text{kg}$、温度 $T_1 = 400\thinspace\text{K}$的物体与质量为$m_2 = 1\thinspace\text{kg}$、温度 $T_2 = 300\thinspace\text{K}$的同种物体接触达到热平衡，物体比热容$c = 4.0\times 10^2\thinspace\text{J/(kg\cdot K)}$。求两物体组成的系统总熵变（设热平衡过程中无热量散失）。

（取 $R = 8.31\thinspace\text{J/(mol\cdot K)}$，$\ln 2 \approx 0.693$）

分析： 熵是状态函数，熵变只与初末态有关，与过程无关。

• 等温过程熵变公式：$\Delta S = \dfrac{Q_{\text{rev}}}{T}$，可逆等温膨胀 $Q_{\text{rev}} = W = \nu R T \ln\dfrac{V_2}{V_1}$，故 $\Delta S = \nu R \ln\dfrac{V_2}{V_1}$。
• 热传导是不可逆过程，计算熵变需设计可逆过程。设平衡温度 $T^*$，高温物体放热 $Q_1 = m_1 c (T_1 - T^*)$，低温物体吸热 $Q_2 = m_2 c (T^* - T_2)$，由能量守恒 $Q_1 = Q_2$求$T^*$。各物体熵变用积分 $\Delta S = \int \dfrac{dQ}{T} = mc\ln\dfrac{T_{\text{末}}}{T_{\text{初}}}$。

解答： （1）等温膨胀熵变： $$\Delta S = \nu R \ln\frac{V_2}{V_1} = 1\times 8.31\times \ln 2\thinspace\text{J/K} = 8.31\times 0.693\thinspace\text{J/K} \approx 5.76\thinspace\text{J/K}$$

气体熵变 $\Delta S \approx 5.76\thinspace\text{J/K}$（熵增大）。

（2）设平衡温度 $T^*$，由能量守恒： $$m_1 c (T_1 - T^*) = m_2 c (T^* - T_2)$$

代入数据 $m_1 = m_2$，$T_1 = 400\thinspace\text{K}$，$T_2 = 300\thinspace\text{K}$： $$400 - T^* = T^* - 300 \Rightarrow 2T^* = 700 \Rightarrow T^* = 350\thinspace\text{K}$$

高温物体熵变（温度从 $400\thinspace\text{K}$降至$350\thinspace\text{K}$，放热）： $$\Delta S_1 = m_1 c \ln\frac{T^*}{T_1} = 1\times 4.0\times 10^2\times \ln\frac{350}{400}\thinspace\text{J/K} = 400\ln\frac{7}{8}\thinspace\text{J/K}$$

低温物体熵变（温度从 $300\thinspace\text{K}$升至$350\thinspace\text{K}$，吸热）： $$\Delta S_2 = m_2 c \ln\frac{T^*}{T_2} = 1\times 4.0\times 10^2\times \ln\frac{350}{300}\thinspace\text{J/K} = 400\ln\frac{7}{6}\thinspace\text{J/K}$$

系统总熵变： $$\Delta S_{\text{总}} = \Delta S_1 + \Delta S_2 = 400\left(\ln\frac{7}{8} + \ln\frac{7}{6}\right)\thinspace\text{J/K} = 400\ln\frac{49}{48}\thinspace\text{J/K}$$

计算数值： $$\frac{49}{48} \approx 1.0208, \quad \ln 1.0208 \approx 0.0206$$ $$\Delta S_{\text{总}} \approx 400\times 0.0206 \approx 8.24\thinspace\text{J/K}$$

系统总熵变 $\Delta S_{\text{总}} \approx 8.24\thinspace\text{J/K} > 0$（熵增大，符合热力学第二定律）。

点评： 熵变计算是 03-热力学第二定律 的综合应用。核心方法：

• 熵是状态函数，设计可逆过程计算；
• 等温过程 $\Delta S = \dfrac{Q_{\text{rev}}}{T}$；
• 变温过程 $\Delta S = mc\ln\dfrac{T_2}{T_1}$；
• 不可逆过程的总熵变 $>0$（孤立系统熵增原理）。

易错点：① 直接用 $\Delta S = Q/T$计算不可逆过程（错误，必须用可逆过程）；② 忽略低温物体熵变；③ 计算$\Delta S_1$ 时温度比方向（高温物体降温，$\ln(T^*/T_1) < 0$）。关联 02-热力学第一定律 的能量守恒。

四、物态变化

WT-01 ★：晶体与非晶体辨析

题目： 下列关于晶体与非晶体的说法正确的是： A. 晶体都有规则的几何外形 B. 单晶体具有各向异性，多晶体各向同性 C. 非晶体没有固定的熔点 D. 金属属于非晶体，因为没有规则的几何外形 E. 晶体在不同方向上导热性能不同的现象称为各向异性

分析： 晶体与非晶体的核心区别：

• 晶体：有固定熔点；单晶体有规则几何外形、各向异性；多晶体无规则外形、各向同性（但仍是晶体，有固定熔点）。
• 非晶体：无固定熔点（如玻璃、沥青、石蜡），各向同性，无规则外形。

解答：

• A 错：多晶体没有规则的几何外形（如金属），但仍是晶体。
• B 对：单晶体各向异性，多晶体各向同性（因晶粒取向随机，统计平均表现为各向同性）。
• C 对：非晶体没有固定熔点，是"软化"过程（如玻璃逐渐变软）。
• D 错：金属是多晶体，仍是晶体，有固定熔点，只是宏观上无规则外形。
• E 对：各向异性指不同方向物理性质（导热、导电、折射率、力学性质等）不同。

正确答案：B、C、E。

点评： 晶体与非晶体辨析是 01-固体与晶体 的基础概念。关键区别：

特性	单晶体	多晶体	非晶体
几何外形	规则	不规则	不规则
各向异性	有	无	无
固定熔点	有	有	无

易错点：误以为"没有规则外形就是非晶体"——金属是多晶体，仍是晶体。多晶体的各向同性是统计平均的结果，单晶粒本身仍是各向异性的。

WT-02 ★★：表面张力与毛细现象

题目： （1）为什么细玻璃管插入水中时水会沿管壁上升，而插入水银中时水银面会下降？ （2）一根内径 $r = 0.5\thinspace\text{mm}$的玻璃管竖直插入水中（水完全润湿玻璃），求管内水面上升的高度$h$。已知水的表面张力系数 $\alpha = 7.3\times 10^{-2}\thinspace\text{N/m}$，水的密度 $\rho = 1.0\times 10^3\thinspace\text{kg/m}^3$，$g = 9.8\thinspace\text{m/s}^2$。

分析： （1）毛细现象的本质是液面弯曲产生的附加压强与表面张力的合力。

• 水润湿玻璃（接触角 $\theta < 90°$），液面凹形（向上凹），表面张力向上分量提起液柱 → 上升；
• 水银不润湿玻璃（$\theta > 90°$），液面凸形，表面张力向下分量压低液柱 → 下降。

（2）完全润湿时接触角 $\theta = 0$，毛细上升高度公式： $$h = \frac{2\alpha\cos\theta}{\rho g r} = \frac{2\alpha}{\rho g r}$$

解答： （1）润湿液体（水）在毛细管中上升，不润湿液体（水银）在毛细管中下降。原因是液面弯曲产生的附加压强方向不同：凹液面（润湿）附加压强指向液面凹侧（即向上），托起液柱；凸液面（不润湿）附加压强指向液面凸侧（即向下），压低液柱。

（2）代入毛细上升公式： $$h = \frac{2\alpha}{\rho g r} = \frac{2\times 7.3\times 10^{-2}}{1.0\times 10^3\times 9.8\times 0.5\times 10^{-3}}\thinspace\text{m}$$

$$h = \frac{1.46\times 10^{-1}}{4.9}\thinspace\text{m} \approx 2.98\times 10^{-2}\thinspace\text{m} = 2.98\thinspace\text{cm}$$

水面上升 $h \approx 3.0\thinspace\text{cm}$。

点评： 表面张力与毛细现象是 02-液体与表面张力 中液体性质的核心内容。关键公式：

• 表面张力 $f = \alpha L$（$L$ 为接触线长度）；
• 附加压强 $\Delta p = \dfrac{2\alpha}{R}$（球形液面，$R$ 为曲率半径）；
• 毛细上升 $h = \dfrac{2\alpha\cos\theta}{\rho g r}$（$\theta$为接触角，完全润湿$\theta=0$）。

易错点：① 接触角的判定（润湿/不润湿）；② 单位换算（$\text{mm} \to \text{m}$）；③ 公式中 $r$ 是管半径，不是直径。生活应用：毛巾吸水、植物导管输水、灯芯吸油。

WT-03 ★★★：相变潜热计算（冰熔化+水汽化）

题目： 将质量 $m = 100\thinspace\text{g}$、温度 $t_1 = -10\thinspace^\circ\text{C}$的冰加热，全部变成$100\thinspace^\circ\text{C}$ 的水蒸气。已知：

• 冰的比热容 $c_1 = 2.1\times 10^3\thinspace\mathrm{J/(kg\cdot K)}$；
• 水的比热容 $c_2 = 4.2\times 10^3\thinspace\mathrm{J/(kg\cdot K)}$；
• 冰的熔化热 $\lambda = 3.36\times 10^5\thinspace\text{J/kg}$（熔点 $0\thinspace^\circ\text{C}$）；
• 水的汽化热 $L = 2.26\times 10^6\thinspace\text{J/kg}$（沸点 $100\thinspace^\circ\text{C}$，标准大气压下）。

求： （1）整个过程吸收的总热量 $Q_{\text{总}}$； （2）显热与潜热各占总吸热的比例； （3）若用电加热器（功率 $P = 500\thinspace\text{W}$，效率 $\eta = 80\%$）加热，需多长时间？

分析： 整个过程分为四个阶段：

1. 冰升温：$-10\thinspace^\circ\text{C} \to 0\thinspace^\circ\text{C}$（显热）；
2. 冰熔化：$0\thinspace^\circ\text{C}$冰$\to$ $0\thinspace^\circ\text{C}$ 水（潜热，温度不变）；
3. 水升温：$0\thinspace^\circ\text{C} \to 100\thinspace^\circ\text{C}$（显热）；
4. 水汽化：$100\thinspace^\circ\text{C}$水$\to$ $100\thinspace^\circ\text{C}$ 水蒸气（潜热，温度不变）。

每阶段吸热：$Q_1 = m c_1 \Delta T$，$Q_2 = m\lambda$，$Q_3 = m c_2 \Delta T$，$Q_4 = mL$。

解答： $m = 100\thinspace\text{g} = 0.10\thinspace\text{kg}$。

（1）各阶段吸热：

① 冰升温 $-10\thinspace^\circ\text{C} \to 0\thinspace^\circ\text{C}$，$\Delta T = 10\thinspace\text{K}$： $$Q_1 = m c_1 \Delta T = 0.10\times 2.1\times 10^3\times 10\thinspace\text{J} = 2100\thinspace\text{J}$$

② 冰熔化 $0\thinspace^\circ\text{C}$冰$\to$ $0\thinspace^\circ\text{C}$ 水： $$Q_2 = m\lambda = 0.10\times 3.36\times 10^5\thinspace\text{J} = 33600\thinspace\text{J}$$

③ 水升温 $0\thinspace^\circ\text{C} \to 100\thinspace^\circ\text{C}$，$\Delta T = 100\thinspace\text{K}$： $$Q_3 = m c_2 \Delta T = 0.10\times 4.2\times 10^3\times 100\thinspace\text{J} = 42000\thinspace\text{J}$$

④ 水汽化 $100\thinspace^\circ\text{C}$水$\to$ $100\thinspace^\circ\text{C}$ 水蒸气： $$Q_4 = mL = 0.10\times 2.26\times 10^6\thinspace\text{J} = 226000\thinspace\text{J}$$

总热量： $$Q_{\text{总}} = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = 2100 + 33600 + 42000 + 226000\thinspace\text{J} = 303700\thinspace\text{J}$$

总吸热 $Q_{\text{总}} \approx 3.04\times 10^5\thinspace\text{J}$。

（2）能量分布分析：

• 显热（升降温）：$Q_{\text{显}} = Q_1 + Q_3 = 2100 + 42000 = 44100\thinspace\text{J}$，占比 $\dfrac{44100}{303700} \approx 14.5\%$；
• 潜热（相变）：$Q_{\text{潜}} = Q_2 + Q_4 = 33600 + 226000 = 259600\thinspace\text{J}$，占比 $\dfrac{259600}{303700} \approx 85.5\%$。

相变潜热占主导地位，这是相变过程的能量特征。

（3）电加热器有效功率： $$P_{\text{有效}} = P\cdot\eta = 500\times 0.80 = 400\thinspace\text{W}$$

加热时间： $$t = \frac{Q_{\text{总}}}{P_{\text{有效}}} = \frac{303700}{400}\thinspace\text{s} = 759.25\thinspace\text{s} \approx 12.7\thinspace\text{min}$$

加热时间约 $12.7\thinspace\text{min}$。

点评： 相变潜热计算是 03-物态变化与相变潜热 的综合重点。关键概念：

• 显热：$Q = mc\Delta T$（温度变化，无相变）；
• 潜热：$Q = m\lambda$（熔化/凝固）或 $Q = mL$（汽化/液化），温度不变；
• 相变过程温度恒定，但能量大量吸收/释放。

易错点：① 漏算某个阶段（特别是 $0\thinspace^\circ\text{C}$冰到$0\thinspace^\circ\text{C}$ 水的熔化潜热）；② 把熔化热与汽化热混淆；③ 单位换算（$\text{g} \to \text{kg}$）。与 02-热力学第一定律 衔接：相变时 $Q = \Delta U + W$，但通常讨论等压过程 $W$ 较小。

WT-04 ★★：饱和蒸汽压与湿度

题目： 在温度 $t = 25\thinspace^\circ\text{C}$时，密闭房间内水蒸气的分压强$p = 1.6\times 10^3\thinspace\text{Pa}$。已知该温度下水的饱和蒸汽压 $p_s = 3.2\times 10^3\thinspace\text{Pa}$。求： （1）房间的相对湿度 $B$； （2）若房间温度下降，求水蒸气开始凝结（达到露点）时的饱和蒸汽压； （3）若降温至露点后继续降温，房间内水蒸气的分压强如何变化？ （4）若温度不变，向房间内再蒸发一定量水使相对湿度达到 $80\%$，水蒸气分压变为多少？

分析：

• 相对湿度 $B = \dfrac{p}{p_s}\times 100\%$，其中 $p$ 为实际水蒸气分压，$p_s$ 为同温度下饱和蒸汽压；
• 露点：使水蒸气达到饱和（$B = 100\%$）的温度；
• 饱和蒸汽压随温度降低而减小；
• 未饱和状态下，温度变化但水蒸气量不变时，分压随热力学温度成正比（查理定律）。

解答： （1）相对湿度： $$B = \frac{p}{p_s}\times 100\% = \frac{1.6\times 10^3}{3.2\times 10^3}\times 100\% = 50\%$$

相对湿度 $B = 50\%$。

（2）水蒸气开始凝结时，水蒸气分压等于该温度下的饱和蒸汽压。降温未凝结前水蒸气分压 $p = 1.6\times 10^3\thinspace\text{Pa}$ 保持不变（水蒸气量未变），开始凝结时： $$p_s(T_{\text{露}}) = p = 1.6\times 10^3\thinspace\text{Pa}$$

露点对应的饱和蒸汽压为 $1.6\times 10^3\thinspace\text{Pa}$。

（3）降温至露点后继续降温：

• 凝结开始，水蒸气部分液化，水蒸气量减少；
• 水蒸气始终处于饱和状态（饱和蒸汽压随温度降低而降低）；
• 故水蒸气分压 随温度降低而减小（始终等于该温度下的饱和蒸汽压）。

（4）温度不变，饱和蒸汽压 $p_s = 3.2\times 10^3\thinspace\text{Pa}$不变。相对湿度达到$80\%$ 时： $$p' = B'\cdot p_s = 0.80\times 3.2\times 10^3\thinspace\text{Pa} = 2.56\times 10^3\thinspace\text{Pa}$$

水蒸气分压变为 $2.56\times 10^3\thinspace\text{Pa}$。

点评： 饱和蒸汽压与湿度是 03-物态变化与相变潜热 中气体性质的应用。核心概念：

• 饱和蒸汽压只与温度有关（与体积无关）；
• 相对湿度 $B = \dfrac{p}{p_s}\times 100\%$；
• 露点是水蒸气达到饱和的温度，对应 $B = 100\%$；
• 降温到露点以下，多余水蒸气凝结（露、雾、霜的成因）。

易错点：① 饱和蒸汽压与气体体积无关，与温度有关；② 区分"未饱和"与"饱和"状态下分压的变化规律；③ 升温时相对湿度可能降低（$p_s$增大比$p$ 快）。与生活联系紧密（空调除湿、结露现象、天气预报）。

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题号编排规则与难度标识

• 题号编排：每道题的题号采用 版块代号-序号 形式，版块代号与目录一致：

  • FZ（Fen Zi，分子动理论）—— 分子大小估算、阿伏伽德罗常数、布朗运动、分子力与分子势能；
  • QT（Qi Ti，气体）—— 气体实验定律、理想气体状态方程、$p-V$ 图像、循环过程；
  • RS（Re Xue，热力学定律）—— 热传递、热力学第一定律、卡诺循环、热力学第二定律、熵变；
  • WT（Wu Tai，物态变化）—— 晶体与非晶体、表面张力、毛细现象、相变潜热、饱和蒸汽压。

  例如 FZ-01 表示分子动理论第 1 题，RS-04 表示热力学定律第 4 题。

• 难度标识：

  • ★ 基础：单一知识点直接套用公式，适合首次学习后即时巩固；
  • ★★ 中等：综合 2-3 个知识点，含一定图像/模型分析，适合章节复习与单元测试；
  • ★★★ 综合：跨版块综合（如气体+热力学第一定律、相变+能量守恒），含较复杂的物理过程分析，适合高考压轴与冲刺训练。

• 解答规范：每道题包含"题目—分析—解答—点评"四部分，点评中标注涉及的核心知识点 wikilink（如 02-热力学第一定律、04-理想气体状态方程）以便回溯。

• 题目统计：全册共 20 道题，覆盖四大版块——分子动理论 4 道（FZ-01 至 FZ-04）、气体 6 道（QT-01 至 QT-06）、热力学定律 6 道（RS-01 至 RS-06）、物态变化 4 道（WT-01 至 WT-04）。

作者寄语

热学的精髓在于"宏观—微观"双视角的灵活切换与"状态—过程"的清晰分析。建议同学们按以下方法使用本例题集：

1. 微观与宏观结合：分子动理论部分要从微观（分子、原子）理解宏观现象（压强、温度、内能）；气体与热力学部分要从宏观状态参量（$p, V, T$）反推微观机制。两者结合才能透彻理解。
2. 状态分析是核心：气体问题的核心是"状态分析"——明确初末态的 $(p, V, T)$，选择合适的实验定律或状态方程。建议每道题先列状态表，再列方程，避免混淆。
3. 符号法则要统一：热力学第一定律 $\Delta U = Q + W$中$W$的正负号约定因教材而异。本例题集统一采用"气体对外做功$W > 0$，吸热 $Q > 0$"，请同学们在练习时固定一种约定，避免符号错误。
4. 图像法应用：$p-V$、$p-T$、$V-T$ 图像是热学的"第二语言"。掌握图像中面积（功）、斜率（过程方程）、截距（状态参量）的物理意义，能极大提升解题效率。
5. 归纳题型地图：每做完一个版块，归纳该版块的核心模型（如气体的"液柱封闭模型"、热力学的"典型过程能量分析"、相变的"四阶段吸热"等），形成自己的"题型地图"。
6. 错题复盘：做错的题不要只看答案，要追问"哪一步思路断了？哪个概念混淆了？哪个公式记错了？"建立错题本，定期回顾。
7. 联系实际：热学与生活、科技联系紧密（空调制冷、内燃机、相变储能、表面活性剂等），多观察身边的热学现象，加深对抽象概念的理解。

热学虽抽象，但只要掌握了"统计平均"的核心思想与"状态—过程"的分析框架，就能以不变应万变。祝同学们在物理学习路上越走越远，热学从"难点"变成"得分点"！更系统的知识框架见 00-热学总览，电学与力学的配套例题集见 99-电学例题集 与 99-力学例题集，三册配合构成完整的高中物理例题体系。