静力学与刚体平衡

概览

本笔记在高中静力学（共点力平衡、简单力矩）的基础上作三层深化：其一，把"一个点"的平衡推广为"一个物体"的平衡——引入力矩 $\vec\tau=\vec r\times\vec F$、力偶与主矢主矩的概念，条件从 $\sum\vec F=0$升级为$\sum\vec F=0$与$\sum\vec\tau=0$（对任意轴）联立；其二，系统建立摩擦模型——最大静摩擦、摩擦角 $\varphi=\arctan\mu$、全反力与自锁条件，把"摩擦方向"转化为"力的方向"的几何问题；其三，引入两件竞赛高级工具——势能判据（用 $U''(x)$ 的符号判定平衡稳定性）与虚功原理（$\delta W=\sum\vec F_i\cdot\delta\vec r_i=0$，绕过受力分析直接建立平衡关系）。数学上仅需 01-微积分基础 的微分与 03-矢量运算 的叉积。本笔记是 06-刚体动力学 的静力基础，其摩擦角、选轴技巧与虚功思想在复赛难题中反复出现。

核心概念

一、力与力矩——从"力"到"力系"

力的分类：按性质分——重力、弹力、摩擦力、万有引力、电磁力等；按效果分——主动力（重力、外加推力等，由外部条件决定）与约束力（支持力、张力、铰链力等，由平衡条件反推）。静力学问题中约束力往往是未知量，是求解的对象。

力矩（对点取矩）：力 $\vec F$对点$O$ 的力矩为 $$ \boxed{\thickspace\vec\tau=\vec r\times\vec F\thinspace},\qquad \tau=rF\sin\theta=F\thinspace{}d $$ 其中 $\vec r$是从$O$ 到力作用点的位矢，$\theta$是$\vec r$与$\vec F$ 的夹角，$d=r\sin\theta$ 称为力臂（$O$ 到力作用线的垂直距离）。二维问题中常约定逆时针为正。力矩是"力 × 力臂"，只与力的作用线有关，与作用点在作用线上的具体位置无关——这是刚体静力学的核心直觉。

力偶与力偶矩：大小相等、方向相反、作用线平行不共线的两个力 $\vec F$与$-\vec F$ 构成力偶，其对任意点的力矩均为 $$ \boxed{\thickspace{}M=Fd\thinspace} $$ 其中 $d$ 为两力作用线间距。力偶矩与取矩点无关——它只能使物体转动，不能产生平动。经验法则：力矩可以"滑动"，力偶可以"平移"，都等效。

主矢与主矩：任意力系对点 $O$ 可归结为 $$ \vec R=\sum_i\vec F_i \qquad(\text{主矢，与取点无关}),\qquad \vec M_O=\sum_i\vec r_i\times\vec F_i \qquad(\text{主矩，与取点有关}) $$ 由力线平移定理：把力从作用点平移到 $O$时，必须附带一个力偶$\vec r_i\times\vec F_i$，累加即得主矩。

二、共点力系的平衡——正交分解法与合成法

若所有力的作用线交于一点，力系对任一点的力矩自动为零，平衡只需 $$ \boxed{\thickspace\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0\thinspace} $$ 两条路：正交分解法（建坐标、分解、列两个方程，通法）与合成法（三力平衡时三力必可构成闭合三角形，用正弦定理/几何关系直接算，计算量小）。合成法的几何味更强，适合含角度的巧题。

三、三力平衡汇交定理与拉密定理

三力平衡汇交定理：刚体受三个非平行力而平衡时，三力必汇交于一点。理由：任意两力的合力必过它们的交点，第三个力要与该合力平衡，必须与之共线，故也过此点。它的价值在于反求未知力的作用线方向：例如斜靠墙壁的梯子，知道重力与墙的支持力方向，就能定出地面全反力的方向。

拉密定理：三力平衡时，各力与另外两力夹角的正弦成正比： $$ \boxed{\thickspace\frac{F_1}{\sin\alpha_1}=\frac{F_2}{\sin\alpha_2}=\frac{F_3}{\sin\alpha_3}\thinspace} $$ 其中 $\alpha_1$是$F_2$与$F_3$ 的夹角（余者类推）。注意角度是"对边对角"式对应的，写错角度是常见失误。

三力平衡题的标准套路

先判断是否三力问题 → 用汇交定理找第三力方向（画延长线找交点）→ 画闭合三角形 → 正弦定理/余弦定理求解。这比盲目正交分解省一半计算。

四、一般刚体的平衡条件

刚体（力不共点）平衡必须同时满足： $$ \boxed{\thickspace\sum\vec F=0\quad\text{且}\quad\sum\vec\tau=0\thinspace} $$ 关键结论：力矩方程对任意取矩轴都成立（平衡时 $\vec M_O=0$与$O$ 无关）。二维问题共 3 个独立方程（2 个力 + 1 个力矩），选轴技巧：把轴选在未知力（尤其是方向未知的力）的作用点上，该力无力矩，自动从方程中消去；对杆类问题常取"支点/铰点"为轴。

五、摩擦与摩擦角

静摩擦与滑动摩擦：

• 静摩擦力 $f\le f_{\max}=\mu_s N$，$f$ 由平衡条件决定，方向可与相对运动趋势相反；
• 滑动摩擦力 $f=\mu_k N$，方向与相对运动方向相反。

关于"$\mu N$略大于$\mu N$"

实验表明最大静摩擦系数 $\mu_s$比滑动摩擦系数$\mu_k$略大（钢对钢约大 5%~10%）。竞赛中若不区分，一律取$f_{\max}=\mu N$（记作 $\mu$）；若题目分别给出 $\mu_s$、$\mu_k$，则"开始滑动"用 $\mu_s$，"滑起来以后"用 $\mu_k$。临界状态只求"恰好要动"的那一瞬间。

摩擦角与全反力：法向支持力 $\vec N$与静摩擦力$\vec f$的合力称为全反力$\vec R$。当 $f$达到$f_{\max}$ 时，$\vec R$ 与法线的夹角达到最大值 $$ \boxed{\thickspace\varphi=\arctan\mu\thinspace} $$ 称为摩擦角。换言之，无论主动力如何作用，全反力与接触面法线的夹角不可能超过 $\varphi$（未达临界时为 $<\varphi$，临界时为 $=\varphi$）。这一"方向约束"把摩擦问题变成纯几何问题，是竞赛静力学的第一把利器。

自锁条件：若主动力（除摩擦与支持力外的所有力）的合力落在以接触点为顶点、半顶角 $\varphi$ 的摩擦锥内，则无论主动力多大，物体都能保持静止——因为全反力总能与之平衡。反之，主动力合力在锥外，则必滑动（或翻倒）。典型结论：斜面上的物体，当斜面倾角满足 $$ \boxed{\thickspace\tan\theta\le\mu\iff\theta\le\varphi\thinspace} $$ 时，无论多重都不下滑——这就是自锁。斜面夹具、螺母螺纹、人字形梯（地面摩擦自锁）都是它的工程化身。

六、平衡的稳定性

平衡有三类：稳定（偏离后自动回来）、不稳定（偏离后加速离开）、随遇（偏离后停在任意位置）。两套判据：

势能判据（一维）：对保守系统，平衡位置满足 $U'(x)=0$，稳定性看二阶导： $$ \boxed{\thickspace{}U''(x_0)>0\ \text{稳定};\qquad U''(x_0)<0\ \text{不稳定};\qquad U''(x_0)=0\ \text{需看高阶项}\thickspace} $$ 直觉：$U''>0$意味着势能曲线在平衡点处"碗形"下凹，偏离后力$F=-U'$指向回平衡点。小偏离时$U(x)\approx U(x_0)+\tfrac12 U''(x_0)(x-x_0)^2$，即等效弹簧 $k=U''(x_0)$——这直接通向 08-机械振动。

重心高低判据：重力场中，物体被提离高度的变化决定稳定性——重心最低处稳定，重心最高处不稳定，重心高度不变则随遇。

翻倒临界：物体在支撑面上平衡时，支持力的作用点（压力中心）必落在支撑面内；重力作用线一旦越过支点（支撑面边缘棱），物体即绕该棱翻倒。翻倒的临界条件：重力作用线恰过支点。

七、虚功原理

对理想约束（约束力不做功：光滑接触、光滑铰链、不可伸长的轻绳/轻杆）的平衡系统，在任意微小虚位移 $\delta\vec r_i$ 下，主动力做功之和为零： $$ \boxed{\thickspace\delta W=\sum_i\vec F_i\cdot\delta\vec r_i=0\thinspace} $$ 价值：不必把每个力都算出来（约束力自动消失），只要写出"位移的几何关系"就能建立力的平衡关系。适用场景：杠杆、滑块-连杆机构、滑轮组、多自由度系统——尤其在"力的方向凌乱、但几何关系清晰"的题里，它比受力分析快得多。

推导与原理

一、力矩的叉积表述与力线平移定理

三维中力矩是叉积：$\vec\tau=\vec r\times\vec F$，右手定则定方向（详见 03-矢量运算）。二维中退化为代数量 $\tau=Fd$或$\tau=xF_y-yF_x$。力线平移定理的证明：把 $\vec F$在作用点$A$分解为"平移到$O$的$\vec F$+ 力偶$\vec r_{OA}\times\vec F$"，两者等效于原力——因为力矩不变、合力不变。

二、拉密定理的推导

三力平衡时 $\vec F_1+\vec F_2+\vec F_3=0$，三力构成闭合三角形。$\vec F_1$与$\vec F_2$的夹角$\pi-\alpha_3$（$\alpha_3$是$F_1,F_2$ 间夹角），由正弦定理 $$ \frac{F_1}{\sin\alpha_1}=\frac{F_2}{\sin\alpha_2}=\frac{F_3}{\sin\alpha_3} $$ 其中 $\alpha_1$是$F_2$与$F_3$ 之间的夹角。注意：$\sin(\pi-\alpha_3)=\sin\alpha_3$ 说明角度取"对边对角"关系即可。

三、摩擦角与自锁的几何证明

临界时 $f_{\max}=\mu N$，全反力与法线夹角 $$ \tan\varphi=\frac{f_{\max}}{N}=\mu \quad\Rightarrow\quad \varphi=\arctan\mu $$ 自锁：物体静止时 $\vec N+\vec f+\vec F_{\text{主动}}=0$，即 $\vec R=-\vec F_{\text{主动}}$。只要 $F_{\text{主动}}$与法线夹角$\le\varphi$，总可以配出一个不超临界的 $f$ 来平衡；$F_{\text{主动}}$无限大也只在锥内（比例放大，方向不变）。斜面上物体，主动力为重力：与法线夹角恰为斜面倾角$\theta$，故 $\theta\le\varphi$即$\tan\theta\le\mu$。

四、势能判据的推导

平衡条件 $F=-\dfrac{dU}{dx}=0$即$U'=0$。设 $x_0$为平衡点，偏离$\delta$，由泰勒展开（见 04-泰勒展开与级数）： $$ U(x_0+\delta)\approx U(x_0)+\frac12 U''(x_0)\thinspace\delta^2 $$ 恢复力 $F=-\dfrac{dU}{dx}\approx-U''(x_0)\thinspace\delta$。$U''>0$时$F$指向平衡点（稳定，等效$k=U''>0$）；$U''<0$时$F$ 推离平衡点（不稳定）。$U''=0$时平衡的稳定性由更高阶项决定，例如$U=kx^4$在原点$U''=0$ 但实为稳定平衡。

五、悬链线的微元法推导（结论）

均匀绳索（线密度 $\lambda$）自然悬挂成悬链线。取最低点为原点、最低点到右端的一小段弧 $s$为研究对象，受最低点张力$T_0$（水平）、右端张力 $T$（与水平成 $\alpha$）、重力 $\lambda gs$： $$ T\cos\alpha=T_0,\qquad T\sin\alpha=\lambda gs \thickspace\Rightarrow\thickspace \tan\alpha=\frac{\lambda gs}{T_0}=\frac{s}{a}\quad\left(a=\frac{T_0}{\lambda g}\right) $$ 由 $\dfrac{dy}{dx}=\tan\alpha=\dfrac{s}{a}$与$\dfrac{ds}{dx}=\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}$ 解出 $$ \boxed{\thickspace{}y=a\cosh\frac{x}{a}\thinspace}\quad(\text{最低点在 }y=a\text{ 处}) $$ 张力分布 $T=T_0\cosh\dfrac{x}{a}=\lambda g\left(y+a\right)$：张力正比于该点高度，最低点张力最小、悬点张力最大。参数 $a$ 由两端悬挂条件（端点坐标）确定，常需数值求解超越方程。

六、虚功原理的物理解读

约束力处处与虚位移垂直（或轻绳轻杆内力成对相消），故 $\sum\vec F_i^{(\text{约束})}\cdot\delta\vec r_i=0$。平衡时每个质点的合力为零，全系统总虚功为零；因约束虚功为零，只剩主动力项。反过来：若主动力虚功 $\delta W=0$对一切虚位移成立，由$\delta r_i$ 的独立性可逐项推出各广义力为零——即平衡。注意：虚位移是"满足约束的想象位移"，不是真实发生的位移，无时间概念。

典型实例与物理应用

实例 1：最小拉力问题——最佳拉角 $\tan\theta=\mu$

水平地面上质量 $m$的物体，拉力与水平成$\theta$斜向上。竖直方向$N=mg-F\sin\theta$，匀速临界 $F\cos\theta=f_{\max}=\mu N$： $$ F(\theta)=\frac{\mu mg}{\cos\theta+\mu\sin\theta} $$ 求最小值：令 $g(\theta)=\cos\theta+\mu\sin\theta$，$g'(\theta)=-\sin\theta+\mu\cos\theta=0$，得 $$ \boxed{\thickspace\tan\theta=\mu\thinspace}\qquad F_{\min}=\frac{\mu mg}{\sqrt{1+\mu^2}} $$ 几何理解：临界时全反力方向固定（与法线成 $\varphi$），要使拉力最小，应使拉力方向垂直于全反力（正交投影最小）——这正是 $\theta=\varphi$。竞赛妙题常把"斜上拉"与"水平拉"比较，用这个结论一眼判定。

实例 2：斜面上的自锁与"恰好下滑"

物块在倾角 $\theta$斜面上恰好匀速下滑时$\mu=\tan\theta$。竞赛常反用：已知 $\mu$，则

• $\tan\theta<\mu$：块不动（自锁），无论多重；
• 若再加水平力或斜向力，滑动方向可能改变——先判断相对运动趋势方向，再定 $f$ 方向。

实例 3：悬链线结论的直接应用

绳长 $L$、两端等高悬挂（间距 $2b$）。由 $y=a\cosh(x/a)$与弧长$s=a\sinh(x/a)$，悬点到最低点弧长 $\dfrac{L}{2}=a\sinh\dfrac{b}{a}$，可解出 $a$（数值），再算垂度 $h=a\left(\cosh\dfrac{b}{a}-1\right)$与最大张力$T_{\max}=\lambda g\thinspace{}a\cosh\dfrac{b}{a}$。若仅问"近似垂度"，可用抛物线近似（$b\ll a$时$\cosh x\approx 1+\dfrac{x^2}{2}$，见 04-泰勒展开与级数）。

实例 4：桁架的节点法简介

桁架由轻杆铰接而成，假定节点光滑铰、杆只受轴力。两步走：

1. 整体法：把整个桁架当刚体，对支点取矩求支反力（这是 04-功与机械能 之前先会的基本功）；
2. 节点法：从只有两个未知杆力的节点开始，逐节点列 $\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$。

零力杆：无外载荷的两杆节点，两杆均为零力杆；无外载荷的三杆节点中，两杆共线时第三杆为零力杆。先删零力杆再计算可大幅简化。

例题

例 1：斜靠墙的梯子——摩擦条件与临界角

题目：长为 $L$、质量 $m$的均匀梯子斜靠在竖直光滑墙壁上，与地面夹角为$\theta$，地面粗糙、摩擦系数 $\mu$。求梯子不滑倒所需的最小 $\theta_c$；若 $\mu=0.5$，$\theta_c$ 为多大？

分析：梯子受三力——重力 $mg$（作用于中点）、墙的法向支持力 $N_2$（水平向左）、地面全反力 $\vec R$。三力平衡必汇交，但直接解时用"力矩 + 两个力平衡"更直白。临界时地面静摩擦达最大值 $f=\mu N_1$。取轴技巧：以地面接触点 $A$ 为轴，$N_1$与$f$ 均无力矩，只剩两个力矩方程。

解答：设地面支持力 $N_1$、摩擦力 $f$。三式： $$ \sum F_x:\thickspace N_2=f,\qquad \sum F_y:\thickspace N_1=mg $$ 以 $A$ 为轴： $$ N_2\thinspace{}L\sin\theta=mg\cdot\frac{L}{2}\cos\theta \thickspace\Rightarrow\thickspace N_2=\frac{mg}{2\tan\theta} $$ 临界时 $f=\mu N_1=\mu mg$，而 $f=N_2$，故 $$ \frac{mg}{2\tan\theta}\le\mu mg \thickspace\Rightarrow\thickspace \tan\theta\ge\frac{1}{2\mu} $$ 即 $\boxed{\thickspace\theta_c=\arctan\dfrac{1}{2\mu}\thinspace}$。代入 $\mu=0.5$： $$ \theta_c=\arctan 1=45^\circ $$

点评：本题示范三个要点：取矩轴选在未知力作用点消元；临界条件 $f=f_{\max}$的使用时机；以及三力汇交的验证——重力线过中点，墙支持力水平，故地面全反力必过二者交点，读者可画出$\vec R$与竖直方向夹角恰为$\varphi$的三角形复核$\tan\theta_c=\dfrac{1}{2\mu}$。若墙壁也粗糙，则受四力，用摩擦锥 + 汇交思想同样可解，只是未知量多一个。

例 2：方块被推——滑动与翻倒，谁先发生？

题目：质量 $m$、边长 $a$的均匀正方体置于倾角$\theta$的粗糙斜面上，摩擦系数$\mu$。用平行于斜面、指向坡上的力 $F$推其质心（推力过质心）。求恰好滑动与恰好翻倒的临界力，并判断$\mu<1$ 时哪个先发生。

分析：两个独立临界事件：

• 滑动临界：沿斜面方向 $F$需克服$mg\sin\theta$与最大静摩擦$\mu mg\cos\theta$；
• 翻倒临界：绕下侧棱支点 $P$翻转，此时支持力集中到$P$棱。取$P$为轴，重力分力与推力对$P$的力臂都是$a/2$（推力过质心，质心到 $P$在斜面方向、垂直方向的投影距离均为$a/2$）。

解答：滑动临界： $$ F_s=\mu mg\cos\theta+mg\sin\theta $$ 翻倒临界（绕 $P$ 取矩，临界时重力矩被推力矩恰好抵消）： $$ F_c\cdot\frac{a}{2}=mg\cos\theta\cdot\frac{a}{2}+mg\sin\theta\cdot\frac{a}{2}\thickspace\Rightarrow\thickspace F_c=mg(\cos\theta+\sin\theta) $$ 比较： $$ F_c-F_s=mg\cos\theta\thinspace(1-\mu) $$ 故 $\mu<1$时恒有$F_c>F_s$，先滑动后翻倒。

点评：推力过质心时，翻倒需要的力反而更大——直觉上"推箱子容易翻"其实是推力作用点太高（力臂大）所致。变式：若推力作用在顶面中心，力臂变为 $a$，则 $F_c=\dfrac{mg}{2}(\cos\theta+\sin\theta)$，代 $\mu=0.4$、$\theta=30^\circ$得$F_s\approx 0.85mg$、$F_c\approx 0.68mg$，先翻倒。本题核心：翻倒是"支持力作用点移出底面 + 重力线过支点"的力矩问题，滑动是"沿面力"的力平衡问题，两者独立，须分别计算再比较。

例 3：虚功原理——滑块-连杆机构的平衡

题目：轻杆 $OA$长$l$，$O$ 端铰接于固定墙，$A$端连接可在光滑水平地面滑动的滑块；杆中点$C$悬挂重物$mg$。杆与地面成角 $\theta$，滑块受水平外力 $F$使系统静止。求$F$与$\theta$ 的关系（用虚功原理）。

分析：系统受理想约束（铰链、光滑地面、轻杆、不可伸长）。给滑块一个虚位移 $\delta x$（沿 $+x$），则杆绕 $O$转动$\delta\theta=-\dfrac{\delta x}{l\sin\theta}$（$\delta x$向右使$\theta$减小），重物$C$ 上升 $$ \delta h=\frac{l}{2}\cos\theta\thinspace\delta\theta=-\frac{\cos\theta}{2\sin\theta}\thinspace\delta x $$ 主动力只有 $F$与$mg$。$\delta W=F\thinspace\delta x-mg\thinspace\delta h=0$。

解答： $$ F\thinspace\delta x-mg\left(-\frac{\cos\theta}{2\sin\theta}\thinspace\delta x\right)=0 \thickspace\Rightarrow\thickspace \boxed{\thickspace{}F=\frac{mg}{2}\cot\theta\thickspace} $$ 复核（常规力矩法）：对 $O$ 取矩，$mg$力臂$\dfrac{l}{2}\cos\theta$，$F$力臂$l\sin\theta$： $$ mg\cdot\frac{l}{2}\cos\theta=F\cdot l\sin\theta \thickspace\Rightarrow\thickspace F=\frac{mg}{2}\cot\theta $$ 两种方法结果一致。

点评：虚功原理把"三个力、力矩方向复杂"的问题化成"一个几何关系 $\delta h=-\dfrac{\cos\theta}{2\sin\theta}\delta x$"。要点：只数主动力；约束力（铰链力、地面支持力、杆内力）一律不出现；虚位移须满足约束（滑块只能水平动，杆不可伸长）。竞赛进阶见 理论力学 与 拉格朗日方程——那里的广义坐标与广义力正是把本节 $\delta W=0$ 形式化后的产物。

易错提醒

易错点

1. 把刚体平衡当质点平衡：只写 $\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$ 而漏掉力矩方程。刚体平衡必须是"两力平衡 + 一矩平衡"三式，否则自由度没锁死。
2. 力矩正负号混乱：先约定"逆时针为正"再写方程，每个力矩前都带符号；把力矩写成 $F\cdot r$（正对距离）而不是 $F\cdot d$（力臂，垂直距离）是高频错误。
3. 静摩擦力一律取 $\mu N$：$f\le\mu N$，只有==临界（恰好要动）==时才取等号。未达临界时 $f$由平衡条件定，比$\mu N$小得多。题目说"静止"，先假设$f$是自由变量，解出后验证$f\le\mu N$。
4. 忽略静摩擦的方向：$f$ 方向与相对运动趋势相反，趋势判断错了整个方程都错；物体可能沿斜面下滑、上滑或被水平推，先明确趋势。
5. 摩擦角误用：$\varphi=\arctan\mu$中$\mu$ 是接触面摩擦系数，用全反力方向解题时先确认"临界"前提（$f=f_{\max}$）；非临界时全反力方向不定，不能当已知角。
6. 三力汇交定理乱用：仅适用于"三力且两两不平行"的刚体；受四力（如双摩擦面）时不能套，须回力矩方程。
7. 拉密定理角度对错位：$\alpha_1$是$F_2$、$F_3$ 的夹角（对边对角），画图时标注清楚再代公式。
8. 翻倒分析忘掉"压力中心"：翻倒是支持力作用点沿底面移动、最终到支棱的过程；以为支持力恒在底面中心是错的。判据是重力作用线越过支点棱。
9. 稳定性只看"是否平衡"不看"平衡种类"：$U'=0$只说明平衡存在；稳定与否看$U''$ 符号。竞赛中"稳定/不稳定/随遇"三选一必须答全。
10. 虚功原理中把约束力也算进去：理想约束的约束力虚功为零，方程里只许出现主动力；且虚位移是"满足约束的假想位移"，与真实运动过程无关。

概念辨析

质点平衡 vs 刚体平衡

比较项	质点平衡	刚体平衡
条件	$\sum\vec F=0$	$\sum\vec F=0$且$\sum\vec\tau=0$
力是否须共点	作用线共点	可不共点（力偶允许）
二维独立方程数	2	3
典型错法	把刚体题当质点题	漏力矩方程

静摩擦 vs 滑动摩擦

比较项	静摩擦 $f$	滑动摩擦$f_k$
大小	$f\le\mu_s N$，由平衡定	$f_k=\mu_k N$ 恒定
方向	与相对运动趋势相反	与相对运动相反
做功	相对静止时不做功	可以做负功
临界衔接	$f_{\max}=\mu_s N$（略大于 $\mu_k N$，竞赛常不区分）	—

三类平衡

类型	势能判据	重心位置	小偏离响应	例子
稳定	$U''>0$，$U$ 极小	最低	拉回（作小振动）	碗底小球
不稳定	$U''<0$，$U$ 极大	最高	推开	倒立摆
随遇	$U''=0$，$U$ 平坦	高度不变	停于任意处	水平面上均匀圆盘

与其他知识关联

• 与 01-运动学：静平衡是动力学的特例（$a=0$），运动学中的曲率、极值方法反过来用于找临界位置。
• 与 02-牛顿运动定律与非惯性系：受力分析技能的直接延续；非惯性系中把惯性力视作主动力后，本笔记全部工具照常使用（惯性力参与力矩方程）。
• 与 06-刚体动力学：本笔记的力矩、力偶、选轴是转动定律 $\tau=I\alpha$ 的静态版本；翻倒分析在纯滚动、碰撞问题中重现。
• 与 04-功与机械能：势能曲线与稳定性判据共用 $F=-dU/dx$；虚功原理与"保守力做功 = 势能减少"是同一枚硬币的两面。
• 与 08-机械振动：稳定平衡点附近的 $U''=k_{\text{eff}}$直接给出小振动角频率$\omega=\sqrt{k_{\text{eff}}/m}$。
• 与 03-矢量运算：力矩 $\vec\tau=\vec r\times\vec F$、主矢主矩的矢量合成依赖叉积。
• 与 01-微积分基础：势能判据的泰勒展开、悬链线的微元积分、虚功原理的微分表述。
• 与 04-泰勒展开与级数：$U''$ 判据与悬链线抛物线近似的来源。
• 与高中物理衔接：高中力学总览 中的共点力平衡、杠杆力矩是本节全部内容的高中版本。
• 与大学物理衔接：理论力学（一般力系的简化、静力学公理）、拉格朗日方程（虚功原理的严格形式——达朗贝尔原理与广义坐标）。

作者的话

个人理解

静力学在竞赛力学里常被轻视——"不就是受力分析吗"？但复赛、决赛的区分度恰恰藏在它里面。我的体会是三个词：

一是几何。摩擦角把"力的不等式"变成"角的不等式"（$\theta\le\varphi$），三力汇交把"未知力的方向"变成"两条线的交点"，全反力把"支持力 + 摩擦"合并成一条确定方向的直线。凡是感觉方程太多、未知数太多、列不出来的时候，先停下来画一个力三角形——很多难题的"卡点"其实是把代数当成了几何。

二是临界。滑动、翻倒、自锁失效，全是临界状态：$f=f_{\max}$、重力线过支棱、主动力合力恰在摩擦锥面。处理临界的手法是"先假设临界发生，列等号方程，再回代验证"——先解出临界条件，再判断真实情形在哪一侧，比从头讨论不等式快得多。

三是选轴。力矩方程之所以强大，是因为"轴可以随便选"。永远把轴放在"方向未知、大小未知"的那个力上，让它静默地消失——这是解刚体题最重要的一招，也是从静力通向 06-刚体动力学 的桥。虚功原理则是更极致的偷懒：连受力分析都省了，只算几何。建议读者把例 3 用三种方法各做一遍（正交分解、取矩、虚功），体会"方法决定工作量"的竞赛哲学。

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