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动量与角动量（竞赛）
概览
动量与角动量是继能量之后又一类守恒律工具，也是竞赛力学"观点升维"的核心版块。本笔记在高中"动量守恒 + 一维碰撞"的基础上深化五点：其一，把冲量推广为力对时间的积分 $\vec I=\int\vec F\thinspace{}dt$，并用微元法推导流体冲击力 $F=\rho Qv$；其二，引入恢复系数 $e$给出任意碰撞的完备解，处理二维斜碰与多次碰撞；其三，建立质心运动定理与质心系（零动量系），用柯尼希定理$E_k=E_{kc}+E_{k,\text{质心系}}$把两体碰撞化简到极致；其四，用变质量方程$m\thinspace{}dv=-u\thinspace{}dm$处理火箭与软绳冲击；其五，把守恒思想推广到转动——角动量$\vec L=\vec r\times\vec p$、力矩、角动量守恒，直通 06-刚体动力学 与 07-万有引力与天体运动。前置工具见 01-微积分基础 与 03-矢量运算，与 04-功与机械能 互为姊妹篇。
核心概念
一、冲量与动量定理
冲量：力对时间的累积，定义为 $$ \boxed{\thinspace\vec I=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)\thinspace{}dt\thinspace} $$ 恒力情形退化为高中形式 $\vec I=\vec F\thinspace\Delta t$；变力情形下 $\vec I$等于$F$-$t$ 图像与时间轴围成的面积（矢量求和，$F$-$t$ 图需按方向分段积分）。
动量定理：质点所受合外力的冲量等于其动量变化， $$ \boxed{\thinspace\vec I=\Delta\vec p=m\vec v_2-m\vec v_1\thinspace} $$ 这是牛顿第二定律 $\vec F=m\vec a$对时间的积分结果，适用于非惯性系之外的一切过程，包括碰撞、冲击这类$F$ 剧烈变化甚至无法解析表达的过程——这正是它不可替代的原因：不必知道力的细节，只看冲量的总效果。
矢量性与分量式：动量定理是矢量方程，可沿任意方向独立写出分量式： $$ I_x=\Delta p_x,\qquad I_y=\Delta p_y,\qquad I_z=\Delta p_z $$ 直角坐标、自然坐标（切向、法向）皆可分解。注意 $\vec I$的方向与动量变化$\Delta\vec p$ 同向，不一定与初末动量任一方向相同。
平均力：定义等效恒力 $$ \boxed{\thinspace\bar{\vec F}=\frac{\vec I}{\Delta t}=\frac{\Delta\vec p}{\Delta t}\thinspace} $$ 平均力是"冲量等效"而非"时间平均"意义上的力，常用于估算碰撞冲击力（如鸡蛋落地的冲击力约为重力的几十倍）。
冲量 vs 功
| 比较项 | 冲量 $\vec I$ | 功$W$ |
|---|---|---|
| 积分变量 | 对时间 $t$ | 对位移$\vec r$ |
| 表达式 | $\int\vec F\thinspace{}dt$ | $\int\vec F\cdot d\vec r$ |
| 是矢量还是标量 | 矢量 | 标量 |
| 改变的量 | 动量 $\vec p$ | 动能$E_k$ |
| 恒力特例 | $\vec F\Delta t$ | $F s\cos\theta$ |
二、动量守恒定律
条件：系统所受合外力为零（或外力远小于内力，如碰撞、爆炸瞬间可忽略重力、摩擦力）。此时 $$ \boxed{\thinspace\sum\vec p=\text{常量}\ \Rightarrow\ m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=\cdots=m_1\vec v_1'+m_2\vec v_2'\thinspace} $$
分量式守恒：若系统在某方向（如水平方向）合外力为零，则该方向动量守恒，即便总动量不守恒。例如竖直平面内的碰撞：水平方向无外力，$p_x$ 守恒；竖直方向有重力冲量，$p_y$ 不守恒。
爆炸与反冲：内力做功可改变总动能（化学能、内能转化为动能），但动量守恒照常成立。静止物体炸成两块： $$ 0=m_1\vec v_1+m_2\vec v_2\ \Rightarrow\ \frac{v_1}{v_2}=\frac{m_2}{m_1} $$ 速度方向相反、大小与质量成反比。反冲（人船模型）同理：$m_1\Delta x_1+m_2\Delta x_2=0$，质心不动。
三、碰撞与恢复系数
恢复系数：描述碰撞中动能损失程度的唯象参数，定义为碰后相对分离速度与碰前相对接近速度之比： $$ \boxed{\thinspace{}e=\frac{v_2'-v_1'}{v_1-v_2}\thinspace}\qquad(0\le e\le 1) $$ $e=1$ 完全弹性；$e=0$ 完全非弹性（碰后共速）；$0<e<1$ 一般碰撞。$e$与动能损失的关系为$e^2=1-\dfrac{\Delta E_k}{E_{k,\text{相对}}}$，其中 $E_{k,\text{相对}}=\dfrac12\mu(v_1-v_2)^2$ 为相对运动动能。
一维碰撞的完全解：动量守恒 $+$ 恢复系数定义联立，解得 $$ \boxed{\thinspace{}v_1'=\frac{(m_1-em_2)v_1+m_2(1+e)v_2}{m_1+m_2},\qquad v_2'=\frac{(m_2-em_1)v_2+m_1(1+e)v_1}{m_1+m_2}\thinspace} $$ 特例：完全弹性等质量碰撞 $v_1'=v_2,\ v_2'=v_1$（速度互换）；完全弹性 $m_1\ll m_2$时$v_1'\approx -v_1$（碰固定墙反弹）。
完全非弹性碰撞的动能损失：碰后共速 $v=\dfrac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$，损失 $$ \boxed{\thinspace\Delta E_k=\frac{m_1m_2}{2(m_1+m_2)}(v_1-v_2)^2=\frac12\mu(v_1-v_2)^2\thinspace} $$ 其中 $\mu=\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ 为约化质量。该式只差一个因子就是"相对速度平方 × 约化质量"——碰撞损失的是相对运动动能，质心动能永远无损。
二维斜碰：光滑球碰撞时切向无作用力，只需沿==两球心连线方向（法向）==用动量守恒与恢复系数，垂直法线的方向动量各自不变。完全弹性斜碰的典型问题：光滑球碰静止球，动量分量式 $+$ 能量方程，等质量时碰后两球速度垂直： $$ \vec v_1'^2+\vec v_2'^2=\vec v_1^2,\qquad \vec v_1'\cdot\vec v_2'=0 $$
多次碰撞与级联：相邻两次碰撞用同样公式递推；等质量完全弹性级联中，速度沿链逐级"交接"；小球与地面反复弹跳时，每次碰后速度乘 $e$，高度乘 $e^2$，落点等比递减——可用等比数列求和"一把算完"。
四、质心与质心系
质心位置：质点系 $$ \vec r_c=\frac{\sum m_i\vec r_i}{M},\qquad \vec r_c=\frac{\int \vec r\thinspace{}dm}{M}\ \text{（连续体）} $$ 质心是系统质量的"平均位置"，与受力无关、与参考系选取有关（位移按伽利略变换）。
质心运动定理：质心如同一个总质量集中于质心的质点， $$ \boxed{\thinspace{}M\vec a_c=\sum\vec F_{\text{外}}\thinspace} $$ 内力不改变质心运动。推论：爆炸、碰撞、人船运动中，只要合外力为零，质心静止或匀速直线运动，"动量守恒"与"质心匀速"是同义反复。
质心系（零动量系）：随质心平动的参考系，其中 $\sum m_i\vec v_i'=0$。质心系中的物理最简：两体碰撞中，两质点动量等大反向 $p_1'=p_2'=\mu v_{\text{rel}}$；完全弹性碰撞中各自动量大小不变、只反转方向。
柯尼希（König）定理：系统动能 = 质心动能 + 质心系内动能， $$ \boxed{\thinspace{}E_k=E_{kc}+E_{k,\text{质心系}}=\frac12Mv_c^2+\sum\frac12m_iv_i'^2\thinspace} $$ 交叉项 $\vec v_c\cdot\sum m_i\vec v_i'$因质心系总动量为零而消失——这就是该定理成立的深层原因。用质心系看碰撞：动能损失只是$E_{k,\text{质心系}}$ 的损失，计算一步到位。
五、变质量系统与火箭
火箭方程：设火箭质量 $m(t)$，喷气相对火箭的速度为 $u$（向后），在 $dt$内喷出质量$-dm$，由动量守恒得 $$ m\thinspace{}dv=-u\thinspace{}dm\ \Rightarrow\ \boxed{\thinspace{}v-u\ln\frac{m_0}{m}=0\thinspace} $$ 若考虑重力： $$ v=u\ln\frac{m_0}{m}-gt $$ 速度增量只取决于喷气速度与质量比，与喷气快慢无关。由此得出竞赛结论：入轨要快、要轻；单级火箭难达高速度，常用多级（各级依次丢弃"死重"）。
比冲：单位质量燃料产生的冲量，$I_{sp}=\dfrac{F}{\dot m\thinspace{}g}$（或 $I_{sp}=u/g$），量纲为秒，衡量发动机效率。火箭、喷气发动机、消防水枪反冲统一用同一思想处理。
六、角动量与角动量守恒
角动量：质点对给定参考点 $O$ 的角动量定义为 $$ \boxed{\thinspace\vec L=\vec r\times\vec p=m\vec r\times\vec v\thinspace} $$ 大小为 $L=rmv\sin\theta=r_\perp mv$，方向由右手定则（叉积，见 03-矢量运算）确定。角动量与参考点密切相关，不指明参考点无意义。对固定轴的角动量，刚体情形 $L=I\omega$（见 06-刚体动力学）。
力矩：$\vec\tau=\vec r\times\vec F$，大小 $\tau=rF\sin\theta=r_\perp F$。
角动量定理： $$ \boxed{\thinspace\frac{d\vec L}{dt}=\vec\tau\thinspace}\qquad\text{或}\qquad \vec\tau=\frac{d\vec L}{dt} $$ 角动量守恒：合外力矩为零时 $\vec L=$ 常量。常见情形：有心力（引力、静电力）关于力心的力矩恒为零——行星绕日角动量守恒；光滑水平面上的转台、绳系物；陀螺与进动（见 06-刚体动力学）。
开普勒第二定律（面积速度恒定）：行星对太阳的角动量守恒， $$ \frac{dA}{dt}=\frac12 r^2\dot\theta=\frac{L}{2m}=\text{常量} $$ 面积速度不变正是角动量守恒的几何翻译。
三大守恒律的"体检表"
解题前先问：合外力为零？→ 动量守恒；非保守力不做功？→ 机械能守恒；对某点合外力矩为零？→ 角动量守恒。三者条件独立，常常联用（如两球斜碰：法向动量守恒 $+$能量守恒$+$ 对球心的角动量各自守恒）。
推导与原理
一、流体冲击力 $F=\rho Qv$ 的微元推导
设水流以速度 $v$、截面积 $S$冲击竖直挡板，水的密度为$\rho$，体积流量 $Q=Sv$。取时间微元 $\Delta t$，撞击挡板的水层质量为 $$ \Delta m=\rho Q\Delta t=\rho Sv\Delta t $$
情形一：完全吸收（水沿板面流下，速度降为零）。水层动量变化 $\Delta p=\Delta m\cdot v$，由动量定理，板对水的作用力 $$ F\Delta t=\Delta p=\rho Sv^2\Delta t\ \Rightarrow\ F=\rho Qv=\rho Sv^2 $$
情形二：完全弹射（水以速度 $-v$弹回）。动量变化$\Delta p=\Delta m\cdot 2v$， $$ F=2\rho Qv=2\rho Sv^2 $$
情形三：挡板以速度 $u$ 后退（$u<v$，完全吸收）。相对速度改为 $v+u$， $$ F=\rho S(v+u)^2 $$
要点：动量定理的对象是"与板相互作用的那层水"——连续流体问题中"取微元、算质量、看动量变化"三步走，即竞赛微元法。由牛顿第三定律，水对板的力与板对水的力等大反向。
二、一维碰撞完全解的推导
设 $m_1$、$m_2$碰前速度$v_1$、$v_2$（$v_1>v_2$）。动量守恒与恢复系数联立： $$ m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2',\qquad v_2'-v_1'=e(v_1-v_2) $$ 第一式移项得 $m_1(v_1-v_1')=m_2(v_2'-v_2)$，第二式给出 $v_1'=v_2'-e(v_1-v_2)$，代入消元即得正文公式。注意两解问题：若用"动量守恒 $+$ 能量守恒（$e=1$）"求解，解二元二次方程组会出现两组解，其中一组恰为碰前速度本身——这是"未碰撞"的平凡解，物理上对应相对速度未反转的情形，应舍去；判别标准是碰后相对速度 $v_2'-v_1'$与碰前$v_1-v_2$ 异号（碰后相互分离）。
三、火箭方程的推导
以时刻 $t$的火箭（质量$m$，速度 $v$）与微元 $dm$ 为系统，$dt$后喷出质量$dm$（$dm<0$），喷气相对火箭速度为 $u$（向后）。以地面为参考系：
- 喷射前系统动量：$mv$
- 喷射后：火箭 $(m+dm)(v+dv)$与喷气$(-dm)(v-u)$ 之和
动量守恒（忽略外力）： $$ mv=(m+dm)(v+dv)+(-dm)(v-u) $$ 展开并略去二阶小量 $dm\thinspace{}dv$： $$ mv=mv+m\thinspace{}dv+dm\thinspace{}v+dm\thinspace{}dv-dm\thinspace{}v+u\thinspace{}dm=mv+m\thinspace{}dv+u\thinspace{}dm $$ 得变质量方程 $$ m\thinspace{}dv=-u\thinspace{}dm\ \Rightarrow\ \frac{dv}{u}=-\frac{dm}{m} $$ 对两边积分（$m_0\to m$，$0\to v$）： $$ v=u\ln\frac{m_0}{m} $$ 若途中受恒定重力 $g$（竖直发射），则 $m\thinspace{}dv=-u\thinspace{}dm-mg\thinspace{}dt$，解得 $v=u\ln\dfrac{m_0}{m}-gt$——这就是 02-微分方程初步 中一阶可分离变量的标准应用。
四、柯尼希定理的推导
设质心速度为 $\vec v_c$，第 $i$个质点相对质心速度为$\vec v_i'=\vec v_i-\vec v_c$： $$ E_k=\sum\frac12m_i(\vec v_c+\vec v_i')^2=\frac12 Mv_c^2+\sum\frac12m_iv_i'^2+\vec v_c\cdot\sum m_i\vec v_i' $$ 由质心定义 $\sum m_i\vec v_i'=0$（质心系零动量），交叉项消失： $$ E_k=\frac12Mv_c^2+\sum\frac12m_iv_i'^2 $$ 两体情形 $E_{k,\text{质心系}}=\dfrac12\mu v_{\text{rel}}^2$，碰撞动能损失 $\Delta E_k=\dfrac12\mu(v_1-v_2)^2$ 与此完全一致——可见碰撞"损失"的正是质心系动能。
五、角动量定理与面积速度
对 $\vec L=m\vec r\times\vec v$ 求导： $$ \frac{d\vec L}{dt}=m\frac{d\vec r}{dt}\times\vec v+m\vec r\times\frac{d\vec v}{dt}=m\vec v\times\vec v+\vec r\times(m\vec a)=\vec r\times\vec F=\vec\tau $$ 第一项因 $\vec v\times\vec v=0$ 消失——这正是角动量定理"天然干净"的原因。
开普勒第二定律：行星运动中 $\vec F$ 沿矢径方向，$\vec\tau=\vec r\times\vec F=0$，故 $L$ 守恒。极坐标下面积速度 $$ \frac{dA}{dt}=\frac12 r^2\dot\theta=\frac{L}{2m}=\text{常量} $$ 近地点快、远地点慢完全由此决定，见 07-万有引力与天体运动。
典型实例与物理应用
实例 1：软绳冲击地面
长为 $L$、线密度为 $\lambda$的软绳从$h$ 高处自由下落，绳端落地后绳逐段堆在地面上。求落地后某时刻地面对绳的支持力。
设此时地面已有长度 $x$的绳。已落地部分需支持重力$\lambda gx$；同时在 $dt$内新增落地质量$dm=\lambda v\thinspace{}dt$，其动量由 $v$变为$0$，地面需额外冲量。由动量定理 $$ F\thinspace\Delta t=\Delta m\cdot v=\lambda v^2\Delta t $$ 故 $$ \boxed{\thinspace{}F=\lambda gx+\lambda v^2\thinspace} $$ 其中 $\lambda v^2$即"连续体冲击项"（与流体冲击力$F=\rho Qv=\rho Sv^2$同构——都是$\text{质量流率}\times\text{速度}$）。若 $x=\dfrac12gt^2$、$v=gt$，可算得 $F=3\lambda gx$：冲击项贡献是重力支持的两倍，这是本类题的经典结论。
实例 2：喷泉反冲力
喷泉把水从静止加速到 $v$从截面积$S$的喷嘴喷出。取$dt$内喷出的水$\Delta m=\rho Sv\thinspace{}dt$，其动量由 $0$变为$\Delta m\thinspace{}v$，由动量定理水受到的作用力 $$ F=\frac{\Delta m\thinspace{}v}{\Delta t}=\rho Sv^2=\rho Qv $$ 喷泉对地的反冲力即 $F$（方向向下压地）。消防水枪、洒水器、火箭的推力公式同源——一切"把流体加速喷出"的设备都靠反冲力前进。若水柱射到 $h$高处再落回（速度变为$\sqrt{v^2-2gh}$ 时冲击水平板），冲击力按实例 1 的公式结合该速度计算。
实例 3：圆锥摆
小球以角速度 $\omega$绕竖直轴作圆锥摆运动，摆长$l$、与竖直方向夹角 $\theta$。对悬点取角动量：重力与张力均作用于 $O$点下方，二者对悬点的力矩在竖直方向的分量为零，故$\vec L$ 的竖直分量守恒；又水平面内运动匀速，$L_z=m l^2\sin^2\theta\thinspace\omega$恒定，与$\omega=\sqrt{\dfrac{g}{l\cos\theta}}$ 自洽。角动量视角在这里给出"为什么是竖直分量守恒"的严格说明。
实例 4：爬绳转台（角动量守恒）
光滑水平转台绕竖直轴以角速度 $\omega_1$ 转动，人握绳站在台上，绳通过轴心。人用力把绳拉到身边（沿径向移动），对转轴合外力矩为零，角动量守恒： $$ I_1\omega_1=I_2\omega_2 $$ 人拉绳时绳的拉力沿径向、过转轴，不产生力矩，故 $\omega_2=\dfrac{I_1}{I_2}\omega_1$增大；动能$E_k=\dfrac{L^2}{2I}$却因$I$ 减小而增大——能量来自人拉绳做的功。这正是 06-刚体动力学 中"转动动能 + 角动量守恒"的标准模型，也解释了滑冰运动员收臂转得更快的道理。
例题
例 1：水柱冲击挡板（流体冲击力）
题目：截面积为 $S$的稳定水柱以速度$v$水平冲击竖直固定挡板，水的密度为$\rho$。（1）水被挡板完全吸收（沿板面流下），求水对板的平均作用力；（2）水被完全弹回，求水对板的平均作用力；（3）若挡板以速度 $u$（$u<v$）逆着水柱匀速运动，水被完全吸收，求水对板的力。
分析：取与板接触的水层为研究对象，用微元法 + 动量定理。三种情形只差"动量变化量"的不同：吸收是 $v\to 0$，弹射是 $v\to -v$，动板需改用相对速度。
解答：质量流率 $\dot m=\rho Q=\rho Sv$。 （1）$\Delta p=\dot m\thinspace{}v\thinspace\Delta t$，板对水的力 $F_1=\rho Sv^2$，水对板同样大小，$F=\rho Sv^2=\rho Qv$。 （2）$\Delta p=\dot m\cdot 2v\thinspace\Delta t$，故 $F=2\rho Sv^2$。 （3）相对速度 $v+u$，$F=\rho S(v+u)^2$。
点评：$F=\rho Qv$ 是竞赛高频结论，关键在于看清"完全吸收"还是"完全弹射"（差因子 2）；挡板动起来时把参考系换成与板共速的惯性系，水流速度立即变为相对速度，问题原封不动。
例 2：等质量两球的完全弹性斜碰
题目：光滑水平面上，质量均为 $m$的$A$、$B$ 两球，$A$以速度$v$ 运动，$B$ 静止。$A$与$B$发生完全弹性非对心碰撞，碰后速度分别为$\vec v_A'$、$\vec v_B'$。证明 $\vec v_A'\perp\vec v_B'$，并求 $A$ 球碰撞后的最大偏转角。
分析：斜碰中 $B$在$A$的运动方向上静止，故碰后$B$只能沿碰撞瞬间的连心线方向运动；沿连心线方向动量守恒，垂直方向$A$ 的动量不变。弹性碰撞再叠加能量守恒。
解答：动量守恒 $$ m\vec v=m\vec v_A'+m\vec v_B'\ \Rightarrow\ \vec v_A'+\vec v_B'=\vec v $$ 能量守恒 $$ \frac12mv^2=\frac12mv_A'^2+\frac12mv_B'^2\ \Rightarrow\ v_A'^2+v_B'^2=v^2 $$ 由 $\vec v=\vec v_A'+\vec v_B'$平方得$v^2=v_A'^2+v_B'^2+2\vec v_A'\cdot\vec v_B'$，与能量方程对比得 $$ \vec v_A'\cdot\vec v_B'=0\ \Rightarrow\ \boxed{\thinspace\vec v_A'\perp\vec v_B'\thinspace} $$ 设 $A$的偏转角为$\alpha$，由 $\vec v_A'\cdot\vec v=\vec v_A'\cdot(\vec v_A'+\vec v_B')=v_A'^2$，即 $v_A'v\cos\alpha=v_A'^2$，故 $\cos\alpha=\dfrac{v_A'}{v}$。当 $v_A'=v$（擦边碰撞，$B$几乎不动）时$\alpha=0$；$v_A'\to 0$时$\alpha\to 90^\circ$。故最大偏转角为 $90^\circ$（对心极限时 $v_A'=0$、$v_B'=v$）。
点评：等质量弹性斜碰的 $90^\circ$结论务必牢记——这是牛顿摆、台球问题、以及$\alpha$ 粒子散射模型的简化版。若质量不等，改用动量矢量三角形（$\vec v_A'+\dfrac{m_B}{m_A}\vec v_B'=\vec v$）与能量方程联立，$A$的最大偏转角满足$\sin\alpha_{\max}=\dfrac{m_B}{m_A}$（$m_B\le m_A$ 时）。
例 3：小滑块沿光滑竖直圆环下滑（角动量与能量）
题目：光滑竖直放置的固定细圆环半径 $R$，质量 $m$ 的小滑块自环顶由静止沿环内侧下滑。求滑块脱离圆环的位置（相对环顶的角度）与脱离时的速度大小。
分析：滑块沿圆环运动受重力与环的约束力（指向环心）。脱离条件为约束力为零：$N=0$。速率由机械能守恒给出，约束力由沿法向（向心方向）的牛顿第二定律给出——两式联立即得角度。
解答：设滑至角度 $\theta$（从环顶量起）时速率为 $v$。机械能守恒： $$ \frac12mv^2=mgR(1-\cos\theta)\ \Rightarrow\ v^2=2gR(1-\cos\theta) $$ 法向动力学方程（沿指向环心方向，$N$ 为正）： $$ mg\cos\theta-N=\frac{mv^2}{R} $$ 脱离时 $N=0$： $$ mg\cos\theta=\frac{mv^2}{R}=\frac{2mgR(1-\cos\theta)}{R}=2mg(1-\cos\theta) $$ $$ \cos\theta=\frac23,\qquad v=\sqrt{\frac{2gR}{3}} $$ 脱离点角度 $\theta=\arccos\dfrac23\approx48.2^\circ$。
角动量视角：关于环心取角动量 $L=mR^2\dot\theta$，重力对环心的力矩 $\tau=-mgR\sin\theta$，由角动量定理 $mR^2\ddot\theta=-mgR\sin\theta$，即 $\ddot\theta=-\dfrac{g}{R}\sin\theta$——与切向牛顿方程等价；再利用 $\ddot\theta=\dot\theta\dfrac{d\dot\theta}{d\theta}$积分，同样得到$v^2=2gR(1-\cos\theta)$。两种写法同一物理，竞赛中选顺手的即可。
点评：本题是"约束力 + 能量"的经典套路：脱离问题永远从 $N=0$出发，速率永远由能量给出。角度在$\arccos(2/3)$处脱离这一结果对环、球面、抛物线导轨等变体皆可复用（球面上滑下的滑块脱离角也是$\arccos\frac23$）。
易错提醒
易错点
- 冲量方向混淆：$\vec I=\Delta\vec p$，方向与动量变化同向，不等于初动量或末动量方向。例如斜撞墙壁的球，冲量沿法向，而初末动量都有切向分量。
- 流体冲击力漏乘因子：完全弹射时 $F=2\rho Qv$（动量变化是吸收的两倍）；把体积流量 $Q$ 误当质量流率，$F=\rho Qv$中漏乘$\rho$。
- 动量守恒条件判断失误：碰撞、爆炸瞬间外力（重力）冲量远小于内力冲量，可以忽略——这是"近似守恒"；而"某方向合外力为零则该方向守恒"是精确守恒，两者不要混为一谈。竖直下落撞地过程水平方向动量守恒、竖直方向不守恒。
- 恢复系数符号写反：$e=\dfrac{v_2'-v_1'}{v_1-v_2}$，分子是碰后相对速度（分离），分母是碰前相对速度（接近），两者必反号，$e\ge 0$。写成 $\dfrac{v_1'-v_2'}{v_1-v_2}$会得到$e\le 0$ 的错误结论。
- 完全弹性碰撞的平凡解：动量 $+$ 能量求解一维弹性碰撞出现两组解，其中"碰前速度原样保留"一组必须舍去——物理上相对速度必须反转。
- 斜碰乱加能量方程：非弹性斜碰只有动量守恒（各方向）$+$ 恢复系数（法向），切向动量守恒、法向有能量损失；只有完全弹性才能写总动能守恒，且能量方程是标量，不能与某方向动量方程混用。
- 质心系动能算错：柯尼希定理 $E_k=\dfrac12Mv_c^2+\sum\dfrac12m_iv_i'^2$两项都要算；两体问题中$E_{k,\text{质心系}}=\dfrac12\mu v_{\text{rel}}^2$，用的是约化质量而非任一质点质量。
- 角动量必须指明参考点：不同参考点角动量不同、力矩也不同；角动量守恒要求对该参考点合外力矩为零，不能以"系统受的力共线"含糊判断。刚体定轴转动中 $\vec L=I\omega$ 只对转轴成立。
- 火箭方程理解偏误：$u$ 是喷气相对火箭的恒定速度，$v$是火箭相对地面速度；方程假设喷气质量流率恒定与否不影响最终$v=u\ln\dfrac{m_0}{m}$。有重力时是 $u\ln\dfrac{m_0}{m}-gt$，不要漏掉 $-gt$ 项。
概念辨析
动量定理 vs 动能定理
| 比较项 | 动量定理 $\vec I=\Delta\vec p$ | 动能定理$W=\Delta E_k$ |
|---|---|---|
| 累积量 | 力对时间（冲量） | 力对位移（功） |
| 性质 | 矢量式 | 标量式 |
| 适用 | 碰撞、冲击、变质量 | 变力做功、曲线运动 |
| 不变量 | 合外力为零时动量守恒 | 只有保守力时机械能守恒 |
碰撞三种类型
| 类型 | 恢复系数 | 动能变化 | 特征 |
|---|---|---|---|
| 完全弹性 | $e=1$ | 守恒 | 碰后相对速度大小不变 |
| 完全非弹性 | $e=0$ | 损失$\tfrac12\mu v_{\text{rel}}^2$ | 碰后共速 |
| 一般碰撞 | $0<e<1$ | 损失$(1-e^2)\tfrac12\mu v_{\text{rel}}^2$ | 分离速度$=e\times$ 接近速度 |
角动量守恒 vs 动量守恒
| 比较项 | 动量守恒 | 角动量守恒 |
|---|---|---|
| 条件 | 合外力为零 | 对某点合外力矩为零 |
| 对象 | 平动 | 转动（或对点转动） |
| 典型 | 碰撞、爆炸、反冲 | 行星运动、转台收绳、圆锥摆 |
| 参考点 | 无 | 必须指明 |
与其他知识关联
- 与 04-功与机械能：动量定理与动能定理是"力对时间/位移累积"的双生子，同一问题常两条路（如链条问题、软绳冲击，一个用动量、一个用能量可互验）；柯尼希定理与质心动能是功能关系向质心系的推广。
- 与 02-牛顿运动定律与非惯性系：动量定理是牛顿第二定律的积分形式；质心运动定理与惯性力的关系；变质量系统（火箭）在非惯性系中亦可另写为 $\vec F+m\dfrac{d\vec v}{dt}=\vec F+\text{反冲力}$。
- 与 01-运动学：自然坐标系下动量定理的切向、法向分量式；面积速度与角动量在极坐标中的表述。
- 与 06-刚体动力学：质点角动量 $\vec L=\vec r\times\vec p$推广为刚体定轴转动$L=I\omega$、转动定律 $\tau=I\alpha$；角动量守恒在本笔记建立，在刚体一章大量使用（陀螺、碰撞、进动）。
- 与 07-万有引力与天体运动：角动量守恒 $\Rightarrow$ 开普勒第二定律；引力场中的椭圆轨道能量、两体问题的质心处理。
- 与 03-矢量运算：叉积 $\vec r\times\vec p$、$\vec r\times\vec F$ 的定义与右手定则是角动量、力矩的数学前提。
- 与 01-微积分基础、02-微分方程初步：冲量、变质量方程、角动量定理的微积分形式；火箭方程是可分离变量微分方程的标准例题。
- 与 高中力学总览：动量守恒、碰撞、反冲的高中内容本笔记全部覆盖并升级；高中"人船模型"即质心不动。
- 与大学层面：理论力学（质点系动量、角动量、能量三大定理的系统表述）、动能与动量（动力学定理的完整体系）、碰撞详解（恢复系数与碰撞模型的深入讨论）。
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作者的话
个人理解
学完这一章，我最深的体会是：动量与角动量是"不看力的细节也能算运动"的两把钥匙。高中时觉得碰撞题只能"背公式、凑答案"，学会恢复系数与质心系之后才明白，任何碰撞都有唯一确定的答案——所谓"两解取舍"，不过是排除"没碰"的平凡情形而已。
三个观念值得反复咀嚼。第一，质心是系统的"发言人"：内力兴风作浪，质心纹丝不动。遇到爆炸、人船、多体碰撞，先问"质心怎么动"，一半的题就解完了。第二，质心系是碰撞的"慢镜头"：一切碰撞在质心系里都退化成"两个动量等大反向的质点互相弹开"，动能损失一目了然，这就是柯尼希定理的价值。第三，守恒律是"对称性"的礼物：动量对应空间的均匀性，角动量对应空间的各向同性——竞赛层面记住"合外力为零→动量守恒，合外力矩为零→角动量守恒"就够用了，但知道背后的对称性思想，学起 07-万有引力与天体运动 会格外通透。
最后提醒一点：三大守恒律（动量、能量、角动量）在竞赛题里常常联合作战——尤其"斜碰 + 脱离"类问题，动量给方向、能量给速率、角动量给转动、向心力方程给约束力，四把刀缺一不可。学完本章，请回看 04-功与机械能，把"力对时间的累积"与"力对位移的累积"对镜比较，再进入 06-刚体动力学 迎接转动的世界。
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