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圆周运动
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本节是运动学版块的最后一篇，把研究范围从直线运动推广到曲线运动的另一种典型——圆周运动。圆周运动的特征是物体沿圆形轨道运动，需要引入一组新的物理量：线速度 $v$、角速度 $\omega$、周期 $T$、频率 $f$、转速 $n$。它们之间的相互关系（$v=\omega r=2\pi r/T$、$f=1/T$）是基础工具。匀速圆周运动指速率不变（方向时刻变）的圆周运动，其加速度始终指向圆心，称为向心加速度 $a_n=v^2/r=\omega^2 r$。传动装置中"同轴同 $\omega$、同带同 $v$"是判别两轮物理量关系的关键法则。本节是 03-综合应用与拓展/03-圆周运动动力学 的运动学基础，也是电学 03-磁场/04-带电粒子在磁场中的运动 中带电粒子做圆周运动的物理基础。
核心概念
一、圆周运动基本物理量
线速度 $v$：质点通过的弧长 $\Delta s$与所用时间$\Delta t$ 之比。 $$ v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} $$
- 单位：$\text{m/s}$；
- 方向：沿圆周切线方向（时刻在变）；
- 物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。
角速度 $\omega$：质点转过的角度 $\Delta\theta$与所用时间$\Delta t$ 之比。 $$ \omega = \dfrac{\Delta\theta}{\Delta t} $$
- 单位：$\text{rad/s}$（弧度每秒）；
- 方向：高中阶段不要求，按右手定则判断（沿转轴）；
- 物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢。
角度的弧度制
角速度计算必须用弧度制，不能用度数。$360^\circ=2\pi\thinspace\text{rad}$，故 $1\thinspace\text{rad}\approx 57.3^\circ$。一周对应 $2\pi$弧度，半周$\pi$，四分之一周 $\pi/2$。
周期 $T$：质点运动一周所需要的时间。
- 单位：$\text{s}$；
- 关系：一周转角 $2\pi$，故 $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$。
频率 $f$：单位时间内质点完成圆周运动的圈数。 $$ f = \dfrac{1}{T} $$
- 单位：$\text{Hz}$（赫兹），$1\thinspace\text{Hz}=1\thinspace\text{s}^{-1}$；
- 关系：$\omega=2\pi f$。
转速 $n$：单位时间转过的转数（工程上常用）。
- 单位：$\text{r/s}$（转每秒）或 $\text{r/min}$（转每分钟）；
- 关系：当 $n$以$\text{r/s}$ 为单位时，$f=n$，$\omega=2\pi n$。
二、各物理量之间的相互关系
圆周运动核心关系式
设圆周半径为 $r$： $$\boxed{\thinspace{}v = \omega r = \dfrac{2\pi r}{T} = 2\pi r f\thinspace}$$ $$\boxed{\thinspace\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f\thinspace}$$ $$\boxed{\thinspace{}f = \dfrac{1}{T}\thinspace}$$
这些关系是圆周运动一切计算的基石，必须熟记。
推导：质点在一周内走过弧长 $2\pi r$，转角 $2\pi$，用时 $T$。故
- $v=\dfrac{2\pi r}{T}$（线速度定义）；
- $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$（角速度定义）；
- 二者相比 $v/\omega=r$，即 $v=\omega r$。
三、向心加速度
向心加速度 $a_n$：描述线速度方向变化快慢的物理量，方向始终指向圆心。
$$ \boxed{\thinspace{}a_n = \dfrac{v^2}{r} = \omega^2 r = \dfrac{4\pi^2 r}{T^2} = 4\pi^2 f^2 r\thinspace} $$
- 单位：$\text{m/s}^2$；
- 方向：始终指向圆心，时刻在变（与速度方向始终垂直）；
- 物理意义：只改变速度方向，不改变速度大小。
向心加速度的方向
向心加速度方向始终指向圆心，与线速度方向（切线）始终垂直。这就是为什么匀速圆周运动的速率不变——加速度不做功（$W=Fx\cos 90^\circ=0$），不改变动能，只改变速度方向。
这是 01-描述运动的基本物理量 中"加速度方向 ≠ 速度方向"的典型实例——加速度与速度始终垂直，只改变方向不改变大小。
四、匀速圆周运动
匀速圆周运动：线速度大小不变的圆周运动。
特征：
- 速率不变（"匀速"指速率恒定）；
- 速度方向时刻变化（沿切线）；
- 加速度大小恒定（$v^2/r$），方向时刻变化（始终指向圆心）；
- 角速度、周期、频率均恒定。
"匀速"二字的误导
"匀速圆周运动"中的"匀速"指速率不变（标量），不是速度不变（矢量）。速度方向时刻在变，故存在加速度（向心加速度）。这是变速运动（速度矢量在变），不是匀速运动。"匀速圆周运动"这一名称容易让初学者误以为"没有加速度"，务必警惕。
五、传动装置（关键）
模型：通过皮带、齿轮、链条等连接两个轮子，一个轮子的转动带动另一个轮子转动。
两大判别法则：
同轴同 $\omega$，同带同 $v$
- 同轴传动（两轮固定在同一转轴上）：两轮角速度相同 $\omega_1=\omega_2$，故 $v_1/v_2=r_1/r_2$（线速度与半径成正比）。
- 同带（同链）传动（两轮用皮带/链条连接，无打滑）：两轮轮缘线速度相同 $v_1=v_2$，故 $\omega_1/\omega_2=r_2/r_1$（角速度与半径成反比）。
齿轮传动：两齿轮啮合，轮缘线速度相同（齿不打滑）$v_1=v_2$。但两轮转向相反——这是齿轮与皮带传动的区别。
传动装置判别三步
- 识别两轮是同轴还是同带（或啮合）；
- 同轴 $\Rightarrow \omega$相同；同带$\Rightarrow v$ 相同；
- 用 $v=\omega r$ 求其他量。
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graph LR
S[传动装置] --> A[同轴传动<br/>两轮固定同一转轴]
S --> B[同带传动<br/>皮带/链条连接]
S --> C[齿轮传动<br/>两齿轮啮合]
A --> A1[角速度相同<br/>ω₁=ω₂]
A --> A2[线速度与半径成正比<br/>v₁/v₂=r₁/r₂]
A --> A3[转向相同<br/>随转轴同步旋转]
B --> B1[轮缘线速度相同<br/>v₁=v₂ 无打滑]
B --> B2[角速度与半径成反比<br/>ω₁/ω₂=r₂/r₁]
B --> B3[转向相同<br/>皮带同向传动]
C --> C1[轮缘线速度相同<br/>v₁=v₂ 齿不打滑]
C --> C2[角速度与半径成反比<br/>ω₁/ω₂=r₂/r₁]
C --> C3[转向相反<br/>啮合处反向转动]
A1 --- R[核心关系 v=ωr<br/>已知一个量求其他量<br/>先判类型再选公式]
B1 --- R
C1 --- R六、一般圆周运动（变速圆周运动）
若线速度大小也在变化（如竖直平面内的圆周运动），则加速度可分解为：
- 向心加速度 $a_n$：指向圆心，改变速度方向，$a_n=v^2/r$；
- 切向加速度 $a_t$：沿切线方向，改变速度大小，$a_t=dv/dt$。
合加速度 $\vec{a}=\vec{a}_n+\vec{a}_t$，方向不指向圆心。
匀速 vs 变速圆周运动
| 比较 | 匀速圆周运动 | 变速圆周运动 |
|---|---|---|
| 速率 | 恒定 | 变化 |
| 向心加速度 $a_n$ | $v^2/r$（恒定） | $v^2/r$（$v$变则$a_n$ 变） |
| 切向加速度 $a_t$ | $0$ | $\ne 0$ |
| 合加速度方向 | 指向圆心 | 不指向圆心 |
| 典型例子 | 匀速转动的风扇 | 竖直平面内的圆周运动（最高点最慢，最低点最快） |
推导与原理
一、向心加速度的推导（极限法）
设质点做匀速圆周运动，半径 $r$，线速度 $v$。在 $\Delta t$时间内质点从$A$点运动到$B$点，转过角度$\Delta\theta$。
速度变化量：$A$点速度$\vec{v}_A$与$B$点速度$\vec{v}_B$大小均为$v$，方向沿切线。把 $\vec{v}_B$平移使起点与$\vec{v}_A$重合，二者夹角为$\Delta\theta$（圆周角等于对应圆心角）。速度变化量 $\Delta\vec{v}=\vec{v}_B-\vec{v}_A$。
当 $\Delta\theta$ 很小时，$|\Delta\vec{v}|\approx v\Delta\theta$（弧长近似）。又 $\Delta\theta=v\Delta t/r$（弧长 $r\Delta\theta=v\Delta t$）。
故 $$ a_n = \lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{|\Delta\vec{v}|}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{v\Delta\theta}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{v\cdot\dfrac{v\Delta t}{r}}{\Delta t} = \dfrac{v^2}{r} $$
方向：当 $\Delta t\to 0$，$B\to A$，$\Delta\vec{v}$ 方向指向圆心。故向心加速度方向指向圆心。
极限法的威力
这一推导是极限思想在高中物理的又一次精彩应用（首次见 01-描述运动的基本物理量 瞬时速度）。把"曲线运动的加速度"这一看似困难的问题，通过"取无限小时间间隔"化为"匀速圆弧上的几何关系"，再取极限得到精确结果。这种"以直代曲、取极限"的思想是微积分的灵魂。
二、$v=\omega r$ 的推导
设质点在 $\Delta t$内转过角度$\Delta\theta$，走过弧长 $\Delta s=r\Delta\theta$（弧度制下弧长公式）。
由线速度定义 $v=\Delta s/\Delta t=r\Delta\theta/\Delta t=r\omega$。
三、传动关系的推导
同轴传动：两轮固定在同一轴上，必然同时转过相同角度——故 $\omega_1=\omega_2$。由 $v=\omega r$得$v_1/v_2=r_1/r_2$。
同带传动：皮带不打滑，皮带与两轮轮缘接触点的线速度相同——故 $v_1=v_2$。由 $\omega=v/r$得$\omega_1/\omega_2=r_2/r_1$。
典型实例与类比
实例 1：钟表指针
- 秒针周期 $T_1=60\thinspace\text{s}$，角速度 $\omega_1=2\pi/60\approx 0.105\thinspace\text{rad/s}$；
- 分针周期 $T_2=3600\thinspace\text{s}$，$\omega_2\approx 0.00175\thinspace\text{rad/s}$；
- 时针周期 $T_3=43200\thinspace\text{s}$，$\omega_3\approx 0.000145\thinspace\text{rad/s}$。
三者角速度比 $\omega_1:\omega_2:\omega_3=720:12:1$。
实例 2：自行车链条传动
自行车后轮与飞轮同轴（$\omega_{后轮}=\omega_{飞轮}$），链条连接飞轮与牙盘（$v_{飞轮}=v_{牙盘}$）。蹬踏使牙盘转动，经链条带动飞轮，飞轮带动后轮。
设牙盘齿数 $Z_1$、飞轮齿数 $Z_2$，则 $v=\omega_1 R_1=\omega_2 R_2$（$R$ 为轮半径，正比于齿数）。故 $$ \dfrac{\omega_{飞轮}}{\omega_{牙盘}} = \dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{Z_1}{Z_2} $$ 牙盘越大、飞轮越小，传动比越大，同样蹬踏频率下后轮转得越快——这就是变速自行车的原理。
类比 1：圆周运动 ↔ 直线运动的"翻译"
| 直线运动 | 圆周运动 |
|---|---|
| 位移 $x$ | 角位移$\theta$ |
| 速度 $v=dx/dt$ | 角速度$\omega=d\theta/dt$ |
| 加速度 $a=dv/dt$ | 角加速度$\alpha=d\omega/dt$ |
| $v=v_0+at$ | $\omega=\omega_0+\alpha t$ |
| $x=v_0 t+\frac{1}{2}at^2$ | $\theta=\omega_0 t+\frac{1}{2}\alpha t^2$ |
匀变速直线运动与匀变速转动公式完全平行——这是物理学"平动与转动对称性"的体现。
类比 2：向心力 ↔ "拉住"的绳
匀速圆周运动需要持续的向心力。用绳拴住小球做圆周运动，绳的拉力提供向心力 $F_n=mv^2/r$。一旦绳断（向心力消失），小球沿切线飞出——这就是离心现象（详见 03-综合应用与拓展/03-圆周运动动力学）。
记忆口诀
线速角速周期频，$v=\omega r$是核心；同轴同$\omega$同带同$v$，向心 $v^2/r$ 指圆心；匀速圆周变方向，速率不变有加速度。
例题
例 1：基础——传动装置
题目：如图，$A$、$B$ 两轮同轴固定，$A$轮半径$r_A=10\thinspace\text{cm}$，$B$轮半径$r_B=20\thinspace\text{cm}$。$B$轮通过皮带与$C$ 轮连接（不打滑），$C$轮半径$r_C=30\thinspace\text{cm}$。若 $A$轮角速度$\omega_A=6\thinspace\text{rad/s}$，求： （1）$B$轮角速度$\omega_B$； （2）$C$轮角速度$\omega_C$； （3）$A$、$C$两轮轮缘线速度之比$v_A:v_C$。
分析：
- $A$、$B$同轴$\Rightarrow \omega_A=\omega_B$；
- $B$、$C$同带$\Rightarrow v_B=v_C$，由 $\omega=v/r$求$\omega_C$。
解答： （1）$A$、$B$ 同轴：$\omega_B=\omega_A=6\thinspace\text{rad/s}$。
（2）$v_B=\omega_B r_B=6\times 0.2=1.2\thinspace\text{m/s}$。$B$、$C$ 同带：$v_C=v_B=1.2\thinspace\text{m/s}$。 $$ \omega_C = \dfrac{v_C}{r_C} = \dfrac{1.2}{0.3} = 4\thinspace\text{rad/s} $$
（3）$v_A=\omega_A r_A=6\times 0.1=0.6\thinspace\text{m/s}$，$v_C=1.2\thinspace\text{m/s}$。 $$ v_A:v_C = 0.6:1.2 = 1:2 $$
点评：本题是传动装置的典型题——先判同轴/同带，再用 $v=\omega r$求未知量。同轴$\omega$相同，同带$v$ 相同，这两条法则是判别的"金钥匙"。
例 2：中难——钟表指针的圆周运动
题目：钟表三针（时针、分针、秒针）长度分别为 $r_1=2\thinspace\text{cm}$、$r_2=3\thinspace\text{cm}$、$r_3=4\thinspace\text{cm}$。求： （1）三针尖端的线速度之比 $v_1:v_2:v_3$； （2）三针尖端的向心加速度之比 $a_1:a_2:a_3$。
分析：三针周期分别为 $T_1=12\thinspace\text{h}=43200\thinspace\text{s}$、$T_2=1\thinspace\text{h}=3600\thinspace\text{s}$、$T_3=1\thinspace\text{min}=60\thinspace\text{s}$。角速度 $\omega=2\pi/T$。
解答： （1）$v=\omega r=\dfrac{2\pi r}{T}$，故 $$ v_1:v_2:v_3 = \dfrac{r_1}{T_1}:\dfrac{r_2}{T_2}:\dfrac{r_3}{T_3} = \dfrac{2}{43200}:\dfrac{3}{3600}:\dfrac{4}{60} $$ 通分（乘以 $43200$）： $$ = 2 : 36 : 2880 = 1 : 18 : 1440 $$
（2）$a_n=\omega^2 r=\dfrac{4\pi^2 r}{T^2}$，故 $$ a_1:a_2:a_3 = \dfrac{r_1}{T_1^2}:\dfrac{r_2}{T_2^2}:\dfrac{r_3}{T_3^2} = \dfrac{2}{43200^2}:\dfrac{3}{3600^2}:\dfrac{4}{60^2} $$ 通分（乘以 $43200^2/2$，即 $T_1^2/2$）： $$ = 1 : \dfrac{3\times 43200^2}{2\times 3600^2} : \dfrac{4\times 43200^2}{2\times 60^2} $$ 注意 $43200/3600=12$，$43200/60=720$： $$ = 1 : \dfrac{3\times 144}{2} : \dfrac{4\times 720^2}{2} = 1 : 216 : 1036800 $$
点评：本题训练圆周运动比例计算。关键是用 $v=2\pi r/T$、$a_n=4\pi^2 r/T^2$把各量表达为$r,T$ 的函数，再求比例。秒针虽短，但因周期最小，其线速度与向心加速度远大于时针、分针。
例 3：进阶——向心加速度方向辨析
题目：关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）。 A. 加速度恒定不变 B. 速度恒定不变 C. 加速度方向与速度方向始终垂直 D. 加速度方向与速度方向始终相同
分析：
- A 错：加速度大小恒定（$v^2/r$），但方向时刻在变（始终指向圆心），故加速度矢量不恒定；
- B 错：速度大小恒定，但方向时刻在变（沿切线），故速度矢量不恒定；
- C 对：加速度指向圆心，速度沿切线，二者始终垂直；
- D 错：若相同则为直线运动，圆周运动加速度与速度始终垂直。
解答：选 C。
点评：本题考查匀速圆周运动的矢量性。匀速圆周运动的"匀速"指速率不变（标量），速度（矢量）方向时刻在变。加速度亦然——大小不变方向变。这种"大小恒定方向变"的矢量，在 机械振动 中简谐运动的回复力也会遇到。
易错提醒
易错点
- "匀速"误导：匀速圆周运动是变速运动（速度方向变），有加速度（向心加速度）。
- 角速度单位：必须用 $\text{rad/s}$，不能用度/秒。$1$圈$=2\pi\thinspace\text{rad}$，不是 $360$。
- 转速单位：$\text{r/min}$与$\text{r/s}$差$60$ 倍，工程题常见陷阱。$\omega=2\pi n$仅当$n$用$\text{r/s}$。
- 同轴 vs 同带：同轴 $\omega$相同；同带$v$ 相同——切勿混淆。
- 向心加速度方向：始终指向圆心，与速度方向垂直。变速圆周运动中合加速度不指向圆心，但向心分量仍指向圆心。
- 向心加速度公式选择：$a_n=v^2/r=\omega^2 r$。同轴问题（$\omega$相同）用$a_n=\omega^2 r$（$a_n\propto r$）；同带问题（$v$相同）用$a_n=v^2/r$（$a_n\propto 1/r$）。
概念辨析
线速度 vs 角速度
| 比较 | 线速度 $v$ | 角速度$\omega$ |
|---|---|---|
| 定义 | 弧长/时间 | 角度/时间 |
| 单位 | $\text{m/s}$ | $\text{rad/s}$ |
| 方向 | 沿切线 | 沿转轴（高中不要求） |
| 与半径关系 | $v=\omega r$（正比于 $r$） | 与 $r$ 无关 |
| 同轴 | 不同点不同 | 相同 |
| 同带 | 相同 | 不同点不同 |
匀速圆周运动 vs 匀速直线运动
| 比较 | 匀速直线运动 | 匀速圆周运动 |
|---|---|---|
| 速度大小 | 恒定 | 恒定 |
| 速度方向 | 恒定 | 时刻变化 |
| 加速度 | $0$ | $a_n=v^2/r$ 指向圆心 |
| 合外力 | $0$ | $F_n=mv^2/r$ 指向圆心 |
与其他知识关联
- 与 01-描述运动的基本物理量 的关系：圆周运动是"加速度方向 ≠ 速度方向"的典型——加速度指向圆心，速度沿切线，二者始终垂直。
- 与 02-匀变速直线运动 的关系：圆周运动不是匀变速运动（加速度方向在变），四公式不适用——需用圆周运动专用公式。
- 与 06-平抛运动 的关系：平抛是恒力下"初速垂直力方向"的运动（轨迹抛物线），圆周是变向力下"初速垂直力方向"的运动（轨迹圆）——二者加速度与速度都垂直，但平抛加速度恒定、圆周加速度方向变。
- 与 03-综合应用与拓展/01-运动的合成与分解 的关系：圆周运动可分解为两个相互垂直的简谐运动（$x=r\cos\omega t,y=r\sin\omega t$），这是 机械振动 与圆周运动的桥梁。
- 与 03-综合应用与拓展/03-圆周运动动力学 的关系：本节是运动学描述，动力学版块将讨论向心力的来源（重力、弹力、摩擦力、电磁力等）。
- 与电学 03-磁场/04-带电粒子在磁场中的运动 的关系：带电粒子垂直射入匀强磁场做匀速圆周运动，向心力由洛伦兹力提供 $qvB=mv^2/r$，本节公式直接迁移。
- 高中—大学衔接：牛顿力学 中圆周运动用极坐标描述，向心加速度严格推导需用单位矢量求导；机械振动 中简谐运动 $x=r\cos\omega t$ 是圆周运动的投影。
作者的话
个人理解
圆周运动是高中物理"变方向运动"的入门。在此之前，所有运动（匀速、匀变速、自由落体、平抛）的加速度方向要么为零，要么恒定；圆周运动首次出现"加速度方向时刻在变"的情形——这是从"恒定向量"到"变化向量"的认知跨越。
我特别想强调向心加速度方向指向圆心这一性质。它揭示了"加速度与速度垂直时只改变方向不改变大小"这一深刻规律——这正是匀速圆周运动速率不变的根本原因。把这一观念推广，可以理解一切"只改方向不改大小"的运动：带电粒子在磁场中的圆周运动（洛伦兹力始终垂直速度）、人造卫星的椭圆运动（引力始终指向焦点，平均距离不变）等。
传动装置是本节的"工程应用"环节。同轴同 $\omega$、同带同 $v$ 这两条法则看似简单，却是分析一切机械传动的基础——从自行车到汽车变速箱，从机械表到风力发电机，都遵循这两条法则。建议读者拆解一辆变速自行车，数一数牙盘和飞轮的齿数，亲手验证传动比的计算。这种"从物理到工程"的视角，是高中物理最有趣的应用之一。
圆周运动还有一层深刻的物理之美：它可以通过投影分解为两个相互垂直的简谐运动（$x=r\cos\omega t$，$y=r\sin\omega t$）。这就是为什么 机械振动 中简谐运动与圆周运动有如此紧密的对应——简谐运动是圆周运动在直径上的投影。这一对应关系在大学物理中将发展为"旋转矢量法"，是分析一切周期运动的强大工具。
学习建议：把"同轴同 $\omega$、同带同 $v$"这两条法则练到条件反射。看到传动装置图，先标注哪些轮同轴、哪些轮同带，再用 $v=\omega r$求其他量。这是高考选择题的固定题型，掌握法则即可秒解。然后向心加速度公式$a_n=v^2/r=\omega^2 r$要根据情境选形式——同轴问题用$\omega^2 r$，同带问题用 $v^2/r$——这样比例关系直接出来，避免冗长计算。
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