自由落体与竖直上抛

概览

本节是 02-匀变速直线运动 的特例与延伸。自由落体运动是初速度为零、加速度为 $g$的匀加速直线运动——把$v_0=0,a=g$代入四公式即得自由落体三公式。竖直上抛运动是初速度$v_0$向上、加速度$-g$ 的匀减速直线运动，到达最高点后做自由落体回到出发点。竖直上抛运动具有美妙的对称性：上升时间等于下落时间、回到出发点时速度大小相等方向相反。本节还涉及伽利略落体实验的历史意义——它不仅是物理规律的发端，更是"实验科学方法"的奠基。两种处理方法（分段法、整体法）的对比是高考重点，空气阻力修正是大学层面的拓展。

核心概念

一、自由落体运动

自由落体运动：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。

三个核心特征：

1. 初速度 $v_0=0$（"自由"二字的含义）；
2. 加速度 $a=g$（仅受重力，无空气阻力）；
3. 轨迹竖直向下。

自由落体是匀加速直线运动

自由落体就是特殊的匀加速直线运动——把 $v_0=0,a=g$ 代入 02-匀变速直线运动 的四公式即可。理解了匀变速，自由落体只是"代值"。

二、自由落体三公式

由匀变速四公式取 $v_0=0,a=g,x=h$（下落高度）：

$$ \boxed{\thinspace{}v = gt\thinspace} $$

$$ \boxed{\thinspace{}h = \dfrac{1}{2}g t^2\thinspace} $$

$$ \boxed{\thinspace{}v^2 = 2gh\thinspace} $$

重力加速度 $g$ 的取值

• 高中阶段通常取 $g=9.8\thinspace\text{m/s}^2$，估算题取 $g=10\thinspace\text{m/s}^2$；
• $g$随纬度增大而略微增大（赤道$9.78$，两极 $9.83$），随海拔增大而略微减小；
• $g$ 的本质是万有引力（详见 03-综合应用与拓展/04-万有引力与航天）：$g=\dfrac{GM}{R^2}$，$G$ 为引力常量，$M$ 为地球质量，$R$ 为地球半径。

三、竖直上抛运动

竖直上抛运动：物体以初速度 $v_0$ 竖直向上抛出，仅在重力作用下的运动。

特征：

1. 初速度 $v_0$ 竖直向上；
2. 加速度 $a=-g$（取向上为正方向时），大小恒为 $g$，方向始终向下；
3. 整个过程是匀变速直线运动（$a$ 恒定），上升阶段做匀减速，下降阶段做匀加速。

四、竖直上抛三公式

取向上为正方向，则 $v_0>0$，$a=-g$：

$$ \boxed{\thinspace{}v = v_0 - gt\thinspace} $$

$$ \boxed{\thinspace{}h = v_0 t - \dfrac{1}{2}g t^2\thinspace} $$

$$ \boxed{\thinspace{}v^2 = v_0^2 - 2gh\thinspace} $$

其中 $h$是相对抛出点的位移（向上为正，下落经过抛出点后$h$ 变为负）。

五、竖直上抛的对称性（核心）

竖直上抛运动的对称性

竖直上抛运动关于最高点具有完美的时间对称与速度对称：

1. 上升时间 = 下落时间：从抛出到最高点的时间 $t_上=v_0/g$，从最高点落回抛出点的时间 $t_下=v_0/g$，二者相等。总时间 $T=2v_0/g$。
2. 回到出发点速度大小相等方向相反：抛出时速度 $v_0$（向上），回到抛出点时速度 $-v_0$（向下）。
3. 同一高度速度大小相等：上升阶段经过某高度 $h$ 的速度大小，等于下落阶段经过同一高度的速度大小，方向相反。

对称性的数学证明：由 $v^2=v_0^2-2gh$，速度大小只取决于高度 $h$，与运动方向无关——这正是"同一高度速度大小相等"的根源。

六、空气阻力修正简介

实际落体受空气阻力 $f$影响，加速度不再等于$g$：

• 下落时：$mg-f=ma\Rightarrow a<g$，物体先加速后达收尾速度（$f=mg$时$a=0$）；
• 上抛时：$mg+f=ma\Rightarrow a>g$，物体减速得更快。

雨滴、跳伞员、降落伞等都是空气阻力不可忽略的典型情境。大学 流体力学 中由斯托克斯定律 $f=6\pi\eta r v$（小球在粘滞流体中）描述。

推导与原理

一、伽利略落体实验——历史与方法论

传统故事：1589 年伽利略在比萨斜塔上同时释放重球与轻球，二者几乎同时落地，驳斥了亚里士多德"重物下落快"的观点。

真实历史：伽利略更重要的贡献是斜面实验——通过减缓下落速度便于测量。他用光滑斜面让小球滚下，测量不同倾角下位移与时间关系，发现 $h\propto t^2$，并外推到竖直方向（倾角 $90^\circ$）即得自由落体规律。

伽利略的方法论革命

伽利略的开创性在于把"实验+数学推理"引入物理学，开创了近代物理学的范式。他不再满足于"亚里士多德说"，而是用定量实验检验假设。这种"假设—实验—理论"的循环，是物理学最根本的方法论。爱因斯坦称伽利略为"近代科学之父"。

二、竖直上抛两种处理方法对比

方法 1：分段法

把运动分为两段处理：

• 上升段：匀减速直线运动，$v_0$ 向上，$a=-g$，到最高点速度为零。用 $v_0^2=2gh_{max}$ 求最大高度，$t_上=v_0/g$ 求上升时间。
• 下落段：从最高点开始的自由落体，$v_0=0$，$a=g$。用自由落体三公式处理。

分段法的优劣

优点：物理图景清晰，每段都是熟悉的"自由落体"或"匀减速"；缺点：分段切换易出错，求总位移/总时间需分段累加。

方法 2：整体法

把整个上抛过程视为一个匀变速直线运动（$a=-g$恒定），不分段。所有公式直接用$v_0,a=-g$ 代入：

• $v=v_0-gt$（速度公式）；
• $h=v_0 t-\frac{1}{2}gt^2$（位移公式，$h$ 是相对抛出点的位移）；
• $v^2=v_0^2-2gh$（速度位移关系）。

整体法的优势

整体法避免分段切换，把"上升+下落"统一处理。例如求"抛出后多长时间回到抛出点"：直接令 $h=0$，$0=v_0 t-\frac{1}{2}gt^2\Rightarrow t=2v_0/g$（舍去 $t=0$）。比分段法求 $t_上+t_下=v_0/g+v_0/g=2v_0/g$ 简洁得多。

整体法是处理竖直上抛的首选方法，分段法仅在物理图景不清晰时作为辅助。

整体法的符号约定

整体法务必先定正方向（通常取向上为正、抛出点为原点）。$h>0$ 表示在抛出点上方，$h<0$ 表示在抛出点下方；$v>0$ 表示向上运动，$v<0$ 表示向下运动。

graph LR
    S[竖直上抛运动] --> M1[方法1 分段法]
    S --> M2[方法2 整体法]
    M1 --> M1A[上升段 匀减速<br/>v₀向上 a=-g<br/>最高点 v=0]
    M1 --> M1B[下落段 自由落体<br/>v₀=0 a=g<br/>用自由落体三公式]
    M1 --> M1C[优点 物理图景清晰<br/>缺点 分段切换易错<br/>需累加总时间位移]
    M2 --> M2A[全程统一处理<br/>a=-g 恒定<br/>取向上为正方向]
    M2 --> M2B[三公式直接代入<br/>v=v₀-gt<br/>h=v₀t-½gt²<br/>v²=v₀²-2gh]
    M2 --> M2C[优点 避免分段切换<br/>首选方法<br/>缺点 符号约定需严谨]
    M1C -.->|两种方法等价<br/>结果一致| M2C
    M1B -.->|下落段 h 由正变负| M2B

三、最大高度与总时间的推导

最大高度 $h_{max}$：最高点 $v=0$，由 $v^2=v_0^2-2gh$： $$ 0 = v_0^2 - 2g\thinspace{}h_{max}\thickspace\Rightarrow\thickspace\boxed{\thinspace{}h_{max} = \dfrac{v_0^2}{2g}\thinspace} $$

上升时间 $t_上$：最高点 $v=0$，由 $v=v_0-gt$： $$ t_上 = \dfrac{v_0}{g} $$

总时间 $T$：回到抛出点 $h=0$，由 $h=v_0 t-\frac{1}{2}gt^2$： $$ 0=v_0 T-\dfrac{1}{2}gT^2\thickspace\Rightarrow\thickspace{}T=\dfrac{2v_0}{g} $$ （舍去 $T=0$）。总时间 = 2 倍上升时间，体现对称性。

典型实例与类比

实例 1：跳楼求生——自由落体的危险

人从 $5$楼（约$15\thinspace\text{m}$）坠落，落地时间 $t=\sqrt{2h/g}=\sqrt{3}\approx 1.7\thinspace\text{s}$，落地速度 $v=\sqrt{2gh}\approx 17\thinspace\text{m/s}\approx 61\thinspace\text{km/h}$——相当于被时速 $60$ 公里的汽车撞击，致命危险。安全气囊、消防气垫的作用正是延长碰撞时间，减小冲击力（动量定理，详见 动能与动量）。

类比 1：竖直上抛 ↔ 弹簧振子

竖直上抛运动的对称性与弹簧振子的对称性高度相似：

• 上抛到最高点 ↔ 弹簧拉伸到最大位移；
• 落回抛出点 ↔ 弹簧回到平衡位置；
• 同一高度速度大小相等方向相反 ↔ 弹簧同一位置速度大小相等方向相反。

这种"时间反演对称性"在 机械振动 中将进一步深化。

类比 2：整体法 ↔ "统一坐标系"

分段法像"把两幅地图分别画"——上抛一段、下落一段；整体法像"用一幅地图全程绘制"——全程用同一坐标系、同一公式。整体法的本质是把运动的"过程描述"简化为"状态描述"，只要初末状态清楚，过程自然包含在公式里。

记忆口诀

自由落体三公式，代值 $v_0=0,a=g$；上抛整体 $a=-g$，对称时间与速度；最高点 $v=0$求高度，回到原点$h=0$ 求时间。

例题

例 1：基础——自由落体

题目：一个物体从 $45\thinspace\text{m}$ 高处自由下落（$g=10\thinspace\text{m/s}^2$）。求： （1）落地时间 $t$； （2）落地速度 $v$； （3）下落最后 $1\thinspace\text{s}$ 内的位移。

分析：自由落体，直接套用三公式。最后 $1\thinspace\text{s}$内位移 = 总位移 - 前$(t-1)\thinspace\text{s}$ 位移。

解答： （1）$h=\frac{1}{2}gt^2\Rightarrow 45=5t^2\Rightarrow t=3\thinspace\text{s}$。

（2）$v=gt=10\times 3=30\thinspace\text{m/s}$（或 $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{900}=30\thinspace\text{m/s}$）。

（3）前 $2\thinspace\text{s}$内位移$h_2=\frac{1}{2}g(2)^2=20\thinspace\text{m}$；最后 $1\thinspace\text{s}$内位移$\Delta h=45-20=25\thinspace\text{m}$。

点评：自由落体题常规操作——三公式灵活运用。"最后 $1\thinspace\text{s}$"用差值法（总位移减去前段位移）比直接列方程简洁。

例 2：中难——竖直上抛整体法

题目：气球以 $v_0=20\thinspace\text{m/s}$匀速上升，当气球离地$h_0=60\thinspace\text{m}$ 处时掉下一物体（$g=10\thinspace\text{m/s}^2$）。求： （1）物体离开气球后还能上升的最大高度（相对脱离点）； （2）物体从脱离气球到落地的时间； （3）物体落地时的速度。

分析：物体脱离瞬间具有与气球相同的初速度 $v_0=20\thinspace\text{m/s}$（向上），之后做竖直上抛运动（$a=-g$）。取脱离点为原点，向上为正方向，地面坐标 $h=-60\thinspace\text{m}$。

解答： （1）最高点 $v=0$，由 $v^2=v_0^2-2gh$：$h_{max}=\dfrac{v_0^2}{2g}=\dfrac{400}{20}=20\thinspace\text{m}$（相对脱离点）。

（2）取脱离点为原点，地面 $h=-60\thinspace\text{m}$。代入 $h=v_0 t-\frac{1}{2}gt^2$： $$ -60 = 20t - 5t^2\thickspace\Rightarrow\thickspace5t^2-20t-60=0\thickspace\Rightarrow\thickspace{}t^2-4t-12=0 $$ 解得 $t=6\thinspace\text{s}$（舍去 $t=-2$）。

（3）由 $v=v_0-gt=20-10\times 6=-40\thinspace\text{m/s}$，负号表示方向向下，即落地速度大小 $40\thinspace\text{m/s}$，方向竖直向下。

点评：本题三个要点——（1）物体脱离瞬间继承气球的速度（不是从静止开始下落！）；（2）整体法把上抛+下落统一处理，地面在原点下方 $h=-60$；（3）速度为负说明方向向下，体现整体法的符号约定。

例 3：进阶——上抛对称性

题目：一物体以 $v_0=30\thinspace\text{m/s}$ 竖直上抛（$g=10\thinspace\text{m/s}^2$）。求： （1）物体在抛出点上方 $h=40\thinspace\text{m}$ 处的速度； （2）物体两次经过 $h=40\thinspace\text{m}$ 处的时间间隔； （3）物体在空中运动的总时间。

分析：先判断 $h=40\thinspace\text{m}$是否可达——最大高度$h_{max}=v_0^2/(2g)=900/20=45\thinspace\text{m}>40$，可达。同一高度对应两个时刻（上升一次、下落一次），由对称性速度大小相等方向相反。

解答： （1）由 $v^2=v_0^2-2gh=900-800=100$，$v=\pm 10\thinspace\text{m/s}$。即上升时经过 $h=40\thinspace\text{m}$速度$+10\thinspace\text{m/s}$（向上），下落时 $-10\thinspace\text{m/s}$（向下）。

（2）由 $h=v_0 t-\frac{1}{2}gt^2$：$40=30t-5t^2\Rightarrow t^2-6t+8=0\Rightarrow t_1=2\thinspace\text{s},t_2=4\thinspace\text{s}$。两次经过的时间间隔 $\Delta t=t_2-t_1=2\thinspace\text{s}$。

（3）总时间 $T=2v_0/g=2\times 30/10=6\thinspace\text{s}$。

点评：本题完美展示竖直上抛的对称性——同一高度对应两个时刻、两个速度（大小相等方向相反）。$h$关于最高点对称的两个时刻之和等于总时间$T$：$t_1+t_2=6=T$，这是对称性的体现。

易错提醒

易错点

1. 自由落体不是"垂直下落"：必须初速度为零。从手中释放的物体做自由落体；从飞行飞机掉下的物体不是自由落体（有水平初速度，做平抛，详见 06-平抛运动）。
2. 脱离问题初速度：物体从气球/电梯掉下时，继承载体当时速度，不是从静止开始。
3. 整体法符号：必须先定正方向，所有量带符号。$h$在抛出点下方取负值，下落速度$v<0$。
4. 同一高度双解：上抛运动同一高度对应两个时刻，方程 $h=v_0 t-\frac{1}{2}gt^2$是$t$ 的二次方程，通常有两解。
5. 空气阻力：自由落体与上抛公式仅适用无空气阻力（或阻力可忽略）。雨滴、跳伞等问题不能用。
6. $g$的取值：审清题目取$9.8$还是$10$——结果会不同。

概念辨析

自由落体 vs 竖直上抛

比较项	自由落体	竖直上抛
初速度	$v_0=0$	$v_0\ne 0$，向上
加速度	$g$（向下）	$-g$（取上为正）
公式	$v=gt,h=\frac{1}{2}gt^2$	$v=v_0-gt,h=v_0t-\frac{1}{2}gt^2$
对称性	无（单向）	时间、速度对称

分段法 vs 整体法

比较项	分段法	整体法
思路	上升段+下落段分别处理	全程统一匀变速
公式	各段用对应公式	$a=-g$ 一套公式
优势	图景清晰	计算简洁
风险	切换易错	符号易错
建议	辅助理解	首选

与其他知识关联

• 与 01-描述运动的基本物理量 的关系：自由落体定义了重力加速度 $g$，是 07-圆周运动、03-综合应用与拓展/04-万有引力与航天 的核心常量。
• 与 02-匀变速直线运动 的关系：自由落体即 $v_0=0,a=g$的特例，竖直上抛即$v_0\ne 0,a=-g$ 的特例——四公式直接代值。
• 与 04-运动图像 的关系：自由落体的 $v$-$t$图是过原点的直线（斜率$g$），上抛运动 $v$-$t$图是斜率为$-g$的直线，与$t$ 轴交点即最高点时刻。
• 与 06-平抛运动 的关系：平抛运动的竖直分运动就是自由落体——这是运动分解的关键。
• 与 03-综合应用与拓展/04-万有引力与航天 的关系：$g=GM/R^2$揭示$g$ 的本质是引力加速度，把地面力学与天体力学统一。
• 与电学 01-静电场/05-带电粒子在电场中的运动 的关系：密立根油滴实验通过平衡重力 $mg$与电场力$qE$ 测定元电荷——自由落体重力与电场力的平衡。
• 高中—大学衔接：牛顿力学 中自由落体由 $mg=ma$ 即得；流体力学 中考虑空气阻力后下落物体达到收尾速度，是斯托克斯定律的应用。

作者的话

个人理解

自由落体看似简单（一个公式 $h=\frac{1}{2}gt^2$），但它承载着物理学方法论革命的里程碑。伽利略用斜面实验"放大"重力效应，让快速的下落变为可测的滚动；用数学规律 $h\propto t^2$ 揭示自然界的简洁之美——这种"实验+数学"的范式定义了什么是"近代物理学"。学到这里，我总建议读者去读伽利略《两门新科学》的原文片段，感受四百年前那位老人用斜面与水钟丈量重力的执着。

竖直上抛运动的对称性则是另一个让人着迷的话题。对称性在物理学中是极为深刻的观念——它对应守恒定律（诺特定理）。竖直上抛的时间反演对称（上升↔下落互换完全等价）背后，是重力是保守力这一事实。学到 动能与动量 时会看到，正是因为重力做功与路径无关（保守力），机械能守恒才成立，对称性才得以保持。

学习建议：把"整体法"练熟。它不仅适用于竖直上抛，也适用于一切匀变速直线运动（包括刹车后倒退、斜面上下滑等）。整体法的精神是"用公式直接处理全过程，不必分段"——这是高中物理从"分段思维"走向"统一思维"的关键一步。后续学 06-平抛运动 时，水平方向就是一个"全程匀速"的整体，竖直方向是"全程匀加速"的整体，两者独立处理再合成——这种"分方向整体处理"是处理曲线运动的核心方法论。

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