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匀变速直线运动
概览
本节是运动学的核心章节，建立匀变速直线运动的完整公式体系。匀变速直线运动指加速度恒定（大小方向均不变）的直线运动，是最基本的变速运动模型。围绕"恒定加速度 $a$"这一特征，导出四个基本公式：速度公式 $v=v_0+at$、位移公式 $x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$、速度位移关系 $v^2-v_0^2=2ax$、平均速度公式 $x=\frac{1}{2}(v_0+v)t$。在此基础上推论出中间时刻速度、中间位置速度、逐差法 $\Delta x=aT^2$ 与初速度为零的等分比例关系。这些公式与推论贯穿整个力学，是 03-自由落体与竖直上抛、05-追及与相遇、06-平抛运动 的直接基础，在高考中是力学"四大金刚"之一。
核心概念
一、匀变速直线运动的定义
匀变速直线运动：加速度恒定（大小、方向均不变）的直线运动。
特征：
- 加速度 $\vec{a}$ 是常矢量（大小方向都不变）；
- 轨迹是直线（速度方向与加速度方向共线）；
- 速度随时间均匀变化——任意相等时间间隔内速度变化量相等。
"匀变速"的两层含义
- "匀"——加速度恒定；
- "变速"——速度在变（不是匀速）。 若加速度为零，则退化为匀速直线运动；若加速度与速度同向则加速，反向则减速。
二、四个基本公式
四大基本公式
以下四式是匀变速直线运动的"四大金刚"，几乎所有的运动学问题都可由它们解决。其中 $v_0$ 为初速度，$a$ 为加速度，$t$ 为时间，$x$ 为位移，$v$ 为末速度。
1. 速度公式（速度与时间关系）： $$ \boxed{\thinspace{}v = v_0 + at\thinspace} $$
2. 位移公式（位移与时间关系）： $$ \boxed{\thinspace{}x = v_0 t + \dfrac{1}{2} a t^2\thinspace} $$
3. 速度位移关系（不含时间）： $$ \boxed{\thinspace{}v^2 - v_0^2 = 2 a x\thinspace} $$
4. 平均速度公式（位移与平均速度关系）： $$ \boxed{\thinspace{}x = \dfrac{v_0 + v}{2}\thinspace{}t = \bar{v}\thinspace{}t\thinspace} $$ 其中平均速度 $\bar{v}=\dfrac{v_0+v}{2}$，且匀变速运动的平均速度等于中间时刻的瞬时速度。
四个公式的适用条件与选用
- 四式仅适用于匀变速直线运动（$a$ 恒定）；
- 四式中含五个变量 $v_0,v,a,t,x$，每式涉及其中四个，已知任意三个可求第四个；
- 选用原则：题目不含时间用第 3 式；不含末速度用第 2 式；求平均速度或中间时刻速度用第 4 式；
- 注意各量的符号：$v_0,v,a,x$ 均为代数值，需规定正方向后带符号代入。
mermaid
flowchart TD
S[匀变速直线运动问题] --> Q1{题目是否<br/>含时间 t?}
Q1 -->|不含时间| Q2{是否求末速度 v?}
Q1 -->|含时间| Q3{需求哪个量?}
Q2 -->|求 v 或 v₀| F3[用速度位移关系<br/>v²-v₀²=2ax<br/>不含时间]
Q2 -->|不求 v| F2[用位移公式<br/>x=v₀t+½at²<br/>需另求时间 t]
Q3 -->|求末速度 v| F1[用速度公式<br/>v=v₀+at]
Q3 -->|求位移 x| F2
Q3 -->|求平均速度/中间时刻速度| F4[用平均速度公式<br/>x=½v₀+v·t]
Q3 -->|不含末速度 v| F2
F1 --- R[四式含五变量 v₀ v a t x<br/>每式涉及四个<br/>已知任意三个可求第四个]
F2 --- R
F3 --- R
F4 --- R三、重要推论
推论 1：中间时刻速度 $$ v_{t/2} = \dfrac{v_0 + v}{2} = \bar{v} $$ 即匀变速运动中间时刻的瞬时速度等于整段过程的平均速度。
推论 2：中间位置速度 $$ v_{x/2} = \sqrt{\dfrac{v_0^2 + v^2}{2}} $$ 即匀变速运动中间位置的瞬时速度等于初末速度的方均根。
中间时刻 vs 中间位置
对匀加速直线运动，二者不相等： $$ v_{x/2} > v_{t/2} $$ 推导：$v_{x/2}^2 - v_{t/2}^2 = \dfrac{v_0^2+v^2}{2} - \dfrac{(v_0+v)^2}{4} = \dfrac{(v-v_0)^2}{4} > 0$
物理解释：匀加速过程中前半段时间速度小，走过的位移小于一半，故"中间时刻"还未到达"中间位置"——中间位置在中间时刻之后，此时速度更大。
推论 3：逐差法（相邻相等时间位移差） $$ \boxed{\thinspace\Delta x = x_{n+1} - x_n = a T^2\thinspace} $$ 即任意两个连续相等时间间隔 $T$内的位移之差恒定，等于$aT^2$。这是用打点计时器测加速度的理论依据。 (详见逐差法)
推论 4：任意相等时间位移的进一步关系 对初速度为零的匀加速运动，连续相等时间 $T$内位移为$x_1:x_2:x_3:\dots = 1:3:5:\dots:(2n-1)$（奇数比）。
四、初速为零的等分比例关系
设初速度 $v_0=0$，加速度 $a$ 恒定。
等分时间比例（时间 $T,2T,3T,\dots,nT$）：
| 物理量 | 比例 |
|---|---|
| 末速度 $v_n=anT$ | $v_1:v_2:v_3:\dots = 1:2:3:\dots:n$ |
| 总位移 $x_n=\frac{1}{2}a(nT)^2$ | $x_1:x_2:x_3:\dots = 1:4:9:\dots:n^2$ |
| 连续 $T$内位移 | $x_Ⅰ:x_Ⅱ:x_Ⅲ:\dots = 1:3:5:\dots:(2n-1)$ |
等分位移比例（位移 $x,2x,3x,\dots,nx$）：
| 物理量 | 比例 |
|---|---|
| 末速度 $v_n=\sqrt{2a\cdot nx}$ | $v_1:v_2:v_3:\dots = 1:\sqrt{2}:\sqrt{3}:\dots:\sqrt{n}$ |
| 总时间 $t_n=\sqrt{2nx/a}$ | $t_1:t_2:t_3:\dots = 1:\sqrt{2}:\sqrt{3}:\dots:\sqrt{n}$ |
| 连续 $x$内时间 | $t_Ⅰ:t_Ⅱ:t_Ⅲ:\dots = 1:(\sqrt{2}-1)😦\sqrt{3}-\sqrt{2}):\dots$ |
比例记忆口诀
等时速度整数比，等时位移奇数比；等位速度根号比，等位时间差根号。
推导与原理
一、四个基本公式的推导
速度公式推导：由加速度定义 $a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{v-v_0}{t}$，移项即得 $v=v_0+at$。
位移公式推导：利用 $v$-$t$图（详见 04-运动图像）。匀变速运动的$v$-$t$图是一条斜率为$a$的直线，与$t$ 轴围成的梯形面积即位移： $$ x = \dfrac{v_0+v}{2}\cdot t = \dfrac{v_0+(v_0+at)}{2}\cdot t = v_0 t + \dfrac{1}{2} a t^2 $$
速度位移关系推导：由 $v=v_0+at$得$t=(v-v_0)/a$，代入位移公式： $$ x = v_0\cdot\dfrac{v-v_0}{a} + \dfrac{1}{2}a\cdot\dfrac{(v-v_0)^2}{a^2} = \dfrac{v^2-v_0^2}{2a} $$ 整理得 $v^2-v_0^2=2ax$。
平均速度公式推导：匀变速运动的 $v$-$t$ 图是直线，梯形面积 = 中位线 × 高： $$ x = \dfrac{v_0+v}{2}\cdot t $$
二、逐差法的详细推导
目标：用打点计时器在纸带上打下的若干点，求匀变速运动的加速度。
设相邻两计数点间时间间隔为 $T$，各段位移依次为 $x_1,x_2,x_3,\dots,x_n$。设 $t=0$时（即第一段开始时）瞬时速度为$v_1$。
第一步：写出各段位移表达式
第 $n$段（从$t=(n-1)T$到$t=nT$）的位移： $$ x_n = v_{n-1}\thinspace{}T + \dfrac{1}{2}aT^2 $$ 其中 $v_{n-1}=v_1+a(n-1)T$ 为该段开始时的瞬时速度。代入： $$ x_n = [v_1+a(n-1)T]\thinspace{}T + \dfrac{1}{2}aT^2 = v_1 T + a(n-1)T^2 + \dfrac{1}{2}aT^2 $$
第二步：相邻两段位移之差
$$ \Delta x = x_{n+1}-x_n = [v_1 T + anT^2 + \tfrac{1}{2}aT^2] - [v_1 T + a(n-1)T^2 + \tfrac{1}{2}aT^2] = aT^2 $$ 与 $n$无关！这说明任意相邻两段位移差恒为$aT^2$。
第三步：逐差法求 $a$（减小误差）
若只用 $\Delta x=aT^2$ 一次，随机误差较大。逐差法把数据两两分组求差，再求平均：
对于 4 段位移 $x_1,x_2,x_3,x_4$： $$ x_3-x_1 = (x_3-x_2)+(x_2-x_1) = 2aT^2 $$ $$ x_4-x_2 = (x_4-x_3)+(x_3-x_2) = 2aT^2 $$ 故 $$ a = \dfrac{(x_3+x_4)-(x_1+x_2)}{4T^2} $$
对于 6 段位移（更常用）： $$ \boxed{\thinspace{}a = \dfrac{(x_4+x_5+x_6)-(x_1+x_2+x_3)}{9T^2}\thinspace} $$ （因为 $x_4-x_1=3aT^2$，$x_5-x_2=3aT^2$，$x_6-x_3=3aT^2$，求和后总差 $=9aT^2$）
逐差法的精髓
逐差法的核心是把所有数据都用上，避免中间数据被"消去"造成浪费，从而减小随机误差。其思想在大学物理实验中扩展为"最小二乘法"——用全部数据拟合最优参数。
三、初速度为零的等分比例推导
以"等时位移奇数比"为例。设 $v_0=0$，加速度 $a$，时间间隔 $T$。
第 $n$段$T$ 内的位移： $$ x_n = x(0\to nT) - x(0\to (n-1)T) = \dfrac{1}{2}a(nT)^2 - \dfrac{1}{2}a[(n-1)T]^2 = \dfrac{1}{2}aT^2\thinspace[n^2-(n-1)^2] $$ $$ = \dfrac{1}{2}aT^2\thinspace(2n-1) $$ 故 $x_1:x_2:x_3:\dots = 1:3:5:\dots:(2n-1)$，即连续相等时间内位移比为奇数比。
典型实例与类比
实例 1：汽车刹车——匀减速典型
汽车以 $v_0=20\thinspace\text{m/s}$行驶，紧急刹车后加速度大小$a=5\thinspace\text{m/s}^2$，求刹车后 $5\thinspace\text{s}$ 内位移。
刹车陷阱
必须先判断刹车时间 $t_0=v_0/a=4\thinspace\text{s}$，5 s 早已停下，不能用 $5\thinspace\text{s}$ 代入位移公式（会得到负位移，荒谬）。 正确解：$x=v_0 t_0+\frac{1}{2}(-a)t_0^2=20\times 4-\frac{1}{2}\times 5\times 16=40\thinspace\text{m}$。 或直接用 $v^2-v_0^2=2ax$，$v=0$：$x=v_0^2/(2a)=400/10=40\thinspace\text{m}$。
类比 1：四公式 ↔ "四把钥匙开四把锁"
| 公式 | 含 | 不含 | 适用题型 |
|---|---|---|---|
| $v=v_0+at$ | $v,t$ | $x$ | 求瞬时速度或时间 |
| $x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$ | $x,t$ | $v$ | 求位移或时间 |
| $v^2-v_0^2=2ax$ | $v,x$ | $t$ | 不涉及时间的题 |
| $x=\frac{v_0+v}{2}t$ | $x,v,t$ | $a$ | 求平均速度或位移 |
类比 2：逐差法 ↔ "天平称量"
逐差法本质是数据分组求差以放大可测信号、抵消随机误差。类似用天平称量时把待测物与已知砝码比较——避免直接测量绝对值带来的误差。
记忆口诀
四公式记牢：速位时位速位关，平均速度中间时；逐差 $\Delta x=aT^2$，奇数比看初速零。
例题
例 1：基础——刹车问题
题目：汽车以 $v_0=72\thinspace\text{km/h}=20\thinspace\text{m/s}$在平直公路上匀速行驶，突然发现前方障碍物紧急刹车，刹车加速度大小$a=4\thinspace\text{m/s}^2$。求： （1）刹车后 $3\thinspace\text{s}$ 末的速度； （2）刹车后 $6\thinspace\text{s}$ 内的位移； （3）刹车后最后 $1\thinspace\text{s}$ 内的位移。
分析：先求刹车总时间 $t_0=v_0/a=20/4=5\thinspace\text{s}$，$3\thinspace\text{s}<5\thinspace\text{s}$ 未停下，$6\thinspace\text{s}>5\thinspace\text{s}$ 已停下。最后一秒用"逆向法"——把刹车过程倒过来看，相当于初速为零的匀加速。
解答： （1）$v=v_0-at=20-4\times 3=8\thinspace\text{m/s}$。
（2）$6\thinspace\text{s}>t_0=5\thinspace\text{s}$，已停下。位移即 $5\thinspace\text{s}$ 内位移： $$ x = \dfrac{v_0^2}{2a} = \dfrac{400}{8} = 50\thinspace\text{m} $$
（3）最后 $1\thinspace\text{s}$（即第 $5\thinspace\text{s}$内）的位移。用逆向法：把刹车倒过来看，相当于从静止以$a=4\thinspace\text{m/s}^2$加速$1\thinspace\text{s}$ 的位移： $$ x_{\text{末}1} = \dfrac{1}{2}a t^2 = \dfrac{1}{2}\times 4\times 1^2 = 2\thinspace\text{m} $$
点评：本题三个考点——（1）正常套公式；（2）刹车陷阱（超时间用 $t_0$）；（3）逆向法——把匀减速到零的过程倒过来看，转化为初速为零的匀加速，简化计算。
例 2：中难——逐差法求加速度
题目：在"测定匀变速直线运动加速度"实验中，打点计时器每隔 $0.02\thinspace\text{s}$ 打一个点。每 5 个点取一个计数点，得到 6 段连续位移数据：$x_1=3.20\thinspace\text{cm}$、$x_2=4.70\thinspace\text{cm}$、$x_3=6.20\thinspace\text{cm}$、$x_4=7.71\thinspace\text{cm}$、$x_5=9.20\thinspace\text{cm}$、$x_6=10.71\thinspace\text{cm}$。求加速度 $a$。
分析：计数点间隔 $T=5\times 0.02=0.1\thinspace\text{s}$。用 6 段逐差法公式： $$ a=\dfrac{(x_4+x_5+x_6)-(x_1+x_2+x_3)}{9T^2} $$
解答：
- $x_1+x_2+x_3=3.20+4.70+6.20=14.10\thinspace\text{cm}$
- $x_4+x_5+x_6=7.71+9.20+10.71=27.62\thinspace\text{cm}$
- 差 $=13.52\thinspace\text{cm}=0.1352\thinspace\text{m}$
$$ a = \dfrac{0.1352}{9\times 0.1^2} = \dfrac{0.1352}{0.09} \approx 1.50\thinspace\text{m/s}^2 $$
点评：逐差法是实验题的固定题型。注意：（1）$T$ 的计算——5 个点取 1 个计数点，$T=5\times 0.02=0.1\thinspace\text{s}$；（2）6 段分组 $9T^2$，4 段分组 $4T^2$，分段数不同分母不同；（3）数据全部用上以减小误差。
例 3：进阶——比例关系应用
题目：一物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第 $4\thinspace\text{s}$内位移为$14\thinspace\text{m}$。求： （1）物体的加速度 $a$； （2）前 $5\thinspace\text{s}$ 内的总位移； （3）第 $5\thinspace\text{s}$ 末的速度。
分析：初速度为零，可用比例关系简化。第 $n$秒内位移$x_n=\frac{1}{2}a(2n-1)$。
解答： （1）第 $4\thinspace\text{s}$内位移（即$n=4$）： $$ x_4 = \dfrac{1}{2}a(2\times 4-1) = \dfrac{7a}{2} = 14\thinspace\text{m} $$ 故 $a=4\thinspace\text{m/s}^2$。
（2）前 $5\thinspace\text{s}$ 内位移： $$ x_{\text{前}5} = \dfrac{1}{2}at^2 = \dfrac{1}{2}\times 4\times 25 = 50\thinspace\text{m} $$
（3）第 $5\thinspace\text{s}$ 末速度： $$ v_5 = at = 4\times 5 = 20\thinspace\text{m/s} $$
点评：比例法的关键是==识别"初速度为零"==这一条件，然后灵活运用奇数比、整数比等比例关系。本题用 $x_n=\frac{1}{2}a(2n-1)$直接求$a$，比用 $x_4=x(0\to4)-x(0\to3)$ 联立简洁得多。
易错提醒
易错点
- 刹车陷阱：汽车刹车后停下时间 $t_0=v_0/a$，超过此时间已停下，位移不再增加。任何"刹车后 $t$秒内位移"题都必须先判断$t$与$t_0$ 的关系。
- 公式适用条件：四式仅适用匀变速（$a$ 恒定）。非匀变速用积分或图像法。
- 符号规定：取正方向后，$v_0,v,a,x$全部带符号代入。减速运动$a$ 取负值。
- 逐差法分段数对应分母：4 段用 $4T^2$，6 段用 $9T^2$——切勿张冠李戴。
- 中间时刻 vs 中间位置：$v_{t/2}\ne v_{x/2}$，匀加速时 $v_{x/2}>v_{t/2}$。
- 比例法仅适用 $v_0=0$：初速度不为零时不能用奇数比、整数比等比例。
概念辨析
匀变速 vs 匀速
| 比较项 | 匀速直线运动 | 匀变速直线运动 |
|---|---|---|
| 加速度 | $a=0$ | $a\ne 0$ 且恒定 |
| 速度 | 恒定 | 均匀变化 |
| 位移公式 | $x=vt$ | $x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$ |
| $v$-$t$ 图 | 水平线 | 斜直线 |
逐差法 vs 平均法 平均法 $\bar a=\dfrac{\Delta x_1+\Delta x_2+\dots}{nT^2}$ 中间数据被消去；逐差法所有数据都参与计算，误差更小。
与其他知识关联
- 与 01-描述运动的基本物理量 的关系：本节公式是位移、速度、加速度定义式的"积分形式"，$v=v_0+\int a\thinspace{}dt$，$x=x_0+\int v\thinspace{}dt$。
- 与 03-自由落体与竖直上抛 的关系：自由落体即 $v_0=0,a=g$的匀加速运动，竖直上抛即$v_0\ne 0,a=-g$ 的匀减速运动——四公式直接套用。
- 与 04-运动图像 的关系：四个公式的几何意义都在 $v$-$t$图中——斜率$a$、面积 $x$、截距 $v_0$。
- 与 05-追及与相遇 的关系：追及问题中两车都做匀变速运动，分别列位移方程联立求解。
- 与 06-平抛运动 的关系：平抛运动的竖直分运动就是自由落体（$v_0=0,a=g$），可直接套用四公式。
- 与电学 01-静电场/05-带电粒子在电场中的运动 的关系：带电粒子在匀强电场中加速（$a=qE/m$）即匀变速直线运动，四公式直接迁移。
- 高中—大学衔接：牛顿力学 中匀变速公式是 $a=$ 常数时牛顿第二定律的积分；机械振动 中简谐运动 $a=-\omega^2 x$ 不再是匀变速，需用微分方程处理。
作者的话
个人理解
匀变速直线运动四公式看似简单，但它们的"组合威力"巨大——任何涉及"恒定加速度"的运动都可由它们解决。学习这一节，我建议读者建立"四把钥匙开四把锁"的思维：拿到题目先看"已知什么、求什么、不含什么"，再选对应公式。这种"按变量选公式"的策略，比盲目套公式高效得多。
逐差法是本节的另一精华。它看似只是一个实验数据处理技巧，实则蕴含"用全部数据、减小随机误差"的科学方法。这种思想在大学物理实验中将扩展为最小二乘法、回归分析等更系统的数据处理工具。建议读者亲自做一次"测定匀变速直线运动加速度"实验，体会纸带上每一段位移都"参与"计算的妙处。
最后强调一点：公式有适用条件。四公式仅当 $a$ 恒定时成立。后续学 06-平抛运动 时，水平方向是匀速（$a=0$），竖直方向是匀加速（$a=g$），两个方向分别独立用公式——这种"分解—分别处理—合成"的思想是处理曲线运动的钥匙。学到 07-圆周运动 时，$a$大小不变但方向时刻变（不再恒定），四公式不再适用——这时就要用向心加速度$a=v^2/r$ 等新工具。理解"何时能用、何时不能用"四公式，是力学成熟度的标志。
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