学习笔记

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原子核与放射性衰变（竞赛） ​

概览

本笔记是近代物理模块的初赛/复赛核心之一，主题是"原子核的内部结构与自发的随机变化"。核心是一条一阶微分方程 $\dfrac{dN}{dt}=-\lambda N$与它的解$N=N_0e^{-\lambda t}$——这正是 02-微分方程初步 中指数衰减模型的物理原型。我们由此引出衰变常数 $\lambda$、半衰期 $T_{1/2}$、平均寿命 $\tau$三个时间常数，掌握 α、β、γ 三种射线的性质对比与质量数、电荷数守恒的衰变方程书写规则，并覆盖衰变链、碳-14 定年、活度计算与辐射防护。竞赛中这一部分的题型高度程式化：半衰期多步计算、衰变方程补全、由$A$、$Z$ 变化求衰变次数、活度与质量换算——公式少、逻辑强，是近代物理中最容易稳拿分的部分。承接 03-原子结构与玻尔模型（核外电子）进入核内世界，为 06-核反应与核能（质量亏损与结合能）铺垫核物理语言。

核心概念 ​

一、原子核的组成 ​

原子核由质子和中子组成，二者统称核子（nucleon）：

  • 质子：电荷 $+e$，质量 $m_p\approx1.007276\ \mathrm{u}$；
  • 中子：不带电，质量 $m_n\approx1.008665\ \mathrm{u}$（比质子略重约 $1.3\ \mathrm{MeV}/c^2$，自由中子的半衰期约 10 分钟，会衰变为质子）。

描述一个核素（原子核）只需两个数：

  • 核电荷数 $Z$：即质子数，决定元素种类；
  • 质量数 $A$：核子总数（质子数 + 中子数），是整数；
  • 中子数 $N=A-Z$。

核素用符号写作 $$ {}^{A}_{Z}\mathrm{X} $$ 例如 ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$与${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ 都是碳：$Z=6$ 相同、中子数分别为 6 与 8。$Z$相同而$A$ 不同的核素互称同位素——核外电子数相同，化学性质完全相同，但核性质（放射性）可以截然不同，这正是示踪原子技术的原理基础。

原子核极小：核半径近似 $$ \boxed{\thinspace{}r\approx1.2\times10^{-15}\thinspace{}A^{1/3}\ \mathrm{m}\thinspace} $$ 给出数量级：即使最重的核，半径也不超过 $10^{-14}\ \mathrm{m}$量级，而原子半径约$10^{-10}\ \mathrm{m}$——核只占原子体积的约 $10^{-12}$ 分之一，却集中了几乎全部质量。

中子的存在：为什么原子质量数大于电荷数？

若原子核只由质子组成，质量数应等于电荷数。卢瑟福发现多数元素 $A$明显大于$Z$（如铀 $A=238$、$Z=92$），说明核内还存在一种与质子质量相近的中性粒子——查德威克 1932 年通过 $\alpha+\mathrm{Be}\to{}^{12}\mathrm{C}+\mathrm{n}$ 实验证实了中子的存在。

二、天然放射性与三种射线 ​

1896 年贝克勒尔发现铀盐能使照相底片感光——天然放射性被发现。后来发现放射性核素会放出 α、β、γ 三种射线，本质与性质对比如下：

射线本质符号电荷质量速度电离能力穿透能力典型屏蔽
α 射线氦核${}^{4}_{2}\mathrm{He}$$+2e$$4\ \mathrm{u}$约$0.1c$最强最弱一张纸
β 射线电子${}^{0}_{-1}\mathrm{e}$$-e$$\approx m_e/1836\ \mathrm{u}$接近$c$中等中等几毫米铝板
γ 射线光子$h\nu$$0$$0$$c$最弱最强数厘米铅板/混凝土

电离能力与穿透能力成反比的定性解释：射线的电离作用来自它与物质原子间的库仑碰撞，每次碰撞都损失能量并产生离子对。α 粒子电荷大、质量大、速度慢，与电子作用时间长，单位路程上碰撞多、电离强——能量很快耗尽，走不远（穿透弱）。γ 光子不带电，只能通过光电效应、康普顿散射、电子对产生等少数过程与物质作用，每次作用后仍可继续前进，因而穿透力强、电离弱。三种射线在磁场中表现也不同：α、β 带电、会偏转（方向相反），γ 不偏转——这是早期鉴别射线的实验手段。

β⁻ 与 β⁺：β 射线本质是高速电子。β⁻（负电子 ${}^{0}_{-1}\mathrm{e}$）最常见；β⁺ 是正电子（${}^{0}_{+1}\mathrm{e}$，电子的反粒子，质量相同、电荷相反），来自人工放射性核素的 β⁺ 衰变。正电子在物质中会与电子湮灭放出两个方向相反的 γ 光子（PET 医学影像的原理）。

三、衰变常数、半衰期与活度 ​

衰变的统计规律：对大量原子核，每个核在单位时间内衰变的概率相同——衰变是随机独立事件，单位时间内衰变的核数正比于当前未衰变的核数： $$ \frac{dN}{dt}=-\lambda N $$ 其中 $\lambda$称为衰变常数（单位$\mathrm{s}^{-1}$），它的物理意义是"每个核每秒的衰变概率"。解此方程得 $$ \boxed{\thinspace{}N=N_0e^{-\lambda t}\thinspace} $$ $N_0$为$t=0$ 时未衰变核的数目。核数减少到一半所需时间称为半衰期： $$ \boxed{\thinspace{}T_{1/2}=\frac{\ln2}{\lambda}=\frac{0.693}{\lambda}\thinspace} $$ 经过 $n$ 个半衰期（$t=nT_{1/2}$）后剩 $$ N=\frac{N_0}{2^n} $$ 另一个时间常数是平均寿命 $\tau=\dfrac{1}{\lambda}$，表示单个核寿命的统计平均，且 $\tau=\dfrac{T_{1/2}}{\ln2}\approx1.44\thinspace{}T_{1/2}$。

活度：单位时间内衰变的核数 $$ \boxed{\thinspace{}A=\lambda N\thinspace} $$ 单位：贝可勒尔（Bq，$1\ \mathrm{Bq}=1$ 次衰变/秒）；常用居里（Ci，$1\ \mathrm{Ci}=3.7\times10^{10}\ \mathrm{Bq}$）。活度随时间同规律衰减：$A=A_0e^{-\lambda t}$。

半衰期的三个"不等于"

半衰期是统计规律：对单个原子核无意义（一个核要么衰变要么不衰变，没有"半衰期"）；与外界条件（温度、压强、化学状态、是否带电）无关；也不是"质量或活度每次减半用时相同"以外的任何周期——但"减半"这一性质恰好使半衰期成为最方便的记忆量。

四、衰变方程与守恒律 ​

写衰变方程的唯一规则是质量数与电荷数守恒（左端与右端的总 $A$、总 $Z$ 分别相等）。

α 衰变：核放出 α 粒子，子核 $A$ 减 4、$Z$ 减 2： $$ {}^{A}_{Z}\mathrm{X}\thickspace\longrightarrow\thickspace{}^{A-4}_{Z-2}\mathrm{Y}+{}^{4}_{2}\mathrm{He} $$ 例如 ${}^{238}_{92}\mathrm{U}\to{}^{234}_{90}\mathrm{Th}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}$。α 粒子动能通常只有几 MeV。

β⁻ 衰变：核内一个中子转化为质子并放出电子与反中微子： $$ {}^{A}_{Z}\mathrm{X}\thickspace\longrightarrow\thickspace{}^{A}_{Z+1}\mathrm{Y}+{}^{0}_{-1}\mathrm{e}+\bar{\nu}_{\mathrm{e}},\qquad \mathrm{n}\to\mathrm{p}+\mathrm{e}^{-}+\bar{\nu}_{\mathrm{e}} $$ $A$ 不变、$Z$增 1。例如${}^{14}_{6}\mathrm{C}\to{}^{14}_{7}\mathrm{N}+{}^{0}_{-1}\mathrm{e}+\bar{\nu}_{\mathrm{e}}$（碳-14 定年的基础）。正电子发射对应 ${}^{A}_{Z}\mathrm{X}\to{}^{A}_{Z-1}\mathrm{Y}+{}^{0}_{+1}\mathrm{e}+\nu_{\mathrm{e}}$（质子转中子）。

γ 衰变：衰变产物常处于激发态，核从激发态跃迁回基态时放出高能光子——γ 射线通常伴随 α、β 衰变出现，不改变 $A$、$Z$： $$ {}^{A}_{Z}\mathrm{X}^{*}\thickspace\longrightarrow\thickspace{}^{A}_{Z}\mathrm{X}+h\nu $$

β 衰变的连续能谱与中微子

若 β 衰变只有"子核 + 电子"两个产物，能量守恒要求电子能量唯一确定（如同 α 粒子的分立能谱）。但实验测得 β 电子能谱是连续的，从 0 到某最大值——这只能用"还有一个粒子悄悄带走了部分能量"来解释。泡利因此预言了中微子，费米命名为 $\nu$。这也解释了为何 β 衰变方程必须写出 $\bar{\nu}_{\mathrm{e}}$。

五、衰变链与放射性平衡 ​

重核衰变后子核往往仍不稳定，继续衰变，形成一连串核素：$A_0\to B\to C\to\cdots\to$ 稳定核。天然放射性元素分三大系列：铀系（${}^{238}_{92}\mathrm{U}$经 8 次 α、6 次 β 衰变最终到${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$）、锕系（${}^{235}_{92}\mathrm{U}\to{}^{207}_{82}\mathrm{Pb}$）、钍系（${}^{232}_{90}\mathrm{Th}\to{}^{208}_{82}\mathrm{Pb}$）。

各代核素长期共存，关系由各自的 $\lambda$决定。两代衰变$A\xrightarrow{\lambda_A}B\xrightarrow{\lambda_B}C$ 中，$B$ 核的数量由"生成减衰变"两个过程共同决定： $$ \frac{dN_B}{dt}=\lambda_A N_A-\lambda_B N_B $$ 这是一个一阶线性非齐次方程，$\lambda_A\ne\lambda_B$ 时其解为 $$ \boxed{\thinspace{}N_B(t)=\frac{\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}N_A(0)\left(e^{-\lambda_A t}-e^{-\lambda_B t}\right)\thinspace} $$ 当母核寿命远长于子核（$\lambda_A\ll\lambda_B$）时很快达到长期平衡：$N_B/N_A=\lambda_A/\lambda_B$，此时子核按母核的半衰期衰减。竞赛中衰变链题一般只要求定性判断"谁衰减得快、谁先达到平衡"，具体的 $N_B(t)$ 公式可作为推导线索。

六、碳-14 定年法 ​

大气层中的中子与氮核反应不断产生 ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$： $$ {}^{14}_{7}\mathrm{N}+{}^{1}_{0}\mathrm{n}\longrightarrow{}^{14}_{6}\mathrm{C}+{}^{1}_{1}\mathrm{H} $$ $^{14}$C 是 β⁻ 放射体，半衰期 $T_{1/2}=5730$年。活着的生物通过呼吸、摄食持续与大气交换碳，体内$^{14}$C 与总碳的比例恒定（约 $1.3\times10^{-12}$）；死亡后交换停止，$^{14}$C 只减不增，按 $N=N_0e^{-\lambda t}$减少。测出古生物遗骸中$^{14}$C 的活度或含量相对活体的比例，即可反推死亡年代。该方法由利比于 1949 年提出，适用于距今数百年至约 5 万年的考古样品。

七、放射性的应用与防护 ​

应用（定性了解）：

  • 示踪原子：用放射性同位素标记化合物，追踪其在生物体、管道、机械中的行踪（同位素化学性质相同，不干扰体系）；
  • 医学放疗：γ 射线（钴-60、铱-192）定点照射肿瘤；
  • γ 探伤：利用 γ 强穿透性检查金属铸件、焊缝内部缺陷；
  • 碳定年：见上节；
  • 其他：辐照育种、γ 灭菌、烟雾报警器（α 电离）。

防护三原则（定性）：距离（辐射强度近似与距离平方成反比）、时间（受照剂量与时间成正比）、屏蔽（按射线种类选择屏蔽材料：α 用纸、β 用铝、γ 用铅或混凝土）。γ 射线穿过厚度为 $d$的屏蔽层后强度近似$I=I_0e^{-\mu d}$，其中 $\mu$为线性衰减系数，由此可定义半值层$d_{1/2}=\dfrac{\ln2}{\mu}$（使强度减半的厚度）。

推导与原理 ​

一、衰变规律的完整推导 ​

衰变是随机独立事件。设 $t$时刻未衰变的核数为$N(t)$，每个核单位时间内衰变的概率为 $\lambda$，则单位时间衰变数 $\dfrac{dN}{dt}$正比于$N$：

$$ \frac{dN}{dt}=-\lambda N $$

这是可分离变量的一阶方程（见 02-微分方程初步），分离变量：

$$ \frac{dN}{N}=-\lambda\thinspace{}dt $$

两边积分：

$$ \int\frac{dN}{N}=-\lambda\int dt\thickspace\Longrightarrow\thickspace\ln N=-\lambda t+C $$

由初始条件 $N(0)=N_0$得$C=\ln N_0$，于是

$$ \boxed{\thinspace{}N=N_0e^{-\lambda t}\thinspace} $$

核心逻辑链：随机独立 → 比例律 $\dfrac{dN}{dt}\propto N$ → 一阶线性微分方程 → 指数衰减。这正是 02-微分方程初步 中"实例 1"的物理背景，也是与 RC 放电、牛顿冷却同构的数学结构。

二、半衰期与平均寿命的关系 ​

由定义，$t=T_{1/2}$时$N=\dfrac{N_0}{2}$：

$$ \frac{N_0}{2}=N_0e^{-\lambda T_{1/2}}\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}e^{\lambda T_{1/2}}=2\thickspace\Longrightarrow\thickspace\lambda T_{1/2}=\ln2 $$

故 $$ \boxed{\thinspace{}T_{1/2}=\frac{\ln2}{\lambda}\approx\frac{0.693}{\lambda}\thinspace} $$

平均寿命：$t=0$时$N_0$ 个核的寿命各不相同。$t\to t+dt$间隔内衰变的核数为$|dN|=\lambda N_0e^{-\lambda t}dt$，它们都活到了 $t$，故总寿命期望

$$ \tau=\frac{1}{N_0}\int_0^\infty t\thinspace\lambda N_0e^{-\lambda t}\thinspace{}dt=\frac{1}{\lambda} $$

于是三个时间常数的关系：$\tau=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{T_{1/2}}{\ln2}\approx1.44\thinspace{}T_{1/2}$。物理意义：$t=\tau$时剩余核数为$N_0e^{-1}\approx0.368N_0$——约 63% 已经衰变。

三、β 衰变连续能谱与中微子 ​

若产物只有两个（子核 + 电子），两体衰变的动能分配由动量守恒唯一决定——α 衰变正是如此，α 能谱分立（一个峰值）。但实验测得 β 能谱为连续分布，$E=0$到$E_{\max}$都有，平均约$E_{\max}/3$。能量似乎不守恒。泡利 1930 年提出：第三个粒子（中微子 $\bar\nu_e$）与电子分享能量。中微子不带电、质量极小、只参与弱相互作用，贯穿力极强（穿越地球也几乎不被吸收），因此长期无法直接探测，直到 1956 年科温和莱因斯在核反应堆旁才捕获到反中微子。连续能谱的存在本身就是中微子存在的证据——这类"由守恒律反推缺失粒子"的思路在竞赛说理题中可能出现。

四、衰变方程的书写与检验 ​

书写三步走：

  1. 明确衰变类型（α 减 $4$减$2$；β⁻ 加 $1$；β⁺ 减 $1$；γ 不变）；
  2. 按类型改变 $A$、$Z$，写出子核位置；β⁻ 衰变还需补 ${}^{0}_{-1}\mathrm{e}$与$\bar\nu_{\mathrm{e}}$；
  3. 检验守恒：左右两端 $A$ 之和、$Z$ 之和分别相等。

反向检验的技巧

遇到"补全方程"题（给出方程某处挖空），先数缺项的 $A$、$Z$：缺项质量数 $A_x=\sum A_{\text{右}}-\sum A_{\text{左}}$（缺在右边时同理移项），电荷数亦然。$Z$为$-1$ 时说明缺的是电子，$Z=+2$、$A=4$ 说明缺 α 粒子，$A=0$、$Z=0$ 说明缺 γ 光子或中微子。

五、两代衰变的动力学（思路） ​

对 $A\xrightarrow{\lambda_A}B\xrightarrow{\lambda_B}C$，$A$ 的衰减与单核素相同：$N_A=N_A(0)e^{-\lambda_A t}$。$B$ 核数的变化率 = 生成率 − 衰变率：

$$ \frac{dN_B}{dt}=\lambda_A N_A-\lambda_B N_B=\lambda_A N_A(0)e^{-\lambda_A t}-\lambda_B N_B $$

这是非齐次一阶线性方程，解为（$\lambda_A\ne\lambda_B$） $$ N_B(t)=\frac{\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}N_A(0)\left(e^{-\lambda_A t}-e^{-\lambda_B t}\right) $$

竞赛会用到的两个极限结论：

  • 长期平衡（$\lambda_A\ll\lambda_B$，母核"长寿"）：很快有 $N_A\lambda_A\approx N_B\lambda_B$，即 $N_B\approx\dfrac{\lambda_A}{\lambda_B}N_A$，子核活度等于母核活度，体系按母核半衰期衰减——铀系矿石中镭与铀的比值恒定即源于此；
  • 若 $\lambda_B\ll\lambda_A$（子核长寿）：母核先衰光，$B$ 逐渐积累，之后按自己的半衰期衰减。

六、半值层：屏蔽的定量语言 ​

γ 穿过厚度 $dx$ 的屏蔽层时强度减少量与自身成正比：

$$ dI=-\mu I\thinspace{}dx\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}I=I_0e^{-\mu x} $$

定义半值层 $d_{1/2}=\dfrac{\ln2}{\mu}$，则 $$ I=\frac{I_0}{2^{x/d_{1/2}}} $$ 经过 $n$个半值层强度降为$1/2^n$——与半衰期的数学结构完全相同，可对照记忆。

典型实例与物理应用 ​

实例 1：半衰期的多步推算 ​

某放射性核素半衰期 6 天，初始 $N_0$个核。求：经过 18 天剩多少；剩$\dfrac{N_0}{16}$ 需多少天。

解：$18=3\times6$，三个半衰期，剩 $\dfrac{N_0}{2^3}=\dfrac{N_0}{8}$。由 $\dfrac{N_0}{2^n}=\dfrac{N_0}{16}$得$n=4$，$t=4\times6=24$ 天。

若问"剩 $\dfrac{N_0}{10}$"，则 $n=\log_2 10\approx3.32$，$t=3.32\times6\approx19.9$天（不必取整，时间连续）。但若问"至少经过几个半衰期才能保证剩$\le\dfrac{N_0}{10}$"，则需向上取整为 4 个。注意题目问法。

实例 2：活度的衰减规律 ​

活度 $A=\lambda N$与核数成正比，故$A=A_0e^{-\lambda t}$。若初始活度为 $3.7\times10^{10}\ \mathrm{Bq}$（1 Ci）、半衰期 30 年，求 60 年后活度：两个半衰期，$A=\dfrac{A_0}{4}=9.25\times10^{9}\ \mathrm{Bq}$。

实例 3：三种射线的鉴别（实验图像） ​

把放射源放入铅盒，让射线穿过匀强磁场（垂直纸面向里）：

  • α 粒子：电荷 $+2e$、质量大，偏转方向遵循左手定则，半径大；
  • β 粒子：电子，偏转方向相反，质量小、速度大，半径可以很大（$\gamma$ 因子大，$\dfrac{mv}{Bq}$ 大）；
  • γ 光子：不带电，不偏转，沿直线穿出。

三个亮点（或感光胶片上三条痕迹）的位置足以一辨三种射线——这是经典实验题的背景，物理基础是 07-带电粒子在磁场与复合场中 的洛伦兹力分析，β 高速电子的相对论质量修正可衔接 02-相对论动力学。

例题 ​

例 1：碳-14 定年 ​

题目：${}^{14}\mathrm{C}$的半衰期$T_{1/2}=5730$年，活体植物中$^{14}$C 与碳总量的比例恒定。（1）某古木中 $^{14}$C 含量为活体树木的 $\dfrac18$，求古木的年龄；（2）若测得某古生物遗骸的 $^{14}$C 放射性活度为活体的 $5\%$，求其年代（取 $\ln20=3.00$，$\ln2=0.693$）。

分析：死亡后 $^{14}$C 不再补充，按指数衰减。含量之比即核数之比 $N/N_0$。第（1）问 $\dfrac18$恰为 3 个半衰期；第（2）问比例不是$\dfrac12$的整数幂，用$N=N_0e^{-\lambda t}$ 直接解。

解答： （1）$\dfrac{N}{N_0}=\dfrac{1}{2^3}$，故 $t=3T_{1/2}=17190$ 年，约 1.7 万年。

（2）由 $N=N_0e^{-\lambda t}$，$\lambda=\dfrac{\ln2}{T_{1/2}}$：

$$ 0.05=e^{-\lambda t}\thickspace\Longrightarrow\thickspace\lambda t=\ln20\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}t=\frac{\ln20}{\ln2}\thinspace{}T_{1/2}=\frac{3.00}{0.693}\times5730\approx2.48\times10^{4}\ \text{年} $$

点评：碳定年的本质是"已知半衰期求时间"。两个关键认识：①"含量比例 $\dfrac12$的整数幂"直接数半衰期，否则用对数；②$\lambda=\dfrac{\ln2}{T_{1/2}}$与$N=N_0e^{-\lambda t}$ 要能灵活互用。注意 5% 对应 4.32 个半衰期（$2^{4.32}\approx20$），不要取整成 4 或 5 个。

例 2：衰变次数与方程补全 ​

题目：（1）${}^{232}_{90}\mathrm{Th}$经过若干次 α 衰变和 β⁻ 衰变变成${}^{208}_{82}\mathrm{Pb}$，求 α、β 衰变的次数；（2）补全方程：${}^{235}_{92}\mathrm{U}+{}^{1}_{0}\mathrm{n}\longrightarrow{}^{136}_{54}\mathrm{Xe}+{}^{90}_{38}\mathrm{Sr}+k\thinspace{}^{1}_{0}\mathrm{n}$，求 $k$。

分析：每次 α 衰变使 $A$ 减 4、$Z$减 2；每次 β⁻ 衰变$A$ 不变、$Z$加 1。先由$A$ 的变化确定 α 次数（$\beta$不改变$A$，唯一的 $\Delta A$来源），再由$Z$ 的净变化确定 β 次数。补全方程用质量数与电荷数守恒分别列等式。

解答： （1）质量数守恒：$232-4x=208$，故 $x=\dfrac{24}{4}=6$ 次 α 衰变。电荷数守恒：$90-2\times6+1\times y=82$（每次 β⁻ 使 $Z$加 1），故$y=82-90+12=4$ 次 β⁻ 衰变。

（2）质量数守恒：$235+1=136+90+1\times k$，故 $k=10$；电荷数守恒：$92=54+38$ 自动满足，验证了方程无缺项。

点评：先看 $A$定 α 次数、再看$Z$定 β 次数是固定套路——因为只有 α 衰变改变$A$，顺序不能反。此类题的陷阱：把 β⁻ 衰变当成 $Z$减 1（那是 β⁺），或忘记 β 衰变伴随$\bar\nu_{\mathrm{e}}$（写全方程时）。铀系 ${}^{238}\mathrm{U}\to{}^{206}\mathrm{Pb}$ 是 8 次 α、6 次 β 的经典结论，可作记忆锚点。

例 3：活度与质量的换算 ​

题目：${}^{60}\mathrm{Co}$的半衰期$T_{1/2}=5.27$ 年，$1.00\ \mathrm{g}$的${}^{60}\mathrm{Co}$ 样品活度是多少？（$N_A=6.02\times10^{23}\ \mathrm{mol}^{-1}$，1 年 $=3.16\times10^{7}\ \mathrm{s}$）

分析：活度 $A=\lambda N$。$N$ 由质量算：$N=\dfrac{m}{M}N_A$；$\lambda$ 由半衰期算：$\lambda=\dfrac{\ln2}{T_{1/2}}$。统一换算成国际单位（年 $\to$ 秒）。

解答： $$ \lambda=\frac{0.693}{5.27\times3.16\times10^{7}}\approx4.16\times10^{-9}\ \mathrm{s}^{-1} $$ $$ N=\frac{1.00}{60}\times6.02\times10^{23}=1.00\times10^{22} $$ $$ A=\lambda N=4.16\times10^{-9}\times1.00\times10^{22}\approx4.2\times10^{13}\ \mathrm{Bq} $$

点评：活度计算是初赛高频题，三个公式 $A=\lambda N$、$\lambda=\dfrac{\ln2}{T_{1/2}}$、$N=\dfrac{m}{M}N_A$环环相扣。注意：①时间单位统一（年→秒）是最大失分点；②同位素化学性质相同但$M$ 必须用具体核素的质量数（${}^{60}\mathrm{Co}$用$60$，不是钴的平均原子量 $58.9$）；③若问"几年后活度降为多少"，再叠加 $A=A_0\left(\dfrac12\right)^{t/T_{1/2}}$。

易错提醒 ​

易错点

  1. 半衰期对象错误：半衰期是大量核的统计规律，对单个核无意义；不能说"这个核再过半衰期就衰变一半"。
  2. 半衰期与外界条件：温度、压强、化学状态、化合物形态都不改变半衰期（核衰变由核力/弱相互作用决定，与电子云环境无关）。
  3. β⁻ 与 β⁺ 的 $Z$变化方向：β⁻ 衰变$Z\to Z+1$（中子变质子），β⁺ 衰变 $Z\to Z-1$。两者都使 $A$ 不变。把方向记反则衰变次数题全错。
  4. α 衰变后原子序数：$Z-2$（不是 $Z-4$）。$A$ 减 4、$Z$减 2，是$A$与$Z$ 的区别，常混。
  5. 取整问题："经过 $n$ 个半衰期"若题目问"至少"（如保证含量降到某值以下），$n$ 要向上取整；若问具体时间，用对数直接算，不取整。
  6. 单位换算：$T_{1/2}$ 用年、$\lambda$用$\mathrm{s}^{-1}$，计算活度前先统一单位（1 年 $=3.16\times10^7\ \mathrm{s}$）。
  7. 活度与核数混淆：$A=\lambda N$中$N$是未衰变的核数，不是质量也不是摩尔数；核数随时间衰减，活度也随时间衰减，不要用初始$N_0$ 算任意时刻活度。
  8. β 能谱是连续的：若题目说 β 粒子能量单一，那是错的（有中微子带走能量）；α 能谱才是分立的。
  9. γ 衰变不改变核素：γ 只改变能量状态，$A$、$Z$ 都不变，不是"γ 衰变生成新元素"。
  10. $^{14}$C 定年的适用前提：只适用于含碳生物遗骸且死亡后无碳交换；活体中的比例恒定是"生成与衰变平衡"的结果，不是静态不变。

概念辨析

三种时间常数

名称符号定义与 $T_{1/2}$ 关系时刻剩余比例
衰变常数$\lambda$单位时间衰变概率$\lambda=\dfrac{\ln2}{T_{1/2}}$$e^{-\lambda t}$
半衰期$T_{1/2}$核数减半所需时间$T_{1/2}$$1/2$
平均寿命$\tau$核寿命的统计平均$\tau=\dfrac{T_{1/2}}{\ln2}\approx1.44T_{1/2}$$e^{-1}\approx0.368$

同位素家族辨析

概念条件例子化学性质
同位素$Z$ 同、$A$异${}^{12}\mathrm{C}$、${}^{14}\mathrm{C}$相同
同量异位素$A$ 同、$Z$异${}^{14}\mathrm{C}$、${}^{14}\mathrm{N}$不同
同中子素$A-Z$ 同、$Z$异${}^{14}\mathrm{C}$、${}^{15}\mathrm{N}$不同

α 与 β⁻ 衰变对照

比较项α 衰变β⁻ 衰变
产物${}^{4}_{2}\mathrm{He}$${}^{0}_{-1}\mathrm{e}+\bar\nu_{\mathrm{e}}$
$A$变化$-4$不变
$Z$变化$-2$$+1$
本质核内粒子逃出（强/库仑竞争）$\mathrm{n}\to\mathrm{p}+\mathrm{e}^{-}+\bar\nu_{\mathrm{e}}$
能谱分立连续

与其他知识关联 ​

作者的话 ​

个人理解

原子核这章给我最大的感受是：宏观世界的"确定"在核尺度上变成了"概率"。宏观我们说"这块铀什么时候衰变完"，微观上每个核都像一个不肯按时交卷的学生——你只知道全班平均何时交完，却永远无法预测某一个。$\lambda$就是"平均交卷率"，半衰期是"交了一半的时间"，而$\dfrac{dN}{dt}=-\lambda N$ 这条微分方程，把随机性翻译成了确定性的数学——这是整个物理竞赛里"统计规律"最标准的样本，02-微分方程初步 里那一套分离变量的功夫在这里就是全部解药。

竞赛层面，这个版块的题几乎是"送分题"，因为模型单一：要么套 $N=N_0e^{-\lambda t}$，要么套衰变方程守恒。真正的区分度在细心：β⁻ 与 β⁺ 的 $Z$ 方向、$A$减 4 与$Z$ 减 2 的区别、单位换算、取整的方向。公式人人都会，丢分全在细节。

还有一点值得玩味：β 能谱的连续性逼出了中微子——"守恒律永远是对的，缺的一定有别的粒子"。这种"由守恒推存在"的思路，与亚当斯勒维耶从天王星轨道扰动预言海王星异曲同工。物理学的优雅，常常就在于不肯放过一个小数点后的偏差。

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