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原子结构与玻尔模型（竞赛）
概览
本笔记是竞赛近代物理模块的初赛/复赛核心。从"原子到底长什么样"的问题出发，沿历史脉络重建原子模型：汤姆孙"葡萄干布丁"模型、卢瑟福 $\alpha$粒子散射实验与核式模型、经典理论的困境，再到玻尔三假设与氢原子能级公式$E_n=-\dfrac{13.6}{n^2}\ \mathrm{eV}$的完整推导。在此基础上掌握能级跃迁$h\nu=E_m-E_n$（方向与符号约定）、电离能（13.6 eV）、三大谱线系（莱曼/巴耳末/帕邢）与谱线计数 $\dfrac{n(n-1)}{2}$，并推广到类氢离子 $E_n=-13.6\thinspace\dfrac{Z^2}{n^2}\ \mathrm{eV}$。本笔记衔接光学 09-光谱与色散 的巴耳末公式与 07-光电效应与光的量子性 的光量子思想（并与其作光电效应对比），是 04-波粒二象性与量子力学初步 的直接前置；跃迁计算的数字（13.6 eV、$R_H=1.097\times10^7\ \mathrm{m}^{-1}$）是初赛必背。大学层面为 原子物理、氢原子、量子力学 铺垫。
核心概念
一、原子模型的探索史
汤姆孙"葡萄干布丁"模型（1904）：原子是中性的，而电子带负电，那么正电荷在哪里？汤姆孙认为原子是一个均匀分布正电荷的球体，电子（"葡萄干"）嵌在其中。这个模型能解释原子整体电中性，却无法解释"原子内部的正电荷集中在一处"的实验证据。
卢瑟福 $\alpha$粒子散射实验（1911）：用放射性源发出高速$\alpha$ 粒子（$\mathrm{He}^{2+}$核，带$+2e$ 电荷）轰击金箔，观察其偏转。实验结果是三个出人意料的观测事实：
| 实验事实 | 推论 |
|---|---|
| 绝大多数 $\alpha$ 粒子穿过金箔方向几乎不变 | 原子内部绝大部分区域是"空"的，正电荷与质量并不充满整个原子 |
| 少数 $\alpha$ 粒子发生大角度偏转 | 原子内存在一个集中的带正电核心（原子核），强库仑斥力使其折返 |
| 极少数 $\alpha$粒子（约$\dfrac{1}{8000}$）被反弹回来 | 原子核体积很小（核半径约 $10^{-15}\sim10^{-14}$m，仅为原子半径$10^{-10}$ m 的万分之一），却集中了原子几乎全部质量与全部正电荷 |
由此建立卢瑟福核式模型：原子的质量与正电荷集中在很小的原子核内，电子在核外绕核运动，整个原子半径约 $10^{-10}$ m。卢瑟福还由散射几何定量估算出核电荷数，并预言了中子的存在（后来被查德威克证实，见 05-原子核与放射性衰变）。
核式模型的两大困难（经典理论的危机）
- 原子不稳定：按经典电磁理论，电子绕核做圆周运动是加速运动，必将不断辐射电磁波而损失能量，轨道半径连续减小，在约 $10^{-8}$ s 内就应塌缩进原子核——然而原子稳定存在；
- 光谱应是连续谱：辐射频率随轨道连续变化，光谱应是连续谱——然而实验测得氢原子光谱是分立线状谱（09-光谱与色散 的巴耳末系）。
这两条矛盾说明：经典电磁理论无法描述原子内部的微观规律，必须引入革命性的新思想——量子化。
二、玻尔三假设（核心）
1913 年玻尔在卢瑟福核式模型基础上提出三条假设，一举给出氢原子光谱的定量解释：
- 定态假设：原子只能处于一系列具有确定能量 $E_n$ 的不连续状态（定态），电子在定态轨道上运动不辐射能量。原子能量最低的定态（$n=1$）称为基态，其余称为激发态。
- 量子化条件（角动量量子化）：电子只能在不连续半径的轨道上运动，其轨道角动量满足 $$ L=mvr=n\hbar,\qquad n=1,2,3,\cdots $$ 其中 $n$ 为主量子数，$\hbar=\dfrac{h}{2\pi}$（约化普朗克常数）。这一条件等价于 04-波粒二象性与量子力学初步 中德布罗意电子驻波条件 $n\lambda=2\pi r$：电子波动性要求其轨道周长恰为波长整数倍才形成稳定驻波，由 $\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{mv}$代入即得$mvr=\dfrac{nh}{2\pi}=n\hbar$。
- 跃迁假设（频率条件）：电子从高能级 $E_m$跃迁到低能级$E_n$（$m>n$）时，发射一个光子；反之吸收光子从低能级跳到高能级。光子能量等于两能级之差： $$ \boxed{\thinspace{}h\nu=E_m-E_n\thinspace}\qquad(\nu\ \text{为光子频率，}\ \lambda=\frac{c}{\nu}) $$
跃迁方向的符号约定
光子能量恒为正。发射时初态能级高、末态能级低，取 $h\nu=E_{\text{初}}-E_{\text{末}}=E_m-E_n>0$（$m>n$）；吸收时初态低、末态高，仍取 $h\nu=E_{\text{末}}-E_{\text{初}}=E_m-E_n>0$。两种过程公式形式相同，只是能级高低互换——永远是"高能级减低能级"。
三、氢原子能级
由库仑力提供向心力与角动量量子化联立（完整推导见"推导与原理"），得氢原子（$Z=1$）能级：
$$ \boxed{\thinspace{}E_n=-\frac{13.6}{n^2}\ \mathrm{eV}\thinspace}\qquad(n=1,2,3,\cdots) $$
- $n=1$：基态 $E_1=-13.6\ \mathrm{eV}$，能量最低、最稳定；
- $n\to\infty$：$E_\infty=0$，电子脱离原子束缚成为自由电子（电离）；
- 电离能：把基态电子电离（移到无穷远）所需最小能量 $$ \boxed{\thinspace{}W=|E_1|=13.6\ \mathrm{eV}\thinspace} $$
对应轨道半径与速度（$a_0$ 为玻尔半径）：
$$ r_n=n^2a_0,\qquad a_0=\frac{\hbar^2}{mke^2}=0.53\ \text{Å}=5.3\times10^{-11}\ \mathrm{m} $$
$$ v_n=\frac{ke^2}{n\hbar},\qquad v_1\approx2.2\times10^6\ \mathrm{m/s}\approx\frac{c}{137} $$
基态电子速度为光速的 $\dfrac{1}{137}$（$1/137$即精细结构常数$\alpha$ 的量级）——这保证了非相对论近似适用，也说明"电子高速绕核"的经典图像只是近似。
四、能级图与谱线系
氢原子能级图（能量轴向上，$n=\infty$ 在最上方的 0 eV，$n=1$在最下方的$-13.6$eV；能级越往上越密，呈$-\dfrac1{n^2}$ 压缩）：
| 能级 | 能量 $E_n$（eV） | 状态 | 备注 |
|---|---|---|---|
| $n=\infty$ | 0 | 电离态（自由电子） | 电离限，之上为连续区 |
| $n=5$ | $-0.54$ | 高激发态 | 与$n=4$ 仅差 0.31 eV |
| $n=4$ | $-0.85$ | 激发态 | 与$n=3$ 差 0.66 eV |
| $n=3$ | $-1.51$ | 激发态 | 帕邢系下能级 |
| $n=2$ | $-3.40$ | 第一激发态 | 巴耳末系下能级，$E_2-E_1=10.2\ \mathrm{eV}$ |
| $n=1$ | $-13.6$ | 基态 | 能量最低；与电离限差 13.6 eV |
谱线系：大量氢原子处于各激发态时，向同一低能级 $n_f$跃迁形成一系列谱线，波长满足通式$\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{n_f^2}-\dfrac{1}{n_i^2}\right)$（$n_i>n_f$，$n_i$ 为初态量子数，$n_f$ 为末态量子数）。竞赛要求掌握三个线系：
| 谱线系 | 下能级 $n_f$ | 光谱区域 | 波长范围（约） | 通式（$n_i\ge n_f+1$） |
|---|---|---|---|---|
| 莱曼系 | 1 | 紫外 | 91.2~121.6 nm | $\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(1-\dfrac{1}{n_i^2}\right)$ |
| 巴耳末系 | 2 | 可见光 | 364.6~656.3 nm | $\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac14-\dfrac{1}{n_i^2}\right)$ |
| 帕邢系 | 3 | 红外 | 820.4~1875 nm | $\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac19-\dfrac{1}{n_i^2}\right)$ |
其中巴耳末系即 09-光谱与色散 中巴耳末公式的再现：$n_i=3,4,5,6$对应 Hα（656.3 nm）、Hβ（486.1 nm）、Hγ（434.0 nm）、Hδ（410.2 nm）四条可见谱线。各线系向短波端收敛于线系极限$\lambda_{\min}=\dfrac{1}{R_H n_f^2}$（莱曼系 91.2 nm、巴耳末系 364.6 nm、帕邢系 820.4 nm），其物理本质是 $n_i\to\infty$ 时能级无限堆积。
谱线数计算：从第 $n$能级向所有更低能级跃迁（大量原子统计结果），最多可观测的谱线条数等于从$n$ 个能级中任取两个的组合数：
$$ \boxed{\thinspace{}N=\mathrm{C}_n^2=\frac{n(n-1)}{2}\thinspace} $$
若只考虑从第 $n$能级跃迁到第$m$ 能级（$n>m$），则条数为 $\mathrm{C}_{n-m+1}^2=\dfrac{(n-m)(n-m+1)}{2}$（中间经过的每一对能级都算一条）。
大量原子与单个原子
大量原子处于激发态时，各原子独立、随机地向各种低能级跃迁，全部跃迁组合都能被观测到，故谱线条数取组合数；单个原子每次只完成一步跃迁、只发射一个光子，不存在"一次发出多条谱线"。
五、类氢离子
类氢离子是核电荷数为 $Z$、核外只有一个电子的离子（如 $\mathrm{He}^{+}$、$\mathrm{Li}^{2+}$）。把玻尔模型推导中的 $e^2$换成$Ze^2$（库仑力 $F=\dfrac{kZe^2}{r^2}$）即可：
$$ \boxed{\thinspace{}E_n=-13.6\thinspace\frac{Z^2}{n^2}\ \mathrm{eV}\thinspace,\qquad r_n=\frac{n^2a_0}{Z}\thinspace} $$
例如 $\mathrm{He}^{+}$（$Z=2$）：$E_1=-54.4\ \mathrm{eV}$，电离能 54.4 eV（为氢的四倍）；基态轨道半径 $r_1=\dfrac{a_0}{2}=0.265$ Å（为氢的一半）——核电荷强、电子被拉得更紧。注意：多电子原子（如中性氦）不能套用此公式，两电子之间还有排斥作用，这正是玻尔模型的局限之一（见第七节）。
六、吸收与发射：分立 vs 连续
能级吸收的分立性：束缚在原子内的电子只能吸收能量恰好等于两能级之差的光子：
$$ \boxed{\thinspace{}h\nu=E_m-E_n\ \text{（光子能量必须"恰巧"对上能级差）}\thinspace} $$
能量不足或多余的"错位"光子不被吸收（直接穿过，除非光子能量达到电离能以上）。这一"全有或全无"的苛刻条件与光电效应形成鲜明对比（详见"易错提醒"的辨析表）。
弗兰克-赫兹实验（1914）：用加速电子束轰击汞蒸气，发现当电子动能达到 4.9 eV 时，穿过气体的电子流突然下降——电子恰好把 4.9 eV 能量"整份"交给了汞原子使其跃迁到第一激发态。这个实验与光谱实验互为印证，直接证实了原子能级分立的存在（汞原子第一激发态与基态之差恰为 4.9 eV）。
光子吸收与电子碰撞激发的区别
光子吸收要求 $h\nu$恰好等于能级差，多余不行；而电子碰撞激发只要求入射电子动能 不小于 能级差，多余的能量仍留在电子上（作为碰撞后的剩余动能）。弗兰克-赫兹实验观测到的正是"刚好够用"的阈值：电子动能$\ge4.9$ eV 就能把汞原子撞激发。
七、玻尔模型的成功与局限
| 维度 | 玻尔模型 |
|---|---|
| 成功 | 1. 定量解释氢原子（及类氢离子）全部谱线系，公式与实验完全吻合；2. 由基本常数 $m,k,e,h$推出里德伯常数的理论值$R_H=\dfrac{13.6\ \mathrm{eV}}{hc}=1.097\times10^7\ \mathrm{m}^{-1}$，与实验值一致；3. 首次把"量子化"引入原子结构，回答了原子为何稳定 |
| 局限 | 1. 只适用于单电子体系（氢、类氢离子），多电子原子无能为力；2. 不能解释谱线的强度与精细结构（如氢谱线的双线分裂）；3. 定态假设与量子化条件是"人为规定"，没有理论根据，经典力学无法推出；4. 对跃迁过程（何时发生、如何发生）毫无描述 |
玻尔模型是量子理论的"半经典"雏形。其圆轨道概念后来被薛定谔方程（量子力学）彻底取代——电子没有确定的轨道，取而代之的是波函数与概率分布（电子云），而玻尔能级 $E_n=-\dfrac{13.6}{n^2}\ \mathrm{eV}$ 作为薛定谔方程的解被精确保留。由玻尔模型到量子力学的过渡，见 04-波粒二象性与量子力学初步。
推导与原理
一、玻尔半径与氢原子能级的完整推导（必会）
设电子质量 $m$、电荷 $e$，绕核做半径为 $r$的匀速圆周运动。核电荷$Ze$（先取 $Z=1$）：
第一步——库仑力提供向心力： $$ \frac{kZe^2}{r^2}=\frac{mv^2}{r} $$ （$k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=9\times10^9\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}$）
第二步——角动量量子化： $$ mvr=n\hbar $$
第三步——消去 $v$求轨道半径：由$mv^2=\dfrac{kZe^2}{r}$与$v=\dfrac{n\hbar}{mr}$ 联立： $$ \frac{n^2\hbar^2}{mr^2}=\frac{kZe^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\thinspace{}r_n=\frac{n^2\hbar^2}{mkZe^2}=\frac{n^2a_0}{Z}\thinspace} $$ 其中对氢原子 $Z=1$：$a_0=\dfrac{\hbar^2}{mke^2}=5.29\times10^{-11}\ \mathrm{m}\approx0.53$ Å，即玻尔半径。可见轨道半径量子化：$r_1=a_0$，$r_2=4a_0$，$r_3=9a_0$，……
第四步——求轨道速度：代入 $v=\dfrac{n\hbar}{mr}$： $$ v_n=\frac{kZe^2}{n\hbar} $$
第五步——求总能量：电子总能量为动能与电势能之和（势能取无穷远为零，引力类比见 07-万有引力与天体运动）： $$ E_n=\frac12mv^2-\frac{kZe^2}{r} $$ 由向心力方程 $mv^2=\dfrac{kZe^2}{r}$得$\dfrac12mv^2=\dfrac{kZe^2}{2r}$，代入： $$ E_n=\frac{kZe^2}{2r}-\frac{kZe^2}{r}=-\frac{kZe^2}{2r} $$ 再把 $r_n=\dfrac{n^2\hbar^2}{mkZe^2}$ 代入： $$ E_n=-\frac{mk^2Z^2e^4}{2n^2\hbar^2}=-13.6\thinspace\frac{Z^2}{n^2}\ \mathrm{eV} $$
$$ \boxed{\thinspace{}E_n=-\frac{13.6\thinspace{}Z^2}{n^2}\ \mathrm{eV}\thinspace}\qquad(\text{氢原子}\ Z=1\ \text{时}\ E_n=-\frac{13.6}{n^2}\ \mathrm{eV}) $$
数值验证（$Z=1$）：$\dfrac{mk^2e^4}{2\hbar^2}=\dfrac{9.11\times10^{-31}\times(9\times10^9)^2\times(1.6\times10^{-19})^4}{2\times(1.05\times10^{-34})^2}\approx2.18\times10^{-18}\ \mathrm{J}=13.6\ \mathrm{eV}$。
推导的物理含义：总能量为负（束缚态），$n$ 越大束缚越弱；能量差 $$ E_m-E_n=13.6\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}\right)\ \mathrm{eV}\qquad(m>n) $$ 恒为正，对应发射光子的能量。
二、里德伯常数与能级公式的衔接
把跃迁公式 $h\nu=E_m-E_n$与$\nu=\dfrac{c}{\lambda}$ 结合： $$ \frac{1}{\lambda}=\frac{E_m-E_n}{hc}=\frac{13.6\ \mathrm{eV}}{hc}\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right) $$ 对比实验归纳的里德伯公式 $\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{n_f^2}-\dfrac{1}{n_i^2}\right)$，得里德伯常数的理论值： $$ \boxed{\thinspace{}R_H=\frac{13.6\ \mathrm{eV}}{hc}=\frac{13.6\ \mathrm{eV}}{1240\ \mathrm{eV\cdot nm}}=1.097\times10^7\ \mathrm{m}^{-1}\thinspace} $$
这正是玻尔模型最漂亮的成就：经验常数 $R_H$由理论算出，与实验值完全一致。计算中常用速算常量$hc=1240\ \mathrm{eV\cdot nm}$（$h=6.63\times10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$，$1\ \mathrm{eV}=1.60\times10^{-19}\ \mathrm{J}$，$c=3.00\times10^8\ \mathrm{m/s}$）。
三、谱线数目的组合计数
从第 $n$ 能级向低能级跃迁，两两能级组合对应一条谱线（大量原子）：
- 全部向下跃迁：$\mathrm{C}_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2}$ 条；
- 只到第 $m$ 能级（$n>m$）：涉及 $n-m+1$ 个能级，$\mathrm{C}_{n-m+1}^2=\dfrac{(n-m)(n-m+1)}{2}$ 条。
思路小结：谱线计数只问"能级对"，用组合数；而"某条谱线波长"问"特定能级对"，用 $E_m-E_n$与$hc$。两类题型的切入顺序不要混淆。
典型实例与物理应用
实例 1：三大谱线系的波长与极限
已知 $hc=1240\ \mathrm{eV\cdot nm}$，快速计算各线系首条谱线与极限波长：
| 跃迁 | $\Delta E=E_i-E_f$（eV） | 波长 $\lambda=\dfrac{1240}{\Delta E}$（nm） | 区域 |
|---|---|---|---|
| 莱曼系 $n=2\to1$ | $13.6\times\left(1-\dfrac14\right)=10.2$ | 121.6 | 紫外 |
| 莱曼系极限 $n=\infty\to1$ | 13.6 | 91.2 | 紫外 |
| 巴耳末系 $n=3\to2$（Hα） | $13.6\times\left(\dfrac14-\dfrac19\right)=1.89$ | 656.3 | 红光 |
| 巴耳末系 $n=4\to2$（Hβ） | $13.6\times\left(\dfrac14-\dfrac1{16}\right)=2.55$ | 486.1 | 蓝绿 |
| 巴耳末系极限 $n=\infty\to2$ | 3.40 | 364.6 | 紫端尽头 |
| 帕邢系 $n=4\to3$ | $13.6\times\left(\dfrac19-\dfrac1{16}\right)=0.66$ | 1875 | 红外 |
| 帕邢系极限 $n=\infty\to3$ | 1.51 | 820.4 | 红外 |
可见：能级差越大，光子能量越大，波长越短；同一线系内 $n$越大谱线越密、向极限收敛——这是能级$-1/n^2$ 堆积的直接体现。
实例 2：类氢离子的能级与电离
以 $\mathrm{He}^{+}$（$Z=2$）为例：$E_n=-\dfrac{54.4}{n^2}\ \mathrm{eV}$。
- 基态 $E_1=-54.4\ \mathrm{eV}$，电离能 54.4 eV（氢的 4 倍——$Z^2$ 因子）；
- 第二激发态 $E_3=-\dfrac{54.4}{9}=-6.04\ \mathrm{eV}$；
- 从 $n=3$跃迁到$n=2$：$\Delta E=54.4\left(\dfrac14-\dfrac19\right)=7.56\ \mathrm{eV}$，$\lambda=\dfrac{1240}{7.56}=164\ \mathrm{nm}$（紫外）。
竞赛题常把氢与类氢离子并列设问，考查"$Z^2$ 缩放"是否熟练。
实例 3：从 $n=5$ 能级下落的谱线全貌
大量氢原子处于 $n=5$ 激发态，向低能级跃迁：
- 谱线条数：$\mathrm{C}_5^2=10$ 条；
- 可见光（巴耳末系）条数：落到 $n=2$的跃迁有$5\to2$、$4\to2$、$3\to2$ 共 3 条（Hγ、Hβ、Hα）；
- 能量最大（波长最短）：$5\to1$，$\Delta E=13.6\times\dfrac{24}{25}=13.06\ \mathrm{eV}$，$\lambda\approx95\ \mathrm{nm}$（紫外，莱曼系）；
- 能量最小（波长最长）：$5\to4$，$\Delta E=13.6\times\left(\dfrac1{16}-\dfrac1{25}\right)=0.31\ \mathrm{eV}$，$\lambda\approx4050\ \mathrm{nm}$（远红外，布拉开系）。
应用要点：遇到"给出若干激发态氢原子、问谱线"的题，先写组合数定条数，再按线系分类，最后才逐条算波长。
例题
例 1：由 $n$求能级与波长（氢与$\mathrm{He}^{+}$ 并列）
题目：（1）求氢原子 $n=2$、$n=3$能级能量与氢的电离能；（2）氢原子从$n=4$跃迁到$n=2$发射的光子波长与频率（已知$hc=1240\ \mathrm{eV\cdot nm}$）；（3）求 $\mathrm{He}^{+}$的电离能与$n=3\to2$ 的发射波长。
分析：直接用 $E_n=-\dfrac{13.6Z^2}{n^2}$eV；光子能量$\Delta E=13.6Z^2\left(\dfrac{1}{n_f^2}-\dfrac{1}{n_i^2}\right)$，波长 $\lambda=\dfrac{hc}{\Delta E}$。电离能即 $|E_1|=13.6Z^2$ eV。
解答： （1） $$ E_2=-\frac{13.6}{4}=-3.40\ \mathrm{eV},\qquad E_3=-\frac{13.6}{9}=-1.51\ \mathrm{eV},\qquad W=13.6\ \mathrm{eV} $$ （2） $$ \Delta E=13.6\left(\frac14-\frac1{16}\right)=13.6\times\frac{3}{16}=2.55\ \mathrm{eV} $$ $$ \lambda=\frac{hc}{\Delta E}=\frac{1240\ \mathrm{eV\cdot nm}}{2.55\ \mathrm{eV}}=486\ \mathrm{nm}\quad(\text{可见光，Hβ}) $$ $$ \nu=\frac{c}{\lambda}=\frac{3.00\times10^8}{4.86\times10^{-7}}\approx6.17\times10^{14}\ \mathrm{Hz} $$ （3）$\mathrm{He}^{+}$：$Z=2$，电离能 $$ W=13.6\times4=54.4\ \mathrm{eV} $$ $$ \Delta E=54.4\left(\frac14-\frac19\right)=54.4\times\frac{5}{36}=7.56\ \mathrm{eV},\qquad \lambda=\frac{1240}{7.56}=164\ \mathrm{nm}\ (\text{紫外}) $$
点评：本题是跃迁计算的基本盘。三个易混点都在这里亮相：能级是负值而 $\Delta E$ 恒正（发射取"高减低"）；$hc$用 eV·nm 单位时最省事；类氢离子记住$Z^2$ 缩放——$\mathrm{He}^{+}$ 的谱系与氢谱系形状相同、整体向短波（高能）平移四倍。
例 2：大量氢原子从 $n=4$ 跃迁的谱线
题目：大量氢原子处于 $n=4$ 激发态，向低能级跃迁。（1）最多能观测到几条不同波长的谱线？（2）其中属于可见光区（巴耳末系）的有几条？各对应什么跃迁？（3）求光谱中最短波长与最长波长。
分析：条数用组合数 $\mathrm{C}_4^2$；可见光条件为跃迁落到 $n=2$；最短波长对应最大能级差（$4\to1$），最长波长对应最小能级差（$4\to3$）。
解答： （1）谱线条数 $$ N=\mathrm{C}_4^2=\frac{4\times3}{2}=6\ \text{条} $$ （2）可见光即跃迁到 $n_f=2$：$4\to2$与$3\to2$ 共 2 条（486 nm 与 656 nm）； （3）最短波长（$4\to1$）： $$ \Delta E=13.6\left(1-\frac1{16}\right)=12.75\ \mathrm{eV},\qquad \lambda_{\min}=\frac{1240}{12.75}\approx97\ \mathrm{nm}\ (\text{紫外}) $$ 最长波长（$4\to3$）： $$ \Delta E=13.6\left(\frac19-\frac1{16}\right)=0.66\ \mathrm{eV},\qquad \lambda_{\max}=\frac{1240}{0.66}\approx1.9\times10^3\ \mathrm{nm}\ (\text{红外}) $$
点评：注意"6 条谱线"是大量原子的统计结果（覆盖全部 6 种能级对），单个原子只发一条。分类统计可见光时只看"末态 $n_f=2$"的跃迁，不要忘记 $3\to2$也属于从$n=4$ 出发的后续跃迁。本题的 486 nm 与例 1 的 Hβ 呼应——同一跃迁、同一谱线，只是题设角度不同。
例 3：吸收光子与电离的"全有或全无"
题目：用光子照射基态氢原子：（1）12.75 eV 的光子能否被吸收？若能，原子跃迁到哪个能级？（2）12 eV 的光子能否被吸收？为什么？（3）15 eV 的光子照射后会发生什么？这与光电效应有何区别？
分析：吸收条件是 $h\nu$ 恰等于某两个能级之差（13.6 eV 以下）；光子能量超过电离能（13.6 eV）后进入连续吸收区，多余能量转化为电离后电子的动能。
解答： （1）跃迁到 $n$所需能量$\Delta E=13.6\left(1-\dfrac1{n^2}\right)$： $$ n=4:\ \Delta E=13.6\left(1-\frac1{16}\right)=12.75\ \mathrm{eV} $$ 恰好等于光子能量，能被吸收，原子跃迁到 $n=4$ 激发态。 （2）检查能级差：$13.6\left(1-\dfrac1{4}\right)=10.2\ \mathrm{eV}$、$12.75\ \mathrm{eV}$，12 eV 介于二者之间，不对应任何能级差，不能被吸收，光子直接穿透（也不发生电离，因为 $12\ \mathrm{eV}<13.6\ \mathrm{eV}$）。 （3）$15\ \mathrm{eV}>13.6\ \mathrm{eV}$：光子把电子完全电离，多余能量成为电子的动能： $$ E_k=h\nu-W=15-13.6=1.4\ \mathrm{eV} $$
点评：第（2）问是"能级吸收分立性"的经典考点——与光电效应形成鲜明对比（见"易错提醒"辨析表）：光电效应中金属中"近自由"的电子对光子能量的要求是连续的（$h\nu\ge W$ 均可，$W$ 为逸出功），而玻尔模型中束缚电子只能吞下"整份"的光子；但一旦光子能量超过电离能，两种图景又统一为"多余能量归动能"。判据一句话：$h\nu$ 小于电离能看"能不能对上能级差"，大于电离能看"能多出多少动能"。
易错提醒
易错点
- 能级是负的，"高能级"指负得少的：$n$越大$E_n$越大（从$-13.6$升向 0），但恒为负；电离能是$|E_1|=13.6$eV，从$n=2$电离只需$3.4$eV，从$n=3$只需$1.51$eV——"从第$n$ 能级电离的能量"不等于 13.6 eV。
- 跃迁方向与符号：发射时 $h\nu=E_{\text{高}}-E_{\text{低}}$（如 $E_4-E_2$），吸收时相同式子、能级高低互换；光子能量恒正。写 $\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{n_f^2}-\dfrac{1}{n_i^2}\right)$时$n_i>n_f$（初态量子数大、能级高），把两数写反会出现负波长。
- 单位混用：$R_H=1.097\times10^7\ \mathrm{m}^{-1}$，代入前把 $\lambda$换成米；能级差用 eV 时配$hc=1240\ \mathrm{eV\cdot nm}$；$1\ \mathrm{eV}=1.6\times10^{-19}\ \mathrm{J}$，算频率 $\nu=\dfrac{\Delta E}{h}$ 时先把 eV 换 J。
- 谱线数的前提是"大量原子"：$\dfrac{n(n-1)}{2}$是大量原子处于第$n$能级时全部可能的跃迁组合数；单个原子一次跃迁只发一条谱线。问"从$n$跃迁到$m$（$n>m$）的条数"要用 $\dfrac{(n-m)(n-m+1)}{2}$，不是 $\dfrac{n(n-1)}{2}$。
- 吸收光子的"全有或全无"：$h\nu$ 小于电离能时，不恰好等于任何能级差的光子不被吸收；而弗兰克-赫兹式的电子碰撞只要求动能不小于能级差（多余归电子）。两者条件不同，不可混用。
- 光电效应 vs 能级吸收：光电效应中电子在金属内（近似自由、能量连续），只要 $h\nu\ge W$就出射，且出射动能$E_k=h\nu-W$ 连续变化；玻尔吸收中电子束缚在能级上，只能"整份"吸收。把"$\nu\ge\nu_0$ 连续条件"套到能级吸收上是初赛最典型的错误。
- 类氢离子缩放：$E_n\propto Z^2$、$r_n\propto\dfrac{1}{Z}$、$\Delta E\propto Z^2$。$\mathrm{He}^{+}$的一切能量差都是氢的 4 倍，波长是氢的$\dfrac14$——不是 $Z$ 倍。
- 轨道半径与能级的数量级：氢原子第一轨道半径 $r_1=0.53$ Å（$10^{-10}$m 量级），原子核半径$10^{-15}$ m 量级，两者差五万倍；能级差则常用 eV 量级。估算题中 "0.53 Å"与"13.6 eV"是最常用的两个锚点数字。
概念辨析
光电效应 vs 玻尔能级吸收（初赛高频对比）
| 比较项 | 光电效应 | 玻尔能级吸收 |
|---|---|---|
| 电子状态 | 金属中的（近）自由电子，能量连续 | 束缚在原子能级上的电子，能量分立 |
| 光子能量条件 | $h\nu\ge W$（逸出功），连续阈值 | $h\nu$恰好等于某两能级之差，或$\ge$ 电离能 |
| 多余能量去向 | 变成出射电子动能 $E_k=h\nu-W$ | 小于电离能时无"多余"可言；超过电离能时余量成动能 |
| 结果 | 电子逸出金属（连续地） | 原子激发到分立能级（或电离） |
| 典型实验 | 赫兹/密立根（07-光电效应与光的量子性） | 原子吸收光谱暗线、弗兰克-赫兹实验 |
光子吸收 vs 电子碰撞激发
| 比较项 | 光子吸收 | 电子碰撞激发 |
|---|---|---|
| 能量条件 | 必须"恰巧"：$h\nu=\Delta E$ | 阈值型：$E_k\ge\Delta E$ 即可 |
| 多余能量 | 不能被部分吸收 | 留在碰撞电子上 |
| 实例 | 吸收光谱暗线 | 弗兰克-赫兹实验 4.9 eV 汞 |
与其他知识关联
- 与 04-波粒二象性与量子力学初步 的关系：角动量量子化 $mvr=n\hbar$即德布罗意驻波条件$n\lambda=2\pi r$；玻尔模型的大量子数极限回归经典（对应原理）是量子力学的引导思想。
- 与 05-原子核与放射性衰变 的关系：卢瑟福散射证明原子核集中正电荷与质量；$\alpha$粒子即$\mathrm{He}^{2+}$ 核，核的组成与衰变规律在该笔记展开。
- 与 07-光电效应与光的量子性 的关系：光子能量 $E=h\nu$ 是两者的公共语言；"光电效应连续阈值 vs 能级吸收分立匹配"的辨析是本笔记易错重点。
- 与 09-光谱与色散 的关系：巴耳末公式（实验归纳）在本笔记中获得理论解释；线状谱、吸收谱、发射谱的观测基础见光学笔记。
- 与 06-刚体动力学 的关系：角动量 $L=mvr$ 的量子化是转动量概念在微观尺度的第一次应用；库仑力与引力同为平方反比力（类比 07-万有引力与天体运动 的轨道运动）。
- 与 01-微积分基础、05-复数与欧拉公式 的关系：能级差计算与 $hc/\lambda$ 换算是初等代数；向驻波（波动描述）过渡时用到欧拉公式表示的平面波。
- 与大学层面联系：原子物理（多电子原子与精细结构）、氢原子（薛定谔方程的严格解，能级公式被量子力学精确重现）、量子力学（波函数与电子云取代轨道概念）。
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作者的话
个人理解
玻尔模型是近代物理里最"迷人"的一页：它的三个假设在当时没有任何理论根据，纯粹是"为了解释光谱而硬凑"出来的，却一口气把氢原子全部谱线、里德伯常数、电离能全部算对——一个"不讲道理"的模型，给出了"严丝合缝"的数字。我学这一节最大的感触是：玻尔模型的价值不在它解释得多完美（它连多电子原子都处理不了），而在于它第一次告诉物理学家——微观世界的能量是分立的，这个信息比模型本身活得久。
竞赛层面，这一节几乎等于"送分题加工厂"：能级公式 $E_n=-13.6/n^2$、跃迁 $h\nu=E_m-E_n$、线系公式、组合数 $\dfrac{n(n-1)}{2}$、$hc=1240\ \mathrm{eV\cdot nm}$——五个公式包打天下。但送分题也最容易错在"想当然"：能级是负的、光子要"整份"吸收、谱线数是大量原子的统计结果。建议把"例 2"式的谱线统计题和"例 3"式的吸收判断题各做三遍，做到闭眼能默写能级表（-13.6、-3.40、-1.51、-0.85、0），初赛近代物理就稳了大半。
最后一句关于历史：卢瑟福用 $\alpha$ 粒子敲开了原子核的大门，玻尔用三个假设搭起了量子世界的脚手架，而真正的大厦要等薛定谔的波函数来建造。从葡萄干布丁到电子云，原子模型的每一步修正，都是"实验事实否决直觉"的教科书。后续请进入 04-波粒二象性与量子力学初步。
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