共点力平衡

概览

本节是受力分析的综合应用——共点力平衡条件 $\sum\vec{F}=0$ 是 05-牛顿第一定律 中"静止或匀速直线运动"状态的定量描述。核心要点：二力平衡（等大反向共线）、三力平衡（拉密定理与汇交原理）、多力平衡（正交分解法列 $\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$）、动态平衡（图解法、相似三角形法）、整体法与隔离法。本节难点在动态平衡问题——通过画力三角形判断力随某个变量变化的方向与大小。掌握本节后，06-牛顿第二定律 中 $a=0$ 的特殊情形即为平衡，08-牛顿定律的应用 的整体隔离思路也由此引申。

核心概念

一、共点力概念

共点力：几个力作用于同一点（或作用线相交于同一点）的力。

• 严格共点：力的作用点重合；
• 等效共点：力作用线延长后交于同一点（如三根绳拉物体，绳延长线交于一点）。

共点力的判定

共点力的关键是"作用线相交"，不是"作用点重合"。即使几个力作用于物体不同位置，只要它们的作用线相交于一点，就可视为共点力处理。

二、平衡状态

平衡状态：物体处于静止或匀速直线运动状态。

• 静止：速度为零，加速度为零；
• 匀速直线运动：速度恒定，加速度为零；
• 两者共同点：加速度 $a=0$。

静止 vs 瞬时速度为零

"静止"指持续速度为零（含加速度为零）；"瞬时速度为零"指某一时刻速度为零，但加速度可能不为零（如竖直上抛最高点）。平衡状态要求加速度为零，不是速度为零。

三、共点力平衡条件

共点力平衡条件：物体所受合外力为零。

$$ \boxed{\thinspace\sum\vec{F} = 0\thinspace} $$

分量形式： $$ \sum F_x = 0,\quad \sum F_y = 0 $$

平衡条件的几何意义

$\sum\vec{F}=0$ 意味着所有力的矢量首尾相接形成闭合多边形。对二力平衡即两力等大反向共线；对三力平衡即三力形成闭合三角形（拉密定理）。

四、二力平衡

二力平衡条件：两力大小相等、方向相反、作用在同一直线上。

• 二力平衡是一对平衡力，作用在同一物体上；
• 与作用力反作用力的区别见 07-牛顿第三定律。

五、三力平衡

1. 拉密定理

拉密定理：三个共点力平衡时，每个力与另两力夹角的正弦之比相等。

$$ \boxed{\thinspace\dfrac{F_1}{\sin\alpha_1} = \dfrac{F_2}{\sin\alpha_2} = \dfrac{F_3}{\sin\alpha_3}\thinspace} $$

其中 $\alpha_1$为$F_2$与$F_3$的夹角（即$F_1$ 对应的角），其余类推。

拉密定理的几何来源

拉密定理是正弦定理在力三角形中的应用——三力闭合三角形中，每个力对应一个外角，正弦定理 $F_1/\sin\alpha_1 = F_2/\sin\alpha_2 = F_3/\sin\alpha_3 = 2R$（$R$ 为力三角形外接圆半径）。

2. 三力平衡汇交原理

三力平衡汇交原理：若一个物体受三个非平行力作用而平衡，则这三个力的作用线必交于同一点。

graph LR
    O[三力汇交点] -->|F1| A
    O -->|F2| B
    O -->|F3| C

三力汇交的应用

三角形支架悬挂重物，三根杆/绳的拉力作用线必相交于一点。利用此原理可判断未知力的方向——如已知两力方向，第三力方向必过两力作用线交点。

六、多力平衡正交分解法

对于多个共点力平衡，常用正交分解法：

1. 建立直角坐标系（通常选多数力方向为轴）；
2. 将所有不在轴上的力分解到 $x$、$y$ 轴；
3. 列方程 $\sum F_x = 0$、$\sum F_y = 0$；
4. 解方程组求未知力。

正交分解法要点

坐标系选取影响计算繁简，但不影响结果。一般选多数力方向为坐标轴以减少分解工作量；对斜面问题选沿斜面与垂直斜面方向。

七、动态平衡问题

动态平衡：物体在缓慢变化的过程中始终处于平衡状态（每时刻 $\sum\vec{F}=0$）。

动态平衡的两种典型方法：

1. 图解法（力三角形法）

适用情形：三个力中有一个恒力（如重力），另两力方向变化但夹角关系确定。

操作步骤：

1. 画出初始状态的力三角形；
2. 保持恒力大小方向不变，让变化的力按其方向规则移动；
3. 观察各边长度（即各力大小）的变化。

2. 相似三角形法

适用情形：力三角形与几何三角形相似。

操作步骤：

1. 找出力三角形与几何三角形相似的对应关系；
2. 利用相似比 $\dfrac{F_1}{a}=\dfrac{F_2}{b}=\dfrac{F_3}{c}$ 求解。

八、整体法与隔离法

• 整体法：将几个相互作用的物体视为整体，分析整体所受外力（不分析内力）；
• 隔离法：将某个物体单独隔离，分析其受力（包括其他物体对它的作用力）。

整体法 vs 隔离法

• 整体法求外力或整体加速度方便（内力自动抵消）；
• 隔离法求内力（物体间相互作用力）必须；
• 高考综合题常需两者结合——先整体求加速度，再隔离求内力。

推导与原理

一、拉密定理的推导

设三力 $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3$共点平衡，则$\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3=0$，三力首尾相接形成闭合三角形。

设 $\vec{F}_2$与$\vec{F}_3$夹角为$\alpha_1$（即 $\vec{F}_1$ 所对的外角），$\vec{F}_1$与$\vec{F}_3$夹角为$\alpha_2$，$\vec{F}_1$与$\vec{F}_2$夹角为$\alpha_3$。在力三角形中，由正弦定理：

$$ \dfrac{F_1}{\sin(\pi-\alpha_1)} = \dfrac{F_2}{\sin(\pi-\alpha_2)} = \dfrac{F_3}{\sin(\pi-\alpha_3)} = 2R $$

而 $\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha$，故 $$ \dfrac{F_1}{\sin\alpha_1} = \dfrac{F_2}{\sin\alpha_2} = \dfrac{F_3}{\sin\alpha_3} $$

二、三力汇交原理的证明

设物体受三力 $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3$平衡，且$\vec{F}_1, \vec{F}_2$作用线相交于$O$ 点。$\vec{F}_1+\vec{F}_2$的合力作用线必过$O$。又因 $\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3=0$，故 $\vec{F}_3 = -(\vec{F}_1+\vec{F}_2)$，即 $\vec{F}_3$与$\vec{F}_1+\vec{F}_2$等大反向共线，故$\vec{F}_3$作用线也过$O$ 点。

三、动态平衡图解法的几何依据

动态平衡中，三力始终满足 $\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3=0$，即始终形成闭合三角形。若一力（如重力）大小方向恒定，则该力对应的边长方向不变；其他两力按方向规则变化时，三角形的另两边相应变化，长度即对应力的大小。

典型实例与类比

实例 1：悬挂球受斜向挡板

半径 $R$的光滑球重$G$，用挡板 $AB$挡住静止于倾角$\theta$的光滑斜面上。挡板与斜面夹角$\beta$可调。问$\beta$从$90^\circ$（垂直斜面）到 $180^\circ-\theta$（与斜面平行）过程中，球对挡板压力与对斜面压力如何变化？

分析：球受三力平衡——重力 $G$（恒定竖直向下）、斜面支持力 $N_1$（垂直斜面）、挡板支持力 $N_2$（垂直挡板）。重力恒定，$N_1, N_2$ 方向变化。用图解法：

• 重力对应的边长恒定（如三角形底边）；
• $N_1$ 方向与斜面垂直，$N_2$ 方向与挡板垂直；
• 当 $\beta$ 增大（挡板趋于竖直）时，$N_2$ 增大、$N_1$ 减小；
• 当 $\beta$ 减小（挡板趋于与斜面平行）时，$N_2$ 减小、$N_1$ 增大。

实例 2：绳挂重物水平移动

重 $G$的物体用绳悬挂，水平拉力$F$缓慢拉动物体至绳与竖直方向成$\theta$角。求$F$与绳拉力$T$随$\theta$ 增大的变化。

分析：物体受三力平衡——重力 $G$（恒定）、水平拉力 $F$（恒水平）、绳拉力 $T$（沿绳方向）。由图解法或正交分解：

$$ F = G\tan\theta,\quad T = \dfrac{G}{\cos\theta} $$

$\theta$增大时$\tan\theta$ 增大、$\cos\theta$减小，故$F$ 增大、$T$ 增大。

类比：力三角形是"刚体"的图像

把动态平衡中的力三角形想象成一根"刚性三角形框"——一边（恒力）固定，另两边按方向规则滑动。这样能直观看到力随变量变化的趋势，比代数法更直观。

记忆口诀

平衡条件合外零，二力等大反向行；三力闭合三角形，拉密定理正弦定；多力正交分解好，动态平衡画图明；整体隔离灵活用，外力内力各分明。

例题

例 1：基础——三力平衡与拉密定理

题目：质量 $m=3\thinspace\text{kg}$的小球用两根细绳悬挂如图，绳$OA$与竖直方向夹角$30^\circ$，绳 $OB$水平。求两绳拉力$T_A$、$T_B$（$g=10\thinspace\text{m/s}^2$）。

分析：球受三力平衡——重力 $mg=30\thinspace\text{N}$（竖直向下）、$T_A$（沿 $OA$ 向上）、$T_B$（水平）。三力夹角：$T_A$与$T_B$夹角$90^\circ+30^\circ=120^\circ$，$mg$与$T_B$夹角$90^\circ$，$mg$与$T_A$夹角$180^\circ-30^\circ=150^\circ$。

解答（拉密定理）： $$ \dfrac{T_A}{\sin 90^\circ} = \dfrac{T_B}{\sin 150^\circ} = \dfrac{mg}{\sin 120^\circ} $$ $$ T_A = \dfrac{mg\sin 90^\circ}{\sin 120^\circ} = \dfrac{30\times 1}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3}\thinspace\text{N}\approx 34.6\thinspace\text{N} $$ $$ T_B = \dfrac{mg\sin 150^\circ}{\sin 120^\circ} = \dfrac{30\times 0.5}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}\thinspace\text{N}\approx 17.3\thinspace\text{N} $$

解答（正交分解验证）：水平方向 $T_B = T_A\sin 30^\circ$，竖直方向 $mg = T_A\cos 30^\circ$，故 $T_A = mg/\cos 30^\circ = 30/(\sqrt{3}/2) = 20\sqrt{3}\thinspace\text{N}$，$T_B = T_A\sin 30^\circ = 10\sqrt{3}\thinspace\text{N}$。结果一致。

点评：拉密定理与正交分解是解决三力平衡的两把"刀"——拉密定理适合已知角度的情形，正交分解适合已知分量方向的情形。

例 2：中难——动态平衡图解法

题目：如图，用绳 $OP$拉悬挂重$G$的小球，球靠在光滑竖直墙上。缓慢拉动绳使球沿墙上移，绳与墙夹角$\theta$从$0^\circ$增到$60^\circ$。求此过程中绳拉力 $T$与墙支持力$N$ 的变化情况。

分析：球受三力平衡——重力 $G$（竖直向下恒定）、绳拉力 $T$（沿绳方向，与墙夹角 $\theta$）、墙支持力 $N$（水平方向恒定方向）。重力对应边恒定，$T$与$N$ 方向变化。

由正交分解（建立水平-竖直坐标）： $$ T\cos\theta = G \quad\Rightarrow\quad T = \dfrac{G}{\cos\theta} $$ $$ N = T\sin\theta = G\tan\theta $$

$\theta$从$0^\circ$增到$60^\circ$ 时：

• $\cos\theta$减小 →$T$ 增大；
• $\tan\theta$增大 →$N$ 增大。

解答：$T = G/\cos\theta$与$N = G\tan\theta$都随$\theta$ 增大而增大。

点评：动态平衡的"恒力+两变力"模式是高考常考题型。关键技巧是先找恒力（对应力三角形中恒定边），再分析两变力的方向变化规律。

例 3：进阶——整体法与隔离法

题目：质量 $m_A=2\thinspace\text{kg}$、$m_B=3\thinspace\text{kg}$的两物块叠放在光滑水平地面上，水平力$F=10\thinspace\text{N}$作用于$A$，$A$、$B$ 共同匀速运动。求： （1）地面对 $B$的支持力$N_{\text{地}}$； （2）$A$对$B$的摩擦力$f$； （3）若 $F$作用于$B$，$A$、$B$ 仍共同匀速，$A$、$B$ 间摩擦力如何变化？

分析：整体法分析整体（$A+B$）受外力，隔离法分析内力。

解答： （1）整体法（视 $A+B$ 为整体）：

• 竖直方向：$N_{\text{地}} = (m_A+m_B)g = (2+3)\times 10 = 50\thinspace\text{N}$；
• 水平方向：因匀速运动（合力为零），地面光滑无摩擦，故无需考虑地面摩擦。

（2）隔离 $A$：$A$受水平推力$F=10\thinspace\text{N}$与$B$对$A$的静摩擦力$f'$（方向反向，与 $A$相对$B$ 的运动趋势相反）。 $$ F - f' = 0 \quad\Rightarrow\quad f' = 10\thinspace\text{N} $$ 由作用力反作用力，$A$对$B$的摩擦力$f = f' = 10\thinspace\text{N}$（方向与 $f'$ 反向）。

（3）若 $F$作用于$B$：

• 整体仍匀速，整体合力为零，地面光滑，$F$与$A$、$B$ 间摩擦力平衡；
• 隔离 $A$：$A$仅受$B$对$A$的静摩擦力$f'$（无其他水平力），故 $f' = 0$（$A$ 不需要被加速，匀速运动不需摩擦力）；
• 故 $A$、$B$间摩擦力为$0$。

点评：本题体现整体法与隔离法的灵活切换——求外力（地面支持力）用整体法，求内力（$A$、$B$间摩擦力）用隔离法。注意（3）中$F$ 改作用对象后内力变化——这是连接体问题的核心考点。

易错提醒

易错点

1. 静止 ≠ 速度为零：平衡要求 $a=0$（持续静止或匀速直线运动）；瞬时速度为零不一定是平衡（如上抛最高点）。
2. 平衡力 vs 作用反作用力：平衡力作用在同一物体上，作用反作用力作用在两个不同物体上（详见 07-牛顿第三定律）。
3. 三力平衡不一定汇交：若三力平行则不汇交（如两绳水平拉、重力竖直拉，三力平行平衡）。
4. 动态平衡图解法选错恒力：必须找出"大小方向恒定"的那个力作为基准边。
5. 整体法与隔离法误用：整体法不能求内力，隔离法需考虑所有作用力（包括其他物体的作用）。
6. 拉密定理中角度对应：$\alpha_1$是$F_1$对的角，即$F_2$与$F_3$ 的夹角——不要混淆。

概念辨析

平衡状态 vs 瞬时平衡：

• 平衡状态：持续 $a=0$，包括静止与匀速直线运动；
• 瞬时平衡：某一时刻 $v=0$但$a\neq 0$（如上抛最高点）——不是平衡状态。

二力平衡 vs 作用反作用力：

• 二力平衡：两力作用于同一物体，等大反向共线，是平衡力；
• 作用反作用力：两力作用于两个物体，等大反向共线，是相互作用力（同时产生消失）。 详见 07-牛顿第三定律。

整体法 vs 隔离法：

• 整体法：视多物体为整体，只分析外力，适合求整体加速度或外力；
• 隔离法：单独分析某物体，考虑所有作用力（含内力），适合求内力。

与其他知识关联

• 与 01-重力与弹力 的关系：重力、弹力是平衡问题中常见的力；重心位置影响物体平衡稳定性。
• 与 02-摩擦力 的关系：静摩擦力大小常等于其他力的反向合力（平衡条件）。
• 与 03-力的合成与分解 的关系：正交分解法是平衡条件的核心计算工具。
• 与 05-牛顿第一定律 的关系：平衡状态是牛顿第一定律描述的"无外力或合外力为零"状态。
• 与 06-牛顿第二定律 的关系：平衡是 $a=0$ 的特殊情形，$\sum F = ma = 0$。
• 与 08-牛顿定律的应用 的关系：整体法与隔离法在动力学中同样适用，是连接体问题的核心方法。
• 与 01-运动学/02-匀变速直线运动 的关系：匀速直线运动是平衡状态的特例（$a=0$）。
• 与电学联系：03-磁场/02-安培力 通电导体在磁场中平衡问题；05-交变电流/04-远距离输电 中受力平衡。
• 大学层面延伸：牛顿力学 中平衡的严格定义为 $\sum\vec{F}=0$且$\sum\vec{M}=0$（合力与合力矩均为零）；机械振动 中平衡位置是简谐运动的中心。
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作者的话

个人理解

共点力平衡是力学的"综合考场"——它把受力分析、力的合成与分解、矢量运算整合在一起考查。本节最大的难点不是公式，而是动态平衡——通过画力三角形判断力随变量的变化趋势。

我的建议是：永远先找恒力。动态平衡中，至少有一个力（通常是重力）大小方向恒定，把它作为力三角形的"基准边"，再观察另两力的方向变化规律。这种几何思维比代数法更高效——画一个力三角形，立刻就能看出哪个力增大、哪个减小。

整体法与隔离法的灵活切换是高中物理的核心能力之一。原则很简单：求外力用整体，求内力用隔离。但实际题目中常需两者结合——先整体求加速度，再隔离求内力。这种"先粗后细"的思路在工程分析、科学研究中同样适用。

平衡状态 $\sum\vec{F}=0$是牛顿第二定律$\sum\vec{F}=ma$在$a=0$ 时的特例。理解这一点，平衡问题就不再是一个独立的"题型"，而是动力学的一个特殊情形。这种"统一"思想是物理学的方法论核心——用一个统一的方程描述各种看似不同的现象。

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