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几何光学基础（竞赛）
概览
几何光学以"光线"为模型，高中阶段主要要求定性掌握光的直线传播、反射与折射。竞赛在高中基础上深化的点集中在五处：一是用折射率 $n=\dfrac{c}{v}$把光速、折射、色散统一起来；二是视深公式$h'=\dfrac{h}{n}$ 的定量推导（小角度近似在光学中的第一次系统使用，数学工具见 04-泰勒展开与级数）；三是全反射的临界计算——水中点光源照亮水面圆、光导纤维最大入射角 $\sin\theta_{\max}=\sqrt{n_1^2-n_2^2}$；四是棱镜的最小偏向角与折射率互求；五是平面镜旋转、成角镜多次成像等转角几何问题。最后用费马原理（光程取极值）为反射与折射两大定律提供统一视角。本笔记是竞赛光学的开篇，是 02-球面镜与薄透镜成像、03-光具组与光学仪器 的直接前置。
核心概念
一、光与光速——光线模型的基石
光的直线传播：光在均匀介质中沿直线传播，这是几何光学的第一条公设。两个经典证据：
- 小孔成像：光源发出、经小孔后成倒立实像。孔径越小像越清晰（衍射会破坏清晰度，见 05-光的衍射，此处取理想化极限）。
- 影子：影是直线传播的直接结果；本影、半影的边界可由"连接光源边缘与障碍物边缘"的直线画出，这是高中影子作图题的几何本质。
光速：光在真空中的速度为 $$ \boxed{\thinspace{}c=3\times10^8\ \text{m/s}\thinspace} $$ 在折射率为 $n$ 的介质中速度变为 $$ \boxed{\thinspace{}v=\frac{c}{n}\thinspace} $$ 介质折射率越大，光在其中传播越慢。这一关系是折射定律的动力学来源（光的电磁本性的经典结论，见 06-光的偏振与电磁本性）。
光的可逆性原理：光沿某一路径传播，则沿反向（速度反向）必按同一路径传播。它使我们可以"从观察者出发"逆向作图求解，在竞赛中是极其省力的对称武器。
折射率的两个角度
折射率既可"测量"（$n=\dfrac{\sin\theta_{\text{真空/空气}}}{\sin\theta_{\text{介质}}}$），又可"解释"（$n=\dfrac{c}{v}$）。前者是实验定义，后者揭示物理本质。高中常用空气折射率 $\approx 1$ 简化，但竞赛中"空气近似为真空"是常用默认（$n_{\text{空气}}\approx1.0003$，除精密题外忽略）。
二、反射定律与平面镜成像
反射定律：反射光线、入射光线与法线在同一平面内（三线共面），且 $$ \boxed{\thinspace\theta_{\text{入}}=\theta_{\text{反}}\thinspace} $$ 角度一律指光线与法线的夹角。两镜夹角、镜面转角等几何问题最终都归结为这一条定律的反复运用。
平面镜成像：虚像，像与物关于镜面对称（等大、正立、左右颠倒），物像连线垂直于镜面。作图只需"过物点作垂线、等距取像点"。
竞赛深化——镜面旋转：入射光线方向不变，平面镜转过 $\theta$，法线随之转过 $\theta$，则反射光线转过 $2\theta$（方向与镜转方向相同）。这是竞赛反射问题出现频率最高的结论之一，详见"典型实例"实例 1。
竞赛深化——两镜两次反射：两平面镜夹角为 $\alpha$，光线在两镜间各反射一次后出射，则出射光线相对入射光线方向偏转 $$ \boxed{\thinspace2\alpha\thinspace} $$ 与入射角无关（证明见"推导与原理"）。这一结论与光线方向无关，故常用于转镜、测角仪等仪器（见 03-光具组与光学仪器 中望远镜、测角原理的应用思路）。
竞赛深化——多次反射成像：两平面镜夹角 $\alpha$，当 $\dfrac{360°}{\alpha}$ 为整数时，一个物点共成 $$ \boxed{\thinspace{}N=\frac{360°}{\alpha}-1\thinspace} $$ 个像（物在角平分线上时尤其对称美观）。特例：$\alpha=90°$成$3$ 个像，$\alpha=60°$成$5$ 个像；两镜平行（$\alpha\to0$）则成无穷多个像——像的个数等于"把镜子逐次镜像过去，像点落回镜角内"的次数。
三、折射定律（斯涅耳定律）与折射率
折射定律：折射光线、入射光线与法线三线共面，且入射角 $\theta_1$、折射角 $\theta_2$ 满足 $$ \boxed{\thinspace{}n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2\thinspace} $$ $n_1$、$n_2$ 分别为两种介质的折射率。
相对折射率：光从介质 1 射向介质 2 时，定义相对折射率 $$ n_{21}=\frac{n_2}{n_1}=\frac{v_1}{v_2} $$ 折射定律等价写法 $\sin\theta_1=n_{21}\sin\theta_2$。竞赛中把 $n_{21}$ 当作"折算后的等效折射率"，可简化多介质问题的比较。
光密介质与光疏介质：$n$ 大者为光密介质，$n$ 小者为光疏介质（与物理密度无关，见"概念辨析"表格）。光从光疏进入光密时向法线靠拢（$\theta_2<\theta_1$），从光密进入光疏时远离法线。
折射定律的推论——光路可逆：由 $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$ 交换两角立得反向传播满足同一关系，故折射光路完全可逆。竞赛中常"倒过来看"：已知出射方向求入射方向时，直接沿用同一公式即可。
视深问题：空气（或真空）中观察折射率为 $n$的液体中深度$h$ 的物体，看到的视深为 $$ \boxed{\thinspace{}h'=\dfrac{h}{n}\thinspace} $$ 这是小角度近似下"像点由近轴光线确定"的结果，推导见"推导与原理"。反过来，水中看空气中的物体，视高为 $h'=nh$——两个公式互为倒数关系，极易混淆。
四、全反射与临界角
全反射条件（两个条件缺一不可）：
- 光从光密介质射向光疏介质（$n_1>n_2$）；
- 入射角 ≥ 临界角 $C$。
临界角： $$ \boxed{\thinspace\sin C=\frac{n_2}{n_1}\thinspace}\qquad\left(\text{真空/空气时}\ \sin C=\frac{1}{n}\right) $$ 入射角恰为 $C$时折射角等于$90°$；入射角大于 $C$ 时不再有折射光线，能量全部反射回光密介质。
光导纤维：光纤由折射率 $n_1$的纤芯与折射率$n_2$ 的包层构成（$n_1>n_2$），光在纤芯内靠全反射传播。为使光线进入纤芯后能在包层界面上全反射，端面入射角必须小于最大入射角： $$ \boxed{\thinspace\sin\theta_{\max}=\sqrt{n_1^2-n_2^2}\thinspace} $$ 推导见"推导与原理"；该公式是竞赛光纤题的必考点。
五、棱镜、最小偏向角与色散
三棱镜的偏向角：设顶角 $A$，入射角 $i_1$，出射角 $i_2'$（注意带撇表示出射侧），光线经棱镜的总偏向角为 $$ \boxed{\thinspace\delta = i_1 + i_2' - A\thinspace} $$ 由两折射面各偏转一次相加得到。
最小偏向角：当对称入射（$i_1=i_2'$，即光线平行于底边、内部光线平行于底面）时偏向角最小： $$ \boxed{\thinspace\delta_{\min}=2\arcsin\left(n\sin\frac{A}{2}\right)-A\thinspace} $$ 等价地 $$ n=\frac{\sin\dfrac{\delta_{\min}+A}{2}}{\sin\dfrac{A}{2}} $$ 后者是用分光计测折射率的原理：量出 $A$与$\delta_{\min}$即可反解$n$，无需测量光线在棱镜内部的几何参数。
色散：不同波长（颜色）的光在同一介质中折射率不同——红光 $n$小、紫光$n$ 大，故紫光偏折大、红光偏折小。白光经三棱镜后展开成从红到紫的彩色光带，即色散。本质：$n=\dfrac{c}{v}$，而各色光频率不同，介质中速度不同；频率越高（波长越短）折射率越大。
六、费马原理（简介）
费马原理：光在介质中传播的路径，是使光程取极值（通常为极小）的路径。定义光程 $$ L=\int n\thinspace{}ds $$ 即沿路径对折射率积分（均匀介质中简化为 $L=ns$）。真空中 $L=ct$恰等于光传播时间乘$c$，故费马原理等价于"光走时间取极值的路径"。
由费马原理可统一导出：
- 反射定律：光在镜面上反射，其"最短光程"路径等价于把像点镜像到镜后，使折线化为直线——镜像法正是费马原理的几何化身；
- 折射定律：光在两种介质交界处折射，取极值条件给出 $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$。
思想导出见"推导与原理"。竞赛中费马原理通常不作为计算工具（其严格的变分处理依赖 02-微分方程初步 与大学 光学），但它是"最短时间""最速路径"类问题的思想源头，且为理解 04-光的干涉 中的光程差概念埋伏笔。
推导与原理
一、视深公式 $h'=h/n$ 的推导
设水中深度 $h$处有一点$S$，其光线经水面折射进入空气。取两条极靠近竖直方向的光线（小角度近似 $\sin\theta\approx\tan\theta$，见 04-泰勒展开与级数）。设空气中的角为 $i$，水中折射角为 $r$（注意光线从水中射出，入射角是 $r$、折射角是 $i$），斯涅耳定律给出 $\sin i=n\sin r$，小角度下 $$ i\approx n r $$ 像点 $S'$ 由折射光线的反向延长线交点确定，水平偏移相等： $$ h\tan r = h'\tan i\thickspace\Rightarrow\thickspace h'\approx h\cdot\frac{r}{i}=\frac{h}{n} $$ 故 $$ \boxed{\thinspace{}h'=\frac{h}{n}\thinspace} $$
推导的启示
视深公式的关键步骤是反向延长线交点与小角度近似。这两招在竞赛光学中反复出现：透镜成像的作图、光具组逐次成像都依赖"近轴光线"这一前提。视深公式只在近垂直观察时严格成立，斜视时像点偏移且产生变形（"水中筷子弯折"的直观感受）。
二、光导纤维最大入射角的推导
设纤芯折射率 $n_1$、包层折射率 $n_2$（$n_1>n_2$），端面外为空气（$n\approx1$）。光线以端面入射角 $\theta$进入纤芯，折射角为$\theta_1$： $$ \sin\theta=n_1\sin\theta_1 $$ 光线在纤芯—包层界面的入射角为 $90°-\theta_1$。全反射要求 $$ \sin(90°-\theta_1)=\cos\theta_1\ge\frac{n_2}{n_1} $$ 即 $$ \sin\theta_1\le\frac{\sqrt{n_1^2-n_2^2}}{n_1} $$ 代回端面折射公式： $$ \sin\theta_{\max}=n_1\sin\theta_{1,\max}=\sqrt{n_1^2-n_2^2} $$ 故 $$ \boxed{\thinspace\sin\theta_{\max}=\sqrt{n_1^2-n_2^2}\thinspace} $$
符号提醒
$\theta_{\max}$ 是空气中端面入射角的最大值，$\theta_1$是纤芯内的折射角，两者混为一谈是常见错误。若$n_1$、$n_2$ 相差很小（弱导光纤），$\theta_{\max}$ 也很小，光只能以很窄的锥角进入。
三、最小偏向角的推导
设三棱镜顶角 $A$，两折射面上的折射角分别为 $r_1$、$r_2$，几何上由三角形内角和 $$ r_1+r_2=A $$ 偏向角 $$ \delta=i_1+i_2'-A $$ 其中 $i_1$、$i_2'$由斯涅耳定律与$r_1$、$r_2$ 联系：$\sin i_1=n\sin r_1$，$\sin i_2'=n\sin r_2$。
因 $r_1+r_2=A$固定，由对称性（或对$i_1$求导令$\dfrac{d\delta}{di_1}=0$），当 $r_1=r_2=\dfrac{A}{2}$，即 $i_1=i_2'$（对称入射）时 $\delta$ 取最小。此时 $$ \sin\frac{\delta_{\min}+A}{2}=\sin i_1=n\sin\frac{A}{2} $$ 解得 $$ \boxed{\thinspace\delta_{\min}=2\arcsin\left(n\sin\frac{A}{2}\right)-A\thinspace} $$
记忆口诀
对称入射偏向最小，内部光线平行底面。反过来，已知 $\delta_{\min}$与$A$求$n$用$n=\dfrac{\sin\frac{\delta_{\min}+A}{2}}{\sin\frac{A}{2}}$，两式实为一式的两种写法。
四、两次反射的转角关系与成角镜成像个数
两镜两次反射偏转 $2\alpha$的证明：将入射光线与两镜组成的整个系统关于第一面镜做镜像翻转。第一次反射的效果，等价于"光线在翻转后的系统中射向第二面镜的镜像"。于是两次反射问题化为一次反射问题：光线射向与原来夹角同为$\alpha$的"等效镜面"。单次反射的偏转角等于$2$倍入射光线与镜面的夹角，而该夹角在此为$\alpha$，故总偏转 $$ \boxed{\thinspace2\alpha\thinspace} $$ 与光线入射角无关。
成像个数 $N=\dfrac{360°}{\alpha}-1$的说明：把两镜之一（连同物、像）反复做镜面反射，每次反射产生一个像，直至镜像落回两镜张角之内为止。反射次数$k$满足$k\alpha<360°$，共产生 $k$个像，加另一侧对称产生的像，总数恰为$\dfrac{360°}{\alpha}-1$（当 $\dfrac{360°}{\alpha}$ 为整数）。物在角平分线上时分布对称；物不在平分线上时，部分像可能重合或不可见，竞赛计算个数时以"$\dfrac{360°}{\alpha}$ 为整数"为前提。
五、由费马原理导出反射定律与折射定律
导出反射定律：设反射点 $P$在镜面上，入射点$A$、观察点 $B$。光程 $L=AP+PB$。将 $A$关于镜面镜像到$A'$，则 $AP=A'P$，问题化为"$A'$经$P$到$B$的折线最短"。两点间直线最短，故$P$位于$A'B$ 与镜面的交点处，此时入射角等于反射角——镜像法就是费马原理的几何表述。
导出折射定律：设入射点 $A$、出射点 $B$分居界面两侧，折射点$P$ 在界面上。光程 $$ L=n_1 AP+n_2 PB $$ 对 $P$的位置$x$取极值$\dfrac{dL}{dx}=0$，结合几何关系 $AP=\sqrt{h_1^2+x^2}$、$PB=\sqrt{h_2^2+(d-x)^2}$，得 $$ n_1\frac{x}{\sqrt{h_1^2+x^2}}=n_2\frac{d-x}{\sqrt{h_2^2+(d-x)^2}} $$ 即 $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$——折射定律由"光程极值"自然涌现。
典型实例与物理应用
实例 1：平面镜旋转问题
入射光线方向不变，平面镜绕镜面内轴转过 $\theta$。由反射定律，法线转过 $\theta$，入射角增大（或减小）$\theta$，故反射角同样改变 $\theta$，反射光线相对原来方向转过 $$ \boxed{\thinspace2\theta\thinspace} $$ 应用：光杠杆、振镜扫描（扫描仪）、转镜法测光速（傅科法）都是把"镜转角 $\theta$"放大为"光线转角 $2\theta$"，获得测量灵敏度。竞赛题常给出镜转角度求反射光线的偏转，或反之。
实例 2：平行玻璃砖的侧移
厚度为 $d$、折射率为 $n$的平行玻璃砖，光以入射角$\theta$射入，出射光线与入射光线平行但发生侧移。设折射角$r$（$\sin r=\dfrac{\sin\theta}{n}$），在玻璃内光程长度 $\dfrac{d}{\cos r}$，侧移量 $$ \Delta = \frac{d\sin(\theta-r)}{\cos r} = d\sin\theta\left(1-\frac{\cos\theta}{\sqrt{n^2-\sin^2\theta}}\right) $$ 其中用到 $\tan r=\dfrac{\sin\theta}{\sqrt{n^2-\sin^2\theta}}$。垂直入射（$\theta=0$）时 $\Delta=0$；$\theta$ 增大侧移增大。定性结论出射光与入射光平行、整体平移在竞赛作图题中直接用，定量公式用于计算题校验。
实例 3：水中看物与视深应用
- 空气看水中：视深 $h'=\dfrac{h}{n}$，池底"变浅"。
- 水中看空气：视高 $h'=nh$，天空"升高"——这就是潜水员看到天空在头顶上方"缩小"的现象（再加全反射的"窗口"效果）。
- 玻璃砖内的气泡：从空气看玻璃中的气泡，视深变浅；竞赛常把气泡当作"玻璃中的点光源"处理其成像（详见 02-球面镜与薄透镜成像 的虚物概念）。
实例 4：全反射的竞赛常见情形
- 水中点光源照亮水面：深度 $h$的点光源能照亮的水面是一个半径为$R=h\tan C=\dfrac{h}{\sqrt{n^2-1}}$ 的圆（临界角外全是全反射）。这是全反射最经典的定量模型，见例题 1。
- 水中气泡：气泡是"玻璃/水中的空气"，光从光密介质射向气泡内的空气，在水—气界面发生全反射，故气泡看起来亮而闪光。
- 海市蜃楼与沙漠蜃景：空气折射率随温度变化，光在变折射率介质中"走弯道"；蜃景本质是连续折射+全反射。竞赛中作为定性理解，定量处理属于变折射率介质（大学内容）。
- 光导纤维与医用内窥镜：原理即前述最大入射角公式。
例题
例 1：水中点光源照亮水面圆
题目：距水面深 $h=1.2\ \text{m}$处有一置于水中静止点光源$S$，水的折射率 $n=\dfrac43$。求：（1）$S$能照亮的水面圆形区域的半径$R$；（2）站在水面上方空气中的人看到的 $S$ 的视深。
分析：光从水中射向空气，入射角大于临界角 $C$的光线发生全反射无法射出水面，故能射出的是以$S$为顶点、半顶角为$C$的圆锥，水面亮斑为圆。视深用近轴公式$h'=\dfrac{h}{n}$。
解答：（1）临界角 $$ \sin C=\frac{1}{n}=\frac34,\qquad \tan C=\frac{3}{\sqrt7} $$ 亮圆半径 $$ R=h\tan C=1.2\times\frac{3}{\sqrt7}\approx 1.36\ \text{m} $$ （2）视深 $$ h'=\frac{h}{n}=1.2\times\frac34=0.9\ \text{m} $$
点评：全反射把"点光源照明"限制在临界角圆锥内——这是全反射最核心的定量模型，几乎所有"水中光斑""玻璃内气泡"题目都归结为 $R=h\tan C$。注意 (2) 问的视深与亮斑半径同源但不同量纲的物理量，勿混用公式。
例 2：三棱镜最小偏向角与折射率互求
题目：顶角 $A=60°$的三棱镜，测得最小偏向角$\delta_{\min}=30°$。求棱镜材料的折射率 $n$；若将该棱镜换为折射率 $n'=1.7$ 的材料，最小偏向角变为多大？
分析：最小偏向角对应对称入射，直接用反解公式 $n=\dfrac{\sin\frac{\delta_{\min}+A}{2}}{\sin\frac{A}{2}}$；反向求解则用 $\delta_{\min}=2\arcsin\left(n\sin\dfrac{A}{2}\right)-A$。
解答： $$ n=\frac{\sin\dfrac{30°+60°}{2}}{\sin\dfrac{60°}{2}}=\frac{\sin 45°}{\sin 30°}=\frac{\dfrac{\sqrt2}{2}}{\dfrac12}=\sqrt2\approx1.41 $$ 对 $n'=1.7$： $$ \sin\frac{\delta_{\min}'+A}{2}=n'\sin\frac{A}{2}=1.7\times\frac12=0.85 $$ $$ \frac{\delta_{\min}'+60°}{2}=\arcsin 0.85\approx58.2° \thickspace\Rightarrow\thickspace \delta_{\min}'\approx56.4° $$
点评：$n=\dfrac{\sin\frac{\delta_{\min}+A}{2}}{\sin\frac{A}{2}}$是竞赛光学中"测折射率"的标准公式（分光计原理）。注意$\arcsin$的值域要求$n\sin\dfrac{A}{2}\le1$，否则该顶角下光线无法对称射出（超出 $n$ 的适用范围）——这一边界条件常被忽略。
例 3：平面镜旋转与两镜夹角
题目：（1）一束光射到平面镜上，若镜面绕垂直于入射面的轴转动 $10°$，反射光线的方向改变多少？（2）两平面镜夹角 $\alpha=60°$，物点位于角平分线上，共能观察到几个像？（3）若一束光在夹角 $60°$ 的两镜间各反射一次后射出，出射光线相对入射光线偏转多少？
分析：镜转 $\theta$反射光线转$2\theta$；成像个数用 $N=\dfrac{360°}{\alpha}-1$；两镜两次反射偏转 $2\alpha$，均为直接应用。
解答：（1）$\Delta\theta_{\text{反}}=2\times10°=20°$。（2）$N=\dfrac{360°}{60°}-1=5$个像。（3）偏转$2\alpha=120°$。
点评：三个结论都只依赖反射定律，但要分清适用前提：转镜结论针对单镜，$2\alpha$ 偏转针对两镜各反射一次，成像个数针对两镜多次反射成像。三者数字相同（$2\alpha$）容易互相混淆，做题时先确认几何结构再套公式。
易错提醒
易错点
- 角度基准错：反射、折射定律中的角度都是光线与法线的夹角，不是光线与界面的夹角。见到"与界面成 $30°$"要先换算成 $60°$。
- 全反射条件缺一不可：必须同时满足"光密→光疏"与"入射角 ≥ 临界角"。光从空气射向玻璃永远不会全反射——$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$ 对光疏→光密总有折射解。
- 临界角公式误用：$\sin C=\dfrac1n$只适用于光从介质射向真空/空气；两介质间应为$\sin C=\dfrac{n_2}{n_1}$（$n_1>n_2$）。
- 视深公式的适用前提：$h'=\dfrac{h}{n}$是近垂直观察的小角度近似；斜视时像的位置随视角移动，且水中看空气应为$h'=nh$，方向别搞反。
- 最小偏向角的前提：$\delta_{\min}=2\arcsin\left(n\sin\dfrac{A}{2}\right)-A$ 仅在对称入射（$i_1=i_2'$）时成立；且必须满足 $n\sin\dfrac{A}{2}\le1$，否则光线无法射出。
- 成像个数公式的条件：$N=\dfrac{360°}{\alpha}-1$要求$\dfrac{360°}{\alpha}$为整数；两镜平行时$N\to\infty$，不能套公式。
- 光纤最大入射角混淆：$\sin\theta_{\max}=\sqrt{n_1^2-n_2^2}$是端面空气中的入射角；纤芯内临界角$\sin C=\dfrac{n_2}{n_1}$ 是另一回事，两者不可互换。
- 侧移公式只对平行玻璃砖：两表面不平行（楔形）时出射光不平行于入射光，偏向角公式 $\delta=i_1+i_2'-A$ 才是正解。
概念辨析
光疏介质 vs 光密介质（比较的是折射率，与质量密度无关）
| 比较项 | 光疏介质 | 光密介质 |
|---|---|---|
| 判据 | $n$较小 | $n$ 较大 |
| 光速 | $v$较大 | $v$ 较小 |
| 从另一方射入时 | 光线向法线靠拢 | 光线远离法线 |
| 全反射 | 不可能是反射方 | 必须是入射方（$n_1>n_2$） |
| 典型例子 | 空气、真空 | 玻璃、水 |
视深 vs 视高（互为倒数）
| 观察位置 | 结论 | 方向 |
|---|---|---|
| 空气看水中 | $h'=\dfrac{h}{n}$（变浅） | 像在物上方 |
| 水中看空气 | $h'=nh$（变高） | 像在物上方 |
单次反射 vs 两次反射（转角结论对照）
| 情形 | 结论 | 条件 |
|---|---|---|
| 镜转 $\theta$ | 反射光转$2\theta$ | 入射光不变 |
| 两镜夹角 $\alpha$，两次反射 | 出射光偏转 $2\alpha$ | 各反射一次 |
| 两镜夹角 $\alpha$，物在角内 | 像数 $N=\dfrac{360°}{\alpha}-1$ | $\dfrac{360°}{\alpha}$ 为整数 |
与其他知识关联
- 本模块后续：02-球面镜与薄透镜成像（折射、反射几何在成像公式中的应用）、03-光具组与光学仪器（全反射棱镜、转镜在仪器中的角色）。
- 预备知识：04-泰勒展开与级数（视深、小角度近似的严格来源 $\sin x\approx x-\dfrac{x^3}{6}$）、01-微积分基础（费马原理的光程积分 $\int n\thinspace{}ds$ 与极值条件）、02-微分方程初步（变折射率介质的路径方程，进阶）。
- 与高中物理衔接：高中光学总览（本笔记全部高中结论的竞赛化深化）。
- 与波动光学衔接：04-光的干涉（光程差 $\Delta=ns_1-ns_2$ 概念来自本笔记的光程）、05-光的衍射（小孔成像的极限即衍射）、06-光的偏振与电磁本性（$n=\dfrac{c}{v}$ 的电磁根源）。
- 与大学层面衔接：光学（费马原理与光线追迹的完整理论）、物理光学（色散的严格描述）。
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作者的话
个人理解
几何光学的竞赛化，本质是三个升级：从"定性记忆"升级为"定量推导"（视深、临界角、侧移都是可算的）、从"单条光线"升级为"光线系统"（成像个数、两镜转角、光具组）、从"两条定律"升级为"一个原理"（费马原理统一反射与折射）。
我学习时最大的感受是：几何光学的题"画出来就赢了一半"。反射问题先画镜像（费马原理的化身），折射问题先画法线，全反射问题先画临界角圆锥——图像先于代数。公式 $\sin\theta_{\max}=\sqrt{n_1^2-n_2^2}$、$R=h\tan C$、$\delta_{\min}=2\arcsin\left(n\sin\dfrac A2\right)-A$ 都是"看图"得到几何约束后自然写出的。
另一个建议是：把"角度都是对法线的"这一铁律刻进肌肉记忆，所有易错点几乎都从这里衍生。竞赛题中的光学计算通常不长，但角度基准错一个符号，结果就南辕北辙。进阶请进入 02-球面镜与薄透镜成像，那里反射与折射将统一成"成像公式"这一更强大的工具。
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