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矢量运算
概览
矢量是物理学最基础的语言。力、速度、加速度、电场、磁场、动量、角动量——几乎所有重要的物理量都是矢量。本节从高中已学的"平行四边形定则"出发，系统建立矢量的代数运算（加减、数乘、点积、叉积、混合积）与微积分运算（矢量函数的导数与积分，以及梯度、散度、旋度的初步概念），并介绍直角、极、柱、球四种常用坐标系及其转换。掌握矢量运算，是从"标量物理"（高中一维问题）迈向"矢量物理"（竞赛多维问题）的必备工具，也是后续学习 04-泰勒展开与级数 中矢量函数展开、05-复数与欧拉公式 中复矢量表示的基础。
核心概念
一、标量与矢量
标量：只有大小、没有方向（或方向无意义）的物理量，遵循普通算术加减。如质量 $m$、时间 $t$、温度 $T$、能量 $E$、电荷量 $q$。
矢量：既有大小、又有方向，相加遵循平行四边形定则的物理量。如位移 $\vec{r}$、速度 $\vec{v}$、加速度 $\vec{a}$、力 $\vec{F}$、电场 $\vec{E}$、磁感应强度 $\vec{B}$。
概念辨析
- 电流 $I$是标量：虽有"方向"（正电荷流向），但相加遵循算术法则（基尔霍夫电流定律$\sum I=0$ 是代数和），不遵循平行四边形定则。
- 磁通量 $\Phi$ 是标量：但可正可负，符号取决于面积法向选择。
- 角速度 $\vec{\omega}$ 是矢量（有限转动对应的"角位移"不是矢量，因转动次序不可交换——这是刚体力学中的微妙之处）。
二、矢量的几何表示与单位矢量
矢量 $\vec{A}$的几何表示是一条有向线段：长度表示大小$|\vec{A}|=A$，箭头指向表示方向。
单位矢量 $\hat{a}$：大小为 $1$、方向与 $\vec{A}$ 相同的矢量，定义为 $$ \hat{a} = \dfrac{\vec{A}}{|\vec{A}|} $$ 任何矢量都可写作"大小×单位方向"：$\vec{A}=A\thinspace\hat{a}$。这一分解在物理中极为常用——例如把重力写成 $\vec{G}=mg\thinspace(-\hat{k})$。
三、矢量在直角坐标系中的表示
在三维直角坐标系中，沿 $x$、$y$、$z$轴的单位矢量记为$\hat{i}$、$\hat{j}$、$\hat{k}$（或 $\hat{e}_x$、$\hat{e}_y$、$\hat{e}_z$）。矢量 $\vec{A}$ 可分解为： $$ \boxed{\thinspace\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}\thinspace} $$ 其大小与方向余弦为： $$ |\vec{A}| = \sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2},\quad \cos\alpha=\dfrac{A_x}{|\vec{A}|},\ \cos\beta=\dfrac{A_y}{|\vec{A}|},\ \cos\gamma=\dfrac{A_z}{|\vec{A}|} $$ 方向余弦满足 $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$。
四、方向余弦、矢量相等与平行
方向余弦：矢量 $\vec{A}$与三条坐标轴正方向的夹角分别为$\alpha,\beta,\gamma$，其余弦 $$ \cos\alpha=\dfrac{A_x}{A},\quad \cos\beta=\dfrac{A_y}{A},\quad \cos\gamma=\dfrac{A_z}{A} $$ 恰好是单位矢量 $\hat{a}$ 的三个分量：$\hat{a}=\cos\alpha\thinspace\hat{i}+\cos\beta\thinspace\hat{j}+\cos\gamma\thinspace\hat{k}$，且 $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$。方向余弦把"方向"精确翻译为三个无量纲数——已知方向余弦，即知 $\vec{A}$在任意方向$\hat{n}$上的投影$A_n=\vec{A}\cdot\hat{n}$，这是竞赛中"把一个矢量按指定方向分解"的常用工具。
矢量的相等：$\vec{A}=\vec{B}$ 当且仅当对应分量相等 $$ \boxed{\thinspace\vec{A}=\vec{B}\iff A_x=B_x,\ A_y=B_y,\ A_z=B_z\thinspace} $$ 物理中常把矢量方程"投影"到各分量，从而把一个矢量方程拆成三个标量方程（如静力平衡 $\sum\vec{F}=\vec{0}$拆成$\sum F_x=\sum F_y=\sum F_z=0$）。
矢量的平行：$\vec{A}\parallel\vec{B}$当且仅当存在实数$\lambda$ 使 $$ \vec{A}=\lambda\vec{B}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{A_x}{B_x}=\dfrac{A_y}{B_y}=\dfrac{A_z}{B_z}\ (\text{各分母非零时}) $$ $\lambda>0$ 同向、$\lambda<0$ 反向。平行判据与叉积零条件等价：$\vec{A}\times\vec{B}=\vec{0}$。这一条件在判断"力与位移是否共线""两速度是否沿同一直线"时十分常用。
推导与原理
一、矢量代数运算
1. 加法、减法、数乘
- 加法：平行四边形定则或三角形定则。分量形式 $\vec{A}+\vec{B}=(A_x+B_x)\hat{i}+(A_y+B_y)\hat{j}+(A_z+B_z)\hat{k}$。
- 减法：$\vec{A}-\vec{B}=\vec{A}+(-\vec{B})$，几何上对应"从 $\vec{B}$终点指向$\vec{A}$ 终点"的有向线段。
- 数乘：标量 $k$乘矢量$\vec{A}$得矢量$k\vec{A}$，大小 $|k|\thinspace{}A$，方向与 $\vec{A}$ 同向（$k>0$）或反向（$k<0$）。
加减法的几何直观
三角形定则：$\vec{A}+\vec{B}$是"先走$\vec{A}$再走$\vec{B}$"的合位移；$\vec{A}-\vec{B}$是"从$\vec{B}$终点指向$\vec{A}$ 终点"的位移。这是相对运动分析的根基。
2. 点积（标量积）
$$ \boxed{\thinspace\vec{A}\cdot\vec{B} = AB\cos\theta = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z\thinspace} $$ 其中 $\theta$ 为两矢量夹角（$0\le\theta\le\pi$）。点积结果是标量。
性质：
- $\vec{A}\cdot\vec{A}=A^2$（求模平方）；
- $\vec{A}\cdot\vec{B}=0 \iff \vec{A}\perp\vec{B}$（正交判据）；
- $\hat{i}\cdot\hat{i}=\hat{j}\cdot\hat{j}=\hat{k}\cdot\hat{k}=1$，$\hat{i}\cdot\hat{j}=\hat{j}\cdot\hat{k}=\hat{k}\cdot\hat{i}=0$。
几何意义：$\vec{A}\cdot\vec{B}$等于$\vec{A}$在$\vec{B}$方向上的投影$A\cos\theta$乘以$B$。投影概念在功、功率、力的分解中反复出现。
分配律：点积对加法满足分配律 $$ \boxed{\thinspace\vec{A}\cdot(\vec{B}+\vec{C})=\vec{A}\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot\vec{C}\thinspace} $$ 这正是分量公式 $\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z$成立的原因：把两矢量展开为$\hat{i},\hat{j},\hat{k}$的线性组合后，正交基矢的$\hat{i}\cdot\hat{j}=0$ 等性质自动消去交叉项，只剩对应分量的平方项。物理上，分配律保证了"合力做功等于各分力做功之和"（功的叠加性）：$W_{\text{合}}=\vec{F}_{\text{合}}\cdot\vec{d}=(\vec{F}_1+\vec{F}_2)\cdot\vec{d}=W_1+W_2$。
3. 叉积（矢量积）
$$ \boxed{\thinspace|\vec{A}\times\vec{B}| = AB\sin\theta\thinspace} $$ 方向由右手定则确定（右手四指从 $\vec{A}$转向$\vec{B}$，拇指指向叉积方向）。叉积结果是矢量。
分量展开（用行列式记忆最方便）： $$ \vec{A}\times\vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \newline A_x & A_y & A_z \newline B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} = (A_yB_z-A_zB_y)\hat{i} - (A_xB_z-A_zB_x)\hat{j} + (A_xB_y-A_yB_x)\hat{k} $$
性质：
- $\vec{A}\times\vec{A}=\vec{0}$；
- $\vec{A}\times\vec{B}=-\vec{B}\times\vec{A}$（反交换律，顺序不可换）；
- $\vec{A}\times\vec{B}=\vec{0} \iff \vec{A}\parallel\vec{B}$（平行判据）；
- $|\vec{A}\times\vec{B}|$几何上等于以$\vec{A}$、$\vec{B}$ 为邻边的平行四边形面积。
叉积反交换
$\vec{A}\times\vec{B}$与$\vec{B}\times\vec{A}$大小相等、方向相反。计算力矩、角动量时若把$\vec{r}$与$\vec{F}$ 顺序写反，结果差一个负号——这是高频错误。
分配律：叉积对加法也满足分配律 $$ \vec{A}\times(\vec{B}+\vec{C})=\vec{A}\times\vec{B}+\vec{A}\times\vec{C} $$ 配合反交换律 $\vec{A}\times\vec{B}=-\vec{B}\times\vec{A}$，叉积与普通代数乘法的差别只剩"顺序不可任意交换"。分配律保证了"合力矩等于各分力矩的矢量和"： $$ \vec{\tau}=\vec{r}\times(\vec{F}_1+\vec{F}_2+\cdots+\vec{F}_n)=\sum_i\vec{r}\times\vec{F}_i $$ 这在处理多力作用下刚体的转动平衡时是基本操作。
4. 混合积简介
三个矢量的混合积定义为标量： $$ [\vec{A},\vec{B},\vec{C}] = \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) $$ 其几何意义等于以 $\vec{A}$、$\vec{B}$、$\vec{C}$为邻边的平行六面体体积（带符号）。若混合积为零，则三矢量共面。混合积满足轮换对称性$[\vec{A},\vec{B},\vec{C}]=[\vec{B},\vec{C},\vec{A}]=[\vec{C},\vec{A},\vec{B}]$。
补充说明：取绝对值 $|\thinspace[\vec{A},\vec{B},\vec{C}]\thinspace|$ 才是真实的平行六面体体积；轮换对称性的完整表述是偶置换不变号、奇置换变号。
分量公式（三阶行列式，与叉积的行列式算法一脉相承）： $$ [\vec{A},\vec{B},\vec{C}]=\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) =\begin{vmatrix} A_x & A_y & A_z \newline B_x & B_y & B_z \newline C_x & C_y & C_z \end{vmatrix} $$ 物理应用：混合积自然出现在"面积矢量"中——两个边矢量 $\vec{S}_1,\vec{S}_2$张成的面元矢量$\vec{S}=\vec{S}_1\times\vec{S}_2$，磁通量 $\Phi=\vec{B}\cdot\vec{S}$ 恰是一个混合积；电磁学中的坡印廷矢量、右手定则相关的"先叉后点"运算也以混合积为底层。竞赛中混合积最常用作共面判据：三点坐标确定三个矢量，其混合积为零说明四点共面。
二、矢量微积分
1. 矢量函数的导数
若矢量 $\vec{r}(t)=x(t)\hat{i}+y(t)\hat{j}+z(t)\hat{k}$随时间$t$ 变化，则其导数为： $$ \dfrac{d\vec{r}}{dt} = \dfrac{dx}{dt}\hat{i} + \dfrac{dy}{dt}\hat{j} + \dfrac{dz}{dt}\hat{k} $$ 即"对每个分量分别求导"。物理对应：位移对时间求导得速度 $\vec{v}=d\vec{r}/dt$，速度求导得加速度 $\vec{a}=d\vec{v}/dt=d^2\vec{r}/dt^2$。
单位矢量也可能随时间变化
在直角坐标系中 $\hat{i},\hat{j},\hat{k}$是常矢量，导数为零。但在极坐标、柱坐标、球坐标系中，单位矢量$\hat{r},\hat{\theta}$ 等随位置变化——求导时会产生附加项。这正是 07-圆周运动 中向心加速度 $a_n=v^2/r$、科里奥利加速度等出现的根源。
求导法则（与标量类似）：
- $(\vec{A}+\vec{B})'=\vec{A}'+\vec{B}'$
- $(k\vec{A})'=k'\vec{A}+k\vec{A}'$
- $(\vec{A}\cdot\vec{B})'=\vec{A}'\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot\vec{B}'$
- $(\vec{A}\times\vec{B})'=\vec{A}'\times\vec{B}+\vec{A}\times\vec{B}'$（叉积顺序不可换）
2. 矢量函数的积分
对矢量函数逐分量积分即可：$\displaystyle\int\vec{r}(t)\thinspace{}dt=\hat{i}\int x(t)\thinspace{}dt+\hat{j}\int y(t)\thinspace{}dt+\hat{k}\int z(t)\thinspace{}dt$。
物理对应：已知加速度 $\vec{a}(t)$与初速度$\vec{v}_0$，则 $\vec{v}(t)=\vec{v}_0+\int_0^t\vec{a}(\tau)\thinspace{}d\tau$；已知速度求位移 $\vec{r}(t)=\vec{r}_0+\int_0^t\vec{v}(\tau)\thinspace{}d\tau$。
3. 梯度、散度、旋度（初步）
算符 $\nabla$（nabla）在直角坐标系中定义为 $\nabla=\hat{i}\dfrac{\partial}{\partial x}+\hat{j}\dfrac{\partial}{\partial y}+\hat{k}\dfrac{\partial}{\partial z}$。
| 运算 | 形式 | 作用于 | 结果 | 物理意义 |
|---|---|---|---|---|
| 梯度 | $\nabla f$ | 标量场$f$ | 矢量 | 方向为$f$ 变化最快的方向，大小为最大方向导数 |
| 散度 | $\nabla\cdot\vec{F}$ | 矢量场$\vec{F}$ | 标量 | 场源的强弱，正值表"源"、负值表"汇" |
| 旋度 | $\nabla\times\vec{F}$ | 矢量场$\vec{F}$ | 矢量 | 场的环量密度，描述场的"涡旋"程度 |
- 梯度 $\nabla f=\dfrac{\partial f}{\partial x}\hat{i}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\hat{j}+\dfrac{\partial f}{\partial z}\hat{k}$：例如电势 $\varphi$的负梯度给出电场$\vec{E}=-\nabla\varphi$；重力势能 $U$的负梯度给出保守力$\vec{F}=-\nabla U$。
- 散度 $\nabla\cdot\vec{F}=\dfrac{\partial F_x}{\partial x}+\dfrac{\partial F_y}{\partial y}+\dfrac{\partial F_z}{\partial z}$：高斯定理 $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\dfrac{Q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}$的微分形式即$\nabla\cdot\vec{E}=\rho/\varepsilon_0$。
- 旋度：安培环路定理的微分形式 $\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}$。保守场的旋度为零：$\nabla\times\vec{E}=0$（静电场）。
不必深究
竞赛阶段只需了解梯度、散度、旋度的定义与物理意义，会在简单场中计算即可。深入的麦克斯韦方程组微分形式属于大学电动力学内容，参见 电磁学。
三、常用坐标系
| 坐标系 | 变量 | 单位矢量 | 适用情境 |
|---|---|---|---|
| 直角坐标系 | $(x,y,z)$ | $\hat{i},\hat{j},\hat{k}$（常矢量） | 一般问题、均匀场 |
| 极坐标系 | $(r,\theta)$ | $\hat{r},\hat{\theta}$（随 $\theta$ 变） | 平面曲线运动、有心力 |
| 柱坐标系 | $(\rho,\varphi,z)$ | $\hat{\rho},\hat{\varphi},\hat{z}$ | 螺旋运动、轴对称场（长直导线） |
| 球坐标系 | $(r,\theta,\varphi)$ | $\hat{r},\hat{\theta},\hat{\varphi}$ | 点电荷场、引力场、各向同性辐射 |
坐标系转换（以直角↔极为例）： $$ x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta;\qquad r=\sqrt{x^2+y^2},\quad \theta=\arctan\dfrac{y}{x} $$ 单位矢量关系： $$ \hat{r}=\cos\theta\thinspace\hat{i}+\sin\theta\thinspace\hat{j},\quad \hat{\theta}=-\sin\theta\thinspace\hat{i}+\cos\theta\thinspace\hat{j} $$ 由此可推出 $\dfrac{d\hat{r}}{d\theta}=\hat{\theta}$、$\dfrac{d\hat{\theta}}{d\theta}=-\hat{r}$——这正是圆周运动中向心加速度的来源。
1. 平面极坐标中的速度与加速度
平面极坐标用 $(r,\theta)$描述质点位置，基矢$\hat{e}_r$（沿径向向外）与 $\hat{e}_\theta$（沿 $\theta$增大方向、垂直于$\hat{e}_r$）。位置矢量为 $$ \vec{r}=r\thinspace\hat{e}_r $$ 基矢对时间的导数（竞赛高频考点）： $$ \boxed{\thinspace\dfrac{d\hat{e}_r}{dt}=\dot\theta\thinspace\hat{e}_\theta,\qquad \dfrac{d\hat{e}_\theta}{dt}=-\dot\theta\thinspace\hat{e}_r\thinspace} $$ （由 $\hat{e}_r,\hat{e}_\theta$随$\theta$ 旋转的几何关系直接求导得到。）对位置矢量求导得速度分解： $$ \vec{v}=\dot r\thinspace\hat{e}_r+r\dot\theta\thinspace\hat{e}_\theta \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\thinspace{}v_r=\dot r,\quad v_\theta=r\dot\theta\thinspace} $$ 再求导得加速度分解： $$ \boxed{\thinspace\vec{a}=(\ddot r-r\dot\theta^2)\thinspace\hat{e}_r+(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\thinspace\hat{e}_\theta\thinspace} $$
- 径向加速度 $a_r=\ddot r-r\dot\theta^2$：其中 $-r\dot\theta^2$就是向心项（指向$-r$方向），匀速圆周运动时$\ddot r=0$而$a_r=-r\dot\theta^2\ne0$；
- 横向加速度 $a_\theta=r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta$：其中 $2\dot r\dot\theta$ 是科里奥利项，在极坐标下描述径向运动与转动的耦合。
这一套公式是研究有心力运动（行星、电子绕核）、圆形轨道稳定性等竞赛内容的基础。
2. 自然坐标系（切向与法向）
自然坐标系以质点运动轨迹为参照：$\hat{e}_t$ 沿轨迹切线（运动方向），$\hat{e}_n$沿法线指向曲率中心，曲率半径为$\rho$。由于 $\hat{e}_t$ 随轨迹弯曲而旋转，速度恒为 $$ \vec{v}=v\thinspace\hat{e}_t $$ 加速度分解为切向与法向两部分： $$ \boxed{\thinspace\vec{a}=a_t\thinspace\hat{e}_t+a_n\thinspace\hat{e}_n=\dfrac{dv}{dt}\thinspace\hat{e}_t+\dfrac{v^2}{\rho}\thinspace\hat{e}_n\thinspace} $$
- 切向加速度 $a_t=\dfrac{dv}{dt}$：改变速度大小（速率），对应直线运动中的 $a$；
- 法向加速度 $a_n=\dfrac{v^2}{\rho}$：改变速度方向，总是存在（只要轨迹弯曲、$v\ne0$），指向曲率中心。
匀速圆周运动是自然坐标系的特例
当轨迹为半径 $R$ 的圆且速率恒定：$\rho=R$、$a_t=0$，故 $\vec{a}=\dfrac{v^2}{R}\thinspace\hat{e}_n$，即向心加速度 $a_n=v^2/R$。若速率还在变化（如竖直圆周运动），则 $a_t$与$a_n$ 同时存在。区分"只改变方向的法向加速度"与"只改变大小的切向加速度"，是处理变速圆周、列车过弯、卫星变轨等问题的关键。
典型实例与物理应用
应用 1：功——力与位移的点积
恒力 $\vec{F}$作用下物体位移$\vec{d}$，做功： $$ \boxed{\thinspace{}W=\vec{F}\cdot\vec{d}=Fd\cos\theta\thinspace} $$ 其中 $\theta$为力与位移的夹角。当$\vec{F}\perp\vec{d}$时$W=0$（如洛伦兹力不做功、向心力不做功）；当 $\vec{F}$与$\vec{d}$反向时$W<0$（阻力做负功）。
变力做功需用积分：$W=\int_A^B\vec{F}\cdot d\vec{r}$，详见 01-微积分基础。
应用 2：力矩——位矢与力的叉积
力 $\vec{F}$作用于点$P$（相对参考点 $O$的位矢$\vec{r}$），力矩： $$ \boxed{\thinspace\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}\thinspace} $$ 大小 $\tau=rF\sin\theta=r_\perp F$（$r_\perp$为力臂），方向由右手定则给出（沿转轴方向）。这是刚体转动定律$\vec{\tau}=I\vec{\alpha}$ 的核心。
应用 3：角动量
质点动量 $\vec{p}=m\vec{v}$，相对参考点的角动量： $$ \boxed{\thinspace\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}=\vec{r}\times(m\vec{v})\thinspace} $$ 角动量定理 $\vec{\tau}=\dfrac{d\vec{L}}{dt}$ 是转动版的牛顿第二定律，角动量守恒（$\vec{\tau}=0$ 时）是有心力运动的根基。
应用 4：洛伦兹力
电荷 $q$以速度$\vec{v}$在磁场$\vec{B}$ 中运动，受洛伦兹力： $$ \boxed{\thinspace\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}\thinspace} $$ 方向由右手定则给出（注意 $q<0$时反向）。因$\vec{F}\perp\vec{v}$，洛伦兹力永不做功，只改变速度方向不改变速率——这是带电粒子在均匀磁场中做匀速圆周运动的根源。
应用 5：功率——速度与力的瞬时点积
力 $\vec{F}$ 做功的快慢（功率）是瞬时点积： $$ \boxed{\thinspace{}P=\vec{F}\cdot\vec{v}=Fv\cos\theta\thinspace} $$ 当力与速度同向时 $P=Fv$（如发动机牵引）；当力与速度垂直时 $P=0$——所以向心力、洛伦兹力即使时刻存在，其功率也恒为零，这解释了它们"永不做功"。汽车爬坡减速、机车恒定功率启动等问题的本质就是 $P=\vec{F}\cdot\vec{v}$ 与牛顿第二定律的联立。
应用 6：磁力矩——磁矩与磁场的叉积
面积为 $S$、通有电流 $I$的平面线圈，磁矩$\vec{m}=IS\thinspace\hat{n}$（$\hat{n}$为线圈法向，与电流方向满足右手螺旋定则）。在匀强磁场$\vec{B}$ 中受磁力矩： $$ \boxed{\thinspace\vec{\tau}=\vec{m}\times\vec{B}\thinspace} $$ 大小 $\tau=mB\sin\theta$（$\theta$为$\vec{m}$与$\vec{B}$夹角），方向由右手定则给出，效果是使$\vec{m}$转向$\vec{B}$（磁场趋于把线圈转到磁通量最大方位）。这正是电动机转动、磁电式电流表偏转、通电线圈在磁场中旋转的微观统一原理。
应用 7：伽利略相对速度——矢量加法
设参考系 $A$中物体$B$的速度为$\vec{v}_{AB}$，$B$系中物体$C$的速度为$\vec{v}_{BC}$，则 $C$相对$A$ 的速度按矢量相加： $$ \boxed{\thinspace\vec{v}_{AC}=\vec{v}_{AB}+\vec{v}_{BC}\thinspace} $$ 记忆口诀："下标首尾相接"——中间下标 $B$ 必须在前一项的末位、后一项的首位（$A\negthinspace→\negthinspace{}B\negthinspace→\negthinspace{}C$）。这是雨滴斜落、顺逆风行船、河宽渡船（最短时间/最短航程）、追赶相遇等相对运动问题的总公式。注意它只在低速（$v\ll c$）下成立，高速须代之以洛伦兹速度变换。
记忆口诀
点积出标量，功与投影亮；叉积出矢量，力矩角动量；右手定则定方向，$AB\sin\theta$ 量大小；同向叉积零，垂直点积零；叉积顺序不能换，换序差负号。
例题
例 1：基础——点积与夹角
题目：已知 $\vec{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}$，$\vec{B}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$。求：（1）$\vec{A}\cdot\vec{B}$；（2）两矢量夹角 $\theta$。
分析：用分量公式计算点积，再用 $\cos\theta=\dfrac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{AB}$ 求夹角。
解答： （1）$\vec{A}\cdot\vec{B}=2\times1+3\times(-1)+(-1)\times2=2-3-2=-3$。
（2）$|\vec{A}|=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}$，$|\vec{B}|=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$。 $$ \cos\theta=\dfrac{-3}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{6}}=\dfrac{-3}{\sqrt{84}}\approx -0.327,\quad \theta\approx 109.1^\circ $$
点评：点积为负说明夹角为钝角。$|\vec{A}\cdot\vec{B}|$不超过$AB$（即 $|\cos\theta|\le 1$），可用于检验计算。
例 2：中难——叉积与力矩
题目：力 $\vec{F}=3\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$（单位 $\text{N}$）作用于位矢 $\vec{r}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$（单位 $\text{m}$）处。求力矩 $\vec{\tau}$ 的大小与方向。
分析：力矩 $\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}$，用行列式展开。
解答： $$ \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}=\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\newline1&-1&2\newline3&2&-1\end{vmatrix} $$ $$ =((-1)(-1)-2\times2)\hat{i}-(1\times(-1)-2\times3)\hat{j}+(1\times2-(-1)\times3)\hat{k} $$ $$ =(-3)\hat{i}-(-7)\hat{j}+5\hat{k}=-3\hat{i}+7\hat{j}+5\hat{k}\thinspace(\text{N·m}) $$ 大小 $|\vec{\tau}|=\sqrt{9+49+25}=\sqrt{83}\approx 9.11\thinspace\text{N·m}$。
点评：注意行列式中 $\hat{j}$分量前有负号，常被遗漏。叉积顺序$\vec{r}\times\vec{F}$不可写成$\vec{F}\times\vec{r}$，否则差一个负号。
例 3：进阶——带电粒子在磁场中的圆周运动
题目：质量 $m$、电荷量 $q>0$的粒子以速度$\vec{v}=v_0\hat{i}$进入匀强磁场$\vec{B}=B_0\hat{k}$（$v_0\perp B_0$）。用矢量叉积推导粒子运动轨迹，并求回旋半径与周期。
分析：洛伦兹力 $\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}$，由牛顿第二定律列微分方程。
解答： $$ \vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}=q(v_0\hat{i})\times(B_0\hat{k})=qv_0B_0(\hat{i}\times\hat{k})=-qv_0B_0\thinspace\hat{j} $$ 力沿 $-\hat{j}$方向，与速度$\hat{i}$垂直，故粒子在$xy$平面内做匀速圆周运动。由$qv_0B_0=m\dfrac{v_0^2}{R}$ 得： $$ R=\dfrac{mv_0}{qB_0},\qquad T=\dfrac{2\pi R}{v_0}=\dfrac{2\pi m}{qB_0} $$
点评：周期 $T$与速度无关，仅由$m/q/B$ 决定——这是回旋加速器的设计基础。本题展示了"叉积方向 → 圆心位置 → 半径公式"的完整推理链。
例 4：进阶——斜抛运动的矢量合成
题目：从原点 $O$以初速度$\vec{v}_0$（与水平方向夹角 $\theta$）斜抛一质点，仅受重力 $\vec{g}=-g\thinspace\hat{j}$。（1）写出位置矢量 $\vec{r}(t)$ 的矢量表达式；（2）求轨迹方程、最高点高度与射程。
分析：把抛体运动视为匀速直线运动 $\vec{v}_0 t$与自由落体$\frac{1}{2}\vec{g}t^2$ 的矢量叠加，一条矢量式即可统一描述整个过程，无需分段讨论。
解答： $$ \vec{r}(t)=\vec{v}_0 t+\frac{1}{2}\vec{g}\thinspace{}t^2=(v_0\cos\theta\thinspace{}t)\thinspace\hat{i}+\left(v_0\sin\theta\thinspace{}t-\frac{1}{2}gt^2\right)\hat{j} $$ 消去参数 $t=\dfrac{x}{v_0\cos\theta}$ 得轨迹方程： $$ y=x\tan\theta-\dfrac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\theta} $$ 最高点处竖直速度为零：$v_y=v_0\sin\theta-gt=0\Rightarrow t=\dfrac{v_0\sin\theta}{g}$，故 $$ y_{\max}=\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g} $$ 落地点 $y=0$且$t>0$时$t=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g}$，射程 $$ x_R=v_0\cos\theta\cdot\dfrac{2v_0\sin\theta}{g}=\dfrac{v_0^2\sin2\theta}{g} $$
点评：矢量式 $\vec{r}=\vec{v}_0t+\frac{1}{2}\vec{g}t^2$ 蕴含了斜抛的全部运动学信息，一条方程"浓缩"了高中阶段需分方向列写的两个标量方程。竞赛中遇到抛体、抛体与斜面的碰撞、多个抛体相遇等问题，习惯先写矢量式再按需投影，往往比逐段代数更快、更不容易漏项。相关题型可参见 02-抛体运动综合。
例 5：中难——用极坐标推导匀速圆周运动的向心加速度
题目：质点在半径 $R$的圆周上以恒定速率$v$运动。仅用平面极坐标的基矢求导法推导其加速度，并证明$a_n=\dfrac{v^2}{R}$。
分析：取 $\vec{r}=R\thinspace\hat{e}_r$（$R$为常数），利用基矢导数$\dot{\hat{e}}_r=\dot\theta\thinspace\hat{e}_\theta$、$\dot{\hat{e}}_\theta=-\dot\theta\thinspace\hat{e}_r$逐阶求导。速率恒定意味着$\dot\theta=\omega$ 为常数、$\ddot\theta=0$。
解答： $$ \vec{v}=\dfrac{d}{dt}(R\hat{e}_r)=R\dot{\hat{e}}_r=R\dot\theta\thinspace\hat{e}_\theta \qquad\Longrightarrow\qquad v=R\dot\theta=R\omega $$ $$ \vec{a}=\dfrac{d}{dt}(R\dot\theta\thinspace\hat{e}_\theta) =R\ddot\theta\thinspace\hat{e}_\theta+R\dot\theta\thinspace\dot{\hat{e}}_\theta =R\ddot\theta\thinspace\hat{e}_\theta-R\dot\theta^2\thinspace\hat{e}_r $$ 代入 $\ddot\theta=0$、$\dot\theta=\omega=\dfrac{v}{R}$： $$ \vec{a}=-R\omega^2\thinspace\hat{e}_r=-\dfrac{v^2}{R}\thinspace\hat{e}_r $$ 负号表示沿 $-r$ 方向，即指向圆心。故法向加速度大小 $$ a_n=\dfrac{v^2}{R} $$
点评：本题展示了极坐标"转动编码"的威力——向心项 $-r\dot\theta^2$完全由基矢求导自动产生，不需要任何几何相似三角形的推导。注意$a_r=\ddot r-r\dot\theta^2$中即使$\ddot r=0$（径向无变速）也含向心项，这是初学极坐标最易忽略的一点。匀速圆周运动与 07-圆周运动 中 $a_n=v^2/r$ 的结论在此得到矢量层面的自洽证明。
易错提醒
易错点
- 点积与叉积结果类型：点积是标量，叉积是矢量。计算时不要把叉积写成标量。
- 叉积反交换：$\vec{A}\times\vec{B}=-\vec{B}\times\vec{A}$，写错顺序会差一个负号。
- 右手定则方向：四指从第一个矢量转向第二个矢量，拇指指向叉积方向。方向反了会导致力矩、角动量、洛伦兹力方向全错。
- 投影符号：点积中 $\cos\theta$ 可正可负，钝角时点积为负（阻力做负功）。
- 单位矢量求导：直角坐标系中 $\hat{i},\hat{j},\hat{k}$ 是常矢量；极/柱/球坐标系中单位矢量随位置变化，求导会多出附加项。
- 梯度作用于标量、散度旋度作用于矢量：$\nabla f$ 是矢量，$\nabla\cdot\vec{F}$ 是标量，$\nabla\times\vec{F}$ 是矢量——类型不能混淆。
- 叉积方向必须用右手定则：四指先比 $\vec{A}$再转向$\vec{B}$、拇指即方向。左右手混淆、或先比了 $\vec{B}$再比$\vec{A}$，会导致力矩转向、洛伦兹力偏转方向、转轴方向等整串结果反向。
- 点积标量 vs 叉积矢量：点积结果是一个数，可与普通数相乘相加；叉积结果仍是矢量，必须按矢量规则继续运算。把 $\vec{A}\times\vec{B}$当作标量参与代数化简、或断言$\vec{A}\cdot\vec{B}$ 有"方向"，都是类型层面的典型错误。
- 极坐标加速度漏掉向心项：$a_r=\ddot r-r\dot\theta^2$中$-r\dot\theta^2$极易被漏掉——匀速圆周运动$\ddot r=0$但$a_r\ne0$。同理自然坐标系中只写 $a_t=\dfrac{dv}{dt}$而忘$a_n=\dfrac{v^2}{\rho}$，就会错误地得出"匀速圆周运动加速度为零"的结论。
概念辨析
点积 vs 叉积
| 比较项 | 点积 $\vec{A}\cdot\vec{B}$ | 叉积$\vec{A}\times\vec{B}$ |
|---|---|---|
| 结果 | 标量 | 矢量 |
| 大小 | $AB\cos\theta$ | $AB\sin\theta$ |
| 交换律 | $\vec{A}\cdot\vec{B}=\vec{B}\cdot\vec{A}$ | $\vec{A}\times\vec{B}=-\vec{B}\times\vec{A}$ |
| 几何 | $\vec{A}$在$\vec{B}$ 上投影×$B$ | 平行四边形面积 |
| 零条件 | $\vec{A}\perp\vec{B}$ | $\vec{A}\parallel\vec{B}$ |
| 物理实例 | 功 $W=\vec{F}\cdot\vec{d}$、功率 $P=\vec{F}\cdot\vec{v}$ | 力矩、角动量、洛伦兹力 |
与其他知识关联
- 与 01-微积分基础 的关系：矢量微积分是标量微积分的自然推广；功的积分 $W=\int\vec{F}\cdot d\vec{r}$ 是线积分。
- 与 02-微分方程初步 的关系：矢量形式的牛顿第二定律 $m\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}=\vec{F}$ 是三个分量微分方程的合写。
- 与 04-泰勒展开与级数 的关系：矢量函数也可做泰勒展开，多体问题中常对位矢做小量展开。
- 与 05-复数与欧拉公式 的关系：复数可视为二维矢量的代数表示，复数乘法对应二维旋转。
- 与高中物理联系：00-力学总览、03-力的合成与分解（平行四边形定则）、07-圆周运动（向心加速度）、竞赛电学·洛伦兹力（叉积）。
- 与大学层面联系：牛顿力学、机械振动、拉格朗日方程（广义坐标中的矢量）、电磁学（麦克斯韦方程组用散度旋度表述）。
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作者的话
个人理解
矢量运算是物理学的"通用语法"。高中物理大多局限在一维问题中，标量公式（$F=ma$、$W=Fs$）勉强够用；但竞赛一旦进入二维、三维情境——抛体运动、圆周运动、磁场偏转、刚体转动——就必须用矢量语言才能精确表达。
我特别想强调两个观念：第一，点积提取"同向成分"，叉积提取"垂直成分"。功是力在位移方向上的"有效成分"，力矩是力在垂直于位矢方向上的"转动成分"——理解了这一点，就不必死记公式。第二，叉积的顺序就是物理的因果：$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}$ 表示"先定位矢再定力"，顺序错了一切都错。
学习建议：不要把矢量运算当成纯数学。每学一个运算，立即与物理对应——点积对应"功"，叉积对应"力矩/角动量/洛伦兹力"，梯度对应"保守力"。当数学与物理在脑中合一时，竞赛的多数"难题"都会自动简化。
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