复赛模拟卷（一）

概览

本卷按近年 CPhO 复赛规格命制：8 道大题、每题 40 分、满分 320 分、考试时间 3 小时。覆盖力学（复摆+弹簧、滑轮连接体）、热学（等温-等压-等容循环）、电学（球形电容器击穿）、磁学（复合场匀速直线）、光学（光具组虚物）、近代物理（核聚变）、波动（多普勒效应）。每题附参考解答与评分参考，难度对标复赛真题（34-38 届风格）。建议限时完成后对照 99-竞赛解题方法与备考指南 复盘方法选择。

一、复摆与弹簧的组合振动（40 分）

题目：半径为 $r$、质量为 $m$的均质实心圆盘，可绕其圆周上一点$O$的水平轴在竖直平面内自由转动。圆盘质心$C$与$O$的连线通过一水平轻弹簧（劲度系数$k$）与固定墙相连，弹簧在圆盘处于平衡位置（$C$在$O$ 正下方）时处于自然长度。求圆盘小振幅微振动的周期。

参考解答：绕 $O$ 的转动惯量由平行轴定理： $$ I_O=\frac12mr^2+mr^2=\frac32mr^2 $$ 设 $OC$与竖直向下方向的夹角为$\theta$（小角）。重力对 $O$的力矩$mgr\sin\theta\approx mgr\theta$（指向平衡位置）；质心水平位移 $x\approx r\sin\theta\approx r\theta$，弹簧力 $kx\approx kr\theta$对$O$的力矩为$kr^2\theta$（同向）。转动方程： $$ \frac32mr^2\frac{d^2\theta}{dt^2}=-(mgr+kr^2)\theta $$ $$ \boxed{\thinspace{}T=2\pi\sqrt{\frac{3r}{2\left(g+\frac{kr}{m}\right)}}\thinspace} $$

评分参考：转动惯量 8 分；两力矩 12 分；方程 12 分；周期 8 分。

二、滑轮连接体与能量（40 分）

题目：质量 $m_1$、半径 $R$的均质圆盘（定滑轮）可绕光滑水平轴转动，细轻绳跨过滑轮两端悬挂质量$m_2$与$m_3$ 的重物（$m_3>m_2$），绳与轮间无滑动。求：（1）重物加速度 $a$与绳中张力$T_2$、$T_3$；（2）$m_3$从静止下落高度$h$ 时滑轮的角速度。

参考解答：（1）设 $T_3$、$T_2$分别为$m_3$、$m_2$ 侧张力： $$ m_3g-T_3=m_3a,\qquad T_2-m_2g=m_2a $$ 滑轮转动（$I=\dfrac12m_1R^2$，$\alpha=\dfrac{a}{R}$）： $$ (T_3-T_2)R=\frac12m_1R^2\cdot\frac{a}{R}\ \Rightarrow\ T_3-T_2=\frac12m_1a $$ 三式联立： $$ \boxed{\thinspace{}a=\frac{(m_3-m_2)g}{m_3+m_2+\frac{m_1}{2}}\thinspace} $$ $$ T_2=m_2(g+a),\qquad T_3=m_3(g-a) $$ （2）能量守恒（滑轮转动动能 + 两重物动能 = 势能减少）： $$ \frac12m_3v^2+\frac12m_2v^2+\frac12\cdot\frac12m_1R^2\omega^2=(m_3-m_2)gh $$ $v=\omega R$： $$ \boxed{\thinspace\omega=\sqrt{\frac{2(m_3-m_2)gh}{\left(m_3+m_2+\frac{m_1}{2}\right)R^2}}\thinspace} $$

评分参考：第(1)问 24 分；第(2)问 16 分。

三、理想气体循环（40 分）

题目：$\nu$ 摩尔单原子理想气体（$C_V=\dfrac32R$）经历循环：$A(P_0,V_0)\xrightarrow{\text{等温}}B\left(\dfrac{P_0}{2},2V_0\right)\xrightarrow{\text{等压}}C\left(\dfrac{P_0}{2},V_0\right)\xrightarrow{\text{等容}}A(P_0,V_0)$。（1）求各过程的功、热量与内能变化；（2）求循环效率；（3）若将 $A\to B$ 改为绝热过程而其余不变，问能否构成循环？说明理由。

参考解答：（1）等温 $A\to B$：$T_A=\dfrac{P_0V_0}{\nu R}$， $$ W_{AB}=\nu RT_A\ln\frac{V_B}{V_A}=P_0V_0\ln2,\qquad Q_{AB}=W_{AB},\qquad \Delta U_{AB}=0 $$ 等压 $B\to C$（体积减半）： $$ W_{BC}=\frac{P_0}{2}(V_C-V_B)=-\frac{P_0V_0}{2} $$ $$ \Delta U_{BC}=\nu C_V(T_C-T_B)=\frac32\left(\frac{P_0V_0}{2}-P_0V_0\right)=-\frac{3P_0V_0}{4} $$ $$ Q_{BC}=\Delta U_{BC}+W_{BC}=-\frac{5P_0V_0}{4} $$ 等容 $C\to A$：$W_{CA}=0$， $$ Q_{CA}=\Delta U_{CA}=\frac32(P_0V_0-\frac{P_0V_0}{2})=\frac{3P_0V_0}{4} $$ （2）吸热过程：$Q_1=Q_{AB}+Q_{CA}=P_0V_0\left(\ln2+\dfrac34\right)$；循环净功 $$ W=W_{AB}+W_{BC}+W_{CA}=P_0V_0\left(\ln2-\frac12\right)>0 $$ $$ \boxed{\thinspace\eta=\frac{W}{Q_1}=\frac{\ln2-\frac12}{\ln2+\frac34}\approx13.4\%\thinspace} $$ （3）不能。绝热 $A\to B$后$P_BV_B^\gamma=\text{const}$，体积 $2V_0$对应的压强不再是$P_0/2$（$P_B'=\dfrac{P_0}{2^\gamma}<P_0/2$），后续等压/等容过程无法闭合回到 $A$——循环封闭性要求各过程端点精确衔接。

评分参考：第(1)问 21 分；第(2)问 13 分；第(3)问 6 分。

四、球形电容器与介质击穿（40 分）

题目：球形电容器内、外导体半径分别为 $R_1$、$R_2$，其间充满相对介电常数 $\varepsilon_r$的均匀介质。（1）求电容$C$；（2）给电容器充电至带电量 $Q$，求储存的电场能量；（3）若介质的击穿场强为 $E_{\max}$，求电容器能承受的最大电压。

参考解答：（1）由高斯定理，介质中场强 $$ E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r^2} $$ 两球壳间电压 $$ U=\int_{R_1}^{R_2}E\thinspace{}dr=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}\left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right) $$ $$ \boxed{\thinspace{}C=\frac{Q}{U}=\frac{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_rR_1R_2}{R_2-R_1}\thinspace} $$ （2） $$ \boxed{\thinspace{}W=\frac{Q^2}{2C}=\frac{Q^2(R_2-R_1)}{8\pi\varepsilon_0\varepsilon_rR_1R_2}\thinspace} $$ （3）场强在 $r=R_1$ 处最大：$E_{\max}=\dfrac{Q_{\max}}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_rR_1^2}$， $$ \boxed{\thinspace{}U_{\max}=\frac{Q_{\max}}{C}=E_{\max}R_1\left(1-\frac{R_1}{R_2}\right)\thinspace} $$

评分参考：第(1)问 16 分；第(2)问 12 分；第(3)问 12 分。

五、三场复合中的匀速直线运动（40 分）

题目：匀强电场 $E$水平向右，匀强磁场$B$垂直纸面向里，重力加速度$g$竖直向下。带正电粒子（质量$m$、电荷 $q$）在复合场中做匀速直线运动。（1）求粒子的速度大小与方向；（2）若此时撤去电场，描述并计算粒子此后运动的特征（轨道半径）。

参考解答：（1）匀速直线运动要求合力为零： $$ q\vec E+m\vec g+q\vec v\times\vec B=0 $$ 重力与电场力合力 $$ F=\sqrt{(qE)^2+(mg)^2} $$ 方向与水平方向夹角 $\alpha=\arctan\dfrac{mg}{qE}$（斜向下）。洛伦兹力 $qvB=F$ 与之平衡： $$ \boxed{\thinspace{}v=\frac{\sqrt{(qE)^2+(mg)^2}}{qB}\thinspace} $$ 速度方向：垂直于 $F$与$B$（水平面内），且使 $q\vec v\times\vec B$指向$F$ 的反方向（由左手定则确定具体指向）。 （2）撤去电场后，粒子只受重力与洛伦兹力，不再匀速。将速度分解为竖直分量 $v_\parallel=v\sin\alpha$（沿 $g$方向）与水平分量$v_\perp=v\cos\alpha$：竖直分量对应匀速直线（重力被洛伦兹力的竖直分量平衡），水平分量做匀速圆周运动，合运动为等螺距螺旋线： $$ \boxed{\thinspace{}r=\frac{mv_\perp}{qB}=\frac{m}{qB}\cdot\frac{qE}{\sqrt{(qE)^2+(mg)^2}}\cdot v=\frac{mE}{B\sqrt{(qE)^2+(mg)^2}}\cdot v\thinspace} $$ （$v$代入(1)后$r=\dfrac{mE}{qB^2}$）

评分参考：第(1)问 24 分；第(2)问 16 分。

六、光具组：凸凹透镜组合（40 分）

题目：焦距 $f_1=15$cm 的凸透镜与$f_2=-10$cm 的凹透镜共轴相距$d=20$cm，物体距凸透镜$u_1=25$ cm。（1）求最终像的位置与虚实；（2）求总放大率；（3）若两透镜互换位置，最终像在何处？

参考解答：（1）第一透镜： $$ v_1=\frac{u_1f_1}{u_1-f_1}=\frac{25\times15}{10}=37.5\ \text{cm}\ (\text{实像}) $$ 像在凸透镜右侧 37.5 cm，即在凹透镜右侧 17.5 cm 处——为凹透镜的虚物： $$ u_2=-(37.5-20)=-17.5\ \text{cm} $$ $$ v_2=\frac{u_2f_2}{u_2-f_2}=\frac{(-17.5)(-10)}{-17.5+10}=-\frac{175}{7.5}\approx-23.3\ \text{cm} $$ $$ \boxed{\thinspace\text{最终成虚像，在凹透镜左侧（入射光一侧）约 }23.3\ \text{cm 处}\thinspace} $$ （2） $$ \boxed{\thinspace{}m=m_1m_2=\frac{37.5}{25}\times\frac{-23.3}{-17.5}=1.5\times1.33\approx2\ (\text{正立放大})\thinspace} $$ （3）互换后：物体先经凹透镜（$f=-10$，$u_1'=25$）： $$ v_1'=\frac{25\times(-10)}{25+10}\approx-7.14\ \text{cm}\ (\text{虚像，在凹透镜左侧}) $$ 对凸透镜：$u_2'=20-(-7.14)=27.14$ cm（实物）， $$ v_2'=\frac{27.14\times15}{27.14-15}\approx33.5\ \text{cm} $$ 最终成实像，在凸透镜右侧约 33.5 cm 处。

评分参考：第(1)问 16 分；第(2)问 10 分；第(3)问 14 分。

七、核聚变与质量亏损（40 分）

题目：已知氘核 $m_d=2.0136$u、氦-3 核$m_{^3He}=3.0160$u、中子$m_n=1.0087$u、质子$m_p=1.0073$ u，$1\ \text{u}=931.5\ \text{MeV}/c^2$。（1）求氘核的结合能；（2）两氘核聚变 $\ce{^2_1H+^2_1H -> ^3_2He + ^1_0n}$，求释放的能量；（3）1 g 氘全部聚变释放的能量约相当于多少吨标准煤（标准煤热值 $2.9\times10^7$ J/kg）？

参考解答：（1）氘核由 1 质子 + 1 中子组成： $$ \Delta m=(m_p+m_n)-m_d=(1.0073+1.0087)-2.0136=0.0024\ \text{u} $$ $$ \boxed{\thinspace{}E_{\text{结合}}=0.0024\times931.5\approx2.24\ \text{MeV}\thinspace} $$ （2） $$ \Delta m=2m_d-(m_{^3He}+m_n)=2\times2.0136-3.0160-1.0087=0.0025\ \text{u} $$ $$ \boxed{\thinspace\Delta E=0.0025\times931.5\approx2.33\ \text{MeV}\thinspace} $$ （3）1 g 氘含核数 $N=\dfrac{1}{2}\times6.02\times10^{23}=3.01\times10^{23}$，聚变次数 $N/2$： $$ E_{\text{总}}=\frac{N}{2}\times2.33\times10^6\ \text{eV}=1.505\times10^{23}\times2.33\times10^6\times1.6\times10^{-19}\approx5.6\times10^{10}\ \text{J} $$ $$ \boxed{\thinspace{}m_{\text{煤}}=\frac{E_{\text{总}}}{2.9\times10^7}\approx1.9\times10^3\ \text{kg}\approx1.9\ \text{吨}\thinspace} $$

评分参考：第(1)问 12 分；第(2)问 12 分；第(3)问 16 分。

八、多普勒效应（40 分）

题目：火车以速度 $v=30$m/s 驶向静止观察者并鸣笛（频率$f_0=500$Hz），声速$c=340$m/s。（1）求观察者听到的频率；（2）若火车驶过后（远离观察者）频率变为多少？（3）若观察者以$u=5$ m/s 同向远离火车运动（火车仍向观察者驶来），听到的频率是多少？

参考解答：多普勒公式 $f=f_0\dfrac{c\pm v_o}{c\mp v_s}$（分子"观察者靠近取 $+$"，分母"波源靠近取 $-$"）。 （1）波源靠近：$v_o=0$、$v_s=30$： $$ f=f_0\frac{c}{c-v_s}=500\times\frac{340}{310}\approx548\ \text{Hz} $$ （2）波源远离（$c+v_s$）： $$ f=f_0\frac{c}{c+v_s}=500\times\frac{340}{370}\approx459\ \text{Hz} $$ （3）观察者远离（$c-v_o$）且波源靠近（$c-v_s$）： $$ \boxed{\thinspace{}f=f_0\frac{c-u}{c-v_s}=500\times\frac{335}{310}\approx540\ \text{Hz}\thinspace} $$

评分参考：第(1)问 12 分；第(2)问 12 分；第(3)问 16 分。

考点地图

考点-笔记对照

题号	考点	对应笔记
一	复摆+弹簧（转动定律/平行轴定理）	力学/06-刚体动力学、力学/08-机械振动
二	滑轮连接体（转动+能量）	力学/02-牛顿运动定律与非惯性系、力学/04-功与机械能
三	热循环（等值过程/效率/绝热）	热学/03-热力学第一定律、热学/04-循环与热机效率
四	球形电容器（高斯定理/储能/击穿）	电学/03-高斯定理与导体静电平衡、电学/04-电容器与电介质
五	复合场匀速直线（力平衡/螺旋）	电学/07-带电粒子在磁场与复合场中
六	光具组逐次成像（虚物）	光学/02-球面镜与薄透镜成像、光学/03-光具组与光学仪器
七	核聚变（质量亏损/数量级估算）	近代物理/06-核反应与核能
八	多普勒效应（公式三情形）	力学/10-机械波与多普勒效应

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