球面镜与薄透镜成像（竞赛）

概览

高中透镜部分靠"背成像规律表"解题，竞赛则引入统一的符号约定下的高斯成像公式 $\dfrac1u+\dfrac1v=\dfrac1f$——凸凹透镜、实虚物像、球面镜一律适用，彻底告别逐条记忆。本笔记系统介绍球面镜与薄透镜的成像公式、作图法与像的性质判断，并引出竞赛进阶概念——虚物（为 03-光具组与光学仪器 的逐次成像法做直接铺垫）。数学上只需 01-微积分基础 的近似工具（近轴近似），物理上承接 01-几何光学基础 的折射与全反射。

核心概念

一、球面镜成像

球面镜：凹面镜与凸面镜。近轴光线（与主轴夹角很小）近似下，平行光会聚于焦点，焦距为曲率半径的一半： $$ \boxed{\thinspace{}f=\frac{R}{2}\thinspace}\qquad(\text{凹面镜 }f>0,\ \text{凸面镜 }f<0) $$

成像公式：与透镜形式相同， $$ \frac1u+\frac1v=\frac1f $$ 实物 $u>0$，实像 $v>0$，虚像 $v<0$。放大率 $m=\dfrac{v}{u}$（$m<0$ 为倒立）。

球面镜成像特点速览

镜型	物距区间	像的性质
凹面镜	$u>R$	倒立缩小实像（$f<v<R$）
凹面镜	$R>u>f$	倒立放大实像（$v>R$）
凹面镜	$u<f$	正立放大虚像（像在镜后）
凹面镜	$u=f$	不成像（平行光出射）
凸面镜	任意 $u$	恒成正立缩小虚像（$0<v<f$）

这些结论均可由公式直接推出，无需记忆——这正是符号约定的威力。

球面镜作图法：①平行于主轴的入射光线经镜面反射后过焦点（或其反向延长线过焦点）；②过焦点的入射光线反射后平行于主轴；③指向球心（过曲率中心）的光线原路返回。三条中任取两条确定像点。

二、薄透镜与焦距

薄透镜：凸透镜（会聚）与凹透镜（发散）。主光轴、光心 $O$（薄透镜近似下光线过光心不偏折）、焦点 $F$、焦距 $f$（凸透镜实焦点 $f>0$，凹透镜虚焦点 $f<0$）。

透镜制造者公式（简介）：焦距由折射率与两球面曲率半径决定 $$ \frac1f=(n-1)\left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right) $$ （$R$ 带符号：凸面为正、凹面为负，规定入射侧到出射侧方向；竞赛只需定性了解：$n$ 越大、曲率越大（$R$ 越小）则焦距越短。）

三、高斯成像公式与符号约定（核心）

薄透镜成像公式： $$ \boxed{\thinspace\frac1u+\frac1v=\frac1f\thinspace} $$

符号约定（笛卡尔约定）——必须严格遵循：

物理量	正号	负号
物距 $u$	实物（入射光实际会聚于物点）	虚物（入射光延长线会聚于物点）
像距 $v$	实像（像在出射光一侧）	虚像（像在入射光一侧）
焦距 $f$	凸透镜、凹面镜（会聚）	凹透镜、凸面镜（发散）

此约定下公式对凸/凹透镜、实/虚物、实/虚像全部统一成立——这是竞赛与高中最大的区别。放大率 $$ \boxed{\thinspace{}m=\frac{v}{u}\thinspace} $$ $m<0$ 表示倒立，$|m|>1$表示放大；像的面积放大为$m^2$ 倍。

符号约定是唯一的失分点

代入公式前先判断 $u$、$f$的正负：凹透镜$f$必为负；虚物$u$ 必为负。宁可多写一步"$f=-f_0$"也不要直接代绝对值——符号错了整道题全错，这是透镜题最典型的丢分原因。

四、作图法（三条特殊光线）

对薄透镜：

1. 平行光线：平行于主轴的光线经透镜后过焦点（凸）或其反向延长线过焦点（凹）；
2. 过光心光线：方向不变；
3. 过焦点光线：经透镜后平行于主轴。

两条光线交点即像点。虚像用反向延长线交点表示（画虚线）。作图验证：物在焦点内（$u<f$）凸透镜成放大虚像，与公式 $v=\dfrac{uf}{u-f}<0$、$|m|>1$ 一致。

五、虚物（竞赛进阶）

虚物定义：射向透镜的光线本身不相交、但其反向延长线会聚于一点，则该点为透镜的虚物（$u<0$）。典型情形：前一透镜的实像落在后一透镜的入射光一侧（即实像在第二透镜"背后"），光线"够不到"那个像点——该实像对第二透镜而言即为虚物。

虚物的物理图像

逐次成像法（03-光具组与光学仪器）中，第一透镜的像 $I_1$ 相对第二透镜的位置有两种可能：在第二透镜入射光一侧 → 实物；在出射光一侧（光线未会聚就被第二透镜截断）→ 虚物。几何上"像点"总存在，只是物距的正负不同——符号约定自动处理，不需额外规则。

六、共轭法测焦距

物屏与像屏相距 $L$（$L>4f$），移动透镜可在两位置成像（放大与缩小像），两次位置差 $d$，则 $$ f=\frac{L^2-d^2}{4L} $$ 推导：两位置 $u_1=v_2$、$u_2=v_1$（光路可逆的"共轭"），由 $u+v=L$、$uv$关系（放大率相乘$m_1m_2=1$）联立。这是测定透镜焦距的经典实验方法。

七、单球面折射（竞赛进阶）

光从折射率 $n_1$的介质经曲率半径为$R$的球面射向$n_2$ 的介质，近轴成像公式： $$ \boxed{\thinspace\frac{n_1}{u}+\frac{n_2}{v}=\frac{n_2-n_1}{R}\thinspace} $$ 符号约定沿用笛卡尔约定：实物 $u>0$、实像 $v>0$；$R$取正表示球心在出射光一侧（光线从$n_1$射向$n_2$ 的方向为正向）。

单球面折射的两个价值

1. 统一框架：它是折射定律在近轴条件下的直接推论，平面折射面（$R\to\infty$）退化为 $\dfrac{n_1}{u}+\dfrac{n_2}{v}=0$——即水底视深 $h'=\dfrac{n_2}{n_1}h$ 的来源；
2. 透镜公式之母：薄透镜可视为两个球面依次折射（出射面的物是入射面的像，虚物取负），两式相加整理即得高斯公式与透镜制造者公式 $\dfrac1f=(n-1)\left(\dfrac1{R_1}-\dfrac1{R_2}\right)$——透镜的一切成像规律由折射定律"生长"出来，而非人为规定。

八、牛顿成像公式（竞赛常用）

以焦点为原点计物距与像距（$x$为物到焦点$F$ 的距离、$x'$为像到焦点$F'$ 的距离，均带符号），高斯公式等价地化为 $$ \boxed{\thinspace{}xx'=f^2\thinspace} $$ 验证：$u=f+x$、$v=f+x'$ 代入高斯公式： $$ \frac1{f+x}+\frac1{f+x'}=\frac1f\ \Rightarrow\ f(x+x')+2f^2=(f+x)(f+x')=f^2+f(x+x')+xx'\ \Rightarrow\ xx'=f^2 $$ 用途：①计算更紧凑（已知 $x$直接得$x'=f^2/x$）；②实验中作 $x'$–$x$ 双曲线图或取倒数作线性图，处理数据更方便；③判断共轭成像（$x_1x_2=f^2$ 对应两次成像）。

九、像的移动速度

物沿主轴匀速移动时像的速度由放大率的变化率决定。对 $v=\dfrac{uf}{u-f}$ 求导（$f$ 恒定）： $$ \frac{dv}{dt}=\frac{f(f-u)-uf(-1)}{(u-f)^2}\cdot\frac{du}{dt}=-\frac{f^2}{(u-f)^2}\frac{du}{dt}=-\frac{v^2}{f^2}\frac{du}{dt}=-m^2\frac{du}{dt} $$ 即像速 $v_{\text{像}}=-m^2 v_{\text{物}}$：物远离透镜时像靠近（负号），且物越靠近焦点（$|m|$越大）像移动越快（接近焦点时像速趋于无穷——对应"物过焦点像从无穷远翻到无穷远"）。垂轴方向：像的横向速度$=m\dfrac{dh}{dt}$（由放大率乘物高变化率）。此类"像速"问题在竞赛中以微分形式出现，注意方向由 $m$ 的符号统一给出。

推导与原理

一、高斯成像公式的推导（近轴近似）

以凸透镜为例，物距 $u$、像距 $v$、焦距 $f$。取物上一点 $P$，过光心的光线与过焦点的光线，由相似三角形关系（近轴近似下几何精确）：

• 由 $\triangle POF$与$\triangle P'OF$类比的完整推导需画图，这里给出代数骨架：设物高$h$、像高 $h'$，由两对相似三角形 $$ \frac{h'}{h}=\frac{v}{u}\quad(\text{过光心光线}),\qquad \frac{h'}{h}=\frac{v-f}{f}\quad(\text{过焦点光线}) $$ 两式消去 $h'/h$： $$ \frac{v}{u}=\frac{v-f}{f}\ \Rightarrow\ fu+uv=uv\ \Rightarrow\ \frac1u+\frac1v=\frac1f $$ 关键步骤是"两条特殊光线同时成像于同一点"——它们给出的放大率必须相等。

二、凹透镜与虚像的统一性验证

凹透镜 $f<0$，实物 $u>0$：$v=\dfrac{uf}{u-f}$。分子 $uf<0$、分母 $u-f>0$，故 $v<0$——恒为虚像；$|m|=\dfrac{|v|}{u}<1$——恒缩小。与高中结论完全一致，且无需分类讨论。这就是符号约定的价值：一套公式覆盖所有情形，规律表只是公式的推论。

三、共轭法公式的推导

设两次成像的物距为 $u_1,u_2$，则 $u_2=v_1$（共轭）。由 $u_1+v_1=L$与$u_1+v_2=L$（$v_2=u_1$ 矛盾？）——严格推导：$u_1+v_1=L$、$u_2+v_2=L$且$u_2=v_1$、$v_2=u_1$，于是 $u_1+v_1=L$与$u_1+v_1=L$平凡成立；由公式$\dfrac1{u_1}+\dfrac1{v_1}=\dfrac1{u_2}+\dfrac1{v_2}$得$u_1v_1=u_2v_2$，联立 $u_1+v_1=u_2+v_2=L$得两组解$u_1=u_2$（重合，舍）或 $u_1=v_2$。设 $u_1>v_1$，则 $d=u_1-v_1$，$u_1=\dfrac{L+d}{2}$、$v_1=\dfrac{L-d}{2}$，代入公式： $$ \frac1f=\frac{2}{L+d}+\frac{2}{L-d}=\frac{4L}{L^2-d^2}\ \Rightarrow\ f=\frac{L^2-d^2}{4L} $$

典型实例与物理应用

实例 1：放大镜（物在焦距内）

凸透镜 $f=10$cm，物距$u=6$ cm：$v=\dfrac{uf}{u-f}=\dfrac{60}{-4}=-15$ cm（虚像在入射光一侧），$m=\dfrac{-15}{6}=-2.5$——正立放大 2.5 倍的虚像。由公式自动给出"正立放大"。

实例 2：幻灯机/投影仪（物在焦距与两倍焦距之间）

凸透镜 $f=15$cm，物距$u=20$ cm：$v=\dfrac{300}{5}=60$ cm，$m=3$——倒立放大 3 倍实像。移动物屏调节时用公式快速求新像距。

实例 3：凹透镜作为近视镜

凹透镜 $f=-25$ cm，物在无穷远（$u\to\infty$）：$v\to f=-25$ cm——平行光经凹透镜后发散，反向延长线会聚于虚焦点（近视眼成像在视网膜前，配凹透镜发散矫正）。

例题

例 1：凸透镜成像计算

题目：凸透镜焦距 $f=20$ cm，物体放在距透镜 30 cm 处。（1）求像距与放大率，判断像的性质；（2）物体移到距透镜 10 cm 处，再求之。

分析：直接代入高斯公式，注意物距与焦距的区间决定像的性质。

解答：（1）$u=30$ cm： $$ \frac1v=\frac1f-\frac1u=\frac1{20}-\frac1{30}=\frac1{60}\ \Rightarrow\ v=60\ \text{cm}>0\ (\text{实像}) $$ $m=\dfrac{60}{30}=2>0$——倒立放大实像（$f<u<2f$ 区间）。

（2）$u=10$ cm： $$ v=\frac{uf}{u-f}=\frac{10\times20}{10-20}=-20\ \text{cm}<0\ (\text{虚像}) $$ $m=\dfrac{-20}{10}=-2$——正立放大 2 倍虚像（放大镜工作状态）。

点评：同一透镜只需改变物距，公式自动给出实/虚、正/倒、放大/缩小——无需背任何表格。检查技巧：$m$的正负与$v$ 的正负一致（$u>0$ 时），实像必倒立、虚像必正立。

例 2：虚物——两透镜衔接

题目：焦距 $f_1=20$cm 的凸透镜与焦距$f_2=10$ cm 的凸透镜相距 40 cm 共轴放置，物体距第一透镜 30 cm。（1）求经第二透镜后最终像的位置与性质。

分析：先求第一透镜像，再以它为第二透镜的物——判断是实物还是虚物。

解答：第一透镜：$u_1=30$、$f_1=20$： $$ v_1=\frac{30\times20}{30-20}=60\ \text{cm} $$ 像在透镜 1 右侧 60 cm 处。透镜 2 在透镜 1 右侧 40 cm，故像在透镜 2 右侧 20 cm 处——在出射光一侧，光线已被透镜 2 截断，故对透镜 2 是虚物：$u_2=-20$ cm（符号约定：负号表示虚物）。 第二透镜： $$ \frac1{v_2}=\frac1{10}-\frac1{-20}=\frac{3}{20}\ \Rightarrow\ v_2=\frac{20}{3}\approx6.7\ \text{cm} $$ 最终像在透镜 2 右侧约 6.7 cm 处，实像；总放大率 $m=\dfrac{60}{30}\times\dfrac{6.7}{-20}=2\times(-0.33)\approx-0.67$——倒立缩小实像。

点评：虚物的处理是光具组题的关键考点：第二透镜前"够不到"的像一律取负号。本题示范的逐次成像法正是 03-光具组与光学仪器 的核心方法。

例 3：球面镜

题目：曲率半径 $R=40$ cm 的凹面镜，物体放在镜前 30 cm 处，求像的位置、虚实与放大率。

分析：$f=R/2=20$cm，凹面镜$f>0$，代入公式。

解答： $$ v=\frac{uf}{u-f}=\frac{30\times20}{30-20}=60\ \text{cm} $$ 实像（镜前 60 cm），$m=\dfrac{60}{30}=2$——倒立放大 2 倍实像。

点评：球面镜公式与透镜完全相同，唯一注意点是凹面镜 $f=+R/2$、凸面镜 $f=-R/2$。若换成凸面镜（$f=-20$ cm）：$v=\dfrac{30\times(-20)}{50}=-12$ cm，正立缩小虚像——与"凸面镜恒成虚像"一致。

例 4：像速问题（微分法）

题目：凸透镜焦距 $f=10$cm，物体以$2$cm/s 匀速沿主轴远离透镜，当物距$u=30$ cm 时，像的移动速度大小与方向如何？

分析：用像速公式 $v_{\text{像}}=-m^2 v_{\text{物}}$，先求该时刻的放大率。

解答：$u=30$cm 时$v=\dfrac{30\times10}{20}=15$ cm，$m=\dfrac{15}{30}=0.5$，故 $$ \frac{dv}{dt}=-m^2\frac{du}{dt}=-0.25\times2=-0.5\ \text{cm/s} $$ 像以 $0.5$ cm/s 向透镜靠近（负号）。验算：$u$增加$\Delta u$时$v=\dfrac{uf}{u-f}$ 减小，方向符合。

点评：像速问题的关键在于用公式对时间求导——这属于竞赛中"运动学与光学结合"的题型，微分链式法则（01-微积分基础）是工具。物越接近焦点，$|m|$ 越大，像速越惊人（$u\to f$ 时像速发散）。

易错提醒

易错点

1. 符号约定混乱：凹透镜焦距 $f$必须取负，虚物$u$ 必须取负。所有"背规律"的冲动都应改为"代公式"。
2. 放大率符号：$m=v/u$ 带符号；$m<0$倒立。问"放大几倍"答$|m|$，问"正立倒立"看符号——两者别混。
3. 虚像位置判断：虚像在入射光一侧（与实物同侧）；实像在出射光一侧。画图时虚像用虚线反向延长。
4. 共轭法的条件：$L>4f$ 才有两次成像；$L=4f$ 只有一次（$u=v=2f$）；$L<4f$ 不能成实像——用公式前先检查条件。
5. 球面镜与透镜的 f 符号：凹面镜 $f>0$（会聚）与凸透镜 $f>0$一致；凸面镜$f<0$与凹透镜$f<0$ 一致——别按"镜"还是"透镜"记反。
6. 作图法与公式结果矛盾：作图不精确时以公式为准；但作图可用于检查"实像必在出射侧、虚像必在入射侧"的粗错。
7. 近轴近似失效：大孔径光线、大角度入射时球面镜与透镜有球差，公式不严格成立——竞赛题默认近轴。
8. 单球面折射的 R 符号：$\dfrac{n_1}{u}+\dfrac{n_2}{v}=\dfrac{n_2-n_1}{R}$中$R$以"球心在出射侧为正"；平面折射取$R\to\infty$。符号错则视深/成像全错。
9. 牛顿公式的 x 基准：$xx'=f^2$中$x$、$x'$从焦点量起且带符号（凸透镜左侧物$x$取正、右侧实像$x'$取正），不是从透镜光心量起——与高斯公式的$u$、$v$ 基准不同，混用必错。
10. 像速公式的方向：$v_{\text{像}}=-m^2v_{\text{物}}$中$m^2$恒正、负号来自$m<0$ 与求导——物远离透镜（$du/dt>0$）时像靠近（$dv/dt<0$），方向别写反。

概念辨析

透镜与球面镜成像对比

比较项	薄透镜	球面镜
成像机制	折射	反射
焦距	与 $n$、$R$有关	$f=R/2$
实像侧	出射光一侧	镜前（入射侧）
虚像侧	入射光一侧	镜后
公式	$\dfrac1u+\dfrac1v=\dfrac1f$	完全相同

与其他知识关联

• 与 01-几何光学基础 的关系：折射定律与透镜制造者公式 $\dfrac1f=(n-1)(\frac1{R_1}-\frac1{R_2})$ 直接衔接；光路可逆性是共轭法的根据。
• 与 03-光具组与光学仪器 的关系：本笔记的符号约定与虚物概念是逐次成像法的直接前置；显微镜、望远镜的放大率计算全部基于本笔记的公式。
• 与预备知识的关系：01-微积分基础（近轴近似的泰勒展开基础）、04-泰勒展开与级数（$\sin\theta\approx\theta$ 类近似）。
• 与高中物理衔接：高中光学总览 的成像规律表是本笔记的高中基础——竞赛的任务是把表"浓缩"为符号约定下的一个公式。
• 与大学层面衔接：光学（近轴光学的矩阵方法、厚透镜）。
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作者的话

个人理解

学透镜成像最大的收获是理解"符号约定是一种语言"：高中之所以要背"凸透镜 $u<f$ 成正立放大虚像"等八条规律，是因为没有统一语言；竞赛引入正负号后，一条公式 + 一套约定覆盖一切，还顺带解决了凹透镜、虚物这些"新问题"。物理学习中这种"用约定换普适"的思路到处都是（电动势的方向、功的正负、相对论的符号约定……），值得体会。

建议做题流程固定为三步：①判断符号（$u$、$f$的正负）→ ②代入公式解$v$→ ③由$v$、$m$ 的符号写像的性质。养成习惯后，透镜题会变成"送分题"，把时间省给 03-光具组与光学仪器 的复杂光具组。

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