光具组与光学仪器（竞赛）

概览

单个透镜的成像公式只是工具，显微镜、望远镜、眼镜这些真实光学仪器本质上都是多个透镜组成的光具组。本笔记给出处理任意多元件系统（透镜 + 透镜，甚至透镜 + 反射镜）的统一方法——逐次成像法：把系统拆成若干次"单透镜成像"，前一次的像就是后一次的物，虚物 $u<0$由符号约定自动处理，逐次套用高斯公式$\dfrac1u+\dfrac1v=\dfrac1f$，总放大率为各次放大率之积 $M=m_1m_2\cdots$。由此依次推导密接透镜组的等效焦距与光焦度、放大镜的视角放大率、显微镜与望远镜的放大率，并介绍组合焦距、物镜目镜互换等复赛高频题型。光具组是 CPhO 复赛几何光学的主战场，本笔记以 02-球面镜与薄透镜成像 为直接前置，为 04-光的干涉、05-光的衍射 中光学仪器的分辨本领讨论提供仪器模型，大学层面衔接 光学。

核心概念

一、逐次成像法——光具组的统一方法

基本思想：多个透镜沿光轴排列，光线依次经过。每块透镜单独对"到达它的光束"成像，这个像（无论虚实）就是下一块透镜的物——成像的"接力"：

前像即后物

第一透镜成的像就是第二透镜的物。关键是判断这个"物"是实物还是虚物：

• 中间像在第二透镜的入射侧（光先到达的一侧）：对第二透镜是实物，$u_2>0$；
• 中间像在第二透镜的出射侧（光线尚未到达的"后方"，光束会聚而来）：对第二透镜是虚物，$u_2<0$。

符号约定（实正虚负）（与 02-球面镜与薄透镜成像 完全一致）：

物理量	正号含义	负号含义
物距 $u$	实物	虚物
像距 $v$	实像	虚像
焦距 $f$	会聚（凸）透镜	发散（凹）透镜

逐次成像四步：

1. 对第一透镜列高斯公式 $\dfrac1{u_1}+\dfrac1{v_1}=\dfrac1{f_1}$，解出 $v_1$；
2. 求第二透镜的物距：统一取 $u_2=d-v_1$（$d$ 为两透镜间距）。$u_2>0$ 即实物，$u_2<0$ 即虚物——符号约定自动完成几何判断；
3. 列式求 $v_2$，依此类推，直到最后一块元件；
4. 总放大率 $$ \boxed{\thinspace{}M=m_1m_2\cdots m_n\thinspace}, \qquad m_i=\dfrac{|v_i|}{|u_i|} $$ 最终像的正倒由"翻转次数"判定：每经一次"实物成实像"或"虚物成虚像"，像翻转一次；翻转奇数次则最终像倒立，偶数次则正立。

虚物是复赛核心考点

实物人人会算，虚物才是光具组的难点。当第一透镜的实像落在第二透镜之后，光束未到像点即被截住，对第二透镜而言光线是"会聚而来"的——此时 $u_2=d-v_1<0$，直接代入高斯公式即可，符号替你做完了全部几何判断。切勿把负数"凑"成正数。

二、密接透镜组与光焦度

两薄透镜紧贴（间距 $d\to0$），等效焦距 $$ \boxed{\thinspace\frac1F=\frac1{f_1}+\frac1{f_2}\thinspace} $$ 推广到 $n$ 个密接薄透镜：$\dfrac1F=\sum_i\dfrac1{f_i}$。为此定义光焦度（屈光本领） $$ \Phi=\frac1f $$ 单位：屈光度（$\text{D}$，$1\ \text{D}=1\ \text{m}^{-1}$）。眼镜度数 $=100\Phi$：如 $+200$度为远视镜（凸透镜$\Phi=+2\ \text{D}$），$-300$度为近视镜（凹透镜$\Phi=-3\ \text{D}$）。

三、放大镜——视角放大率

视角放大率的定义：用仪器观察时像对人眼的张角 $\theta'$，与==物体直接置于明视距离 $L=25\ \text{cm}$==处对人眼的张角 $\theta$ 之比： $$ \boxed{\thinspace{}M=\frac{\theta'}{\theta}\approx\frac{\tan\theta'}{\tan\theta}\thinspace} $$ 放大镜的放大率：焦距 $f$ 的凸透镜作放大镜，物体置于焦点内侧成放大的虚像。像成在无穷远（眼睛放松）时 $$ M=\dfrac{L}{f} $$ 若要求像恰好成在明视距离处（物体放在 $\dfrac{fL}{L+f}$处），得精确形式$M=\dfrac{L}{f}+1$。

四、显微镜

结构：物镜（短焦距 $f_1$，成放大的中间实像）+ 目镜（作放大镜观察中间实像，焦距 $f_2$）。镜筒长 $L$为物镜到目镜的距离，中间实像大致落在目镜物方焦点附近，故中间像距物镜约$L$。

总放大率（物镜横向放大率 $\times$ 目镜视角放大率）： $$ \boxed{\thinspace{}M\approx\frac{L}{f_1}\cdot\frac{25}{f_2}=\frac{25L}{f_1f_2}\thinspace} $$ （$L$、$f_1$、$f_2$ 单位一致即可，$25$ 为明视距离的 cm 数）

分辨本领（定性）：放大率再大也有极限——显微镜的分辨能力受衍射限制（圆孔衍射 + 瑞利判据），超过有效放大倍数只是"把模糊的像放大"，毫无增益。定量讨论见 05-光的衍射。

五、望远镜

开普勒望远镜：物镜、目镜均为凸透镜，$f_1>f_2$，物镜成倒立的中间实像，目镜将其放大——最终成倒立像（观天无妨，地面观察需正像系统）。

伽利略望远镜：目镜为凹透镜（$f_2<0$），最终成正立像；观剧望远镜即伽利略型。

放大率与镜筒长度： $$ \boxed{\thinspace{}M=\frac{f_1}{f_2}\thinspace},\qquad L=f_1+f_2\ (\text{开普勒}),\qquad L=f_1-|f_2|\ (\text{伽利略}) $$

六、竞赛高频题型

1. 两透镜逐次成像完整计算：给定物距、两焦距与间距，求最终像的位置、虚实、放大率（含虚物情形）；
2. 物镜与目镜互换的望远镜：倒过来用，放大率变为倒数 $M'=\dfrac{f_2}{f_1}$，成为"缩小望远镜"；
3. 显微镜移动载物台后的调节：物体微动导致中间像位置剧变，需重调目镜——归结为逐次成像计算；
4. 组合焦距问题：两薄透镜相距 $d$，等效焦距 $$ \frac1F=\frac1{f_1}+\frac1{f_2}-\frac{d}{f_1f_2} $$ 注意 $F$ 是相对组合透镜主平面度量的等效焦距，平行光的焦点相对第二透镜的位置见"推导与原理"第三节。

推导与原理

一、物距的"接力"公式

设两透镜间距 $d$，第一透镜像距 $v_1$。第一透镜的像相对第二透镜位于出射侧 $v_1-d$ 处。按符号约定，第二透镜的物距 $$ \boxed{\thinspace{}u_2=d-v_1\thinspace} $$ $u_2>0$ 为实物，$u_2<0$ 为虚物。这一行"物距接力"是逐次成像法的心脏——全部几何关系都压缩在符号里：若中间像恰在第二透镜上，$u_2=0$，此构型无意义，须调整参数。

每次成像的横向放大率（大小）$m_i=\dfrac{|v_i|}{|u_i|}$，总放大率 $M=\prod m_i$；正倒按"翻转规则"逐段统计。

二、密接透镜组的等效焦距

两透镜密接（$d=0$），物距 $u$。第一透镜成像： $$ \frac1u+\frac1{v_1}=\frac1{f_1} $$ 中间像在第二透镜出射侧，故第二透镜物距 $u_2=-v_1$（虚物）： $$ \frac1{-v_1}+\frac1v=\frac1{f_2} $$ 两式相加消去中间像 $v_1$： $$ \frac1u+\frac1v=\frac1{f_1}+\frac1{f_2} $$ 与单透镜 $\dfrac1u+\dfrac1v=\dfrac1F$ 对比即得 $$ \boxed{\thinspace\frac1F=\frac1{f_1}+\frac1{f_2}\thinspace} $$ 这就是"等效焦距的倒数等于各透镜光焦度之和"。光焦度 $\Phi=\dfrac1f$ 之所以被引入，正因为密接透镜组对它是代数相加：$\Phi=\Phi_1+\Phi_2$。

三、相距 $d$ 的两透镜：组合焦距与焦点位置

平行光入射。第一透镜将平行光会聚于其后 $f_1$处；第二透镜在$d$ 处，该"未成之像"对第二透镜是虚物，$u_2=d-f_1$。逐次成像： $$ \frac1{d-f_1}+\frac1v=\frac1{f_2}\ \Rightarrow\ \boxed{\thinspace{}v=\frac{f_2(f_1-d)}{f_1+f_2-d}\thinspace} $$ $v$ 是平行光经整个系统后的焦点相对第二透镜的距离（$f_1>d$ 时为实焦点）。另一方面，组合透镜的等效焦距定义为 $$ \boxed{\thinspace\frac1F=\frac1{f_1}+\frac1{f_2}-\frac{d}{f_1f_2}\thinspace} $$ 两个量并不相等：$F$ 相对组合透镜的主平面度量，而主平面不在第二透镜处，二者相差主平面位移 $$ x=\frac{f_2d}{f_1+f_2-d} $$ 即焦点相对第二透镜的距离 $v=F-x$。当 $d=0$时$v=F$，退回密接公式。

组合焦距的经典陷阱

题目若问"平行光入射后焦点在哪里"，答案是 $v=\dfrac{f_2(f_1-d)}{f_1+f_2-d}$（从第二透镜量起）；若问"组合透镜等效焦距"，答案才是 $\dfrac1F=\dfrac1{f_1}+\dfrac1{f_2}-\dfrac{d}{f_1f_2}$。复赛两种问法都出现过，先看清问的是哪个量。

四、放大镜放大率的推导

物高 $h$，直接放明视距离 $L=25\ \text{cm}$处，对眼张角$\theta\approx\dfrac{h}{L}$。用焦距 $f$ 的放大镜，把虚像调到明视距离（$v=-L$）： $$ \frac1u+\frac1{-L}=\frac1f\ \Rightarrow\ \frac1u=\frac1f+\frac1L $$ 像高 $h'=mh=\dfrac{L}{u}h$，像的张角 $\theta'\approx\dfrac{h'}{L}=\dfrac{h}{u}$，故 $$ M=\frac{\theta'}{\theta}=\frac{L}{u}=\frac{L}{f}+1 $$ 若像成在无穷远（眼睛放松），$u=f$，得 $M=\dfrac{L}{f}$。竞赛中默认取 $M=\dfrac{L}{f}$，要求精确时取 $+\ 1$。

五、显微镜放大率的推导

物镜：物体放在焦点外侧附近（$u_1\approx f_1$），中间实像距物镜约镜筒长 $L$（$v_1\approx L$），横向放大率 $$ m_1=\frac{v_1}{u_1}\approx\frac{L}{f_1} $$ 目镜作放大镜观察中间实像，视角放大率 $M_2=\dfrac{25}{f_2}$（$25$与$f_2$ 单位一致）。总放大率 $$ \boxed{\thinspace{}M=m_1M_2\approx\frac{L}{f_1}\cdot\frac{25}{f_2}=\frac{25L}{f_1f_2}\thinspace} $$ 注意 $m_1$ 是横向放大率、$M_2$ 是视角放大率，两者虽非同类量，但对视角都表现为"倍数"，故可直接相乘。

六、望远镜放大率的推导

远处物体对物镜的张角 $\theta$（即入射平行光与光轴的夹角），经物镜成实像于焦平面，像高 $$ h'=f_1\tan\theta\approx f_1\theta $$ 中间实像恰在目镜焦点上，经目镜出射平行光，与光轴的夹角 $$ \theta'\approx\frac{h'}{f_2}=\frac{f_1}{f_2}\theta $$ 角放大率 $$ \boxed{\thinspace{}M=\frac{\theta'}{\theta}=\frac{f_1}{f_2}\thinspace} $$ 镜筒长：中间实像须在目镜焦点上，故开普勒型 $L=f_1+f_2$；伽利略型目镜（凹透镜，$f_2<0$）焦点与物镜焦点重合，$L=f_1-|f_2|$。望远镜不能用放大镜公式 $25/f_2$，因为中间像在目镜焦点上、出射光平行，张角放大由 $\theta'=h'/f_2$ 体现。

典型实例与物理应用

实例 1：眼镜——光焦度的直接应用

配镜处方的度数 $=100\Phi$。近视 $300$ 度：$\Phi=-3\ \text{D}$，$f=-\dfrac{1}{3}\ \text{m}=-33\ \text{cm}$（凹透镜）；远视 $200$ 度：$\Phi=+2\ \text{D}$，$f=+50\ \text{cm}$（凸透镜）。度数越大镜片越"弯"，焦距越短。

实例 2：观剧望远镜——伽利略型的优势

物镜 $f_1=25\ \text{cm}$凸透镜、目镜$f_2=-5\ \text{cm}$ 凹透镜：$M=\dfrac{25}{5}=5$，镜筒仅 $20\ \text{cm}$，且成正立像。若用开普勒型需 $30\ \text{cm}$ 长筒且成倒像——所以观剧望远镜、儿童玩具望远镜几乎全是伽利略型。

实例 3：显微镜的分辨本领——放大不是万能的

光学显微镜的极限分辨距离约 $\Delta x\approx\dfrac{0.61\lambda}{NA}$（数值孔径 $NA$最大约$1.4$，取 $\lambda\approx550\ \text{nm}$，得 $\Delta x\approx0.2\ \mu\text{m}$），对应有效放大率约 $1000$ 倍。超过后只是"空放大"——这正是放大率与分辨本领必须分开看的原因，定量理论在 05-光的衍射。

实例 4：双筒望远镜的正像棱镜

开普勒型成倒像，地面观察须再倒一次：筒内装两块互相垂直的全反射直角棱镜（倒像系统），经两次全反射把像再翻转一次。这体现了 01-几何光学基础 中全反射的实际应用。

例题

例 1：两透镜逐次成像——含虚物的完整计算

题目：焦距 $f_1=10\ \text{cm}$、$f_2=20\ \text{cm}$的两薄凸透镜共轴放置，间距$d=25\ \text{cm}$。高 $1\ \text{cm}$的物体放在第一透镜前$u_1=15\ \text{cm}$ 处。求：(1) 最终像相对第二透镜的位置；(2) 最终像的虚实、正倒与放大率。

分析：先对第一透镜成像，再由 $u_2=d-v_1$ 判断中间像是实物还是虚物，二次成像。放大率取各次绝对值之积，正倒按翻转规则。

解答：第一透镜： $$ \frac1{15}+\frac1{v_1}=\frac1{10}\ \Rightarrow\ v_1=30\ \text{cm} $$ 中间实像在第一透镜后 $30\ \text{cm}$，第二透镜在其后 $25\ \text{cm}$处，故中间像在第二透镜出射侧$5\ \text{cm}$——虚物： $$ u_2=d-v_1=25-30=-5\ \text{cm} $$ 第二次成像： $$ \frac1{-5}+\frac1{v_2}=\frac1{20}\ \Rightarrow\ v_2=4\ \text{cm} $$ 放大率： $$ m_1=\frac{30}{15}=2,\qquad m_2=\frac{4}{5}=0.8,\qquad M=m_1m_2=1.6 $$ 正倒：第一段"实物成实像"翻转一次，第二段"虚物成实像"不翻转，共翻转 $1$ 次，最终像倒立。

点评：本题题眼是 $u_2<0$。若误把虚物当实物（$u_2=5\ \text{cm}$），算得 $v_2\approx6.7\ \text{cm}$、正立，与正确答案（$4\ \text{cm}$、倒立）完全不同。虚物的判定全靠 $u_2=d-v_1$ 的符号，不可想当然。

例 2：显微镜放大率的计算与调焦

题目：显微镜物镜焦距 $f_1=1\ \text{cm}$，目镜焦距 $f_2=2\ \text{cm}$，镜筒长 $L=16\ \text{cm}$（中间实像近似在目镜物方焦点上）。(1) 求总放大率及物镜横向放大率、目镜视角放大率；(2) 若载物台把物体向远离物镜方向移动 $0.5\ \text{mm}$，中间实像移向何方、移动多少？最终像还能直接观察吗？

分析：套 $M=\dfrac{25L}{f_1f_2}$；载物台微动后 $u_1'=1.05\ \text{cm}$，用逐次成像法重新计算。

解答：(1) $$ m_1=\frac{L}{f_1}=\frac{16}{1}=16,\qquad M_2=\frac{25}{f_2}=\frac{25}{2}=12.5 $$ $$ M=\frac{25L}{f_1f_2}=\frac{25\times16}{1\times2}=200 $$ (2) 移后 $u_1'=1.05\ \text{cm}$： $$ \frac1{1.05}+\frac1{v_1'}=1\ \Rightarrow\ v_1'=21\ \text{cm} $$ 中间实像由距物镜 $16\ \text{cm}$移到$21\ \text{cm}$（后移 $5\ \text{cm}$）。对目镜： $$ u_2=16-21=-5\ \text{cm},\qquad \frac1{-5}+\frac1{v_2}=\frac12\ \Rightarrow\ v_2\approx1.43\ \text{cm} $$ 最终成实像于目镜后 $1.43\ \text{cm}$，不在明视范围，必须重新调焦（移动镜筒或载物台）。

点评：物体只动 $0.5\ \text{mm}$，中间像却后移 $5\ \text{cm}$——物在焦点附近时"物距微变、像距巨变"，这正是显微镜高倍放大的代价。调焦问题的本质就是一遍遍逐次成像。

例 3：望远镜放大率与镜筒长度

题目：一架开普勒望远镜物镜焦距 $f_1=50\ \text{cm}$，目镜焦距 $f_2=5\ \text{cm}$。(1) 求放大率与镜筒长度；(2) 若把物镜与目镜对调使用，放大率变为多少？还能看清远处物体吗？(3) 若改用焦距 $-5\ \text{cm}$ 的凹透镜作目镜（伽利略型），放大率与镜筒长度各为多少？像的正倒如何？

分析：开普勒型 $M=f_1/f_2$、$L=f_1+f_2$；对调后 $M$取倒数；伽利略型$L=f_1-|f_2|$。

解答：(1) $$ M=\frac{50}{5}=10,\qquad L=50+5=55\ \text{cm} $$ (2) 对调后 $$ M'=\frac{5}{50}=0.1 $$ 远处物体看起来缩小到原来的十分之一，但仍是"望远镜"——出射光仍平行、成像清晰，只是变成了缩小镜（可用来把远处景物"拉近看"反而小了，实际用处不大）。 (3) 伽利略型： $$ M=\frac{f_1}{|f_2|}=\frac{50}{5}=10,\qquad L=50-5=45\ \text{cm} $$ 凹目镜使最终像正立。

点评：望远镜倒过来用放大率取倒数，这是经典陷阱——放大率小于 $1$不等于"变成显微镜"（显微镜物镜焦距短，结构不同）。伽利略型比开普勒型短$10\ \text{cm}$ 且成正立像，代价是视场小、有畸变。

易错提醒

易错点

1. 虚物忘带负号：中间像在第二透镜出射侧时，$u_2=d-v_1<0$，必须代负值；当正数代会导致像的位置、虚实、正倒全错。
2. 放大率只乘绝对值：$m_i=\dfrac{|v_i|}{|u_i|}$，正倒单独按"翻转规则"判定；不要把符号在纸上随意相乘。
3. 显微镜的 $L$ 是镜筒长不是明视距离：$M=\dfrac{25L}{f_1f_2}$中$25$ 是明视距离（cm），$L$ 是物镜到目镜距离，二者单位须一致。
4. 望远镜筒长不是随意取的：开普勒型 $L=f_1+f_2$ 是为了让中间实像落在目镜焦点上、出射光平行；换个距离像就不清晰。
5. 组合焦距与焦点位置混淆：$\dfrac1F=\dfrac1{f_1}+\dfrac1{f_2}-\dfrac{d}{f_1f_2}$是等效焦距（相对主平面）；平行光的焦点相对第二透镜是$v=\dfrac{f_2(f_1-d)}{f_1+f_2-d}$，二者相差主平面位移 $\dfrac{f_2d}{f_1+f_2-d}$。
6. 视角放大率的基准永远是明视距离：$M=\dfrac{\theta'}{\theta}$的分母是物体放在$25\ \text{cm}$ 处的张角，不是别的距离。
7. 望远镜倒过来用是缩小镜不是显微镜：$M$变为倒数小于$1$；显微镜与望远镜结构不同，不可互换。
8. 凹透镜焦距为负：伽利略型 $M=\dfrac{f_1}{f_2}$应理解为$M=\dfrac{f_1}{|f_2|}$，注意符号，防止出现"负放大率"的困惑。

概念辨析

横向放大率 vs 视角放大率

比较项	横向放大率 $m$	视角放大率$M$
定义	像高与物高之比	像对眼张角与物在明视距离处张角之比
适用场合	一般成像、物镜	放大镜、目镜、望远镜
显微镜中的角色	物镜 $m_1=L/f_1$	目镜$M_2=25/f_2$
总放大率	$M=m_1M_2$（乘积）	同左

显微镜 vs 望远镜

比较项	显微镜	开普勒望远镜	伽利略望远镜
观察对象	近处微小物体	远处物体	远处物体
物镜	短焦，成放大实像	长焦（$f_1>f_2$）	长焦
目镜	凸透镜（放大镜）	凸透镜	凹透镜
中间像	实像，在目镜焦点附近	实像，在目镜焦点上	物镜的实像点落在目镜后（虚物）
最终像	倒立、放大的虚像	倒立	正立
放大率	$M=\dfrac{25L}{f_1f_2}$	$M=\dfrac{f_1}{f_2}$	$M=\dfrac{f_1}{
镜筒长度	较短	$f_1+f_2$	$f_1-
出射光	会聚（虚像供眼观察）	平行	平行

与其他知识关联

• 与 02-球面镜与薄透镜成像 的关系：逐次成像法就是把单透镜的高斯公式与符号约定重复使用 $n$ 遍；球面镜（反射镜）同样可并入光具组，一次成像算一个元件，中间像虚实照判。
• 与 01-几何光学基础 的关系：光具组的光线追迹依赖折射定律；双筒望远镜的正像棱镜与光导纤维同源于全反射。
• 与 04-光的干涉、05-光的衍射 的关系：光学仪器的分辨本领由衍射决定（瑞利判据 $\Delta x\approx\dfrac{0.61\lambda}{NA}$），显微镜放大率再大也逃不出衍射极限——这是本笔记给出的"仪器"与波动光学"极限"的接口。
• 与 01-微积分基础 的关系：组合焦距、主平面的严格处理在 光学 中用到矩阵光学与厚透镜理论；$L/f_1$之类的小角度近似即$\tan\theta\approx\theta$。
• 与高中物理联系：高中光学总览 的透镜成像规律表、放大镜/显微镜/望远镜的定性认识是本笔记的全部高中基础。
• 与大学层面联系：光学（矩阵光学、主平面、孔径光阑与景深）、物理光学（衍射极限、瑞利判据的严格推导）。
• 返回 00-竞赛光学总览

作者的话

个人理解

光具组的本质只有一句话：一次成像一次接力，符号约定替你做几何。单透镜学完觉得"不过如此"的人，遇到两透镜就懵——根源在于没想清楚"前像后物"的接力关系，尤其是虚物。我的经验是：拿到多透镜题先画一条光轴，标出每个元件位置，把每道"中间像"用小括号标在旁边，然后逐个写公式。画图加逐次公式，永远不会乱。

复赛光具组计算几乎都是"熟公式加细心符号"的组合：显微镜与望远镜的放大率公式要背熟，但更要理解推导——一个是"横向放大率乘视角放大率"，一个是纯角放大——这样题目改个问法（换目镜、调筒长、倒过来用）你也能现场推。望远镜倒过来用是经典陷阱题：放大率取倒数，但它不是显微镜。

最后提醒：光学仪器是"物理建模"的绝佳样本——显微镜的 $L/f_1$是小角度近似的产物，望远镜的$f_1/f_2$ 是平行光夹角之比。所有近似公式都有适用前提，看清条件再套用。光学模块的下一步是波动光学，05-光的衍射 会给光学仪器的分辨本领画上句号。

---

返回 00-竞赛光学总览