量子力学基本假设

概述

量子力学的基本假设（又称公设）构成了整个量子理论的公理化基础。与经典力学不同，量子力学不是从某个基本方程"推导"出来的，而是建立在一组基本假设之上，这些假设的正确性由实验验证。本文系统阐述量子力学的五条基本假设及其数学结构和物理内涵，可作为 量子力学专题 的核心参考。

历史背景

量子力学基本假设的形成经历了漫长的过程。从普朗克1900年提出能量量子化假说，到冯·诺依曼1932年在《量子力学的数学基础》中完成公理化表述，前后经历了三十余年。详见 量子力学发展史。

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一、假设一：态矢量与希尔伯特空间

1.1 态矢量的定义

基本假设一（态矢量公设）

一个孤立量子物理系统的状态由复希尔伯特空间中的一个态矢量（state vector）$|\psi\rangle$ 完全描述。该态矢量包含了系统在给定时刻所有可观测的物理信息。

狄拉克符号（Dirac notation）是量子力学中最优雅的数学工具之一：

• ket $|\psi\rangle$：表示一个列向量，称为"右矢"，用于描述量子态
• bra $\langle\psi|$：表示 ket 的厄米共轭（对偶矢量），称为"左矢"，是一个行向量
• bra-ket $\langle\varphi|\psi\rangle$：表示两个态矢量的内积，结果是一个复数

这种描述方式与经典力学有本质区别。在经典力学中，一个质点的状态由位置 $\mathbf{r}(t)$和动量$\mathbf{p}(t)$同时确定；而在量子力学中，系统的状态由抽象的态矢量$|\psi\rangle$ 描述，位置和动量不再是同时确定的属性，而是需要通过测量才能获得的信息。

1.2 希尔伯特空间

希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 是态矢量所居住的数学空间，它具有以下性质：

1. 完备性：任何柯西序列都收敛于空间内的一个元素，这保证了极限运算的合法性和物理态的完备描述
2. 内积结构：定义了内积 $\langle\cdot|\cdot\rangle : \mathcal{H} \times \mathcal{H} \to \mathbb{C}$，满足：
   • 正定性：$\langle\psi|\psi\rangle \geq 0$，等号仅当 $|\psi\rangle = 0$
   • 共轭对称性：$\langle\varphi|\psi\rangle = \langle\psi|\varphi\rangle^*$
   • 第一变元的线性性：$\langle\varphi|(a|\psi_1\rangle + b|\psi_2\rangle) = a\langle\varphi|\psi_1\rangle + b\langle\varphi|\psi_2\rangle$
3. 可分性：存在可数的稠密子集（物理上考虑的希尔伯特空间通常是可分的）

关键理解

量子力学的态空间是复希尔伯特空间，而非实空间。复数在这里不是为了方便而引入的数学技巧，而是量子力学本质上的要求——干涉效应、相位因子等核心量子现象都有赖于复数的存在。

基矢与展开

在希尔伯特空间中，可以选择一组完备的基矢 $\lbrace |n\rangle\rbrace $（$n = 1, 2, 3, \ldots$），使得任意态矢量 $|\psi\rangle$ 可以唯一地展开为：

$$ |\psi\rangle = \sum_{n} c_n |n\rangle $$

其中展开系数 $c_n = \langle n|\psi\rangle$ 是复数。态矢量的归一化条件要求：

$$ \langle\psi|\psi\rangle = \sum_n |c_n|^2 = 1 $$

这保证了 $|c_n|^2$ 可以被诠释为概率。

正交归一性

基矢满足正交归一关系：

$$ \langle m|n\rangle = \delta_{mn} $$

其中 $\delta_{mn}$ 是克罗内克函数：

$$ \delta_{mn} = \begin{cases} 1, & m = n \newline 0, & m \neq n \end{cases} $$

对于连续谱的情形（如位置本征态 $|x\rangle$和动量本征态$|p\rangle$），正交归一关系推广为狄拉克 $\delta$ 函数：

$$ \langle x|x'\rangle = \delta(x - x'), \quad \langle p|p'\rangle = \delta(p - p') $$

注意

连续谱情形下的 $|x\rangle$和$|p\rangle$ 并非严格意义上的希尔伯特空间矢量（它们不可归一化），而是属于"装备希尔伯特空间"（rigged Hilbert space）中的广义本征矢。这涉及更精细的数学结构，但在物理上可以直接使用。

1.3 叠加原理

叠加原理

若 $|\psi_1\rangle$和$|\psi_2\rangle$ 是系统可能的量子态，则它们的任意线性叠加 $$|\psi\rangle = \alpha|\psi_1\rangle + \beta|\psi_2\rangle \quad (\alpha, \beta \in \mathbb{C})$$ 也是系统的一个合法量子态。

叠加原理是量子力学区别于经典物理最根本的特征之一。它直接导致了量子干涉、纠缠等非经典现象。

经典与量子的对比

特征	经典物理	量子力学
状态描述	相空间中的点 $(q, p)$	希尔伯特空间中的矢量$
叠加性	无叠加原理	线性叠加原理成立
测量	原则上可无限精确	受不确定性原理限制
概率	源于无知（统计力学）	内禀概率性

双缝干涉实验是叠加原理最直观的体现：当电子通过双缝时，其波函数是"通过上缝"和"通过下缝"两个态的叠加 $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\psi_{\text{上}}\rangle + |\psi_{\text{下}}\rangle)$，导致干涉图样的出现。这正是量子力学与经典粒子物理的根本区别——经典粒子只能选择通过其中一条缝。

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二、假设二：可观测量的算符表示

2.1 算符的定义

基本假设二（算符公设）

每一个可观测的物理量 $A$都对应一个作用在希尔伯特空间上的线性厄米算符$\hat{A}$。在测量该物理量时，可能的测量结果只能是该算符的本征值。

• 线性性：$\hat{A}(a|\psi_1\rangle + b|\psi_2\rangle) = a\hat{A}|\psi_1\rangle + b\hat{A}|\psi_2\rangle$
• 厄米性：$\hat{A}^\dagger = \hat{A}$，即 $\langle\varphi|\hat{A}\psi\rangle = \langle\hat{A}\varphi|\psi\rangle$对所有$|\varphi\rangle, |\psi\rangle$ 成立

为什么要求厄米性？

厄米算符的本征值都是实数，而物理上的测量结果必须是实数。因此，可观测量的算符必须是厄米算符，这是量子力学与实验事实一致的基本保证。

厄米算符还有以下重要性质：

• 属于不同本征值的本征矢相互正交
• 本征矢系构成希尔伯特空间的一组完备基（谱定理）
• 在任意态中的期望值 $\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle$ 为实数

2.2 基本算符

在坐标表象中，基本的力学量算符如下：

位置算符

$$ \hat{x} = x $$

位置算符的作用就是乘以坐标 $x$。在坐标表象中，位置本征方程是：

$$ \hat{x}\thinspace|x'\rangle = x'|x'\rangle $$

其中 $|x'\rangle$是位置本征态，对应的波函数为$\psi_{x'}(x) = \langle x|x'\rangle = \delta(x - x')$。

动量算符

$$ \hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x} $$

这是量子力学中最核心的对应关系之一。在三维情形下推广为：

$$ \hat{\mathbf{p}} = -i\hbar\nabla $$

对易关系

位置算符与动量算符满足正则对易关系： $$[\hat{x}, \hat{p}] = \hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x} = i\hbar$$ 这是量子力学的基本代数结构，详见角动量与自旋中的角动量对易关系推广。

哈密顿算符

哈密顿算符（能量算符）对应于经典力学中的哈密顿函数：

$$ \hat{H} = \frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m} + V(\hat{\mathbf{r}}) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) $$

其中第一项是动能算符，第二项是势能算符。

角动量算符

轨道角动量算符定义为：

$$ \hat{\mathbf{L}} = \hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{p}} $$

其分量形式为：

$$ \hat{L}_x = \hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y, \quad \hat{L}_y = \hat{z}\hat{p}_x - \hat{x}\hat{p}_z, \quad \hat{L}_z = \hat{x}\hat{p}_y - \hat{y}\hat{p}_x $$

角动量算符的分量满足对易关系 $[\hat{L}_i, \hat{L}_j] = i\hbar\varepsilon_{ijk}\hat{L}_k$，其中 $\varepsilon_{ijk}$ 是列维-奇维塔符号。关于角动量的量子理论和自旋，详见 角动量与自旋。

2.3 本征值方程

算符 $\hat{A}$ 的本征值方程定义为：

$$ \hat{A}|a_n\rangle = a_n|a_n\rangle $$

其中 $a_n$ 是本征值（实数），$|a_n\rangle$ 是相应的本征矢。

谱分解（谱表示）

利用本征矢系的完备性，厄米算符可以进行谱分解：

$$ \hat{A} = \sum_n a_n |a_n\rangle\langle a_n| $$

这一定理极其重要，因为它允许我们将算符的函数定义为：

$$ f(\hat{A}) = \sum_n f(a_n) |a_n\rangle\langle a_n| $$

例如，时间演化算符 $\hat{U}(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar}$ 可以用哈密顿算符的谱分解来计算。

正交完备性

厄米算符的本征矢系 $\lbrace |a_n\rangle\rbrace $ 构成一组正交完备基：

• 正交性：$\langle a_m|a_n\rangle = \delta_{mn}$
• 完备性：$\sum_n |a_n\rangle\langle a_n| = \hat{I}$（单位算符，即完备性关系）

完备性关系是量子力学中最重要的恒等式之一，它允许在任意态中插入"单位分解"来方便地进行计算。

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三、假设三：测量公设

3.1 测量结果

基本假设三（测量公设）

对处于态 $|\psi\rangle$的量子系统测量力学量$A$，测量结果只能是算符 $\hat{A}$的某个本征值$a_n$。测得本征值 $a_n$ 的概率为： $$P(a_n) = |\langle a_n|\psi\rangle|^2$$ 其中 $|a_n\rangle$是对应于本征值$a_n$ 的归一化本征矢。

对于简并情形（多个本征矢对应同一个本征值），概率为投影到该本征子空间的概率之和：

$$ P(a_n) = \sum_{i=1}^{g_n} |\langle a_n^{(i)}|\psi\rangle|^2 $$

其中 $g_n$ 是简并度。

概率诠释的哲学意义

量子力学中的概率是内禀的（intrinsic），与经典统计力学中"源于我们对系统细节无知"的概率有本质区别。即使我们拥有系统的完全信息（由 $|\psi\rangle$ 描述），测量结果仍然是不确定的。这一观点在 量子力学诠释 中有深入讨论。

3.2 波函数坍缩

投影假说

测量过程不仅给出结果 $a_n$，还导致量子态发生瞬时、非幺正的变化——系统从测量前的态 $|\psi\rangle$坍缩（collapse）到对应的本征态$|a_n\rangle$： $$|\psi\rangle \xrightarrow{\text{测量得 }a_n} |a_n\rangle$$ 或以投影算符表述： $$|\psi\rangle \xrightarrow{\text{测量}} \frac{\hat{P}_n|\psi\rangle}{\sqrt{\langle\psi|\hat{P}_n|\psi\rangle}}$$ 其中 $\hat{P}_n = |a_n\rangle\langle a_n|$ 是到本征子空间的投影算符。

测量问题

波函数坍缩是量子力学中最具争议的概念之一。它引入了一个非幺正的、不可逆的过程，与薛定谔方程的幺正演化形成鲜明对比。这导致了著名的"测量问题"（measurement problem）——坍缩究竟在何时、以何种方式发生？这一问题的不同回答构成了不同的量子力学诠释，详见 量子力学诠释。

3.3 期望值与方差

物理量 $A$在态$|\psi\rangle$ 中的期望值（平均值）定义为：

$$ \langle A \rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle $$

利用完备性关系 $\sum_n |a_n\rangle\langle a_n| = \hat{I}$，可以证明：

$$ \langle A \rangle = \sum_n a_n |\langle a_n|\psi\rangle|^2 = \sum_n a_n P(a_n) $$

这符合概率论中期望值的标准定义。

方差（不确定度）定义为：

$$ (\Delta A)^2 = \langle (A - \langle A\rangle)^2 \rangle = \langle A^2 \rangle - \langle A \rangle^2 $$

标准差 $\Delta A = \sqrt{\langle A^2 \rangle - \langle A \rangle^2}$ 描述了测量结果的统计涨落。

示例：自旋-1/2 粒子的测量

考虑一个自旋-1/2 粒子处于态 $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow_z\rangle + |\downarrow_z\rangle)$。测量 $\hat{S}_z$：

• 测得 $+\hbar/2$ 的概率：$P(+) = |\langle\uparrow_z|\psi\rangle|^2 = 1/2$
• 测得 $-\hbar/2$ 的概率：$P(-) = |\langle\downarrow_z|\psi\rangle|^2 = 1/2$
• 期望值：$\langle S_z\rangle = \frac{1}{2}\cdot\frac{\hbar}{2} + \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{\hbar}{2}\right) = 0$
• 方差：$\langle S_z^2\rangle = \frac{\hbar^2}{4}$，$\Delta S_z = \frac{\hbar}{2}$

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四、假设四：薛定谔方程（时间演化）

4.1 含时薛定谔方程

基本假设四（演化公设）

孤立量子系统的态矢量随时间的演化由含时薛定谔方程决定： $$i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = \hat{H}|\psi(t)\rangle$$ 其中 $\hat{H}$ 是系统的哈密顿算符。该演化是幺正的（unitary）和确定性的（deterministic）。

薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，其地位相当于经典力学中的牛顿第二定律。值得注意的是，薛定谔方程本身是时间反演不变的（在 $\hat{H}$ 为实数的情况下），但测量过程引入了不可逆性。

时间演化算符

对于不含时的哈密顿算符 $\hat{H}$，薛定谔方程的形式解为：

$$ |\psi(t)\rangle = \hat{U}(t)|\psi(0)\rangle, \quad \hat{U}(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar} $$

时间演化算符 $\hat{U}(t)$ 具有以下重要性质：

时间演化算符的性质

1. 幺正性：$\hat{U}^\dagger(t)\hat{U}(t) = \hat{U}(t)\hat{U}^\dagger(t) = \hat{I}$
2. 群性质：$\hat{U}(t_1)\hat{U}(t_2) = \hat{U}(t_1 + t_2)$
3. 概率守恒：$\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle = \langle\psi(0)|\hat{U}^\dagger(t)\hat{U}(t)|\psi(0)\rangle = \langle\psi(0)|\psi(0)\rangle = 1$

幺正性保证了态矢量的归一化在时间演化中保持不变，这是概率守恒的数学体现。

对于含时哈密顿算符 $\hat{H}(t)$，时间演化算符由 Dyson 级数给出：

$$ \hat{U}(t) = \mathcal{T}\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\int_0^t \hat{H}(t')\thinspace{}dt'\right] $$

其中 $\mathcal{T}$ 是时序算符（time-ordering operator）。

4.2 定态

当哈密顿算符不含时，能量本征态（定态）具有特别简单的演化形式。设 $\hat{H}|E_n\rangle = E_n|E_n\rangle$，则：

$$ |E_n(t)\rangle = e^{-iE_nt/\hbar}|E_n(0)\rangle $$

定态的重要特征是：所有可观测量的期望值在定态中不随时间变化。对于任意不含时算符 $\hat{A}$：

$$ \langle E_n(t)|\hat{A}|E_n(t)\rangle = \langle E_n(0)|e^{iE_nt/\hbar}\hat{A}e^{-iE_nt/\hbar}|E_n(0)\rangle = \langle E_n(0)|\hat{A}|E_n(0)\rangle $$

任意态的时间演化可以通过在能量本征基下展开来描述：

$$ |\psi(t)\rangle = \sum_n c_n e^{-iE_nt/\hbar}|E_n\rangle, \quad c_n = \langle E_n|\psi(0)\rangle $$

定态薛定谔方程

将 $|\psi(t)\rangle = e^{-iEt/\hbar}|\psi\rangle$ 代入含时薛定谔方程，得到定态薛定谔方程（本征值方程）： $$\hat{H}|\psi\rangle = E|\psi\rangle$$ 即： $$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r}) = E\psi(\mathbf{r})$$

定态薛定谔方程是量子力学中最重要的方程之一，求解它得到系统的能级和定态波函数。这一内容在 波函数与薛定谔方程 中有详细讨论。

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五、假设五：全同性原理

5.1 全同粒子的不可区分性

基本假设五（全同性公设）

在量子力学中，全同粒子（identical particles）是原则上不可区分的。由全同粒子组成的系统的态矢量在任意两个全同粒子交换下必须是对称的或反对称的。

这一假设与经典物理有根本区别。在经典物理中，即使两个粒子完全相同（如两个电子），我们仍可以通过追踪它们的轨迹来区分它们。但在量子力学中，由于波粒二象性和不确定性原理，轨迹的概念不再适用，全同粒子在原则上无法被标记和追踪。

量子不可区分性的数学表述

设 $\hat{P}_{ij}$是交换第$i$个和第$j$个全同粒子的置换算符。对于全同粒子系统，任何物理可观测量$\hat{O}$ 必须在粒子交换下不变： $$[\hat{P}_{ij}, \hat{O}] = 0$$ 波函数在粒子交换下满足： $$\hat{P}_{ij}\Psi(\ldots, \mathbf{r}_i, \ldots, \mathbf{r}_j, \ldots) = \pm \Psi(\ldots, \mathbf{r}_i, \ldots, \mathbf{r}_j, \ldots)$$

5.2 玻色子与费米子

自然界中只存在两类全同粒子，由它们的自旋决定交换对称性：

自旋-统计定理

• 玻色子（Bosons）：自旋为整数（$s = 0, 1, 2, \ldots$），如光子（$s = 1$）、希格斯玻色子（$s = 0$）。波函数在粒子交换下对称： $$\Psi_B(\ldots, \mathbf{r}_i, \ldots, \mathbf{r}_j, \ldots) = +\Psi_B(\ldots, \mathbf{r}_j, \ldots, \mathbf{r}_i, \ldots)$$
• 费米子（Fermions）：自旋为半整数（$s = 1/2, 3/2, \ldots$），如电子、质子（$s = 1/2$）。波函数在粒子交换下反对称： $$\Psi_F(\ldots, \mathbf{r}_i, \ldots, \mathbf{r}_j, \ldots) = -\Psi_F(\ldots, \mathbf{r}_j, \ldots, \mathbf{r}_i, \ldots)$$

自旋-统计定理是相对论量子场论（CPT定理）的深刻推论，在非相对论量子力学中作为基本假设引入。关于自旋的详细讨论，参见 角动量与自旋。

两种统计的宏观表现

• 玻色-爱因斯坦凝聚（BEC）：多个玻色子可以占据同一量子态，在极低温下宏观数量的玻色子凝聚到基态，形成宏观量子现象
• 费米简并压：由于泡利不相容原理，费米子不能占据同一量子态，即使温度趋近绝对零度，费米子仍然具有很高的动能（费米能），产生巨大的简并压——这是白矮星和中子星能够抵抗引力坍缩的物理机制

5.3 泡利不相容原理

泡利不相容原理

两个全同的费米子不能占据完全相同的量子态。换句话说，不可能存在两个费米子具有完全相同的一组量子数。

这一原理的直接数学推论是：对于 $N$ 个全同费米子，其波函数可以用斯莱特行列式（Slater determinant）表示：

$$ \Psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots, \mathbf{r}_N) = \frac{1}{\sqrt{N!}} \begin{vmatrix} \psi_1(\mathbf{r}_1) & \psi_1(\mathbf{r}_2) & \cdots & \psi_1(\mathbf{r}_N) \newline \psi_2(\mathbf{r}_1) & \psi_2(\mathbf{r}_2) & \cdots & \psi_2(\mathbf{r}_N) \newline \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \newline \psi_N(\mathbf{r}_1) & \psi_N(\mathbf{r}_2) & \cdots & \psi_N(\mathbf{r}_N) \end{vmatrix} $$

其中 $\psi_i(\mathbf{r}_j)$是第$i$个单粒子态在第$j$ 个粒子坐标处的取值。斯莱特行列式自动满足反对称性——交换任意两列（粒子坐标）会改变行列式的符号。

泡利原理的深远影响

泡利不相容原理不仅仅是原子物理中的一条规则，它决定了整个化学的基础——元素周期表的结构、化学键的形成、固体的能带结构等，都源于泡利原理。可以说，如果没有泡利不相容原理，我们所知的物质世界将不复存在。

对于玻色子，多粒子波函数由永久积（permanent）表示（与行列式类似但所有项取正号），允许多个玻色子占据同一量子态。

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六、对易关系与不确定性

6.1 正则对易关系

正则对易关系

位置算符与动量算符满足正则对易关系（canonical commutation relation, CCR）： $$[\hat{x}_i, \hat{p}_j] = i\hbar\delta_{ij}$$ 这是量子力学中最基本的代数关系，是正则量子化的核心。

正则对易关系可以视为量子力学与经典力学的"桥梁"——经典力学中，位置和动量的泊松括号为 $\lbrace x_i, p_j\rbrace _{\text{PB}} = \delta_{ij}$，而量子力学中的对易子与泊松括号的对应关系是狄拉克量子化规则的核心：

$$ \lbrace \cdot, \cdot\rbrace _{\text{PB}} \to \frac{1}{i\hbar}[\cdot, \cdot] $$

对易子的基本性质

对易子定义为 $[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}$，满足：

• 反对称性：$[\hat{A}, \hat{B}] = -[\hat{B}, \hat{A}]$
• 线性性：$[\hat{A}, a\hat{B} + b\hat{C}] = a[\hat{A}, \hat{B}] + b[\hat{A}, \hat{C}]$
• 雅可比恒等式：$[\hat{A}, [\hat{B}, \hat{C}]] + [\hat{B}, [\hat{C}, \hat{A}]] + [\hat{C}, [\hat{A}, \hat{B}]] = 0$
• 莱布尼茨规则：$[\hat{A}, \hat{B}\hat{C}] = [\hat{A}, \hat{B}]\hat{C} + \hat{B}[\hat{A}, \hat{C}]$

6.2 相容可观测量

两个算符 $\hat{A}$和$\hat{B}$ 称为相容的（compatible），如果它们对易：

$$ [\hat{A}, \hat{B}] = 0 $$

相容可观测量定理

两个可观测量可以同时具有确定值（即可以同时精确测量）的充要条件是它们对应的算符对易。此时，这两个算符拥有一组共同本征函数系。

证明思路：若 $[\hat{A}, \hat{B}] = 0$，则算符 $\hat{A}$和$\hat{B}$可以同时对角化。设$|a_n, b_n\rangle$ 是共同本征矢：

$$ \hat{A}|a_n, b_n\rangle = a_n|a_n, b_n\rangle, \quad \hat{B}|a_n, b_n\rangle = b_n|a_n, b_n\rangle $$

此时系统处于该共同本征态时，两个物理量都有确定的值。

相容与不相容的实例

• 相容：$\hat{L}^2$和$\hat{L}_z$（$[\hat{L}^2, \hat{L}_z] = 0$），可以同时精确测量总角动量的大小和 $z$ 分量
• 不相容：$\hat{x}$和$\hat{p}_x$（$[\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar$），不能同时精确测量位置和动量

6.3 不确定性原理的一般形式

罗伯逊-薛定谔不确定性关系

对于任意两个厄米算符 $\hat{A}$和$\hat{B}$，以及任意量子态 $|\psi\rangle$，有： $$\Delta A \cdot \Delta B \geq \frac{1}{2}\left|\langle[\hat{A}, \hat{B}]\rangle\right|$$ 更精确的罗伯逊-薛定谔形式为： $$(\Delta A)^2(\Delta B)^2 \geq \left|\frac{1}{2}\langle\lbrace \hat{A}, \hat{B}\rbrace \rangle - \langle\hat{A}\rangle\langle\hat{B}\rangle\right|^2 + \left|\frac{1}{2i}\langle[\hat{A}, \hat{B}]\rangle\right|^2$$ 其中 $\lbrace \hat{A}, \hat{B}\rbrace = \hat{A}\hat{B} + \hat{B}\hat{A}$ 是反对易子。

详细推导

定义 $\delta\hat{A} = \hat{A} - \langle\hat{A}\rangle$，$\delta\hat{B} = \hat{B} - \langle\hat{B}\rangle$。考虑辅助态 $|\Phi\rangle = (\delta\hat{A} + i\lambda\delta\hat{B})|\psi\rangle$，其中 $\lambda \in \mathbb{R}$。由内积的正定性：

$$ \langle\Phi|\Phi\rangle = \langle\psi|(\delta\hat{A} - i\lambda\delta\hat{B})(\delta\hat{A} + i\lambda\delta\hat{B})|\psi\rangle \geq 0 $$

展开得：

$$ (\Delta A)^2 + i\lambda\langle[\delta\hat{A}, \delta\hat{B}]\rangle + \lambda^2(\Delta B)^2 \geq 0 $$

注意到 $[\delta\hat{A}, \delta\hat{B}] = [\hat{A}, \hat{B}]$。上式对任意 $\lambda$ 成立的充要条件是判别式非正：

$$ (i\langle[\hat{A}, \hat{B}]\rangle)^2 - 4(\Delta A)^2(\Delta B)^2 \leq 0 $$

即：

$$ (\Delta A)^2(\Delta B)^2 \geq \frac{1}{4}|\langle[\hat{A}, \hat{B}]\rangle|^2 $$

这便是海森堡不确定性关系的一般形式。

位置-动量不确定性

取 $\hat{A} = \hat{x}$，$\hat{B} = \hat{p}_x$，由 $[\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar$，得赫赫有名的海森堡不确定性关系： $$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$$ 这是量子力学非经典性的最著名标志之一。

能量-时间不确定性

虽然时间不是算符（在标准量子力学中），但存在能量-时间不确定性关系： $$\Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}$$ 其中 $\Delta t$ 解释为系统状态发生显著变化所需的时间尺度，或激发态的平均寿命。这解释了为什么短寿命的激发态具有较大的能量不确定性（能级宽度）。

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七、表象理论

在量子力学中，选择不同的基矢来展开态矢量和算符，对应于不同的表象（representation）。不同表象在物理上是等价的，但数学上的便利性不同。

7.1 坐标表象

坐标表象以位置本征态 $\lbrace |x\rangle\rbrace $为基矢，态矢量$|\psi\rangle$ 在这个表象中的表示就是波函数：

$$ \psi(x) = \langle x|\psi\rangle $$

在坐标表象中：

• 位置算符：$\hat{x} \to x$（乘法算符）
• 动量算符：$\hat{p} \to -i\hbar\frac{d}{dx}$（微分算符）
• 内积：$\langle\varphi|\psi\rangle = \int \varphi^*(x)\psi(x)\thinspace{}dx$
• 正交归一性：$\langle x|x'\rangle = \delta(x - x')$
• 完备性：$\int |x\rangle\langle x|\thinspace{}dx = \hat{I}$

波函数的物理意义

波恩的统计诠释：$|\psi(x)|^2 dx$表示在位置$x$附近$dx$区间内找到粒子的概率密度。波函数$\psi(x)$ 本身是概率幅，其模方才是概率密度。这一解释是量子力学与实验观测之间的关键桥梁。

7.2 动量表象

动量表象以动量本征态 $\lbrace |p\rangle\rbrace $ 为基矢，态矢量在动量表象中的表示称为动量空间波函数：

$$ \tilde{\psi}(p) = \langle p|\psi\rangle $$

在动量表象中：

• 动量算符：$\hat{p} \to p$（乘法算符）
• 位置算符：$\hat{x} \to i\hbar\frac{d}{dp}$（微分算符）
• 完备性：$\int |p\rangle\langle p|\thinspace{}dp = \hat{I}$

坐标表象与动量表象之间的变换由傅里叶变换联系：

$$ \tilde{\psi}(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x)\thinspace{}e^{-ipx/\hbar}\thinspace{}dx $$

$$ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{\psi}(p)\thinspace{}e^{ipx/\hbar}\thinspace{}dp $$

表象选择的策略

坐标表象适合处理位置相关的问题（如势垒散射），动量表象适合处理动量相关的问题（如自由粒子传播）。选择恰当的表象可以大大简化计算。

7.3 能量表象

能量表象以哈密顿算符的本征态 $\lbrace |E_n\rangle\rbrace $（或更一般地写成 $\lbrace |n\rangle\rbrace $）为基矢。在能量表象中：

• 哈密顿算符是对角矩阵：$\langle m|\hat{H}|n\rangle = E_n\delta_{mn}$
• 态矢量由展开系数表示：$c_n = \langle n|\psi\rangle$
• 时间演化的描述特别简洁：$c_n(t) = c_n(0)e^{-iE_nt/\hbar}$

能量表象在定态微扰论、变分法等近似方法中有广泛应用。这也是矩阵力学（海森堡1925年提出）的自然表达方式。

7.4 表象变换

从一个表象到另一个表象的变换由幺正变换描述。设 $\lbrace |a_n\rangle\rbrace $和$\lbrace |b_n\rangle\rbrace $ 是两组不同的正交完备基，它们之间的变换矩阵为：

$$ S_{mn} = \langle b_m|a_n\rangle $$

矩阵 $S$ 是幺正的：$S^\dagger S = S S^\dagger = I$。

在表象变换下：

• 态矢量：$|\psi\rangle_B = S|\psi\rangle_A$（列向量）
• 算符：$\hat{O}_B = S\hat{O}_A S^\dagger$（相似变换）

幺正变换的不变性

幺正变换保持所有物理可观测量不变：

• 本征值不变
• 内积不变：$\langle\varphi_B|\psi_B\rangle = \langle\varphi_A|S^\dagger S|\psi_A\rangle = \langle\varphi_A|\psi_A\rangle$
• 对易关系不变
• 算符的迹不变

这体现了量子力学的表象无关性——物理不依赖于描述它的数学基矢。

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延伸阅读

经典文献

量子力学基本假设的公理化表述经历了漫长的发展过程。以下文献和笔记可供进一步参考：

• 量子力学专题 — 量子力学各专题的系统整理
• 波函数与薛定谔方程 — 薛定谔方程的详细求解与应用
• 角动量与自旋 — 角动量理论与自旋的量子力学
• 量子力学诠释 — 哥本哈根诠释、多世界诠释等
• 量子力学发展史 — 从普朗克到现代量子理论的历史脉络

建议阅读顺序

1. 先阅读本文，建立量子力学基本假设的整体框架
2. 然后阅读 波函数与薛定谔方程，掌握具体的求解方法
3. 结合 角动量与自旋 理解角动量的量子化
4. 最后通过 量子力学诠释 理解测量问题和量子力学的哲学基础

总结

量子力学的五条基本假设构成了一个自洽、完备的理论框架。它们虽然以公理化的形式呈现，但每一条都有深刻的物理背景和实验支持。理解这些基本假设，不是简单地记忆它们，而是要理解它们之间的逻辑关联以及它们与实验事实的对应关系。正如狄拉克所言："量子力学的基本定律以数学美的形式呈现，这种美也许是自然界最深层的属性。"