电表改装与万用表

概览

本节将"小量程表头"拓展为"大量程电表"。首先介绍电流计（表头）的三个核心参数：满偏电流 $I_g$、内阻 $R_g$、满偏电压 $U_g=I_g R_g$。然后讨论两种改装方案：串联分压电阻改装为电压表、并联分流电阻改装为电流表。接着引入欧姆表原理——内部电源+可变电阻+表头构成的闭合电路，并解释欧姆表刻度"左密右疏、零刻度在右"的不均匀特征。最后讨论万用表（多用电表）的使用方法与注意事项，以及电压表内阻对测量的影响。本节是 07-电学实验的工具基础。

核心概念

1. 电流计（表头）参数

电流计（也叫灵敏电流计、表头）：能测量微小电流的仪表，常为磁电式结构（线圈在磁场中受力矩偏转）。

三个核心参数：

参数	符号	物理意义	关系
满偏电流	$I_g$	指针满偏时通过表头的电流	一般为$\mu\text{A}\sim\text{mA}$ 量级
内阻	$R_g$	表头线圈的电阻	一般为几十$\Omega\sim$几千$\Omega$
满偏电压	$U_g$	指针满偏时表头两端电压	$U_g=I_g R_g$

关键关系：$U_g = I_g R_g$（由欧姆定律）。

注意

表头既能"测电流"（串联在电路中读电流），也能"测电压"（并联在元件两端读电压）——本质上测的是通过自身的电流，并显示为指针偏转。但量程都很小（$\mu\text{A}\sim\text{mA}$ 级），无法直接测大电流或高电压。

2. 改装为电压表（串联分压电阻）

目标：扩大电压量程。

原理：利用串联电路"分压"——给表头串联一个分压电阻 $R$，使其分担多余电压，让表头仅承受 $U_g=I_g R_g$。

改装公式推导：

设改装后量程为 $U$（即 $U$ 是新电压表满偏时的总电压）；
满偏时电流为 $I_g$（流过表头，也流过分压电阻）；
总电阻：$R_{\text{总}}=R_g+R=\dfrac{U}{I_g}$；
故分压电阻： $$ \boxed{R = \dfrac{U}{I_g} - R_g = \dfrac{U - U_g}{I_g}} $$

改装后电压表内阻： $$ R_V = R_g + R = \dfrac{U}{I_g} $$

关键观察

电压表内阻 $R_V=U/I_g$——量程越大，内阻越大！这是高考常考点。改装后电压表的本质 = 表头 + 大电阻 = 一个"大内阻电压表"。

3. 改装为电流表（并联分流电阻）

目标：扩大电流量程。

原理：利用并联电路"分流"——给表头并联一个分流电阻 $R$，使其分走多余电流，让表头仅流过 $I_g$。

改装公式推导：

设改装后量程为 $I$（即 $I$ 是新电流表满偏时的总电流）；
满偏时表头流过 $I_g$，分流电阻流过 $I-I_g$；
并联电压相等：$I_g R_g = (I-I_g)R$；
故分流电阻： $$ \boxed{R = \dfrac{I_g R_g}{I - I_g} = \dfrac{U_g}{I - I_g}} $$

改装后电流表内阻： $$ R_A = \dfrac{R_g\cdot R}{R_g+R} = \dfrac{I_g R_g}{I} = \dfrac{U_g}{I} $$

关键观察

电流表内阻 $R_A=U_g/I$——量程越大，内阻越小！改装后电流表的本质 = 表头 + 小电阻 = 一个"小内阻电流表"。

4. 欧姆表原理

结构：内部包含一个电源（电动势 $\varepsilon$、内阻 $r$）、一个可变电阻（调零电阻 $R_0$）、一个表头（$I_g$、$R_g$），三者串联。

测量原理：将被测电阻 $R_x$ 接入两表笔之间，构成闭合电路：

$$ I = \dfrac{\varepsilon}{R_g + r + R_0 + R_x} $$

由 $R_x$反推$I$，故可通过表头电流读出对应电阻。

调零过程：

红黑表笔短接（$R_x=0$）：调节 $R_0$使指针满偏，此时$I=I_g$，对应"零电阻"刻度——故零刻度在右端（满偏位置）。
红黑表笔断开（$R_x\to\infty$）：$I=0$，指针不偏转——故"无穷大电阻"刻度在左端（零电流位置）。

欧姆表刻度的特点

零刻度在右（满偏电流位置对应 $R_x=0$）；
无穷大刻度在左（零电流位置对应 $R_x=\infty$）；
刻度不均匀——左密右疏（详见推导）；
刻度顺序与电流相反：电流刻度左小右大，电阻刻度左大右小。

图示：欧姆表测电阻操作四步流程

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flowchart TD
    A[开始测量] --> B[机械调零<br/>调表盘下方螺丝<br/>指针对准左端零]
    B --> C[选档<br/>估测 Rx 大小<br/>选接近中值电阻档]
    C --> D[欧姆调零<br/>红黑表笔短接<br/>调旋钮使指针满偏右端]
    D --> E[测量读数<br/>表笔接触 Rx<br/>读数×倍率]
    E --> F{换档?}
    F -->|是| D
    F -->|否| G[关机<br/>旋至 OFF 档<br/>或交流电压最高档]
    style A fill:#e1f5ff,stroke:#0288d1
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    style G fill:#e1f5ff,stroke:#0288d1

5. 欧姆表刻度不均匀的原理

由 $I=\dfrac{\varepsilon}{R_{\text{内}}+R_x}$，其中 $R_{\text{内}}=R_g+r+R_0$ 为欧姆表内阻（调零后确定）。

调零时 $R_x=0$、$I=I_g=\dfrac{\varepsilon}{R_{\text{内}}}$，故 $R_{\text{内}}=\varepsilon/I_g$。

测电阻时： $$ R_x = \dfrac{\varepsilon}{I} - R_{\text{内}} = R_{\text{内}}\negthinspace\left(\dfrac{I_g}{I} - 1\right) $$

可见 $R_x$与$I$ 为反比关系（带偏移），不是线性关系。$R_x$随$I$ 减小而非线性增大：

当 $I$较大（接近$I_g$）时，$R_x$较小，且$R_x$随$I$ 变化快（"右疏"——电阻变化大但电流变化小，刻度稀疏）；
当 $I$ 较小（接近 0）时，$R_x$较大，且$R_x$随$I$ 变化慢（"左密"——电阻变化小但电流变化大，刻度密集）。

中值电阻

当 $R_x=R_{\text{内}}$ 时，$I=I_g/2$——指针指在表盘中央，此时被测电阻等于欧姆表内阻，称为中值电阻。中值电阻 = $R_{\text{内}}=\varepsilon/I_g$，是欧姆表的重要参数。

选择欧姆表量程时，应使被测电阻接近中值电阻——此时读数最准确（刻度最均匀处）。

6. 万用表（多用电表）

结构：由电流计、各种分流/分压电阻、内部电源、转换开关组合而成，可实现：

电流档：直流电流测量（基于电流表改装原理）；
电压档：直流/交流电压测量（基于电压表改装原理）；
电阻档：电阻测量（基于欧姆表原理）。

使用方法与注意事项：

欧姆表使用规范

机械调零：使用前先调整表盘下方的机械调零螺丝，使指针指在左端零刻度；
选档：根据估测选择合适量程（被测电阻与中值电阻相近为佳）；若不知大致范围，先选中间档估测；
欧姆调零：每次换档后必须将红黑表笔短接，调节欧姆调零旋钮使指针满偏（指右端零刻度）；
测量：将表笔接触被测电阻两端，注意双手不能同时接触表笔金属部分（人体电阻并联影响读数）；
读数：电阻值 = 表盘读数 × 倍率；
关机：测量完毕将选择开关旋至 "OFF" 或交流电压最高档（防止误用时损坏表头）。

红黑表笔的接法

欧姆表内部电源正极接黑表笔、负极接红表笔（与"红正黑负"的电压/电流档习惯相反！）。这是为何测二极管正向电阻时红表笔接负极、黑表笔接正极。

7. 电压表内阻对测量的影响

理想电压表：$R_V\to\infty$，并联接入电路时不影响原电路。

实际电压表：$R_V$ 有限，并联后使被测两点间等效电阻减小，导致测得电压偏小（系统误差）。

何时电压表内阻影响可忽略？

当被测部分电阻 $R\ll R_V$时，电压表分流影响小，误差可忽略。一般要求$R_V\ge 1000 R$ 才能视为理想表。

测大电阻两端电压时，电压表内阻影响显著；
测小电阻两端电压时，电压表内阻影响可忽略。

类似地，电流表内阻 $R_A$串联接入电路后增加电路总电阻，使电流测得值偏小。当$R_A\ll R$ 时影响可忽略。

推导与原理

一、改装电压表公式详细推导

设表头参数 $I_g$、$R_g$，改装后量程 $U$。

满偏时表头流过电流 $I_g$，两端电压 $U_g=I_g R_g$。

串联分压电阻 $R$上分得电压$U-U_g$，电流同为 $I_g$，故： $$ R = \dfrac{U-U_g}{I_g} = \dfrac{U}{I_g}-R_g $$

改装后总电阻 $R_V=R_g+R=U/I_g$，与表头 $I_g$ 共同决定。

二、改装电流表公式详细推导

设表头参数 $I_g$、$R_g$，改装后量程 $I$。

满偏时表头流过 $I_g$，分流电阻 $R$流过$I-I_g$。

并联电压相等：$I_g R_g=(I-I_g)R$，故： $$ R = \dfrac{I_g R_g}{I-I_g} $$

改装后总电阻（并联）： $$ R_A = \dfrac{R_g R}{R_g+R} = \dfrac{R_g\cdot\dfrac{I_g R_g}{I-I_g}}{R_g+\dfrac{I_g R_g}{I-I_g}}=\dfrac{R_g\cdot I_g}{I} = \dfrac{U_g}{I} $$

三、欧姆表中值电阻推导

调零时 $R_x=0$、$I=I_g$： $$ I_g = \dfrac{\varepsilon}{R_{\text{内}}}\thickspace\Rightarrow\thickspace R_{\text{内}}=\dfrac{\varepsilon}{I_g} $$

测电阻 $R_x=R_{\text{内}}$ 时： $$ I = \dfrac{\varepsilon}{R_{\text{内}}+R_x} = \dfrac{\varepsilon}{2R_{\text{内}}} = \dfrac{I_g}{2} $$

即指针指中央，故 $R_{\text{内}}$ 称为中值电阻。

四、电压表内阻引起测量误差的定量分析

设被测电阻真实值为 $R_0$，与电压表（内阻 $R_V$）并联，外接电压 $U$，电流 $I$。

并联等效电阻：$R_{\text{并}}=\dfrac{R_0 R_V}{R_0+R_V}<R_0$。

测得电阻 $R_{\text{测}}=U/I=R_{\text{并}}<R_0$——测量值偏小。

相对误差： $$ \delta = \dfrac{R_0-R_{\text{测}}}{R_0} = \dfrac{R_0}{R_0+R_V}\approx\dfrac{R_0}{R_V}\quad(R_V\gg R_0) $$

故 $R_V$ 越大、$R_0$ 越小，误差越小——这与 07-电学实验中"小电阻用外接法"的结论一致。

典型实例与类比

类比：水管压力表与流量计

电压表像"压力表"——测两点水压差，本身需"细管"（高内阻）以免影响压力；
电流表像"流量计"——串联在水管中测流量，本身需"宽管"（低内阻）以免影响流量；
欧姆表像"测阻力仪"——内部自带水泵（电源），通过测量流量反推管路阻力。

实例 1：万用表判别二极管极性

将欧姆表红黑表笔分别接二极管两端，读两次电阻：

阻值小的一次：黑表笔接正极（黑表笔内部接电源正极，提供正向电压使二极管导通）；
阻值大的一次：黑表笔接负极（反向截止）。

实例 2：电压表内阻引起的"负载效应"

测量大电阻 $R_0=1\thinspace\text{M}\Omega$两端电压，用电压表内阻$R_V=1\thinspace\text{M}\Omega$测量：并联等效电阻仅$0.5\thinspace\text{M}\Omega$——测得电压仅为真实值的一半！必须用 $R_V\ge 1000\thinspace\text{M}\Omega$ 的高内阻电压表（如静电电压表、示波器探头）才能准确测高电阻电路。

实例 3：电流表内阻引起的误差

测量小电流电路中电流 $I_0=1\thinspace\text{mA}$，电流表内阻 $R_A=1\thinspace\Omega$串联接入电路：若电路原电阻$R=100\thinspace\Omega$，则串联后总电阻变为 $101\thinspace\Omega$，电流变为 $100/101\thinspace\text{mA}\approx 0.990\thinspace\text{mA}$，误差 1%。可接受。

但若电路原电阻仅 $R=1\thinspace\Omega$，串联后 $R_{\text{总}}=2\thinspace\Omega$，电流变为一半——误差 50%，不可接受。

例题

例 1：改装电压表

题目：表头满偏电流 $I_g=1\thinspace\text{mA}$，内阻 $R_g=100\thinspace\Omega$。要改装成量程 $U=10\thinspace\text{V}$ 的电压表。求：（1）串联分压电阻 $R$；（2）改装后电压表内阻 $R_V$；（3）若用它测 $R_0=5\thinspace\text{k}\Omega$ 电阻两端电压，电压表内阻引起的相对误差。

分析：直接套改装公式，相对误差 $\delta\approx R_0/R_V$。

解答：

（1）$R = \dfrac{U}{I_g}-R_g = \dfrac{10}{1\times10^{-3}}-100 = 10000-100 = 9900\thinspace\Omega = 9.9\thinspace\text{k}\Omega$。

（2）$R_V=R_g+R=100+9900=10\thinspace\text{k}\Omega$（或 $R_V=U/I_g=10/10^{-3}=10\thinspace\text{k}\Omega$）。

（3）相对误差： $$ \delta=\dfrac{R_0}{R_0+R_V}=\dfrac{5000}{5000+10000}\approx33.3\% $$ 误差极大！这种电压表不适合测大电阻电路，需更高内阻电压表。

点评：本题说明"改装后内阻 $R_V=U/I_g$"的物理意义——$I_g$越小、量程越大，则内阻越大、对电路影响越小。这是为何精密电压表用小$I_g$ 表头改装。

例 2：改装电流表

题目：表头 $I_g=2\thinspace\text{mA}$、$R_g=200\thinspace\Omega$。要改装成量程 $I=1\thinspace\text{A}$ 的电流表。求：（1）并联分流电阻 $R$；（2）改装后电流表内阻 $R_A$。

分析：套改装公式。

解答：

（1）$R=\dfrac{I_g R_g}{I-I_g}=\dfrac{2\times10^{-3}\times 200}{1-2\times10^{-3}}\approx\dfrac{0.4}{0.998}\approx 0.401\thinspace\Omega$。

（2）$R_A=\dfrac{U_g}{I}=\dfrac{I_g R_g}{I}=\dfrac{0.4}{1}=0.4\thinspace\Omega$（或 $R_A=R_g\parallel R\approx0.4\thinspace\Omega$）。

点评：改装电流表量程 1 A 时内阻仅 0.4 Ω——大电流量程、小内阻，与电压表相反。

例 3：欧姆表测电阻

题目：欧姆表内部电源 $\varepsilon=1.5\thinspace\text{V}$（内阻可忽略），表头 $I_g=3\thinspace\text{mA}$、$R_g=100\thinspace\Omega$，调零电阻调好后，测一未知电阻 $R_x$时指针指在$I=1\thinspace\text{mA}$ 处。求：（1）欧姆表内阻 $R_{\text{内}}$（即中值电阻）；（2）被测电阻 $R_x$；（3）若电源使用一段时间后电动势降为 1.4 V（仍调零），重新测同一 $R_x$ 时指针电流。

分析：套用欧姆表公式 $I=\varepsilon/(R_{\text{内}}+R_x)$。

解答：

（1）$R_{\text{内}}=\varepsilon/I_g=1.5/(3\times10^{-3})=500\thinspace\Omega$（中值电阻）。

（2）由 $I=\varepsilon/(R_{\text{内}}+R_x)$： $$ 1\times10^{-3} = \dfrac{1.5}{500+R_x}\thickspace\Rightarrow\thickspace{}R_x=1000\thinspace\Omega $$

（3）电源电动势降为 1.4 V，重新调零后 $R'_{\text{内}}=\varepsilon'/I_g=1.4/(3\times10^{-3})\approx466.7\thinspace\Omega$。再测 $R_x=1000\thinspace\Omega$： $$ I'=\dfrac{1.4}{466.7+1000}\approx\dfrac{1.4}{1466.7}\approx0.954\thinspace\text{mA} $$ 读得电阻值（按原刻度反推）：$\dfrac{1.4}{0.954\times10^{-3}}-466.7\approx1000\thinspace\Omega$——理论上能正确读数（因为调零已修正电动势变化）。

点评：电动势变化只要重新调零就能修正——这是为何欧姆表强调"每次换档必先调零"。

易错提醒

易错点

电压表内阻 $R_V=U/I_g$：量程越大、$I_g$ 越小，内阻越大——与"高内阻理想电压表"一致。
电流表内阻 $R_A=U_g/I$：量程越大、内阻越小——与"低内阻理想电流表"一致。
欧姆表零刻度在右、无穷大在左：与电流刻度方向相反！
欧姆表每次换档必须调零：否则读数错误。
欧姆表刻度不均匀——左密右疏：因 $R_x$与$I$ 反比非线性关系。
测电阻时不能双手接触表笔金属部分：人体并联使读数偏小。
欧姆表内部红表笔接电源负极、黑表笔接电源正极：与电压/电流档习惯相反。
电压表内阻不是无穷大：测大电阻时影响显著；电流表内阻不是零：测小电流电路时影响显著。

概念辨析

理想电表 vs 实际电表：

理想电压表 $R_V\to\infty$，理想电流表 $R_A=0$——电路分析时常做此假设；
实际电表 $R_V$、$R_A$ 有限，分析测量误差时必须考虑。

表头 $I_g$vs 量程$I$/$U$：

$I_g$ 是表头本身的满偏电流，与外接电阻无关；
量程 $I$、$U$ 是改装后的可测最大值，由分压/分流电阻决定。

与其他知识关联

与 01-电流与欧姆定律的关系：欧姆定律是计算分压、分流电阻的基础。
与 02-电阻与电阻定律的关系：分压、分流电阻均按电阻定律选取。
与 04-串并联电路的关系：电压表改装用串联、电流表改装用并联——典型应用。
与 05-闭合电路欧姆定律的关系：欧姆表原理即闭合电路欧姆定律的直接应用。
与 07-电学实验的关系：电压表、电流表、欧姆表是电学实验三大工具，内阻影响分析是伏安法误差分析的核心。
与 03-电势与电势能的关系：电压表测的是电势差，本质由电场力做功定义。
大学层面延伸：电磁学中讨论磁电式、电磁式、感应式电表的测量原理与精度；数字万用表基于 A/D 转换、内阻极大（$\text{M}\Omega$ 级）。
跨学科：电子工程中"输入阻抗匹配"原理与电压表内阻概念相通；生物医学测量中电极内阻同样影响生物电位测量。

作者的话

个人理解

本节的核心思想是"四两拨千斤"——一个微小量程的表头，配上恰当的电阻网络，就能测量任意量程的电压、电流、电阻。这种"以小见大"的设计思想，贯穿整个电学测量技术，从模拟万用表到数字示波器，无不如此。

三个关键公式值得反复推敲：

改装电压表内阻 $R_V=U/I_g$；
改装电流表内阻 $R_A=U_g/I$；
欧姆表中值电阻 $R_{\text{中}}=\varepsilon/I_g$。

这三式都呈现"量程 / 表头参数"的形式，反映了改装电表的本质：用表头的"小参数"撑起量程的"大尺度"。$I_g$ 越小，改装后的电表越接近理想表——这就是为何精密电表都用极灵敏表头。

欧姆表的"左密右疏"是高中物理少有的"非线性刻度"实例。理解它需要从 $I=\varepsilon/(R_{\text{内}}+R_x)$ 这一非线性反比关系入手——这正是为何中值电阻附近读数最准（线性近似最好）。这种"非线性区寻找最优工作点"的思想，在传感器设计中极为重要。

另一个值得深思的点：电压表内阻有限带来的"负载效应"——测量过程本身会改变被测系统。这种"观测者效应"在量子力学中被推到极致（海森堡测不准），但在经典电学中已显雏形。每次实验都需考虑"测量工具是否扰动系统"——这是实验物理的基本素养。

学习建议：把"电压表=表头+大电阻""电流表=表头+小电阻""欧姆表=表头+电源+可变电阻"三个改装方案画成对比表，配套推导每个公式。然后做几道"考虑电表内阻"的综合题，体会"理想电表近似"何时成立、何时不成立——这是衔接 07-电学实验中内接法/外接法选择的关键。

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电表改装与万用表 ​

核心概念 ​

1. 电流计（表头）参数 ​

2. 改装为电压表（串联分压电阻） ​

3. 改装为电流表（并联分流电阻） ​

4. 欧姆表原理 ​

5. 欧姆表刻度不均匀的原理 ​

6. 万用表（多用电表） ​

7. 电压表内阻对测量的影响 ​

推导与原理 ​

一、改装电压表公式详细推导 ​

二、改装电流表公式详细推导 ​

三、欧姆表中值电阻推导 ​

四、电压表内阻引起测量误差的定量分析 ​

典型实例与类比 ​

类比：水管压力表与流量计 ​

实例 1：万用表判别二极管极性 ​

实例 2：电压表内阻引起的"负载效应" ​

实例 3：电流表内阻引起的误差 ​

例题 ​

例 1：改装电压表 ​

例 2：改装电流表 ​

例 3：欧姆表测电阻 ​

易错提醒 ​

与其他知识关联 ​

作者的话 ​