平面镜与球面镜成像

概览

本节在 01-光的直线传播与反射的反射定律基础上，系统讨论反射型光学元件的成像规律。从平面镜成像特点（等大、等距、虚像、左右倒换）入手，深化实像与虚像的本质区别；进而引入球面镜——凹面镜（会聚）与凸面镜（发散），讨论其焦点（凹面镜实焦点、凸面镜虚焦点）、焦距、成像公式 $\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{v}=\dfrac{1}{f}$、三条特殊光线作图法、横向放大率 $m=v/u$；最后给出凸面镜（后视镜、广角镜）与凹面镜（太阳灶、探照灯、反射式望远镜）的典型应用。球面镜成像公式与符号法则是本节难点，02-全反射与光学器件/03-薄透镜成像规律中透镜成像公式与之同构，本节为后续透镜学习奠定符号约定基础。

核心概念

一、平面镜成像规律再深化

平面镜成像的四大特点已在 01-光的直线传播与反射中给出：等大、等距、虚像、左右倒换。本节从成像角度作进一步深化。

成像的几何本质：物点 $S$发出的发散光束经镜面反射后仍为发散光束，其反向延长线交于像点$S'$——$S'$与$S$ 关于镜面对称。反射光束本身未真正汇聚，故成虚像。

像与物的对应关系：

性质	物	像
大小	高 $h$	高$h$（等大）
距离	距镜 $u$	距镜$u$（等距）
类型	实物	虚像
朝向	上下不变、左右倒换	上下不变、左右倒换
实/虚	实物（光实际发出）	虚像（反向延长汇聚）

像的"近大远小"辨析：平面镜中像大小永不改变，不论物距如何。"近大远小"是观察者视角变化造成的视觉错觉——像对人眼所张视角 $\alpha\approx h/(2u)$随$u$减小而增大，但像本身高度始终为$h$。

二、实像与虚像

实像：实际光线汇聚所成的像。特点：

实际光线在像点相交；
可用屏承接（光屏上有实际光能落点）；
通常倒立（相对物）；
例：小孔成像、凹面镜成实像、凸透镜成实像。

虚像：实际光线的反向延长线汇聚所成的像。特点：

实际光线在像点不相交，仅其反向延长线相交；
不能用屏承接（屏上无对应光点）；
通常正立（相对物）；
例：平面镜成像、凸面镜成像、凹透镜成像、眼睛看到的"水中鱼"。

实像 vs 虚像的本质

实像与虚像的根本区别在于实际光线是否在像点相交。能"用屏承接"是实像的检验方法而非定义——其物理本质是光线在像点的真实汇聚。眼睛能"看见"虚像，是因为人眼透镜将发散光束再次汇聚于视网膜形成实像。

三、球面镜的分类

球面镜：反射面为球面一部分的反射镜。按反射面形状分为：

类型	反射面	对光束作用	焦点性质	典型应用
凹面镜（concave）	球内表面（凹面）	会聚	实焦点	太阳灶、探照灯、反射式望远镜
凸面镜（convex）	球外表面（凸面）	发散	虚焦点	后视镜、广角镜、防盗镜

球面镜的几何要素：

顶点 $O$：球面与主光轴的交点（即镜面中心）。
主光轴：过球心 $C$与顶点$O$ 的直线。
球心 $C$：球面的几何中心。
曲率半径 $R$：球心到镜面任一点的距离。
焦点 $F$：主光轴上特定点，满足 $OF = f = R/2$。
焦距 $f$：顶点到焦点的距离，$f = R/2$。

焦距与曲率半径的关系

球面镜焦距是曲率半径的一半：$f = R/2$。这一关系在近轴光线（傍轴光线）条件下成立——所谓近轴，指光线与主光轴夹角很小，$\sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta$。

四、球面镜的焦点与焦距

1. 凹面镜——实焦点

平行于主光轴的近轴光线经凹面镜反射后实际汇聚于主光轴上一点 $F$，$F$ 称为凹面镜的实焦点——因光线真实汇聚于此，可用屏承接。

焦距 $f = R/2 > 0$（凹面镜约定 $f$ 取正）。

2. 凸面镜——虚焦点

平行于主光轴的近轴光线经凸面镜反射后发散，其反向延长线汇聚于主光轴上一点 $F$，$F$ 称为凸面镜的虚焦点——光线实际不经过此点。

焦距 $f = -R/2 < 0$（凸面镜约定 $f$ 取负）。

mermaid

graph LR
    subgraph 凹面镜
        P1[平行光] --> M1[凹面镜]
        M1 -->|汇聚| F1[实焦点 F]
    end
    subgraph 凸面镜
        P2[平行光] --> M2[凸面镜]
        M2 -->|发散| D2[发散光]
        D2 -.反向延长.-> F2[虚焦点 F]
    end

五、球面镜成像公式与符号法则

球面镜成像公式（近轴条件下）：

$$ \boxed{\thinspace\dfrac{1}{u} + \dfrac{1}{v} = \dfrac{1}{f}\thinspace} $$

其中 $u$ 为物距、$v$ 为像距、$f$ 为焦距。

符号法则（"实正虚负"约定）：

量	实	虚
物距 $u$	实物$u>0$	虚物$u<0$（少见）
像距 $v$	实像$v>0$	虚像$v<0$
焦距 $f$	凹面镜（实焦点）$f>0$	凸面镜（虚焦点）$f<0$

高中符号约定

高中物理中实物 $u$恒取正值（题目中物总是实物，不涉及虚物）。学生只需关注$v$与$f$的正负：凹面镜$f>0$，凸面镜 $f<0$；实像 $v>0$，虚像 $v<0$。这与大学层面光学中"笛卡尔符号约定"略有不同，但思路一致。

六、横向放大率

横向放大率 $m$：像高 $h'$与物高$h$ 之比：

$$ \boxed{\thinspace{}m = \dfrac{h'}{h} = -\dfrac{v}{u}\thinspace} $$

符号规定：

$m>0$：像正立（与物同方向）；
$m<0$：像倒立（与物反方向）；
$|m|>1$：放大；$|m|<1$：缩小；$|m|=1$：等大。

公式中负号的意义

公式 $m=-v/u$中的负号是为了同时表达"倒立"。若$u>0$（实物）、$v>0$（实像），则 $m<0$表示倒立；若$u>0$、$v<0$（虚像），则 $m>0$ 表示正立。这与凸面镜恒成正立缩小虚像、凹面镜成实像时倒立的事实完全一致。

七、凹面镜成像规律表

设凹面镜 $f>0$，焦距为 $f$，球心半径 $R = 2f$。

物距 $u$	像距$v$	像的性质	放大率$m$	应用
$u\to\infty$	$v=f$	实像点	$0$	探照灯反光碗（反向用）
$u>2f$（$u>R$）	$f<v<2f$	倒立缩小实像	$	m
$u=2f$（$u=R$）	$v=2f$	倒立等大实像	$m=-1$	—
$f<u<2f$	$v>2f$	倒立放大实像	$	m
$u=f$	$v\to\infty$	平行光（不成像）	$\to\infty$	探照灯、手电筒反光碗
$u<f$	$v<0$	正立放大虚像	$m>1$	化妆放大镜（凹面反射）

八、凸面镜成像规律

凸面镜 $f<0$，恒成正立、缩小、虚像，像在镜后。

不论物距 $u$多大（只要$u>0$），凸面镜都成正立缩小虚像，$v<0$、$|v|<u$、$|m|<1$。

应用价值：扩大视野——同样大小的镜面，凸面镜可成像更大范围的物体，故汽车后视镜、路口广角镜、防盗镜均用凸面镜。

为什么凸面镜扩大视野？

凸面镜将大角度入射的光"压缩"到小角度反射方向，使观察者在小镜中看到大范围场景。代价是像缩小、距离感失真——司机看到的后车比实际远。

推导与原理

一、球面镜成像公式推导（近轴条件）

设凹面镜球心 $C$、顶点 $O$、焦点 $F$（$OF=f$）。物点 $P$在主光轴上距$O$为$u$，经反射成像于 $P'$，像距 $v$。考虑一条从 $P$发出、与主光轴夹角$\alpha$的近轴光线，入射点$A$距轴高$h$，反射角与入射角均为 $\theta$（相对法线 $CA$）。

近轴近似下 $\sin\alpha\approx\tan\alpha\approx\alpha$，由几何关系：

$\alpha \approx h/u$（物方张角）
$\beta \approx h/v$（像方张角）
$\gamma \approx h/R$（法线张角，$R$ 为球面半径）

由反射定律，入射角与反射角相等，几何上有 $\gamma = \alpha + \theta$、$\theta = \beta + \gamma$（外角关系），消去 $\theta$得$2\gamma = \alpha + \beta$，即：

$$ \dfrac{2h}{R} = \dfrac{h}{u} + \dfrac{h}{v} $$

整理得：

$$ \boxed{\thinspace\dfrac{1}{u} + \dfrac{1}{v} = \dfrac{2}{R} = \dfrac{1}{f}\thinspace} $$

故 $f = R/2$，与之前结论一致。此公式在近轴条件下严格成立。

二、三条特殊光线作图法

球面镜成像作图依赖于三条特殊光线，由任意两条即可定像点。

凹面镜的三条特殊光线

平行于主光轴的光线：经凹面镜反射后过焦点 $F$（实焦点）。
过焦点 $F$ 的光线：经凹面镜反射后平行于主光轴。
过球心 $C$的光线：沿原路返回（因$CA$ 为法线，入射角为零）。
过顶点 $O$ 的光线：以主光轴为法线，入射角等于反射角（对称反射）。

"过球心沿原路返回"的原因

过球心 $C$ 的光线沿球面半径方向，半径方向即为法线方向，故入射角为零、反射角为零，光沿原路返回。

凸面镜的三条特殊光线

平行于主光轴的光线：经凸面镜反射后发散，其反向延长线过虚焦点 $F$（镜后）。
指向焦点 $F$（镜后虚焦点）的光线：经凸面镜反射后平行于主光轴。
指向球心 $C$（镜后）的光线：沿原路返回。

mermaid

graph LR
    O[物点 P] -->|光线1 平行轴| A[镜面 A]
    A -->|反射过 F| P1[像点 P']
    O -->|光线2 过 F| B[镜面 B]
    B -->|反射平行轴| P1
    O -->|光线3 过 C| C[镜面 沿原路返回]
    style P1 fill:#fff4e1,stroke:#f57c00

三、作图步骤示例（凹面镜成实像）

设物 $AB$ 直立于主光轴，$A$ 端在轴上、$B$端在轴上方，物距$u$（$f<u<2f$）。

由 $B$作平行于主光轴的光线，入射镜面于$M$，反射光过焦点 $F$。
由 $B$作过球心$C$的光线，入射镜面于$N$，反射光沿原路返回。
两反射光交点 $B'$即$B$ 的像点。
由 $B'$作主光轴垂线，垂足$A'$即$A$ 的像点，$A'B'$ 即像。

判断：$u$在$(f, 2f)$ 区间时，$B'$在$B$ 的另一侧主光轴下方，像倒立放大实像，与成像表一致。

四、费马原理视角的成像

球面镜成像公式可从 04-费马原理与光程角度理解：物像间所有光路的光程相等（等光程性），这是成像的几何光学条件。详细的费马原理推导见 04-费马原理与光程。

典型实例与类比

实例 1：汽车后视镜（凸面镜）

汽车左右后视镜多为凸面镜，原因：

扩大视野——比同样大小的平面镜能看到更大范围的物体。
成正立缩小虚像——便于司机快速判断方位。
缺点：像缩小、距离感失真，" objects in mirror are closer than they appear "（镜中物体比看起来更近）。

实例 2：太阳灶（凹面镜）

太阳灶是一个大口径凹面镜，将太阳光（近似平行光）汇聚于焦点 $F$。焦点处温度可达数百至上千摄氏度，足以加热水壶、煮饭。理论聚光比正比于口径面积与焦斑面积之比，受衍射极限与镜面精度限制。

实例 3：探照灯与手电筒反光碗

探照灯将光源置于凹面镜焦点处——由焦点发出的光经凹面镜反射后平行于主光轴射出，形成强方向性光束。手电筒、汽车前灯、舞台聚光灯均用此原理。

光源置于焦点 ↔ 平行光入射汇聚于焦点

这正是光路可逆的体现：平行光入射会汇聚于焦点；光源置于焦点则反射后出射平行光。

实例 4：反射式望远镜

牛顿反射式望远镜用一个大口径凹面镜作为物镜，将远处天体（视为无穷远物点）的平行光汇聚于焦点，形成实像点；再用目镜放大观察。反射式望远镜相对折射式有无色差的优点（反射无色散，参见 02-全反射与光学器件/02-棱镜与色散），且大口径制造更容易，是现代大型天文望远镜的主流。

类比：凹面镜 ↔ 凸透镜

凹面镜对光束的会聚作用类似凸透镜，二者都使平行光汇聚于焦点、都可成实像或虚像；凸面镜类似凹透镜，二者都使光束发散、恒成正立缩小虚像。区别在于：球面镜基于反射，透镜基于折射；透镜有色差，反射镜无色差。这种"反射—折射"对应在 03-光的折射与折射率与 02-全反射与光学器件/03-薄透镜成像规律中将不断重现。

记忆口诀

凹面会聚凸面散，实焦凹虚焦凸，焦距半曲率；实物正、实像正、虚像负，凹镜正焦凸镜负；一加一倒数等于一倒数。平行光过焦点，过焦反射平行轴，过心沿原路返回。

例题

例 1：基础——凹面镜成像计算

题目：一凹面镜曲率半径 $R=40\thinspace\text{cm}$。物体高 $h=2\thinspace\text{cm}$，置于镜前 $u=30\thinspace\text{cm}$ 处。求像距、像高、像的性质。

分析：$f=R/2=20\thinspace\text{cm}$。由 $\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{v}=\dfrac{1}{f}$求$v$，再由 $m=-v/u$ 求放大率与像高。

解答：

$$ \dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{v} = \dfrac{1}{20}\Rightarrow \dfrac{1}{v} = \dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{30} = \dfrac{3-2}{60} = \dfrac{1}{60} $$

得 $v=60\thinspace\text{cm}>0$，实像，在镜前 $60\thinspace\text{cm}$ 处。

放大率：$m=-\dfrac{v}{u}=-\dfrac{60}{30}=-2$，$|m|=2$。

像高：$h'=m\cdot h=-2\times 2=-4\thinspace\text{cm}$，倒立放大实像，像高 $4\thinspace\text{cm}$。

点评：$u$在$(f, 2f)=(20,40)$区间，理论应成倒立放大实像，与计算一致。注意$h'=-4$ 中负号表示倒立。

例 2：进阶——凸面镜成像

题目：一凸面镜曲率半径 $R=30\thinspace\text{cm}$（$f=-15\thinspace\text{cm}$）。物体高 $h=4\thinspace\text{cm}$，置于镜前 $u=20\thinspace\text{cm}$ 处。求像距、像高，并判断像的性质。

分析：$f<0$，用成像公式代入符号计算。

解答：

$$ \dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{v} = \dfrac{1}{-15}\Rightarrow \dfrac{1}{v} = -\dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{20} = -\dfrac{4+3}{60}=-\dfrac{7}{60} $$

得 $v=-\dfrac{60}{7}\approx -8.57\thinspace\text{cm}<0$，虚像，在镜后 $8.57\thinspace\text{cm}$ 处。

放大率：$m=-\dfrac{v}{u}=-\dfrac{-8.57}{20}\approx 0.43$，$|m|<1$。

像高：$h'=m\cdot h=0.43\times 4\approx 1.71\thinspace\text{cm}$，正立缩小虚像。

点评：凸面镜恒成正立缩小虚像，本题验证这一规律。注意符号代入是关键——$f$ 必须取负值。

例 3：综合——凹面镜虚像情形

题目：凹面镜焦距 $f=10\thinspace\text{cm}$，物体置于镜前 $u=6\thinspace\text{cm}$ 处。求像距与放大率，并分析成像特点。若改用凸面镜（$f=-10\thinspace\text{cm}$），结果如何？

分析：$u<f$ 时凹面镜应成正立放大虚像；凸面镜恒成正立缩小虚像。用成像公式验证。

解答：

（1）凹面镜：

$$ \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{v}=\dfrac{1}{10}\Rightarrow \dfrac{1}{v}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{3-5}{30}=-\dfrac{2}{30}=-\dfrac{1}{15} $$

$v=-15\thinspace\text{cm}<0$，虚像。$m=-\dfrac{-15}{6}=2.5$，正立放大虚像（$|m|>1$、$m>0$）。

（2）凸面镜（$f=-10$）：

$$ \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{v}=-\dfrac{1}{10}\Rightarrow \dfrac{1}{v}=-\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{6}=-\dfrac{3+5}{30}=-\dfrac{8}{30}=-\dfrac{4}{15} $$

$v=-\dfrac{15}{4}=-3.75\thinspace\text{cm}$，虚像。$m=-\dfrac{-3.75}{6}=0.625$，正立缩小虚像。

点评：凹面镜在 $u<f$时成正立放大虚像（化妆镜原理）；凸面镜恒成正立缩小虚像。同样$|f|=10$、$u=6$ 下，凹凸面镜像性质截然不同，这是高考易混点。

易错提醒

易错点

符号代入错误：凸面镜 $f$必须取负值，虚像$v$取负值。常见错误是套公式时全用正值，导致$v$ 算错。
凹面镜 $u<f$ 情形误判：物在焦点以内时凹面镜成正立放大虚像，而非实像。许多学生只记住"凹面镜成实像"的片面结论。
放大率符号：$m=-v/u$ 中的负号不可漏写。漏写后无法判断倒立/正立。
焦距与曲率半径混淆：$f=R/2$，不是 $f=R$。
凸面镜"扩大视野"理解：是因像缩小而看到更大范围，并非凸面镜本身"放大视野"。
三条特殊光线"过焦点"的方向：凹面镜的焦点在镜前，光线真实过焦点；凸面镜的焦点在镜后，光线"指向"焦点（不一定经过）。
近轴条件：成像公式仅对近轴光线成立，远轴光线有"球差"。

概念辨析

凹面镜 vs 凸面镜：凹面会聚、凸面发散；凹面镜实焦点、凸面镜虚焦点；凹面镜可成实像或虚像、凸面镜恒成虚像。 球面镜 vs 透镜：球面镜基于反射、透镜基于折射；球面镜无色差、透镜有色差；凹面镜对应凸透镜（会聚），凸面镜对应凹透镜（发散）。 实焦点 vs 虚焦点：实焦点是光线真实汇聚点（凹面镜），虚焦点是反向延长汇聚点（凸面镜）。 平面镜 vs 球面镜：平面镜是球面镜 $R\to\infty$的极限情形，焦距$f\to\infty$，成像公式退化为 $v=-u$（虚像对称）。

与其他知识关联

与 01-光的直线传播与反射的关系：平面镜成像规律是本节起点；反射定律是球面镜成像的几何基础。
与 02-平面镜与球面镜成像的关系：本节本身。
与 03-光的折射与折射率的关系：球面镜成像公式与薄透镜成像公式同构 $\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{v}=\dfrac{1}{f}$，源于折射球面近轴成像公式。
与 04-费马原理与光程的关系：成像的等光程性可由费马原理推导；球面镜成像公式的几何推导也基于光程概念。
与 02-全反射与光学器件/01-全反射与临界角的关系：全反射是反射的特殊情形；反射镜中的全反射棱镜是球面镜的应用变体。
与 02-全反射与光学器件/03-薄透镜成像规律的关系：透镜成像公式、放大率、三条特殊光线作图法均与球面镜一一对应——本节是透镜学习的预演。
与 03-光的波动性/05-光的电磁本性的关系：光速 $c=1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$，反射镜面材料的光学性质由电磁理论描述。
高中—大学衔接：物理光学、电动力学、光学
与力学联系：02-牛顿运动定律/06-牛顿第二定律（光的粒子性受力）、机械振动（光波与机械波类比）
与电学联系：01-静电场/05-带电粒子在电场中的运动（光电效应联系）
与热学联系：01-分子动理论/02-分子热运动与布朗运动（光散射的微观本质）
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作者的话

个人理解

球面镜成像的学习，最容易陷入"背公式套数字"的陷阱。建议读者换一种视角：把 $\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{v}=\dfrac{1}{f}$ 看作物方与像方的"对称方程"——物距与像距在公式中地位对等，仅由符号约定区分。这种对称性正是光路可逆的数学体现。

更深层地看，球面镜成像公式与薄透镜成像公式在数学形式上完全同构——这并非巧合。两者都源于"球面界面近轴成像"的几何关系，差别只在反射 vs 折射。这种"反射—折射"的对应是几何光学的深层结构，在 03-光的折射与折射率中将以斯涅尔定律的形式再次出现。学会一个公式，等于学会了球面镜、透镜乃至显微镜、望远镜的成像基础——这是物理学的经济性。

另一个值得思考的问题：为什么球面镜不用抛物面镜？球面易于加工，但近轴成像存在球差（远轴光线不严格汇聚于焦点）。抛物面镜在理论上无球差——平行光严格汇聚于焦点，故反射式望远镜实际多用抛物面镜。这体现了"理想 vs 实用"的工程权衡。

最后提一个常被忽视的细节：球面镜成像公式的"近轴条件"并非可有可无。当光线远离主光轴时，像点会偏离公式预测的位置，形成像差——包括球差、彗差、像散、场曲、畸变五大类。这些像差的校正是现代光学设计的核心问题，涉及非球面镜、复合透镜组等复杂结构。高中阶段只需知道近轴条件即可，但建立"模型有适用范围"的意识是物理思维的精髓。

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平面镜与球面镜成像 ​

核心概念 ​

一、平面镜成像规律再深化 ​

二、实像与虚像 ​

三、球面镜的分类 ​

四、球面镜的焦点与焦距 ​

1. 凹面镜——实焦点 ​

2. 凸面镜——虚焦点 ​

五、球面镜成像公式与符号法则 ​

六、横向放大率 ​

七、凹面镜成像规律表 ​

八、凸面镜成像规律 ​

推导与原理 ​

一、球面镜成像公式推导（近轴条件） ​

二、三条特殊光线作图法 ​

凹面镜的三条特殊光线 ​

凸面镜的三条特殊光线 ​

三、作图步骤示例（凹面镜成实像） ​

四、费马原理视角的成像 ​

典型实例与类比 ​

实例 1：汽车后视镜（凸面镜） ​

实例 2：太阳灶（凹面镜） ​

实例 3：探照灯与手电筒反光碗 ​

实例 4：反射式望远镜 ​

类比：凹面镜 ↔ 凸透镜 ​

例题 ​

例 1：基础——凹面镜成像计算 ​

例 2：进阶——凸面镜成像 ​

例 3：综合——凹面镜虚像情形 ​

易错提醒 ​

与其他知识关联 ​

作者的话 ​