Appearance
光谱与色散（竞赛）
概览
本笔记是竞赛光学模块的综合应用篇：把 01-几何光学基础 的棱镜色散、05-光的衍射 的光栅方程、08-热传递与热平衡 的热辐射思想拧成一股绳，讨论"白光如何被拆解成光谱、光谱如何携带物质的信息"。核心内容有四块：色散规律（正常色散、柯西公式 $n=A+\dfrac{B}{\lambda^2}$、棱镜角色散 $\dfrac{d\delta}{d\lambda}$）、光谱的分类（连续谱/线状谱/吸收谱，含夫琅禾费线）、棱镜光谱与光栅光谱的对比（展开方式、级次、重叠问题），以及复赛高频考点——光栅分辨本领 $R=\dfrac{\lambda}{\Delta\lambda}=mN$。最后以巴耳末公式为引子，说明线状谱是原子能级量子化的直接证据，衔接 07-光电效应与光的量子性 并为大学 物理光学、原子物理 铺垫。数学前置：01-微积分基础 的微分运算。
核心概念
一、色散现象与正常色散
01-几何光学基础 中我们已见过棱镜色散：一束白光射入三棱镜后，出射光被展开成红橙黄绿青蓝紫的彩色光带。其根源在于——介质的折射率 $n$随光的波长而变化，而偏向角$\delta$又随$n$ 变化，于是不同波长的光被"掰"向不同角度。
正常色散规律：在可见光区，几乎所有透明介质（玻璃、水、石英）都满足 $$ n\ \text{随}\ \lambda\ \text{增大而减小} $$ 即 红光（$\lambda$大）的$n$ 小、紫光（$\lambda$小）的$n$大。由于棱镜偏向角$\delta$随$n$ 增大而增大，故白光经棱镜后紫光偏折最大、红光偏折最小——紫端在偏向角大的一侧，这是"红上紫下""彩虹紫在内"所有色散现象的共同规则。
一个常见的直觉陷阱
"红大紫小"说的是波长：$\lambda_{\text{红}}>\lambda_{\text{紫}}$；折射率恰恰相反："红小紫大"：$n_{\text{红}}<n_{\text{紫}}$；再叠加上偏向角随 $n$ 单调增，最终是紫光偏折大、红光偏折小。三句话一起记，考试才不会乱。
柯西公式（简介）：正常色散区中 $n$随$\lambda$ 的变化可用柯西公式近似描述： $$ \boxed{\thinspace{}n=A+\frac{B}{\lambda^2}\thinspace} $$ 其中 $A,\thinspace{}B$ 是与介质有关的正常数（$B>0$保证$n$随$\lambda$ 减小而增大）。对公式求导即得色散率 $$ \frac{dn}{d\lambda}=-\frac{2B}{\lambda^3}<0 $$ 负号正是"正常色散"的标志。竞赛中柯西公式主要用于定性讨论与量级估计，不必背具体系数。
色散率：$n$对波长的变化率$\dfrac{dn}{d\lambda}$ 称为介质的色散率。它只描述"介质本身拆开不同波长光的本领"，与仪器形状无关；|$\dfrac{dn}{d\lambda}$| 越大，说明该介质把相邻波长分得越开（如火石玻璃的色散强于冕牌玻璃，这也是消色差透镜选料的基础）。
二、棱镜的角色散
有了色散率还不够——竞赛关心的是"不同波长的光在屏上分得多开"，这由偏向角随波长的变化率 $\dfrac{d\delta}{d\lambda}$ 描述，称为棱镜的角色散。
在最小偏向角状态下（$\delta_{\min}$ 时光线对称通过棱镜，光路最清晰明亮，测量最准），由 01-几何光学基础 的最小偏向角公式 $$ \delta_{\min}=2\arcsin\left(n\sin\frac{A}{2}\right)-A $$ （$A$为棱镜顶角）对$\lambda$ 求导，得 $$ \dfrac{d\delta}{d\lambda}=\frac{2\sin\dfrac{A}{2}}{\sqrt{1-n^2\sin^2\dfrac{A}{2}}}\cdot\frac{dn}{d\lambda} $$ （推导见"推导与原理"）。可见棱镜的角色散正比于色散率 $\dfrac{dn}{d\lambda}$，还与顶角 $A$ 有关——顶角越大（但不得逼近全反射临界条件）、材料色散越强，分光能力越强。在棱镜顶角较小、$\sin\dfrac{A}{2}\ll1$ 的近似下，上式简化为 $$ \dfrac{d\delta}{d\lambda}\approx 2\sin\frac{A}{2}\cdot\frac{dn}{d\lambda}\approx A\thinspace\frac{dn}{d\lambda} $$
三、光谱的产生与分类
光源发出的复色光经分光仪器（棱镜或光栅）展开后按波长排列的图样称为光谱。按产生方式与外观，竞赛要求分清三类：
| 光谱类型 | 产生条件 | 外观特征 | 物理本质 |
|---|---|---|---|
| 连续光谱 | 炽热的固体、液体或高压气体（如白炽灯灯丝、太阳内部） | 从红到紫无间断的彩色光带 | 黑体（近似）热辐射，能量按波长连续分布，联系 08-热传递与热平衡 |
| 线状光谱（原子发射光谱） | 低压气体放电管（如钠灯、氢灯、氖灯） | 孤立的明亮谱线 | 原子从高能级跃迁回低能级时发射特定频率的光子，每个元素有固定的特征谱线——"元素指纹" |
| 吸收光谱 | 白光（连续谱光）穿过低温稀薄气体后 | 连续光谱上出现一系列暗线 | 气体原子吸收了恰好等于其发射谱线频率的光，形成暗线 |
吸收与发射的一一对应
同一元素的吸收光谱中的暗线与发射光谱中的亮线位置一一对应（同一条谱线对应同一个跃迁，正向是发射、逆向是吸收）。因此"通过吸收谱辨认元素"与"通过发射谱辨认元素"完全等价。
夫琅禾费线：太阳光谱本是连续光谱（太阳表面约 5800 K 的高温等离子体近似黑体），但白光必须穿过温度较低的太阳外层大气，其中气态原子吸收了各自的特征波长，于是在连续谱上留下成千上万条暗线。1859 年基尔霍夫正是用"太阳光谱暗线与实验室元素发射线对位"的方法，证明太阳大气中存在氢、钠、铁等元素——光谱分析由此成为天体物理最重要的工具。
光谱分析的应用（竞赛常以定性题出现）：
- 元素鉴定：由未知物质的发射谱或吸收谱与标准谱图对位，确定其化学成分（钠灯的 589 nm 黄双线、氢的巴耳末线系都是"路标"）；
- 天体化学：分析恒星、星云光谱确定天体成分与温度（1868 年在日全食太阳光谱中发现新元素氦——名字取自希腊语"太阳"）；
- 能级探测：谱线频率对应原子内部能级差 $h\nu=E_2-E_1$，是窥探原子结构唯一直接的窗口（见第七节与 07-光电效应与光的量子性）。
四、棱镜光谱与光栅光谱的对比
这是本模块最常考的对比之一：分光器件只有两种——棱镜（折射型）与光栅（衍射型）。两者拆白光的方式截然不同：
| 比较项 | 棱镜光谱 | 光栅光谱 |
|---|---|---|
| 分光原理 | 色散（$n$随$\lambda$变化） | 衍射干涉（光栅方程$d\sin\theta=m\lambda$） |
| 展开规律 | 非线性：偏向角与 $n(\lambda)$非线性相关，红端（长波端）被压缩 | 近似线性：小角下$\theta\approx\dfrac{m\lambda}{d}$，$\theta\propto\lambda$，波长的等差对应角度等差 |
| 光谱级次 | 只有一级光谱（没有多级重复） | 多级：$m=0,\pm1,\pm2,\cdots$，各级都可能重叠 |
| 波长方向 | 紫端偏向角大、在外侧 | 红端衍射角大、在外侧（$m>0$ 时） |
| 亮度 | 较高（全部光能集中于唯一一级） | 较低（能量分散到各级，每级约占总能量的 $\dfrac{1}{m^2\pi^2}$ 量级） |
| 分辨本领 | 较低（与棱镜底边宽度及色散率有关） | 高：$R=\dfrac{\lambda}{\Delta\lambda}=mN$ |
| 定标 | 波长—位置非线性，需实验标定 | 线性标尺，可直接测量波长 |
光栅光谱的重叠问题（竞赛计算高频）：多级光谱虽然信息量大，却带来"串线"麻烦。设波长范围为 $\lambda_{\min}\sim\lambda_{\max}$，$m$级的最长波长与$m+1$ 级的最短波长发生重叠的条件为 $$ m\lambda_{\max}\ge(m+1)\lambda_{\min}\iff\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}\ge\frac{m+1}{m} $$ 重叠判据的口诀："上一级紫光比本级红光更靠外，两级就开始混"。对可见光 380~780 nm，$\dfrac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}=2.05$，而 $m=1$时$\dfrac{m+1}{m}=2$，$2.05>2$——第 1 级红光就已经与第 2 级紫光重叠，白光光栅光谱只有零级（不色散，仍是白光）是完全干净的。若改用窄带光源（如钠灯，$\lambda_{\max}/\lambda_{\min}\approx1.002$），则可达十几级仍不重叠。
光栅零级的特殊性
零级主极大处所有波长的光程差均为零、同相叠加，不发生色散——白光的光栅零级仍是白光，且光强最大。光谱观察必须用 $m\ne0$ 的级次。
五、光栅的分辨本领
光谱仪不仅要"看得见"谱线，还要"分得开"两条波长很接近的谱线。光栅把两条邻近谱线分开的能力用分辨本领 $R$ 度量： $$ \boxed{\thinspace{}R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=mN\thinspace} $$ 其中 $m$ 为光谱级次，$N$ 为光栅的总缝数（$N=$每毫米刻线数$\times$ 光栅宽度）。
$R=mN$ 的三条推论
- $R$与级次$m$ 成正比——二级光谱分辨本领是一级的两倍；
- $R$与总缝数$N$ 成正比——同样的刻线密度，光栅做得越宽、缝数越多，分辨能力越强；
- $R$与光栅常数$d$ 无关——把缝排得稀一点（$d$ 大）只改变谱线间距，不改变分辨本领。这一点与直觉相悖，却正是竞赛爱考的"坑"。
棱镜分辨本领（定性）：棱镜的分辨本领与底边宽度 $b$和材料色散率有关（严格结果$R=b\left|\dfrac{dn}{d\lambda}\right|$，竞赛了解即可）。直观理解：棱镜底部最厚的部分累积了最大的光程差 $b\thinspace\Delta n$，等于波面被"拉开"的最大相位差，$\Delta n$ 越大、$b$ 越宽，相邻波长分离得越明显。
六、原子光谱与量子起源（巴耳末公式）
线状谱的成因是原子内部能量分立。1885 年巴耳末发现氢原子可见光谱中所有谱线波长可归纳为： $$ \boxed{\thinspace\frac{1}{\lambda}=R_H\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2}\right),\qquad n=3,4,5,\cdots\thinspace} $$ 其中 $R_H=1.097\times10^7\ \text{m}^{-1}$ 为里德伯常数。$n=3,4,5,6$ 分别对应氢光谱的 Hα（656.3 nm）、Hβ（486.1 nm）、Hγ（434.0 nm）、Hδ（410.2 nm）——恰好落在可见光区，是实验上最早被系统研究的一组谱线（巴耳末系）。
为什么线状谱是"量子化的证据"
经典理论中原子持续辐射能量，光谱应当是连续的；而实验给出的是一系列分立的谱线，且频率满足如此简洁的整数公式 $\dfrac{1}{n^2}$结构——这强烈暗示原子内部能量只能取分立值。后来玻尔模型把$n$解释为主量子数，每个$n$对应一个能级$E_n\propto-\dfrac{1}{n^2}$，谱线频率恰为能级差 $h\nu=E_m-E_n$。光谱由此成为打开原子结构大门的钥匙，完整理论在竞赛近代物理与大学 原子物理、氢原子 中展开，此处只需记住公式并理解其物理含义。
推导与原理
一、棱镜角色散的微分推导
对最小偏向角公式 $$ \delta_{\min}=2\arcsin\left(n\sin\frac{A}{2}\right)-A $$ 两边对 $\lambda$ 求导（$A$与$\lambda$ 无关，$n=n(\lambda)$）： $$ \frac{d\delta_{\min}}{d\lambda} =2\cdot\frac{1}{\sqrt{1-\left(n\sin\dfrac{A}{2}\right)^2}}\cdot\sin\frac{A}{2}\cdot\frac{dn}{d\lambda} $$ 在最小偏向角状态下入射角 $i$满足$\sin i=n\sin\dfrac{A}{2}$，故 $\sqrt{1-n^2\sin^2\dfrac{A}{2}}=\cos i$，从而 $$ \boxed{\thinspace\frac{d\delta_{\min}}{d\lambda}=\frac{2\sin\dfrac{A}{2}}{\cos i}\cdot\frac{dn}{d\lambda}\thinspace} $$ 思路小结：棱镜角色散 = "几何因子 $\dfrac{2\sin\frac{A}{2}}{\cos i}$"（由棱镜形状与入射位置决定）乘以"介质因子 $\dfrac{dn}{d\lambda}$"（由材料决定）。小顶角近似下 $\sin\dfrac{A}{2}\approx\dfrac{A}{2}$、$\cos i\approx1$，得 $\dfrac{d\delta}{d\lambda}\approx A\thinspace\dfrac{dn}{d\lambda}$。注意 $\dfrac{dn}{d\lambda}<0$（正常色散），故角色散为负——波长增大、偏向角减小，与"红光偏折小"一致。
二、光栅分辨本领 $R=mN$ 的推导
瑞利判据在光栅上的表述：波长 $\lambda$与$\lambda+\Delta\lambda$的两条$m$级谱线恰可分辨，当且仅当较短波长的$m$ 级主极大中心恰好落在较长波长谱线主极大的第一级暗纹上（两峰中心错开一个主极大半角宽度）。
设 $\lambda$的$m$级主极大方向为$\theta$：$d\sin\theta=m\lambda$。由 05-光的衍射 已知主极大半角宽度 $$ \Delta\theta=\frac{\lambda}{Nd\cos\theta} $$ $\lambda+\Delta\lambda$的$m$级主极大方向$\theta+\Delta\theta$ 满足 $$ d\sin(\theta+\Delta\theta)=m(\lambda+\Delta\lambda) $$ 对左端作微分近似 $d\sin(\theta+\Delta\theta)\approx d\sin\theta+d\cos\theta\thinspace\Delta\theta$，代入上式： $$ m\lambda+\frac{\lambda}{N}=m\lambda+m\thinspace\Delta\lambda $$ 即 $$ \frac{\lambda}{N}=m\thinspace\Delta\lambda \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\thinspace{}R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=mN\thinspace} $$ 推导要点：主极大越锐（$N$ 越大）越容易被"错开"；级次越高（$m$ 大）相邻级谱线离得越远、同样一个半角宽度对应的波长差越小。$N$与$m$各贡献一半，故$R$ 是二者的乘积。
三、光栅光谱重叠条件的推导
$m$级光谱占据的角度范围由波长范围决定：从$d\sin\theta=m\lambda_{\min}$到$d\sin\theta=m\lambda_{\max}$；$m+1$级从$(m+1)\lambda_{\min}$ 开始。当 $$ (m+1)\lambda_{\min}\le m\lambda_{\max} $$ 时，$m+1$级的紫端侵入$m$ 级的红端，两段光谱开始重叠。改写为比值形式： $$ \boxed{\thinspace\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}\ge\frac{m+1}{m}\ \iff\ \text{第 }m\text{ 级与第 }m+1\text{ 级重叠}\thinspace} $$ 由 $m$ 的最小值即可判断"从第几级起光谱不再干净"。
四、巴耳末公式的来龙去脉
巴耳末公式是实验归纳的结果（1885 年），不是推导出来的；它的理论解释（能级量子化）要到 1913 年玻尔模型才给出。竞赛层面需掌握：
- 适用对象：氢原子（单电子原子）的谱线；
- 巴耳末系是 $n_1=2$ 的固定下限系列，$n=3,4,5,\cdots$ 时给出 Hα、Hβ、Hγ、Hδ 四条可见谱线；
- 一般化形式 $\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{n_1^2}-\dfrac{1}{n_2^2}\right)$（$n_2>n_1$）在近代物理中推广为莱曼系（$n_1=1$，紫外）、帕邢系（$n_1=3$，红外）等。
典型实例与物理应用
实例 1：光栅看白光——从第几级开始"花"
光栅常数 $d=2.5\times10^{-6}$ m，以白光（380~780 nm）垂直入射。（1）最大可见级次？（2）从第几级起光谱重叠？
（1）以最短波长定极限： $$ m_{\max}=\left[\frac{d}{\lambda_{\min}}\right]=\left[\frac{2.5\times10^{-6}}{3.8\times10^{-7}}\right]=6 $$ （2）$\dfrac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}=\dfrac{780}{380}=2.05$。$m=1$时$\dfrac{m+1}{m}=2$，$2.05>2$，故第 1 级起已与第 2 级重叠——可见光范围太宽，白光光栅光谱只有零级干净，一级也只能看到红紫两端被"污染"的残缺色带。
对比记忆
若光源改为 400~700 nm（教科书常用范围），$\dfrac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}=1.75$：$m=1$时$2>1.75$ 不重叠，$m=2$时$\dfrac32=1.5<1.75$重叠——从第 2 级起重叠。可见"从第几级起重叠"完全由$\dfrac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}$ 决定，380~780 的范围更宽，重叠来得更早。
实例 2：钠双线的分辨——光栅光谱仪的设计
钠灯的黄光是靠得很近的双线：$\lambda_1=589.0$ nm、$\lambda_2=589.6$nm。平均波长$\bar\lambda=589.3$nm，波长差$\Delta\lambda=0.6$ nm。要在一级光谱中分辨它们，所需分辨本领 $$ R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=\frac{589.3}{0.6}\approx 982 $$ 由 $R=mN$得一级所需总缝数$N\ge982\approx1.0\times10^3$。若光栅刻线密度为 $500$ 条/mm，则光栅宽度至少 $$ L=\frac{N}{500\ \text{条/mm}}\approx2.0\ \text{mm} $$ 若改用二级光谱观察，则只需 $N\ge491$，光栅可窄一半。这就是"级次换分辨"的实用价值：同一块光栅，用高级次看更精细的结构，但高级次亮度低且易与邻级重叠，设计光谱仪时三者需权衡。
实例 3：夫琅禾费线与元素发现
1814 年夫琅禾费在太阳光谱中发现 574 条暗线；1859 年基尔霍夫与本生发现：把太阳暗线的位置与实验室中元素发射亮线对位，发现太阳大气中存在氢、钠、铁等元素。1868 年詹森与洛基尔在日全食观测中，在太阳光谱 587.6 nm 处发现一条不属于当时已知元素的黄线，遂命名为"氦"（希腊语"太阳"）——元素发现 27 年后才在地球上找到氦。一条暗线的辨认，直接改写了元素周期表。这类素材是竞赛"光谱分析"定性题的出题背景：核心永远是"吸收线与发射线一一对应"。
实例 4：氢光谱的巴耳末线系
用巴耳末公式计算 Hα 波长（$n=3$）： $$ \frac{1}{\lambda}=R_H\left(\frac14-\frac19\right)=1.097\times10^7\times\frac{5}{36}=1.524\times10^6\ \text{m}^{-1} $$ $$ \lambda=\frac{1}{1.524\times10^6}=6.563\times10^{-7}\ \text{m}=656.3\ \text{nm}\ (\text{红光}) $$
| 谱线 | $n$ | $\dfrac{1}{\lambda}\ (\times10^6\ \text{m}^{-1})$ | 波长 (nm) | 颜色 |
|---|---|---|---|---|
| Hα | 3 | 1.524 | 656.3 | 红 |
| Hβ | 4 | 2.057 | 486.2 | 蓝绿 |
| Hγ | 5 | 2.304 | 434.1 | 蓝紫 |
| Hδ | 6 | 2.466 | 405.6 | 紫 |
谱线间距向短波端越来越密，最后趋向巴耳末极限 $\dfrac{1}{\lambda}=R_H\cdot\dfrac14=2.742\times10^6\ \text{m}^{-1}$（即 $\lambda=364.6$nm）——这种"收敛于极限"的结构正是能级$E_n\propto-\dfrac{1}{n^2}$ 堆积的宏观体现。
例题
例 1：光栅可见光光谱的重叠与级次
题目：一透射光栅每毫米 500 条刻痕，以白光（380~780 nm）垂直入射。（1）求最大可见级次；（2）判断从第几级开始光谱发生重叠；（3）在 $m=2$ 级，波长为 500 nm 的光与哪一级的什么波长重合（若有）？
分析：$d=\dfrac{1\ \text{mm}}{500}=2\times10^{-6}$m。最大级次按最短波长取整；重叠用比值判据；重合求解联立$m\lambda=m'\lambda'$。
解答： （1） $$ m_{\max}=\left[\frac{d}{\lambda_{\min}}\right]=\left[\frac{2\times10^{-6}}{3.8\times10^{-7}}\right]=[5.26]=5 $$ （2）$\dfrac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}=\dfrac{780}{380}=2.05$，而 $m=1$时$\dfrac{m+1}{m}=2$，$2.05>2$，故从第 1 级起即与第 2 级重叠，只有零级完全干净。 （3）2 级 500 nm 光的衍射方向为 $\sin\theta=\dfrac{2\times500\ \text{nm}}{2000\ \text{nm}}=0.5$。该方向上 1 级光的波长为 $$ \lambda'=\frac{d\sin\theta}{1}=2\times10^{-6}\times0.5=1000\ \text{nm} $$ 超出可见光范围，故 2 级 500 nm 谱线不与 1 级任何可见光重合，在该方向上是干净的；但需注意它与 3 级的 $\lambda''=\dfrac{2\times500}{3}\approx333$ nm（紫外）在数学上重合。
点评：第（2）问的结论反直觉——"一级光谱也有污染"，根源是可见光范围太宽（比值 2.05 已超过 2）。第（3）问示范了重叠判断的完整流程：先定方向（$\sin\theta$），再查该方向上的邻级波长是否落在光源波长范围内，同时检查 $m'\le m_{\max}$ 且不缺级。
例 2：分辨钠双线所需的光栅缝数
题目：钠光灯发出波长 $\lambda_1=589.0$ nm、$\lambda_2=589.6$ nm 的双线。用光栅观测：（1）要在一级光谱中分辨这两条线，光栅至少需要多少总缝数？（2）若用每毫米 1000 条刻痕的光栅，一级分辨时其最小宽度是多少？（3）同一块光栅在二级光谱中的分辨本领又为多少？
分析：$R=\dfrac{\lambda}{\Delta\lambda}$，其中 $\lambda$ 取平均波长 589.3 nm，$\Delta\lambda=0.6$nm；由$R=mN$反解$N$；宽度 $L=\dfrac{N}{\text{刻线密度}}$。
解答： （1） $$ R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=\frac{589.3}{0.6}\approx9.8\times10^2 $$ 一级（$m=1$）：$N\ge R=9.8\times10^2\approx1.0\times10^3$ 条缝。 （2） $$ L=\frac{N}{1000\ \text{条/mm}}=\frac{9.8\times10^2}{10^3}\approx1.0\ \text{mm} $$ （3）二级分辨本领 $$ R_2=2N=2\times9.8\times10^2\approx2.0\times10^3 $$ 此时 $\Delta\lambda=\dfrac{589.3}{2000}\approx0.29$ nm——二级光谱足以分辨相差不到 0.3 nm 的谱线对。
点评：本题是"分辨本领"的标准模板题。注意三点：$\lambda$ 取两线平均值；$N$ 是总缝数（不是每毫米刻线数，两者相差一个宽度因子，第（2）问正是在考这一点）；$R$随$m$线性增大。另注意$R=mN$中$N$必须在$m$ 级内全部有效——若第 2 级已发生重叠或缺级，理论分辨本领就打折了。
例 3：最小偏向角法测折射率与色散
题目：用最小偏向角法测一块玻璃三棱镜（顶角 $A=60°$）的折射率。（1）对钠黄光测得最小偏向角 $\delta_1=30°$，求玻璃的折射率 $n$。（2）又测得红光最小偏向角 $\delta_R=29°36'$，紫光 $\delta_V=30°24'$，求 $n_R$、$n_V$，并说明色散规律。（3）若红光波长 700 nm、紫光波长 400 nm，估算该棱镜的角色散 $\dfrac{d\delta}{d\lambda}$。
分析：最小偏向角时 $r=\dfrac{A}{2}$、$i=\dfrac{\delta+A}{2}$，$n=\dfrac{\sin i}{\sin r}$；角色散用 $\dfrac{\Delta\delta}{\Delta\lambda}$估算，并与公式$A\dfrac{dn}{d\lambda}$ 对照。
解答： （1） $$ i=\frac{\delta_1+A}{2}=\frac{30°+60°}{2}=45°,\qquad r=\frac{A}{2}=30° $$ $$ n=\frac{\sin45°}{\sin30°}=\frac{\sqrt2/2}{1/2}=\sqrt2\approx1.414 $$ （2）红光 $i_R=\dfrac{29°36'+60°}{2}=44°48'$，紫光 $i_V=\dfrac{30°24'+60°}{2}=45°12'$： $$ n_R=\frac{\sin44°48'}{\sin30°}\approx\frac{0.7046}{0.5}=1.409 $$ $$ n_V=\frac{\sin45°12'}{\sin30°}\approx\frac{0.7095}{0.5}=1.419 $$ $n_V>n_R$——紫光折射率大、红光折射率小，正常色散规律得到定量验证（若测得 $n_V<n_R$ 则属反常色散，该波长区必有强吸收）。 （3）$\Delta\delta=48'=0.8°=1.40\times10^{-2}$ rad，$\Delta\lambda=300\ \text{nm}=3.0\times10^{-7}$ m： $$ \frac{d\delta}{d\lambda}\approx\frac{\Delta\delta}{\Delta\lambda}=\frac{1.40\times10^{-2}}{3.0\times10^{-7}}=4.7\times10^4\ \text{rad/m} $$ 对照公式：$\dfrac{dn}{d\lambda}\approx\dfrac{\Delta n}{\Delta\lambda}=\dfrac{1.419-1.409}{3.0\times10^{-7}}=3.3\times10^4\ \text{m}^{-1}$，由 $A\dfrac{dn}{d\lambda}=1.047\times3.3\times10^4=3.5\times10^4$rad/m。两者量级一致（差异来自$\Delta n$随波长非线性，用差分近似总有偏差）——角色散约$10^4\sim10^5$ rad/m 量级，是棱镜光谱仪性能估算的常识值。
点评：最小偏向角法是测定折射率的经典方法，第（1）问是高中就有、竞赛必会的基本计算；第（2）问把"测 $n$"升级为"测色散"——同一棱镜对不同波长测出的 $n$ 不同，本身就是色散现象的定量证据；第（3）问示范了"差分代替微分"的估算手段（01-微积分基础 中 $dy\approx f'(x)dx$的应用）。顺带一提：测出$n$ 后再查标准折射率表即可鉴别物质种类，这是"由光学性质反推材料"的典型应用。
易错提醒
易错点
- 红紫的"偏折大小"记反：波长是"红大紫小"，折射率是"红小紫大"，偏向角随 $n$ 增大而增大，故最终紫光偏折大、红光偏折小。棱镜中紫端在外（偏向角大的一侧），光栅中恰相反，红端在外（衍射角大的一侧）——两种器件"谁在外"是反的。
- 光栅重叠条件用错波长端点：判断 $m$级与$m+1$级是否重叠，必须用$m$级的最长波长与$m+1$ 级的最短波长比较：$(m+1)\lambda_{\min}\le m\lambda_{\max}$。用中间波长比较会得出错误结论。
- 重叠判据的分母：比值判据 $\dfrac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}\ge\dfrac{m+1}{m}$ 中，$m$ 是本级级次。对 380~780 nm 白光，$m=1$ 已满足条件（2.05>2），即一级就与二级重叠，勿写成"从第二级开始"（那是 400~700 nm 范围的结果）。
- 分辨本领公式中的 $N$：$R=mN$里的$N$是光栅总缝数。题目给"每毫米 500 条"时，必须乘以光栅宽度才是$N$；$R$与光栅常数$d$ 无关。
- 分辨本领与最小分辨角混淆：光栅的分辨本领 $R=\dfrac{\lambda}{\Delta\lambda}=mN$（无量纲，越大越好）；圆孔成像的最小分辨角 $\delta\theta=1.22\dfrac{\lambda}{D}$（角度量，越小越好，见 05-光的衍射）。两者都是"瑞利判据"的产物，但公式与物理量纲完全不同。
- 巴耳末公式的两处细节：$n$ 从 3 开始取整数（$n=1,2$无对应谱线）；里德伯常数$R_H=1.097\times10^7\ \text{m}^{-1}$，代入时注意 $\dfrac{1}{\lambda}$的单位是$\text{m}^{-1}$，别把 $n=2$的位置写成$n=1$（那是莱曼系）。
- 吸收光谱的方向性：暗线位置与同一元素的发射亮线一一对应，但吸收谱只能出现在连续谱背景上——低温气体自己发出的光仍是线状发射谱，两者不要混。
- 柯西公式的参数符号：正常色散区 $B>0$（$n$随$\lambda$增大而减小）；若题目中出现$B<0$，说明该波长区处于反常色散，应警觉。
- 零级光栅光谱不色散：$m=0$时$d\sin\theta=0$ 对一切波长成立，白光零级仍是白光，不能用来做光谱观察；"零级最亮、高级次才能分光"是光栅光谱的基本图景。
- 最大级次只受几何限制：$m_{\max}=\left[\dfrac{d}{\lambda_{\min}}\right]$ 仅是几何上限，还要扣除缺级级次（05-光的衍射）才算实际可见级次；且白光中各级谱线还有重叠问题，实际可用级次往往更少。
概念辨析
三个"色"的量，别混为一谈
| 物理量 | 符号 | 含义 | 公式与量级 |
|---|---|---|---|
| 色散率 | $\dfrac{dn}{d\lambda}$ | 介质折射率随波长的变化快慢（材料属性） | $-\dfrac{2B}{\lambda^3}<0$，约 $10^4\ \text{m}^{-1}$ |
| 棱镜角色散 | $\dfrac{d\delta}{d\lambda}$ | 棱镜把相邻波长偏向角分开的能力（器件属性） | $\dfrac{2\sin\frac{A}{2}}{\cos i}\cdot\dfrac{dn}{d\lambda}$，约 $10^4\sim10^5\ \text{rad/m}$ |
| 分辨本领 | $R=\dfrac{\lambda}{\Delta\lambda}$ | 能分辨的最小波长差的倒数（含$m$、$N$） | 光栅 $R=mN$；棱镜 $R=b\left |
棱镜 vs 光栅分光对比（判断类选择题的速记表）
| 项目 | 棱镜 | 光栅 |
|---|---|---|
| 光程差来源 | 介质折射率随波长变化 | 相邻缝的几何光程差 |
| 紫端位置 | 偏向角大的一侧（外） | 衍射角小的一侧（内） |
| 光谱级次 | 仅一级，无重叠 | 多级，级间重叠 |
| 波长—位置关系 | 非线性 | 小角下线性 |
| 决定分辨本领的因素 | 底边宽度 $b$、色散率 $\dfrac{dn}{d\lambda}$ | 总缝数$N$、级次 $m$ |
与其他知识关联
- 与 01-几何光学基础 的关系：棱镜的最小偏向角公式 $\delta_{\min}=2\arcsin\left(n\sin\dfrac{A}{2}\right)-A$ 是本笔记角色散推导的起点；色散现象首次在几何光学中登场。
- 与 05-光的衍射 的关系：光栅方程 $d\sin\theta=m\lambda$、主极大半角宽度 $\Delta\theta=\dfrac{\lambda}{Nd\cos\theta}$、缺级与最大级次是光栅光谱与分辨本领的全部前置知识；05-光的衍射 的瑞利判据（圆孔）与本笔记的 $R=mN$（光栅）同源。
- 与 04-光的干涉 的关系：光栅的 $N$缝叠加是双缝干涉的推广，光谱的"线"本质上是$N$ 个缝同相叠加的极锐主极大。
- 与 08-热传递与热平衡 的关系：连续光谱来自炽热物体的热辐射（黑体近似），辐射本领随温度升高向短波方向移动，这是天体色温测量（由光谱判断恒星表面温度）的基础。
- 与 07-光电效应与光的量子性 的关系：谱线频率与光子能量 $E=h\nu$ 挂钩，吸收与发射都是光子与能级的相互作用；线状谱是能量量子化的第一证据。
- 与 01-微积分基础 的关系：角色散 $\dfrac{d\delta}{d\lambda}$的推导、分辨本领推导中的微分近似$\sin(\theta+\Delta\theta)\approx\sin\theta+\cos\theta\thinspace\Delta\theta$ 都是微分思想的直接应用。
- 与高中物理联系：高中光学总览 中 02-棱镜与色散 的定性观察（白光被棱镜展开）在本笔记中升级为色散率、角色散与分辨本领的定量讨论；高中的"光谱"常识（白炽灯连续谱、钠灯线状谱）在此系统化为三类光谱分类。
- 与大学层面联系：物理光学（光栅光谱仪的严格理论、线色散与分辨本领的完整讨论）、X射线衍射（布拉格条件 $2d\sin\theta=n\lambda$ 与光栅方程同构，晶体即三维光栅）、黑体辐射（连续谱的普朗克理论）、原子物理 与 氢原子（巴耳末公式的量子力学来源）。
- 返回 00-竞赛光学总览
作者的话
个人理解
光谱与色散是竞赛光学里少有的"看谱线就能认元素"的章节——物理在这里第一次有了"化学侦探"的味道。我学这一章最深的体会是：色散负责"把光分开"，分辨本领负责"把分开的光看仔细"。棱镜和光栅都能分光，但棱镜的分光是"材料的事"（$\dfrac{dn}{d\lambda}$ 说了算），光栅的分光是"几何的事"（$N$和$m$ 说了算）——抓住这个本质，任何"棱镜还是光栅"的选择题都迎刃而解。
再说两句考试的直觉：其一，$R=mN$与$d$无关这一点最反直觉也最常考，出题人喜欢把光栅常数、刻线密度、宽度、缝数四个量混在一起考，落笔前先把$N$ 换算清楚；其二，重叠判据永远比分辨率判据先做——谱线堆在一起时谈分辨毫无意义，白光光栅只有零级干净，这个结论本身就是一道送分题。
最后，别忘了这一章的浪漫：夫琅禾费线的暗线里藏着太阳大气的成分，氦元素的发现来自一条太阳光谱上的黄线，而氢的巴耳末系第一次让人窥见原子内部的"阶梯"。光谱，是物质世界写给光学的密码本——从竞赛的角度记住公式，从物理的角度记住它们为何成立。
返回 00-竞赛光学总览