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拉格朗日方程
本章目标
在牛顿力学的基础上引入分析力学的核心工具——拉格朗日方程。它通过标量的能量函数（拉格朗日量）和广义坐标，以统一的方式建立系统的运动微分方程，尤其适用于处理复杂约束和多自由度系统。本笔记将从达朗贝尔原理出发推导拉格朗日方程，并重点联系此前机械振动中的实例。
1 基础知识：约束、广义坐标与虚功
1.1 约束的分类
限制系统中质点位置或速度的条件称为约束。若约束方程仅涉及坐标和时间： $$f(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \dots, \mathbf{r}_N, t) = 0$$ 称为完整约束。例如单摆绳长固定：$x^2 + y^2 = l^2$。若约束方程不可积分地包含速度，则为非完整约束。本章只讨论完整系统。
1.2 广义坐标
对具有 $n$个自由度的完整系统，可选择$n$个独立参数$q_1, q_2, \dots, q_n$ 完全确定系统的位形，这些参数称为广义坐标。位矢可表达为： $$\mathbf{r}_i = \mathbf{r}_i(q_1, q_2, \dots, q_n, t) \qquad (i=1,\dots,N)$$
1.3 虚位移与虚功
定义 1.1（虚位移与虚功）
在给定瞬时，约束所容许的无限小位移 $\delta \mathbf{r}_i$称为虚位移，它与真实位移$d\mathbf{r}_i$的区别在于时间被冻结。力$\mathbf{F}_i$ 在虚位移上做的功 $$\delta W = \sum_{i=1}^N \mathbf{F}_i \cdot \delta \mathbf{r}_i$$ 称为虚功。理想约束（如光滑铰链、不可伸长绳）的约束力虚功之和为零。
2 从达朗贝尔原理到拉格朗日方程
2.1 达朗贝尔原理
将牛顿第二定律改写为 $\mathbf{F}_i - \dot{\mathbf{p}}_i = 0$，则对任意虚位移有： $$\sum_{i=1}^N (\mathbf{F}_i - m_i \ddot{\mathbf{r}}_i) \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0$$ 将主动力 $\mathbf{F}_i$和约束力分开，利用理想约束条件$\sum \mathbf{F}_i^{\text{约束}} \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0$，得到 $$\sum_{i=1}^N (\mathbf{F}_i^{\text{主动}} - m_i \ddot{\mathbf{r}}_i) \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0 \tag{2.1}$$ 这就是达朗贝尔原理：主动力与惯性力在虚位移上的总虚功为零。
2.2 变换到广义坐标
位矢的变分： $$\delta \mathbf{r}_i = \sum_{j=1}^n \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} \delta q_j$$ 将其代入达朗贝尔原理的惯性力部分，并利用乘积的微分法则，经过一系列恒等变形（推导略），可得： $$\sum_{i=1}^N m_i \ddot{\mathbf{r}}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} = \frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial T}{\partial q_j}$$ 其中 $T = \frac12 \sum_i m_i \dot{\mathbf{r}}_i^2$ 是系统的动能（以广义坐标表示）。
主动力的虚功可写为： $$\delta W = \sum_{i=1}^N \mathbf{F}_i^{\text{主动}} \cdot \delta \mathbf{r}_i = \sum_{j=1}^n Q_j \delta q_j$$ $Q_j$称为对应于广义坐标$q_j$ 的广义力： $$Q_j = \sum_{i=1}^N \mathbf{F}_i^{\text{主动}} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}$$
最终得到： $$\sum_{j=1}^n \left[ \frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial T}{\partial q_j} - Q_j \right] \delta q_j = 0$$ 因 $\delta q_j$ 相互独立，各项系数必为零，于是
拉格朗日方程（一般形式）
$$\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial T}{\partial q_j} = Q_j, \qquad j = 1,2,\dots,n \tag{2.2}$$
3 保守系统的拉格朗日方程
若主动力均为保守力，则存在势能函数 $V(q_1,\dots,q_n)$ 使得 $$Q_j = - \frac{\partial V}{\partial q_j}$$ 将 $Q_j$代入 (2.2)，并注意势能$V$不依赖于广义速度$\dot q_j$，可定义拉格朗日函数（拉格朗日量）： $$L = T - V$$ 则方程化为更为对称的形式：
定义 3.1（保守系统的拉格朗日方程）
$$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0, \qquad j = 1,\dots,n \tag{3.1}$$
这是分析力学中应用最广的形式。其威力在于：只需写出系统的动能和势能（标量），即可自动导出正确的运动方程，无需分析矢量力和约束力。
操作步骤（五步法）
- 确定自由度，选择适当的广义坐标 $q_j$。
- 用广义坐标和广义速度表示动能 $T$。
- 用广义坐标表示势能 $V$。
- 写出拉格朗日函数 $L = T - V$。
- 代入方程 (3.1)，得到 $n$ 个二阶微分方程。
4 经典实例
4.1 单摆
自由度：1 个（摆角 $\theta$）。
动能：$T = \frac12 m (l\dot\theta)^2$。
势能：取最低点为零势能，$V = mgl(1 - \cos\theta)$。
拉格朗日量：$L = \frac12 m l^2 \dot\theta^2 - mgl(1 - \cos\theta)$。
计算偏导数： $$\frac{\partial L}{\partial \dot\theta} = m l^2 \dot\theta, \quad \frac{d}{dt} = m l^2 \ddot\theta$$ $$\frac{\partial L}{\partial \theta} = -mgl \sin\theta$$
代入 (3.1) 得： $$m l^2 \ddot\theta + mgl \sin\theta = 0 \thickspace\Longrightarrow\thickspace \ddot\theta + \frac{g}{l}\sin\theta = 0$$ 与牛顿法得到的 (3.1) 完全一致。小角度下 $\sin\theta\approx\theta$，回归简谐方程 $\ddot\theta + (g/l)\theta = 0$。
4.2 弹簧振子
自由度：1（位移 $x$，以平衡位置为原点）。
动能：$T = \frac12 m \dot x^2$。
势能：$V = \frac12 k x^2$。
拉格朗日量：$L = \frac12 m \dot x^2 - \frac12 k x^2$。
$$\frac{\partial L}{\partial \dot x} = m\dot x,\quad \frac{d}{dt} = m\ddot x,\quad \frac{\partial L}{\partial x} = -k x$$ 代入得 $m\ddot x + kx = 0$，即 $\ddot x + \omega_0^2 x = 0$，与牛顿力学结果相同，但推导完全避免了受力分析。
4.3 两质量三弹簧系统（重新处理）
回顾第 11 节的两质量三弹簧系统：质量均为 $m$，两侧弹簧劲度系数 $k$，中间弹簧 $k_c$。广义坐标取为两质量的水平位移 $x_1, x_2$（相对各自平衡位置）。
动能： $$T = \frac12 m \dot x_1^2 + \frac12 m \dot x_2^2$$
势能（弹簧伸长量）：两侧弹簧势能 $\frac12 k x_1^2 + \frac12 k x_2^2$，中间弹簧伸长 $x_2 - x_1$，势能 $\frac12 k_c (x_2 - x_1)^2$。 $$V = \frac12 k (x_1^2 + x_2^2) + \frac12 k_c (x_2 - x_1)^2$$
拉格朗日量：$L = T - V$。对 $x_1$： $$\frac{\partial L}{\partial \dot x_1} = m\dot x_1,\quad \frac{d}{dt} = m\ddot x_1$$ $$\frac{\partial L}{\partial x_1} = -k x_1 + k_c (x_2 - x_1)$$ 得 $m\ddot x_1 + k x_1 - k_c(x_2 - x_1) = 0$，即 $m\ddot x_1 + (k+k_c)x_1 - k_c x_2 = 0$。 对 $x_2$类似得$m\ddot x_2 + (k+k_c)x_2 - k_c x_1 = 0$。与 (11.1) 完全一致。
拉格朗日方法的优势
面对耦合振子，牛顿法需要小心分析每个弹簧力和方向，拉格朗日方法只需将系统能量写成广义坐标的函数，求导即可自动给出耦合项，极大减少了出错几率。
4.4 阿特伍德机
在滑轮两侧悬挂质量 $m_1, m_2$，绳子不可伸长，滑轮质量不计。系统自由度 1，取 $m_1$下降的位移$x$为广义坐标（则$m_2$上升$x$）。
动能：$T = \frac12 (m_1 + m_2) \dot x^2$。
势能（以初始位置为零）：$V = -m_1 g x + m_2 g x = (m_2 - m_1) g x$。
拉格朗日量：$L = \frac12 (m_1+m_2)\dot x^2 - (m_2 - m_1)g x$。
$$\frac{\partial L}{\partial \dot x} = (m_1+m_2)\dot x, \quad \frac{d}{dt} = (m_1+m_2)\ddot x, \quad \frac{\partial L}{\partial x} = -(m_2 - m_1)g$$ 得 $(m_1+m_2)\ddot x = (m_1 - m_2)g$，加速度为 $(m_1 - m_2)g/(m_1+m_2)$，无需计算绳中张力。
5 非保守力与广义力
当系统存在非保守力（如摩擦力、时变外力）时，需采用一般形式 (2.2)。广义力 $Q_j$ 可由虚功直接计算： $$\delta W = \sum_j Q_j \delta q_j$$ 将 $Q_j$代入方程$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial L}{\partial q_j} = Q_j$即可。注意此时$L = T - V$中的$V$ 仅包含保守力势能。
例 5.1（阻尼振子）
对于弹簧振子加粘性阻尼 $-c\dot x$。广义力 $Q_x$对应的虚功为$\delta W = -c\dot x \thinspace\delta x$，故 $Q_x = -c\dot x$。保守部分 $L = \frac12 m\dot x^2 - \frac12 k x^2$。代入： $$\frac{d}{dt}(m\dot x) - (-k x) = -c\dot x \thickspace\Longrightarrow\thickspace m\ddot x + c\dot x + kx = 0$$ 这正是阻尼振动方程。
6 对称性与守恒量（诺特定理简介）
拉格朗日方程的一个重要优美性质是：每一种连续对称性对应一个守恒量。
若 $L$不显含某广义坐标$q_j$（即 $\partial L/\partial q_j = 0$），则称 $q_j$ 为循环坐标，此时由拉格朗日方程立即得到： $$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} = 0 \thickspace\Longrightarrow\thickspace p_j = \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} = \text{常量}$$ $p_j$ 称为广义动量。例如弹簧振子无循环坐标；抛体运动中水平方向坐标是循环坐标，水平动量守恒。
若 $L$不显含时间$t$（即 $\partial L/\partial t = 0$），则可定义雅可比积分（常为总机械能）： $$h = \sum_j \dot q_j \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} - L = \text{常量}$$ 这正是能量守恒的体现。在非相对论且约束不显含时间的情况下，$h = T + V$。
在振动系统中的应用
简谐振子的 $L$不含时，故能量守恒；单摆$L$不含时且不含$\theta$ 不出现（除势能包含），$\theta$ 不是循环坐标，但系统仍有能量守恒。
7 多自由度线性振动与拉格朗日方法
对于 $n$ 自由度系统在稳定平衡点附近的微振动，动能和势能可写为广义坐标的二次型： $$T = \frac12 \sum_{i,j} m_{ij} \dot q_i \dot q_j, \quad V = \frac12 \sum_{i,j} k_{ij} q_i q_j$$ 这里 $m_{ij}$和$k_{ij}$ 为常数矩阵（惯性矩阵和刚度矩阵）。拉格朗日方程给出： $$\sum_j (m_{ij} \ddot q_j + k_{ij} q_j) = 0$$ 设解 $q_j = A_j e^{i\omega t}$，即得广义特征值问题 $(K - \omega^2 M)A = 0$，这正是第 11 节讨论的简正模分析。拉格朗日方法为复杂多自由度振动系统（例如分子振动、机械臂）提供了最简洁的建模途径。
本章小结
- 拉格朗日方程从能量观点出发，用标量函数 $L$ 统一描述系统动力学，避免了矢量力和约束力的繁琐分析。
- 核心形式：$\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0$（保守系）。
- 应用步骤清晰：选广义坐标 → 写 $T,V$→ 构成$L$ → 代入求导。
- 对于非保守系统，补充广义力 $Q_j$ 即可。
- 该方法与牛顿力学完全等价，但在处理复杂约束、多体耦合、振动模态时优势明显，是现代物理学和工程动力学的基本语言。