变压器

概览

变压器是利用电磁感应（互感原理）改变交流电压的装置，由原线圈（初级线圈）、副线圈（次级线圈）和铁芯三部分组成。理想变压器满足三条假设：无漏磁、无铜损、无铁损，从而有 $U_1:U_2=n_1:n_2$（变压原理）、$P_1=P_2$（功率守恒），由此推得 $I_1:I_2=n_2:n_1$（变流原理）。理解变压器最关键的是"因果关系"——原线圈电压 $U_1$决定副线圈电压$U_2$（输入决定输出），副线圈电流 $I_2$决定原线圈电流$I_1$（输出决定输入）。多副线圈满足 $P_1=P_2+P_3+\cdots$。变压器是 04-远距离输电实现高压输电的核心元件，电压互感器、电流互感器、自耦变压器是其重要应用。

核心概念

构造

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graph LR
    A[交流电源 U1] --> B[原线圈 n1 匝]
    B --> C[铁芯<br/>闭合磁路]
    C --> D[副线圈 n2 匝]
    D --> E[负载 U2]
    
    style B fill:#ffe6e6
    style C fill:#fff5e6
    style D fill:#e6ffe6

原线圈（初级）：与交流电源相连，匝数 $n_1$，输入电压 $U_1$，输入电流 $I_1$。
副线圈（次级）：与负载相连，匝数 $n_2$，输出电压 $U_2$，输出电流 $I_2$。
铁芯：用涂有绝缘漆的硅钢片叠成，提供闭合磁路，使磁感线几乎全部集中在铁芯中。

理想变压器的基本假设

假设	含义	后果
无漏磁	所有磁感线全部通过原副线圈	$\Phi_1=\Phi_2$，每匝电动势相同
无铜损	线圈电阻为零	不产生焦耳热损耗
无铁损	铁芯无涡流、无磁滞损耗	铁芯不发热

理想变压器功率关系：$P_1=P_2$（输入功率等于输出功率）。

变压原理

由互感原理（见 04-电磁感应/04-自感与互感）：原线圈中交变电流在铁芯中产生交变磁通，该磁通同时穿过原副线圈，每匝产生的感应电动势相同。

$$\frac{U_1}{U_2} = \frac{n_1}{n_2}$$

$n_1 > n_2$：降压变压器
$n_1 < n_2$：升压变压器

变流原理

由功率守恒 $P_1=P_2$，即 $U_1 I_1 = U_2 I_2$，得：

$$\frac{I_1}{I_2} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{U_2}{U_1}$$

电流比是电压比的倒数。

多副线圈情形

设原线圈匝数 $n_1$，副线圈有多个，匝数分别为 $n_2, n_3, \ldots$，则：

电压关系：$\dfrac{U_1}{n_1} = \dfrac{U_2}{n_2} = \dfrac{U_3}{n_3} = \cdots$（每个副线圈电压仍由匝数决定）
功率关系：$P_1 = P_2 + P_3 + \cdots$，即 $U_1 I_1 = U_2 I_2 + U_3 I_3 + \cdots$
电流关系：不能简单写 $I_1:I_2:n_3$，要用功率守恒解出 $I_1$。

因果关系（重点）

变压器的"因果链"

输入端决定输出端电压：$U_1$（输入电压）→ 决定 $U_2$（输出电压，$U_2=\dfrac{n_2}{n_1}U_1$）。

输出端决定输入端电流：$I_2$（由负载 $R$ 决定，$I_2=\dfrac{U_2}{R}$）→ 决定 $I_1$（$I_1=\dfrac{n_2}{n_1}I_2$）。

即：电压"从前往后传"，电流"从后往前要"。

这条因果链是理解变压器所有"动态分析"题的钥匙——负载变化时，先看 $I_2$怎么变，再看$I_1$怎么变；电源电压变化时，先看$U_2$怎么变，再看$I_2$和$I_1$。

推导与原理

变压原理的推导

设原线圈接交流电源 $u_1=U_{1m}\sin(\omega t)$，原线圈交变电流在铁芯中产生交变磁通 $\Phi=\Phi_m\sin(\omega t+\varphi)$。理想情况下无漏磁，$\Phi$ 同时穿过原、副线圈每匝。

由法拉第电磁感应定律：

$$e_1 = -n_1 \frac{d\Phi}{dt}, \quad e_2 = -n_2 \frac{d\Phi}{dt}$$

两式相除：

$$\frac{e_1}{e_2} = \frac{n_1}{n_2}$$

理想变压器无内阻、无损耗，端电压等于感应电动势：$u_1=e_1$，$u_2=e_2$，故：

$$\frac{U_1}{U_2} = \frac{n_1}{n_2}$$

其中 $U_1$、$U_2$ 为有效值。$\square$

变流原理的推导

理想变压器无任何能量损耗（无铜损、无铁损、无漏磁），由能量守恒：

$$P_\text{输入} = P_\text{输出} \Rightarrow U_1 I_1 = U_2 I_2$$

代入 $U_1 = \dfrac{n_1}{n_2}U_2$：

$$\frac{n_1}{n_2} U_2 \cdot I_1 = U_2 I_2 \Rightarrow \frac{I_1}{I_2} = \frac{n_2}{n_1}$$

可见匝数多的一侧电流小，匝数少的一侧电流大——这正好对应"高压侧电流小、低压侧电流大"。$\square$

多副线圈功率关系推导

若有 $k$ 个副线圈，由能量守恒：

$$P_1 = P_2 + P_3 + \cdots + P_k$$

即：

$$U_1 I_1 = \sum_{i=2}^{k} U_i I_i$$

注意：此时 $\dfrac{I_1}{I_2}=\dfrac{n_2}{n_1}$不再成立！必须用功率守恒方程解$I_1$。

易错提示

多副线圈情形下，电压比仍满足 $\dfrac{U_i}{n_i}=\dfrac{U_1}{n_1}$，但电流比不能用简单的反比关系。许多同学在此栽跟头。

典型实例与类比

生活实例

手机充电器：内部含高频变压器，把 220 V 交流降到几伏再整流为直流。手机充电器要求轻便，故采用高频（几十 kHz）以减小变压器体积——频率越高，相同磁通所需的匝数越少。
电力变压器：变电站里常见的大型油浸式变压器，把 10 kV 配电电压升到 110 kV、220 kV、500 kV 甚至 1000 kV 用于远距离输电（见 04-远距离输电）。
微波炉变压器：把 220 V 升到 2000 V 左右供磁控管使用，是常见的"升压变压器"实例。
电蚊拍、电击灭蝇灯：内部用升压变压器把几伏电池电压升到上千伏，产生电击效果。

类比

齿轮传动：变压器类比齿轮组——主动轮（原线圈）齿数 $n_1$，从动轮（副线圈）齿数 $n_2$。$n_1>n_2$ 相当于"小齿轮带动大齿轮"，转速（电压）降低但扭矩（电流）增大——反之亦然。电压与电流的"反比关系"对应力与速度的"反比关系"。
水管变径：粗水管（高压低流）经"变径"接细水管（低压高流），流量守恒类比功率守恒。

应用：互感器

电压互感器（PT）：把高压变成低压供测量。原线圈并联在高压线路中（$n_1$ 匝很多），副线圈接电压表（$n_2$匝很少）。变比$K=\dfrac{U_1}{U_2}=\dfrac{n_1}{n_2}$。副线圈额定电压通常为 100 V。

电流互感器（CT）：把大电流变成小电流供测量。原线圈串联在被测线路中（$n_1$ 匝很少，常为 1 匝即"穿心式"），副线圈接电流表（$n_2$匝很多）。变比$K=\dfrac{I_1}{I_2}=\dfrac{n_2}{n_1}$。副线圈额定电流通常为 5 A 或 1 A。

互感器安全

电压互感器副线圈严禁短路（否则原线圈被短路）；电流互感器副线圈严禁开路（否则原线圈大电流产生的磁通无法被副线圈抵消，铁芯饱和过热，并在副线圈两端产生高压击穿绝缘）。两者副线圈与铁芯都要接地以保证人身安全。

自耦变压器

自耦变压器：原副线圈共用一部分绕组，结构上只有一个线圈带中间抽头。

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graph TD
    A[输入端 A] --> B[可动触头 P]
    B --> C[共用绕组]
    C --> D[输出端 B]

特点：

可连续调压（滑动触头）：调压器是典型自耦变压器
比双绕组变压器省铜、效率高
缺点：原副线圈不隔离，副线圈故障会直接影响原线圈，安全性较差
在 04-远距离输电的大型电力系统中，自耦变压器用于 500 kV 与 220 kV 等超高压电网间联络

变压器与分压电路比较

比较项	变压器	滑动变阻器分压
工作原理	电磁感应（互感）	电阻分压（欧姆定律）
适用电流	仅交流	交流、直流均可
能量损耗	理想情况无损耗	滑动电阻上消耗电能
输出电压范围	$0 \sim \dfrac{n_2}{n_1}U_1$	$0 \sim U_1$
大功率适用	适合	不适合（发热严重）

记忆口诀

匝数决定电压比，原压决定副压出；功率守恒是核心，输出电流要输入；因果关系要分清，U1 决 U2，I2 决 I1；多副线圈功率和，电压比仍用匝数；互感器接法不一样，电压并联流串联。

例题

例 1：理想变压器基本计算

题目：一理想变压器原线圈 $n_1=1100$匝，接$U_1=220\text{ V}$交流电源；副线圈$n_2=50$匝，接$R=5\thinspace\Omega$ 的负载电阻。求：（1）副线圈电压 $U_2$、电流 $I_2$；（2）原线圈电流 $I_1$；（3）输入功率 $P_1$与输出功率$P_2$。

分析：用变压比、变流比、功率守恒依次求解。

解答：（1）$\dfrac{U_1}{U_2}=\dfrac{n_1}{n_2}\Rightarrow U_2=\dfrac{n_2}{n_1}U_1=\dfrac{50}{1100}\times 220=10\text{ V}$

$$I_2=\frac{U_2}{R}=\frac{10}{5}=2\text{ A}$$

（2）$\dfrac{I_1}{I_2}=\dfrac{n_2}{n_1}\Rightarrow I_1=\dfrac{n_2}{n_1}I_2=\dfrac{50}{1100}\times 2=\dfrac{1}{11}\approx 0.091\text{ A}$

（3）$P_1=U_1 I_1=220\times \dfrac{1}{11}=20\text{ W}$；$P_2=U_2 I_2=10\times 2=20\text{ W}$。验证 $P_1=P_2$，符合功率守恒。

点评：理想变压器题目"四步走"——匝数比、电压比、电流比、功率守恒。计算时留意单位与有效值。

例 2：多副线圈功率分析

题目：一理想变压器有两组副线圈，原线圈 $n_1=1000$匝，接$U_1=220\text{ V}$。副线圈 $n_2=50$匝接$R_2=10\thinspace\Omega$，副线圈 $n_3=100$匝接$R_3=20\thinspace\Omega$。求原线圈电流 $I_1$与变压器输入功率$P_1$。

分析：先用电压比求 $U_2$、$U_3$，再分别求 $I_2$、$I_3$，最后用 $P_1=P_2+P_3$求$I_1$。

解答： $$U_2=\frac{n_2}{n_1}U_1=\frac{50}{1000}\times 220=11\text{ V},\quad U_3=\frac{n_3}{n_1}U_1=\frac{100}{1000}\times 220=22\text{ V}$$

$$I_2=\frac{U_2}{R_2}=\frac{11}{10}=1.1\text{ A},\quad I_3=\frac{U_3}{R_3}=\frac{22}{20}=1.1\text{ A}$$

$$P_2=U_2 I_2=11\times 1.1=12.1\text{ W},\quad P_3=U_3 I_3=22\times 1.1=24.2\text{ W}$$

$$P_1=P_2+P_3=36.3\text{ W},\quad I_1=\frac{P_1}{U_1}=\frac{36.3}{220}\approx 0.165\text{ A}$$

点评：多副线圈不能用 $I_1:I_2:n_3$的反比公式！必须用功率守恒。本题也可注意到$R_2=10\thinspace\Omega$与$R_3=20\thinspace\Omega$中$I_2=I_3=1.1\text{ A}$巧合，但$P_3=2P_2$ 体现"高电压副线圈承担大功率"。

例 3：动态分析——负载变化

题目：理想变压器原线圈接电压恒定的交流电源，副线圈接可变电阻 $R$。当 $R$ 阻值减小时，分析以下各量的变化：$U_2$、$I_2$、$P_2$、$I_1$、$P_1$。

分析：紧扣因果链——$U_1$不变则$U_2$ 不变；$R$减小则$I_2$ 增大；$I_2$增大则$P_2$ 增大；$P_2$增大则$P_1$ 增大；$P_1$增大且$U_1$不变则$I_1$ 增大。

解答：

$U_1$恒定 →$U_2=\dfrac{n_2}{n_1}U_1$ 不变
$R$减小 →$I_2=\dfrac{U_2}{R}$ 增大
$P_2=U_2 I_2$ → 增大
$P_1=P_2$ → 增大
$I_1=\dfrac{P_1}{U_1}$（或 $I_1=\dfrac{n_2}{n_1}I_2$）→ 增大

点评：动态分析是高考热点。常用思路：先确定不变的量（输入电压 $U_1$、匝数比），再顺着"输入→输出→输出电流→输入电流"的因果链一步步推。注意区分"电压由输入决定"与"电流由输出决定"。

易错提醒

易错点

变压器只对交流工作：直流电无法产生交变磁通，副线圈无电压输出。把直流电接入变压器原线圈，瞬间有变化磁通（产生感应电动势），稳态后副线圈输出为零；原线圈在稳态下相当于"短路"（仅有铜阻），可能烧毁。
因果倒置：误以为 $I_1$决定$I_2$——实际是负载决定 $I_2$，$I_2$反向决定$I_1$。
多副线圈乱用电流比：只有单一副线圈才有 $I_1:I_2=n_2:n_1$；多副线圈必须用功率守恒。
理想 vs 实际：实际变压器有漏磁、铜损、铁损，效率小于 100%；高考除非说明"理想"，否则要考虑损耗（一般仍按理想处理）。
副线圈开路：副线圈断开（无负载）时 $I_2=0$，$P_2=0$，则 $I_1\approx 0$（仅励磁电流），但 $U_2$ 仍由匝数比决定——并非"无电流就无电压"。
互感器接法：电压互感器原边并联、副边短路危险；电流互感器原边串联、副边开路危险。

概念辨析

与 01-交流电的产生与描述的关系：变压器的输入输出电压、电流均用有效值；变压器只对交流工作，因为只有变化的磁通才能产生互感电动势。
与 02-电感电容与交流电的关系：变压器原线圈本身是一个电感，但铁芯的存在使它"集中磁通"，从而高效地实现互感；理想变压器不消耗有功功率。
与 04-远距离输电的关系：变压器是远距离高压输电的关键元件——升压变压器提升电压以减少线路损耗，降压变压器把电压降到用户安全等级。
与 04-电磁感应/04-自感与互感的关系：变压器原理本质是互感现象；铁芯的作用是增强耦合系数使漏磁趋近于零。
大学层面延伸：电磁学中将引入实际变压器等效电路（漏感、激磁电感、铁损电阻等），分析非理想特性。
跨学科：电力系统（变压器并列运行、有载调压）、电力电子（高频开关电源变压器）、磁路设计（铁芯材料选型）。

作者的话

个人理解

变压器最容易被忽视的是"因果关系"。许多同学觉得 $U_1 I_1 = U_2 I_2$ 是一个等式，两边对称，那"谁决定谁"不就无所谓了吗？错了。物理上输入电压是"主动施加"的——你把 220 V 电源接上去，原线圈就被强制加上了 220 V；而输出电流是"被动消耗"的——负载需要多少电流，副线圈就被迫供给多少，副线圈再通过磁耦合"反过来要求"原线圈提供相应的电流。

这种"输入决定电压，输出决定电流"的非对称性，是变压器动态分析的灵魂。一旦理解了这一点，所有"负载变化引起 $I_1$ 变化"的题都能秒解。

学习建议：把因果链画成流程图，写在草稿纸上——$U_1\to U_2\to I_2\to P_2\to P_1\to I_1$。每次遇到动态分析题，沿这条链依次判断"谁变谁不变"，几乎不会出错。

扩展思考：变压器原线圈在副线圈开路时是否消耗电能？理想情况下，副线圈开路时 $I_2=0$，$P_2=0$，故 $P_1=0$，原线圈电流为零——但实际变压器即使空载也有微小"励磁电流"建立磁通，消耗少量电能。这就是"理想"与"实际"的差距。

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变压器 ​

核心概念 ​

构造 ​

理想变压器的基本假设 ​

变压原理 ​

变流原理 ​

多副线圈情形 ​

因果关系（重点） ​

推导与原理 ​

变压原理的推导 ​

变流原理的推导 ​

多副线圈功率关系推导 ​

典型实例与类比 ​

生活实例 ​

类比 ​

应用：互感器 ​

自耦变压器 ​

变压器与分压电路比较 ​

例题 ​

例 1：理想变压器基本计算 ​

例 2：多副线圈功率分析 ​

例 3：动态分析——负载变化 ​

易错提醒 ​

作者的话 ​

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