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相对论推导
目标
从狭义相对论的两条基本假设出发，推导洛伦兹变换、速度叠加、质能方程等核心结果，并建立与闵氏几何的联系。进而推广至广义相对论，介绍张量分析基础与爱因斯坦场方程。
一、洛伦兹变换的推导
1.1 基本设定
设 $S$系和$S'$ 系为两个惯性参考系，$S'$相对于$S$以速度$v$沿$x$ 轴正方向运动。$t = t' = 0$ 时两坐标系原点重合。
由时空均匀性，变换应为线性：
$$ x' = A x + B t, \qquad t' = C x + D t $$
为何是线性变换？
时空的均匀性意味着物理定律在时空中每一点都相同，因此坐标变换不能依赖于绝对位置或绝对时刻。如果变换是非线性的，那么在不同时空点做同样的实验将得到不同的结果——这违反了相对性原理。此外，线性变换保证匀速直线运动在变换后仍为匀速直线运动，这与惯性系的定义一致。
1.1.1 完整代数推导
现在我们逐步推导出四个系数 $A$、$B$、$C$、$D$。
第一步：利用 $S'$ 原点的运动
$S'$的原点在$S'$系中满足$x' = 0$，在 $S$系中以速度$v$运动，即$x = vt$。代入 $x' = A x + B t$：
$$ 0 = A(vt) + B t = (Av + B)t $$
由于此式对任意 $t$ 成立，必有：
$$ B = -Av \tag{1} $$
因此 $x' = A(x - vt)$，这已经具有了洛伦兹变换的形式。
第二步：利用光速不变原理
光信号在 $S$系中满足$x = ct$，在 $S'$系中满足$x' = ct'$。将 $x = ct$和$x' = ct'$ 分别代入变换式：
$$ \begin{aligned} ct' &= A(ct - vt) = A(c - v)t \newline t' &= C(ct) + D t = (Cc + D)t \end{aligned} $$
将第二式代入第一式，消去 $t'$：
$$ c(Cc + D)t = A(c - v)t $$
$$ c(Cc + D) = A(c - v) \tag{2} $$
第三步：利用逆变换的对称性
考虑光沿 $-x$ 方向传播：$x = -ct$，则在 $S'$系中$x' = -ct'$。代入：
$$ -ct' = A(-ct - vt) = -A(c + v)t $$
$$ t' = C(-ct) + D t = (-Cc + D)t $$
消去 $t'$：
$$ -c(-Cc + D)t = -A(c + v)t $$
$$ c(-Cc + D) = A(c + v) \tag{3} $$
第四步：求解系数
将 (2) 和 (3) 联立：
$$ \begin{cases} c^2 C + cD = A(c - v) \newline -c^2 C + cD = A(c + v) \end{cases} $$
两式相加消去 $C$：
$$ 2cD = A(c - v) + A(c + v) = 2Ac $$
$$ D = A \tag{4} $$
两式相减消去 $D$：
$$ 2c^2 C = A(c - v) - A(c + v) = -2Av $$
$$ C = -\frac{Av}{c^2} \tag{5} $$
第五步：确定 $A$（即 $\gamma$ 因子）
现在我们有 $x' = A(x - vt)$和$t' = A(t - \frac{v}{c^2}x)$。考虑其逆变换：由于 $S$相对于$S'$以速度$-v$ 运动，对称性要求：
$$ x = A(x' + vt'), \qquad t = A(t' + \frac{v}{c^2}x') $$
将 $x'$和$t'$的表达式代入$x = A(x' + vt')$：
$$ \begin{aligned} x &= A\left[A(x - vt) + v \cdot A\left(t - \frac{v}{c^2}x\right)\right] \newline &= A^2\left[x - vt + vt - \frac{v^2}{c^2}x\right] \newline &= A^2\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) x \end{aligned} $$
由于这对任意 $x$ 成立，必须有：
$$ A^2\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) = 1 $$
$$ A = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \equiv \gamma $$
洛伦兹变换
$$ \begin{cases} x' = \gamma(x - vt) \newline[4pt] t' = \gamma\left(t - \dfrac{vx}{c^2}\right) \newline[4pt] y' = y \newline[4pt] z' = z \end{cases} \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $$
逆变换：将 $v \to -v$ 即可。
关键洞察
当 $v \ll c$ 时，$\gamma \approx 1$，洛伦兹变换退化为伽利略变换。这说明牛顿力学是相对论的低速近似。
超光速的数学禁止
从 $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$可以看出，当$v \to c$时$\gamma \to \infty$，当 $v > c$时$\gamma$ 变为虚数。这意味着 有质量物体不能达到或超过光速。这并非技术限制，而是时空结构的数学要求。
1.1.2 推导的另一种视角：时空间隔不变性
上述推导利用了光速不变原理，但还可以从更根本的时空间隔不变性出发。定义时空间隔：
$$ (\Delta s)^2 = (c\Delta t)^2 - (\Delta x)^2 - (\Delta y)^2 - (\Delta z)^2 $$
光速不变意味着 $(c\Delta t)^2 - (\Delta \mathbf{r})^2 = 0$在任意惯性系中保持不变。推广到任意间隔，要求$(\Delta s)^2$在洛伦兹变换下不变，这直接导出了$\gamma$ 因子的表达式。这种观点与闵氏几何中"保持伪欧几里得度规不变"的视角一致。
1.2 利用光速不变原理
光信号在 $S$系中满足$x = ct$，在 $S'$系中满足$x' = ct'$。
另外，$S'$的原点$x'=0$在$S$系中以速度$v$运动，即$x = vt$。
经过代数推导（详见展开），得到：
洛伦兹变换
$$ \begin{cases} x' = \gamma(x - vt) \newline[4pt] t' = \gamma\left(t - \dfrac{vx}{c^2}\right) \newline[4pt] y' = y \newline[4pt] z' = z \end{cases} \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $$
逆变换：将 $v \to -v$ 即可。
关键洞察
当 $v \ll c$ 时，$\gamma \approx 1$，洛伦兹变换退化为伽利略变换。这说明牛顿力学是相对论的低速近似。
1.3 洛伦兹变换的矩阵形式
$$ \begin{pmatrix} c t' \newline x' \newline y' \newline z' \end{pmatrix} \text{=} \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma\beta & 0 & 0 \newline -\gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \newline 0 & 0 & 1 & 0 \newline 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c t \newline x \newline y \newline z \end{pmatrix}, \qquad \beta = \frac{v}{c} $$
这与闵氏几何中的四维时空"旋转"观点一致。
双曲函数表示
引入快度参数 $\phi$，令 $\beta = \tanh\phi$，则 $\gamma = \cosh\phi$，$\gamma\beta = \sinh\phi$。洛伦兹变换矩阵可写为： $$ \Lambda^\mu_{\ \nu} = \begin{pmatrix} \cosh\phi & -\sinh\phi & 0 & 0 \newline -\sinh\phi & \cosh\phi & 0 & 0 \newline 0 & 0 & 1 & 0 \newline 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ 快度的可加性（$\phi_{\text{总}} = \phi_1 + \phi_2$）使得连续洛伦兹变换的处理变得简单，这也解释了为何速度不能简单叠加。
二、速度叠加公式
2.1 推导
设粒子在 $S$系中速度为$\mathbf{u} = (u_x, u_y, u_z)$，在 $S'$系中速度为$\mathbf{u}'$。
由洛伦兹变换微分：
$$ dx' = \gamma(dx - v\thinspace{}dt), \quad dt' = \gamma\left(dt - \frac{v}{c^2}dx\right) $$
相对论速度变换
$$ u_x' = \frac{u_x - v}{1 - \dfrac{v u_x}{c^2}}, \qquad u_y' = \frac{u_y}{\gamma\left(1 - \dfrac{v u_x}{c^2}\right)}, \qquad u_z' = \frac{u_z}{\gamma\left(1 - \dfrac{v u_x}{c^2}\right)} $$
2.2 光速不变性的验证
若 $u_x = c$，则 $u_x' = \frac{c - v}{1 - vc/c^2} = \frac{c - v}{1 - v/c} = c$。光速在任何惯性系中都是 $c$，与光速不变原理自洽。
速度不能叠加超过光速
即使在 $S'$系中以$0.9c$ 发射子弹，$S'$本身以$0.9c$运动，子弹在$S$系中的速度也不是$1.8c$，而是 $\frac{0.9c + 0.9c}{1 + (0.9c)^2/c^2} = \frac{1.8c}{1.81} \approx 0.994c$。
2.3 三维速度变换的完整推导
2.3.1 $y$和$z$ 方向的速度变换
对于 $y$方向，由$y' = y$得$dy' = dy$，因此：
$$ u_y' = \frac{dy'}{dt'} = \frac{dy}{\gamma\left(dt - \frac{v}{c^2}dx\right)} = \frac{dy/dt}{\gamma\left(1 - \frac{v}{c^2}\frac{dx}{dt}\right)} = \frac{u_y}{\gamma\left(1 - \dfrac{v u_x}{c^2}\right)} $$
同理可得 $u_z'$ 的表达式。完整的三维速度变换为：
$$ \begin{aligned} u_x' &= \frac{u_x - v}{1 - \dfrac{v u_x}{c^2}} \newline[8pt] u_y' &= \frac{u_y}{\gamma\left(1 - \dfrac{v u_x}{c^2}\right)} \newline[8pt] u_z' &= \frac{u_z}{\gamma\left(1 - \dfrac{v u_x}{c^2}\right)} \end{aligned} $$
逆变换（$v \to -v$）：
$$ \begin{aligned} u_x &= \frac{u_x' + v}{1 + \dfrac{v u_x'}{c^2}} \newline[8pt] u_y &= \frac{u_y'}{\gamma\left(1 + \dfrac{v u_x'}{c^2}\right)} \newline[8pt] u_z &= \frac{u_z'}{\gamma\left(1 + \dfrac{v u_x'}{c^2}\right)} \end{aligned} $$
速度大小的变换
可以证明，速度大小的变换为： $$ u'^2 = u_x'^2 + u_y'^2 + u_z'^2 = \frac{(u_x - v)^2 + (1 - v^2/c^2)(u_y^2 + u_z^2)}{\left(1 - \dfrac{v u_x}{c^2}\right)^2} $$ 当 $u_y = u_z = 0$（纯 $x$ 方向运动）时，此式退化为 2.1 中的一维情况。
2.3.2 光行差效应
速度变换的一个重要推论是光行差（aberration）。设一束光在 $S$系中与$x$轴夹角为$\theta$，则 $u_x = c\cos\theta$，$u_y = c\sin\theta$。在 $S'$ 系中：
$$ \tan\theta' = \frac{u_y'}{u_x'} = \frac{u_y}{\gamma(u_x - v)} = \frac{\sin\theta}{\gamma(\cos\theta - \beta)} $$
这就是相对论光行差公式，在天文学中用于解释恒星的视位置随地球运动的变化。当 $v \ll c$ 时，$\gamma \approx 1$，退化为经典光行差公式 $\tan\theta' \approx \frac{\sin\theta}{\cos\theta - \beta}$。
2.3.3 速度变换的几何意义
在闵氏时空中，速度变换对应于参考系的"旋转"。引入快度 $\phi$（$\tanh\phi = v/c$），则速度变换在快度空间中表现为简单的平移：
$$ \phi_{\text{合成}} = \phi_1 + \phi_2 $$
这与伽利略变换中速度直接相加（$u = u' + v$）形成鲜明对比。快度的可加性反映了洛伦兹群的结构 —— 沿同一方向的 boost 构成一个阿贝尔子群，同构于实数加法群。
三、相对论动量与能量
3.1 相对论动量
为了保持动量守恒在洛伦兹变换下的协变性，动量必须重新定义为：
$$ \mathbf{p} = \gamma m_0 \mathbf{v} $$
其中 $m_0$ 为静质量（固有质量）。
为什么动量需要重新定义？
在牛顿力学中，动量 $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$在伽利略变换下保持守恒律的形式不变。但在洛伦兹变换下，如果坚持牛顿动量的定义，动量守恒在各个惯性系中将不再同时成立。通过将动量定义为$\mathbf{p} = \gamma m_0 \mathbf{v}$，我们使动量守恒成为洛伦兹协变的定律。
3.2 相对论能量
质能方程
总能量： $$ E = \gamma m_0 c^2 $$
静止能量： $$ E_0 = m_0 c^2 $$
动能： $$ K = E - E_0 = (\gamma - 1) m_0 c^2 $$
关于"动质量"的说明
历史上曾引入"动质量" $m = \gamma m_0$的概念，使得$\mathbf{p} = m\mathbf{v}$和$E = mc^2$在形式上与牛顿力学一致。但现代物理教学中已逐渐摒弃这一概念，因为它会导致误解（如"质量随速度增加"）。静质量$m_0$ 是洛伦兹不变量，是粒子的内禀属性。
3.3 能量-动量关系
能量-动量不变量
$$ E^2 = p^2 c^2 + m_0^2 c^4 $$
这是相对论中最重要的关系之一，它在[闵氏几何](%E9%97%B5%E6%B0%8F%E5%87%A0%E4%BD%95.md#5.2 四维动量)中对应于四维动量的模方不变性。
特殊情况：
- 静止粒子 ($p=0$)：$E = m_0 c^2$
- 无质量粒子 ($m_0 = 0$)：$E = pc$（如光子）
3.4 质能方程的推导思路
3.4.1 从功-能定理出发（完整积分推导）
从功-能定理出发：
$$ K = \int F\thinspace{}dx = \int \frac{dp}{dt}\thinspace{}dx = \int v\thinspace{}dp $$
代入 $p = \gamma m_0 v$，使用分部积分：
$$ K = \int v\thinspace{}d(\gamma m_0 v) = \gamma m_0 v^2 - \int \gamma m_0 v\thinspace{}dv $$
这里需要技巧。注意到：
$$ d\gamma = d\left(\frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\right) = \frac{v}{c^2(1 - v^2/c^2)^{3/2}}\thinspace{}dv = \frac{\gamma^3 v}{c^2}\thinspace{}dv $$
因此 $v\thinspace{}dv = \frac{c^2}{\gamma^3}\thinspace{}d\gamma$。
回到动能的积分：
$$ \begin{aligned} K &= \int v\thinspace{}dp = \int v\thinspace{}d(\gamma m_0 v) \newline &= \int v \left( m_0 v\thinspace{}d\gamma + \gamma m_0\thinspace{}dv \right) \newline &= m_0\int v^2\thinspace{}d\gamma + m_0\int \gamma v\thinspace{}dv \end{aligned} $$
用 $v^2 = c^2(1 - \gamma^{-2})$和$v\thinspace{}dv = \frac{c^2}{\gamma^3}\thinspace{}d\gamma$ 代入：
$$ \begin{aligned} K &= m_0\int c^2(1 - \gamma^{-2})\thinspace{}d\gamma + m_0\int \gamma \cdot \frac{c^2}{\gamma^3}\thinspace{}d\gamma \newline &= m_0 c^2\int \left(1 - \frac{1}{\gamma^2} + \frac{1}{\gamma^2}\right) d\gamma \newline &= m_0 c^2\int d\gamma \newline &= m_0 c^2 \gamma \Big|_{v=0}^{v} \end{aligned} $$
当 $v = 0$时$\gamma = 1$，因此：
$$ K = m_0 c^2 (\gamma - 1) = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2 $$
由此自然定义 $E_0 = m_0 c^2$ 为静止能量，$E = \gamma m_0 c^2$ 为总能量。
低速极限验证
当 $v \ll c$时，展开$\gamma = (1 - v^2/c^2)^{-1/2} \approx 1 + \frac{v^2}{2c^2} + \frac{3v^4}{8c^4} + \cdots$，代入动能表达式： $$ K = m_0 c^2\left(1 + \frac{v^2}{2c^2} + \cdots - 1\right) \approx \frac{1}{2}m_0 v^2 $$ 完美退化为牛顿力学的动能公式，验证了理论的自洽性。
3.4.2 从四维动量守恒出发的另一种推导
定义四维动量 $P^\mu = (E/c, \mathbf{p})$。在粒子碰撞中，四维动量守恒：
$$ \sum_i P_i^\mu = \sum_f P_f^\mu $$
四维动量的模方是洛伦兹不变量：
$$ P^\mu P_\mu = \frac{E^2}{c^2} - \mathbf{p}^2 = m_0^2 c^2 $$
现在考虑一个粒子衰变为多个粒子的过程。在质心系中，初态粒子静止，总动量 $\mathbf{p} = 0$，四维动量为 $(m_0 c, \mathbf{0})$。衰变后，末态粒子的四维动量之和必须等于 $(m_0 c, \mathbf{0})$。由模方不变性：
$$ \left(\sum_f E_f\right)^2 - \left(\sum_f \mathbf{p}_f\right)^2 c^2 = m_0^2 c^4 $$
在质心系中 $\sum_f \mathbf{p}_f = 0$，因此 $\sum_f E_f = m_0 c^2$。这意味着静止能量 $m_0 c^2$可以完全转化为末态粒子的动能和（可能更小的）静能。这直接验证了$E = m_0 c^2$ 的物理意义——质量是能量的"冻结"形态。
3.5 相对论力学的更多内容
3.5.1 相对论力（四维力）
在相对论中，牛顿第二定律 $\mathbf{F} = m\mathbf{a}$ 不再成立。正确的相对论运动方程为：
$$ \mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \frac{d}{dt}(\gamma m_0 \mathbf{v}) $$
展开后：
$$ \mathbf{F} = \gamma m_0 \mathbf{a} + \gamma^3 m_0 \frac{\mathbf{v}(\mathbf{v} \cdot \mathbf{a})}{c^2} $$
相对论力的特点
- 力和加速度一般不再同向（除非 $\mathbf{F} \parallel \mathbf{v}$或$\mathbf{F} \perp \mathbf{v}$）
- 当 $\mathbf{F} \parallel \mathbf{v}$ 时，$F = \gamma^3 m_0 a$（纵向质量"等效" $\gamma^3 m_0$）
- 当 $\mathbf{F} \perp \mathbf{v}$ 时，$F = \gamma m_0 a$（横向质量"等效" $\gamma m_0$）
- 当 $v \to c$ 时，无论力多大，加速度都趋于零
3.5.2 闵可夫斯基力（四维力矢量）
定义四维力（闵可夫斯基力）：
$$ \mathcal{F}^\mu = \frac{dP^\mu}{d\tau} = \left(\frac{\gamma}{c}\frac{dE}{dt},\ \gamma \mathbf{F}\right) $$
其中 $\tau$ 是固有时，$\mathbf{F} = d\mathbf{p}/dt$ 是三维力。四维力与四维加速度的关系为：
$$ \mathcal{F}^\mu = m_0 \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} = m_0 A^\mu $$
四维力满足正交性条件：
$$ \mathcal{F}^\mu U_\mu = 0 $$
其中 $U^\mu = dx^\mu/d\tau$是四维速度。这是因为$U^\mu U_\mu = c^2$为常数，对其求导得到$U^\mu (dU_\mu/d\tau) = 0$，即 $U^\mu \mathcal{F}_\mu/m_0 = 0$。
3.5.3 相对论拉格朗日量和哈密顿量
自由粒子的相对论作用量为：
$$ S = -m_0 c^2 \int d\tau = -m_0 c \int ds $$
其中 $ds = \sqrt{c^2 dt^2 - d\mathbf{r}^2}$ 是时空间隔。由此可得拉格朗日量：
$$ L = -m_0 c^2 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} $$
低速极限
展开 $L \approx -m_0 c^2 + \frac{1}{2}m_0 v^2$，除去常数项 $-m_0 c^2$（不影响运动方程），退化为牛顿力学的拉格朗日量 $L = \frac{1}{2}mv^2$。
正则动量为：
$$ \mathbf{p} = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}} = \frac{m_0 \mathbf{v}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma m_0 \mathbf{v} $$
与相对论动量定义一致。哈密顿量为：
$$ H = \mathbf{p} \cdot \mathbf{v} - L = \gamma m_0 v^2 + m_0 c^2\sqrt{1 - v^2/c^2} = \gamma m_0 c^2 = E $$
即哈密顿量等于总能量。哈密顿运动方程 $\dot{\mathbf{p}} = -\partial H/\partial \mathbf{q} = 0$ 给出动量守恒，$\dot{\mathbf{q}} = \partial H/\partial \mathbf{p} = \mathbf{p}/\gamma m_0 = \mathbf{v}$ 给出速度-动量关系。
带电粒子在电磁场中的相对论拉格朗日量
$$ L = -m_0 c^2 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} + q\mathbf{A} \cdot \mathbf{v} - q\phi $$ 由此可导出完整的相对论洛伦兹力方程，这是量子力学专题中狄拉克方程在经典极限下的基础。
3.6 无质量粒子的相对论力学
对于 $m_0 = 0$ 的粒子（如光子、引力子），能量-动量关系简化为：
$$ E = pc $$
这并不意味着无质量粒子的力学是平凡的。无质量粒子的四维动量具有光锥性质：
$$ P^\mu P_\mu = 0 $$
光子的动量与能量
对于频率为 $\nu$ 的光子，$E = h\nu$，$p = h\nu/c = h/\lambda$。光子虽然没有静质量，但具有动量，这解释了光压效应——太阳帆可以利用光子动量推动航天器。
引力波的动量与能量
引力波以光速传播，其量子（引力子）也是无质量的。引力波携带能量和动量，可以从双星轨道衰减中观测到——Hulse-Taylor 双脉冲星的轨道衰减与广义相对论预言的四极辐射公式精确吻合，提供了引力波存在的间接证据（1993 年诺贝尔物理学奖）。
四、从狭义到广义：等效原理与测地线
4.1 等效原理
弱等效原理
引力质量 $m_g$等于惯性质量$m_i$（已被 Eötvös 实验以极高精度验证）。
爱因斯坦等效原理
在局部时空中，无法通过任何物理实验区分均匀引力场和加速参考系。
强等效原理
在任意引力场中的任意时空点，总存在一个局部惯性系，在其中所有物理定律（包括引力定律本身）都取狭义相对论的形式。这意味着引力可以被"变换掉"——至少在局部如此。
4.2 测地线方程
在弯曲时空中，自由粒子沿测地线运动：
$$ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau} = 0 $$
其中 $\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$是克里斯托费尔符号（联络系数），由度规$g_{\mu\nu}$ 决定。
4.3 爱因斯坦场方程
$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$
- 左边：时空几何（爱因斯坦张量）
- 右边：物质/能量分布（能量-动量张量）
- 这是一组非线性偏微分方程，精确解稀少（如施瓦西解、克尔解、FLRW 度规）
4.4 爱因斯坦场方程的推导思路
4.4.1 从等效原理到场方程
等效原理告诉我们，引力表现为时空的弯曲，自由粒子沿测地线运动。关键问题是：物质如何弯曲时空？
牛顿引力场方程为泊松方程：
$$ \nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho $$
广义相对论中，我们需要一个推广：
- 牛顿引力势 $\Phi$的推广$\to$度规张量$g_{\mu\nu}$（10 个独立分量）
- 质量密度 $\rho$的推广$\to$能量-动量张量$T_{\mu\nu}$
- $\nabla^2 \Phi$的推广$\to$ 某种由度规的二阶导数构成的张量
4.4.2 爱因斯坦张量的构造
爱因斯坦寻找一个满足以下条件的张量 $G_{\mu\nu}$：
- 由度规及其一阶、二阶导数构成
- 对二阶导数线性（以保证场方程在弱场极限下退化为泊松方程）
- 协变散度为零：$\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0$（与 $\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0$ 匹配）
- 对称：$G_{\mu\nu} = G_{\nu\mu}$
唯一满足这些条件的张量是爱因斯坦张量：
$$ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R $$
其中 $R_{\mu\nu}$ 是里奇张量，$R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$ 是里奇标量（标量曲率）。
里奇张量的定义
$$ R_{\mu\nu} = R^\alpha_{\ \mu\alpha\nu} = \partial_\alpha \Gamma^\alpha_{\mu\nu} - \partial_\nu \Gamma^\alpha_{\mu\alpha}
- \Gamma^\alpha_{\alpha\beta}\Gamma^\beta_{\mu\nu} - \Gamma^\alpha_{\nu\beta}\Gamma^\beta_{\mu\alpha} $$
4.4.3 牛顿极限的验证
在弱场、低速极限下，度规可写为 $g_{00} \approx -(1 + 2\Phi/c^2)$，$g_{ij} \approx \delta_{ij}$。测地线方程退化为：
$$ \frac{d^2 x^i}{dt^2} \approx -\frac{\partial \Phi}{\partial x^i} $$
这正是牛顿第二定律与引力势的关系。场方程退化为 $\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho$，验证了 $8\pi G/c^4$ 的系数选择。
4.5 精确解简介
4.5.1 施瓦西解的推导概要
施瓦西解描述了球对称、不带电、不旋转的质量分布在真空中的引力场。这是广义相对论第一个精确解（1916 年）。
假设静态球对称度规的普遍形式：
$$ ds^2 = -e^{2\alpha(r)}c^2 dt^2 + e^{2\beta(r)}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\thinspace{}d\phi^2) $$
代入真空爱因斯坦场方程 $R_{\mu\nu} = 0$，经过计算得到：
$$ \begin{aligned} R_{tt} &= e^{2(\alpha - \beta)}\left[\alpha'' + (\alpha')^2 - \alpha'\beta' + \frac{2\alpha'}{r}\right] = 0 \newline R_{rr} &= -\alpha'' - (\alpha')^2 + \alpha'\beta' + \frac{2\beta'}{r} = 0 \newline R_{\theta\theta} &= e^{-2\beta}\left[r(\beta' - \alpha') - 1\right] + 1 = 0 \end{aligned} $$
由 $R_{tt} = 0$和$R_{rr} = 0$相加得$\alpha' + \beta' = 0$，即 $\alpha + \beta = \text{常数}$。在 $r \to \infty$时度规趋于闵氏度规，故$\alpha(\infty) = \beta(\infty) = 0$，因此 $\beta = -\alpha$。
由 $R_{\theta\theta} = 0$ 得：
$$ e^{2\alpha}(2r\alpha' + 1) = 1 $$
令 $e^{2\alpha} = 1 - r_s/r$，解得 $r_s = 2GM/c^2$（施瓦西半径）。
4.5.2 施瓦西度规
施瓦西度规
$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\thinspace{}d\phi^2) $$ 其中 $r_s = \dfrac{2GM}{c^2}$ 为施瓦西半径。
4.5.3 引力红移
在施瓦西时空中，静止于 $r = r_1$处的光源发出频率为$\nu_1$的光，被$r = r_2$处的观测者接收。由于固有时与坐标时的关系$d\tau = \sqrt{1 - r_s/r}\thinspace{}dt$，频率之比为：
$$ \frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{\frac{1 - r_s/r_1}{1 - r_s/r_2}} $$
当 $r_2 > r_1$（光从引力势深处向外传播）时，$\nu_2 < \nu_1$，即发生引力红移。
弱场近似下的引力红移
当 $r_1, r_2 \gg r_s$ 时： $$ \frac{\Delta \nu}{\nu} \approx \frac{GM}{c^2}\left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right) = \frac{\Phi(r_2) - \Phi(r_1)}{c^2} $$ 这与利用等效原理和能量守恒得到的简单推导完全一致。Pound-Rebka 实验（1960 年）在哈佛大学塔楼中以极高精度验证了这一效应。
4.5.4 施瓦西度规中的时间膨胀
对于静止于施瓦西时空中的观测者，其固有时与坐标时的关系为：
$$ d\tau = \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}}\thinspace{}dt $$
这意味着在引力场越强的地方（$r$越小），时间流逝越慢。当$r \to r_s$（事件视界）时，$d\tau \to 0$，从远处观测者的视角看，落入黑洞的物体似乎永远无法到达视界。
4.6 弱场近似与引力波
4.6.1 线性化爱因斯坦方程
在弱场近似下，度规可写为闵氏度规加上一个小扰动：
$$ g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}, \qquad |h_{\mu\nu}| \ll 1 $$
定义迹反向扰动：
$$ \bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}h, \qquad h = \eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu} $$
在洛伦兹规范 $\partial^\mu \bar{h}_{\mu\nu} = 0$ 下，爱因斯坦场方程线性化为：
$$ \Box \bar{h}_{\mu\nu} = -\frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$
其中 $\Box = -\partial_t^2/c^2 + \nabla^2$ 是达朗贝尔算符。真空中（$T_{\mu\nu} = 0$）：
$$ \Box \bar{h}_{\mu\nu} = 0 $$
这正是波动方程，波速为 $c$。
4.6.2 引力波的传播
在横向无迹（TT）规范下，引力波只有两个独立的偏振分量：
$$ h_{\mu\nu}^{\text{TT}} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \newline 0 & h_+ & h_\times & 0 \newline 0 & h_\times & -h_+ & 0 \newline 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} e^{i(kz - \omega t)} $$
两个偏振模式
- $h_+$（plus 模式）：使测试粒子环在 $x$和$y$ 方向交替拉伸和压缩
- $h_\times$（cross 模式）：使测试粒子环沿对角线方向拉伸和压缩
这两种模式以 $45^\circ$ 夹角交替，是引力波区别于电磁波（矢量波）的重要特征。LIGO 和 Virgo 探测器正是通过测量这两类偏振导致的臂长变化来探测引力波。
四极辐射
引力波的最低阶辐射是四极辐射（而非偶极辐射），因为质量偶极矩的守恒禁止了偶极辐射。引力波光度由质量四极矩的三阶时间导数给出： $$ L_{\text{GW}} = \frac{G}{5c^5} \langle \dddot{Q}_{ij} \dddot{Q}^{ij} \rangle $$ 其中 $Q_{ij}$ 是约化四极矩张量。这与 LIGO 观测到的双黑洞并合信号高度吻合（2017 年诺贝尔物理学奖）。
五、张量分析基础
为何需要张量分析？
广义相对论的核心思想是：物理定律应具有广义协变性——即在任意坐标变换下保持形式不变。张量正是实现这一目标的最自然数学工具。张量方程如果在某个坐标系中成立，则在所有坐标系中成立。
5.1 逆变与协变矢量
5.1.1 逆变矢量
在坐标变换 $x^\mu \to x'^\mu$ 下，逆变矢量按以下规则变换：
$$ A'^\mu = \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu} A^\nu $$
物理上，位移 $dx^\mu$ 是典型的逆变矢量。逆变矢量用上标表示。
5.1.2 协变矢量
协变矢量（对偶矢量）按以下规则变换：
$$ A'_\mu = \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu} A_\nu $$
物理上，标量函数的梯度 $\partial_\mu \phi = \partial\phi/\partial x^\mu$ 是典型的协变矢量。协变矢量用下标表示。
5.1.3 度规张量
度规张量 $g_{\mu\nu}$ 定义了时空中邻近两点之间的"距离"：
$$ ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu $$
度规张量是对称的（$g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}$），其逆记作 $g^{\mu\nu}$，满足 $g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu} = \delta^\mu_\nu$。
度规实现了逆变和协变指标之间的升降：
$$ A_\mu = g_{\mu\nu} A^\nu, \qquad A^\mu = g^{\mu\nu} A_\nu $$
闵氏度规
在狭义相对论中，度规是常数： $$ \eta_{\mu\nu} = \operatorname{diag}(-1, 1, 1, 1) \quad \text{或} \quad \operatorname{diag}(1, -1, -1, -1) $$ 两种符号约定（$(-,+,+,+)$和$(+,-,-,-)$）在文献中都有使用，本书采用 $(-,+,+,+)$。在广义相对论中，$g_{\mu\nu}$ 是时空坐标的函数，由爱因斯坦场方程决定。
5.2 克里斯托费尔符号与协变导数
5.2.1 克里斯托费尔符号
在弯曲时空中，普通导数 $\partial_\mu$不再是一个张量算子。我们需要协变导数$\nabla_\mu$，它通过克里斯托费尔符号（联络系数）来修正：
$$ \Gamma^\mu_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}g^{\mu\nu}\left(\partial_\alpha g_{\nu\beta} + \partial_\beta g_{\nu\alpha} - \partial_\nu g_{\alpha\beta}\right) $$
克里斯托费尔符号的性质
- $\Gamma^\mu_{\alpha\beta} = \Gamma^\mu_{\beta\alpha}$（对称性，对于无挠联络）
- 它不是张量！在局部惯性系中 $\Gamma^\mu_{\alpha\beta} = 0$，但它的导数构成黎曼曲率张量
- 在闵氏时空中（笛卡尔坐标），$\Gamma^\mu_{\alpha\beta} = 0$
5.2.2 协变导数
逆变矢量的协变导数：
$$ \nabla_\mu A^\nu = \partial_\mu A^\nu + \Gamma^\nu_{\mu\alpha} A^\alpha $$
协变矢量的协变导数：
$$ \nabla_\mu A_\nu = \partial_\mu A_\nu - \Gamma^\alpha_{\mu\nu} A_\alpha $$
高阶张量的协变导数按规则推广，每个上标加一个 $\Gamma$项，每个下标减一个$\Gamma$ 项。
度规的协变导数
广义相对论中一个关键结果是度规的协变导数为零（度规相容性）： $$ \nabla_\alpha g_{\mu\nu} = 0 $$ 这意味着度规张量在协变意义下是"常数"，测地线平移保持矢量长度不变。
5.3 黎曼曲率张量、里奇张量、标量曲率
5.3.1 黎曼曲率张量
时空弯曲的全部信息编码在黎曼曲率张量中：
$$ R^\rho_{\ \sigma\mu\nu} = \partial_\mu \Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma} $$
黎曼张量的对称性
- $R_{\rho\sigma\mu\nu} = -R_{\sigma\rho\mu\nu}$（前两个指标反对称）
- $R_{\rho\sigma\mu\nu} = -R_{\rho\sigma\nu\mu}$（后两个指标反对称）
- $R_{\rho\sigma\mu\nu} = R_{\mu\nu\rho\sigma}$（交换前后两对指标对称）
- $R_{\rho[\sigma\mu\nu]} = 0$（比安基第一恒等式）
在 $n$维时空中，独立分量数为$n^2(n^2-1)/12$，四维时空中有 20 个独立分量。
5.3.2 里奇张量
里奇张量是黎曼张量的缩并：
$$ R_{\mu\nu} = R^\alpha_{\ \mu\alpha\nu} $$
里奇张量是对称的：$R_{\mu\nu} = R_{\nu\mu}$。
5.3.3 里奇标量（标量曲率）
里奇标量是里奇张量的迹：
$$ R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} $$
正曲率表示球面几何（如正质量密度的引力场），负曲率表示鞍面几何。
5.3.4 比安基恒等式与爱因斯坦张量
比安基第二恒等式：
$$ \nabla_{[\lambda} R_{\rho\sigma]\mu\nu} = 0 $$
缩并两次得到：
$$ \nabla^\mu \left(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\right) = 0 $$
这直接证明了 $G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R$ 的协变散度为零，从而解释了爱因斯坦场方程中左边为何取此形式。
5.4 测地线方程的推导
5.4.1 从变分原理出发
自由粒子在弯曲时空中的运动遵循最短路径原则（严格说是极值化固有时）。作用量为：
$$ S = -m_0 c \int ds = -m_0 c \int \sqrt{-g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda}} \thinspace d\lambda $$
其中 $\lambda$是任意仿射参数。由最小作用量原理$\delta S = 0$，经过变分运算：
$$ \delta S = -m_0 c \int \frac{1}{2\sqrt{-\dot{x}^\alpha \dot{x}_\alpha}} \left[(\partial_\sigma g_{\mu\nu}) \delta x^\sigma \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu + 2g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \delta \dot{x}^\nu\right] d\lambda = 0 $$
取 $\lambda = \tau$（固有时），则 $\dot{x}^\alpha \dot{x}_\alpha = -c^2$为常数。对第二项分部积分，并利用$\delta x^\mu$ 的任意性，得到：
$$ \frac{d}{d\tau}(g_{\mu\nu} \dot{x}^\nu) - \frac{1}{2}(\partial_\mu g_{\alpha\beta}) \dot{x}^\alpha \dot{x}^\beta = 0 $$
展开第一项：
$$ g_{\mu\nu} \ddot{x}^\nu + (\partial_\alpha g_{\mu\beta}) \dot{x}^\alpha \dot{x}^\beta - \frac{1}{2}(\partial_\mu g_{\alpha\beta}) \dot{x}^\alpha \dot{x}^\beta = 0 $$
利用对称性重写第二项，乘以 $g^{\sigma\mu}$：
$$ \ddot{x}^\sigma + \frac{1}{2}g^{\sigma\mu}\left(\partial_\alpha g_{\mu\beta} + \partial_\beta g_{\mu\alpha} - \partial_\mu g_{\alpha\beta}\right) \dot{x}^\alpha \dot{x}^\beta = 0 $$
5.4.2 测地线方程的标准形式
$$ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau} = 0 $$
测地线方程的物理意义
- 第一项 $\ddot{x}^\mu$ 是四维加速度
- 第二项是"引力"项，来源于时空弯曲，由克里斯托费尔符号编码
- 在局部惯性系中 $\Gamma^\mu_{\alpha\beta} = 0$，方程退化为 $\ddot{x}^\mu = 0$（自由粒子做匀速直线运动）——这正是等效原理的数学表达
- 对于类光测地线（光子），需用仿射参数 $\lambda$代替$\tau$（因为 $d\tau = 0$）
牛顿极限下的测地线方程
在弱场、低速近似下，测地线方程退化为 $\ddot{x}^i \approx -\partial_i \Phi$，即牛顿引力场中的运动方程 $\mathbf{a} = -\nabla\Phi$。这再次验证了广义相对论在适当条件下退化为牛顿引力理论。