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运动学中的微分方程建模与求解
本文定位
本笔记适合放在「力学」「微分方程」「物理建模」等文件夹。
内容包括：
- 运动学微分方程的建模方法
- 常见物理情景（阻力、恒力、恒功率等）的微分方程推导
- 一阶/二阶微分方程的求解
- 能量法与微分方程的关系
- 典型例题与解析
目标：达到教材级严谨度，适合竞赛、考试与科研建模。
1. 运动学微分方程的基本思想
1.1 从牛顿第二定律到微分方程
运动学的核心是：
$$ F = ma = m\frac{dv}{dt} = m\frac{d^2x}{dt^2}. $$
因此，只要给定力 $F(x, v, t)$，就能写出运动微分方程：
$$ m\frac{dv}{dt} = F(x, v, t). $$
或：
$$ m\frac{d^2x}{dt^2} = F(x, v, t). $$
建模流程
- 写出受力
- 用牛顿第二定律转化为微分方程
- 根据力的形式选择求解方法
- 得到 $v(t)$、$x(t)$ 或隐式关系
2. 常见运动情景的微分方程建模
2.1 恒力作用：匀加速运动
若合力为常数 $F$，则：
$$ m\frac{dv}{dt} = F. $$
分离变量：
$$ dv = \frac{F}{m}dt. $$
积分得：
$$ v(t) = v_0 + \frac{F}{m}t. $$
再积分一次：
$$ x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{F}{2m}t^2. $$
这是最基础的二阶常微分方程，解法最直接。
2.2 速度正比阻力：线性阻力
阻力：
$$ f = -kv. $$
微分方程：
$$ m\frac{dv}{dt} = F - kv. $$
这是一阶线性微分方程：
$$ \frac{dv}{dt} + \frac{k}{m}v = \frac{F}{m}. $$
通解：
$$ v(t) = \frac{F}{k} + \left(v_0 - \frac{F}{k}\right)e^{-\frac{k}{m}t}. $$
位置：
$$ x(t) = x_0 + \frac{F}{k}t + \left(v_0 - \frac{F}{k}\right)\frac{m}{k}\left(1 - e^{-\frac{k}{m}t}\right). $$
终极速度
$$ v_{\infty} = \frac{F}{k}. $$
2.3 速度平方阻力：二次阻力
阻力：
$$ f = -kv^2. $$
微分方程：
$$ m\frac{dv}{dt} = F - kv^2. $$
分离变量：
$$ \frac{dv}{F - kv^2} = \frac{dt}{m}. $$
积分得：
$$ v(t) = \sqrt{\frac{F}{k}}\tanh\left(\sqrt{\frac{Fk}{m^2}}\thinspace{}t + C\right). $$
终极速度
$$ v_{\infty} = \sqrt{\frac{F}{k}}. $$
2.4 恒功率驱动：非线性微分方程
功率恒定：
$$ P = Fv = m\frac{dv}{dt}v. $$
微分方程：
$$ m v\frac{dv}{dt} = P. $$
分离变量：
$$ v\thinspace{}dv = \frac{P}{m}dt. $$
积分：
$$ \frac{1}{2}v^2 = \frac{P}{m}t + C. $$
若 $v(0)=0$：
$$ v(t) = \sqrt{\frac{2P}{m}t}. $$
再积分：
$$ x(t) = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{2P}{m}}\thinspace{}t^{3/2}. $$
特点
- 加速度随时间减小
- 速度随 $\sqrt{t}$ 增长
- 位移随 $t^{3/2}$ 增长
这是典型的非线性动力学方程。
2.5 弹簧振子：二阶常系数微分方程
胡克定律：
$$ F = -kx. $$
微分方程：
$$ m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0. $$
特征方程：
$$ m\lambda^2 + k = 0. $$
解：
$$ x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t),\quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}. $$
这是最经典的二阶线性微分方程。
3. 微分方程求解方法总结
3.1 分离变量法
适用于：
- $m\frac{dv}{dt} = f(v)$
- $m\frac{dv}{dt} = f(x)$
步骤：
$$ \int \frac{dv}{f(v)} = \int \frac{dt}{m}. $$
3.2 一阶线性微分方程
形式：
$$ \frac{dv}{dt} + p(t)v = q(t). $$
积分因子：
$$ \mu(t) = e^{\int p(t)dt}. $$
3.3 二阶常系数微分方程
形式：
$$ m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0. $$
特征方程：
$$ m\lambda^2 + c\lambda + k = 0. $$
三种情况：
- 欠阻尼：振荡衰减
- 临界阻尼：最快回到平衡
- 过阻尼：不振荡缓慢回到平衡
3.4 能量法（避免求解微分方程）
若力为保守力：
$$ \frac{1}{2}mv^2 + U(x) = E. $$
可直接求：
$$ v = \sqrt{\frac{2(E - U(x))}{m}}. $$
再用：
$$ dt = \frac{dx}{v}. $$
积分即可得到 $t(x)$或$x(t)$。
能量法常用于复杂势能问题。
4. 典型例题
例题 1：线性阻力下的下落运动
方程：
$$ m\frac{dv}{dt} = mg - kv. $$
解：
$$ v(t) = \frac{mg}{k}\left(1 - e^{-\frac{k}{m}t}\right). $$
位移：
$$ x(t) = \frac{mg}{k}t - \frac{m^2g}{k^2}\left(1 - e^{-\frac{k}{m}t}\right). $$
例题 2：二次阻力下的下落运动
方程：
$$ m\frac{dv}{dt} = mg - kv^2. $$
解：
$$ v(t) = \sqrt{\frac{mg}{k}}\tanh\left(\sqrt{\frac{gk}{m}}\thinspace{}t\right). $$
例题 3：恒功率驱动小车
方程：
$$ m v\frac{dv}{dt} = P. $$
解：
$$ v(t) = \sqrt{\frac{2P}{m}t},\quad x(t) = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{2P}{m}}t^{3/2}. $$
5. 小结
核心要点
- 运动学微分方程来自牛顿第二定律
- 力的形式决定微分方程的类型
- 常见形式：
- 恒力 → 匀加速
- 线性阻力 → 一阶线性方程
- 二次阻力 → 可分离变量
- 恒功率 → 非线性方程
- 弹簧振子 → 二阶常系数方程
- 能量法可替代微分方程求解
6. 思考题（可加入你的题库）
- 若阻力为 $f = -kv^n$，求一般微分方程并讨论可分离性。
- 恒功率驱动但存在线性阻力时，写出微分方程并讨论是否可解析求解。
- 对于弹簧–阻尼系统，如何判断欠阻尼、临界阻尼与过阻尼？
- 若力为 $F = -kx^3$，如何用能量法求运动周期？