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机械振动 contents
说明
本目录按知识递进逻辑编排，涵盖单自由度自由振动、阻尼振动、受迫振动与共振、振动的合成与分解、多自由度与连续系统入门等板块。可在此基础上按节编写详细笔记。
第一部分：单自由度系统的自由振动
1 简谐运动（无阻尼自由振动）
- 动力学方程 $m\ddot x + kx = 0$
- 解的形式、振幅、周期、频率、相位
- 能量（动能与势能的转化）
- 旋转矢量表示法（相量）
2 阻尼振动
- 粘性阻尼模型 $m\ddot x + c\dot x + kx = 0$
- 欠阻尼、临界阻尼、过阻尼
- 对数减缩、品质因数
3 单摆
- 小角度近似与简谐运动
- 大角度下的非简谐修正（椭圆积分简介）
- 物理摆（复摆）
第二部分：受迫振动与共振
4 受迫振动（正弦激励下的稳态响应）
- 无阻尼受迫振动 $m\ddot x + kx = F_0\cos\omega t$
- 有阻尼受迫振动 $m\ddot x + c\dot x + kx = F_0\cos\omega t$
- 稳态解的振幅与相位差
- 复数法求解
5 共振
- 位移共振、速度共振、加速度共振
- 共振频率与品质因数的关系
- 共振曲线的半功率带宽
- 共振的危害与利用
6 拍现象
- 拍频公式 $\omega_{\text{拍}} = |\omega_1 - \omega_2|$
- 拍的波形与振幅调制
- 在受迫振动起步阶段的表现（瞬态过程）
第三部分：振动的合成与分解
7 简谐运动的合成
- 同方向同频率：合振幅公式（相量加法）
- 同方向不同频率：拍（深化）、非周期叠加
- 相互垂直的简谐运动合成：椭圆运动、利萨如图形
8 非一维简谐运动
- 二维各向同性/异性谐振子
- 利萨如图形
- 三维谐振子简介
9 正余弦波的叠加与分离
- 三角函数恒等式与和差化积
- 驻波作为一种特殊叠加（为连续介质振动铺垫）
10 傅里叶展开
- 周期振动的傅里叶级数（正弦/余弦形式）
- 频谱概念（基频、谐频）
- 周期激励下受迫振动的稳态解
- 傅里叶变换的定性介绍（选读）
第四部分：多自由度与连续系统（补充）
11 多自由度系统的振动
- 两质量三弹簧系统
- 简正模与简正频率
- 坐标耦合与解耦
12 连续系统振动简介
- 弦的波动方程
- 杆的纵振动、轴的扭转振动
- 固有模态与驻波
第五部分：专题与拓展
13 相图与相轨迹
- 简谐振子的椭圆相图
- 阻尼振动的螺旋线
- 受迫振动的极限环概念
14 非线性振动选讲（选读）
- 单摆大角度、杜芬方程、自激振动
- 混沌运动的初步概念
#正文
第一部分：单自由度系统的自由振动
本部分目标
建立单自由度系统在无外部驱动力下的振动理论基础。首先讨论最简单的简谐运动（无阻尼自由振动），然后引入线性阻尼并分析三种阻尼状态，最后以单摆作为重要实例加以应用。所有讨论基于牛顿力学或能量法，重点是运动方程的建立、求解及物理意义的阐释。
1 简谐运动（无阻尼自由振动）
1.1 动力学模型与运动方程
定义 1.1（线性恢复力）
当物体所受的合外力与偏离平衡位置的位移成正比且方向相反时，该力称为线性恢复力。在一维情况下可写为 $F = -kx$，其中 $k>0$ 为劲度系数（刚度系数）。
设质量为 $m$的物体在光滑水平面上受弹簧作用，取平衡位置为坐标原点$x=0$。由牛顿第二定律： $$m\ddot x = -kx \tag{1.1}$$ 将其写成标准形式： $$\ddot x + \omega_0^2 x = 0 \tag{1.2}$$ 其中 $$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \tag{1.3}$$ 称为系统的固有角频率（natural angular frequency），单位 rad/s。
方程特征
方程 (1.2) 是一个二阶常系数线性齐次微分方程，其解由两个线性无关的特解叠加而成。
1.2 方程的解与运动学量
设解为 $x(t) = e^{\lambda t}$，代入 (1.2) 得特征方程： $$\lambda^2 + \omega_0^2 = 0 \thickspace\Longrightarrow\thickspace \lambda = \pm i\omega_0$$ 因此通解为 $$x(t) = C_1 e^{i\omega_0 t} + C_2 e^{-i\omega_0 t}$$ 利用欧拉公式 $e^{\pm i\theta} = \cos\theta \pm i\sin\theta$，令 $C_1 = A_1 + iB_1$ 等，可化为实函数形式。
定义 1.2（简谐运动的标准形式）
$$x(t) = A\cos(\omega_0 t + \varphi) \tag{1.4}$$ 其中 $A \ge 0$ 称为振幅，$\omega_0 t + \varphi$ 称为相位（phase），$\varphi$ 称为初相（initial phase）。$A$与$\varphi$ 由初始条件决定。
若用正弦函数亦可，相位差 $\pi/2$： $$x(t) = A\sin(\omega_0 t + \varphi')$$
速度与加速度： $$v(t) = \dot x = -A\omega_0 \sin(\omega_0 t + \varphi) \tag{1.5}$$ $$a(t) = \ddot x = -A\omega_0^2 \cos(\omega_0 t + \varphi) = -\omega_0^2 x(t) \tag{1.6}$$
运动特征
- 加速度与位移成正比且反向，始终指向平衡位置。
- 速度相位超前位移 $\pi/2$，加速度又超前速度 $\pi/2$（即加速度与位移反相）。
1.3 由初始条件确定常数
设 $t=0$时$x(0) = x_0$，$v(0) = v_0$。由 (1.4) 和 (1.5)： $$x_0 = A\cos\varphi, \quad v_0 = -A\omega_0 \sin\varphi$$ 由此可得 $$A = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega_0}\right)^2} \tag{1.7}$$ $$\tan\varphi = -\frac{v_0}{\omega_0 x_0} \quad (\text{需结合象限确定 } \varphi) \tag{1.8}$$
例 1.1
一质量 $m=0.5\text{ kg}$连于劲度系数$k=200\text{ N/m}$的弹簧。将物体拉离平衡位置$0.1\text{ m}$ 后静止释放。求运动方程。
解：固有角频率 $\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{400} = 20\text{ rad/s}$。 初始条件：$x_0 = 0.1\text{ m}, v_0 = 0$。 振幅 $A = \sqrt{0.1^2 + 0} = 0.1\text{ m}$。 由 $\tan\varphi = -0/(20\times 0.1) = 0$，且 $x_0>0$，得 $\varphi=0$。 故 $x(t) = 0.1\cos(20t)$（单位：米）。
1.4 能量
动能： $$E_k = \frac12 m v^2 = \frac12 m A^2 \omega_0^2 \sin^2(\omega_0 t + \varphi) \tag{1.9}$$ 势能（以平衡位置为零势点）： $$E_p = \frac12 k x^2 = \frac12 k A^2 \cos^2(\omega_0 t + \varphi) = \frac12 m \omega_0^2 A^2 \cos^2(\omega_0 t + \varphi) \tag{1.10}$$ 总机械能： $$E = E_k + E_p = \frac12 k A^2 = \frac12 m \omega_0^2 A^2 = \text{常量} \tag{1.11}$$ 能量随时间在动能与势能之间无损耗转换，总能量与振幅的平方成正比。
1.5 旋转矢量表示法（相量）
将简谐运动与匀速圆周运动关联：设想一个长度为 $A$的矢量以角速度$\omega_0$绕原点逆时针旋转，其末端在$x$轴上的投影即为$x(t) = A\cos(\omega_0 t + \varphi)$。这一几何工具称为旋转矢量或相量，直观展示相位关系。
相位比较
利用旋转矢量可以方便地比较多个同频简谐量之间的相位差，例如位移、速度、加速度的矢径相互垂直（相位差 $\pi/2$）。
2 阻尼振动
实际振动系统总会受到阻力，通常考虑与速度成正比的粘性阻尼。
定义 2.1（线性阻尼力）
物体在流体中低速运动时，阻力近似与速度成正比且反向：$F_d = -c\dot x$，其中 $c>0$ 称为阻尼系数。
2.1 运动方程
$m\ddot x = -kx - c\dot x$，整理得 $$\ddot x + 2\beta \dot x + \omega_0^2 x = 0 \tag{2.1}$$ 其中 $$\beta = \frac{c}{2m} \tag{2.2}$$ 称为阻尼因子（或衰减常数），$\omega_0 = \sqrt{k/m}$ 仍为无阻尼时的固有角频率。
2.2 特征方程与解的分类
设解为 $x = e^{\lambda t}$，代入得特征方程 $$\lambda^2 + 2\beta\lambda + \omega_0^2 = 0$$ 根为 $$\lambda = -\beta \pm \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2}$$ 定义阻尼度（衰减比）： $$\zeta = \frac{\beta}{\omega_0} \tag{2.3}$$ 则 $\lambda = -\zeta\omega_0 \pm \omega_0\sqrt{\zeta^2 - 1}$。
2.2.1 欠阻尼（$\zeta < 1$，即 $\beta < \omega_0$）
两根为共轭复数：$\lambda = -\beta \pm i\omega_d$，其中 $$\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2} = \omega_0 \sqrt{1 - \zeta^2} \tag{2.4}$$ 为阻尼振动角频率。通解： $$x(t) = A e^{-\beta t} \cos(\omega_d t + \varphi) \tag{2.5}$$ 振幅按指数衰减。严格讲它是非周期运动，但通常仍称其振动部分周期为 $$T_d = \frac{2\pi}{\omega_d} = \frac{2\pi}{\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}} > T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}$$
例 2.1
$m=0.5\text{ kg},\thickspace k=200\text{ N/m},\thickspace c=5\text{ kg/s}$。初始条件 $x_0=0.1\text{ m},\thickspace v_0=0$。 计算得 $\omega_0=20$，$\beta=c/(2m)=5$，$\zeta=0.25$，$\omega_d=\sqrt{400-25}\approx 19.36\text{ rad/s}$。 由初条件得 $A=0.1$，$\varphi \approx 0$。运动方程：$x(t) \approx 0.1 e^{-5t}\cos(19.36 t)$。
对数减缩：阻尼振动相邻同向位移峰值之比的对数。 $$\Lambda = \ln\frac{x_n}{x_{n+1}} = \beta T_d = \frac{2\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}} \approx 2\pi\zeta \thickspace(\zeta \ll 1) \tag{2.6}$$
品质因数：反映系统储能与每周期能量损耗之比。 $$Q = 2\pi\frac{\text{系统总能量}}{\text{每周期损耗的能量}} \approx \frac{\omega_0}{2\beta} = \frac{1}{2\zeta} \quad (\zeta \ll 1) \tag{2.7}$$
2.2.2 临界阻尼（$\zeta = 1$，即 $\beta = \omega_0$）
特征根为重根 $\lambda = -\beta$。通解为 $$x(t) = (C_1 + C_2 t) e^{-\beta t} \tag{2.8}$$ 物体以最快速度回到平衡位置而不产生振动。
2.2.3 过阻尼（$\zeta > 1$，即 $\beta > \omega_0$）
两根为两相异负实数 $-\beta \pm \sqrt{\beta^2-\omega_0^2}$。通解： $$x(t) = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t} \quad (\lambda_{1,2}<0) \tag{2.9}$$ 物体缓慢趋于平衡，不发生振动。
阻尼状态比较
| 状态 | 条件 | 解的形式 | 运动特点 |
|---|---|---|---|
| 欠阻尼 | $\zeta<1$ | 衰减余弦 | 往复振荡，振幅指数衰减 |
| 临界阻尼 | $\zeta=1$ | $(C_1+C_2t)e^{-\beta t}$ | 最快回到平衡，无振动 |
| 过阻尼 | $\zeta>1$ | 两指数衰减之和 | 缓慢回位，无振动 |
3 单摆
3.1 单摆的运动方程
定义 3.1（单摆）
一不可伸长的轻绳（长 $l$）悬挂一质点（质量为 $m$），在重力作用下摆动。忽略空气阻力。
设摆角 $\theta$（相对于竖直向下方向）。切向运动方程： $$m l \ddot\theta = -mg\sin\theta$$ 即 $$\ddot\theta + \frac{g}{l}\sin\theta = 0 \tag{3.1}$$ 这是非线性方程。令 $\omega_0^2 = g/l$，得 $\ddot\theta + \omega_0^2\sin\theta = 0$。
3.2 小角度近似
若 $|\theta| \ll 1$（弧度），$\sin\theta \approx \theta$，方程线性化为 $$\ddot\theta + \omega_0^2\theta = 0 \tag{3.2}$$ 这正是简谐运动方程。因此单摆的小角度摆动近似为简谐运动，周期 $$T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \tag{3.3}$$ 与振幅无关（等时性）。
例 3.1
一单摆长 $l=1.00\text{ m}$，在 $g=9.80\text{ m/s}^2$处，小角度摆动周期$T_0 = 2\pi\sqrt{1/9.8} \approx 2.01\text{ s}$。
3.3 大角度下的修正
当振幅 $\theta_{\max}$ 不可忽略时，利用能量守恒可得周期精确表达式（通过椭圆积分）： $$T = 4\sqrt{\frac{l}{g}} \int_0^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta_{\max}/2)\sin^2\phi}} = T_0 \cdot \frac{2}{\pi} K\negthinspace\left(\sin\frac{\theta_{\max}}{2}\right) \tag{3.4}$$ 其中 $K(k)$ 为第一类完全椭圆积分。可展开为级数： $$T \approx T_0 \left[ 1 + \frac{1}{4}\sin^2\frac{\theta_{\max}}{2} + \frac{9}{64}\sin^4\frac{\theta_{\max}}{2} + \cdots \right] \approx T_0 \left(1 + \frac{\theta_{\max}^2}{16} + \cdots \right) \tag{3.5}$$ 当 $\theta_{\max}=30^\circ$ ($0.5236$rad)，周期约增加$1.7\%$。
3.4 物理摆（复摆）
定义 3.2（物理摆）
任意形状刚体绕水平固定轴在重力作用下摆动。设转动惯量为 $I$，质心到转轴距离为 $d$，则运动方程为 $$I\ddot\theta = -mg d\sin\theta$$ 小角度近似下 $\ddot\theta + \frac{mgd}{I}\theta = 0$，周期为 $$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}} \tag{3.6}$$ 定义等值单摆长 $l_{\text{eq}} = I/(md)$，则物理摆周期等同于摆长为 $l_{\text{eq}}$ 的单摆。
例 3.2
一均匀细杆长 $L$，悬挂于一端。对端点的转动惯量 $I = \frac13 m L^2$，$d = L/2$，则 $$l_{\text{eq}} = \frac{I}{md} = \frac{\frac13 m L^2}{m(L/2)} = \frac{2}{3}L$$ 小振幅周期 $T = 2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}}$。
本部分小结
- 简谐运动是一切振动理论的基础，由线性恢复力产生，其解为正弦或余弦函数，能量守恒。
- 阻尼振动描述实际能量耗散系统，根据阻尼比 $\zeta$ 分为欠阻尼、临界阻尼和过阻尼，其中欠阻尼振动具有指数衰减振幅。
- 单摆是非线性振动的典型例子，小角度时可线性化为简谐运动，大角度需用椭圆积分修正；物理摆将概念推广到任意刚体。
第二部分：受迫振动与共振
本部分目标
在前一部分自由振动的基础上引入外部周期性驱动力。首先讨论受迫振动的稳态响应，继而深入分析共振现象及其物理机制，最后讲解拍现象——既可视为两简谐运动叠加，也在受迫振动的瞬态过程中有所体现。
4 受迫振动（正弦激励下的稳态响应）
4.1 无阻尼受迫振动
考虑一个无阻尼弹簧振子受正弦型外力作用：
$$m\ddot x + kx = F_0 \cos\omega t \tag{4.1}$$
令 $\omega_0^2 = k/m$，并定义 $f_0 = F_0/m$，则方程化为
$$\ddot x + \omega_0^2 x = f_0\cos\omega t \tag{4.2}$$
方程 (4.2) 是二阶非齐次线性微分方程，其通解 = 齐次解 + 一个特解。
齐次解（自由振动部分）
已知齐次方程为 $\ddot x + \omega_0^2 x = 0$，其解为 $$x_h(t) = A\cos(\omega_0 t + \varphi)$$
特解（稳态受迫振动部分）
因激励为余弦函数，设特解为 $$x_p(t) = B\cos\omega t \quad (\text{若 } \omega \neq \omega_0)$$ 代入 (4.2)：$(-\omega^2 + \omega_0^2) B\cos\omega t = f_0\cos\omega t$，故 $$B = \frac{f_0}{\omega_0^2 - \omega^2} \tag{4.3}$$ 若 $\omega = \omega_0$，则方程发生共振，需用另一形式（见 4.1.1 节）。
因此，通解为
$$x(t) = A\cos(\omega_0 t + \varphi) + \frac{f_0}{\omega_0^2 - \omega^2}\cos\omega t \tag{4.4}$$
瞬态与稳态
实际系统不可避免存在微小阻尼，自由振动项 $x_h(t)$会随时间衰减，最终只剩下与外力同频的稳态响应$x_p(t)$。无阻尼情形仅是理想化模型。
4.1.1 共振（$\omega = \omega_0$）
当激励频率等于固有频率时，设特解为 $x_p(t) = C t\sin\omega_0 t$，代入 (4.2) 可定出
$$C = \frac{f_0}{2\omega_0}$$
因此共振响应为
$$x_p(t) = \frac{f_0}{2\omega_0}\thinspace t \sin\omega_0 t \tag{4.5}$$
振幅随时间线性增长，无阻尼系统将无限增大直至破坏。实际系统由于阻尼和非线性，振幅将趋于有限值。
4.2 有阻尼受迫振动
引入线性阻尼 $F_d = -c\dot x$，运动方程：
$$m\ddot x + c\dot x + kx = F_0\cos\omega t \tag{4.6}$$
令 $\beta = c/(2m)$，$\omega_0^2 = k/m$，$f_0 = F_0/m$，得标准形式：
$$\ddot x + 2\beta\dot x + \omega_0^2 x = f_0\cos\omega t \tag{4.7}$$
4.2.1 稳态解的振幅与相位
方程 (4.7) 的稳态解具有与激励同频的正弦形式，但因阻尼存在，响应与激励之间存在相位差。设稳态解为
$$x_p(t) = A\cos(\omega t - \delta) \tag{4.8}$$
其中 $A$ 为稳态振幅，$\delta$ 为响应滞后于激励的相位。
利用复数法求解较为简洁：令外力的复数形式 $f_0 e^{i\omega t}$，设稳态响应复振幅 $X = Ae^{-i\delta}$，则 $x_p(t) = \operatorname{Re}(X e^{i\omega t})$。代入 (4.7) 得
$$(-\omega^2 + 2i\beta\omega + \omega_0^2) X = f_0$$
故
$$X = \frac{f_0}{\omega_0^2 - \omega^2 + 2i\beta\omega}$$
振幅 $A = |X|$，相位 $\delta = -\arg(X)$：
振幅-频率关系
$$A(\omega) = \frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2\omega^2}} \tag{4.9}$$
相位差： $$\tan\delta = \frac{2\beta\omega}{\omega_0^2 - \omega^2} \tag{4.10}$$ 注意，$\delta \in [0, \pi]$，当 $\omega = 0$时$\delta = 0$；当 $\omega \to \infty$时$\delta \to \pi$。
5 共振
5.1 位移共振
稳态振幅 $A(\omega)$作为频率的函数存在极大值。令$dA/d\omega = 0$，可解得位移共振频率：
$$\omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2} = \omega_0\sqrt{1 - 2\zeta^2} \quad (\zeta < 1/\sqrt{2}) \tag{5.1}$$
对应的最大振幅：
$$A_{\max} = \frac{f_0}{2\beta\sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}} = \frac{f_0}{2\beta\omega_d} \tag{5.2}$$
当阻尼很小 ($\zeta \ll 1$) 时，$\omega_r \approx \omega_0$，$A_{\max} \approx \dfrac{f_0}{2\beta\omega_0}$。
品质因数 $Q$ 在受迫振动中可通过共振曲线的尖锐程度定义：
$$Q = \frac{\omega_0}{2\beta} = \frac{\omega_0}{\Delta\omega} \tag{5.3}$$
其中 $\Delta\omega$为半功率带宽（振幅降为$A_{\max}/\sqrt{2}$ 的两频率之差）。$Q$ 值越大，共振峰越尖锐。
5.2 速度共振
速度幅 $V = \omega A$。由 $A(\omega)$ 可得速度振幅为
$$V(\omega) = \frac{f_0 \omega}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2\omega^2}}$$
令 $dV/d\omega = 0$，得到速度共振频率恰等于固有频率：
$$\omega_v = \omega_0 \tag{5.4}$$
此时速度与外力同相（$\delta = \pi/2$），系统从外力中吸收的能量最大。
5.3 加速度共振
加速度幅 $A_a = \omega^2 A$，共振频率高于固有频率：
$$\omega_a = \frac{\omega_0^2}{\sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2}} > \omega_0 \tag{5.5}$$
三种共振比较
| 共振类型 | 共振条件 | 特点 |
|---|---|---|
| 位移共振 | $\omega_r = \sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}$ | 振幅最大，$\zeta$很小时接近$\omega_0$ |
| 速度共振 | $\omega_v = \omega_0$ | 速度幅最大，能量输入最强，相位$\delta=\pi/2$ |
| 加速度共振 | $\omega_a > \omega_0$ | 加速度幅最大，在高频处 |
5.4 共振的工程意义
- 危害：共振可能导致结构破坏（如塔科马海峡吊桥风致振动、飞机机翼颤振）。
- 利用：乐器共鸣箱、核磁共振成像 (MRI) 中的射频共振、微机电系统 (MEMS) 滤波器等。
6 拍现象
6.1 两个简谐运动的叠加
考虑两个同方向、频率略有差异的简谐运动：
$$x_1(t) = A\cos\omega_1 t, \quad x_2(t) = A\cos\omega_2 t$$
为简单起见，设振幅相等且初相均为零。叠加后的合位移为：
$$x(t) = x_1 + x_2 = A(\cos\omega_1 t + \cos\omega_2 t)$$
利用三角恒等式：
$$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$$
得
$$x(t) = 2A \cos\negthinspace\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t\right) \cos\negthinspace\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t\right) \tag{6.1}$$
定义
$$\omega_{\text{平均}} = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}, \quad \Delta\omega = |\omega_1 - \omega_2|$$
则
$$x(t) = \underbrace{\left[ 2A\cos\negthinspace\left(\frac{\Delta\omega}{2}t\right) \right]}_{\text{缓变振幅}} \cos(\omega_{\text{平均}} t) \tag{6.2}$$
定义 6.1（拍）
频率稍有不同的两个同方向简谐振动叠加时，合振幅随时间缓慢周期性变化，这种现象称为拍。振幅包络变化的频率称为拍频。
拍频：振幅的绝对值 $|2A\cos(\Delta\omega\thinspace t/2)|$的周期为$2\pi/(\Delta\omega/2)$的一半，即振幅的重复频率为$\Delta\omega/(2\pi)$ 的两倍，因此拍频（每秒振幅起伏的次数）为
$$f_{\text{拍}} = \frac{\omega_{\text{拍}}}{2\pi} = \frac{\Delta\omega}{2\pi} = |f_1 - f_2| \tag{6.3}$$
或角频率形式：
$$\omega_{\text{拍}} = \Delta\omega = |\omega_1 - \omega_2| \tag{6.4}$$
6.2 拍的物理实例
- 音叉调音：两个频率接近的音叉同时发声，听到声音强弱周期变化，拍频即两频率之差。调至拍消失则频率相同。
- 受迫振动的瞬态过程：当外力频率与系统固有频率略有差异且阻尼很小时，在达到稳态之前，解中包含两项频率接近的成分（固有频率的衰减项和外力频率项），可能产生暂时的拍现象。
- 外差接收机：通过混合两个信号产生拍频，在无线电技术中有广泛应用。
例 6.1
两同方向简谐运动频率分别为 $50$Hz 和$52$ Hz，振幅相等，初相均为零。求拍频及拍周期。
解：拍频 $f_{\text{拍}} = |52-50| = 2\text{ Hz}$，拍周期 $T_{\text{拍}} = 1/f_{\text{拍}} = 0.5\text{ s}$。合振幅每 $0.5$ 秒完成一次强弱循环。
6.3 拍与受迫振动瞬态的联系
考虑受迫振动方程 (4.7) 的全解 = 齐次解 + 稳态解。当系统为欠阻尼时，齐次解为衰减的阻尼振动 $A e^{-\beta t}\cos(\omega_d t + \varphi)$，其频率 $\omega_d \approx \omega_0$（小阻尼）。稳态响应频率为 $\omega$。若 $\omega$与$\omega_d$ 接近但不相等，在衰减尚未完成的时间段内，两项叠加可能产生拍现象。这一暂态过程在收音机的“调谐”过程中可以听到，直至自由振动部分消逝，只剩下稳态的单一频率。
本部分小结
- 受迫振动系统在正弦驱动力作用下的稳态响应具有与驱动力同频的振动，振幅和相位取决于频率比和阻尼比。
- 共振是当外力频率使系统某种响应量达到极值的现象，区分位移、速度、加速度共振。
- 拍是两个频率相近的简谐运动叠加产生的振幅调制效应，在受迫振动起步阶段也可观察到。拍频等于两频率之差。
第三部分：振动的合成与分解
本部分目标
将单个简谐运动的概念推广到多个振动的合成，以及从一维拓展到多维。探讨同方向与垂直方向简谐运动的合成（包括拍和李萨如图形），然后讨论正余弦波的叠加与分离技巧，最终引入傅里叶展开，将任意周期振动分解为简谐成分，为频谱分析奠定基础。
7 简谐运动的合成
多个振动同时作用于同一物体时，根据叠加原理（对线性系统成立），合位移等于各位移的矢量和。我们按方向与频率分类讨论。
7.1 同方向、同频率的合成
考虑两个沿同一方向的简谐运动： $$ x_1 = A_1 \cos(\omega t + \varphi_1), \quad x_2 = A_2 \cos(\omega t + \varphi_2) $$ 利用旋转矢量法（相量加法），合振动 $$ x = x_1 + x_2 = A \cos(\omega t + \varphi) $$ 其中合振幅 $A$和初相$\varphi$ 由矢量合成的平行四边形法则给出： $$ A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_2 - \varphi_1)} \tag{7.1} $$ $$ \tan\varphi = \frac{A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2} \tag{7.2} $$
特例
- 若相位差 $\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 = 2k\pi$（同相），则 $A = A_1 + A_2$，振幅最大。
- 若 $\Delta\varphi = (2k+1)\pi$（反相），则 $A = |A_1 - A_2|$，振幅最小。
- 若 $A_1 = A_2$，反相时合振幅为零。
该方法可推广至多个同频振动，只需将各相量首尾相接求和。
7.2 同方向、不同频率的合成
设两个同方向不同频率的简谐运动： $$ x_1 = A_1 \cos(\omega_1 t + \varphi_1), \quad x_2 = A_2 \cos(\omega_2 t + \varphi_2) $$
7.2.1 频率相差较大
合运动不是简谐运动，但仍然可以逐点叠加。若两频率之比为有理数，合运动呈周期性；若频率之比为无理数，则为非周期运动。
7.2.2 频率相近——拍
当 $\omega_1 \approx \omega_2$ 且振幅相等时，已在第 6 节详细讨论： $$ x = 2A \cos\negthinspace\left( \frac{\Delta\omega}{2}t \right) \cos(\omega_{\text{平均}} t) $$ 产生振幅调制的拍现象，拍频 $\omega_{\text{拍}} = |\omega_1 - \omega_2|$。
例 7.1
音叉 A (440 Hz) 与音叉 B (444 Hz) 同时振动，振幅相等。听到的声音强度以每秒 4 次的频率起伏，即拍频为 4 Hz。
7.3 相互垂直的简谐运动合成
考虑两个相互垂直的同频简谐运动（以 $x$、$y$ 方向为例）： $$ x = A_x \cos(\omega t + \varphi_x), \quad y = A_y \cos(\omega t + \varphi_y) $$ 消去参数 $t$，得到轨迹方程： $$ \frac{x^2}{A_x^2} + \frac{y^2}{A_y^2} - \frac{2xy}{A_xA_y}\cos\Delta\varphi = \sin^2\Delta\varphi \tag{7.3} $$ 其中 $\Delta\varphi = \varphi_y - \varphi_x$。
- 当 $\Delta\varphi = 0$或$\pi$ 时，轨迹为直线（线偏振）。
- 当 $\Delta\varphi = \pm \pi/2$且$A_x = A_y$时，轨迹为圆（圆偏振）；若$A_x \neq A_y$，则为椭圆。
- 一般情况为椭圆，其长轴与坐标轴夹角的取向取决于 $\Delta\varphi$。
7.3.1 不同频率——利萨如图形
若两频率不同但成简单整数比 $\omega_x : \omega_y = m:n$，且相位差固定，则合成轨迹为稳定的闭合曲线，称为利萨如图形。图形形状对频率比和相位差敏感，常用于频率测量。
例 7.2
水平方向频率 100 Hz，竖直方向频率 200 Hz，若相位差为 $45^\circ$，可在示波器上观察到特殊的双叶图形。
8 非一维简谐运动
将简谐运动从一维推广到二维或三维，即各向异性的线性谐振子。
8.1 二维各向同性谐振子
若恢复力有心力场，$F_x = -kx$，$F_y = -ky$，则两个方向方程独立且频率相同 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$。其运动为平面上的椭圆（或直线/圆），即 7.3 节所讨论内容。能量为二自由度简正模之和。
8.2 二维各向异性谐振子
若恢复系数不同：$F_x = -k_x x$，$F_y = -k_y y$，则固有频率分别为 $\omega_x = \sqrt{k_x/m}$，$\omega_y = \sqrt{k_y/m}$。两方向独立振动，除非 $\omega_x : \omega_y$ 为有理数且有固定相位关系，合成轨迹一般为非闭合的利萨如图形，否则为非周期运动。
8.3 三维谐振子
三个相互垂直的简谐运动独立合成，轨迹在三维空间中形成复杂的利萨如曲线。在各向同性且同频且相位差适当的情况下，可形成空间椭圆甚至螺旋线。
物理应用
- 光学中的偏振态（线偏振、圆偏振、椭圆偏振）本质上是两个垂直振动的合成。
- 晶体中电子在非各向同性势阱中的运动可简化为二维或三维谐振子模型。
9 正余弦波的叠加与分离
本节侧重三角恒等式在振动分析中的运用，特别是将两个或多个正余弦波的乘积或和差形式相互转换。
9.1 和差化积与积化和差
常用的恒等式：
$$ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $$ $$ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $$ $$ \sin\alpha \pm \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha\pm\beta}{2}\cos\frac{\alpha\mp\beta}{2} $$ $$ \cos\alpha \cos\beta = \frac12[\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)] $$ $$ \sin\alpha \sin\beta = \frac12[\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)] $$ $$ \sin\alpha \cos\beta = \frac12[\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)] $$
这些公式是拍现象、调制、检波以及傅里叶分析的数学基础。
例 9.1（振幅调制）
将高频载波 $\cos\omega_c t$与低频信号$\cos\omega_m t$ 相乘，得 $$\cos\omega_c t \cdot \cos\omega_m t = \frac12[\cos(\omega_c - \omega_m)t + \cos(\omega_c + \omega_m)t]$$ 这在无线电调幅通信中至关重要。
9.2 驻波——同频反向行波的叠加
两列同频率、同振幅、沿相反方向传播的波叠加会产生驻波，其表达式为： $$ y(x,t) = A\cos(kx - \omega t) + A\cos(kx + \omega t) = 2A\cos kx \cdot \cos\omega t $$ 这是空间与时间分离的典型形式。在振动学中它连接离散振子与连续介质振动，为后续弦振动、杆振动等提供基础。
10 傅里叶展开
任意周期振动，无论波形如何，都可以分解为一系列简谐振动之和——这是傅里叶级数的核心思想。
10.1 傅里叶级数
定理 10.1（傅里叶级数）
若周期为 $T = 2\pi/\omega$的函数$x(t)$ 满足狄利克雷条件，则可展开为 $$x(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos n\omega t + b_n \sin n\omega t \right) \tag{10.1}$$ 其中系数为 $$a_n = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} x(t) \cos(n\omega t) \thinspace{}dt, \quad n=0,1,2,\dots$$ $$b_n = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} x(t) \sin(n\omega t) \thinspace{}dt, \quad n=1,2,3,\dots$$
也可写成余弦形式（振幅-相位形式）： $$x(t) = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos(n\omega t + \varphi_n) \tag{10.2}$$ 其中 $A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}$，$\tan\varphi_n = -b_n/a_n$。
频谱概念
$A_n$(或$|a_n|,|b_n|$) 随频率 $n\omega$ 的变化称为幅度频谱，$\varphi_n$ 称为相位频谱。这是振动分析从时域转向频域的关键。
10.2 典型波形的傅里叶展开
例 10.1：方波
偶函数方波（振幅为 1，周期 $2\pi$）： $$ x(t) = \frac{4}{\pi} \left( \sin\omega t + \frac13 \sin 3\omega t + \frac15 \sin 5\omega t + \cdots \right) $$ 仅含奇次谐波，且幅度以 $1/n$ 衰减。
例 10.2：锯齿波
$$ x(t) = \frac{2}{\pi} \left( \sin\omega t - \frac12 \sin 2\omega t + \frac13 \sin 3\omega t - \cdots \right) $$ 谐波幅度以 $1/n$ 衰减。
例 10.3：三角波
$$ x(t) = \frac{8}{\pi^2} \left( \cos\omega t + \frac{1}{9}\cos 3\omega t + \frac{1}{25}\cos 5\omega t + \cdots \right) $$ 谐波幅度以 $1/n^2$ 衰减，收敛更快。
10.3 在受迫振动中的应用
当外力为周期而非正弦形时，可先将其展开为傅里叶级数： $$F(t) = F_0 + \sum_{n=1}^\infty F_n \cos(n\omega t + \phi_n)$$ 对于线性系统，可分别求出每个简谐分量引起的稳态响应（利用第 4 节的频率响应函数），再叠加得到总响应。这是处理非正弦周期激励的标准方法。
10.4 傅里叶变换简介（选读）
当振动非周期时，可视为周期趋于无穷，傅里叶级数过渡为傅里叶积分： $$ x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat x(\omega) e^{i\omega t} d\omega $$ $$ \hat x(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i\omega t} dt $$ $\hat x(\omega)$为$x(t)$ 的傅里叶变换，给出连续的频谱密度。这在冲击响应、噪声分析等领域至关重要。
第三部分小结
- 振动的合成遵循叠加原理：同向振动相加产生调幅（拍）或加强/减弱；垂直振动合成产生椭圆/利萨如图形。
- 多维谐振子模型是固体物理、量子力学中许多问题的起点。
- 正余弦函数的和差化积、积化和差是分析波动与调制的核心工具。
- 傅里叶级数将周期振动分解为简谐成分，建立了时域与频域的桥梁，是振动与声学、信号处理的基石。
第四部分：多自由度与连续系统
本部分目标
将单自由度振动理论推广到多自由度系统，揭示简正模与简正频率的核心概念；继而初步引入连续系统（弦、杆、轴）的振动，搭建从离散到连续的桥梁，为后续波动理论学习奠定基础。
11 多自由度系统的振动
现实中的振动系统往往包含多个耦合的振子。本节以经典的两质量三弹簧系统为例，展示多自由度系统建模、求解及模态分析的全过程。
11.1 两质量三弹簧系统
考虑质量 $m_1 = m_2 = m$的两个物体，由三根轻弹簧连接（图略）。两端弹簧（劲度系数$k$）连接固定壁，中间弹簧（劲度系数 $k_c$）连接两质量。取各质量偏离平衡位置的位移 $x_1$、$x_2$（向右为正）。
运动方程的建立
对质量 1：受左侧弹簧恢复力 $-k x_1$，中间弹簧力取决于相对位移，若中间弹簧原长时两质量间距等于平衡间距，则力为 $k_c(x_2 - x_1)$。故 $$m\ddot x_1 = -k x_1 + k_c(x_2 - x_1)$$ 对质量 2：受右侧弹簧恢复力 $-k x_2$，中间弹簧力为 $-k_c(x_2 - x_1)$，故 $$m\ddot x_2 = -k x_2 - k_c(x_2 - x_1)$$
整理得耦合方程组： $$ \begin{cases} m\ddot x_1 + (k + k_c)x_1 - k_c x_2 = 0 \newline m\ddot x_2 + (k + k_c)x_2 - k_c x_1 = 0 \end{cases} \tag{11.1} $$
令 $\omega_0^2 = k/m$，$\omega_c^2 = k_c/m$，上式可写为矩阵形式： $$ \begin{pmatrix} \ddot x_1 \newline \ddot x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \omega_0^2 + \omega_c^2 & -\omega_c^2 \newline -\omega_c^2 & \omega_0^2 + \omega_c^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \newline x_2 \end{pmatrix} = 0 \tag{11.2} $$
11.2 简正模与简正频率
我们希望找到系统的集体运动模式，使所有质量以同一频率做简谐振动（同步运动）。设试探解： $$x_1 = A_1 e^{i\omega t}, \quad x_2 = A_2 e^{i\omega t}$$ 代入 (11.1) 得线性代数方程组： $$ \begin{pmatrix} \omega_0^2 + \omega_c^2 - \omega^2 & -\omega_c^2 \newline -\omega_c^2 & \omega_0^2 + \omega_c^2 - \omega^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_1 \newline A_2 \end{pmatrix} = 0 \tag{11.3} $$
非零解要求系数行列式为零： $$(\omega_0^2 + \omega_c^2 - \omega^2)^2 - \omega_c^4 = 0$$ 解得两个简正频率（固有频率）： $$\omega_1 = \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \quad \omega_2 = \sqrt{\omega_0^2 + 2\omega_c^2} = \sqrt{\frac{k + 2k_c}{m}} \tag{11.4}$$
将每个频率代回 (11.3) 得到振幅比，即简正模（模态）：
- 对于 $\omega_1$：$A_2 = A_1$，两质量同相运动，中间弹簧无形变（相当于整体刚性平移，但因两端有弹簧固定，实际表现为对称伸缩，两质量间距不变）。
- 对于 $\omega_2$：$A_2 = -A_1$，两质量反相运动，中间弹簧伸缩最大。
定义 11.1（简正模与简正频率）
多自由度系统的简正模（normal mode）是所有质量以同一频率同步振动的集体模式；对应的频率称为简正频率。任意运动均可表示为简正模的线性叠加。
11.3 坐标耦合与解耦
方程组 (11.1) 中的坐标 $x_1$和$x_2$ 是耦合的。引入简正坐标可实现解耦。定义： $$Q_1 = \frac{x_1 + x_2}{\sqrt 2}, \quad Q_2 = \frac{x_1 - x_2}{\sqrt 2}$$ $Q_1$ 表示质心运动（对称模式），$Q_2$ 表示相对运动（反对称模式）。将 (11.1) 相加、相减，可得 $$\ddot Q_1 + \omega_1^2 Q_1 = 0, \quad \ddot Q_2 + \omega_2^2 Q_2 = 0$$ 两方程完全独立，各自为简谐振动。这说明任意二自由度耦合振动可分解为两个独立的简正模。该方法可推广至 $N$自由度系统，通过求解特征值问题得到$N$ 个简正频率和模态，再通过坐标变换解耦。
例 11.1
取 $m=1\text{ kg}$，$k=10\text{ N/m}$，$k_c=2\text{ N/m}$。初始条件 $x_1(0)=0.1\text{ m}$，其余速度位移为零。求系统运动。
解：$\omega_1 = \sqrt{10} \approx 3.16\text{ rad/s}$，$\omega_2 = \sqrt{14} \approx 3.74\text{ rad/s}$。 简正坐标初值：$Q_1(0) = (0.1+0)/\sqrt{2} = 0.0707$，$Q_2(0) = 0.0707$，速度均为零。 故 $Q_1(t) = 0.0707\cos\omega_1 t$，$Q_2(t) = 0.0707\cos\omega_2 t$。 回代：$x_1 = (Q_1+Q_2)/\sqrt{2} = 0.05(\cos\omega_1 t + \cos\omega_2 t)$， $x_2 = (Q_1-Q_2)/\sqrt{2} = 0.05(\cos\omega_1 t - \cos\omega_2 t)$。 这实际上是两个频率分量的叠加，可能呈现拍现象（若频率接近则拍明显）。
多自由度系统的通用方法
对 $N$自由度系统，惯性矩阵$M$和刚度矩阵$K$满足$M\ddot{\mathbf{x}} + K\mathbf{x} = 0$。设解 $\mathbf{x} = \mathbf{A}e^{i\omega t}$，得广义特征值问题 $(K - \omega^2 M)\mathbf{A} = 0$。解出 $N$个特征频率$\omega_\alpha$和特征向量$\mathbf{A}^{(\alpha)}$，后者即模态振型。通过模态矩阵可实现解耦。
12 连续系统振动简介
当质量连续分布时，系统具有无限多个自由度，需要用偏微分方程描述。本节推导三类经典连续体的振动方程，并讨论其固有模态。
12.1 弦的横向振动
考虑一根张紧的均匀弦，线密度 $\mu$，张力 $T$。取微段 $\Delta x$，两端受张力作用，其横向（$y$ 方向）合力为： $$F_y = T\sin\theta(x+\Delta x) - T\sin\theta(x) \approx T\left( \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{x+\Delta x} - \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_x \right) \approx T \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \Delta x$$ 由牛顿第二定律 $F_y = (\mu\Delta x) \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$，得一维波动方程： $$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}, \quad c = \sqrt{\frac{T}{\mu}} \tag{12.1}$$ $c$ 为波速。
分离变量法求模态
设 $y(x,t) = X(x)\Phi(t)$，代入方程得 $$\frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{dt^2} = c^2 \frac{1}{X}\frac{d^2 X}{dx^2} = -\omega^2$$ 空间部分：$X'' + (\omega^2/c^2)X = 0$，通解 $X(x) = A\sin(\omega x/c) + B\cos(\omega x/c)$。 时间部分：$\Phi(t) = C\cos(\omega t + \varphi)$。
边界条件：两端固定弦 ($y(0,t)=y(L,t)=0$) 要求 $B=0$，且 $\sin(\omega L/c)=0$，故 $$\omega_n = \frac{n\pi c}{L}, \quad n = 1,2,3,\dots \tag{12.2}$$ 相应的振型 $X_n(x) = \sin(n\pi x/L)$。固有频率 $f_n = \omega_n/(2\pi) = \frac{n}{2L}\sqrt{T/\mu}$，呈谐波关系。全解为各模态的叠加： $$y(x,t) = \sum_{n=1}^\infty \sin\frac{n\pi x}{L} \left( A_n\cos\omega_n t + B_n\sin\omega_n t \right) \tag{12.3}$$
驻波解释
弦振动可视为两反向行波的叠加，形成驻波。节点位置满足 $\sin(n\pi x/L)=0$，即 $x = \frac{kL}{n}$。这与第 9.2 节呼应。
12.2 杆的纵振动
考虑均匀弹性杆，截面积 $S$，密度 $\rho$，杨氏模量 $E$。取微段 $\Delta x$，应变 $\varepsilon = \partial u/\partial x$，应力 $\sigma = E\varepsilon$。微段两端受力差为 $\frac{\partial \sigma}{\partial x}\Delta x \cdot S = ES \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\Delta x$。由牛顿定律： $$\rho S \Delta x \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = ES \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\Delta x$$ 即 $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c_L^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad c_L = \sqrt{\frac{E}{\rho}} \tag{12.4}$$ 形式与弦振动相同，但 $c_L$ 为纵波速。边界条件示例：
- 固定端：$u=0$；
- 自由端：应力为零 $\partial u/\partial x = 0$。
例 12.1（两端自由杆）
两端自由杆的边界条件：$u'(0)=0$，$u'(L)=0$。空间解为 $X(x) = \cos(\omega x/c_L)$，满足 $X'(L)=0$得$\sin(\omega L/c_L)=0$，故频率公式与两端固定弦相同：$\omega_n = n\pi c_L/L$，但模态为余弦（$n=0$ 对应刚体平移，频率为零）。
12.3 轴的扭转振动
考虑均匀圆轴，剪切模量 $G$，截面极惯性矩 $J_p$，单位长转动惯量 $I_p$（密度 $\rho$乘极惯性矩）。转角$\theta(x,t)$ 满足与纵振动形式相同的波动方程： $$\frac{\partial^2 \theta}{\partial t^2} = c_T^2 \frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2}, \quad c_T = \sqrt{\frac{G}{\rho}} \tag{12.5}$$ 边界条件：固定端 $\theta=0$；自由端 $\partial\theta/\partial x = 0$（扭矩为零）。求解方法与杆纵振完全类似。
连续系统振动小结
弦、杆、轴的振动方程在数学上高度统一，均为一维波动方程。其求解步骤可归纳为：建立方程 → 分离变量 → 由边界条件确定模态与固有频率 → 由初始条件确定系数 → 叠加得到通解。离散系统的模态思想在此自然地延拓为固有模态函数系列。
第四部分小结
- 多自由度系统的核心在于耦合：坐标耦合的方程组可通过求解特征值问题找到简正模与简正频率，引入简正坐标可实现解耦。
- 连续系统振动由偏微分方程描述，弦、杆、轴均遵循一维波动方程，通过分离变量法可求得无穷多个固有模态与频率。
- 本部分内容架设起从单振子到弹性体、从离散到连续的桥梁，为后续的波传播与结构振动分析奠定理论基础。
第五部分：专题与拓展
本部分目标
在前面各章系统学习了线性振动理论之后，本部分引入两个重要的分析工具与延伸领域：一是贯穿整个振动理论的相图与相轨迹，以几何直观方式呈现系统状态演化；二是对非线性振动的初步介绍，揭示线性模型之外丰富而复杂的动力学行为。这部分可作为深入学习的桥梁。
13 相图与相轨迹
相图（Phase Portrait）是描述动力系统状态随时间演化的几何方法。对于单自由度系统，以位移 $x$为横轴、速度$\dot x$（或动量）为纵轴构成的平面称为相平面（phase plane）。系统在给定初始条件下的状态 $(x(t), \dot x(t))$ 随时间变化画出的曲线即为相轨迹（phase trajectory）。
定义 13.1（相图）
二阶自治系统 $\ddot x = f(x, \dot x)$ 可化为两个一阶方程： $$\dot x = v, \quad \dot v = f(x, v)$$ 解 $(x(t), v(t))$在$(x, v)$ 平面上形成的曲线族称为该系统的相图。相轨迹方向由时间增加方向确定，通常用箭头标示。
13.1 简谐振子的相图
无阻尼简谐运动方程：$\ddot x + \omega_0^2 x = 0$。令 $v = \dot x$，则有 $$\dot x = v, \quad \dot v = -\omega_0^2 x$$ 两式相除消除 $dt$： $$\frac{dv}{dx} = \frac{-\omega_0^2 x}{v} \thickspace\Longrightarrow\thickspace v\thinspace{}dv + \omega_0^2 x\thinspace{}dx = 0$$ 积分得 $$\frac12 v^2 + \frac12 \omega_0^2 x^2 = E = \text{常数}$$ 这在相平面上代表一族同心椭圆： $$\frac{x^2}{A^2} + \frac{v^2}{(\omega_0 A)^2} = 1$$ 其中 $A = \sqrt{2E}/\omega_0$为振幅。每个初始状态对应一个椭圆，系统沿椭圆顺时针运动（因$x>0$时$v$ 减小，上半平面向右、下半平面向左）。
相图的优点
- 平衡点 $(0,0)$ 是椭圆中心，称为中心（center），代表稳定平衡。
- 轨迹闭合代表周期运动，椭圆形反映动能与势能间无耗散转化。
- 多条轨迹互不相交（解的唯一性），直观展示了所有可能的运动状态。
13.2 阻尼振子的相图
考虑线性阻尼振动 $\ddot x + 2\beta\dot x + \omega_0^2 x = 0$。令 $v = \dot x$，则 $$\dot x = v, \quad \dot v = -2\beta v - \omega_0^2 x$$
欠阻尼情形 ($\beta < \omega_0$)
相轨迹为螺旋线，向内卷向原点。运动方程 $x(t) = A e^{-\beta t}\cos(\omega_d t + \varphi)$，$v(t)$ 指数衰减。相图上轨迹环绕原点，每绕一圈半径缩小，最终趋于原点。原点此时是稳定焦点（stable focus）。
临界阻尼与过阻尼
当 $\beta \ge \omega_0$ 时，轨线直接趋向原点而不螺旋，原点成为稳定节点（stable node）。
相图拓扑
- 无阻尼：中心（闭合椭圆）。
- 欠阻尼：稳定焦点（螺旋线）。
- 临界阻尼、过阻尼：稳定节点（直接趋向）。
13.3 受迫振动的相图与极限环
受迫振动是非自治系统（显含时间 $t$），通常可通过扩展为三维自治系统来分析。但若关注稳态周期响应，可考虑其庞加莱映射或引入极限环概念。
对于自激振动系统（如范德波尔振子 $\ddot x - \epsilon(1 - x^2)\dot x + x = 0$），可以出现极限环——相平面上孤立的闭合轨迹，邻近轨线都向其逼近（稳定极限环）或远离（不稳定极限环）。极限环对应系统自持的周期振荡，振幅与初始条件无关，仅由系统参数决定。这与线性简谐振子依赖初条件的等幅振荡有本质区别。
例 13.1（范德波尔振子的极限环）
范德波尔振子的相图：从内部任意点出发的轨线向外螺旋趋近同一个闭合环，从外部出发的轨线向内也趋于该环。这就是稳定的极限环，对应稳定的自激振动（如电子振荡器、心脏跳动模型）。
相图的构造方法
实际绘制相图时，常利用：
- 等倾线法：令 $dv/dx = f(x,v)/v = k$，得到一系列等倾线，沿其绘制方向段。
- 数值求解：直接计算 $(x(t),v(t))$ 并作图。
- 能量守恒与非守恒分析：通过势能曲线判断运动范围。
14 非线性振动选讲
前面各章以线性模型为主，其数学本质是叠加原理成立，解由正/余弦函数构成。当恢复力、阻尼或惯性项的非线性不可忽略时，系统行为将极大地丰富化，甚至产生混沌。本节选取若干经典模型进行定性介绍。
14.1 单摆的大角度振动——非线性恢复力
单摆的精确运动方程为： $$\ddot\theta + \omega_0^2 \sin\theta = 0, \quad \omega_0^2 = g/l$$ 将 $\sin\theta$ 展开为泰勒级数：$\sin\theta = \theta - \dfrac{\theta^3}{6} + \cdots$。当振幅不大但也不极小（例如 $\theta_{\max} \approx 0.5$ rad）时，保留至立方项，得到杜芬型方程： $$\ddot\theta + \omega_0^2\theta - \frac{\omega_0^2}{6}\theta^3 = 0 \tag{14.1}$$ 这是所谓软弹簧效应（恢复力比线性软），其自由振动频率随振幅增大而减小（见第 3.3 节周期修正）。相反，若恢复力项为 $\omega_0^2 x + \beta x^3$（$\beta>0$），则为硬弹簧，频率随振幅增大而增大。
14.2 杜芬方程与受迫振动
受简谐激励的硬弹簧杜芬振子： $$\ddot x + 2\beta\dot x + \omega_0^2 x + \alpha x^3 = F_0\cos\omega t \tag{14.2}$$ 其稳态响应曲线可能出现跳跃现象（jump phenomenon）：当激励频率缓慢扫过共振区时，振幅突然跃变，并出现滞后回线。这是由于振幅对频率的多值性造成的。跳跃是非线性系统的标志性特征，在线性系统中不存在。
14.3 自激振动
自激振动（self-excited oscillation）指系统依靠自身内部能源维持的周期运动，外力并非周期性激励，而通常是恒定的。例子包括：
- 范德波尔振子：$\ddot x - \epsilon(1-x^2)\dot x + x = 0$，当振幅小时阻尼为负（能量输入），振幅大时阻尼为正（能量耗散），最终达到平衡振幅的极限环。
- 提琴弦振动：弓的恒定拉动提供能量，弦振动通过摩擦力非线性自稳在某个周期运动。
- 心脏的节律搏动：心肌细胞的电生理特性形成自持振荡。
自激振动的特点：频率和振幅由系统自身参数决定，与初始条件无关（在极限环意义上）；启动后自动进入稳定周期状态。
14.4 混沌运动的初步概念
在某些强非线性受迫系统中，即使驱动力和系统本身都是确定性的，响应却表现出极端敏感于初始条件的非周期、貌似随机的运动，这就是混沌（chaos）。
混沌的特征
- 非周期性：运动永不重复。
- 初值敏感：相邻初始条件随时间指数分离（李雅普诺夫指数为正）。
- 有界性：运动保持在相空间有限区域内（例如存在奇怪吸引子）。
- 确定性：系统方程是确定论的，无随机输入。
经典的混沌例子为受迫杜芬振子（非线性恢复力 + 正弦激励）和受迫阻尼摆。其相图或庞加莱截面呈现出复杂的分形结构。
例 14.1（杜芬混沌振子）
方程 $\ddot x + 0.5\dot x - x + x^3 = 0.5\cos(1.25 t)$ 在数值求解下显示：对某些参数，稳态响应为混沌，其庞加莱截面上点集形成奇怪吸引子，相邻初值轨线以李雅普诺夫指数分离。
14.5 非线性振动的分析方法简介
线性振动依赖叠加原理，有通解表达式；非线性系统大多无法获得精确解。常用方法包括：
- 微扰法：设非线性项为小参数，以线性解为零阶展开逐级求解（林德斯泰特-庞加莱法、多重尺度法）。
- 谐波平衡法：设稳态解为有限项傅里叶级数，代入方程令各次谐波系数相等，得到代数方程组。
- 平均法（克雷洛夫-博戈柳博夫法）：将慢变振幅与相位从快速振荡中分离出来。
- 数值积分：龙格-库塔等方法直接计算时域响应，是研究混沌等复杂行为的最常用手段。
小结
非线性振动打破了线性系统的简单叠加性和等时性，带来了振幅依赖性、跳跃、自激振荡和混沌等丰富现象。它的研究在机械、电路、生物、气候等众多领域中有重要应用，也是现代动力学理论的基石。
第五部分总结
- 相图将振动抽象为状态空间中的轨线，中心、焦点、节点、极限环等概念为分析稳定性和周期运动提供了直观几何语言。
- 非线性振动突破了线性系统的适用范围，即便简单如单摆，在大角度下也需考虑非线性效应；杜芬方程、自激振动、混沌分别代表了非线性恢复力、非线性阻尼和极端敏感依赖的典型行为，展示了现实世界振动现象的复杂与多样。