高中数学竞赛大纲

一、竞赛体系概述

全国高中数学联赛（高联）是选拔 IMO 国家队的重要环节，分为一试和二试，同一天进行。

考试结构速览

项目	一试	二试
时间	120 分钟	150 分钟
题型	8 填空 + 3 解答	4 道解答
满分	120 分	180 分
难度	高考加深	竞赛专项

一试考察高考内容深化：集合与函数、三角函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、排列组合与概率、复数与向量、导数。二试考察四大版块：代数、平面几何、数论、组合数学（每题 40～50 分）。

关键认知

一试是「入场券」——一试达到省一等奖线，二试成绩才会计入排名。一试保稳，二试拉分。

二、一试知识范围

2.1 集合与简易逻辑

集合运算与容斥原理：$|A \cup B \cup C| = \sum|A| - \sum|A \cap B| + |A \cap B \cap C|$
充分/必要/充要条件的判断；命题四种形式及等价关系

2.2 函数

定义域与值域求法；单调性、奇偶性 $f(-x)=\pm f(x)$、周期性 $f(x+T)=f(x)$、对称性
反函数存在条件（一一映射），图像关于 $y=x$ 对称
幂函数 $y=x^\alpha$、指数 $y=a^x$、对数 $y=\log_a x$ 的图像与方程
函数方程初步：代入法与换元法

2.3 三角函数

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$；和差角、倍角公式：$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$，$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=2R$，余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$；面积 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$，海伦公式

2.4 数列

等差等比通项与求和；一阶递推 $a_{n+1}=pa_n+q$；二阶线性递推特征根法
裂项相消、分组求和、错位相减；数学归纳法

一试高频考点

递推求通项 + 不等式放缩求和是压轴题常见组合。

2.5 不等式

均值：$\frac{2}{1/a+1/b}\leq\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$（调 ≤ 几 ≤ 算 ≤ 平）
柯西：$(\sum a_i^2)(\sum b_i^2)\geq(\sum a_i b_i)^2$；排序不等式；比较法/分析法/综合法/放缩法

2.6 解析几何

直线与圆：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$；椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$；双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，渐近线 $y=\pm\frac{b}{a}x$
抛物线 $y^2=2px$；统一极坐标方程 $\rho=\frac{ep}{1-e\cos\theta}$

2.7 立体几何

线面平行/垂直判定；空间角（线线角、线面角、二面角）
法向量求二面角 $\cos\theta=\frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}$；点面距 $d=\frac{|\vec{PA}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}$

2.8 排列组合与概率

$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$，$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$；二项式定理 $(a+b)^n=\sum C_n^k a^{n-k}b^k$
古典概型、条件概率 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$、期望 $E(X)$与方差$D(X)$

2.9 复数与向量

复数 $z=a+bi=r(\cos\theta+i\sin\theta)$；棣莫弗公式 $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$
模长为距离、辐角为旋转；向量数量积与坐标运算

2.10 导数及其应用

$f'(x_0)$ 为切线斜率；$f'(x)>0$ 递增，$f'(x)<0$ 递减；$f'(x_0)=0$ 且符号变号判极值
恒成立问题转化为函数最值

三、二试知识范围

3.1 代数

代数在二试中的地位

通常为第一题（约 40 分），系统训练后最易稳定得分，也是其他版块的数学工具基础。

代数笔记体系（11 篇）

不等式

舒尔：$a,b,c\geq0$，$\sum a^r(a-b)(a-c)\geq0$（详见不等式与最值问题、高级不等式理论）
排序（深化）、琴生：凸函数 $f(\frac{\sum x_i}{n})\leq\frac{\sum f(x_i)}{n}$
权方和、赫尔德：$\sum a_i b_i\leq(\sum a_i^p)^{1/p}(\sum b_i^q)^{1/q}$，$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$；反柯西（Aczél）
Muirhead（对称均值）、Karamata（凸序）、Maclaurin、Newton 不等式
uvw 方法、混合变量法（EV 法）、SOS-Schur 分解、切线 trick、Lagrange 乘数法
技巧：「$1$ 的代换」、齐次化、变量代换、局部不等式、调整法、Ravi 代换

数列与递推

特征根法：$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$，$x^2-px-q=0$；不同根 $a_n=A\alpha^n+B\beta^n$，重根 $a_n=(A+Bn)\alpha^n$
不动点法：$a_{n+1}=\frac{pa_n+q}{ra_n+s}$，解 $x=\frac{px+q}{rx+s}$；桥函数法；母函数 $G(x)=\sum a_n x^n$
矩阵法：递推 $\vec{v}_{n+1}=A\vec{v}_n$通项$\vec{v}_n=A^n\vec{v}_0$，对角化 + Cayley-Hamilton（详见矩阵与线性代数初步）

函数方程

柯西方程：$f(x+y)=f(x)+f(y)\to f(x)=cx$；$f(x+y)=f(x)f(y)\to f(x)=a^x$；$f(xy)=f(x)+f(y)\to f(x)=\log_a x$
代入法（特殊值）、换元法、极限法、P(x,y) 符号系统
单射/满射/双射判定，迭代理论与桥函数（详见代数总论与函数方程、迭代与函数方程）

多项式与复数

韦达定理；拉格朗日插值；单位根 $\omega^n=1$；牛顿公式（详见多项式与方程、对称多项式与牛顿恒等式深化）
复数模长不等式 $|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|$；复数与几何变换（详见复数与向量方法）
Newton 恒等式系统：$p_k - e_1 p_{k-1} + e_2 p_{k-2} - \cdots + (-1)^{k-1} k e_k = 0$
判别式与结式：判别式 $\Delta = a_n^{2n-2}\prod_{i<j}(r_i-r_j)^2$；Sylvester 矩阵；实根判定
高斯整数 $\mathbb{Z}[i]$、分圆域 $\mathbb{Q}(\omega)$、DFT 在组合恒等式中的应用

3.2 平面几何

平面几何的特点

唯一不依赖代数计算的纯推理版块，讲究辅助线与定理熟练度，通常为第二题。

五心与欧拉线

重心 $G$（$AG:GD=2:1$）、外心 $O$（$OA=R$）、内心 $I$（到三边 $r$）、垂心 $H$、旁心
欧拉线：$O,G,H$共线且$OG:GH=1:2$

核心定理

塞瓦：$AD,BE,CF$共点 ⇔$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1$
梅涅劳斯：$D,E,F$共线 ⇔$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=-1$
托勒密：圆内接四边形 $AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$
西姆松：外接圆上一点在三边投影共线
圆幂定理：$PA\cdot PB=|PO^2-R^2|$；根轴

几何变换

平移、旋转、反射；位似（中心 $O$，比 $k$）；反演 $OP\cdot OP'=R^2$（保角性，过反演中心的圆→直线）

3.3 数论

数论的特点

「看起来简单，做起来难」，核心在于同余工具的熟练运用。

数论笔记体系（12 篇）

整除与同余

裴蜀定理：$\exists x,y$使$ax+by=\gcd(a,b)$
同余：$a\equiv b,\ c\equiv d\pmod{m}$→$a\pm c\equiv b\pm d$，$ac\equiv bd$
中国剩余定理：互素模数下同余方程组在模 $\prod m_i$ 下有唯一解
Hensel 引理：$\mathbb{Z}_p$ 上解的提升（详见同余方程进阶与Hensel引理）

重要定理

费马小定理：$a^{p-1}\equiv1\pmod{p}$（$p$ 素数，$\gcd(a,p)=1$）
欧拉定理：$a^{\varphi(m)}\equiv1\pmod{m}$（$\gcd(a,m)=1$）
威尔逊定理：$p$素数 ⇔$(p-1)!\equiv-1\pmod{p}$
Lucas 定理、Kummer 定理（详见组合数论：卢卡斯与库默尔）

二次剩余与不定方程

勒让德符号 $\left(\frac{a}{p}\right)$；二次互反律；Jacobi 符号
$ax+by=c$有解 ⇔$\gcd(a,b)\mid c$
勾股方程：$x=k(m^2-n^2),y=2kmn,z=k(m^2+n^2)$
佩尔方程 $x^2-Dy^2=1$；无穷递降法；连分数解法（详见连分数与丢番图逼近）
二次型理论：$ax^2+bxy+cy^2=n$ 的整数解，类数公式（详见二次型理论）

数论函数与解析数论

$\varphi(n)=n\prod_{p\mid n}(1-\frac{1}{p})$；$\mu(n)$ 与莫比乌斯反演；积性函数
Mertens 函数 $M(x)=\sum_{n\le x}\mu(n)$；Chebyshev 函数 $\psi(x)$
素数定理 $\pi(x)\sim\dfrac{x}{\ln x}$（详见素数分布与解析数论初步）
数论不等式：$n$与$\varphi(n)$、$d(n)$、$\sigma(n)$ 的精细估计（详见数论不等式与估计）

特殊数列的数论性质

Fibonacci 数列：$F_p\equiv\left(\frac{5}{p}\right)\pmod{p}$（Lucas 1878）
Lucas 数列：$U_n(P,Q),V_n(P,Q)$ 与 Levi ben Gerson 同余
整点计数、Blichfeldt 定理、Minkowski 定理（详见特殊数列的数论性质）

代数数论联系

代数整数、有理素数在代数整数环中的分解
二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ 的类数；Pell 方程与连分数（详见代数数论初步、连分数与丢番图逼近）

3.4 组合数学

组合数学的特点

灵活度最高，考查构造与极端思维。通常为第四题，区分顶尖选手。

组合笔记体系（11 篇）

计数原理

加法/乘法原理；容斥原理（奇加偶减）；鸽巢原理（$n+1$→至少一巢 $2$ 只，$mn+1$→至少一巢 $m+1$ 只）
Möbius 反演（偏序集上）、符号反转对合（SRI）、Lindström–Gessel–Viennot 引理、Burnside 引理（详见计数原理与方法）
错位排列、圆排列、可重组合（星条法）；映射计数法

组合恒等式与生成函数

$C_n^k=C_n^{n-k}$；范德蒙 $\sum C_m^k C_n^{r-k}=C_{m+n}^r$；吸收恒等式 $k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}$
普通型生成函数 OGF、指数型生成函数 EGF、Dirichlet 生成函数 DGF
Lagrange 反演公式、指数公式（标号结构计数）、多元生成函数、Snake Oil 方法（详见组合恒等式与生成函数）
卡特兰数 $C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$；Motzkin 数；Bell 数

图论基础

欧拉图（所有顶点度偶数）；哈密顿图（Dirac/Ore 定理）；二部图；染色 $\chi(G)$；握手引理 $\sum\deg(v)=2|E|$
树（$n-1$ 条边、至少两片叶子）；Vizing 定理（边色数）；四色定理
Ramsey 数 $R(s,t)$（详见图论基础与染色）

组合极值与构造

极端原理、调整法；构造与反例；双计数法
Turán 定理（禁 $K_{r+1}$最大边数）、Mantel 定理（禁$K_3$）、Sperner 定理（反链）
Erdős–Ko–Rado 定理（相交族）、概率方法初探（详见组合极值与构造）
组合几何：凸包、Erdős–Szekeres、覆盖与划分

高级图论与网络流

Hall 婚姻定理、König 定理（最大匹配=最小点覆盖）、Menger 定理、Tutte 1-因子定理
最大流最小割定理、Ford-Fulkerson 算法
平面图：Euler 公式 $V-E+F=2$、Kuratowski 定理、对偶图
连通度：$\kappa(G) \le \lambda(G) \le \delta(G)$（Whitney 定理）（详见高级图论与网络流）

拉姆齐理论与极图理论

Ramsey 数：$R(s,t) \le \binom{s+t-2}{s-1}$（Erdős–Szekeres 上界）；$R(k,k) > c \cdot k 2^{k/2}$（概率下界）
Schur 定理、多色 Ramsey 数、Happy Ending 问题、Erdős–Szekeres 单调子序列
Turán 定理、Erdős–Stone 定理、Erdős–Simonovits 稳定性
Szemerédi 正则引理、三角形计数引理、Roth 定理图论证明思路（详见拉姆齐理论与极图理论）

组合几何

凸性：Carathéodory、Radon、Helly 定理
Sylvester–Gallai 定理、对偶形式
Erdős–Szekeres 凸多边形定理（$ES(n) \le \binom{2n-4}{n-2}+1$，下界 $2^{n-2}+1$）
Szemerédi–Trotter 定理（点线关联）、Erdős 单位距离问题、直线配置（详见组合几何）

概率方法与随机结构

Markov/Chebyshev/Chernoff 不等式；第二矩方法
Erdős 概率方法：$R(k,k) > 2^{k/2}$（1947）；alteration 方法
Lovász 局部引理（LLL）：超图着色应用
随机图 $G(n,p)$：团数 $\sim 2\log_2 n$、相变现象（详见概率方法与随机结构）

对称群与 Pólya 计数

群作用：轨道、稳定子、轨道-稳定子定理
Burnside 引理、Pólya 计数定理、循环指标 $Z(G)$
循环群 $C_n$、二面体群 $D_n$、立方体/四面体旋转群的循环指标
项链、手镯、立方体染色计数（详见对称群与Pólya计数）

组合数论与加法组合

Schur 定理、Van der Waerden 定理（$W(k,r)$）、Szemerédi 定理（密度版）
Sidon 集（$B_2$ 集）、Sum-Free 集、$B_h$ 集
Cauchy–Davenport 定理、Plünnecke–Ruzsa 不等式、Freiman 定理
Erdős–Ginzburg–Ziv 定理：任意 $2n-1$整数中必有$n$个和被$n$ 整除（详见组合数论与加法组合）

设计与编码理论

BIBD $(v, k, \lambda)$、Fisher 不等式 $b \ge v$、对称设计
Steiner 系统 $S(t, k, v)$、Fano 平面 $S(2,3,7)$、Witt 设计 $S(5,8,24)$
有限射影平面、Bruck–Ryser–Chowla 定理
Hadamard 矩阵、Hamming 码、Singleton/Hamming 界（详见设计与编码理论初步）

四、四大版块的关系与交叉

版块交叉融合是近年命题趋势

交叉领域	示例	涉及版块	笔记链接
解析法处理几何	向量/复数/坐标系证明几何定理	代数 + 几何	复数与向量方法
数论中的代数	同余方程、多项式在 $\mathbb{Z}_p$ 上的性质	代数 + 数论	多项式与方程 + 同余方程进阶与Hensel引理
对称多项式与数论	Newton 恒等式 + 二次型	代数 + 数论	对称多项式与牛顿恒等式深化 + 二次型理论
矩阵递推与数论	Fibonacci 矩阵 + Pisano 周期	代数 + 数论	矩阵与线性代数初步 + 特殊数列的数论性质
不等式与数论估计	Schur + 数论函数估计	代数 + 数论	高级不等式理论 + 数论不等式与估计
复数与组合	单位根 + 组合恒等式	代数 + 组合	复数与向量方法 + 组合恒等式与生成函数
生成函数与组合	代数方法推导组合恒等式	代数 + 组合	组合恒等式与生成函数
组合数论	抽屉原理在整数问题中的应用	组合 + 数论	组合数论：卢卡斯与库默尔
拉姆齐理论	充分大结构中必存在有序子结构	组合 + 图论	图论基础与染色
组合与代数	矩阵树定理、LGV 引理、Pólya 计数	代数 + 组合	矩阵与线性代数初步 + 计数原理与方法
组合与几何	Erdős–Szekeres、组合几何	几何 + 组合	几何不等式与极值 + 组合几何
组合与数论（加法组合）	Schur、Van der Waerden、Sidon	组合 + 数论	组合数论与加法组合 + 组合数论：卢卡斯与库默尔
概率方法与图论	随机图、Ramsey 下界	组合 + 概率	概率方法与随机结构 + 拉姆齐理论与极图理论
设计与代数	Hadamard 矩阵、有限域上码	代数 + 组合	矩阵与线性代数初步 + 设计与编码理论初步

向量法、复数法、坐标法是平面几何三大解析利器
同余方程本质是环 $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ 上的方程
生成函数将离散数列映射为连续函数
拉姆齐理论在数论（范德瓦尔登定理）和组合题中均有体现
矩阵方法已成为处理线性递推与图论计数的核心工具
对称多项式将多项式根的理论与判别式、结式联系起来，是多项式与数论的桥梁

五、备考策略与推荐学习路径

阶段一：夯实基础

掌握一试体系（函数综合、数列递推、解析几何），不等式专题（均值、柯西、排序），规范数学归纳法与反证法。

参考笔记

不等式证明方法综述 | 求和式的计算方式

阶段二：专攻四大版块

代数（不等式深化、特征根/不动点、函数方程）、平面几何（五心、塞瓦/梅涅劳斯/托勒密、几何变换）、数论（同余、费马/欧拉定理、不定方程）、组合（容斥/鸽巢、恒等式、图论）。

参考笔记

平面几何定律集 | 三角形五心与欧拉线 | 不等式与最值问题 | 数论函数与欧拉定理

阶段三：综合训练

真题模拟（近 5～10 年），跨版块训练（代数解几何、组合数论），归纳题型框架。

参考笔记

阶段三.5：高档专题突破（CMO/TST/IMO 冲刺）

高档竞赛核心专题

代数方向：高级不等式理论（SOS-Schur/uvw/混合变量法）、对称多项式与牛顿恒等式深化（Newton 恒等式/判别式/结式）、矩阵与线性代数初步（对角化/Cayley-Hamilton/Jordan 标准型）、迭代与函数方程（分式线性迭代/桥函数）
数论方向：二次型理论（类数公式/局部-全局原理）、组合数论：卢卡斯与库默尔（组合恒等式模素数）、素数分布与解析数论初步（素数定理/Chebyshev 估计）、特殊数列的数论性质（Fibonacci/Lucas 数列）、数论不等式与估计（$n$与$\varphi,d,\sigma$ 的精细估计）
组合方向：高级图论与网络流（Hall/Tutte/最大流最小割）、拉姆齐理论与极图理论（Turán/Szemerédi 正则引理）、组合几何（Helly/Sylvester-Gallai）、概率方法与随机结构（Erdős 概率法/LLL）、对称群与Pólya计数（Burnside/Pólya）、组合数论与加法组合（Schur/Van der Waerden/EGZ）、设计与编码理论初步（BIBD/Steiner/Hamming 码）
跨版块：复数法处理几何（复数与向量方法）、矩阵法处理递推（矩阵与线性代数初步）、生成函数处理组合（组合恒等式与生成函数）

阶段四：冲刺提升

薄弱版块补强、限时训练（150 分钟/4 题）、心理素质与节奏把控。

六、推荐学习顺序

代数不等式 — 最基础工具，贯穿所有版块（不等式与最值问题 → 高级不等式理论）
数列与递推 — 为函数方程铺垫（数列与递推方法 → 矩阵与线性代数初步）
函数方程 — 与递推思想一脉相承（代数总论与函数方程 → 迭代与函数方程）
多项式与对称多项式 — 代数核心深化（多项式与方程 → 对称多项式与牛顿恒等式深化）
复数与三角 — 几何与代数的桥梁（复数与向量方法 → 三角函数与恒等变换）
数学归纳法 — 贯穿所有版块的证明工具（数学归纳法）
平面几何 — 独立体系，前期可专注投入
数论基础 — 同余运算需积累手感（整除与同余基础 → 数论函数与欧拉定理 → 不定方程与丢番图方程 → 二次剩余与阶）
数论进阶 — 二次型与组合数论（二次型理论 → 组合数论：卢卡斯与库默尔 → 同余方程进阶与Hensel引理）
数论高档 — 解析数论与代数数论（素数分布与解析数论初步 → 特殊数列的数论性质 → 数论不等式与估计 → 连分数与丢番图逼近 → 代数数论初步）
组合计数 — 与代数排列组合衔接（计数原理与方法 → 组合恒等式与生成函数 → 对称群与Pólya计数）
图论与网络流 — 基础到高级（图论基础与染色 → 高级图论与网络流）
Ramsey 与极图 — 拉姆齐与极图理论（拉姆齐理论与极图理论 → 概率方法与随机结构）
组合几何与构造 — 几何与极值（组合极值与构造 → 组合几何）
组合数论与设计 — 加法组合与设计（组合数论与加法组合 → 设计与编码理论初步）

灵活调整

平面几何和数论与代数依赖弱，可在代数基础完成后任意切入。

七、知识图谱总览

代数（11 篇）

基础工具：代数总论与函数方程 | 不等式与最值问题 | 数列与递推方法 | 数学归纳法
核心深化：多项式与方程 | 复数与向量方法 | 三角函数与恒等变换 | 迭代与函数方程
高档专题：高级不等式理论 | 对称多项式与牛顿恒等式深化 | 矩阵与线性代数初步

几何

平面几何核心定理 | 三角形与圆 | 几何变换与作图 | 解析几何方法 | 立体几何与空间向量 | 几何不等式与极值

数论（12 篇）

基础工具：整除与同余基础 | 数论函数与欧拉定理 | 不定方程与丢番图方程 | 二次剩余与阶
进阶深化：同余方程进阶与Hensel引理 | 连分数与丢番图逼近 | 代数数论初步
高档专题：二次型理论 | 组合数论：卢卡斯与库默尔 | 素数分布与解析数论初步 | 特殊数列的数论性质 | 数论不等式与估计

组合（11 篇）

基础工具：计数原理与方法 | 组合恒等式与生成函数 | 图论基础与染色 | 组合极值与构造
高档专题：高级图论与网络流 | 拉姆齐理论与极图理论 | 组合几何 | 概率方法与随机结构 | 对称群与Pólya计数 | 组合数论与加法组合 | 设计与编码理论初步

题目集

代数题目集 | 几何题目集 | 数论题目集 | 组合数学题目集

跨版块知识关联图

mermaid

graph LR
    subgraph 代数[代数版块]
        A1[代数总论与函数方程]
        A2[不等式与最值问题]
        A3[高级不等式理论]
        A4[对称多项式与牛顿恒等式深化]
        A5[矩阵与线性代数初步]
        A6[多项式与方程]
        A7[复数与向量方法]
        A8[数列与递推方法]
        A9[迭代与函数方程]
        A10[数学归纳法]
        A11[三角函数与恒等变换]
    end

    subgraph 数论[数论版块]
        N1[整除与同余基础]
        N2[数论函数与欧拉定理]
        N3[二次型理论]
        N4[组合数论：卢卡斯与库默尔]
        N5[素数分布与解析数论初步]
        N6[特殊数列的数论性质]
        N7[数论不等式与估计]
        N8[代数数论初步]
        N9[连分数与丢番图逼近]
    end

    subgraph 组合[组合版块]
        C1[计数原理与方法]
        C2[组合恒等式与生成函数]
        C3[图论基础与染色]
        C4[组合极值与构造]
        C5[高级图论与网络流]
        C6[拉姆齐理论与极图理论]
        C7[组合几何]
        C8[概率方法与随机结构]
        C9[对称群与Pólya计数]
        C10[组合数论与加法组合]
        C11[设计与编码理论初步]
    end

    A3 -->|不等式估计| N7
    A4 -->|对称多项式| N3
    A5 -->|矩阵递推/二次型| N3
    A5 -->|矩阵数论/Pisano周期| N6
    A6 -->|多项式模算术| N1
    A7 -->|高斯整数/分圆域| N3
    A7 -->|单位根与组合| N4
    A8 -->|Fibonacci/Lucas| N6
    A9 -->|迭代函数| A1
    A11 -->|三角恒等| A7
    A5 -->|LGV/Pólya| C1
    A5 -->|LGV/Pólya| C9
    A4 -->|对称结构| C9
    N4 -->|加法组合| C10
    N7 -->|Cauchy-Davenport| C10
    C8 -->|Ramsey 下界| C6
    C7 -->|Erdős-Szekeres| C4

    classDef algebra fill:#e1f5ff,stroke:#0288d1
    classDef number fill:#fff4e1,stroke:#f57c00
    classDef combo fill:#f1e1f5,stroke:#8e24aa
    class A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10,A11 algebra
    class N1,N2,N3,N4,N5,N6,N7,N8,N9 number
    class C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,C9,C10,C11 combo

最后的话

数学竞赛之路，贵在坚持与反思。每一道做不出来的题，都是通往更高水平的阶梯。

—— 整理于 2026 年 6 月

高中数学竞赛大纲 ​

一、竞赛体系概述 ​

二、一试知识范围 ​

2.1 集合与简易逻辑 ​

2.2 函数 ​

2.3 三角函数 ​

2.4 数列 ​

2.5 不等式 ​

2.6 解析几何 ​

2.7 立体几何 ​

2.8 排列组合与概率 ​

2.9 复数与向量 ​

2.10 导数及其应用 ​

三、二试知识范围 ​

3.1 代数 ​

不等式 ​

数列与递推 ​

函数方程 ​

多项式与复数 ​

3.2 平面几何 ​

五心与欧拉线 ​

核心定理 ​

几何变换 ​

3.3 数论 ​

整除与同余 ​

重要定理 ​

二次剩余与不定方程 ​

数论函数与解析数论 ​

特殊数列的数论性质 ​

代数数论联系 ​

3.4 组合数学 ​

计数原理 ​

组合恒等式与生成函数 ​

图论基础 ​

组合极值与构造 ​

高级图论与网络流 ​

拉姆齐理论与极图理论 ​

组合几何 ​

概率方法与随机结构 ​

对称群与 Pólya 计数 ​

组合数论与加法组合 ​

设计与编码理论 ​

四、四大版块的关系与交叉 ​

五、备考策略与推荐学习路径 ​

阶段一：夯实基础 ​

阶段二：专攻四大版块 ​

阶段三：综合训练 ​

阶段三.5：高档专题突破（CMO/TST/IMO 冲刺） ​

阶段四：冲刺提升 ​

六、推荐学习顺序 ​

七、知识图谱总览 ​

代数（11 篇） ​

几何 ​

数论（12 篇） ​

组合（11 篇） ​

题目集 ​

跨版块知识关联图 ​

高中数学竞赛大纲

一、竞赛体系概述

二、一试知识范围

2.1 集合与简易逻辑

2.2 函数

2.3 三角函数

2.4 数列

2.5 不等式

2.6 解析几何

2.7 立体几何

2.8 排列组合与概率

2.9 复数与向量

2.10 导数及其应用

三、二试知识范围

3.1 代数

不等式

数列与递推

函数方程

多项式与复数

3.2 平面几何

五心与欧拉线

核心定理

几何变换

3.3 数论

整除与同余

重要定理

二次剩余与不定方程

数论函数与解析数论

特殊数列的数论性质

代数数论联系

3.4 组合数学

计数原理

组合恒等式与生成函数

图论基础

组合极值与构造

高级图论与网络流

拉姆齐理论与极图理论

组合几何

概率方法与随机结构

对称群与 Pólya 计数

组合数论与加法组合

设计与编码理论

四、四大版块的关系与交叉

五、备考策略与推荐学习路径

阶段一：夯实基础

阶段二：专攻四大版块

阶段三：综合训练

阶段三.5：高档专题突破（CMO/TST/IMO 冲刺）

阶段四：冲刺提升

六、推荐学习顺序

七、知识图谱总览

代数（11 篇）

几何

数论（12 篇）

组合（11 篇）

题目集

跨版块知识关联图