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求和式的计算方式（Summation Techniques）
核心定位
数列求和是组合数学与微积分的交叉核心技能。从最基本的等差数列到复杂的阿贝尔变换，求和技巧贯穿中学数学与高等数学。本笔记系统阐述十种主流求和方法，每种方法均配以完整推导和典型例题，力求在严谨推导与直观理解之间取得平衡。相关笔记：等差与等比数列的求和公式：不同已知条件下的灵活应用 | 幂和公式及推导 | 通项与和的关系 | 数学归纳法 | 数列与微分方程核心方法：原理、推导及线性代数本质。
一、求和符号 $\Sigma$ 的基本概念
1.1 求和符号的定义与基本性质（Definition and Basic Properties of Sigma Notation）
定义
设 $\lbrace a_k\rbrace $是一个数列，则从下标$k=m$到$k=n$ 的求和记为： $$ \sum_{k=m}^{n} a_k = a_m + a_{m+1} + \cdots + a_n \quad (m \le n) $$ 其中 $k$ 称为求和指标（Index of Summation / Dummy Variable），$m$ 为下限（Lower Limit），$n$ 为上限（Upper Limit）。
求和符号的核心性质如下：
线性性质（Linearity）
对于任意常数 $\alpha, \beta$和数列$\lbrace a_k\rbrace , \lbrace b_k\rbrace $，有： $$ \sum_{k=m}^{n} (\alpha a_k + \beta b_k) = \alpha \sum_{k=m}^{n} a_k + \beta \sum_{k=m}^{n} b_k $$ 这一性质允许我们将复杂求和拆分为简单部分的线性组合。
指标变换（Index Shift）
设 $j = k + c$（其中 $c$ 为整数），则： $$ \sum_{k=m}^{n} a_k = \sum_{j=m+c}^{n+c} a_{j-c} $$ 指标变换是裂项求和与对齐下标的核心技巧。
其他常用约定：
- 空和（Empty Sum）：当 $m > n$时，约定$\sum_{k=m}^{n} a_k = 0$。
- 常数求和：$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} c = nc$。
- 多重求和记号： $$ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} = \sum_{1 \le i \le m,\thickspace 1 \le j \le n} a_{i,j} $$ 交换求和次序（Fubini 原理的离散形式）： $$ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m} a_{i,j} $$
1.2 例题
例 1：求 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i$
将 $1$到$n$ 的正序与倒序相加： $$ \begin{aligned} S &= 1 + 2 + \cdots + n \newline S &= n + (n-1) + \cdots + 1 \end{aligned} $$ 相加得 $2S = n(n+1)$，故： $$ \boxed{\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}} $$
例 2：求 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (2i-1)$（前 $n$ 个奇数之和）
$$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} (2i-1) &= 2\sum_{i=1}^{n} i - \sum_{i=1}^{n} 1 \newline &= 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n = n(n+1) - n = n^2 \end{aligned} $$ 这一优美的结论：前 $n$个奇数的和恰好是$n^2$。即： $$ \boxed{1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2} $$
例 3：求 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i(i+1)$
$$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} i(i+1) &= \sum_{i=1}^{n} (i^2 + i) = \sum_{i=1}^{n} i^2 + \sum_{i=1}^{n} i \newline &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \newline &= \frac{n(n+1)}{2} \left[\frac{2n+1}{3} + 1\right] \newline &= \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \end{aligned} $$ 验证：$n=3$ 时，$1\times2 + 2\times3 + 3\times4 = 2+6+12=20$，而 $\frac{3\times4\times5}{3}=20$，成立。
二、等差数列与等比数列求和
关联笔记
等差与等比数列的求和公式：不同已知条件下的灵活应用 已详细列出各种已知条件下的求和公式，本节侧重核心推导方法与混合数列技巧。
2.1 等差数列求和（Arithmetic Series Sum）—— 倒序相加法
设等差数列 $\lbrace a_k\rbrace $首项$a_1$、公差 $d$（Common Difference），则通项 $a_k = a_1 + (k-1)d$。
倒序相加法推导
写出正序和与倒序和： $$ \begin{aligned} S_n &= a_1 + (a_1+d) + (a_1+2d) + \cdots + (a_1+(n-1)d) \newline S_n &= a_n + (a_n-d) + (a_n-2d) + \cdots + (a_n-(n-1)d) \end{aligned} $$ 逐项相加：第 $k$项正序为$a_1+(k-1)d$，倒序对应第 $n-k+1$项为$a_n-(k-1)d$，二者之和： $$ [a_1+(k-1)d] + [a_n-(k-1)d] = a_1 + a_n $$ 与 $k$无关！故$2S_n = n(a_1+a_n)$，得到： $$ \boxed{S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n}{2}\bigl[2a_1 + (n-1)d\bigr]} $$
倒序相加法的核心条件
要求「与首尾等距的两项之和为定值」。等差数列恰好满足 $a_{k} + a_{n-k+1} = a_1 + a_n = \text{常数}$。
2.2 等比数列求和（Geometric Series Sum）—— 错位相减法
设等比数列 $\lbrace a_k\rbrace $首项$a_1 \neq 0$、公比 $q$（Common Ratio），则通项 $a_k = a_1 q^{k-1}$。
错位相减法推导
写出 $S_n$，再乘以 $q$： $$ \begin{aligned} S_n &= a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n-1} \newline qS_n &= \phantom{a_1 + } a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n-1} + a_1q^n \end{aligned} $$ 两式相减（错位相减），中间项全部抵消： $$ (1-q)S_n = a_1 - a_1q^n $$ 故当 $q \neq 1$ 时： $$ \boxed{S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}} $$ 当 $q=1$ 时，数列为常数列，$S_n = n a_1$。
常见特例：
- $|q| < 1$ 时的无穷等比级数（Infinite Geometric Series）：$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a_1 q^k = \frac{a_1}{1-q}$。
- 公比 $q = 2$ 时：$1+2+4+\cdots+2^{n-1} = 2^n - 1$。
2.3 等差 $\times$ 等比混合数列求和 —— 错位相减法推广
设 $\lbrace a_n\rbrace $ 是等差数列，$\lbrace b_n\rbrace $是等比数列，求数列$\lbrace a_n b_n\rbrace $的前$n$ 项和，思路是乘以等比公比后错位相减。
例 4：求 $T_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^k$
通项 $a_k = k$（等差数列），$b_k = 2^k$（等比数列，公比 $q=2$）。 $$ \begin{aligned} T_n &= 1\cdot 2^1 + 2\cdot 2^2 + 3\cdot 2^3 + \cdots + n\cdot 2^n \newline[4pt] 2T_n &= \phantom{1\cdot 2^1 + } 1\cdot 2^2 + 2\cdot 2^3 + \cdots + (n-1)\cdot 2^n + n\cdot 2^{n+1} \end{aligned} $$ 错位相减（下减上）： $$ \begin{aligned} T_n - 2T_n &= (1\cdot 2^1) + (2\cdot 2^2 - 1\cdot 2^2) + (3\cdot 2^3 - 2\cdot 2^3) + \cdots + (n\cdot 2^n - (n-1)\cdot 2^n) - n\cdot 2^{n+1} \newline -T_n &= 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n - n\cdot 2^{n+1} \end{aligned} $$ 中间部分为等比数列求和： $$ 2 + 2^2 + \cdots + 2^n = \frac{2(2^n-1)}{2-1} = 2^{n+1} - 2 $$ 于是： $$ -T_n = (2^{n+1} - 2) - n\cdot 2^{n+1} = 2^{n+1}(1-n) - 2 $$ $$ \boxed{T_n = (n-1)\cdot 2^{n+1} + 2} $$
错位相减法的通用模式
对 $\sum k \cdot q^k$，乘以 $q$做差后，中间得到等比数列$\sum q^k$，这是可求和的部分。公式结论： $$ \sum_{k=1}^{n} k q^k = \frac{q[1 - (n+1)q^n + n q^{n+1}]}{(1-q)^2} \quad (q \neq 1) $$
例 5：求 $1+3+5+\cdots+(2n-1)$
解法一（等差求和）：这是首项 $a_1=1$、公差 $d=2$、项数 $n$ 的等差数列。 $$ S_n = \frac{n}{2}[2\cdot 1 + (n-1)\cdot 2] = \frac{n}{2}(2n) = n^2 $$ 解法二（裂项）：$(2k-1) = k^2 - (k-1)^2$，故 $\sum_{k=1}^{n}(2k-1) = n^2 - 0^2 = n^2$。
例 6：求 $1+2+4+\cdots+2^n$
这是首项 $a_1=1$、公比 $q=2$、项数 $n+1$ 的等比数列。 $$ S = \frac{1\cdot (2^{n+1} - 1)}{2 - 1} = 2^{n+1} - 1 $$
三、裂项相消法（Telescoping Method）
3.1 核心思想
裂项相消法（Telescoping）
若能将通项 $a_k$写成$a_k = b_k - b_{k+1}$（或 $a_k = b_{k+1} - b_k$），则求和时中间项两两抵消： $$ \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (b_k - b_{k+1}) = b_1 - b_{n+1} $$ 裂项的关键是找到恰当的「原函数」$\lbrace b_k\rbrace $，使得差分恰好等于通项。
此方法在连续情形中对应微积分基本定理：$\int_a^b f(x)\thinspace{}dx = F(b) - F(a)$。
3.2 分式裂项（Rational Telescoping）
基础裂项公式： $$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} $$
验证
$\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} = \frac{(k+1) - k}{k(k+1)} = \frac{1}{k(k+1)}$，成立。
推广裂项（待定系数法）： $$ \frac{1}{k(k+m)} = \frac{1}{m}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+m}\right) $$
例 7：求 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$
$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} &= \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) \newline &= \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) \newline &= 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1} \end{aligned} $$ 当 $n \to \infty$时，和为$1$。
例 8：求 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$
思路：先将 $\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ 拆为两项之差，利用已有裂项公式。
方法一（两次裂项）：由 $\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{(k+2) - k}{k(k+1)(k+2)} = \frac{2}{k(k+1)(k+2)}$，得： $$ \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\right] $$ 求和： $$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} &= \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \left[\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\right] \newline &= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{1\times 2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right] = \frac{1}{4} - \frac{1}{2(n+1)(n+2)} \end{aligned} $$
3.3 根式裂项（Radical Telescoping）
分母有理化（Rationalizing the Denominator）
$$ \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(k+1) - k} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k} $$
例 9：求 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$
$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} &= \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) \newline &= (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \newline &= \sqrt{n+1} - 1 \end{aligned} $$
3.4 对数裂项（Logarithmic Telescoping）
利用对数性质 $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$： $$ \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) = \ln\frac{k+1}{k} = \ln(k+1) - \ln k $$
例 10：求 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right)$
$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) &= \sum_{k=1}^{n} [\ln(k+1) - \ln k] \newline &= \ln(n+1) - \ln 1 = \ln(n+1) \end{aligned} $$
3.5 三角函数裂项（Trigonometric Telescoping）
利用和差化积或三角恒等式：
常用三角裂项公式
$$ \cot k - \cot(k+1) = \frac{\sin 1}{\sin k \sin(k+1)} $$ $$ \tan(k+1) - \tan k = \frac{\sin 1}{\cos k \cos(k+1)} $$
3.6 多项式差分裂项 —— 求幂和
利用二项式展开构造裂项，这是推导幂和公式及推导的核心方法： $$ (k+1)^{m+1} - k^{m+1} = \sum_{i=0}^{m} \binom{m+1}{i} k^i $$
关键洞察
对 $k$从$1$到$n$求和，左边裂项为$(n+1)^{m+1} - 1$，右边是低次幂和的线性组合。由此可以从 $m=0$开始递推，逐个求出$\sum k^m$ 的公式。
例 11：利用裂项推导 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2$
$$ (k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1 $$ 两边对 $k=1$到$n$ 求和： $$ (n+1)^3 - 1 = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k + n $$ 代入 $\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$： $$ n^3 + 3n^2 + 3n = 3\sum k^2 + \frac{3n(n+1)}{2} + n $$ $$ 3\sum k^2 = n^3 + 3n^2 + 3n - \frac{3n^2+3n}{2} - n = n^3 + \frac{3n^2}{2} + \frac{n}{2} $$ $$ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$
四、分组求和法（Grouping Method）
4.1 核心思想
分组求和法
当数列不具备统一规律时，可按某种规则（如奇偶性、周期性）将数列分成若干组，每组内可统一求和，再将各组结果相加。
4.2 按奇偶项分组
例 12：求 $S_n = 1 - 2 + 3 - 4 + \cdots + (-1)^{n+1} n$
情况一：$n$为偶数，设$n = 2m$。 两两配对： $$ S_{2m} = (1 - 2) + (3 - 4) + \cdots + [(2m-1) - 2m] = (-1) \times m = -m $$
情况二：$n$为奇数，设$n = 2m+1$。 $$ S_{2m+1} = S_{2m} + (2m+1) = -m + (2m+1) = m + 1 $$
统一表达式： $$ S_n = \begin{cases} -\dfrac{n}{2}, & n \text{ 为偶数} \newline[8pt] \dfrac{n+1}{2}, & n \text{ 为奇数} \end{cases} $$ 可通过 $(-1)^{n+1}$ 统一写出：$S_n = \dfrac{1 - (-1)^n(2n+1)}{4}$。
例 13：求数列 $\lbrace n + (-1)^n\rbrace $的前$n$ 项和
通项 $a_k = k + (-1)^k$。按奇偶分组：
当 $n = 2m$（偶数）时： $$ \begin{aligned} S_{2m} &= \sum_{k=1}^{2m} k + \sum_{k=1}^{2m} (-1)^k \newline &= \frac{2m(2m+1)}{2} + 0 = m(2m+1) = \frac{n(n+1)}{2} \end{aligned} $$
当 $n = 2m+1$（奇数）时： $$ S_{2m+1} = S_{2m} + a_{2m+1} = m(2m+1) + (2m+1) + (-1) = (m+1)(2m+1) - 1 $$
4.3 按周期性分组
若数列 $\lbrace a_k\rbrace $满足$a_{k+T} = a_k$（周期为 $T$），则可将 $n$ 项分为若干完整周期和余项： $$ \sum_{k=1}^{n} a_k = \left\lfloor\frac{n}{T}\right\rfloor \cdot \sum_{k=1}^{T} a_k + \sum_{k=1}^{n \bmod T} a_k $$
五、倒序相加法（Reverse-Order Addition Method）
5.1 核心思想
倒序相加法
若数列满足 $a_k + a_{n-k+1} = C$（常数），则： $$ 2\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (a_k + a_{n-k+1}) = nC $$ 多用于对称型的数列求和。
5.2 在等差数列中的应用
等差数列的首末等距项之和恒为常数 $a_1 + a_n$，故倒序相加法自然导出求和公式（见 §2.1）。
5.3 在组合恒等式中的应用
例 14：求 $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k}$
记 $S = \sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k}$，利用对称性 $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$： $$ \begin{aligned} 2S &= \sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} + \sum_{k=0}^{n} (n-k) \binom{n}{n-k} \newline &= \sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} + \sum_{j=0}^{n} j \binom{n}{j} \quad (\text{令 } j=n-k)\newline &= \sum_{k=0}^{n} [k + (n-k)] \binom{n}{k} = n\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = n \cdot 2^n \end{aligned} $$ 故 $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} = n \cdot 2^{n-1}$。
5.4 函数中心对称型
典型场景
若 $f(x) + f(1-x) = C$（常数），则： $$ \sum_{k=1}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) = \frac{n-1}{2} \cdot C $$
例 15：求 $\displaystyle\sum_{k=1}^{89} \cos^2 k^\circ$
利用 $\cos^2 \theta + \cos^2(90^\circ - \theta) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$，可两两配对。
六、幂和公式（Faulhaber's Formula）
关联笔记
幂和公式及推导 已对幂和公式做了完整推导和伯努利数表述，本节侧重解题应用和低次推导验证。
6.1 低次幂和速查表
| 次数 $a$ | $\displaystyle S_a(n) = \sum_{k=1}^{n} k^a$ |
|---|---|
| $0$ | $n$ |
| $1$ | $\dfrac{n(n+1)}{2}$ |
| $2$ | $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ |
| $3$ | $\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$ |
| $4$ | $\dfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$ |
| $5$ | $\dfrac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}$ |
值得注意的恒等式
$$ (1+2+\cdots+n)^2 = 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 $$ 即 $\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2 = \sum_{k=1}^{n} k^3$，这是尼科马库斯定理（Nicomachus's Theorem）。
6.2 推导方法
方法一：裂项递推法（已见 §3.6）
利用 $(k+1)^{m+1} - k^{m+1} = \sum_{i=0}^{m} \binom{m+1}{i} k^i$，求和得递推式： $$ (n+1)^{m+1} - 1 = \sum_{i=0}^{m} \binom{m+1}{i} S_i(n) $$ 由 $S_0(n)=n$出发，可依次解出$S_1(n), S_2(n), S_3(n), \dots$
方法二：待定系数法（Undetermined Coefficients）
$S_a(n)$是$n$的$a+1$ 次多项式且无常数项，设： $$ S_a(n) = c_{a+1} n^{a+1} + c_a n^a + \cdots + c_1 n $$ 取 $a+1$个不同$n$ 值代入，解线性方程组确定系数。
例 16：用待定系数法求 $\sum_{k=1}^{n} k^4$
设 $S_4(n) = An^5 + Bn^4 + Cn^3 + Dn^2 + En$。 取 $n = 1,2,3,4,5$ 计算实际和：
| $n$ | $1^4+\cdots + n^4$ |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | $1+16=17$ |
| 3 | $17+81=98$ |
| 4 | $98+256=354$ |
| 5 | $354+625=979$ |
列方程组求解（略去详细过程），最终得： $$ S_4(n) = \frac{n^5}{5} + \frac{n^4}{2} + \frac{n^3}{3} - \frac{n}{30} $$ 因式分解为标准形式： $$ \boxed{S_4(n) = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}} $$
6.3 一般形式 —— John Faulhaber 公式
Faulhaber 公式用伯努利数（Bernoulli Numbers） 表达： $$ \sum_{k=1}^{n} k^a = \frac{1}{a+1} \sum_{j=0}^{a} \binom{a+1}{j} B_j \thinspace n^{a+1-j} $$ 其中伯努利数 $B_j$由生成函数$\frac{t}{e^t - 1} = \sum_{j=0}^{\infty} B_j \frac{t^j}{j!}$ 定义： $$ B_0 = 1,\thickspace B_1 = \frac{1}{2},\thickspace B_2 = \frac{1}{6},\thickspace B_3 = 0,\thickspace B_4 = -\frac{1}{30},\thickspace B_6 = \frac{1}{42},\thickspace B_8 = -\frac{1}{30}, \dots $$ （对所有奇数 $j \ge 3$，$B_j = 0$。）
例 17：利用幂和公式求 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$
$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) &= \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k \newline &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \newline &= \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} + 1 \right] \newline &= \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \end{aligned} $$
七、阿贝尔变换（分部求和法）
7.1 公式与推导
阿贝尔变换（Abel's Summation by Parts）
设 $\lbrace a_k\rbrace , \lbrace b_k\rbrace $为两数列，记$A_k = \displaystyle\sum_{i=1}^{k} a_i$（$A_0 = 0$），则： $$ \boxed{\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = A_n b_{n+1} + \sum_{k=1}^{n} A_k (b_k - b_{k+1})} $$ 等价的常见形式（更直观）： $$ \boxed{\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = A_n b_n - \sum_{k=1}^{n-1} A_k (b_{k+1} - b_k)} $$
推导：
由 $a_k = A_k - A_{k-1}$，代入求和： $$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} a_k b_k &= \sum_{k=1}^{n} (A_k - A_{k-1}) b_k = \sum_{k=1}^{n} A_k b_k - \sum_{k=1}^{n} A_{k-1} b_k \newline &= \sum_{k=1}^{n} A_k b_k - \sum_{j=0}^{n-1} A_j b_{j+1} \quad (\text{令 } j = k-1) \newline &= A_n b_n + \sum_{k=1}^{n-1} A_k (b_k - b_{k+1}) \end{aligned} $$ 将 $b_n$替换为$b_{n+1}$ 并调整余项即得第一种形式。
7.2 与分部积分的类比
离散 ↔ 连续
| 离散（阿贝尔变换） | 连续（分部积分） |
|---|---|
| $\sum a_k b_k$ | $\int_a^b f(x)g(x)\thinspace{}dx$ |
| $A_k = \sum a_i$（部分和） | $F(x) = \int_a^x f(t)\thinspace{}dt$（原函数） |
| $\Delta b_k = b_{k+1} - b_k$（差分） | $g'(x)$（导数） |
| $\sum A_k \Delta b_k$ | $\int F(x)g'(x)\thinspace{}dx$ |
| 最终公式 | $\int Fg' = Fg \big |
7.3 例题
例 18：求 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos(k\theta)$
取 $a_k = 1$，则 $A_k = k$；取 $b_k = \cos(k\theta)$。 由阿贝尔变换： $$ \sum_{k=1}^{n} \cos(k\theta) = n\cos(n\theta) - \sum_{k=1}^{n-1} k[\cos((k+1)\theta) - \cos(k\theta)] $$ 这种方法不够简洁。我们改用三角函数恒等式：
乘以 $2\sin\frac{\theta}{2}$ 构造裂项： $$ 2\sin\frac{\theta}{2} \cos(k\theta) = \sin\left(k\theta + \frac{\theta}{2}\right) - \sin\left(k\theta - \frac{\theta}{2}\right) $$ 求和： $$ 2\sin\frac{\theta}{2} \sum_{k=1}^{n} \cos(k\theta) = \sin\left(n\theta + \frac{\theta}{2}\right) - \sin\frac{\theta}{2} $$ 利用和差化积： $$ \sin\left(n\theta + \frac{\theta}{2}\right) - \sin\frac{\theta}{2} = 2\cos\frac{(n+1)\theta}{2} \sin\frac{n\theta}{2} $$ 故： $$ \boxed{\sum_{k=1}^{n} \cos(k\theta) = \frac{\sin\frac{n\theta}{2} \cos\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \quad (\theta \neq 2m\pi)} $$
例 19：求 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \sin(k\theta)$
取 $a_k = \sin(k\theta)$，则 $A_k = \sum_{i=1}^{k} \sin(i\theta)$。利用类似 §7.3 的技巧可求出 $A_k$ 的封闭形式。再由阿贝尔变换： $$ \sum_{k=1}^{n} k \sin(k\theta) = A_n \cdot n - \sum_{k=1}^{n-1} A_k \cdot 1 $$ 将已知的 $A_k$ 公式代入即可。完整展开为： $$ \boxed{\sum_{k=1}^{n} k \sin(k\theta) = \frac{(n+1)\sin(n\theta) - n\sin((n+1)\theta)}{4\sin^2\frac{\theta}{2}}} $$
八、生成函数法（母函数法 / Generating Function Method）
8.1 定义与原理
生成函数（Generating Function / 母函数）
对于数列 $\lbrace a_n\rbrace _{n=0}^{\infty}$，定义其普通生成函数（Ordinary Generating Function, OGF）为： $$ G(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n $$ 生成函数将离散的数列「编码」为一个解析函数，通过对该函数求导、积分、加减等运算，可以在函数层面完成求和操作，再通过级数展开读出结果。
8.2 基本操作与对应数列变换
生成函数的运算与数列变换对照
| 运算 | 生成函数 | 对应数列 |
|---|---|---|
| 加法 | $\alpha G(x) + \beta H(x)$ | $\alpha a_n + \beta b_n$ |
| 乘 $x$ | $xG(x)$ | $a_{n-1}$（右移一位） |
| 除以 $x$ | $\frac{G(x) - a_0}{x}$ | $a_{n+1}$（左移一位） |
| 求导 | $G'(x)$ | $(n+1)a_{n+1}$ |
| 积分 | $\int_0^x G(t)\thinspace{}dt$ | $\frac{a_{n-1}}{n}$ |
| 卷积 | $G(x) \cdot H(x)$ | $\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}$ |
核心思路：若想要求 $\sum a_n$（部分和），等价于求生成函数 $H(x) = \sum_{n=0}^{\infty} S_n x^n$，其中 $S_n = \sum_{k=0}^{n} a_k$。注意到： $$ \frac{G(x)}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\sum_{k=0}^{n} a_k\right) x^n $$ 这意味着乘以 $\frac{1}{1-x}$ 就是做部分和。
8.3 常用生成函数速查
| 数列 $a_n$ | 生成函数$G(x)$ |
|---|---|
| $a_n = 1$ | $\dfrac{1}{1-x}$ |
| $a_n = n$ | $\dfrac{x}{(1-x)^2}$ |
| $a_n = n^2$ | $\dfrac{x(1+x)}{(1-x)^3}$ |
| $a_n = \binom{n}{k}$ | $\dfrac{x^k}{(1-x)^{k+1}}$ |
| $a_n = c^n$ | $\dfrac{1}{1-cx}$ |
8.4 例题
例 20：用生成函数求 $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k^2$
$a_n = n^2$ 的生成函数：$G(x) = \dfrac{x(1+x)}{(1-x)^3}$。
部分和的生成函数为： $$ H(x) = \frac{G(x)}{1-x} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^4} $$ 展开 $x(1+x)(1-x)^{-4}$。利用广义二项式定理： $$ (1-x)^{-4} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+3}{3} x^n $$ 故： $$ \begin{aligned} H(x) &= x(1+x) \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+3}{3} x^n \newline &= \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+3}{3} x^{n+1} + \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+3}{3} x^{n+2} \newline &= \sum_{m=1}^{\infty} \binom{m+2}{3} x^m + \sum_{m=2}^{\infty} \binom{m+1}{3} x^m \end{aligned} $$ $x^n$ 系数（$n \ge 2$）： $$ S_n = \binom{n+2}{3} + \binom{n+1}{3} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$ 与经典公式一致。
例 21：用生成函数求 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^k$
考虑生成函数 $G(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot 2^n x^n$。令 $y = 2x$： $$ G(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n y^n = \frac{y}{(1-y)^2} = \frac{2x}{(1-2x)^2} $$ 部分和 $S_n$的生成函数为$\frac{G(x)}{1-x} = \frac{2x}{(1-x)(1-2x)^2}$。 部分分式分解后提取系数可验证之前错位相减法的结果： $$ \boxed{\sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^k = (n-1)2^{n+1} + 2} $$
九、积分近似与求和（Integral Approximation of Sums）
9.1 积分判别法（Integral Test）
积分估值
若 $f(x)$在$[1, \infty)$ 上单调递减且非负，则： $$ \int_{1}^{n+1} f(x)\thinspace{}dx \le \sum_{k=1}^{n} f(k) \le f(1) + \int_{1}^{n} f(x)\thinspace{}dx $$ 更精确的上下界（矩形近似）： $$ \int_{1}^{n+1} f(x)\thinspace{}dx \le \sum_{k=1}^{n} f(k) \le \int_{0}^{n} f(x)\thinspace{}dx $$
9.2 欧拉-麦克劳林公式（Euler-Maclaurin Formula）
欧拉-麦克劳林展开
$$ \sum_{k=1}^{n} f(k) = \int_{1}^{n} f(x)\thinspace{}dx + \frac{f(1) + f(n)}{2} + \sum_{j=1}^{m} \frac{B_{2j}}{(2j)!} \left[f^{(2j-1)}(n) - f^{(2j-1)}(1)\right] + R_m $$ 其中 $B_{2j}$ 是伯努利数，$R_m$ 是余项。此公式将离散求和与连续积分建立了精确联系。
欧拉-麦克劳林的核心意义
- 首项 $\int f$ 是积分的连续近似
- 第二项 $\frac{f(1)+f(n)}{2}$ 是端点修正（类似梯形法则）
- 高阶项用伯努利数和奇阶导数提供进一步修正
9.3 调和数（Harmonic Numbers）的渐近估计
例 22：估计调和数 $\displaystyle H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ 的渐近值
取 $f(x) = \frac{1}{x}$（单调递减），由积分估值： $$ \int_{1}^{n+1} \frac{dx}{x} \le H_n \le 1 + \int_{1}^{n} \frac{dx}{x} $$ 即： $$ \ln(n+1) \le H_n \le \ln n + 1 $$ 更精确地，由欧拉-麦克劳林公式可得： $$ H_n = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12n^2} + O\left(\frac{1}{n^4}\right) $$ 其中 $\gamma \approx 0.5772156649$ 是欧拉-马歇罗尼常数（Euler-Mascheroni Constant）。 $$ \boxed{H_n \sim \ln n + \gamma} $$
渐近符号说明
$H_n \sim \ln n + \gamma$意味着$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{H_n}{\ln n + \gamma} = 1$。
例 23：利用积分法估计 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}$
取 $f(x) = \sqrt{x}$，它在 $[1,\infty)$ 上单调递增。利用积分估值： $$ \int_{0}^{n} \sqrt{x}\thinspace{}dx \le \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k} \le \int_{1}^{n+1} \sqrt{x}\thinspace{}dx $$ 计算积分： $$ \int \sqrt{x}\thinspace{}dx = \frac{2}{3}x^{3/2} $$ 故： $$ \frac{2}{3}n^{3/2} \le \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k} \le \frac{2}{3}\left[(n+1)^{3/2} - 1\right] $$ 可得主项：$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k} \sim \frac{2}{3}n^{3/2}$。
十、常见级数求和公式速查表
10.1 基本求和公式
| 序号 | 求和式 | 结果 |
|---|---|---|
| 1 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k$ | $\dfrac{n(n+1)}{2}$ |
| 2 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2$ | $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ |
| 3 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3$ | $\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$ |
| 4 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^4$ | $\dfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$ |
| 5 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k-1)$ | $n^2$ |
10.2 等差与等比
| 序号 | 求和式 | 结果 |
|---|---|---|
| 6 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} [a_1+(k-1)d]$ | $\dfrac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$ |
| 7 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_1 q^{k-1}$ | $\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}\thickspace(q\neq 1)$ |
| 8 | $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} a_1 q^{k}$ | $\dfrac{a_1}{1-q}\thickspace(\vert q\vert < 1)$ |
10.3 裂项型
| 序号 | 求和式 | 结果 |
|---|---|---|
| 9 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)}$ | $\dfrac{n}{n+1}$ |
| 10 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+m)}$ | $\dfrac{1}{m}\left(H_m + H_n - H_{n+m}\right)$ |
| 11 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$ | $\sqrt{n+1}-1$ |
| 12 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \ln\left(1+\dfrac{1}{k}\right)$ | $\ln(n+1)$ |
10.4 组合与特殊数列
| 序号 | 求和式 | 结果 |
|---|---|---|
| 13 | $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$ | $2^n$ |
| 14 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\binom{n}{k}$ | $n\cdot 2^{n-1}$ |
| 15 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\cdot q^{k}$ | $\dfrac{q[1-(n+1)q^n+nq^{n+1}]}{(1-q)^2}$ |
| 16 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos(k\theta)$ | $\dfrac{\sin\frac{n\theta}{2}\cos\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}$ |
| 17 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \sin(k\theta)$ | $\dfrac{\sin\frac{n\theta}{2}\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}$ |
10.5 无穷级数（参考）
| 序号 | 级数 | 和 |
|---|---|---|
| 18 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$ | $\dfrac{\pi^2}{6}$（巴塞尔问题） |
| 19 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^4}$ | $\dfrac{\pi^4}{90}$ |
| 20 | $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ | $e$ |
| 21 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k}$ | $\ln 2$ |
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方法选择策略总结
拿到求和式的第一反应
- 先看通项形式：能否直接套用等差/等比公式？
- 再看能否裂项：分式、根式、对数型通项优先尝试裂项相消。
- 考虑奇偶/周期分组：符号交替或含 $(-1)^n$ 的求和式常拆奇偶。
- 对称性检测：
a_k + a_{n-k+1} = C？→ 倒序相加法。 - 低次多项式通项：直接用幂和公式。
- 等差×等比：错位相减法。
- 复杂式 a_k b_k：尝试阿贝尔变换。
- 生成函数：适用于需要「批量」处理或寻找多项式型和的封闭形式。
- 求近似值而非精确和：积分估值 / 欧拉-麦克劳林公式。
核心思维
求和的本质是将大量项的加总通过某种结构上的抵消或重组转化为少量项的表达式。无论是裂项（相邻抵消）、错位相减（乘以公比后抵消）、倒序相加（对称重组）、还是阿贝尔变换（分部求和），其底层逻辑都是利用结构的对称性消去冗余项。