权方和不等式

例 $1.$已知$x, y$为正实数, 若$x+y=1$, 则$\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}$的最小值为$(\qquad)$

提示： $\color{blue}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y} \geqslant \dfrac{(1+\sqrt{2})^{2}}{x+y}}=3+2 \sqrt{2} .$

当 $\dfrac{1}{x}=\dfrac{\sqrt{2}}{y}$时，即$x=\sqrt{2}-1, y=2-\sqrt{2}$时有$\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}$的最小值$3+2 \sqrt{2}$ .

例 $2.$设$a>1, b>0$, 若$a+b=2$, 则$\dfrac{1}{a-1}+\dfrac{2}{b}$的最小值为$(\qquad)$ .

$A. 3+2 \sqrt{2} \qquad$ $B. 6\qquad$ $C. 4 \sqrt{2} \qquad$ $D. 2 \sqrt{2} $

提示： $\color{blue}{\dfrac{1}{a-1}+\dfrac{2}{b} \geqslant \dfrac{(1+\sqrt{2})^{2}}{a+b-1}}=3+2 \sqrt{2}$ .

当 $\dfrac{1}{a-1}=\dfrac{\sqrt{2}}{b}$时,$a=\sqrt{2}, b=2-\sqrt{2}$ 时取等号。

例 $3.$已知实数$x, y$满足$x>y>0$且$x+y=1$, 则$\dfrac{2}{x+3 y}+\dfrac{1}{x-y}$的最小值是$(\qquad)$

提示： $\color{blue}{\dfrac{2}{x+3 y}+\dfrac{1}{x-y} \geqslant \dfrac{(\sqrt{2}+1)^{2}}{2 x+2 y}}=\dfrac{3+2 \sqrt{2}}{2} .$

当 $\dfrac{2}{x+3 y}=\dfrac{1}{x-y}$时,$x=\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}, y=\dfrac{3}{2}-\sqrt{2}$ 取等号.

例 $4.$已知$a>0, b>0$, 且$\dfrac{2}{a+2}+\dfrac{1}{a+2 b}=1$, 则$a+b$的最小值是$(\qquad)$

提示： $1=\color{blue}{\dfrac{2}{a+2}+\dfrac{1}{a+2 b} \geqslant \dfrac{(\sqrt{2}+1)^{2}}{2 a+2 b+2}}$

当 $\dfrac{\sqrt{2}}{a+2}=\dfrac{1}{a+2 b}$时, 即$a=\sqrt{2}, b=\dfrac{1}{2}$ ,

有 $(a+b)_{\min }=\dfrac{1}{2}+\sqrt{2} .$

例 $5.$设$x, y$是正实数, 且$ x+y=1$, 则$\dfrac{x^{2}}{x+2}+\dfrac{y^{2}}{y+1}$的最小值是$(\qquad)$

提示： $\color{blue}{\dfrac{x^{2}}{x+2}+\dfrac{y^{2}}{y+1} \geqslant \dfrac{(x+y)^{2}}{x+y+3}}=\dfrac{1}{4}$

当 $\dfrac{x}{x+2}=\dfrac{y}{y+1}$时, 即$a=2, b=2$ , 等号成立.

例 $6.$己知$a>1, b>1$, 则$\dfrac{a^{2}}{b-1}+\dfrac{b^{2}}{a-1}$的最小值是$(\qquad)$

提示： $a+b-2=t>0,$

$\color{blue}{\dfrac{a^{2}}{b-1}+\dfrac{b^{2}}{a-1} \geqslant \dfrac{(a+b)^{2}}{a+b-2}}=\dfrac{(t+2)^{2}}{t}=t+\dfrac{4}{t}+4 \geqslant 8 .$

当 $\left\lbrace \begin{array}{l}a+b-2=2 \newline \dfrac{a}{b-1}=\dfrac{b}{a-1}\end{array}\right.$时, 即$a=2, b=2$ , 两个等号同时成立.

例 $7.$对任意实数$x>1, y>\dfrac{1}{2}$, 不等式$\dfrac{x^{2}}{a^{2}(2 y-1)}+\dfrac{4 y^{2}}{a^{2}(x-1)} \geqslant 1$恒成立, 则实数$a$的最大值为$(\qquad)$ .

$A. 2\qquad$ $B. 4\qquad$ $C. \dfrac{\sqrt{14}}{2} \qquad$ $D. 2 \sqrt{2}$

提示： $a^{2} \leqslant\left(\dfrac{x^{2}}{(2 y-1)}+\dfrac{4 y^{2}}{(x-1)}\right)_{\text {min }}$, 设$x+2 y-2=t>0$ ,

则有 $\color{blue}{\dfrac{x^{2}}{2 y-1}+\dfrac{4 y^{2}}{x-1} \geqslant \dfrac{(x+2 y)^{2}}{x+2 y-2}}=\dfrac{(t+2)^{2}}{t}=t+\dfrac{4}{t}+4 \geqslant 8$ ,

当 $\left\lbrace \begin{array}{l}x+2 y-2=2 \newline \dfrac{x}{2 y-1}=\dfrac{2 y}{x-1}\end{array}\right.$时, 即$x=2, y=1$, 两个等号同时成立. 故$a \leqslant 2 \sqrt{2}$ .

例 $8.$设$a, b \in \mathbf{R}^{+}, a \neq b, x, y \in(0,+\infty)$，则$\dfrac{a^{2}}{x}+\dfrac{b^{2}}{y} \geqslant \dfrac{(a+b)^{2}}{x+y}$, 当且仅当$\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}$时，上式取等号，利用似 上结论，可以得到函数$f(x)=\dfrac{2}{x}+\dfrac{9}{1-2 x}\left(x \in\left(0, \dfrac{1}{2}\right)\right)$的最小值为$(\qquad)$ .

$A. 169\qquad B. 121\qquad C. 25\qquad D. 16$

提示： $\dfrac{2}{x}+\dfrac{9}{1-2 x}=\color{blue}{\dfrac{4}{2 x}+\dfrac{9}{1-2 x} \geqslant \dfrac{(2+3)^{2}}{2 x+(1-2 x)}}=25$ ,

当且仅当 $\dfrac{2}{2 x}=\dfrac{3}{1-2 x}$时,$x=\dfrac{1}{5}$, 取得$f(x)$ 的最小值.

例 $9.$已知$x>1, y>1, x y^{2}=1000$, 则$\dfrac{1}{\lg x}+\dfrac{3}{\lg y}$的最小值为$(\qquad)$ .

$A. 4\qquad B. \dfrac{4}{3} \sqrt{6} \qquad C. \dfrac{7+2 \sqrt{6}}{3} \qquad D. \dfrac{7-2 \sqrt{6}}{3}$

提示： $\dfrac{1}{\lg x}+\dfrac{3}{\lg y}=\color{blue}{\dfrac{1}{\lg x}+\dfrac{6}{2 \lg y} \geqslant \dfrac{(1+\sqrt{6})^{2}}{\lg x+\lg y^{2}}}=\dfrac{7+2 \sqrt{6}}{\lg x y^{2}}=\dfrac{7+2 \sqrt{6}}{3}$ ,

当 $\dfrac{1}{\lg x}=\dfrac{\sqrt{6}}{2 \lg y}$时, 即$\lg x=\dfrac{3}{\sqrt{6}+1}$时, 选$C.$

例 $10.$若正实数$x, y$满足$x+y=1， \dfrac{1}{2 x}+\dfrac{x}{y+1}$最小值是$(\qquad)$

提示：

$\dfrac{1}{2 x}+\dfrac{x}{y+1}=\dfrac{1}{2 x}+\dfrac{1-y}{y+1}=\dfrac{1}{2 x}+\dfrac{-(y+1)+2}{y+1}=\color{blue}{\dfrac{1}{2 x}+\dfrac{4}{2 y+2}-1 \geqslant \dfrac{(1+2)^{2}}{2 x+2 y+2}-1}=\dfrac{5}{4} .$

当 $\dfrac{1}{2 x}=\dfrac{2}{2 y+2}$时， 即$x=\dfrac{2}{3}, y=\dfrac{1}{3}$, 有所求的最小值$\dfrac{5}{4}$

例 $11.$已知正数$x, y, z$满足$x+y+z=1$, 则$\dfrac{x^{2}}{y+2 z}+\dfrac{y^{2}}{z+2 x}+\dfrac{z^{2}}{x+2 y}$的最小值为$(\qquad)$

提示： $\color{blue}{\dfrac{x^{2}}{y+2 z}+\dfrac{y^{2}}{z+2 x}+\dfrac{z^{2}}{x+2 y} \geqslant \dfrac{(x+y+z)^{2}}{(y+2 z)+(z+2 x)+(x+2 y)}}=\dfrac{(x+y+z)^{2}}{3(x+y+z)}=\dfrac{1}{3} .$

当且仅当 $\left\lbrace \begin{array}{l}x+y+z=1 \newline \dfrac{x}{y+2 z}=\dfrac{y}{z+2 x}=\dfrac{z}{x+2 y}\end{array}\right.$, 即$x=y=z=\dfrac{1}{3}$时取得所求式子最小值为$\dfrac{1}{3} .$

例 $12.$已知正数$x, y, z$满足$x y z \geqslant 1$, 则$\dfrac{x^{2}}{y+2 z}+\dfrac{y^{2}}{z+2 x}+\dfrac{z^{2}}{x+2 y}$的最小值为$(\qquad)$

提示：

$\color{blue}{ \dfrac{x^{2}}{y+2 z}+\dfrac{y^{2}}{z+2 x}+\dfrac{z^{2}}{x+2 y} \geqslant \dfrac{(x+y+z)^{2}}{(y+2 z)+(z+2 x)+(x+2 y)}}\newline=\dfrac{(x+y+z)^{2}}{3(x+y+z)}=\dfrac{x+y+z}{3} \geqslant \sqrt[3]{x y z} \geqslant 1$ 当且仅当：$\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{x}{y+2 z}=\dfrac{y}{z+2 x}=\dfrac{z}{x+2 y} \newline x=y=z \newline x y z=1 \end{array}\right.$

即 $x=y=z=1$时取得所求式子最小值为$1$

例 $13.$设$x, y$是正实数且满足$x+y=1$, 求$\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{8}{y^{2}}$的最小值$(\qquad)$

提示： $\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{8}{y^{2}}=\color{blue}{\dfrac{1^{3}}{x^{2}}+\dfrac{2^{3}}{y^{2}} \geqslant \dfrac{(1+2)^{3}}{(x+y)^{2}}}=27 .$

当 $\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{y}$时，即$x=\dfrac{1}{3}, y=\dfrac{2}{3}$ 等号成立.

例 $14.$已知$x, y>0, \thickspace\dfrac{1}{x}+\dfrac{2 \sqrt{2}}{y}=1$, 求$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$的最小值$(\qquad)$

提示： $1=\dfrac{1}{x}+\dfrac{2 \sqrt{2}}{y}=\color{blue}{\dfrac{1^{\frac{3}{2}}}{\left(x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}+\dfrac{2^{\frac{3}{2}}}{\left(y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} \geqslant \dfrac{(1+2)^{\frac{3}{2}}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}}=\dfrac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ,

即当 $\left\lbrace \begin{array}{l}\dfrac{1}{x^{2}}=\dfrac{2}{y^{2}} \newline \dfrac{1}{x}+\dfrac{2 \sqrt{2}}{y}=1\end{array}\right.$时, 即$ x=3, y=3 \sqrt{2}$ ,

有 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$的最小值为$3 \sqrt{3}$ .

例 $15.$已知$a, b, c \in \mathbf{R}^{+}$且$\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{8}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}=1$, 求$a+b+c$得最小值$(\qquad)$

提示： $1=\color{blue}{\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{2^{3}}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}} \geqslant \dfrac{(1+2+1)^{3}}{(a+b+c)^{2}}} \Rightarrow(a+b+c) \geqslant 8$ ,

当 $\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{c}$时, 即：$a=2, b=4, c=2$ 时等号成立.

例 $16.$已知$x，y$为非负实数，$x+y=1$，求$\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{8}{y^{2}}$的最小值$(\qquad)$

提示： $\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{8}{y^{2}}=\color{blue}{\dfrac{1^{3}}{x^{2}}+\dfrac{2^{3}}{y^{2}}\geq\dfrac{（1+2）^{3}}{（x+y）^{2}}}=27$

当且仅当 $x=\dfrac{1}{3}，y=\dfrac{2}{3}$ 时取得等号

例 $17.$已知$x\in(0，\dfrac{\pi}{2})$，求$\dfrac{1}{sinx}+\dfrac{7}{cosx}$的最小值$(\qquad)$

提示：

$\color{blue}{(\dfrac{1}{sinx}+\dfrac{7}{cosx})(\dfrac{1}{sinx}+\dfrac{7}{cosx})(sin^{2}x+cos^{2}x)\newline\geq((\dfrac{1}{sinx}\cdot\dfrac{1}{sinx}sin^{2}x)^{\frac{1}{3}}+(\dfrac{7}{cosx}\cdot\dfrac{7}{cosx}cos^{2}x)^{\frac{1}{3}})^{3}}=(1+\sqrt[3]{49})^3$

于是： $\dfrac{1}{sinx}+\dfrac{7}{cosx}\geq(1+7^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$

例 $18.$若$9x^{2}+4y^{2}+6xy=1，x，y\in R$，则$9x+6y$的最大值为$(\qquad)$

提示： $1=（3x+y）^{2}+3y^{2}=\color{blue}{\dfrac{（3x+y）^{2}}{1}+\dfrac{y^{2}}{\frac{1}{3}}\geq\dfrac{(3x+y+y)^{2}}{\frac{1}{3}+1}}$

进而 $3x+2y\leq\dfrac{2\sqrt3}{3}$，故最大值为$2\sqrt3$

例 $19.$设$a，b$为正实数，且$a+2b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}=\dfrac{13}{2}$，则$\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}$的最大最小值之和为$(\qquad)$

提示： $\dfrac{13}{2}-(a+2b)=\color{blue}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{2b}\geq\dfrac{(1+2)^{2}}{a+2b}}=\dfrac{9}{a+2b}$

解得 $2\leq a+2b\leq\dfrac{9}{2}$

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}=13-(a+2b)\in[2，\dfrac{9}{2}]$，故和为$\dfrac{13}{2}$

（权方和与柯西不等式一样在于变形和巧妙地配凑）

例 $20.$已知实数$x，y$满足$x^2+y^2=1,0<x<1,0<y<1$,当$\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{y}$取得最小值时，$\dfrac{x}{y}$的值为$(\qquad)$

提示：由赫尔德不等式可知：$\color{blue}{(\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{y})(\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{y})(x^2+y^2)\geq(1+\sqrt[3]{16})^3}$

取等条件为： $\dfrac{4}{x}:\dfrac{1}{y}=x^2:y^2\Rightarrow\dfrac{x}{y}=\sqrt[3]{4}$